COMPLEX工程函数
C++基础系列——运算符重载
C++基础系列——运算符重载1. 运算符重载简介所谓重载，就是赋予新的含义。
函数重载（Function Overloading）可以让⼀个函数名有多种功能，在不同情况下进⾏不同的操作。
同样运算符重载（Operator Overloading）可以让同⼀个运算符可以有不同的功能。
可以对 int、float、string 等不同类型数据进⾏操作<< 既是位移运算符，⼜可以配合 cout 向控制台输出数据也可以⾃定义运算符重载：class Complex{public:Complex();Complex(double real, double imag);Complex operator+(const Complex &a) const;void display() const;private:double m_real;double m_imag;};// ...// 实现运算符重载Complex Complex::operator+(const Complex &A) const{Complex B;B.m_real = this->m_real + A.m_real;B.m_imag = this -> m_imag + A.m_imag;return B;// return Complex(this->m_real + A.m_real, this->m_imag + A.m_imag);}int main(){Complex c1(4.3, 5.8);Complex c2(2.7, 3.7);Complex c3;c3 = c1 + c2; // 运算符重载c3.display();return 0;}运算结果7 + 9.5i运算符重载其实就是定义⼀个函数，在函数体内实现想要的功能，当⽤到该运算符时，编译器会⾃动调⽤这个函数，它本质上是函数重载。
复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
CPK：Complex Process Capability index 的缩写,是现代企业用于表示制程能力的指标
CPK：Complex Process Capability index 的缩写，是现代企业用于表示制程能力的指标。
制程能力是过程性能的允许最大变化范围与过程的正常偏差的比值。
制程能力研究在於确认这些特性符合规格的程度，以保证制程成品不符规格的不良率在要求的水准之上，作为制程持续改善的依据。
当我们的产品通过了GageR&R的测试之后，我们即可开始Cpk值的测试。
CPK值越大表示品质越佳。
CPK=min（（X-LSL/3s），（USL-X/3s））Cpk——过程能力指数CPK= Min[ (USL- Mu)/3s, (Mu - LSL)/3s]Cpk应用讲议1. Cpk的中文定义为：制程能力指数，是某个工程或制程水准的量化反应，也是工程评估的一类指标。
2. 同Cpk息息相关的两个参数：Ca , Cp.Ca: 制程准确度。
Cp: 制程精密度。
3. Cpk, Ca, Cp三者的关系：Cpk = Cp * ( 1 - ｜Ca｜)，Cpk是Ca及Cp两者的中和反应，Ca反应的是位置关系(集中趋势)，Cp反应的是散布关系(离散趋势)4. 当选择制程站别Cpk来作管控时，应以成本做考量的首要因素，还有是其品质特性对后制程的影响度。
5. 计算取样数据至少应有20~25组数据，方具有一定代表性。
6. 计算Cpk除收集取样数据外，还应知晓该品质特性的规格上下限(USL，LSL)，才可顺利计算其值。
7. 首先可用Excel的―STDEV‖函数自动计算所取样数据的标准差(σ)，再计算出规格公差(T)，及规格中心值(u). 规格公差＝规格上限－规格下限；规格中心值＝（规格上限+规格下限）/2；8. 依据公式：Ca=(X-U)/(T/2) ，计算出制程准确度：Ca值9. 依据公式：Cp =T/6 ，计算出制程精密度：Cp值10. 依据公式：Cpk=Cp(1-|Ca|) ，计算出制程能力指数：Cpk值11. Cpk的评级标准：（可据此标准对计算出之制程能力指数做相应对策）A++级Cpk≥2.0 特优可考虑成本的降低A+ 级2.0 ＞Cpk ≥ 1.67 优应当保持之A 级1.67 ＞Cpk ≥ 1.33 良能力良好，状态稳定，但应尽力提升为A＋级B 级1.33 ＞Cpk ≥ 1.0 一般状态一般，制程因素稍有变异即有产生不良的危险，应利用各种资源及方法将其提升为A级C 级1.0 ＞Cpk ≥ 0.67 差制程不良较多，必须提升其能力D 级0.67 ＞Cpk 不可接受其能力太差，应考虑重新整改设计制程。
使用函数计算两个复数之积c语言
标题：使用C语言计算两个复数之积的函数一、概述复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。
在实际工程项目中，我们经常需要进行复数运算，特别是计算两个复数的乘积。
本文将介绍如何使用C语言编写函数来计算两个复数的乘积。
二、复数的表示1. 复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. C语言中的复数表示在C语言中，通常使用结构体来表示复数。
