简单几何体的面积与体积
常见几何体的表面积体积公式
常见几何体的表面积体积公式1、长方体V：体积s：面积a：长b：宽h：高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 {S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高（V=abh）2、圆柱体v：体积h：高s;底面积r：底面半径c：底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径3、圆锥体v：体积h：高s;底面积r：底面半径体积=底面积×高÷34、正方体V：体积s：面积a：边长体积：边长×边长×边长扩展资料周长：1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4（C=4a）面积=边长×边长（S=a×a）2、长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2（C=2(a+b)）面积=长×宽（S=ab）3、三角形s面积a底h高面积=底×高÷2（s=ah÷2）三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高4、平行四边形s面积a底h高面积=底×高（s=ah）5、梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2（s=(a+b)×h÷2）6、圆形S面积C周长πd=直径r=半径(1)周长=直径×π=2×π×半径（C=πd=2πr）(2)面积=半径×半径×π。
8.3简单几何体的表面积和体积说课稿2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二
《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。
本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。
本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。
一、说教材分析。
1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。
本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。
二、说学情分析。
1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。
3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。
三、说教学目标。
目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。
简单几何体的面积与体积
例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习 （一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1， 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥， 设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π； 其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时 间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ， 因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样 的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。
简单几何体的表面积和体积
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
简单几何体的表面积与体积 测试题
简单几何体的表面积与体积测试题
1、有一个长方体，长为10cm，宽为6cm，高为15cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×(10×6+10×15+6×15)=660平方厘米
体积=10×6×15=900立方厘米
2、有一个圆柱体，底面半径为5cm，高为10cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×3.14×5×10+2×3.14×52=942.0平方厘米
体积=3.14×52×10=7850.0立方厘米
3、有一个圆锥体，底面半径为3cm，高为8cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×3.14×3×8+2×3.14×32=150.72平方厘米
体积=3.14×32×8/3=75.36立方厘米
4、有一个长方体，长为12cm，宽为9cm，高为6cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×(12×9+12×6+9×6)=432平方厘米
体积=12×9×6=648立方厘米
5、有一个正方体，边长为10cm，求它的表面积和体积？
表面积=6×102=600平方厘米
体积=103=1000立方厘米。
高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精讲)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲)考点一 旋转体的体积【例1】(2021·山东莱西·高一期末)在ABC 中，2AB =，32BC =，120ABC ∠=︒，若将ABC 绕BC 边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______． 【答案】32π 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以sin 602OA AB =︒==，1cos60212OB AB =︒=⨯=，所以旋转体的体积:()21332V OC OB ππ=⋅⋅-=故答案为：32π． 【一隅三反】1．(2021·湖南省邵东市第三中学高一期中)圆台上、下底面面积分别是π、4π积是( )A B ．C D 【答案】D【解析】由题意1(4)3V ππ=+=．故选：D ．2．(2021·山东任城·高一期中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_______斛．【答案】12.5【解析】设圆柱的底面半径为r 尺，则14⨯2πr ＝6，∴r ≈4，∴圆锥的体积V ＝21134543⨯⨯⨯⨯＝20立方尺，∴堆放的米约有201.6＝12.5斛． 故答案为：12.5．3．(2021·上海市七宝中学)已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________.【解析】由题意圆锥的母线长为2l =，设圆锥底面半径为r ，则22r ππ=，1r =，所以高为h体积为2211133V r h ππ==⨯=．．考点二 旋转体的表面积【例2】(2021·吉林·延边二中高一期中)如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，(1)求剩余几何体的体积 (2)求剩余几何体的表面积【答案】(1)103π；(2)8π+. 【解析】(1)由题意知，因为O '为PO 的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积， 所以22110241233V πππ=⋅⨯⨯-⨯⨯=.(2)因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线l =所以圆锥的表面积为2122(4S πππ=⨯+⨯⨯+， 挖去的圆柱的侧面积为：22124S ππ=⨯⨯=，所以剩余几何体的表面积为12(4+4+8S S S πππ==+=+. 【一隅三反】1．(2021·广东·仲元中学高一期中)已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为( )A B ．881πCD ．23π【答案】D【解析】将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r = 由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π.故选：D.2．(2021·全国·高一课时练习)已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为( ) A ．600π B ．300π C ．900π D ．450π【答案】A【解析】圆台的上底面圆半径10r '=，下底面圆半径20r =，设圆台的母线长为l ，扇环所在的小圆的半径为x ，依题意有：220()210l x x ππππ⨯=+⎧⎨⨯=⎩，解得2020x l =⎧⎨=⎩，所以圆台的侧面积20()()1020600+S r r l πππ'=⨯=+=. 故选：A3(2021·全国·高一课时练习)圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． 【答案】168π【解析】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h 则4h R r ==，则它的母线长为510l r =， 所以2r，8R =．故()(82)10100S R r l πππ=+=+⨯=侧，22100464168S S r R ππππππ=++=++=表侧.故答案为：168π考点三 多面体的体积【例3-1】(2021·全国·高一课时练习)如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D-ACD 1的体积是( )A ．16B ．13C ．1 2D ．1【答案】A【解析】三棱锥D-ACD 1的体积等于三棱锥D 1-ACD 的体积，三棱锥D 1-ACD 的底面ACD 是直角边长为1的等腰直角三角形，高D 1D=1，∴三棱锥D-ACD 1的体积为V=1132⨯×1×1×1=16.故选：A【例3-2】(2021·全国·高一课时练习)若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．【答案】C【解析】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x ，8x ，斜高h '为5x ，则棱台的高h x ，由棱台的体积公式1()3V S S h '=得：2224161)31(6444++x x x x ⋅=，解得12x =，棱台的高为h =4x =2. 故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为( ) A ．12 B ．24 C ．4 D ．30【答案】C【解析】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.2．(2021·全国·高一课时练习)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于( )A ．6B ．3+C ．6+D ．6【答案】C【解析】依题意，棱台的上底面面积2S '=，下底面面积4S =，高为3h =，故由公式可知，棱台的体积是()()11243633V S S h '==⨯⨯=+ 故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为( ) A ．13B ．1C ．3D ．9【答案】D【解析】设四棱锥的高为h ，则由锥体的体积公式得：13×3h =9，解得h =9，所以所求高为9. 故选：D4．(2021·广东·仲元中学高一期中)如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为( )A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【答案】A【解析】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S'''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A考点四 多面体的表面积【例4】(2021·全国·高一课时练习)正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为积为()A ．4)B ．2)C ．1)D ．8)【答案】B【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为12BB =，它的表面积为)16=2622sin 6222412223S S S π=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯==表面积底面积矩形.故选:B. 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( ) A ．12 B ．48 C ．64 D ．72【答案】D【解析】六棱柱的底面是边长为3的正六边形， 故底面周长6318C =⨯=， 又侧面是矩形，侧棱长为4， 故棱柱的高4h =，∴棱柱的侧面积72S Ch ==，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1C ．1D ．1∶2【答案】C【解析】设正方体的边长为a ，则表面积216S a =，因为三棱锥11D AB C -的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．，三棱锥D 1AB 1C 的表面积)222142S =⨯⨯=，所以2221::6S S a ==故选：C3(2021·全国·高一课时练习)长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( ) A ．12，32 B ．12，24 C ．22，12 D ．12，11【答案】A【解析】长方体的体积为22312⨯⨯=，表面积为()222+23+2332⨯⨯⨯=， 故选：A.4．(2021·全国·高一课时练习)(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为则下列叙述正确的是( )A ．正三棱锥高为3 BC D 【答案】ABD【解析】设E 为等边三角形ADC 的中心，F 为CD 的中点，连接,,PF EF PE ， 则PE 为正三棱锥的高，PF 为斜高，又PF ==32EF ==，故3PE ==, 故AB 正确.