中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．

【答案】32．4米．

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形，

∴CE=AB=12m，

在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE

，

∴BE=CE•cot30°=12×3=123，

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=123．

∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

2．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则

∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，

△CPD是等腰三角形？

【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

【解析】

试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.

（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.

（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．

试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm

∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.

（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm

∴t=s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，

则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

∴BM=cm.∴t=s.

当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，

∵AD=AH+DH=x+x=x=4，

∴x=3．

当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．

当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2

∴S关于t的函数关系式为：.

（3）分两种情况：