10、根式和分式运算(1)
数学知识点二次根式与分式的运算
数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。
二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。
正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。
本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。
一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。
1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。
例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。
例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。
例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。
分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。
1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。
例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。
2020初高衔接数学—有意义的根式和分式及相关计算
衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。
即若0B≠,式子AB有意义；若0B=，则式子AB无意义；若A=0且0B≠，则0AB=，即分式的值为0的条件．2.对于根式，我们主要是指二次根式，一般地，”称为二次根号，是一个非负数，且0a≥．考点一：二次根式的概念例1：在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式．x+y不是根式．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有3个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个，故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得：x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，∴当x＝9时分式的值是0．故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。
根式及其运算
根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。
二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。
设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。
形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。
高中数学解题技巧之分式根式
高中数学解题技巧之分式根式在高中数学学习中，分式根式是一个重要的考点，也是让很多学生感到困惑的地方。
分式根式的解题技巧对于高中数学学习的顺利进行起着至关重要的作用。
本文将围绕分式根式的解题技巧展开讨论，通过具体的题目举例，帮助学生和家长更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式根式的化简在解题过程中，我们经常会遇到需要对分式根式进行化简的情况。
化简分式根式的关键是找到合适的方法，将根式化简为最简形式。
下面通过一个例子来说明。
例题：将分式 $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ 化简为最简形式。
解析：首先，我们可以将 $\sqrt{12}$ 和 $\sqrt{3}$ 分别写成它们的因数的乘积形式。
$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$ 本身已经是最简形式。
因此，原分式可以化简为 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。
接下来，我们可以将分子和分母进行约分，得到最简形式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$。
因此，原分式的最简形式为 2。
通过这个例子，我们可以看到，在化简分式根式时，我们需要将根式写成最简形式，并进行约分。
这样可以帮助我们更好地理解和计算分式根式。
二、分式根式的运算在解题过程中，我们还需要掌握分式根式的运算规则，包括加减乘除。
下面通过一个例子来说明。
例题：计算 $\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}$。
解析：首先，我们需要将两个分式根式的分母进行通分。
由于分母分别为 2 和4，我们可以将第一个分式的分母乘以 2，将第二个分式的分母乘以 4，得到$\frac{\sqrt{5}\times2}{2\times2}+\frac{3\sqrt{2}\times4}{4\times2}$。
化简后得到$\frac{2\sqrt{5}}{4}+\frac{12\sqrt{2}}{8}$。
根式及其运算.
根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。
分式和二次根式2010-10-14
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(a2+ab ) a+b = ab a2b
2 ab+b (2) = 2 ab +b
(1)
a+b
( ab+1 )
(3)
a -b a+b
a2+b2-2ab
=
(
)
a2 –b2
(4)
a+b = ab
2a2+2ab
(2a2b )
2.下列变形正确的是( a a2 = b b2 2-x X-2 = X-1 1-x
（２）
（３）
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ B ） Ａ 扩大３倍 Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
8．如果把分式
则分式的值（
Ａ 扩大３倍
A
xy x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， ） Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
9．若x，y的值均变为原来的１／３ ，则分式 （ ）． C Ａ 是原来的１／３ Ｂ 是原来的１／９ Ｃ 保持不变 Ｄ 不能确定
=
5
,求
2x-3xy+2y -x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 , 求
x2
+
1
x2
的值.
变: 已知
x2
– 3x+1=0 ,求
x 2+
1
x2
的值.
