线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题与答案解析
2021高中数学线线,线面,面面垂直的证明(含解析)
线线，线面，面面垂直的证明一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；线线，线面，面面垂直的证明参考答案一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，AC⊥平面PBD2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；【答案】解：（Ⅰ）若选①证明：∵平面，平面，∴，又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．若选② 为中点证明：∵平面，平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又为等腰直角三角形斜边中点，则，，∴平面．4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；【答案】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，又，，所以平面，又因为，所以平面．6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；【答案】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；【答案】（1）证明见解析PA垂直于所在的平面PA⊥BCAB是的直径AC⊥BCBC⊥面PAC8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．【答案】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，因为，所以，因为平面，面，且，所以平面，因为，所以，则平面PAC；9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面【答案】（2）因为四边形是菱形，所以又因为平面平面所以又因为所以平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；【答案】（1）∵，，．∴，∴．∵，，∴．又∵，平面，∴平面．∵平面，∴．11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；【答案】法一法2（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．因为，所以，所以．12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：【答案】（1），为中点，，面，面面且面面，面，．14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.【答案】（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；【答案】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；【答案】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；【答案】（2）∵，是的中点，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD 平面，∴，又､BC是平面内的两条相交直线∴平面∵AD 平面∴平面平面19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；【答案】（2）因为平面平面，平面平面，,所以平面，因为平面，所以,又, 平面,所以平面,又平面，所以,又,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面【答案】（1）由圆锥的性质可知，底面圆∵在底面圆上，∴，∵在圆上，为直径，∴，又点分别为的中点，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．【答案】（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；【答案】（1）因为三棱台中，因为，所以，由，所以，所以，又由，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；【答案】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．【答案】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；【答案】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案解析
线线垂直、线面垂直、面面垂直局部习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)〔1〕求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．〔1〕求证：平面PCE⊥平面PCD；〔2〕求点A到平面PCE的距离．4. 如下列图2-4-2，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD ⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如下列图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)假设AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D11A1B1D CB7. 如下列图，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC^平面PBC。
12..如下列图1-10-3，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，假设截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如下列图1-10-5，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如下列图，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如下列图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)假设∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16.如图1，在体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，那么AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，那么GF 21CD 又AE 21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ． 〔2〕【解】由〔1〕知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，那么FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与△PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36．4.【证明】取SA 的中点E ，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，那么.∵，∴为等腰三角形.又知D为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴. ∵为直角三角形，D为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM两条相交直线，∴CD⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，那么有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第10题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．11.〔1〕【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径∴BC ⊥AC ；又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．. 12.证明：如下列图1-10-4,取BC 的中点D ，连接AD ，SD. 由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，那么AB=AC ， ∴AD ⊥BC,SD ⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.那么AE⊥BD,BD⊥CE. 在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．∵BDCF，∴MNBD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，那么，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．设体棱长为a ，那么22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴1AO ⊥平面MBD ．。
高考数学解题技巧及规范答题：立体几何大题
【分析】
（1）分别取 ， 的中点 ， ，证明 ， 可得 平面 ，
可证 ，由等腰三角形的性质可得 ，证明三角形全等即可求证；
（2）在 上取一点O，连接 ，使 ，根据已知条件证明O为正方形 的中心，建立空间直角坐标系求出平面 和平面 的法向量，利用夹角公式即可求解.
又 ，所以 ，
故 ．
【此处由三角形的面积公式和体积公式求体积，若底面面积正确但体积计算错误，减1分.】
【评分细则】
①利用三线合一证明AO⊥BD，得1分
②利用面面垂直的性质证明AO⊥平面BCD，得2分.
③利用线面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分.
④利用（1）结论证明三线垂直，合理建系得2分.
⑤正确写出和设出点的坐标，指出一个平面的法向量，得2分.
（1）若三棱锥 体积是 ，求 的值；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 的值．
【分析】
（1）由题意知， 、 、 两两垂直，建立空间直角坐标系，设 ，由 ，求得M的坐标，过 作 于 ， 于 ，再由 求解；
（2）由（1）知 ，求得平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成的角为 ，然后由 求解.
