蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第11章 多于一个选择变量的情况)【

第11章多于一个选择变量的情况
练习11.2
运用教材表11.1分别求下列四个函数的极值，并确定其为极大值还是极小值。

1．z＝x2＋xy＋2y2＋3。

解：首先求出所有一阶、二阶导数，f x＝2x＋y，f y＝x＋4y，f xx＝2，f xy＝1，f yy＝4。

由最大化一阶条件：2x＋y＝0以及x＋4y＝0，解得x*＝0，y*＝0，则z*＝3。

又f xx＞0，f yy＞0，f xx f yy＞f xy2，故函数存在极小值3。

2．z＝－x2－y2＋6x＋2y。

解：首先求出所有一阶、二阶导数，f x＝－2x＋6，f y＝－2y＋2，f xx＝－2，f yy＝－2，f xy ＝0。

由最大化一阶条件：－2x＋6＝0及－2y＋2＝0，解得x*＝3，y*＝1，z*＝10。

又f xx ＜0，f yy＜0，f xx f yy＞f xy2。

故函数存在极大值10。

3．z＝ax2＋by2＋c，考察下面三种情况：（a）a＞0，b＞0；（b）a＜0，b＜0；（c）a与b符号相反。

解：首先求出所有一阶、二阶导数，f x＝2ax，f y＝2by，f xx＝2a，f yy＝2b，f xy＝0，由最大化一阶条件：2ax＝0，以及2by＝0，解得x*＝0，y*＝0，则z*＝c。

（a）当a＞0，b＞0，有f xx＞0，f yy＞0，f xx f yy＞f xy2，故函数有极小值c。

（b）当a＜0，b＜0，有f xx＜0，f yy＜0，f xx f yy＞f xy2，故函数有极大值c。

（c）当a与b符号相反，有f xx f yy＜f xy2，故z*为鞍点。

4．z＝e2x－2x＋2y2＋3。

解：首先求出所有一阶、二阶导数，f x＝2e2x－2，f y＝4y，f xx＝4e2x，f yy＝4，f xy＝0，由最大化一阶条件：2e2x－2＝0及4y＝0，解得x*＝0，y*＝0，则z*＝4。

又因为f xx＞0，f yy ＞0，f xx f yy＞f xy2，故函数有极小值4。

5．考察函数z＝（x－2）4＋（y－3）4。

（a）用直观推理确定z在x*＝2，y*＝3处达到极小值，z*＝0。

（b）教材表11.1中的一阶必要条件得到满足了吗？
（c）教材表11.1中的二阶充分条件得到满足了吗？
（d）求d2z的值。

它满足极小值的二阶必要条件（11.9）吗？
解：（a）显然（x－2）4≥0，（y－3）4≥0，当且仅当x＝2，y＝3时（x－2）4＝0，（y－3）4＝0，函数取得极小值。

（b）f x＝4（x－2）3，f y＝4（y－3）3，在x*＝2，y*＝3处，有f x＝0，f y＝0，满足教材表11.1中的一阶必要条件。

（c）f xx＝12（x－2）2，f yy＝12（y－3）2，f xy＝0，在x*＝2，y*＝3处，有f xx＝0，f yy ＝0，f xy＝0，f xx f yy＝f xy2，不满足教材表11.1中的二阶充分条件。