1 变:已知 x+ =3 ,求 x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
数学中的二次根式与分式
数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。
它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。
本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。
具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。
其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。
二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。
2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。
3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。
4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。
二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。
分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。
在分式中，a被称为分子，b被称为分母。
分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。
2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。
3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。
4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。
三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。
1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。
比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。
数学复习巩固根式与分式指数
数学复习巩固根式与分式指数1. 引言在数学学科中，根式与分式指数是一种常见且重要的数学知识点。
掌握了根式与分式指数的相关概念、性质和运算法则，将有助于我们解决各类数学问题，并为后续学习打下坚实的基础。
因此，本文将重点讨论根式与分式指数的复习巩固，以帮助读者深入理解与掌握这一知识点。
2. 根式的复习与巩固2.1 根式的基本概念根式是数学中的一种表达形式，它由根号和被开方数构成。
根式的基本概念包括被开方数、根指数和根式的值。
被开方数是指根式中的数，根号下的数字；根指数表示根式开放的次数，如平方根、立方根等；根式的值即为开方运算的结果。
2.2 根式的性质与运算法则（1）根式的乘法与除法：根式的乘法可以将根号下的数进行相乘，结果保持在同一根号下；根式的除法是将根号下的数进行相除，结果同样保持在同一根号下。
（2）根式的化简：对于一些可化简的根式，我们可以将其化简为最简形式，例如化简平方根中的质数。
3. 分式指数的复习与巩固3.1 分式指数的基本概念分式指数是指数的一种形式，其中指数是一个分式。
分式指数的基本概念包括分子指数、分母指数以及分式指数的计算方法。
3.2 分式指数的性质与运算法则（1）分式指数的乘法与除法：分式指数的乘法可以将分子指数和分母指数进行相乘；分式指数的除法是将分子指数和分母指数进行相除。
（2）分式指数的幂运算：通过分式指数的幂运算，我们可以得到具有分式指数的乘法。
4. 根式与分式指数的应用4.1 根式与分式指数在方程中的应用根式与分式指数在解方程中起到了关键作用，我们可以利用根式与分式指数的性质进行方程变形，进而得到方程的解。
在解方程的过程中，要注意运用根式与分式指数的运算法则，以简化方程的形式，方便求解。
4.2 根式与分式指数在几何中的应用根式与分式指数在几何学中也有广泛的应用。
例如，在计算三角形的边长、面积等问题中，我们经常需要运用根式与分式指数进行计算。
同时，在实际问题中，通过将问题抽象为几何形状，我们也可以应用根式与分式指数进行求解。
复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法
复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法初中数学是我们基础教育中不可或缺的一门学科，而在初中数学中，二次根式与分式是常见的数学概念和计算方法。
了解和掌握二次根式与分式的计算方法对于正确理解和解决数学问题至关重要。
本文将揭秘二次根式与分式的计算方法，帮助大家复习初中数学知识。
一、二次根式的计算方法二次根式是一个数学表达式，其中包含有平方根的形式。
要计算二次根式，需要掌握以下几个基本方法。
1. 二次根式的化简当二次根式中含有分式、复数时，我们需要进行化简，以方便进行计算。
化简的方法主要有：（1）利用平方根的性质将二次根式中的分式转化为有理数，例如：$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。
（2）将二次根式中的复数部分分离出来，例如：$\sqrt{-4}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$，其中$i$为虚数单位。
2. 二次根式的加减法二次根式的加减法需要满足根号内的数值和分母相同的情况下，才能进行计算。
例如：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
3. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，然后合并同类项得到最简形式。
例如：$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$。
4. 二次根式的除法二次根式的除法可以通过将根号内数的比值相除，然后将分子和分母进行化简。
例如：$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。
二、分式的计算方法分式是由分子和分母组成的有理数。
在初中数学中，分式的计算方法主要包括四则运算和简化。
1. 分式的加减法分式的加减法需要满足分母相同的情况下，才能进行计算。
例如：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$。
2. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子和分母分别相乘，然后再将结果化简。
中考专题1：实数、整式、分式、根式及其运算
.
25. 将多项式 m2n－2mn＋n 因式分解的结果是
.
26. 分解因式：①(2a＋1)2－a2＝
；② 8(a2＋1)－16a＝
.
