[经济学]第七章-离散控制系统知识讲解
第7章线性离散控制系统的分析
分别称为采样频率及采样角频率，其中T代表采 样周期。
连续性时间函数经采样开关采样后变成重复 周期等于采样周期的时间序列。该时间序列通 道在连续型时间函数上打*号来表示，如图7-2 所示。这种时间序列属于离散型时间函数。
在图7-1中，两个采样开关的动作一般是同步 的，因此，图7-l所示离散系统方块图可等效地简 化成图7-3。
Eh
(s)
k 0
e(k T )e kTs
1 eTs s
Eh (s)
1 eTs s
E * (s)
Gh (s)
Eh (s) E * (s)
1 eTs s
零阶保持器频率特性（如图7-11）
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
sin( T (T /
/ 2) 2)
e
jT
/
2
图7-11 零阶保持器频率特性
零阶保持器具有如下特性
通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信 号的傅氏变换：
E *
(
j )
1 T
E[
n
j(
n s
)]
上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散 信号频谱和连续信号频谱之间的关系。
一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽 是有限的，即上限频率为有限值 (见图7-8（a）)。
图7-5：数字控制系统结构图
在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的 被控信号y(t)或c(t) (模拟量)受控于具有离散时间函 数形式的控制信号u* (t)(数字量)。既然模拟量需要 反应数字量，这中间便需要有数-模转换环节。连 续的被控制信号y(t)或c(t)经反馈环节反馈到输入端 与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏 差信号e* (t) 。
自动控制原理第7章线性离散控制系统
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
离散控制系统的基本原理与应用
离散控制系统的基本原理与应用离散控制系统是一种用于控制连续或离散过程的系统。
它在许多工程领域中得到广泛应用，例如自动化工业生产、交通运输、机械制造等。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和应用，探讨其在工程实践中的重要性和实际应用。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理包括输入、输出、控制器和执行器等几个关键组成部分。
1. 输入：离散控制系统的输入是指传感器从被控制对象中获取的信息。
传感器将物理量转化为电信号，并通过接口传递给控制器。
2. 控制器：控制器是系统的智能核心，它根据输入信息和事先设定的控制策略来执行控制任务。
常见的控制器包括PID控制器、PLC等。
3. 输出：离散控制系统的输出是指控制器根据输入信息计算得出的控制信号，它会通过执行器对被控制对象进行调节。
4. 执行器：执行器根据控制信号对被控制对象进行操作，使其达到预定的控制目标。
例如，电机、阀门、气缸等都可以作为执行器。
离散控制系统基于这些基本原理，通过对输入信息的处理计算和输出信号的控制，实现对被控制对象的准确控制。
二、离散控制系统的应用离散控制系统在各个领域中都有重要应用，下面我们将针对几个常见的应用示例进行具体介绍。
1. 工业自动化生产离散控制系统在工业自动化生产中起到至关重要的作用。
通过控制器对生产线上的各个设备进行控制和协调，可以实现生产过程的自动化。
例如，在装配线上，离散控制系统可以控制机械臂的运动，完成各种零部件的组装任务。
2. 交通运输系统离散控制系统在交通运输系统中也有广泛应用。
例如，信号灯控制系统可以通过离散控制实现对道路交通的调度和管控，提高交通效率和安全性。
另外，智能交通系统也是离散控制系统的重要应用领域，通过对车辆流量、道路状态等信息的感知和控制，实现对交通系统的智能管理。
3. 机械制造离散控制系统在机械制造中的应用非常广泛。
例如，数控机床可以通过离散控制系统对其进行精密调控，实现高精度加工。
另外，机器人也是离散控制系统在机械制造中的重要应用领域，通过对机器人的运动、姿态等参数进行控制，实现各种复杂的操作任务。
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
离散控制系统的基本原理和概念
离散控制系统的基本原理和概念离散控制系统是指通过离散的方式对连续的物理过程进行控制的系统。
它通过在不连续的时间间隔内对物理过程的状态进行采样和决策，以实现对系统行为的调节和优化。
离散控制系统在工业生产、交通运输、电力系统等领域都有重要的应用。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和概念。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态采样：离散控制系统通过在特定的时间间隔内对系统的状态进行采样，获取系统当前的信息。
采样可以通过传感器或者测量设备实现，常用的采样方法有周期性采样和事件驱动采样。
2. 状态量量化：离散控制系统通过量化采样得到的状态量，将连续的物理量转化为离散的数字信号。
