3.3——矩阵线性代数课件PPT

an1 an2
ann
Dj an1
an, j1 bn an, j1
则线性方程组有解并且解是唯一的，解可以表示成
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
.
a1n ann
13
定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性） •解可以由公式给出.
上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
9
问题：以上规律对n阶线性方程组是否成立？
a11x1 a12 x2
如果线性方程组
a21
x1
a22
x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
D3 D
,
,
xn
Dn D
证 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组的n个方程, 得
a11 x1 a12 x2
a21 x1 a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn A1 j b1 A1 j a2n xn A2 j b2 A2 j
证明
a11 a12
AA
a21
a22
an1 an2
| A| 0
0
| A|
0
0
a1n A11 A21
a2n
A12
A22
ann A1n A2n
0
0
| A | E
| A |
An1
An2
Ann
逆矩阵公式
定理 n 阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是 |A|≠0 ，
此时有 A1 1 adj A，或记为 A1 1 A*
ann xn bn
b a11 a1, j1 b11 a1, j1 a1n Dj的系数行列式不等于零，即 D
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
0
b a a b a a n1
n, j1 nn
n, j1
nn an1 an2 ann
则其解是否可以表示为：
x1
D1 D
,
Baidu Nhomakorabea
x2
D2 D
,
x3
x1，得 a12a21）x2
a11b2
x2 b1a21 ,
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式)
a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
2
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
2 a12 : a12a21x1
两式相减消去 x2，得
a12a22 x2
b2a12 , x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 （a11a22
ann xn Anj bn Anj
再把n个方程依次相加, 得
n
n
n
n
ak1 Akj x1
k1
akj Akj x j
k1
akn Akj xn
k1
bk Akj ,
k 1
11
n
ak1 Akj x1
k1
0
n
akj Akj x j
k1
D
n
转置伴随阵，有
adj A def [ Aij ]T
其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式的值．
A11
即
A
A12
A1n
A21 A22
An1 An2
A2n Ann
定理 设A是n 阶矩阵， adjA 为其转置伴随矩阵，则有
A adj A adj A A A I 或记作 AA* A* A A I
Dn D
12
克拉默法则
a11 x1 a12 x2
如果线性方程组
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n 0
a11
a1, j1 b1 a1, j1
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1
§3.3 应用举例
1、转置伴随阵 逆矩阵公式 2、克拉默法则
2
1、转置伴随阵 逆矩阵公式
转置伴随阵
对任一 n 阶矩阵 A，可用其元之代数余子式构成一个被 称为 A 的转置伴随阵 (adjugate matrix)的 n 阶矩阵．
定义 对任一n 阶矩阵 A= [ aij ] ，用 adjA 记与之同阶的
n
akn Akj xn
k1
bk Akj ,
k 1
0
Dj
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
于是
Dx j Dj j 1,2, ,n
当D≠0时, 方程组有唯一的一个解为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
, xn
2 2 1
例
求3阶方阵
A
3
1的5逆 矩阵.
3 2 3
解 | A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
det A
| A|
证明 必要性 因 A 可逆，故有 A-1 使成立
AA-1 = I
利用行列式乘法定理，得 AA1 A A1 1
故必 detA≠0，且由此可知 | A1 | 1 | A|
充分性 当 |A|≠0时，可得
1 det
A
adj
A
A
A
1 det
A
adj
A
I
由逆矩阵的惟一性，即知 A1 1 A* 结论成立. | A|
A*可逆, 且 ( A* )1 1 A A
(2) 因为( A)1 1 A* , 故 A* A A1 A
A* A A1 A n A1 A n 1 A n1
A
7
2、克拉默法则
先讨论二元线性方程组的解：用消元法解二元线性方程组
a11x1 a12 x2 b1,
1
a21x1 a22 x2 b2 .
A31
A32
A33
M11 M21 M31 7 4 9
M12
M 22
M
32
6
3
7
M13 M23 M33 3 2 4 6
例 设n阶方阵A可逆, (1)证明其伴随矩阵A*可逆, 并求其逆; (2)求|A*|.
证 (1) 因为A可逆,故 A 0
而AA* A E
( 1 A)A* E A