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
即 ，
又 ，
平面 ，
故 为四棱锥 的高，
为直线 与平面 所成角，
又 ，
即 ，
四棱锥 的体积为 ；
（2）假设存在点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ，
则 ，
则 ， ， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，则 ，
，令 ，
则 ，
二面角 的余弦值为 ，
面面垂直的性质习题详细答案
变种2
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面垂直。
提高题
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面的交线与 原直线垂直。
综合பைடு நூலகம்解析与解答
• 综合题1：已知一个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合题解析与解答
面面垂直的性质习题详细答案
contents
目录
• 面面垂直的性质概述 • 习题解析 • 习题解答技巧 • 面面垂直的性质习题答案 • 习题拓展与提高
01 面面垂直的性质概述
定义与定理
定义
两个平面互相垂直，当且仅当一 个平面内的任意直线都与另一个 平面垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么其 中一个平面内的任意直线都与另 一个平面垂直。
机械工程
在机械设计中，面面垂直的性质 常常用于确定零件的安装角度和 位置，以确保机器的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的经纬线分布 和角度计算也涉及到面面垂直的 性质，例如在计算地球上的纬度、 经度等数值时，需要利用到面面
垂直的性质。
02 习题解析
基础习题解析
总结词
掌握基础概念
题目
两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线，那么这条直线与另一个平面的关 系是什么？
由于直线a⊥平面α，且直线b⊥直线a，根 据面面垂直的性质定理，直线b必然在平面 α内。
中等难度习题答案
总结词
中等难度习题在考察面面垂直性质的基础上，增加了对空间想象能力和推理能力的考察。
题目3
已知平面α与平面β互相垂直，点A属于平面α，点B属于平面β，且AB与两平面的交线分别交 于C和D两点，若AC=CD，求证线段BD的长度。
线面垂直的性质定理习题含详细答案
3.过一点有几条直线与平面垂直？ 提示：有且只有一条.假设过一点有两条直线与平面垂直，由 两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行， 应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_____. 【解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平 面平行的判定定理推得. 答案：平行
(2)如图，连接AD1,AE,D1E,
D1
C1
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N， A1
B1
连接MN.
M
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，需使
D
E C
N
MN∥D1E，
A
B
又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE.即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
3.点P到平面四边形ABCD四个顶点的距离相等，那么四边形
ABCD是( )
(A)某圆的内接四边形 (B)某圆的外切四边形
(C)正方形
(D)任意四边形
4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，那么PA与BD的位置关系是 _____.
5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且 AB∥CE. 求证：CE⊥平面PAD.
线面平行
∵FD∥CG, CG⊂平面ABC， ∴DF∥平面ABC.
【思考】解答题1，2的关键是什么？ 提示：(1)解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得a与l垂直 于同一个平面. (2)解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行.
线面垂直的性质的综合应用 【技法点拨】线面垂直与平行的相互转化 (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平 行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与 平行开始转化为另一种垂直与平行，最终到达目的的. (2)转化关系： 线线垂直 判定 定定 义 理 线面垂直 性定 质理 定 理 线线平行
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。
理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。
本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。
练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。
如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。
1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。
求证：线段AC与平面ABCD垂直。
答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。
b) 真，平面m可以垂直于线段AB。
c) 假，线段和平面不可能平行。
2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。
练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。
b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。
c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。
2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。
1. 直线m与平面P平行。
2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。
根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。
因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。
通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。
在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。
为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。
1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。
解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。
线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。
两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。
因此，线段AB不垂直于平面P。
2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。
解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。
计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。
因此，平面P1和平面P2垂直。
3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。
解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。
由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。
因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。
直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。
4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC 平面PBC。
12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ， 所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D 为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D 为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD ⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC ，AE ⊥BC ， 直角△ABE 中，，，， 在△PEA 中，，，∴，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－D B－C的平面角．利用平面几何知1，(第10题)识可得OF＝5又OE＝1，所以，tan∠EFO＝5．11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ． 又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ． 又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。
线面垂直的判定答案习题详细答案
【规范训练】(12分)如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的 直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平 面PBC.
【解题设问】(1)由PA⊥圆O所在平面会得到线线垂直，根据 是什么？_线__面__垂__直__的__定__义___. (2)欲证AE⊥平面PBC.可利用_线__面__垂__直_的__判__定__定__理_____.
