积分变换复习提纲(总结)
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
积分变换总复习
δ (t) f (t)dt = (−1) f (0)
(n) n (n)
函数的傅氏变换为: ∗δ-函数的傅氏变换为:
F(ω) = F[δ (t)] = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt +∞
dt = e
− jωt t =0 − jωt
=1
− jωt0
F[δ (t −t0 )] = ∫ δ (t −t0 )e
F−1[αF (ω) + β F2 (ω)] = α f1(t ) + β f2 (t ) 1
2)位移性质 2)位移性质
F[ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F[ f (t )] F−1[F(ω m ω0 )] = e± jω0t f (t )
3)微分性质 3)微分性质
d F[ f ′(t )] = jωF[ f (t )], F(ω) = F[− jtf (t )] dω dn F[ f (n) (t )] = ( jω)n F[ f (t )], n F(ω) = (− j)n F[t n f (t )] dω
Dirichlet积分
Fourier积分定理 *Fourier积分定理 若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1、f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2、f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有 1 +∞ ∞ − jωτ ejωt dω f (t) = ∫−∞ ∫−∞ f (τ )e dτ 2π 成立 而左端的f (t)在它的间断点处 应以 , t ,
f (t + 0) + f (t − 0) 来代替 . 2
Fourier变换 2、 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则 在f(t)的连续点处, 有 ∞ − jωt F(ω) = ∫ f (t)e dt = F[ f (t)] −∞ f (t ) 的Fourier变换式 变换式 1 +∞ f (t) = F(ω)ejωt dω = F−1[F(ω)] ∫−∞ 2π
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数与积分变换复习提纲知识
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
西南交大复变函数与积分变换复习提纲
西南交大复变函数与积分变换复习提纲一． 复变函数1. 复数（1）复数的运算例 ()()()()11031(1)1324,(2),(3)1,(4)11i i i i i i-+++++. （2）区域、单连通、多连通区域的判断2. 解析函数（1）解析函数的概念：函数在区域内解析、函数在某一点解析、奇点。
（2）函数解析的判断：Cauchy-Riemann 条件、导数公式。
例 判断函数2(z)f x y ixy =+ 在何处可导？何处解析？例 找出函数的奇点 2sin (1)(z 1)e zz + ，(2)sin z e z π. （3）初等函数例 计算下列表达式的值()99312(1)e ,(2)ln 1i)i i π+++ . 3.级数（1）级数敛、散性的判断例 判断下列级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。
()()3211111222(1),(2),(3),,!n nn n n n n n i i in i n n n n ∞∞∞∞====+++∑∑∑∑（2）幂级数的收敛：Abel 定理、收敛半径例 计算幂级数的收敛半径()()()110(1)(1)1,(2),(3)312121!nn n n n n n i z z n z n n +∞+∞+∞===-++++∑∑∑. （3）函数的幂级数展开：Taylor 级数、Laurent 级数例 将函数在指定点展开成幂级数12321,0,1,1(z 1)z z z z ==-=+. 例 将函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数21(z),(1)12,(2)013,(3)2 3.(z 1)(z 2)f z z z =<<<+<->+- 4.复变函数的积分（1）基本积分公式:[](),()()()z z t t C f z dz f z t z t dt αββα=≤≤'=⎰⎰.例 计算复积分的值,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.（2）Cauchy 积分定理（单连通、多连通）、积分与路径无关、Cauchy 积分公式、高阶导数公式例 复积分299cos 12sin(z 1)(z 1)e zz dz =++⎰的值等于？ 例 计算复积分的值2,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.例 计算复积分()24cos (z )z z dz z i π=++⎰的值.（3）留数：孤立奇点的类型、极点的级数、孤立奇点处留数的计算（重点：m 级极点处留数的计算）、留数定理、利用留数计算复积分和定积分.例 判断下列函数的孤立奇点的类型，如果是极点请指明极点的级数.12100sin 1(1),(2),(3)e (1)z z z z e z z z+-+ 例 计算下列复积分的值 223211(1),(2)tan ,(3)sin z (z 1)1z z z z e z dz zdz dz z z π===-+-⎰⎰⎰ 例 计算下列定积分的值2240011(1),(2)2sin 1x dx dx x x π+∞+++⎰⎰ 二． 