量化可以通过模拟-数字转换器（ADC）或者编码器来实现，将模拟信号或者连续的物理量转化为数字信号或者离散的状态。
3. 控制决策：离散控制系统通过对采样得到的状态量进行处理和分析，根据预先设定的控制策略和算法，决策出下一时刻的系统控制指令。
常见的控制策略有比例控制、积分控制、微分控制等。
4. 控制执行：离散控制系统根据决策出的控制指令，通过执行机构对系统进行控制。
执行机构可以是电机、执行器、调节器等，它们根据控制指令调节系统的输入、输出或者参数，使系统达到预期的控制目标。
5. 反馈调节：离散控制系统通常配备反馈机制，通过对系统输出或者状态的反馈信息进行采样和分析，实时调节控制策略和参数。
反馈控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，使系统能够自动适应外部扰动和变化。
二、离散控制系统的概念1. 离散事件：离散控制系统所控制的物理过程通常是由一系列离散事件组成的。
离散事件可以是系统状态变化、信号发生改变、控制指令变化等。
2. 采样周期：采样周期是离散控制系统进行状态采样和控制决策的时间间隔。
采样周期的选择需要考虑到系统的动态特性、采样准确性和计算开销等因素。
3. 控制周期：控制周期是离散控制系统执行控制指令的时间间隔，它决定了系统对外部扰动和变化的响应速度。
第7章 离散控制系统
*
2019/3/29
k
X [ j (ω kωs )]
(7-8)
16
式中X(jω)为连续信号x(t)的傅氏变换，|X(jω)| 即为x(t)的频谱，即
1 * X ( j ) T
k
X [ j ( ks )]
(7-9)
式(7-9)中离散信号x*(t)的频谱|X*(jω)|是以 采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)| 叠加而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限 多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与k=0对应的是 采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的1/T，如图 7.7(b)所示。 若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立 频谱构成，而是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不 相似的连续频谱，如图7.7(c)所示。
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/3/29
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点：
能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
2019/3/29 17
k 1
X ( j )
k 0
k 1
2s
s
s 2
第七章 离散控制系统共66页文档
自 动
信号恢复就是将离散信号恢复为连续信号，它
控 制
是通过保持器来实现的。
理 论
保持器通过在采样间隔处插值来得到连续信号。
根据外推原理的不同可分为零阶保持器和一阶保持
器。
a)零阶保持器
零阶保持器是采样恒值外推规律的保持器。它
首页 把前一个采样时刻nT的采样值e(nT)恒值地保持
上页 下页
到下一个采样时刻(n+1)T
➢ 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，但对序列u*(t)
自 和零阶保持器的拉氏变换表明：在离散系统中沿用传统的拉氏
动 变换为分析工具在运算中会出现s的超越函数，带来不便，而
控 制
采用z变换则可避免这一问题。Z变换是分析离散系统的常用
理 方法，是由拉氏变换演变而来。
论
一、z变换的定义
L[x*(t)] x(kT )ekTsX*(s)
末页
它的输入信号和输出信号关系如图所示。
结束
7
零阶保持器的传
自 动
递函数为：
控
制 理 论
1 eTs Gh(s) s
b)一阶保持器
一阶保持器是按照线性规律外推的保持器，其输出信 号如图所示。
首页 上页 下页 末页 结束
8
四、数字控制的优点：
自 1，占用空间小；
动
控 2，成本低；
制
理 3，灵敏、抗干扰性强；
动
控 制 理
fs
1 T
采样频率
s
2
fs
2
T
采样角频率
论
➢ 由于采样持续时间 远小于采样周期T，故可以认
为 0 ，理想采样器。
➢ 理想采开关的输出 f * (t )是一脉冲系列，用数学公式
第7章 离散系统控制理论 ppt课件
77..89
线性离散系统设计方法 MATLAB在离散系统分析中的应
用 21
7.3.1 Z变换的定义
离散序列{f(k)}，k=0,1,2, …的Z变换
Z{f(k)}F(z) f(k)zk k0
f*(t)f(kT)(tkT)
F(z)F*(s)|S1lnz
T
n0
F*(s) f(kT)ekTs k0
22
24
7.3.2 Z变换的基本定理
(1) 线性定理
Z[a(ft)]a(F z)
Z [f 1 ( t) f2 ( t) ] Z [f 1 ( t) ] Z [f2 ( t) ]
(2) 滞后定理
1
Z[f(tm)T ]zm[F(z) f(k)T zk] km
Z[f(tm T)]zm F(z) f(t)0,t0
y (4 ) 2 y (3 ) 2 4 1 17
…...