而正三棱锥的体积为1393⨯=，侧面积为1332⨯⨯=故C 错误，D 正确. 故选：ABD.5(2021·全国·高一课时练习)(多选)在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11D AB C -的表面积与正方体的表面积的比不可能是( )A ．1:1B ．C ．D ．1:2【答案】ABD【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则正方体1111ABCD A B C D -的表面积为226S a =.三棱锥11D AB C -的正四面体，其中一个面的面积为212S ==，则三棱锥11D AB C -的表面积为2214S ==所以三棱锥11D AB C -的表面积与正方体的表面积的比为22126S S a ==::故选：ABD.考点五 有关球的计算【例5-1】(2021·全国·高一课时练习)长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．16π【答案】C【解析】设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2414S R ππ球＝＝． 故选：C【例5-2】(2021·广东高州·高一期末)已知正四面体ABCD的表面积为A 、B 、C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为( ) A． BCD ．3π【答案】C【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，所以该正四面体的表面积为2142S a =⨯⨯=，所以a =1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，O 的体积为343π⨯=⎝⎭． 故选：C. 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为( )A ．B ．C ．16πD ．8π【答案】A【解析】由题意可知，4πR 2＝16π，所以R ＝2，即球的半径R ＝2．设圆柱的底面圆半径为r 2R =，即2816r =，所以r ，∴V 圆柱＝πr 2·2r ＝2π·π．故选：A.2．(2021·全国·高一课时练习)若一个正方体内接于表面积为4π的球，则正方体的表面积等于( )A ．B ．8C ．D ．【答案】B【解析】设正方体棱长为x ，球半径为R ，则24π4πS R ==球，解得1R =，22R ==，解得x =所以该正方体的表面积为22668S x ==⨯=正.故选：B.3．(2021·全国·高一课时练习)(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是( ) A ．半径是3 B ．体积为18π C ．表面积为27π D ．表面积为18π【答案】ABC【解析】如图，PAC △是正四棱锥的对角面，设球半径为r ，AC 是半圆的直径，，棱锥体积为2312)1833V r r =⨯⨯==，3r =，半球体积为332231833V r πππ==⨯=，表面积为2223327S πππ=⨯+⨯=， 故选：ABC ．4．(2021·全国·高一课时练习)一个球内有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π2，求球的体积和表面积．【答案】球的表面积为22500cm π，球的体积为362500cm 3π． 【解析】(1)当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知12AO //BO ，1O ，2O 为两截面圆的圆心，且11OO AO ⊥，22OO BO ⊥，①设球的半径为R ，因为2249O B ππ=，所以27cm O B =，同理得120cm O A =.设1cm OO x =，则2(9)cm OO x =+， 在1Rt O OA 中，22220R x =+，① 在2Rt OO B 中，2227(9)R x =++，② 联立①②可得15x =，25R =．所以2242500cm S R ππ==球，33462500cm 33V R ππ==球.(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，12O A//O B ，1O ，2O 分别为两截面圆的圆心，且11OO O A ⊥，22OO O B ⊥．②设球的半径为R ，因为2249O B ππ⋅=，所以27cm O B =．因为21400O A ππ⋅=，所以120cm O A =．设1cm O O x =，则2(9)cm OO x =-． 在1Rt OO A △中，22400R x =+，在2Rt OO B 中，22(9)49R x =-+， 所以22400(9)49x x +=-+， 解得15x =-(不合题意，舍去) 综上所述，球的表面积为22500cm π． 球的体积为362500cm 3π． 考点六 综合运用【例6】(2021·全国·高一课时练习)一块边长为12cm 的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角)，然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V 表示为关于x 的函数，并标明其定义域； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时x 的值(不用说明理由)，并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S ．【答案】(1)323(012)82x V x x =-+<<；(2)6cm x =，2S =侧．【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高6cm 2x h ⎫=-⎪⎝⎭，其底面积22cm S =，则三棱柱容器的容积232236624282x x x x V Sh x x ⎫⎛⎫==-=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即所求函数关系式为323(012)82x V x x =-+<<；(2)此时6cm x =，而相应棱柱的高h ，故侧面积为236S =⨯=． 【一隅三反】1．(2021·安徽镜湖·高一期中)如图所示，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.【答案】表面积10π. 【解析】设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，由题意，得(522R r Rr ππ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得r R ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以围成的圆锥的母线长为l =r =h ∴圆锥的表面积210S rl r πππ=+=；∴圆锥的体积为213V r h π==.2．(2021·全国·高一课时练习)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).【答案】36【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋2＋12]＝36， ∴该几何体的表面积为36.3．(2021·全国·高一课时练习)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m (高不变);二是高度增加4 m (底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?【答案】(1)2563π(m 3)，96π(m 3)；(m 2)，60π(m 2)；(3)方案二比方案一更加经济. 【解析】(1)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积为V 1=13S ·h=13×π×2162⎛⎫⎪⎝⎭×4=2563π(m 3).若按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积为V 2=13S ·h=13×π×2122⎛⎫⎪⎝⎭×8=96π(m 3).(2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m.圆锥的母线长为l 1m )，则仓库的表面积为S 1=π×8×(m 2). 若按方案二，仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l 210(m )， 则仓库的表面积为S 2=π×6×10=60π(m 2).(3)由(1)、(2)知，V 1<V 2，S 2<S 1，故方案二体积更大，表面积更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加经济.。
专题10简单几何体的表面积与体积(知识精讲)(解析版)
数学第二册讲练测（人教A版2019必修第二册）专题10简单几何体的表面积与体积知识点课前预习与精讲精析核心知识点1：多面体的表面积1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)．【知识微点评】表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．(2)面积：台体的表面积S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，母线长为l ，则侧面积S 侧＝π(r ＋r ′)l ，表面积S 表＝π(r 2＋r ′2＋rl ＋r ′l )．核心知识点2：多面体的体积1．柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)柱体的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .特别地，圆柱的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝πr 2h ．2．锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)锥体的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .特别地，圆锥的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝13πr 2h ． 3．台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离．(2)台体的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V ＝13(S ＋SS ′＋S ′)h .特别地，圆台的上、下底面半径分别为r 、r ′，高为h ，其体积V ＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h ． 核心知识点3：球的表面积和体积1．球的体积球的半径为R ，那么它的体积V ＝ 43πR 3． 2．球的表面积球的半径为R ，那么它的表面积S ＝ 4πR 2．3．与球有关的组合体问题(1)若一个长方体内接于一个半径为R 的球，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R ＝3a (a 为正方体的棱长)；(2)半径为R 的球内切于棱长为a 的正方体的每个面，则2R ＝a ．【知识微点评】对球的表面积与体积公式的几点认识：(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．1．已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为．【解析】解：设正方体外接球的半径为R，∵正方体外接球的体积是π，∴πR3，解得R＝2．设正方体的棱长为a，则a＝4，解得a，∴该正方体内切球的半径r，∴该正方体内切球的表面积为S＝4πr2＝4ππ．故答案为：π．2．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C﹣A1ABD的表面积是，正三棱柱的体积为．【解析】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为AA1＝6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，如图所示，则四棱锥C﹣A1ABD的表面积是：SS△ABC+S△BCD（6+3）×4423×46×44＝36+42；．故答案为：36+42；．3．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的表面积和体积分别为．【解析】解：设圆柱的底面半径为r、母线长为l，∵圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，∴2πr＝l＝4π，得r＝2、l＝4π，∴圆柱的表面积为S＝2πr2+2πrl＝8π+16π2；体积V＝πr2l＝π•22•4π＝16π2，故答案为：8π+16π2，16π2．4．如图，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，长1.6m，底面外接圆半径是0.46m，制造这个滚筒需要m2铁板（精确到0.1m2）．【解析】解：因为此正六棱柱底面外接圆半径为0.46m，所以正六边形的边长是0.46m．设正六边形的周长为C，所以．所以S表＝S侧+2S底＝4.416+20.462×6≈5.5．故制造这个滚筒约需要 5.5m2铁板．故答案为：5.5．5．用一张（4×8）cm2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为．【解析】解：（1）若圆柱的高为4cm，则圆柱的底面半径rcm，故圆柱的表面积为32+2πr2＝24（cm2），（2）若圆柱的高为8cm，则圆柱的底面半径rcm，故圆柱的表面积为32+2πr2＝24（cm2），故答案为：32cm2或32cm2．必考必会题型1：柱体、锥体、台体的表面积与体积【典型例题】已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，它的侧面积为，体积为．【解析】解：如图，ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4．它的侧面积为：4×（2+3+3）＝32cm2．∴24＝8cm3．故答案为：32cm2；8cm3．【题型强化】现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为3，高为4．