一个典型的复数结构体可以定义如下：```ctypedef struct {double real; // 实部double imag; // 虚部} Complex;```三、计算两个复数的乘积计算两个复数的乘积可以分为两个步骤：实部相乘减去虚部相乘得到新的实部，实部相乘再加上虚部相乘得到新的虚部。
具体的计算过程如下：```cComplex multiply(Complex c1, Complex c2) {Complex result;result.real = c1.real * c2.real - c1.imag * c2.imag; // 新的实部 result.imag = c1.real * c2.imag + c1.imag * c2.real; // 新的虚部return result;}```四、示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上面定义的multiply函数来计算两个复数的乘积。
```c#include <stdio.h>int m本人n() {Complex c1 = {3.0, 4.0}; // 3+4iComplex c2 = {5.0, 6.0}; // 5+6iComplex result = multiply(c1, c2);printf("The product of f+fi and f+fi is f+fi\n", c1.real, c1.imag, c2.real, c2.imag, result.real, result.imag);return 0;}```五、总结本文介绍了如何使用C语言编写函数来计算两个复数的乘积。
机械加工过程中cpk的选取
机械加工过程中cpk的选取机械加工过程中cpk的选取Complex Process Capability index 的缩写，是现代企业用于表示制程能力的指标，表明了该工序保证目标精度的能力。
Cpk针对的是每个加工尺寸和公差，一个零件可能有几个尺寸有Cpk要求。
针对一个尺寸和公差，通常需要连续加工至少30个以上零件来取样进行计算。
第一步需要计算所有样本数据的标准差（EXCEL有专门的函数：STDEV），用公差带的宽度除以6倍的标准差即为Cp，即精度能力指数。
然后计算样本数据相对于尺寸中值的偏离程度Ca，即（数据平均值-尺寸中值）/公差带宽度的一半。
（名义尺寸100、上差0.2、下差-0.4的情况下，尺寸中值即99.9，公差带宽度0.6）。
用Cp 乘以1-Ca的绝对值就是Cpk。
制程能力是过程性能的允许最大变化范围与过程的正常偏差的比值。
制程能力研究在於确认这些特性符合规格的程度，以保证制程成品不符规格的不良率在要求的水准之上，作为制程持续改善的依据。
当我们的产品通过了GageR&R的测试之后，我们即可开始Cpk 值的测试。
CPK值越大表示品质越佳。
Cpk——过程能力指数CPK= Min[ (USL- Mu)/3s, (Mu - LSL)/3s]1. Cpk的中文定义为：制程能力指数，是某个工程或制程水准的量化反应，也是工程评估的一类指标。
2. 同Cpk息息相关的两个参数：Ca , Cp.Ca: 制程准确度。
Cp: 制程精密度。
3. Cpk, Ca, Cp三者的关系：Cpk = Cp * ( 1 - ｜Ca｜)，Cpk是Ca及Cp两者的中和反应，Ca 反应的是位置关系(集中趋势)，Cp反应的是散布关系(离散趋势)4. 当选择制程站别Cpk来作管控时，应以成本做考量的首要因素，还有是其品质特性对后制程的影响度。
5. 计算取样数据至少应有20~25组数据，方具有一定代表性。
6. 计算Cpk除收集取样数据外，还应知晓该品质特性的规格上下限(USL，LSL)，才可顺利计算其值。
基于“翻转课堂”的工程复变函数与积分变换课程的教学探索
心科教论坛科技风2021年2月DOI：10.19392//cnki.1671-7341.202106015基于“翻转课堂的工程复变函数与积分变换课程的教学探索李烁*张俊锋杭州电子科技大学自动化学院浙江杭州310018摘要:基于《工程复变函数与积分变换》的教学现状和特点，借鉴“翻转课堂”教学模式的优势，结合控制类学生的专业知识体系，本文拟研究基于“翻转课堂”的《工程复变函数与积分变换》课程的教学探索，包括如何改革教学目标、教学內容、教学方式、考核模式以及构建智慧教学体系，以调动学生学习的主观能动性,进而提高人才培养的质量。
关键词:翻转课堂；工程复变函数与积分变换;课程设计Teaching research on engineering functions of complex variableand integral transformation/course baser on''Uipped classroom"Lo Shuo*Zhang JunfengSchool of Automation，Hangzhou Dianzi University ZhejiangHangzhou310018 Abstract:Based on the teaching status and characteristics of“engineering functions of complex variable and inteeral transformc-tions”，drawing on the