19
7.2.4 差分方程的经典解法 1.奇次解 2.特解 3.全解
20
第7章 离散系统控制理论
7.1 信号的采样与保持
7.2 差分方程
7.3 Z 变换
7.4 Z传递函数
7.5 线性离散系统的稳定性分析
7.6 线性离散系统的暂态分析
7.7 线性离散系统稳态性能分析
Lf(t)ejkst
Tk
F*(s)T1kF(sjks)
8
3、采样定理
采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系
F * (j) T 1 F (j Fj*2 (js ) )T 1 T1F ( k j Fj (js ) T 1 jkF ( sj ) )T1F(jjs)
9
从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号
离散控制系统的基本原理和应用
离散控制系统的基本原理和应用离散控制系统是一种运用数字技术进行控制的系统，通过采样和量化输入信号，然后进行逻辑判断和计算，最后输出控制信号来实现对被控对象的精确控制。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和应用。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统是通过离散时间和离散信号来进行控制的。
它的基本原理可以分为以下几个方面：1. 采样与量化：离散控制系统需要从被控对象中获取输入信号并进行离散采样，然后对采样得到的模拟信号进行量化，将其转换为数字信号。
2. 信号传输与处理：经过量化后的数字信号通过通信线路传输给控制器进行处理。
控制器对输入信号进行滤波、放大等操作，使其适合于后续的逻辑判断和计算。
3. 逻辑运算与控制算法：离散控制系统采用逻辑运算和控制算法来对输入信号进行处理和判断。
逻辑运算可以包括比较、与、或、非等操作，而控制算法可以是PID控制、模糊控制、遗传算法等。
4. 输出控制信号：根据逻辑运算和控制算法的结果，控制器输出相应的控制信号。
这些控制信号通过数字-模拟转换器或数字输出模块发送给被控对象，实现对被控对象的控制。
二、离散控制系统的应用离散控制系统广泛应用于工业自动化、交通运输、航空航天等领域。
以下是几个常见的应用场景：1. 工业自动化：离散控制系统在工业自动化领域起着至关重要的作用。
它可以控制各种工业过程，如流水线生产、机器人操作、微观电子元件制造等。
离散控制系统通过对生产过程进行监控和调节，提高了生产效率和产品质量。
2. 交通信号控制：离散控制系统被广泛应用于交通信号灯的控制。
通过对交通流量的检测和分析，离散控制系统可以智能地控制交通信号的切换，优化交通流畅度，减少交通拥堵。
3. 航空航天：离散控制系统在航空航天领域的应用十分重要。
它可以控制飞机、导弹、卫星等航空航天器的飞行姿态、导航、自动驾驶等。
离散控制系统的高精度和可靠性使得航空航天器能够在复杂的环境中完成各种任务。
4. 电力系统：离散控制系统在电力系统中用于监测和控制电网的运行状态。
离散控制的基本概念和原理
离散控制的基本概念和原理离散控制是自动控制中常见的一种控制方式，它利用了离散信号来实现对系统的控制和调节。
在离散控制中，信号和变量的取值是有限离散的，而不是连续变化的。
本文将介绍离散控制的基本概念和原理。
一、离散控制的基本概念离散系统：离散控制的对象一般为离散系统。
离散系统是对离散信号进行处理的系统，它的输入、输出和状态变量的取值都是离散的。
采样：采样是将连续信号在时间上进行离散化的过程，通过周期性地在一定的时间间隔内对信号进行采样，得到离散信号。
量化：量化是将连续信号在幅度上进行离散化的过程，将连续信号的幅度划分为有限个离散值，得到离散信号。
离散化：离散化是将连续系统在时间和幅度两个维度上进行离散化的过程，通过采样和量化，将连续系统转化为离散系统。
二、离散控制的原理1. 采样控制原理离散控制系统的基本思想是通过采样信号来获得系统当前的状态，然后根据采样信号计算出控制量，并输出到执行机构，对系统进行调节。
在采样控制中，有两个重要的参数：采样周期和采样速率。
采样周期：采样周期是每次对连续信号进行采样的时间间隔，它决定了系统对变化的灵敏性。
较小的采样周期可以提高系统的响应速度，但也会增加计算量和噪声干扰。
采样速率：采样速率是指每秒钟采样信号的次数，它决定了采样系统对信号变化的能力。
较高的采样速率可以更准确地还原连续信号，但也会增加系统的复杂度和成本。
2. 量化控制原理离散信号的幅度是通过量化来表示的，量化控制原理就是通过将连续信号的幅度划分为有限个离散值，将控制量转化为离散信号。
量化精度：量化精度是指离散信号幅值划分的细度，也称为量化位数。
量化精度越高，离散信号越接近连续信号。
但高精度的量化也会增加计算和存储的复杂度。
量化误差：量化过程中会引入量化误差，即实际值与量化值之间的差距。
量化误差会对系统的控制精度产生影响，因此需要根据控制要求选择适当的量化精度。
三、离散控制的应用离散控制广泛应用于工业自动化、机器人控制、生物医学工程等领域。