某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出的圆柱形构件的最大体积为．【解析】解：设该圆锥形钢锭内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜3），高为h（0＜h＜4），则，即h＝4，所以内接圆柱的体积V＝πx2（4）＝4π（x2x3），（0＜x＜3），则V'＝4π（2x﹣x2），令V'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去），当0＜x＜2时，V'＞0，单调递增，当2＜x＜3时，V'＜0，单调递减，故当x＝2时，V取极大值也为最大值，所以可加工出的圆柱形构件的最大体积为．故答案为：．【收官验收】如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为．【解析】解：正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为：．故答案为：．【名师点睛】1.求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量，即底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用.2.求解圆锥的表面积和体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆锥的轴截面是等腰三角形”的应用.1.求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上下底面边长、高、斜高、侧棱)，并注意两个直角梯形(高、侧棱与上下底面外接圆半径所成的直角梯形，高、斜高与上下底面边心距所成的直角梯形)的应用.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题.2.求解圆台的表面积和体积时，注意其轴截面是等腰梯形的应用.求圆台的表面积的关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法.必考必会题型2：球的表面积与体积【典型例题】如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则．【解析】解：半径为r的实心铁球的体积是，由题意可知，升高的水的体积是：πR2r，则，∴，则．故答案为：．【题型强化】我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积V．求其直径d的一个近似公式d．规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比．”那么用这个公式所求的直径d结果的相对误差是．【解析】解：设球的直径为d，则V，由近似公式求得的直径的近似值为，绝对误差为||d，相对误差为．故答案为：．【收官验收】把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为．【解析】解：原球的体积为：，把一个半径为R的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，最小球的体积为：，设小球的半径为r，可得，所以rR．故答案为：．【名师点睛】计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握表面积公式()和体积公式()中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免遗漏或重叠.必考必会题型3：球的切、接问题【典型例题】设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是．【解析】解：正方体的表面积为24，设正方体的列出为a，所以6a2＝24，解得a＝2，所以正方体的体对角线的长度为2，外接球的半径为．所以外接球的体积：4．故答案为：4．【题型强化】在正四棱锥P﹣ABCD中，，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．【解析】解：设AC，BD的交点为E，球心为O，设AB＝a，∵，则AEa，P Aa，∴PEa，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴•a2•PE⇒a＝4，在RT△OBE中，OB2＝OE2+EB2⇒R2＝（8﹣R）2+16⇒R＝5，∴该四棱锥外接球的体积为：π．故答案为：．【收官验收】已知一个球的体积是，则它的内接正方体的表面积为．【解析】解：由题意，正方体的体对角线的长度，是外接球的直径，球的体积是，所以4，解得R，正方体的体对角线的长度为2，所以正方体的棱长为：a，则，所以a＝2，所以正方体的表面积为：6×2×2＝24．故答案为：24．【名师点睛】球与几何体的切、接问题的解题思路1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.必考必会题型4：实际应用问题【典型例题】“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则的值为（结果用S、C表示）﹒【解析】解：如图，由（R﹣h）2+r2＝R2，可得h＝R，由已知可得，①，C＝2πr，得C2＝4π2r2②，①②两式对应相除得，可得，设，得，整理得，，即m，∴．故答案为：．【题型强化】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．【解析】解：由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以R2＝r2+（R﹣h）2，即，解得．所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．故答案为：．【收官验收】《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》卷五记载：“今有刍甍（音：刍chú甍méng），下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（长度单位：丈）．则楔体PQ﹣ABCD的体积为（体积单位：立方丈）．【解析】解：将楔体PQ﹣ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥，则V三棱柱3立方丈，2V四棱锥2立方丈，故V楔体PQ﹣ABCD＝V三棱柱+2V四棱锥＝3+2＝5立方丈．故答案为：5立方丈．【名师点睛】解体积、表面积的实际应用题的关键点对于实际应用问题，解题的关键是正确建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正确作出截面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关键是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，利用总体积不变，正确建立等量关系，也是常用的方法.11/11。
几何体的表面积和体积公式
几何体的表面积和体积公式一、柱体。
1. 棱柱。
- 表面积公式：- 直棱柱的表面积S = 2S_底+S_侧，其中S_底为底面多边形的面积，S_侧为侧面积。
若直棱柱底面多边形的边长为a，边数为n，棱柱的高为h，则S_侧=nah。
- 体积公式：V = S_底h，h为棱柱的高。
2. 圆柱。
- 表面积公式：S = 2π r^2+2π rh，其中r为底面半径，h为圆柱的高。
- 体积公式：V=π r^2h。
二、锥体。
1. 棱锥。
- 表面积公式：S = S_底+S_侧，棱锥的侧面积S_侧等于各个侧面三角形面积之和。
若棱锥底面多边形的边长为a，边数为n，斜高（侧面三角形底边上的高）为h'，则S_侧=(1)/(2)nah'。
- 体积公式：V=(1)/(3)S_底h，h为棱锥的高。
2. 圆锥。
- 表面积公式：S=π r^2+π rl，其中r为底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V = (1)/(3)π r^2h，h为圆锥的高。
三、台体。
1. 棱台。
- 表面积公式：S = S_上底+S_下底+S_侧，棱台的侧面积S_侧=(1)/(2)(n(a + b)h')，其中n为底面边数，a为上底面多边形的边长，b为下底面多边形的边长，h'为斜高。
- 体积公式：V=(1)/(3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底)S_{下底})，h为棱台的高。
2. 圆台。
- 表面积公式：S=π r^2+π R^2+π l(R + r)，其中r为上底面半径，R为下底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V=(1)/(3)π h(r^2+R^2+rR)，h为圆台的高。
四、球体。
- 表面积公式：S = 4π R^2，其中R为球的半径。
- 体积公式：V=(4)/(3)π R^3。
高中数学简单几何体的表面积与体积考点及例题讲解
简单几何体的表面积与体积考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．[基础梳理]1．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积 表面积 圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )π(r 1＋r 2)lπ(r 1＋r 2)l ＋π(r 21＋r 22) 球(半径为R )4πR 23.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝13πr 2h (r 为底面半径)．(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下底面半径)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．[三基自测]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144答案：A2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶473．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．答案：3365π cm 24．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________． 答案：3π5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________． 答案：223考点一 几何体的表面积与侧面积|易错突破[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋23B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋43(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2 B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．[纠错训练]1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×12×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝12×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5＋6)．2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，求它的表面积．解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.考点二 空间几何体的体积|方法突破[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] (1)B (2)C (3)2＋π2[方法提升]求几何体的体积的方法 方法解读适合题型 直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 规则 几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则 几何体 等积转换法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥[跟踪训练]1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ABCD 与三棱锥E FBC 的体积之和，而四棱锥E ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．答案：1403π(cm 3)考点三 有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．33 B.3 C ．2 6D ．23(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )． 令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 24＋9.令y ′＝0，∴h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V SABC ＝V ASBC ＝13×S △SBC×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ， 则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b2，R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2a ·2b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2．解决几何体最值问题的方法 方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值函数法通过建立相关函数式，将所求的组合体中的最值问题最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛几何法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值[跟踪训练](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由16R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4，故选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案：C3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×203×1.62×3≈22(斛)．故选B.答案：B4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.答案：14π5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。