advantages of"flipped classroom"teaching mode，combined with the professional knowledge system of controf students，this paper intends ta study the teaching reform of“engineering functions of complex variable and inteeral transformations，based on"flipped classroom"，which includes how te reform the teaching objectives，teaching contents，teaching methods and assessment modes as well as bui the intellioent teaching system.Ot can mobilize the subjective initiative of studentsf learning se as te inipove the quality of personnel training.Key words：flipped Cassroom；engineering functions of complex veriable and intearal transformations;curriculum design一、“翻转课堂”教育理念概述“翻转课堂”是课前学生以多种方式进行自主学习，课堂上师生之间对知识点进行交流互动，从而掌握所需知识的一种混合学习的教学模式。
chz双曲函数
chz双曲函数
"chz双曲函数" 指的是复双曲正弦函数（complex hyperbolic sine function）。
在数学和物理中，双曲函数是类似于三角函数的双曲线函数。
复双曲正弦函数通常表示为 "chz"，其中 "z" 是一个复数。
以下是三个与复双曲正弦函数相关的例子：
1.定义：复双曲正弦函数定义为"chz = sinh(z) / cosh(z)"，其中"sinh(z)"
和 "cosh(z)" 分别是双曲正弦和双曲余弦函数。
2.性质：复双曲正弦函数具有类似于实数范围内正弦函数的周期性和对称性。
例如，它在复平面上具有轴对称性和中心对称性。
3.应用：复双曲正弦函数在数学物理、工程和科学计算等领域有广泛的应用。
例如，它可以用于描述电磁波、波动方程和量子力学中的某些现象。
总结来说，"chz双曲函数" 指的是复双曲正弦函数，它是数学和物理学中常用的函数之一。
它具有类似于实数范围内正弦函数的性质，并在多个领域中有实际应用。
《复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲《复变函数与积分变换》教学大纲Complex Analysis and Integral Transforms课程编号:070A1040 试用专业:理工科各专业学时:39—42 学分: 2 一、内容简介：复变函数与积分变换是工科院校机电工程类各专业的基础课程，本课程主要讨论复变函数和积分变换。
内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，共形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。
二、本课程的目的和任务本课程为工科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。
要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作出必要的数学准备。
三、本课程与其他课程的关系学生必须首先学习过《高等数学》课程，才能进入本课程的学习。
本课程的后续课程是专业课或专业基础课，如《线性系统理论》及信号处理分析类课程，以及凡是用到拉普拉斯变换的各类工科课程。
四、本课程的基本要求由于《复分析》的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。
在工科各类专业中开设复变函数与积分变换，是为适应诸多专业的应用的。
如自动化或自动控制专业，要应用拉普拉斯变换于线性系统的理论分析，又如凡涉及信号处理的各类专业，要用复函的方法分析传递函数理论，计算机专业中各类网络中的信息压缩理论，其中的主要方法富氏变换压缩、小波数据压缩及分形压缩，前二者都必须以复变函数为基础，同样的情况又出现在各类信号处理中的时--频域分析方法中。
而对电磁类专业，力学及材料力学，热传导学中的平面问题的分析，也是主要用复变函数理论。
因此学生必须熟练掌握（1）复变解析函数理论（2）复变函数的积分理论及留数理论（3）拉氏变换与富氏变换理论。
学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。
学生还应理解调和函数理论。
学生还应初步了解共形映射的理论。
五、课程内容及学时分配●理论教学内容第一章复数与复变函数(4学时)熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。
hypergeom函数