线性离散控制系统讲解
由例7-1可见，在采样系统中不仅有模拟部件，还有脉冲部 件。为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉 冲序列之间要用采样器，而在脉冲序列和连续信号之间要用 保持器，以实现两种信号的转换，
(1). 信号采样和复现
在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称 为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或称 采样开关。T表示采样周期，采样持续时间τ远…小…于采样周期T， 为了简…化…系统分析，可认为τ趋于零。
……
计算机控制系统的典型原理图如图7-6所示。
图7-6的等效采样系统结构图如图7-9所示。
3. 离散控制系统的特点 --控制灵活，高抗扰能力， ...
4. 离散系统的研究方法 --采用z变换法
7.2 信号的采样与保持
为了定量研究离散系统，必须对信号的采样过程和保 持过程用数学的方法加以描述。
1. 采样过程
样系统。在各种采样控制系统中，用得最多的是误差采样控 制的闭环采样系统，其典型结构图如图7-4所示。
当采样开关和系统其余部分的传递函数都具有线性特性 时，这样的系统就称为线性采样系统。
2. 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有
连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
例…7-2…， ......
(7-1) (7-2)
假定当 t<0 时e(t)=0，因此脉冲序列从零开始。则
e*(t) e(nT) (t nT)
n0
e*(t)
(7-3)
e(t)
图7-11 采样过程
2. 采样过程的数学描述
e*(t) 信号的数学描述可分两方面讨论。
(1) 采样信号的拉氏变换
自动控制原理：第七章 离散系统理论
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
自动控制原理(离散控制系统 )
7.1 离散系统的基本概念
一、离散/采样系统 离散 采样系统 1、线性系统 、 线性连续系统 线性离散系统 采样 / 脉冲控制系统 信号为脉冲序列） （信号为脉冲序列） 数字系统 / 计算机控制系统 信号为数字序列） （信号为数字序列） 2、离散系统的特点（P311） 、离散系统的特点（ ） 采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此， 采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列 。 因此， 离散系统中必须具备的两个特殊环节。 离散系统中必须具备的两个特殊环节。 采样器（采样开关）：连续信号 采样器（采样开关）：连续信号 ）： 保持器： 保持器： 脉冲序列
二、信号恢复（保持） 信号恢复（保持） 1、信号的输出形式 直接输出数字信号； 直接输出数字信号； 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号） 输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。 2、保持器的类型 ）、零阶保持器 （1）、零阶保持器 a、工作原理 b、输出表达式： eh (nT ) = e(nT ) 输出表达式： c、传递函数： 传递函数： d、频率特性
−2
+L
其中， 为复变量，且上式为无穷级数收敛， |<1 其中，Z为复变量，且上式为无穷级数收敛，即|z-1|<1。 信号e*（ 信号e*（t）的Z变换记为： e* 变换记为：
Z [e * (t )] = Z [e(nT )] = E (z )
−1
信号E 信号E（z）的Z反变换记为： Z 反变换记为：
2）计算机控制系统中必须具备的两个重要环节 A/D转换器 转换器（ 编码（ A/D转换器（相当于采样器）：采样 ） 编码（数字量） ） D/A转换器 转换器（ D/A转换器（相当于保持器）：解码 ） 复现 4、研究方法： 研究方法： 变换方法建立离散系统数学模型。 Z 变换方法建立离散系统数学模型。
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
的拉氏变换为
1 即 | E ( j ) | | E ( j jks ) | T k
如图7-6所示
图7-6 采样信号频谱（s 2max 时）
图7-7 采样信号频谱（s 2max 时）
7.2.2 采样定理
如果被采样的连续信号 e(t ) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 香农采样定理：
e* (t ) e(kT ) (t kT )
k 0
进行拉氏变换可得 E (s) L[e (t )] e(kT )e 得到以 z 为变量的函数 E ( z )，即
* * k 0
