分式及二次根式运算

分式及二次根式运算

一、知识点梳理

1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B

为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B

＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .

3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.

5．分式的运算

⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .

② 异分母的分式相加减： .

⑵ 乘法法则： .乘方法则： .

⑶ 除法法则： .

6．二次根式的有关概念

⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式.

⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．

(3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．

7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；

⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算

(1) 二次根式的加减：

①先把各个二次根式化成 ；

②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.

（2）二次根式的乘法、除法公式：

（1）a b=ab a 0b 0⋅≥≥（，） （2）a a =a 0b 0b b

≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．

三、【典例精析、发散思维】

例1（1） 当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3

92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x

x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y

----的值为 .

例3 先化简，再求值：

(1)（21

2x x -－21

44x x -+）÷22

2x x -，其中x ＝1．

⑵ 22111

1121x x x x x +-÷+--+，其中31x =-.

（3）先化简，再求值：11

12221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ．

例4 ⑴ 二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1a < B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．1

a > ⑵估计1

32202⨯+的运算结果应在（ ）

A ．6到7之间

B ．7到8之间

C ．8到9之间

D ．9到10之间

例5 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.1

2 C.8 D.27

例6 计算：⑴ 0(π1)123+-+-； ⑵1

03130tan 3)14.3(27-+︒---）

（π

例7. 已知两个分式：A ＝44

2-x ，B ＝x x -++21

21，其中x ≠±2．下面有三个结论：

①A ＝B ； ②A 、B 互为倒数； ③A 、B 互为相反数．

请问哪个正确?为什么?

例8. 先化简222111

11x x x x x ⎛⎫-++÷ ⎪-+⎝⎭，再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值.