简单几何体的表面积与体积(精练)(解析版)
的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A． 4 5 1
B． 5 1
C． 4 5 1
D．8 5 1
【答案】D
【解析】
正四棱锥如图，
3 / 20
设四棱锥的高 OE h ， 由底面边长为 4，可知 OF 2 ，斜高 EF h2 4 ，
故 h2 1 4 2
5 / 20
A．2∶3
B．1∶3
C．1∶4
【答案】B
【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为 a, b, c
D．3∶4
则长方体的体积为V1 abc ，
四棱锥
A1
ABCD
的体轵为 V2
1 3
abc
，
所以棱锥
A1
ABCD
的体积与长方体
AC1
的体积的比值为
1 3
.
故选：B.
3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底
B． 2 2 2 2 3
C． 2 2 2 4 3
D． 2 4 2 4 3
【答案】A
【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，
如图：
则此三棱锥的表面积为： S△BCD S△ABC S△ADC S △ABD
122 122 2 122 2 12 22 2 3 24 2 2 3
2
2
2
【答案】C 【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为 2cm，
球的直径为正四棱柱的体对角线 正四棱柱的体对角线为 4，正四棱柱的底面对角线长为 2 2 ，正四棱柱的高为 42 (2 2)2 2 2 ，
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)【题组一 旋转体的体积】1．(2021·吉林·延边二中高一期中)阿基米德(Archimedes ，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 ( )A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π【答案】C 【解析】因为该球的体积为36π，设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得3R =。
所以圆柱的体积为：23654V ππ=⨯⨯=，故选：C.2．(2021·河北·保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V ，下部分(半球)的体积为2V ，若122V V =，则半球的半径与圆柱的高之比为( )A ．4:3B ．3:4C ．1:2D ．5:3【答案】B 【解析】设圆柱的高为h ，半径为r ，则圆柱的体积为21=V r h π.而半球的体积为332412==323V r r ππ⨯. 因为122V V =，所以324=3r r h ππ，所以3=4r h . 故选：B3(2021·全国·高一课时练习)如图所示，半径为R 的半圆内(其中∠BAC =30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_____，体积为_____．2R 356R π 【解析】如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA =90°，又∠BAC =30°，AB =2R ，∴AC ，BC =R ，CO 1，∴1AO S 圆锥侧=π=32πR 2，1BO S 圆锥侧=π×R R 2，∴S 几何体表=S 球+11AO BO S S +=圆锥侧圆锥侧R 2，πR 2． 又V 球=43πR 3，∴V 几何体=V 球-(11AO BO V V +圆锥圆锥)=43πR 3-13×AB ×π×C 2143O =πR 3-22536R π⎫⨯=⎪⎪⎝⎭πR 3．2R ；356R π4．(2021·全国·高一课时练习)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________.【解析】设圆锥的底面半径为r ，则22ππ=r ，所以1r =，圆锥的高h = 所以圆锥的体积213V r h π=5．(2021·全国·高一课时练习)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________． 【答案】12【解析】解析：设球体的半径为R 2312=2=33R V R R ππ⋅圆锥，343V R π球＝，33213==423R V R V ππ圆锥球． 故答案为：12【题组二 旋转体的表面积】 1．(2021·全国·高一课时练习)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=AD=2，则四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )A ．(60+πB ．(60+)π C ．(56+πD ．(56+)π【答案】A 【解析】四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为25r AB ==，所以圆台下底面面积125S π=，又因为CD =，135ACD ∠=，所以12ED r ==，25l ==，所以圆台的侧面积()()212225535S r r l πππ=+=+⨯=.圆锥的侧面积3111122222S r l ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯.所以几何体的表面积为(123253560S S S S πππ=++=++=+.故选：A2．(2021·山东邹城·高一期中)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )A ．圆锥的母线长为18B ．圆锥的表面积为27πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D ．圆锥的体积为【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2S l π=，又圆锥的侧面积3S rl l ππ==圆锥侧，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以233l l ππ=⨯，解得9l =，所以圆锥的母线长为9，故选项A 错误；圆锥的表面积239336S S S πππ=+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底，故选项B 错误；因为圆锥的底面周长为236ππ⨯=，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则69πα=⋅，解得23πα=， 所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C 错误；圆锥的高h =所以圆锥的体积为2133V π=⨯⨯⨯=，故选项D 正确． 故选：D ．3．(2021·重庆·垫江第五中学校高一月考)如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为则此圆锥的表面积为__________【答案】5π【解析】将圆锥侧面沿母线AB 剪开，其侧面展开图为扇形，如图，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，最短距离即为线段BM 长，则有BM = 而M 是线段AB '中点，又母线长为4，于是得22220AM AB BM +==，即2BAB π'∠=，设圆锥底面圆半径为r ，从而有：242r ππ=⋅，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S r r AB πππ=+⋅=.故答案为：5π4(2021·全国·高一课时练习)已知一块正方形薄铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？【答案】()216cm π 【解析】由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为8cm ，设圆锥的底面半径为cm r ，则282r ππ=⨯，所以2cm r =，所以圆锥的表面积即侧面积()22816cm S rl πππ==⨯=侧. 【题组三 多面体的体积】1．(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)在三棱锥P ABC -中，已知5PA BC PB AC PC AB ======，则该三棱锥的体积为___________.【答案】8【解析】如图，设长方体的三条棱长为,,a b c ，由题得22220a b +==；2213a c +=；222525b c +==， 解之得2224,16,9a b c ===.所以2,4,3a b c ===. 所以该三棱锥的体积为112344243=832⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯.故答案为：82(2021·全国·高一课时练习)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________cm 3.【答案】【解析】依题意，原几何体是由一个正方体上面接一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为1cm ，正方体的体积为1cm 3，正四棱锥的底面边长和侧棱长均为1cm ，体积为2113⨯=3)，所以该空间几何体的体积为(1V =cm 3.故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)球O 的球心为点O ，球O 3的圆锥，三棱锥V ABC -内接于球O ，已知,OA OB AC BC ⊥⊥，则三棱锥V ABC -的体积的最大值为_______．【解析】=O 的半径为r=，解得1r =， ,1OA OB OA OB ⊥==，AB ∴=AC BC ⊥，∴C 在以AB 为直径的圆上，∴平面OAB ⊥平面ABC ，∴O 到平面ABC 2，故V 到平面ABC 1+，又C 到AB∴三棱锥V ABC -的体积的最大值为，111)32⨯4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且12AO BO CO A O B O C O =''=='，则O ABC O A B C V V --'''=___________. 【答案】18【解析】如题干图，12AO BO CO A O B O C O =''=='， 可证AB //A ′B ′，AC //A ′C ′，BC //B ′C ′.所以平面//ABC 平面A B C '''三棱锥O ABC -和三棱锥O A B C '''-高之比也为12，由等角定理得∠CAB =∠C ′A ′B ′，∠ACB =∠A ′C ′B ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′， 由12AO BO CO A O B O C O =''=='， 可得211()24ABC A B C S S '''==， 所以O ABC O A B C V V --'''==111428⨯=. 故答案为：185．(2021·山东·日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考)如图是边长为1的正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、1AA 的中点，现在沿三角形GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的______.【答案】148【解析】1111113222248A FGH V -=⨯⨯⨯⨯=,所以148A FGH V V -=正方体， 故答案为：148. 6．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期中)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，其中14AR AD =，13AP AC =，12AQ AB =，则:A PQR D BCPQ V V --=______．【答案】1:20【解析】作RG ⊥平面ABC ，作DH ⊥平面ABC ，则GH 共线，由14AR AD =，则14RG DH =， 由12AQ AB =，13AP AC =，则16APQ ABC S S =， 所以15APQBCPQ S S =， 所以11113:154203APQ R APQA PQR D BCPQ D BCPQ BCPQ S RG V V V V S DH ----⋅===⨯=⋅，故答案为：1:20【题组四 多面体的表面积】1．(2021·上海市控江中学高二期中)若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【解析】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高5h '=， 因此，侧面积28451002S +=⨯⨯=， 所以所求的侧面积为100.故答案为：1002(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)已知正三棱锥O ABC -的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的侧面积为___________.【答案】【解析】由题意作出图形如图：因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，顶点在底面上的射影D 是底面的中心，在三角PDF 中， 2PD =，DF =，PF ∴==则这个棱锥的侧面积为1342⨯⨯=故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．