积分变换1.Fourier 变换（1）Fourier 的定义、Fourier 变换的计算、函数的Fourier 积分表达式、δ函数的筛选性.例 (),kt f t e k -+=∈R 计算函数的Fourier 变换[]()f t F. 例 2(t 2)e ?t dt δ+∞--∞-=⎰（2）Fourier 变换的性质：线性性质、平移性质、伸缩性质、对称性质、微分性质、积分性质及Paeseval 等式.例 计算Fourier 变换：12[]t te+-F . 例 计算积分2212dt t +∞-∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰ 的值. （3）卷积（Fourier 变换意义下）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理例 设20,0,sin ,0,(t),(t),00, t t t t f g e t π-<≤≤⎧⎧==⎨⎨≥⎩⎩其它.计算卷积(t)g(t)f *.place 变换（1） Laplace 变换的定义、计算.例 设3,02,(t)1,24,0, 4.t f t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩计算Laplace 变换[()]f t L .（2） Laplace 变换的性质：线性性质、微分性质、积分性质及位移性质. 例 计算Laplace 变换202[]tx xcos x dx e ⎰L ,22002[t ],[2]t t t x cos x dx e xcos xdx e⎰⎰L L . （3） 利用Laplace 变换计算定积分.例 计算定积分的值20sin (1)cos ,(2)x xx x xe dx dx xe +∞-⎰⎰. （4） 卷积（Laplace 变换意义）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理. 例 计算如下卷积(1)t cos2t,(2)sint cost,(3)e cos t t ***.。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
积分变换与场论复习重点
t 0
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部 分分式法、查表法等.
六. 拉氏变换的卷积与卷积定理 (1).定义： f1 (t ) f2 (t ) 0 f1 ( ) f2 (t )d
t
(2)拉氏变换的卷积定理 若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则
f2 (t )
则
1 F f1 (t ) f 2 (tBiblioteka ) F1 ( ) F2 ( ) 2
六、微分、积分方程的Fourier变换解法 象原函数 (方程的解)
象函数
取Fourier逆变换
解代数 方程 微分积分方程 象函数的 代数方程
取Fourier变换
第二章 拉普拉斯变换
一. 定义式
2）. 位移性质:
（1）象原函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), t 0 为实常数,则
F
f (t t0 ) ei t0 F ()
（2）象函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), 0 为实常数,则
1
F
F ( 0 ) f (t )ei0t
n (n)
t
设F [ f (t )] F ( )，若 tlim f (t )dt 0, 则
F [
t
1 f (t )dt ] F ( ) . i
五.卷积的概念 1.定义： 若函数 f1 (t ),
f 2 (t ) 定义在 , 上,
函数 f1 (t ), f 2 (t ) 的卷积, f1 (t ) f2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
(n)
华中科技大学《复变函数与积分变换》-复习提纲
其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 21
主要内容
复 变
四、计算定积分
函 数 与
3. I P( x) eiaxd x (a 0)
Q( x)
积
分 要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
变 换
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
复 习
幂函数 w z e Lnz .
求导公式
f
( z )
u x
i
v x
.
28
主要内容
复 变
七、其它
函 数
柯西积分定理 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续，
与
积 分
则 C f (z)dz 0.
变
换 柯西积分公式 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续， 复
习
则
f (z)
积
分
的展开区域 )分为若干个解析环。
变
换 复
比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
习
展开点为 z0 , 则复平面
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
16
主要内容
复 变
三、利用留数计算闭路积分
函 数
1. 计算留数
与 积
法则 若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
分
变
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x
Q( x)
2πi
k
Res[ R(z) eia z , zk ].