27. 若式子 x＋1有意义，则 x 的取值范围是
.
x
x2＋2x
28. 化简：x＋1－
＝
.
x＋1
29. 分式方程 x － 1 ＝1 的解是
.
x－2 x2－4
30. (－ 2)2 的平方根是____；9 的算术平方根是____； 是－64 的立方根．
中考专题一：实数、整式、分式、根式及其运算
1. 五种大小比较方法 实数的大小比较常用以下五种方法： (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小． (3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b. (4)倒数比较法：若1＞1，a＞0，b＞0，则 a＜b.
B. 4
C．0
D．－1
8. 下列各数中，3.14159，－ 3 8 ，0.131131113，…，－π， 25，－1无理数的个数有(
)
7
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9. 实数 a，b，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是(
)
A．ac＞bc
B．|a－b|＝a－b
C．－a＜－b＜c D．－a－c＞－b－c
4. 最简二次根式：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足 两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
数学下册综合算式专项练习题根式与分式的运算综合应用
数学下册综合算式专项练习题根式与分式的运算综合应用数学下册综合算式专项练习题：根式与分式的运算综合应用数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿我们生活的方方面面。
在数学下册的学习中，根式与分式的运算是我们必须要掌握和应用的内容之一。
下面，本文将以综合算式为主线，探讨并应用根式与分式的运算能力。
一、根式的运算根式是指数学中用根号表示的一类运算，我们常见的有平方根和立方根。
对于根式的运算，我们需要掌握加减乘除四种基本运算。
1. 加减运算提供一个例子来说明加减运算的应用。
假设有以下两个根式需要进行加减运算：√5 + 2√3首先，我们注意到根号下的数不同，即5和3并不是同一个数。
因此，我们无法进行进一步的合并。
最终的结果是√5 + 2√3。
这里，我们不能简单地将√5和√3相加为√8。
2. 乘除运算接下来，我们来看乘除运算的应用。
假设有以下两个根式需要进行乘除运算：(3√2) × (2√3)在这个例子中，我们需要将根号下的数相乘，并将指数相加。
因此，(3√2) × (2√3) = 6√6。
二、分式的运算分式是数学中表示比值的一种形式，由两个整数或多项式的比、它们用一条横线隔开。
我们常见的分式有真分式和假分式两种形式。
1. 真分式真分式即分子比分母小的分式。
我们通过一个例子来说明真分式的运算应用：(4/5) ÷ (2/3)在这个例子中，我们需要将除号转换为乘号，并求出两个分子的乘积作为新的分子，两个分母的乘积作为新的分母。
因此，(4/5) ÷ (2/3) = (4/5) × (3/2) = 12/10。
2. 假分式假分式即分子比分母大的分式。
我们通过一个例子来说明假分式的运算应用：6 + (2/3)在这个例子中，我们需要将整数部分和分数部分相加。
因此，6 + (2/3) = 6 * (3/3) + (2/3) = 20/3。
三、综合应用综合算式是指同时涉及多种运算的复杂算式。
分式与根式的字母举例
分式与根式的字母举例分式：分母中含有未知数及其表达式的代数式；根式：含有根号且最外层为根号的代数式。
分式的定义为：形如A/B,A、B是整式,B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。
当A=0,B≠0时，式子A/B,还是不是分式?当A=0,B≠0时，式子显然A/B=0，而据整式的定义，自然数是整式。