【答案】80+【解析】如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，过点1B 作1B F BC ⊥，垂足为点F ，在1Rt B FB 中1(84)22BF =⨯-=，18B B =，故1B F =所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积4S =⨯=侧，所以448880S =⨯+⨯=+表故答案为：80+4．(2021·全国·高一课时练习)已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm ，侧棱长为8cm ，则它的侧面积为_______2cm ．【答案】【解析】作出正四棱台的一个侧面如图，设,E F 分别为,AD BC 的中点，过D 作DG BC ⊥于点G ．由题知4cm,8cm,8cm AD BC CD ===，得2cm,4cm DE FC ==，解得2cm GC =，在Rt DGC △中，DG =，即斜高为，所以所求侧面积为)21(1632)cm 2⨯+⨯=．答案：5．(2021·全国·高一课时练习)若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．【答案】5【解析】S S S =+表侧两底，则30255S S S =-=-=两底表侧．故答案为：5.6(2021·全国·高一课时练习)如图，已知正三棱锥S ABC -的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高3SO =，则此正三棱锥的表面积为___________．【答案】【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h '，侧面积、底面积分别为12,S S ，过点O 作OE AB ⊥，与AB 交于点E ，连接SE ，则,SE AB SE h '⊥=．由21 2S S =，即21322a h '⋅⋅=⨯，可得a '.由SO OE ⊥，则222SO OE SE +=，即2223h ⎫''+=⎪⎪⎝⎭．h '∴=6a =．222 6S ∴=== 1 S =∴表面积 1 2 S S S =+==故答案为：【题组五 有关球的计算】1．(2021·新疆·新和县实验中学高一期末)若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是( )A ．1:B ．1:C ．2:4:9D ．【答案】A【解析】设三个球的半径分别为1R ，2R ，3R ，因为三个球的表面积之比为1:2:3，所以2221234π:4π:4π1:2:3R R R =，所以123::R R R =所以它们的体积之比为3333331231234π4π4π::::1:333R R R R R R == 故选：A.2．(2021·山东邹城·高一期中)已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2、1、1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是( )AB ．6πC ．36πD ．【答案】A【解析】长方体1111ABCD A B C D -=长方体1111ABCD A B C D -343π⨯=⎝⎭． 故选：A ．3．(2021·全国·高一课时练习)两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．【解析】设大球的半径为R ，则有3334421,233R R ππ=⨯⨯=，所以R =4．(2021·全国·高一课时练习)一个底面直径是32cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm 且无溢出，则这个球的表面积是________．【答案】2576cm π【解析】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R ，即23324923R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，解得12R =， 故这个球的表面积224412576S R πππ=⨯=⨯=．故答案为：2576cm π5．(2021·全国·高一课时练习)如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的表面积为________．【答案】6π【解析】如图，连接AC ，BD 交点为O ，设球的半径为r ，由题意知：SO AO OC OD OB r =====．则AB =，四棱锥的体积为21)3V r =⨯⨯=r = ∴该半球的表面积为22214362S r r r ππππ=⨯+==．故答案为：6π6．(2021·全国·高一课时练习)在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为为【答案】48π【解析】因为四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为 所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心1O ，连接1SO ，AC ，则点1O 为AC 的中点，如图，则球心O 在1SO 上，因为正方形ABCD 边长为6AC ==，所以13AO =，因为SA =，所以1SO ==设四棱锥S ABCD -外接球的半径为r ，则11OO SO SO r =-，在1Rt AOO 中，22211AO AO OO =+，即)2223r r =+，解得：r =所以该四棱锥外接球的表面积为(224π4π48πr =⨯=.【题组六 综合运用】1(2021·全国·高一课时练习)如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱．(1)求出此圆锥的侧面积；(2)用x 表示此圆柱的侧面积表达式；(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【答案】(1)；(2)224(02)S x x x ππ=-+<<圆柱侧；(3)π.【解析】(1)圆锥的底面半径R 与高H 均为2，则圆锥的母线长为L =2S RL ππ==⨯⨯=圆锥侧．(2)设圆柱的半径为r ， 则222r x -=，解得2r x =-，且02x <<； 所以圆柱的侧面积为222(2)24(02)S rx x x x x x ππππ==-=-+<<圆柱侧．(3)22242(1)1S x x x πππ⎡⎤=-+=--+⎣⎦圆柱侧，02x <<；当1x =时，S 圆柱侧取得最大值为2π，此时1r =，圆柱的体积为2211V r x πππ==⋅⋅=圆柱．2．(2021·贵州·高一月考)在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =6，BC =8，16AA =.(1)求三棱锥1D ABC -的体积；(2)在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，求V 的最大值.【答案】(1)48；(2)323π. 【解析】(1)由长方体的几何特征知，1D 到平面ABC 的距离为116DD AA ==, 又1242ABC S AB BC =⋅=,所以11112464833D ABC ABC V S DD -=⋅=⨯⨯=； (2)设球的半径为R ，若该球与三棱柱111ABC A B C -的三个侧面均相切，则R 为ABC 的内切圆的半径，则()1242R AB AC BC ++=, 又=6+10+8=24AB AC BC ++，此时2R =；若该球与三棱柱111ABC A B C -的上下底面均相切，此时126R AA ==,3R =;所以在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，该球半径最大为2，3max 4=2=3323V ππ⨯.3．(2021·浙江路桥·高一月考)如图所示，在平面五边形ABCDE 中，2AB AE CD ===，1BC =，DE =90ABC ∠=︒，90AED ∠=︒，分别沿AC ，AD 将ABC 与ADE 折起使得B ，E 重合于点P ．试求：(1)三棱锥A PCD -的体积；(2)三棱锥A PCD -的外接球的表面积．【答案】(2)8π．【解析】(1)PD =1PC =，2CD =，则222 PC PD CD PC PD +=⇒⊥，又AP PD ⊥，AP PC ⊥，PC PD D ⋂=，AP ⊥平面PCD .所以111111233232A PCD PCD V S AP PC PD PA -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯=△ (2)将三棱锥补成长方体知三棱锥A PCD -的外接球的直径即为长方体的体对角线长，即2R R ==，所以球的表面积为24π8πR =． 4．(2021·河北定州·高一期中)定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm 3(1)求正方体石块的棱长；(2)为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳(图(1))打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷21.5m 左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？(精确到1)(π按3.14算)【答案】(1)40cm ；(2)3个.【解析】(1)设正方体石块的棱长为a ， 则每个截去的四面体的体积为3113222248a a a a ⨯⨯⨯⨯=. 由题意可得331600008483a a ⨯+=， 解得40a =.故正方体石块的棱长为40cm ；(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径，∴球形石凳的表面积224041600cm 2S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 41.51031600π⨯≈， 所以一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球形石凳.5．(2021·湖北孝感·高一期中)如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时(如下图2)，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点．(1)求容器中水的体积；(2)当容器底面ABC 水平放置时(如图1)，求容器内水面的高度．【答案】(1))3cm ；(2)3cm ．【解析】(1)在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为)222112sin 601sin 6022S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm所以水的体积为)34V cm ==，(2)设图1中水高度为cm h ，则212sin 602V h =⨯⨯︒⨯=3h =． 所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．6．(2021·福建宁德·高一期中)如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3r =.(Ⅰ)若正四棱柱的底面边长为a =(Ⅱ)求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.【答案】(Ⅰ)16123π-；(Ⅱ)【解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h(Ⅰ)由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =，由222h r l +=，故4h =，所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==⨯⨯=圆锥由a =2， 由图可得11h r h r -=，所以11318433r h h r --==⨯=， 故正四棱柱的体积为21816233V a h ==⨯=正四棱柱 所以该几何体的体积为16123V V π-=-圆锥正四棱柱 (Ⅱ)由图可得12r h h r =，即13243h =，即1312h +=由13h +≥，当且仅当136h ==时左式等号成立，有112h a ⇒≤12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为7．(2021·福建福州·高一期中)如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．(提示：本题的数据有长度单位)(1)求圆台的体积和圆台的侧面积；(2)把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；【答案】cm 3，75πcm 2；(2)25cm. 【解析】(1)作出圆锥的轴截面和沿OA 剪开的侧面展开图，如下图由下底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，AB 的长为10 cm ，可得：10OB =cm ，因此圆台的体积为：223115 2.5(33cm )V ππ=⨯⨯⨯=， 侧面积为：2520 2.510)75cm (S πππ=⨯⨯-⨯⨯=．(2)由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π， 所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA '中15OM =，可得25(cm)MA '=，所以最短时候，绳长为25cm。
简单几何体的表面积与体积_课件
总结
旋转体的面积和体积公 式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
V
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，x、x分别表示圆台上、 下底面半径，R表示半径
棱柱体积
长方体体积： 正方体体积：
底面积 高
棱柱体积
（其中S为底面面积，h为柱体的高 ）
棱锥体积 （底面积S，高h）
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的 每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。
棱锥体积 （底面积S，高h）
棱锥的体积公式 ：
（其中S为底面面积，h为高 ）