hypergeom函数超几何函数（Hypergeometric function）是一类特殊函数，描述了超几何方程（hypergeometric equation）的解。
它在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
超几何函数的定义和性质相对复杂，需要一定的数学基础才能充分理解。
首先，我们来介绍超几何方程。
超几何方程是二阶线性常微分方程的一种特殊形式。
它的一般形式可以写作：x(1-x)y'' + [c - (a+b+1)x]y' - aby = 0其中，a、b和c都是实数或复数。
超几何方程的解可以用超几何函数来表示。
超几何函数有两种常见的形式：广义超几何函数（generalized hypergeometric function）和合流超几何函数（confluent hypergeometric function）。
广义超几何函数F使方程的解形式为：F(a,b,c,x)=1+(a*b/c)x+(a*(a+1)*b*(b+1)/c*(c+1))x^2/2!+...合流超几何函数U是方程的解形式为：U(a,c,x)=Γ(c)*F(a;a-c+1,c,x)其中，Γ(x)是阶乘的推广形式，伽玛函数（Gamma function）。
广义超几何函数具有许多重要的性质。
例如，它是可积的、解析的和全纯的。
它也可以通过级数展开来表示，并且它的广义导数可以通过一个简单的递推公式计算。
这些性质使得广义超几何函数成为一种非常有用的工具，被广泛应用于数学和物理学的许多领域。
超几何函数在物理学中的应用特别突出。
它们在量子力学、统计物理学、电动力学、传热学和流体力学等方面都发挥了重要的作用。
例如，在量子力学中，超几何函数可以用来解决薛定谔方程（Schrödinger equation）中的一些模型问题。
在统计物理学中，超几何函数可以用来描述玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）中的碰撞过程。
Excel公式和函数 其他函数
Excel 公式和函数 其他函数Excel 提供的工程函数除了可以用于以上的进制转换和复数运算外，还可以在工程制图（如数值单位的转换）以及检测核数单元格数据等。
下面对这些专业性较强的函数进行具体的介绍说明。
1．COMPLEX 函数该函数将实系数及虚系数转换为x+yi 或x+yj 形式的复数，其语法为：COMPLEX(real_nu m,i_num,suffix)。
其中，在该函数中，主要包含3个参数，功能如下：● Real_num 复数的实部。
● I_num 复数的虚部。
●Suffix 复数中虚部的后缀，如果省略，则认为它为i 。
例如，已知一组数据的实部、虚部及虚部后缀，试求该数的复数。
在D2单元格中，输入“=COMPLEX(A2,B2,C2)”公式。
即可求出该复数，效果如图15-19所示。
运用相同方法分别求出务复数。
图15-19 复数表表现形式然后，复制此公式至该列的其他单元格中，即可得如图15-20所不。
图15-49 复制公式注 意 所有复数函数均接受i 和j 作为后缀，但不接受I 和J 。
使用大写将导致错误值#V ALUE!。
使用两个或多个复数的函数要求所有复数的后缀一致。
在运用该函数的过程中，需注意以下几点内容：● 如果参数real_num 为非数值型，则COMPLEX 函数返回错误值#V ALUE!。
● 如果参数i_num 为非数值型，则COMPLEX 函数返回错误值#V ALUE!。
●如果后缀不是i 或j ，函数COMPLEX 返回错误值#V ALUE!。
2．CONVERT 函数该函数将数字从一个度量系统转换到另一个度量系统中。
例如，CONVERT 函数可以将一个以“英里”为单位的距离表转换成一个以“公里”为单位的距离表。
语法：CONVERT(number,from_unit,to_unit)结果复制公式● Number 以from_units 为单位的需要进行转换的数值。
● From_unit 数值number 的单位。
以3为实部4为虚部,python复数的表达形式
以3为实部4为虚部,python复数的表达形式“以3为实部4为虚部，python复数的表达形式”是一个关于Python 中复数的表示的问题。
在接下来的文章中，我将逐步解释如何利用Python 中的数学库来表示和操作这样的复数。
首先，我们需要了解什么是复数。
复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，即i平方等于-1。
在这个问题中，给出了实部为3，虚部为4的复数。
Python语言中提供了一个内置的数学库，名为cmath，可以用于处理复数。
所以，我们首先需要导入这个库。
import cmath接下来，我们将使用cmath库的函数来表示给定的复数。
在cmath库中，我们可以使用complex函数来表示复数。
complex函数接受两个参数，第一个参数是实部，第二个参数是虚部。
使用这个函数，我们可以将给定的复数表示为：complex_number = complex(3, 4)这样，我们就创建了一个名为complex_number的复数对象，其中实部为3，虚部为4。
接下来，我们可以使用cmath库提供的函数来操作这个复数对象。