那这里不就成了“整式=分式”?同样的，根式的定义：若x的n次方=a,则x叫作[1]a 的n次方根,记作n√a=x,n√a叫做根式。
那么√4算不算根式? 显然√4=2,而2是整式,那这里不就成了“整式=分式”?判定一个式子是不是分（根）式，是要求化到最简呢,还是不需要化简，直接判断?就算A=0，但是分母B中有未知数，所以还是分式。
只是这个分式恒等于0，可以化为整式。
根式是必须根号下是未知数，√4是常数，而不是根式，因为根号下没有未知数。
判定一个式子是不是分（根）式，不能化为最简，只能直接看。
例如x²/x这个式子，分母有未知数，所以是分式，但是你一化简，就成了x，就变成了整式了。
所以不能化简。
至于你说整式=分式，又或者根式=整式。
那其实是废话，分式只是形式，它的值完全可以等于某个整式的值。
根式也一样。
就好比整式x+3，如果x=2/5，那么结果就是17/5这样一个分数，不能因为x+3的值可能等于分数，就认为x+3不是整式啊。
这种区分主要还是方程的时候。
例如方程A=0的解和A/B=0的解可能有区别。
对于能使得A和B都等于0的未知数，在A=0中是解，在A/B=0就不是解了，这就叫增根。
所以无论A是否=0，A/B都只能算分式。
哪怕B是x²+1这种不为0的式子。
根式与分式的运算乐乐学园
根式与分式的运算乐乐学园根式和分式是数学中常见的两种运算形式。
根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是实数且b不等于0。
首先，我们来看一下根式的运算。
根式的运算包括开方、化简、合并等。
开方是指将一个数分解成两个相同的数的乘积，即√a = b，其中a和b都是非负实数。
例如，√9 = 3，因为3 × 3 = 9。
开方可以用于求解平方根、立方根等。
化简是指将一个根式进行简化，使其表达式更加简洁。
例如，√8可以化简为2√2。
合并是指将两个根式进行合并，可以通过化简或者变形来实现。
例如，√3 + √5可以合并为√3 + √5。
其次，我们来看一下分式的运算。
分式的运算包括四则运算、合并、约分等。
四则运算是指对分式进行加减乘除的运算。
例如，1/2 + 1/3 = 5/6，1/2 × 1/3 = 1/6，1/2 ÷ 1/3 = 3/2。
合并是指将两个分式进行合并，可以通过通分或者简单的分数运算来实现。
例如，1/2+ 1/3可以合并为5/6。
约分是指将一个分数化简为最简分数。
例如，6/9可以约分为2/3。
在运算根式和分式时，需要注意一些规则和技巧。
在根式的运算中，可以利用根式的性质进行化简和合并，例如√a × √b = √(a × b)，√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
在分式的运算中，需要注意分数的四则运算法则，以及约分时要找到最大公约数。
另外，分式的加减运算需要先找到两个分数的最小公倍数，然后进行通分。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。
在实际问题中，根式和分式的运算经常被用来描述和解决问题。
例如，在几何中，根式可以用来求解边长或者面积；在物理中，分式可以用来表示速度、密度等物理量。
因此，掌握根式和分式的运算方法对于解题和理解数学概念是非常重要的。
总之，根式和分式的运算是数学中常见的运算形式。
2.分式方程与根式方程
3、解无理方程的注意点
在解根式方程后必需检验,这是因为从根式 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例4（1）解方程 x 7 x 1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产 生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
例
解： 移项得 3x 2 3 x 3
题
两边平方，整理得 3 x 3 7 x
再两边平方，化简得 x2 23x 22 0
解得 x1 1, x2 22 经检验 x1 1 为原方程的根，
x2 22 是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项.