∵AB⊂平面APB③， ∴PC⊥AB.……………………………………………………5分 连接CH，∵H为△ABC的垂心， ∴CH⊥AB，…………………………………………………7分 ∵PC∩CH=C①，PC⊂平面PHC,CH⊂平面PHC②， ∴AB⊥平面PHC，PH⊂平面PHC③， ∴AB⊥PH.…………………………………………………9分 同理可证PH⊥BC.…………………………………………10分 ∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC=B①， ∴PH⊥平面ABC.……………………………………………12分
3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______.
3.如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，则直线l与平面α 的位置关系是______. 【解析】由线面垂直的定义可知，直线l垂直于平面α. 答案：垂直
1.关于直线与平面垂直的定义的理解 (1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线” 是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
1.直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的__任__意__一__条__直线都垂直，则直 线l与平面α互相垂直.记作__l⊥__α__. (2)相关概念：直线l叫做平面α的__垂__线__.平面α叫做直线l 的__垂_面___.直线与平面垂直时，它们唯一的公通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂 直，如图.
立体几何垂直的证明方法【线线垂直+线面垂直+面面垂直】【20210210】
空间点、线、面的位置关系:垂直【背一背基础知识】1.判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .②若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.线面垂直1.如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=F C=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点.求证：BG ⊥平面PAD .线线垂直1、如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：PF ⊥AD ．2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥3、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；4、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C Ð=°,平面11AA B B ^平面11BB C C 。
线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
线面垂直证明面面垂直专题 3
立体几何平行与垂直专题（附经典解析）1垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．3. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E FPDBD 2EF =PAD ⊥ABCD垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直（教师版）1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．【解析】证明：平面，．，，平面．又平面，平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．【解析】过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA 1AC ⊥1A BC 1AC BC ∴⊥90BCA ∠︒＝BC AC ∴⊥BC ∴⊥11ACC A BC ⊂ABC ∴ABC ⊥11ACC A P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E FPDBD EF =PAD ⊥ABCD立体几何平行与垂直专题（附经典解析）3∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°=2×，∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF=∴EF是△PBD 的中位线，∴PB=2EF=2×，∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．3. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．【解析】取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN //CF ．∵BD //CF ，∴MN //BD ， ∴N ∈平面BDM ．∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA ． 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA ．222。
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目(附答案)
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目（附答案）1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．一、线面垂直性质定理的应用1.如图，已知正方体A 1C .(1)求证：A 1C ⊥B 1D 1.(2)M ，N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点，且MN ⊥B 1D 1，MN ⊥C 1D ，求证：MN ∥A 1C .[证明] (1)如图，连接A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1.∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C∥AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.注：(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON=12CD=12AB .∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.二、面面垂直性质定理的应用3.已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .[证明] 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .注： 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.三、垂直关系的综合应用4.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.注：(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．5.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．由图(1)知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.巩固练习：1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．41.解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2.解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3.解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A ⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.11．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47参考答案：11.解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．12.解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．13.解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．14.解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.15.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶216．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.18.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。
面面垂直的判定习题详细答案
题目二解析
题目二
在四面体$P-ABC$中，已知$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$， 求证：平面$PAB perp$平面$PBC$。
解析
首先，由于$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$，我们可以得出$PA perp PB$、$PB perp PC$和$PC perp PA$。根据空间直线与平面的垂直关系，我们可以得出$PA perp$平面$PBC$、$PB perp$平面$PAC$和$PC perp$平面$PAB$。由于平面$PAB cap$平面$PBC = PB$，根据两平面垂直于第三
解析
题目三
对于结论$①$
由于正方体的性质，我们知道AC₁和AE都 经过点A，所以它们是共面的。因此，
AC₁E不是异面直线。结论$①$不正确。