例如，我们可以使用cmath库中的real函数来获取复数的实部，使用imag函数来获取虚部。
real_part = cmath.real(complex_number)imaginary_part = cmath.imag(complex_number)这样，我们可以分别将复数的实部和虚部存储在变量real_part和imaginary_part中。
除此之外，我们还可以使用cmath库提供的其他函数来进行复数的计算。
例如，我们可以使用cmath库中的conjugate函数来计算复数的共轭复数。
conjugate_number = cmath.conjugate(complex_number)通过这个函数，我们可以得到复数的共轭复数，并将其存储在变量conjugate_number中。
Thecomplexexponentialfunction：复指数函数
The complex exponential function1CommentYou will not need this material in Math231,but you will need it in later course in mathematics, physics and electrical engineering.2Why a complex exponential function should existRecall that by definition,exp(r)=limn→∞ 1+rnnwhere r is any real number.It will be shown in Math232thatexp(r)=limn→∞1+r+r22!+r33!+···+r nn!.(We could do this now with the binomial theorem,but this topic is not a part of this course.) In either case it is the case that we could consider r to be a complex number and have an infinite sequence of complex numbers.In the case where r=it where t is a real number and i2=−1we would getexp(it)=limn→∞1−t22!+t44!+···+(−1)nt2n(2n)!+i limn→∞t−t33!+t55!+···+(−1)nt2n−1(2n−1)!=f(t)+ig(t).The existence of the two limits,which I have called f(t)and g(t)is easily established via the theorem on limits of monotone functions,and we can show thatf(0)=1g(0)=0f (t)=−g(t)g (t)=f(t)all of which allows us to conclude that f(t)=cos(t)and g(t)=sin(t),as pretty remarkable result:Theorem1For each real number t,exp(it):=limn→∞ 1+itnn=cos(t)+i sin(t).For example,exp(2πi)=1.It follows from the addition formulae for sine and cosine that for any two real numbers t and s thatexp(it+is)=cos(s+t)+i sin(s+t)=(cos(t)cos(s)−sin(t)sin(s))+i(sin(t)cos(s)+sin(s)cos(t))=(cos(t)+i sin(t))×(cos(s)+i sin(s))=exp(it)exp(is)so the exponential function property is still valid.In fact,for any complex number a+bi,we may defineexp(a+bi)=exp(a)exp(bi)and we get an exponential function defined on all complex numbers.By this we mean that exp(x)exp(y)=exp(x+y)for x and y complex numbers,not just real numbers.3Applications to trigonometric identitiesWe have for any real numbers A and B:(cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B))+i(sin(A)cos(B)+sin(B)cos(A)) =(cos(A)+i sin(A))(cos(B)+i