kTs
，引入一个新变量 z ，即
e* (t )
z eTs
E ( z ) E* ( s) e( kT ) z k
E (s) a 1 1 s( s a) s s a
然后对上式逐项求取拉氏反变换，得
e(t ) 1(t ) eat
根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换，得
z z z (1 e aT ) E( z) 2 aT z 1 z e z (1 e aT ) z e aT
k 0
对于零阶保持器，在任意时刻kT 输入单位脉冲信号 (t kT ) ,其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波。如图7-9所示。
零阶保持器的频率特性为
图7-9 零阶保持器的时域特性 T
1 e jT Gh ( j ) T j sin 2 e j T 2
T
由拉氏反变换可得原时间函数： 直接对上式进行z变换，得
e(t ) Ai e pit
i 1
n
E( z)
i 1
第七章离散控制系统
第一章概述经典控制理论以传递函数为基础，分析线性定常系统的内容。
闭环系统（或反馈系统）的特征：采用负反馈，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自己有控制作用。
2 典型闭环系统的功能框图。
自动控制在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。
自动控制系统由控制器和被控对象组成，能够实现自动控制任务的系统。
被控制量在控制系统中．按规定的任务需要加以控制的物理量。
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量，也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。
反送到输入端的信号称为反馈信号。
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。
将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。
然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响，这样的系统称为开环控制系统。
开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路，即输出量对控制作用有直接影响的系统，叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨论的主要是闭环负反馈控制系统。
复合控制系统复合控制系统是一种将开环控制和闭环控制结合在一起的控制系统。
它在闭环控制的基础上，用开环方式提供一个控制输入信号或扰动输入信号的顺馈通道，用以提高系统的精度。
自动控制系统组成闭环负反馈控制系统的典型结构如图1．2所示。
组成一个自动控制系统通常包括以下基本元件1．给定元件给出与被控制量希望位相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲要与主反馈信号的量纲相同。
给定元件通常不在闭环回路中。
2．测量元件测量元件也叫传感器，用于测量被控制量，产生与被控制量有一定函数关系的信号。
自动控制原理：第7章 离散控制系统
式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强 度的理想脉冲。
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需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。
动作
随机采样:采样开关动作是随机的
本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一
些优点：
第7章 离散控制系统
令
Ts
z=e
（7-31）
则
s 1 ln z
T
将F*(s)记作F(z)，则式（7-30）可以改写为
KTs
∞
F(z) f (kT )zk
（7-32）
k 0
这样就变成了以复变量z为自变量的函数，称此函数为f*(t)的z变换。记作
F (z) = Z[f*(t)]
因为z变换只对采样点上信号起作用，所以上式也可以写为
∞
f * (t) f (kT ) (t kT )
k 0
对上式进行拉氏变换
∞
F*(s) = £ f * (t) f (kT ) ekTs
（7-30）
k 0
由上式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越函数e KT，s 因此，若仍
用拉氏变换处理采KTs 样系统的问题，就会给运算带来很多困难Ts。为此，引入新变量z，
（7-28）
2．差分方程 若方程的变量除了含有f (k)本身外，还有f (k)的各阶差分f (k)，2f (k)，…，nf (k)，则此方程称为差分方程。