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如 图把球O的表而分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体 就被分割成n个“小锥体”。 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面 就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球 半径R.设 O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是
圆台的侧面展开图是扇 环
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系 ？
r’ ＝r
上底扩大
r’ ＝0
上底缩小
圆柱、圆锥和圆台的表面 积
理解并掌握圆柱、圆锥和圆台的表面积公 式 能够根据公式进行求 值
圆柱体积
h
圆锥体积
h
（其中S为底面面积，h为高 ）
圆台体积
上下底面积分别是s',s,高是h， 则
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样 的四面体得到的，如果被酸正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多 少？
求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面
积. 提示：侧面均为矩
专题8.3 简单几何体的表面积与体积(解析版)
专题8.3 简单几何的表面积与体积运用一 体积【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6（2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）B.D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A.1123B.1363C.48D.56【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V SAA -=⨯=⨯=，故选：B.（2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为()122+=，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1232⨯=，故选：A.（3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()12444482V Sh ==⨯+⨯⨯=．故选：C ．【举一反三】1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2πC ．22π D ．23π【答案】A【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）A B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以h =.答案选A3．设正六棱锥的底面边长为1 ）A. C. D.2【答案】B【解析】由底面边长为12h ==.又因为底面积16222S =⨯⨯=112332V Sh ==⨯⨯=.故选B.4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）．A ．14πB ．143πC ．3D ．【答案】C【解析】依题意知圆台上底面半径为1r = ，下底面半径为2R =如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD ，其小扇形弧长2AD π=，大扇形弧长4BC π=， 由2BC AD=知道OA AB l == ，则圆台的侧面积11622S BC OB AD OA π=-=2l ⇒= 所以高h =圆台的体积221()3V h r rR R π=++= 故选C 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52πC.50πD.2123π 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3,所以圆台的体积为2213(26523V πππ=⋅⋅⋅+⋅+=.故选：B ． 运用二 表面积【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27πB.36πC.54πD.81π(2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+(3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）A ．16+B ．16+C ．12+D ．12+【答案】(1)B(2)D(3)D【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．(2),斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+故选：D ． (3)由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2．则其表面积为S 111424222412222=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+．故选：D ． 【举一反三】1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.14B.12C.23D.45【答案】C【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，则高2h r =，该圆柱的侧面积为224r h r ππ⋅=，表面积为222426r r r πππ+=，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2．（2019·湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5【答案】A【解析】1234511122222S S S S S S =++++=++++=+ 故答案选A3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）A 倍B ．3倍C ．2倍D ．5倍【答案】C【解析】由题意可知，如下图所示，设OC r =，则2AC r =所以圆锥的底面积为21S r π=，圆锥的侧面积为()2212222S r r r ππ=⋅= 即圆锥的侧面积是底面积的22212=2S r S rππ=倍故答案选C 运用三 球【例3】(1)由球O 的球面上一点P 作球的两两互相垂直的三条弦PA ，PB ，PC ．已知3cm PA =，PB =，PC =，求球O 的表面积和体积．(2)（2019·四川石室中学高三月考（文））已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为__________.(3)正方体的外接球与内切球的半径之比为（ ） ABC ．2:1D ．3:1【答案】(1)()236cmπ,()336cm π(2)254π(3)B 【解析】(1)以点P 为一个顶点，PA ，PB ，PC 为三条相邻棱，构造长方体PADB CEFG -．由于点P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，显然长方体PADB CEFG -内接于球O ，其对角线PF 长就是球O 的直径，所以()26cm R ==，3cm R =．()22436cm S R ππ∴==球，()33436cm 3V R ππ==球．(2)由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h 则221133h ππ=⨯⨯，可求得2h = 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π(3)设正方体的边长为1，画出图像如下图所示，设O 为正方体体对角线的交点，1O 为上底ABCD 的中心，所以正方体外接球的半径为122AC OA ===，正方体内切球的半径为111122OO CC ==，故正方体的外接球与内切球的半径之比为1:22=，故选B.【举一反三】1．已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： （1）圆锥的侧面积． （2）圆锥内切球的体积．【答案】（1）侧面积96S π=；（2）2563V π=【解析】(1)作出轴截面, 如下图所示：则等腰三角形CAB 内接于圆O ,而圆1O 内切于CAB ∆,设圆O 的半径为R ,由题意,得349723R ππ=,3729R ∴=, 918R CE =∴=; 已知162CD ED =∴=,连接AE ,CE 是直径,CA AE ∴⊥,21816288CA CD CE =⋅=⨯=,CA ∴=,AB CD ⊥, ,216232AD CD DE ∴=⋅=⨯=,AD ∴=,所以圆锥的侧面积96S AD CA πππ=⨯⨯=⨯=; (2)设圆锥的内切球1O 的半径为r ,也即CAB ∆的内切圆的半径为r ，ABC ∆的周长为c ==,111622ABC S AB CD ∆∴=⨯⨯=⨯=,又三角形的面积12ABC S c r ∆=⨯⨯，所以12r ⨯= 4r ∴=;∴圆锥的内切球1O 的体积3425633V r ππ==.2．（2019·广东实验中学高三月考（理））三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】20π【解析】由题意，由余弦定理2221AB =2+2-222-2⎛⎫⨯⨯⨯∴ ⎪⎝⎭，ABC 的外接圆半径21,R R =∴=等边三角形PAB 的高为3，设球的半径为,r 球心到底面的距离为x ，则22222r 2x 13x =+=+-（），所以x 1=，所以该三棱锥的外接球的表面积为24r 20ππ=． 故答案为：20π．3．已知棱长为a 的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为（ ）．A ．91:3:4B ．1:3:2C ．D ．31:2【答案】B【解析】由已知得甲球是正方体的内切球，示意图如下图1，从中截面可以看出甲球的直径等于正方体的棱长，设甲球的半径为1R ，则12R a =，所以12a R =，所以甲球的表面积为22211442a S R a πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 乙球是正方体的外接球，示意图如下图2, 从中截面可以看出乙球的直径等于正方体的体对角线长，设乙球的半径为2R ，则22R ==，所以2R =，所以乙球的表面积为222224432S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；丙球与正方体的各条棱相切，示意图如下图3, 从中截面可以看出丙球的直径等于正方体的面对角线长，设丙球的半径为3R，则32R==，所以32R=，所以丙球的表面积为222334422S R aπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭；所以()()()222123:::3:21:3:2S S S a a aπππ==，故选：B.1．（2019·四川棠湖中学高二月考）一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】A【解析】由题意可知：几何体被平面ABCD 平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：121222⨯⨯⨯=； 下部为：22226⨯⨯-=，截去部分与剩余部分体积的比为：13．故选：A ． 2．（2019·全国高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=， 故选C.3．（2019·天水市第一中学高三月考（理））已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.36π+B.66π+C.312π+D.12【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A.4．（2019·安徽省泗县第一中学高二期末（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】B【解析】根据三视图可得出该几何体为底面为直角梯形的直棱柱，底面积1(23)252S =⨯+⨯=，故该几何体的体积5315V =⨯=，故选：B ．5（2019·广东高一期末）已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36π，则该圆柱的体积为 A.27π B.36πC.54πD.81π【答案】C【解析】设圆柱的底面半径r .因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r 因为该圆柱的侧面积为36π，所以2236r r ππ⨯=，解得3r =， 故该圆柱的体积为2232354r h πππ=⨯⨯⨯=.故答案选C6．（2019·江西上高二中高二月考（理））圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为12442l ππ=⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到24r ππ=，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为242212S πππ=⋅⋅+⋅=．故选：B ．7．（2019·江苏高一期末）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A. B.2πD.π【答案】B【解析】由于圆锥的底面半径1r =，母线与底面所成的角为3π， 所以母线长121cos32r l π=== ，故圆锥的侧面积=2S rl ππ=；故答案选B 8．（2019·河北高一月考）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）A．6:1):4+ B．64 C．5:1):4+D．5:4【答案】A【解析】设球的半径为R ，圆柱的表面积2221S 246R R R πππ=+=。
《简单几何体的表面积与体积》考点讲解复习与同步训练