sin(B))=exp(iA)exp(iB)=exp((A+B)i)=(cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B))+i(sin(A)cos(B)+sin(B)cos(A))=cos(A+B)+i sin(A+B)so the identity exp(iA)exp(iB)=exp(i(A+B)encapsulates both the sine and cosine addition formulae.In fact,it follows by induction that(cos(A)+i sin(A))N=cos(NA)+i sin(NA)for any real number A and any integer(even negative integers!)N.For example,if we want tofind the triple angle formulae for sine and cosine:cos(3A)+i sin(3A)=(cos(A)+i sin(A))3=cos3(A)+3i sin(A)cos2(A)−3sin2(A)cos(A)−i sin3(A)socos(3A)=cos3(A)−3sin2(A)cos(A)sin(3A)=3sin(A)cos2(A)−sin3(A)Observe that we also havecos(A)=exp(iA)+exp(−iA)2sin(A)=exp(iA)−exp(−iA)2iWe can then see thatcos(A)cos(B)=14(exp(iA)+exp(−iA))(exp(iB)+exp(−iB))=14(exp(i(A+B))+exp(−i(A+B))+exp(i(B−A))+exp(−i(A−B)))=12(cos(A+B)+cos(A−B)),sin(A)sin(B)=−14(exp(iA)−exp(−iA))(exp(iB)−exp(−iB))=−14(exp(i(A+B))+exp(−i(A+B))−[exp(i(B−A))+exp(−i(A−B))])=12(cos(A−B)−cos(A+B)),In particular,sin x2 sin(kx)=12 cos kx−x2 −cos [k+1]x−x2 (1) Similarly,sin(A)cos(B)=14i(exp(iA)−exp(−iA))(exp(iB)+exp(−iB))=14i(exp(i(A+B))−exp(−i(A+B))+[exp(i(A−B))−exp(−i(A−B))])=12(sin(A+B)+sin(A−B))=12(sin(A+B)−sin(B−A))sin x2 cos(kx)=12 sin (k+1)x−x2 −sin kx−x2 (2)Another application,a bit fancier,is the following.Suppose that cos(A)=1.Then N−1k=0(cos(kx)+i sin(kx))=N−1k=0(cos(x)+i sin(x))k=1−(cos(x)+i sin(x))N1−(cos(x)+i sin(x))=1−cos(Nx)−i sin(Nx))1−cos(x)−i sin(x)=1−cos(Nx)−i sin(Nx))1−cos(x)−i sin(x)×1−cos(x)+i sin(x)1−cos(x)+i sin(x)=(1−exp(iNx))(1−exp(−ix))(1−cos(x))2+sin2(x)=1−exp(iNx)−exp(−ix)+exp(i(N−1)x)2(1−cos(x))soN −1 k =0cos(kx )=1−cos(Nx )−cos(x )+cos((N −1)x )2(1−cos(x ))=12−cos(x )−cos((N −1)x )4sin 2(x/2)N −1 k =0sin(kx )=−sin(Nx )+sin(x )+sin((N −1)x )2(1−cos(x ))=−sin(Nx )+sin(x )+sin((N −1)x )4sin 2(x/2)Note that these identities could also be derived from (1)and (2).4The relation to the geometric properties of complexnumbersRecall that we may interpret a +bi as a point in the place corresponding to the point (a,b ).From the Pythagorean Theorem and the definition of absolute value as the distance from a number to 0we see that|a +bi |2=a 2+b 2=(a +bi )(a −bi )so |a +bi |=√a 2+b 2=|a −bi |.Recall that the number a −bi is called the complex conjugate of a −bi .If |a +bi |=0thena +bi =|a +bi | a |a +bi |+ib |a +bi | =|a +bi |(cos(θ)+i