24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言

提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：

⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
• 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC
老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要 相互转化,形成整体,才能运用自如.
D
⌒ ⌒ AD=BD.
Ｃ
Ｏ
Ａ M Ｂ
Ｄ

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
2.画AB的中点C；
B
A

C
Hale Waihona Puke 3.过点C画AB的垂线 MN，交AB于点D； ∴点D就平分AB。
M
讨 论
分别作线段AC、BC的中垂线，与 AB 分别交于点E、F。则E、F分别是 AD、 BD 的中点吗？
E
N D
F B
不是
A

C
M
变式.你能找到原来车轮的圆心吗?
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
推论：

由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
你知道赵州桥吗？
它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的 中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？