（d）由（11.6）d2z＝0，故满足极小值的二阶必要条件（11.9）。

练习11.3
1．直接运用矩阵乘法，将下面的矩阵积表示为二次型：
（a ） （b ）
（c ）
（d ）
解：（a ）q ＝4u 2＋4uv ＋3v 2。

（b ）q ＝－2u 2＋4uv －4v 2。

（c ）q ＝5x 2＋6xy 。

（d ）q ＝f xx dx 2＋2f xy dxdy ＋f yy dy 2。

2．在上题的（b ）和（c ）中，系数矩阵对主对角线不是对称的。

验证通过取非对角元素的
平均值，因而将其分别转换成和我们得到的二次型同前面是一样的。

证明：对于（b ），
对于（c ），
显然，得到的二次型同前面是一样的。

[]4223u u v v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2314u u
v v -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]5240x x
y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]d d d d xx xy yx yy f f x x y f f y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2224-⎡⎤⎢⎥-⎣
⎦5330⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]222224424u u v u uv v v -⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]2535630x x y x xy y ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3．根据其系数矩阵（对称形式），运用行列式检验确定练习11.3-1的（a ）、（b ）、（c ）中
的二次型是正定还是负定。

解：（a ），|D 1|＝4＞0，，故二次型是正定。

（b ），|D 1|＝－2＜0，，故二次型是负定。

（c ），|D 1|＝5＞0，|D 2|＝－9＜0，故二次型既不是正定，也不是负定。

4．将下面的每个二次型表示成包含对称系数矩阵的矩阵积：
（a ）q ＝3u 2－4uv ＋7v 2；
（b ）q ＝u 2＋7uv ＋3v 2；
（c ）q ＝8uv －u 2－31v 2；
（d ）q ＝6xy －5y 2－2x 2；
（e ）q ＝3u 12－2u 1u 2＋4u 1u 3＋5u 22＋4u 32－2u 2u 3；
（f ）q ＝－u 2＋4uv －6uw －4v 2－7w 2。

解：（a ） （b ）
（c ）
（d ）
4223⎡⎤⎢⎥⎣⎦2428023D ==>2224-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦2224024D -==>-5330⎡⎤⎢⎥⎣
⎦[]223234727u q u uv v u v v -⎡⎤⎡⎤=-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]221 3.573 3.53u q u uv v u v v ⎡⎤⎡⎤=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2214831431u q uv u v u v v -⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]222365235x q xy y x x
y y -⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（e ）
（f ）
5．由从上题对称系数矩阵得到的判别式，运用行列式检验，判定哪个二次型为正定，哪个二次型为负定。

解：（a ），|D 1|＝3＞0，|D 2|＝17＞0，二次型为正定。

（b ），|D 1|＝1＞0，|D 2|＝－9.25＜0，二次型既非正定，也非负定。

（c ），|D 1|＝－1＜0，|D 2|＝15＞0，二次型为负定。

（d ），|D 1|＝－2＜0，|D 2|＝1＞0，二次型为负定。

（e ），|D 1|＝3＞0，，，二次型为正定。

（f ），|D 1|＝－1＜0，，二次型既非正定，也非负定。

6．求下列每个矩阵的特征根：
[]122211213232312323312324542151214u q u u u u u u u u u u u u u u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]2221234647240307u q u uv uw v w u v w v w --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦3227-⎡⎤⎢⎥-⎣
⎦1 3.53.53⎡⎤⎢⎥⎣
⎦14431-⎡⎤⎢⎥-⎣
⎦2335-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦312151214-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23114015D -==>-3312
151370
214D -=--=>-123240307--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦212024D -==-
（a ） （b ）
（c ）
关于二次型u ′Du 、u ′Eu 、u ′Fu 的符号，能得出什么结论？（对照练习11.3-3，检验你的结论。

）
解：（a ）
，特征方程为
特征根为：，
，特征根均为正，故u ′Du 符号为正。

（b ）
，特征方程为
特征根为：，，特征根均为负，故u ′Eu 符号为负。

（c ）
，特征方程为
特征根为：
，，u ′Fu 的符号不确定。

7．求矩阵的特征向量。

4223D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2224E -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦5330F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4223D ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦2427823
r r r r -=-+-172r =272r =2224E -⎡⎤=⎢⎥-
⎣⎦2226424r
r r r --=++--13r =-+23r =--5330F ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦253593r r
r r -=---1502r +=>2502r =<4221⎡⎤⎢⎥⎣
⎦。