7.3.2 z变换与反z变换
1．定义
z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。在采样系统中， 连续函数信号f (t)经过采样开关，变成采样信号f*(t)，由式（7-4）给出
如果s/2＜max，就会使|F*(j)|中各个波形互相搭接[如图7-7（c）所示]，就 无法通过滤波器滤除F*(j)中的高频部分并复现为F(j)，也就不能从f*(t)恢复为 f (t)。
图7-7 原连续信号与采样信号的频谱
采样定理可叙述如下：如果采样周期满足下列条件，即
s = 2/T＞2max（7-14）
k 0
第7章 离散控制系统
原连续信号与采样信号的频谱
• 采样信号的频率特性为： （7.12） • 如果｜F*(jω)｜中各个波形不重复搭接，相
互间有一定的距离(频率)，即若
（7.13）
• 则可以用理想低通滤波器(其频率特性如图
7.7(b)中虚线所示)，把ω＞ωmax的高频分量 滤掉，只留下1/T｜F(jω)｜部分，就能把原
通滤波器，才能把原信号不失真地复现出
来。
• 7.2.2
信号的复现
• 能使采样信号不失真地复现为原连续信号的 低通滤波器应具有理想的矩形频率特性。即：
（7.15）
图7.9
理想滤波器的频率特性
• 经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱
变为：
（7.16） • 保持器是将采样信号转换成连续信号的装 置。
连续信号复现出来。否则，如果ωs/2＜
ωmax，就会使｜F*(jω)｜中各个波形互相搭 接，如图7.7(c)，就无法通过滤波器滤除
F*(jω)中的高频部分，复现为F(jω)，也就不
能从f*(t)恢复为f(t)。这就是香农(Shannon) 采样定理。
• 采样定理可叙述如下：如果采样周期满足
下列条件，即： （7.14）
• 通过以上分析可知，为了使采样系统具有 良好的过渡过程，其闭环极点应尽量避免 配置在单位圆的左半部，尤其不要靠近负 实轴。闭环极点最好配置在单位圆的右半 部，而且是靠近原点的地方。这样，系统 的过渡过程进行得较快，因而系统的快速 性较好。
图7.36
复数极点对应的暂态分量
• (2)S平面等阻尼比线在Z平面上的映射
第7章
• 7.1
离散控制系统
离散控制系统基本概念
• 离散控制系统是指系统内的信号在某一点 上是不连续的。
第七章离散控制系统
n i 1
Ai z z e piT
【例7-3】已知 F (s) 1 ，试求其z变换
s(s a)
解 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1 [1 eat ] a
F(z) 1 [ z z ]
初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数 解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得 z2Y (z) z2 y(0) zy(1) 3[zY (z) zy(0)] 2Y (z) R(z)
将已知条件代入上式，得
所以
(z2 3z 2)Y (z) z z z2 z 1 z 1
解 因为 f (nT ) eanT 代入定义式中，得
F (z) 1 eaT z1 e2aT z2 enaT zn
利用级数求和公式写成闭合形式，得
Z (eaT
)
F
(
z)＝ 1
1 eaT
z
1
z
z eaT
eaT z1 1
2、部分分式法
F(s)
n i 1
Ai s pi
z F (z)
z(1 eaT )
a z 1 z eaT a[z2 (1 eaT )z eaT ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
Z 1[F (z)] f *(t) f (nT )
或表示为 Z1 F(z) f *(t)
z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不 反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求 出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。
Z[ s
1 ]• Z[ 1 ] a sb
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自动控制原理
第七章 离散控制系统
F(Z)是用Z的语言描述时间域中的离散函数f *(t), F(Z)的反变换是f *(t)；
F(Z)中Z-n是脉冲发生时刻，其系数f (nT)是f (t)的 采样值，时域中延时一个采样周期，在Z域中相当 于Z-1；
e * (t )
离散信号
e*(t)e(nT)d(tnT) n
F
E*(s) e(nT)enTs n
E*(s)1
Tn
E(sjns)
s 2 T
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自动控制原理