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
积分变换文字总结(精选3篇)
积分变换文字总结第1篇我们称 \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t为拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一个特殊的傅里叶变换。
我们可以直接有定义得出：\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]我们有：拉普拉斯变换也满足如下几个性质：这个微分性质可以用来求一些特殊函数的拉普拉斯变换，比如：f(t)=e^t\Rightarrow f(0)=1,f'(t)=e^t\Rightarrow\mathcal{L}[e^t]=s\mathcal{L}[e^t]-1\Rightarrow(s-1)\mathcal{L}[e^t]=1 所以 \mathcal{L}[e^t]=\frac{1}{s-1}积分性质也能得到一个非常重要的计算反常积分的方法：\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\mathrm{d}t=\int_s^{+\infty}F(s')\mathrm{d}s' 取 s=0 有我们还有性质:我们可以由位移性质得到一个比较重要的拉普拉斯变换}}：\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s+a}]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s-1+(1+a)}]=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{[s-(-1-a)]-1}\}=e^{-(1+a)t}e^t=e^{-at}即： \mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}不同于傅里叶变换，我们并没有直接给出拉普拉斯逆变换的公式，不过我们说过有\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] 所以我们可以得到：注意奇点和所要用的函数并不一样！我们可以用此性质来求微分方程：如： y''+2y'-3y=e^{-t}，y(0)=0,y'(0)=1令 \mathcal{L}[y(t)]=Y(s)\Rightarrow s^2Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=\frac{1}{s+1}\Rightarrow Y(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s-1)(s+3)}\Rightarrow...剩下的就很好处理了。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
积分变换复习提纲(总结)
积分变换复习提纲（20学时）——基本内容第一章 Fourier变换（一）目的与要求1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义-频谱，卷积与卷积定理,单位脉冲函数的性质；3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法,Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容第一节Fourier积分1．主要内容：傅里叶积分。
2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3．问题与应用(能力要求)：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理.第二节Fourier变换1．主要内容：傅里叶变换.2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念,了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
第三节Fourier变换的性质1．主要内容：傅里叶变换的性质。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3．问题与应用(能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数1．主要内容：卷积与相关函数。
2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3．问题与应用(能力要求)：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用1．主要内容：Fourier变换的应用。
2．基本概念和知识点:微分方程的Fourier变换解法。
3．问题与应用（能力要求)：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习；31），3);4；习题二1;31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8;10;112)，习题一21）2）；习题四16) 8)；2;52) 4）5）6).习题五1；2;32);42）。
复变函数与积分变换重点公式归纳39033
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
7.9.17.6.1积分变换总结
(t) 与 1 ;
1 与 2 π () ;
ei 0 t 与
ut 与
cos0 t 与 sin 0 t 与
2 π (- 0 ) ; 1 π () ; i
π[ ( - 0 ) ( 0 )] ;
i π[ ( + 0 ) ( 0 )] .
F s f (t)est d t 0
L (t) 1
F () f (t) e-it d t,
当k(t, s) est ,(s iw为复变量),(a,b)为(0, )时 Laplace变换
F s f (t)est d t 0
Fourier变换
Laplace变换
f (t) 1
Байду номын сангаас2π
f
( )
e-i
d
ei t
d,
F s f (t)est d t 0
象原函数
积分逆变换
（微分、积分方程的解）
象函数 Y(w)/Y(s)
解代数方程
微分、积分方程
积分变换
象函数Y(w)/Y(s) 的代数方程
F
f1(t)
f2 (t)
1 2π
F1()
F2 ().