对于结论$③$
由于正方体的性质，我们知道AC₁不在平 面ABCD内。所以结论$③$是正确的。
对于结论$②$
由于AC₁不在平面BDE内，所以结论$②$ 是正确的。
平面内的直线
一条直线如果在某个平面上， 则称这条直线为该平面的内直
线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
质，我们可以得出平面 ABDtextsuperscript{⊥}平面BCD。
04 知识点总结
面面垂直的判定定理
判定定理
如果一个平面内的一条直线与另 一个平面垂直，则这两个平面互 相垂直。
推论
如果两个平面互相垂直，则其中 一个平面内的一条直线与另一个 平面垂直。
解题技巧和注意事项
技巧
在解题时，首先确定已知条件和未知 量，然后根据判定定理和推论，构建 数学模型和方程。
高二数学垂直试题答案及解析
高二数学垂直试题答案及解析1.如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，，点是的中点，点在且.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求锐二面角平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直，只需要证明直线的方向向量垂直与平面的法向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．则依题意,可得以下各点的坐标分别为．∴∴∴，．又∴平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，而∴，令得．又∵是平面的法向量，∴．所以锐二面角平面角的余弦值为．【考点】利用空间向量证明线面垂直和求夹角.2.如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；（Ⅱ）求BP的长；（Ⅲ）求直线AP与平面BCD所成的角．【答案】（I）见解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°【解析】（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，由沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，，因此直线AP与平面BCD所成的角为45°.试题解析：（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ 又CQ⊥BC∴CQ⊥面ABC∴CQ⊥AB；（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，设AB=1，则BD=2，设BP=x，由题意AP=DP，∴，∴x=1；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，∴∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，∴∠APO=45°，∴直线AP与平面BCD所成的角为45°．【考点】1.空间直线的位置关系的判定;2.空间两点间的距离;3.线面角的求解3.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析;(2) ．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）点到平面的距离是棱锥D-PCB顶点D到底面的高,求出棱锥的体积和底面三角形PCB的面积,可以求出点到平面的距离．试题解析：(1)如图,连接，由3AD=DB知，点D为AO的中点,又∵AB为圆O的直径，∴，由知，，∴为等边三角形,故．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，得平面.（2）由（1）可知，，∴，又，，，∴为等腰三角形，则，设点到平面的距离为，由得，，解得．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.点到平面距离．4.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）作出二面角的平面角，证明符合二面角的定义，再在三角形中求二面角的平面角,从而求出所求的二面角．试题解析：(1)如图,连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由得，平面，又平面，∴．（2）方法1:（综合法）如图,过点作，垂足为，连接,由（1）知平面，又∵平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∴为二面角的平面角．由（Ⅰ）可知，，∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．方法2:（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，设二面角的平面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.二面角的平面角及求法．5.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，直线B1C与平面ABC成45°角。
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线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D11A B1D CB7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC 平面PBC。
12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.214.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF 21CD 又AE 21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ． （2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ， ∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ，所以△SDB ≌△SDA ， 所以∠SDB=∠SDA ， 所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ， 所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点， 所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ， 所以BD 垂直于平面SAC 的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACΘBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D为其底边的中点，∴ .∵，，∴ .又，∴ . ∵为直角三角形，D为的中点，∴，.又，，∴ ..即CD⊥DM.∵、为平面BDM两条相交直线，∴ CD⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=I，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =I ， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =I ，∴ AH ⊥平面BCD ．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a ，由∠APB=∠APC=60°，△PAC ，△PAB 为正三角形， 则有：PA=PB=PC=AB=AC=a ， 取BC 中点为E 直角△BPC 中，， ， 由AB=AC ，AE ⊥BC ， 直角△ABE 中，，，， 在△PEA 中，，， ∴ ，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC =I，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第10题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．11.（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径∴BC ⊥AC ；又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．. 12. 证明：如图1-10-4所示,取BC 的中点D ，连接AD ，SD. 由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB=AC ， ∴AD ⊥BC,SD ⊥BC.令SA=a,在△SBC 中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明： ((1)取EC的中点F，连接DF．∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．∵ AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，∴ MN ∥平面PAD ．(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB ．由(1)知，需证AE ⊥AB ．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AB ．又AD ⊥AB ，∴ AB ⊥平面PAD ．∴ AB ⊥AE ．即AB ⊥MN ．又CD ∥AB ，∴ MN ⊥CD ．(3)由(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可． ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ．又∠PDA=45°，E 为PD 的中点．∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ．又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =I ，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。