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自动控制原理
7.2 离散信号的形成与复现
7.2.1 采样过程与离散信号
第七章 离散控制系统
将模拟信号按一定时间间隔循环取值，得到按时间顺序 排列的一串离散信号的过程，称为采样过程，简称采样，采 样是由采样器完成的。
最简单且最普遍使用的是等间隔(周期)采样，如图7-3 所示。t为采样持续时间，T为采样周期， t<<T。
被控 对象
测量元件 采样控制系统
A/D
计算机 D/A
被控 对象
测量元件
数字控制系统
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自动控制原理
采样系统
第七章 离散控制系统
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香农(Shannon)采样定理 — 信号完全复现的必要条件
s
2
T
2h
s
2
T
2h
s
2
T
2h
T
h
s 2h
采样开关
理想滤波器
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自动控制原理
x(t)
x*(t)
dT(t) d(tnT) n
采样信号x*(t)的数学描述
dT(t) 1
···
···
(7-1) ···-2T -T 0 T 2T ···
图7-4 理想单位脉冲序列
e*(t)e(t)dT(t)e(nT)d(tnT) (7-2) n
e(t)
dT(t)
e*(t)
e(t)
e*(t)
t
调制器
0 T 2T ···
0
s 2s
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
0.5T
图7-7 零阶保持器的频率特性
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自动控制原理
7.3 Z变换
7.3.1 Z变换定义
第七章 离散控制系统
设f *(t)为连续函数f (t)的采样序列， f (t)拉氏变换F(s)存在，则 f *(t)的拉氏变换为：
自动控制原理
第七章 离散控制系统
[经济学]第七章-离散控制系统
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自动控制原理
7.1.2 离散控制系统主要类型
第七章 离散控制系统
T
脉冲 控制器
保持器
1
Tn
e(t)ejnst
Le*(t)LT 1n e (t)ejn stT1n
E(s
jns)
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7.2.3 信号的复现
第七章 离散控制系统
第七章 离散控制系统
证明：
E*(s)1
Tn
E(sjns)
dT(t)是周期函数，可展开为傅氏级数
dT (t)
c ejnst n
n
s 2 T
cn
1 T
T2T2dT(t)ejnstdtT1
0d(t)1dt1
0
T
d ed*(Tt()t ) e(T1t)nTe(t)jn stT 1e(t)n e jn st
F * ( s ) L [f* ( t) ] F ( s jks) f( n T ) e n T s
n
n
Z=eTS
F(Z)F*(s)slnZ f(nT)Zn T n
f *(t)的Z变换定义为：
F(Z) f(nT)Zn n
(7-5)
记作：F(Z)=Z[ f *(t)] or F(Z)=Z[ f (t)]
t
采样与采样序列
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第七章 离散控制系统
连续信号e(t)与离散信号e*(t) 的频谱分析
频谱 — 信号按频率分解后的表达式
e(t)
F
连续信号
xh(t) 零阶
第七章 离散控制系统
保持器
xh(t)
xh(t)
一阶
t
图7-6 保持器的信号恢复
nT≤t≤(n+1)T时：
工程上大量 使用零阶保
h0(t)x(nT)
持器(ZOH)
x(nT)x[(n1)T]
h1(t)x(nT)
T
(tnT)
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自动控制原理
第七章 离散控制系统
零阶保持器的传递函数与频率特性
G h G 0 ( h0 s ()j L )[ g 1h 0 ( je t ) ] jT ωL [ T 1 ( t s) in T 1 2 ( T t e T j ) 2T ] 1 s e T s
T
2
( 7 - 3 )
(7-4)
e(t)
e(t) 采样器
e*(t)
e*(t)
t 采样
τ
0 T 2T ···
t
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自动控制原理
7.2.2 采样过程的数学描述
第七章 离散控制系统
周期为T的理想单位脉冲dT(t)