《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解【思维导图】考法一多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A．(483B．(483+C．24D．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）.A．80B．240C．320D．640【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）AB ．C ．D ．3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C 2D 2考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1C ．2D ．13【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14B ．12C ．62．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C．83D．83．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD-如图所示，求它的体积.4．如图，正三棱锥P ABC-的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC-的表面积；（2）求正三棱锥P ABC-的体积.考法三旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A B．2πC．D．【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A．142ππ+B．122ππ+C．12ππ+D．142ππ+2把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．32．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3B ．3πC ．9D ．9π考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3π B ．2π C D （2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．82．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解答案解析考法一 多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483B ．(483+C ．24D ．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640【答案】（1）A （2）B【解析】（1）由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯=所以表面积(483S =.故选：A.（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴8= 等腰梯形的面积为：()14168802S '=⨯+⨯=∴棱台的侧面积为：3380240S S '==⨯=本题正确选项：B 【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024ABCSAB AC =⋅⋅=，所以可知：正四面体的表面积为4ABCS = 故选：A3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C ．24a D ．22a 【答案】Aa 23⨯=，且，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为22632632a a a ，2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A 3B ．1C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是22)1⨯= A 【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14 B ．12 C ．6【答案】C【解析】三棱锥1B ABC -的体积为：111113332ABCSh ⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：C 2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.故选：C . 3．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.【答案】3【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ， 因为四棱锥的棱长均为4，所以SO ⊥平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高，所以4,SA OA ==,所以SO ，所以114433V AB AD SO =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.4．如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2）3. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =⋅=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△.则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .且133OD AD ==.在Rt POD 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ⋅=△考法三 旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．2πC ．D ．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=,所以AO =AO PA π⨯⨯=.故选：C.【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ， 圆柱的侧面展开图是一个正方形， 2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=，故选：B ．2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为220r ππ=⨯， 所以底面圆的半径为r =10，所以圆锥的高为h ==. 故选：B3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π【答案】D 【解析】圆锥的底面半径为2，高为4， 设内接圆柱的底面半径为x ， 则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D.考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为底面周长为6π，所以26r ππ=，解得3r =，又因为母线长为5，所以h =4，所以圆锥的体积是21123V r h ππ==故选：B 【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．3【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长2323L ππ=⨯=，∴圆锥底面周长为2π， ∴圆锥底面半径1r =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积2133V r h π=⋅=.故选：D .2．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈 【答案】B【解析】由题意得，下底半径32R π=（丈），上底半径212r ππ==（丈），高1h =（丈），所以它的体积为()222211313113322V h R r Rr ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⨯⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以19V =12π(立方丈).故选：B. 3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3 B ．3πC ．9D ．9π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则母线长为l则圆柱的侧面积为()2221122r r h ππ=+， 故表面积为()222192r h r πππ++=，得2231922r h +=①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故2r π=2r =得223h r =②，联立①②得：r =，3h =.故该圆锥的体积为2113333V Sh ππ==⨯⨯⨯=.故选：B.考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3πB ．2π CD．12（2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】（1）B （2）C【解析】（1）设正方体的棱长为a ，球的半径为R，则22R R a =⇒=，球的表面积为22214432S R a a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，正方体的表面积为226S a =， ∴2122362S a S a ππ==.故选：B （2）设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -2=，该正方体的体对角线长为所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为2R =R ， 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2π B ．16πC ．8πD ．4π【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯=，故选：D.2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R =R =所以球的表面积为：2412S R ππ==.故选：C3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积244S R ππ==，故选：C.4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm 【答案】B【解析】正方体的棱长为3cm ，所以球体最大体积的半径32r cm =， 所以球的体积：334932V r cm ππ==.故选：B考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【答案】C【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积()()221633141542542S πππππ=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=+．故选：C ． 【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．8【答案】A【解析】由题意，正四棱锥P EFGH -2=，该组合体的表面积为122421422202⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：A2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+.故选：A.3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．【答案】8【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径4r =， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以()32141448233h h ππ⨯⨯=⨯⨯⇒= 故答案为：8《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．322．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为 A ．8B ．12C ．16D ．203．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212a C ．292a D ．232a 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32B ．48C ．64D ．3235．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)817．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶43．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．40035．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．364．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．75．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.8．将底面直径为8，高为值为______.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ）A ．4π3cmB ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .3．圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.4．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．2πD ．4π5．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ）A ．61.73B ．61.71C ．61.70D ．61.696．