L f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s) L 1 F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
Fourier积分定理中，满足时域中的卷积对应频域中的乘积
1 利用卷积定理方法；
2 利用留数方法；
f (t) 1
2 πi
积分变换：通过积分运算，把一个函数转换为另一个函数的变换。
b
F ( ) a f (t)k(t, )d t
实质：把某函数类A中的函数f(t),通过上述积分运算转换为另一函数类
积分变换公式知识点总结
积分变换公式知识点总结一、积分变换的概念积分变换是微积分学中的一个重要概念，它是对函数进行变换的一种方法，通过对函数进行积分变换，可以得到原函数的一些新的性质和特征。
积分变换被广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
二、常见的积分变换公式1. 恒等式公式1）积分的线性性质：若f(t)和g(t)都在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b]（af(t) + bg(t)）dt = a∫[a, b]f(t)dt + b∫[a, b]g(t)dt。
2）区间可加性：如果函数f(t)在区间[a, c]上可积，那么f(t)在区间[a, b]和区间[b, c]上都可积，并且有∫[a, c]f(t)dt = ∫[a, b]f(t)dt + ∫[b, c]f(t)dt。
3）可积函数的基本性质：若函数f(t)在区间[a, b]上可积，那么f(t)在这个区间的任何子集上也可积，且积分的值是相同的。
2. 基本积分变换公式1）积分的基本性质：∫kf(t)dt = k∫f(t)dt，其中k为常数。
2）换元积分法：∫f(u)du = ∫f(u(t))u'(t)dt。
3）分部积分法：∫udv = uv - ∫vdu。
3. 常用的积分变换公式1）指数函数的积分变换：∫e^x dx = e^x + C。
2）三角函数的积分变换：∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C。
3）对数函数的积分变换：∫1/x dx = ln|x| + C。
三、积分变换的应用1. 信号处理中的应用积分变换在信号处理领域有着重要的应用，特别是在分析和处理一些特殊的信号时，比如正弦信号、脉冲信号等。
通过对这些信号进行积分变换，可以得到它们的频谱特性，从而更好地理解和处理这些信号。
2. 控制系统中的应用在控制系统中，积分变换也有着重要的应用。
例如在PID控制器中，积分环节能够消除系统的静态误差，改善系统的稳定性和精度。
积分变换知识点总结
积分变换知识点总结1. 积分变换的基本概念积分变换是微积分中的一个重要概念，它是对函数进行积分运算，从而得到一个新的函数。
在数学中，积分变换可以分为定积分和不定积分两种，其中定积分是对一个函数在一个区间内的积分，而不定积分是对一个函数的不定积分，即求出函数的原函数。
2. 积分变换的性质在进行积分变换的时候，有一些基本的性质需要了解。
比如，积分的线性性质，即对于两个函数的和的积分等于这两个函数的积分的和；积分的可加性，即对于一个函数的积分再加上另一个函数的积分等于这两个函数的和的积分；积分的常数倍性质，即一个函数乘以一个常数的积分等于这个函数的积分再乘以这个常数。
3. 积分变换的应用积分变换在实际应用中有着广泛的应用。
在信号处理中，积分变换可以用来对信号进行变换，从而得到信号的一些特性；在控制系统中，积分变换可以用来对系统进行建模，从而实现对系统状态的控制；在通信系统中，积分变换可以用来对信号进行编码和解码。
4. 积分变换的计算方法在实际应用中，积分变换的计算方法有很多种，比如换元积分法、分部积分法、定积分法等。
不同的计算方法有不同的适用范围，需要根据实际情况选择最合适的方法进行计算。
5. 积分变换的数学原理积分变换的数学原理是微积分的基础知识，在进行积分变换的时候，需要了解积分的定义、积分的性质、积分的计算方法等。
此外，还需要了解在实际应用中，积分变换的数学原理如何转化为实际问题的解决方法。
6. 积分变换的数学模型在控制系统、信号处理、通信系统等领域中，积分变换可以用来建立数学模型，从而描述系统的行为。
积分变换的数学模型可以是常微分方程、偏微分方程等，通过对数学模型进行求解，可以得到系统的状态和性能等信息。
总的来说，积分变换是微积分中非常重要的概念，它可以应用在各个领域中，对相关问题进行分析和解决。
在实际应用中，通过对积分变换的认识和理解，可以更好地应用积分变换来解决实际问题。
因此，对积分变换的知识点进行总结和理解，对于建立数学模型、解决实际问题都有着重要的意义。
成人高等教育《复变函数与积分变换》复习资料
【重点归纳】(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
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积分变换复习提纲（20学时）——基本内容
第一章Fourier变换
（-）目的与要求
1.熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；
2.了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；
3.掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容
第一节Fourier积分
1.主要内容：傅里叶积分。