sin(θ))where θis an angle measured (in radians,please)from the ray joining 0to 1to the ray joining 0and a +bi .We usually choose 0≤θ<2π,but we don’t have to.Once you choose θyou can replace it by θ+2nπwhere n is any integer.Now that we have the complex exponential function,we see that we can write any non-zero complex number a +bi as exp(c +iθ)where θis as above and c =ln(|a +bi |).For example,1+i =√2 1√2+i 1√2=exp ln(√2)+i π4 .5DerivativesIf c is any complex number it is easy to check thatd dxexp(cx )=c exp(cx )by proceeding in two steps.First,write c =a +bi so exp(cx )=exp(ax )exp(ibx ).If we can differentiate the second term then we can apply the product rule.d dx exp(ibx )=d dx(cos(bx )+i sin(bx ))=−b sin(bx )+ib cos(bx )=ib (i sin(bx )+cos(bx ))=ib exp(bx ).Therefored dx exp(cx)=ddx(exp(ax)exp(ibx))=a exp(ax)exp(ibx)+exp(ax)(ib exp(ibx)=(a+bi)exp(ax)exp(ibx)=c exp(cx)For example,if f(x)=exp((2+3i)x)then f (x)=(2+3i)exp((2+3i)x).。
第2章 18个工程函数
202第11章 工程函数在EXCEL 中，工程函数的主要功能处理工程中遇到的数学问题，例如，进制转换、复数运算、误差函数计算等。
在本章中，将会详细讲解它们各自的功能、表达式和参数。
2.1 BESSELI 、BESSELJ 、BESSELK 和BESSELY 函数：返回修正的Bessel 函数值BESSELI 函数的功能是返回已修改的 Bessel 函数()n I x ，它与用纯虚数参数运算时的 Bessel 函数值相等；BESSELJ 函数的功能是返回 Bessel 函数()n J x ；BESSELK 函数的功能是返回已修改的 Bessel 函()n K x ；BESSELY 的功能是返回 Bessel 函数()n Y x 。
BESSELI 、BESSELJ 、BESSELK 和BESSELY 函数的表达式分别为：BESSELI(x,n)BESSELJ(x,n)BESSELK(x,n)BESSELY(x,n)【实际应用】求解Bessel 函数值，结果如图2.1所示。
图2.1 求解Bessel 函数值 说明：关于()n I x 、()n J x 、()n K x 和()n Y x 的函数表达式，请感兴趣的读者查阅EXCEL 的相关帮助文件。
2.2 BIN2DEC 、BIN2HEX 和BIN2OCT 函数：转换二进制数BIN2DEC 函数的功能是将二进制数转换为十进制数；BIN2HEX 函数的功能是将二进203制数转换为十六进制数；BIN2OCT 函数的功能是将二进制数转换为八进制数。
BIN2DEC 、BIN2HEX 和BIN2OCT 函数的表达式分别为：BIN2DEC(number)BIN2HEX(number,places)BIN2OCT(number,places)参数number 表示待转换的二进制数，number 的位数不能多于 10 位（二进制位），最高位为符号位，后 9 位为数字位，负数用二进制数补码表示；参数places 表示所要使用的字符数。
浅谈《复变函数》在力学专业中的应用
霪繁拶鏊鬻攀
其次分析了留数定理在计算非线性振动发 生混沌门槛值中的应用。因此，学生想 要学好力学专业中振动方面的专业课， （（复变函数》课程显然是必不可少的。 这就要求老师在《复变函数》教学过程 中，不仅要清晰地向学生讲述该学科的基 本知识，而且还应该帮助学生建立起该学 科与学生所学专业的联系，使学生破疑解 难，增强学生的学习兴趣和学习主动 性。
考虑振动方程
戈＋茚戈＋ｘ—Ｘ２＝ＢｙＣＯＳＯ）ｔ，ｃｏ＞Ｏ （８）
令
膏＝Ｙ
（９）
｛．
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（、１‘０。）７
【夕＝一Ｔ＋ｘ２＋ｅ（ｙｃｏｓｃｏｔ一６ｙ）
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Ｑ，，
ｋ》ｈ２（孚）ｌａｎｈ（譬）
Ｍ（气）２ ｎ矾忡∞（…。凇
＝．．６—３７Ｊ ｓｉｎｃｏｔ（１
其中Ｊ＝
２
ｔｔａｎｈｔ ｓｉｎ（２６０ｔ）ｄｔ