解无理方程的思路是：
无理 方程
去根号
有理 方程
新高一数学
第二讲 分式方程与根式方程
内容概况
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
根式方程
有理方程
一、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识
要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
3、解分式方程的注意点
一化二解三检验
课
堂
小
1.两种方程分式、根式方程的解法
结
2.一个方法——换元
3.一个思想——等价转化的数学思想
新高一数学
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1
所以
x2 2 2x2 1
根式与分式的加减乘除运算
根式与分式的加减乘除运算根式和分式是数学中常见的数学表达式形式，它们在实际问题的求解中经常用到。
掌握根式和分式的加减乘除运算规则，对解决各种数学问题具有重要意义。
在本文中，我们将探讨根式和分式的加减乘除运算规则，并通过例题来进一步加深理解。
一、根式的加减运算根式的加减运算遵循以下规则：规则一：同底数的根式相加减时，保持底数不变，合并系数。
例如，√2 + √3 = √2 + 3√3。
规则二：不同底数的根式无法直接加减，需要进行有理化的处理。
例如，√2 + √3 = (√2 + √3) * (√2 - √3) / (√2 - √3) = (√2 * √2 - √3 * √2 + √2 * √3 - √3 * √3) / (√2 - √3) = (2 - √6 + √6 - 3) / (√2 - √3) = -1 / (√2 - √3)。
二、分式的加减运算分式的加减运算遵循以下规则：规则一：分母相同的分式相加减时，保持分母不变，合并分子。
例如，1/2 + 3/2 = 4/2 = 2。
规则二：分母不同的分式相加减时，需要进行通分的处理。
例如，1/2 + 1/3 = (1 * 3 + 2 * 1) / (2 * 3) = 5/6。
根式的乘法运算遵循以下规则：规则一：同底数的根式相乘时，保持底数不变，指数相加。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
规则二：不同底数的根式无法直接相乘，需要进行有理化的处理。
例如，√2 * √3 = (√2 * √3) * (√2 / √2) = (√6 * √2) / (√2 * √2) = (√12) /2 = √12 / 2。
四、分式的乘法运算分式的乘法运算遵循以下规则：规则一：分式相乘时，分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如，(1/2) * (3/4) = (1 * 3) / (2 * 4) = 3/8。
五、根式的除法运算根式的除法运算遵循以下规则：规则一：根式相除时，保持被除数的底数不变，指数相减。
根式与分式的平方与约分
根式与分式的平方与约分在数学中，根式和分式是常见的数学表达形式。
根式表示一个数的平方根或者更高次的根，而分式表示一个数的整体部分与分数部分的组合。
在本文中，将探讨根式与分式的平方运算以及如何约分。
一、根式的平方运算根式是数的平方根或高次根的一种表示方式。
我们可以对根式进行平方运算，来得到其平方值。
以√a为例，其中a表示任意正整数。
对√a进行平方运算，则有：(√a)^2 = a这表示对根式√a进行平方后，得到的结果等于a。
例如，如果a=16，则√16=4，因此(√16)^2=16。
同样的道理可以应用到更高次的根式上。
例如，对于立方根式∛a，进行平方运算的结果是：(∛a)^2 = a^(2/3)其中a依然表示任意正整数，^表示幂运算，2/3表示2除以3的结果。
需要注意的是，对于负数的根式，进行平方运算存在复数的情况，超出了本文的范围。
在实际运算中，应该根据具体问题进行判断和处理。
二、分式的平方运算分式是一种表示一个数的整体部分与分数部分的组合。
我们同样可以对分式进行平方运算。
以分式a/b为例，其中a、b为任意整数，且b不等于0。
对分式a/b 进行平方运算，则有：(a/b)^2 = a^2 / b^2这表示对分式a/b进行平方后，分子上的a会被平方，分母上的b 也会被平方。
例如，如果a=2，b=3，则(2/3)^2=4/9。
同样的道理，我们可以对分式进行更高次的幂运算。
例如，对于立方分式a/b，进行平方运算的结果是：(a/b)^2 = a^2 / b^2其中a、b同样是任意整数。
需要注意的是，对于分式的平方运算，也需要注意分母不为0的限制，以及在具体问题中可能涉及到的约分等操作。
三、根式与分式的约分在进行根式和分式运算时，我们经常需要对其进行约分，以求得最简形式。
约分是指将一个分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使分式的分子和分母之间没有公约数。
以分式a/b为例，其中a、b为正整数。
我们可以通过求a和b的最大公约数，并将a和b同时除以最大公约数，来完成约分操作。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．2. n 都是正整数)．．()n ab =再把注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项． ①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ ④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)．单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的 322a ⨯；1=+a a ，不是)．123、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4.分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．B A =这个“适解：(1)b a b a b a 34124131413132-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎭⎝=-； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcadc d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：除运算，此类a 必①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131)13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ．(4)b a 号里的(例烦，解：6321263212--+++--232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-．分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+=23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a ba +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ， 54<<∴x ．一、例1故有a 例2于是可以发现3+22=()221+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
衔接教程-第3讲、根式、分式及其运算(教师版)
第3讲、根式、分式及其运算知识点1、二次根式1、二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式。
①非负性：)0(0≥≥a a 算术平方根为开方运算后非负的那个根②先求非负数的算术平方根，再平方运算，整个过程都要求是非负的。
③)0()(2≥=a a a ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,2a a a a a a a 先平方（使得被开方数非负），再求算数平方根，一切实数适用。
④ab b a =⋅b a ba =其中0,≥b a ，只有乘除，加减合并。
知识点2、n 次根式1、n 次根式的概念一般地，若一个数x 的n 次方等于a （n 为大于1的整数），那么这个数叫做叫做a 的n 次方根。
当n 为偶数时，a 的n 次根式为)0(≥±a a n ，有两个值；当n 为奇数时，a 的n 次根式为n a ，只有一个值。
如16)2(,16244=-=，则16的4次方根为2±。
2、n 次根式的性质（类比二次根式）①⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn,,；②a a n n =)(；③0的任何次方根都为0，即00=n 。
知识点3、分母（子）有理化1、有理化的概念把分母（子）中的根号化去的过程叫做分母（子）有理化。
2、有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，，-一般地，与，+与，b +与b -互为有理化因式。
3、有理化方法分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。
注意：当根式特别是二次无理根式出现在分式中，需要变形处理时常用分子有理化和分母有理化。
即分子或者分母同乘以相同的根式使得分子或者分母没有根式（但是分母或者分子有根式），便于处理数据和代数式。
知识点4、分式1、分式的概念：用A ,B 表示整式，如果B 中含有字母，则式子BA叫做分式，其中0≠B 。
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十、 根式和分式运算（1）
一、填空题：
1、已知2>a ，化简()22-a =_____________
2、如果分式612+-x x 没有意义，那么x 的值是=__________
3、已知方程022=++mx x 的一个根是2，则m ＝______________
4、若a ＝3，b ＝2且ab ＜0，则a －b ＝＿＿＿＿。
5、当x=_______时，分式x x 2121-+的值为零。
6、如果式子x
341-有意义，那么x 的取值范围是__________。
7、已知231-=
a ，则a a 1+=__________ 。
8、如果()
112=-x ，那么代数式232+-x x 的值是 =______________ 9、已知：42<<x ，化简
()|5|12-+-x x =_________ 10、若a 、b 都是正实数，且b a b a +=-211，则2
2b a ab -=__________ 11、如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=___________
12、已知2-=-b a ，3
1=
ab ，则代数式ab b a ab b a +++-+22222的值等于________ 13、若分式3
122+--x x x 的值为零，则x =________ 14、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x =____________
二、选择题：
1、已知xy<0，则
化简后为 （A ）x （B ）-x （C ）x （D ）-x
2、若1-=a ，2=b ，则代数式b
a b ab +-2
的值是 （ ） （A ）5 （B ）–5 （C ）6 （D ）–6
3、已知
2
1=b a ，则b a a +的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）43 4、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且c a >那么()2||b c a a c -+--=( )
（A ） b a -2 （B ） b c -2 （C ）a b 2- （D ）c b 2-
5、已知：31<<x ，则1682122+--+-x x x x = （ ）
（A ）–3 （B ）3 （C ）52-x （D ） x 25-
6、若1-<a ，则()21++a a =( )
（A ）–1 （B ） l （C ） 2a –1 （D ） 2a +1
7、如果
,2,32≠=a b a ，那么5
1-++-b a b a 的值为( ) （A ）0 （B ）51 （C ）–51 （D ）没有意义 三、化简下列各题：
1、化简：a a -+-21442
2、化简：()210103
34a b b a b a +-
3、化简：
y x y y x xy ---222 4、化简： x x x x x x 22222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+。