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ）A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【题组五 球】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为接球的体积为（ ）A ．BC ．D ．2．在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．223的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．34．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3a C 3a D ．316a π 5．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ）A ．12πB ．36πC ．108πD ．4π6．已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为______． 【题组六 组合体的体积表面积】1．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．2．如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.3．在底面半径为2，高为积之比为1：4，求圆柱的表面积.《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习答案解析【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，123OD a ==，111326O D a a =⨯=，116DE OD O D ∴=-=.在1Rt DED 中，1D E =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30oOE =， ∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯='故选：A5．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ===， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF =故2142h =⨯，解得2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S11112222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+ 故选：A8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D 【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为=∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c 则长方体的体积为1V abc =， 四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =， 所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=⋅ ()2211305545615333=+⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =， 底面正方形的面积为234341156S m =⨯=， 则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积； （2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为三角形，1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABDS SS S S=+++=+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=， 故选：C.2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=.∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ， 设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ， ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B4．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4π B ．3πC ．5πD ．2π【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为_____． 【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．将底面直径为8，高为值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得h =；所以()22242S rh r r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h ==，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=。
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例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3π.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60ο，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60ο，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1S 2B ．S 1S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.DBAOCEF例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40o纬线，（1）求北纬40o纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ）（2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离.随堂练习（一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）A．SSS'+=2 B．SSS'=C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．323 B．283 C．243 D．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）A．23 B．32 C．6 D．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE､△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为( )A．23B．33C．43D．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45o圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC ，AQ=AP ，点S ，D ，A ，Q 及点P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC ，PM∥BC，PA=PC ，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S ； （3）求出多面体A —BMPC 的体积V.10. 如图，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A 、B 的任意一点，A 1A ＝AB ＝2. （1）求证：BC ⊥平面A 1AC ；（2）求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上.（2）∵AM=AA 1cos 3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM=223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO⊥ABCD，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt△AO B 中BO=ABsin30°=1， 由PO⊥BO，于是PO=BOtan 60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2.点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角. 在Rt△SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt△SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt△SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ，S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422().而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在 球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π. （2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40o上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥，设C 是北纬40o的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=o，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅o42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40o纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ． 随堂练习 （一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B. 3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S△BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C. （二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG. ∵三棱锥E —ABC 的体积是V1， ∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1， ∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE—A1B1C1=13VEFG —C1A1B1，∴VE—A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V-V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5. 底面半径等于CO=125AC BC AB =g ，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π；其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π.评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题. 11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =，又∵24324R ππ=，∴9R =， ∴2282AC AC CC ''=-=，∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-=∵ △AOF ∽△AEG∴a Ra a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R rR a rR a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45o圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45o 圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业 （一）选择题评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+ （3）取PC 的中点N ，连接AN ，由△PAC 是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC ， ∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM. ∴AN 是四棱锥A —PCBM 的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC ，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM 是上､下底边长分别为1和2，PC 的长1为高的直角梯形. 其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.4 10. 解：（1）证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC ⊥AC .∵AA 1⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x4－x 2(0＜x ＜2)，即VA 1－ABC ＝13x4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4.∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。