在现实生产中，有许多非线性振动问题都可用微分方程来描 述，例如宽槽双振头电磁振动给料机的振动、实现电子闭环控制 的电磁振动系统的振动等。为了研究非线性系统丰富的动力学行 为，通常需要利用一些方法（平均法、ＫＢＭ法、多尺度法等）求解
万方数据
该模型，得到动力系统的平均方程。如果平均方程过于复 杂，就需要对其进一步化简。
圭ｆ（口２一口４＋口５一口７）】可’＝０
（６） 其中：
８ａ＝３ａ１＋口３＋％＋３ａ８ ８ｂ＝口２＋３ａ４—３ａ５一口７
由于式（６）中只有ｒ／２ｑ是共振项，
所以：ｇ＝４（ａ＋ｉｂ）ｑ２行。代入式（３）可得与系统拓扑等 价的系统方程为
力＝ｉｑ＋４ｃ（ａ＋ｊ６）７７２历
从以上的分析过程与文献【４１分析过程比较，可以看出前者
２００２：１ ２ ６ ９
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
工程数学复变函数(第四版)第1讲
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
i 2π 3 −i 2π 3
1有 个 ,1, e 三 值
3 2π i 3 3
,e
这 因 1 =1 是 为 i 2π −i 2π e = e =1 及 e = e =1 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
θ +2kπ
n
= r (cos
1 n
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
2 2
9
§2 复数的几何表示 1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实 数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标 系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一 对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的 坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用 表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复 数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几 何语言和方法研究复变函数问题.
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第一章 复数与复变函数 §1 复数及代数运算
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1. 复数的概念 在实数范围, 方程 x2=−1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =−1 从而i是方程x2=−1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
复变函数与积分变换教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。
另外，通过教学使学生了解复变函数与积分变换的一些基本知识，逐步培养利用这些知识解决实际问题的能力。
第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求解析函数、复积分、留数的计算能力。
第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。
第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的复变函数与积分变换知识去分析和解决一些实际问题的能力。
三、教学学时分配《复变函数与积分变换》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章复数与复变函数（7学时）（一）教学要求1．理解复数的概念，掌握复数的表示方法；2．掌握复数的四则运算、乘方与开方运算；3．了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念，了解无穷远点的概念；4．掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性。
（二）教学重点与难点教学重点：复数的表示方法,复数的四则运算、乘方与开方运算，区域，复变函数的概念。
教学难点：复数的乘方与开方运算，区域，复变函数的极限与连续性。
（三）教学内容第一节复数1．复数的概念2．共轭复数及复数的四则运算第二节复平面及复数的三角表达式1．复平面2．复数的模、辐角及三角表达式3．复数模的三角不等式4．利用复数的三角表达式作乘除法5．复数的乘方和开方第三节平面点集1．邻域与开集2．区域、简单曲线3．单连通区域与多连通区域4．无穷远点第四节复变函数1．复变函数的概念2．复变函数的极限和连续性本章习题要点：1．复数的模和辐角；2．复数的三角表达式；3．利用复数的三角表达式作乘除法、乘方和开方运算。