成都市高二数学零诊复习资料

零诊复习资料（仅供7班使用） 第2讲函数的性质

【知识梳理】

一、单调性

1.定义：设D 是函数()f x 定义域的子区间，对任意12,x x D ∈，当12x x <时： (1)都有()()12f x f x <⇔()f x 在区间D 上是增函数； (2) 都有()()12f x f x >⇔()f x 在区间D 上是减函数.

2.判定：(1)定义法；(2)图象法：(3)结论法(所学初等函数的单调性)； (4)复合函数的单调性：同增异减，小心范围.

3.用定义证单调性的步骤：任取——作差——变形——定号——结论. 二、奇偶性

1.定义：对函数()f x 定义域内的任意x ： (1)都有()()f x f x -=-⇔()f x 为奇函数； (2)都有()()f x f x -=⇔()f x 为偶函数.

点拨：奇、偶函数的定义域关于原点对称.

2.性质：(1)奇函数()f x ⇔图象关于原点对称；若()0f 有意义，则()00f =； （2）偶函数()f x ⇔图象关于y 轴对称()()f x f x ⇔=；

(3)在关于原点对称的两个区间上：奇函数同单调；偶函数异单调.

3.用定义判奇偶性的步骤：求定义域——定()f x -与()f x 的关系——下结论. 三、对称性:轴对称,中心对称.

对函数()f x 的定义域内的任何一个自变量x ：

1.若都有()()f a x f a x -=+，则()f x 的图象关于直线x a =对称；

若都有()()f a x f b x -=+，则()f x 的图象关于直线2

a b

x +=

对称。 2.若都有()()f a x f a x -=-+，则()f x 的图象关于点(),0a 对称；

若都有()()f a x f b x -=-+，则()f x 的图象关于点,02a b +⎛⎫

⎪⎝⎭

对称。 若都有()()22f x f a x b +-=,则()y f x =的图象关于点(),a b 对称.

四、周期性

1.定义：如果存在非零常数T ，对函数()f x 定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是周期函数，T 是它的一个周期.

2.性质：(1)若T 是()f x 的一个周期,则(),0kT k Z k ∈≠也是()f x 的周期； (2)若T 是()f x 的一个周期，则()f x ω()0ω≠是周期函数，且一个周期是

|

|ωT

.

3.结论：(1)若()y f x =图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

(2)若()y f x =图象有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

(3)如果函数()y f x =的图象有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；

(4)若函数()f x 满足下列条件之一,则()f x 是周期函数,且一个周期为2T a =()0a ≠：

①()()f a x f x +=-；②1()()

f x a f x +=

；③1()()f x a f x +=-.

例2．(1)若定义在R 上的奇函数()f x 以T 为周期，则函数()f x 在区间[,]T T -上至少有 5个零点.

(2)函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +和()1f x -都是奇函数，则函数()()g x f x =，

{}1,1,3,5x ∈-的值域是{}0.

(3)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在[6,4]--上是增函数，在锐角ABC ∆中，令(sin sin )m f A B =+，(cos cos )n f A C =+，则m 和n 的大小关系为_______m n <.

(4)函数()1

2sin 1

f x x x π=+-在区间[]2,4-上的所有零点之和等于8.

(5)设()f x 是连续的偶函数，且在()0,+∞是单调函数，则方程()34x f x f x +⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

所有根之和

为8-.

第3讲初等函数

【知识梳理】

1．指数与对数的运算性质： （1）指数式与对数式的互化：

log (0,1,0)b a a N b N a a N =⇔=>≠>。 （2）对数的运算性质()0,1,0,0a a M N >≠>>：

①恒等式：N a N a =log ；log b a a b =。 ②()log log log a a a MN M N =+；log log log a a a M

M N N

=-；log log n a a M n M =。 ③换底公式及推论：

log log log c a c b b a =

；log log n m a a m

b b n

=；log log n n a a b b =；1log log a b b a =。 2

x y a a a =>≠log (0,1)y x a a =>≠

点拨：y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，其图象关于y x =对称。

3.

y x α

=（Q α∈）

例1.（1）若,518,9log 18==b

a 用a 和

b 表示45log 36=

（2）已知2(3)4log 3233.5x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++=L _______

(3)已知函数()lg ,010,16,10.2

x x f x x x ⎧<≤⎪

=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==,

则abc 的取值范围是()10,12.

解：（1）18185log 5b

b =⇒=，又18log 9a =，

()1818183618181818

log 45log 9log 5

log 4518

log 36log 92log 2

2122log 9

a b

a b a b

a a a

a ++++∴=

==

=

=++--+。

（2）令23k x =，则222log 3log 34log 34x

k x x k ==⇒=

故8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++=L ()412388233.52012+++++⨯=L （3）设0a b c <<<,如图有：

例

5.已知函数)32

(log )(22

1+-=ax x x f

（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a

（2）若()f x 的值域为R ，求实数a （3）若()f x 在]1,(-∞内为增函数，求实数a 解：令223u x ax =-+，12

log y u =。

（1）()f x 的定义域为R 2230x ax ⇔-+>恒成立。

(24120a a a ∴∆=-<⇔∈。

（2）()f x 的值域为R 223u x ax ⇔=-+能取()0,+∞的一切值()0,u ⇔+∞⊆的值域，

()

24120,a a a ∴∆=-≥⇔∈-∞+∞U 。

（3）()f x 在]1,(-∞内为增函数223u x ax ⇔=-+在]1,(-∞内递减且恒正，