2.基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3.问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
第二节Fourier变换
1.主要内容：傅里叶变换。
2.基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，
Fourier变换的物理意义一频谱。
3.问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲
函数的性质，Fourier变换的物理意义一频谱:
第三节Fourier变换的性质
1.主要内容：傅里叶变换的性质。
2.基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3.问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换
与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数
1.主要内容：卷积与相关函数。
2.基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3.问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用
1.主要内容：Fourier变换的应用。
2.基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。
3.问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习
习题一2g； 3n.3）; 4：习题二1；3“； 7； 9： 12；习题三2； 3； 4； 7； 8；10； 112）.0 6）.8〉；习题四16）8）； 2； 5a）0 5） 6）o 习题五1: 2； 32）；
4：） o
第二章Laplace变换
（―）目的与要求
1.理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉拉氏变换的存在定理；
2.了解Laplace变换与Fourier变换的区别，周期函数的Laplace变换公式，拉氏反演积分，卷积的概念与卷积定理；
3.掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质求一些函数的Laplace变换，用留数求像原函数的方法，一些微分方程的拉氏变换解法。
（二）教学内容
第一节Laplace变换的概念
1.主要内容：拉普拉斯变换的概念。
2.基本概念和知识点：Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的存在定理,
Laplace变换与Fourier变换的区别。
3.问题与应用（能力要求）：理解Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的
存在定理，了解Laplace变换与Fourier变换的区别。
第二节Laplace变换的性质
1.主要内容：拉氏变换的性质。
2.基本概念和知识点：拉氏变换的性质。
3.问题与应用（能力要求）：掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质
求一些函数的Laplace变换。
第三节Laplace逆变换
1.主要内容：Laplace逆变换。
2.基本概念和知识点：拉氏反演积分，用留数求像原函数。
3.问题与应用（能力要求）：了解拉氏反演积分，掌握用留数求像原函数: 第四节卷积
1.主要内容：卷积。
2.基本概念和知识点：卷积的概念与卷积定理。
3.问题与应用（能力要求）：理解卷积的概念与卷积定理，掌握用卷积求Laplace
逆变换。
第五节Laplace变换的应用
1.主要内容：拉氏变换的应用。
2.基本概念和知识点：微分方程的拉氏变换解法。
3.问题与应用（能力要求）：掌握一些微分、积分方程的拉氏变换解法。
（三）课后练习
习题—'11) .3). 5). 7) ? 42)..1):习题一1：). 4). 6). 8) .10)；
2).4)；52).4} .6) .8) .10)；
习题二21).3) .5) .7) .9) ； 32).4} .6) .8)；习题四lj) .4} .6) ； 2；习题五
6?).4} .6) .8)；
积分变换复习提纲(20学时)一一基本公式一、傅里叶变换的概念
F~] [ F(<y)] = — J F(co)e ia,dco = f(t)
二、儿个常用函数的傅里叶变换
F[f(/)]=—>其中(单边)指数衰减函数e(t) = < 0 +沟
F["(/)] = — + 加(劲j3
F[J(z)] = l
F[l] = 2 丹(e)
三、傅里叶变换的性质
位移性(时域)：= F[f(t)]
位移性(频域)：凡严丁⑴]=F(K-)|_._M.=F(w-%)
位移性推论：F[sin vv()r/(Z)]=丄[F(w_ %)- 尸3+ %)] 2丿
位移性推论：F[cosw o r/(r)] = l[F(w-iv0) + F(w+%)]
厶
微分性(时域)：F[f(t)] = (jw)F(w) (pp-foo,/⑴ TO),
F[f ”>(/)] =(用)"F(叨，W TP,f i(/) TO 微分性(频域)：FK-jt)f (/)] = FXw),F[(-j7)V(/)J = F(H,(vv)
i w
相似性：F[f(at)] = -F(-)(g0)(略)
四、拉普拉斯变换的概念
五、儿个常用函数的拉普拉斯变换。