最新《角平分线》单元测试题(带答案)
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
初二数学角的平分线试题
初二数学角的平分线试题1.如图，已知AB∥CD，OA平分∠BAC，OC平分∠AOD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则两平行线间的距离为【答案】4【解析】要求二者的距离，首先要作出二者的距离，作OF⊥AB，OG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，∵AB∥CD，∴FG垂直CD，∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，∴OE=OF=OG，∴AB与CD之间的距离等于2OE=4．【考点】本题主要考查了角平分线的性质点评：作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．2.如图，在△ABC中，∠C＝，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=20，BD:CD=5:3，则D到AB的距离DE是【答案】【解析】根据角平分线的性质，可得DC=DE，又因为BC=20，BD:CD=5:3，即可求得DE的长. ∵AD平分∠BAC∴DC=DE∵BC=20，BD:CD=5:3，∴DC=，∴DE=DC=.【考点】本题主要考查了角平分线的性质点评：解答本题的关键是掌握好角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，若BC＝10，则△DEC的周长为【答案】10【解析】由∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，可得AD=DE，AB=BE，则DE+DC=AD+DC=AC，再由△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，可得AB=AC，即可求得结果。
∵∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，∴AD=DE，AB=BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，∴AB=AC，∴DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=BE+EC=BC＝10.【考点】本题考查的是等腰直角三角形的性质，角平分线的性质点评：解答本题的关键是掌握好角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝，则∠BOC＝【答案】【解析】利用角平分线的性质求出∠BCO+∠CBO的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC．∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∠A＝，∴∠BCO+∠CBO=,∴∠BOC＝【考点】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线点评：关键是由三角形内角和定理，角平分线性质对所求角进行转化．5.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（）A．PC=PD B．OC=OD C．∠CPO=∠DPO D．OC=PC【答案】D【解析】由已知条件认真思考，首先可得△POC≌△POD，进而可得PC=PD、OC=OD、∠CPO=∠DPO；而OC、PC是无法证明是相等的，于是答案可得．∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，OP=OP∴△POC≌△POD∴PC=PD，OC=OD，∠CPO=∠DPO，而OC、PC是无法证明是相等的故选D．【考点】本题主要考查角平分线的性质点评：由已知能够得到△POC≌△POD是解决的关键．6.下列说法中，错误的是（）A．三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部B．任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等C．三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等D．三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上【答案】B【解析】根据三角形角平分线的性质依次分析各项即可。
初二角平分线测试题与答案
初二角平分线测试题一、选择题1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2如图1—102所示．在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E．若AB=6 cm，则DEB的周长为（）A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm3．如图1—103所示，D，E分别是△ABC的边AC．BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP二、填空与解答题5.△ABC的面积为36，△ABC的周长为24，那么∠BAC，∠A BC的平分线的交点到BC之间的距离为：.6．补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE．使OD =OE；②分别以D，E为圆心，以为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；③连接OC．则OC即为∠AOB的平分线．7.∠AOB = 30°，点P是∠AOB内部的一点，OP = 8，M和N分别为点P关于OA，OB的对称点，则：∠MON=；MN= .8.△ABC中，∠C = 40°，∠BAC，∠A BC的平分线的交于点O，则∠AOB 的大小为：.9．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．10．如图1—106所示，AD 为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证AM⊥EF．11.如图1—107所示，,在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？?如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．（作图保留痕迹即可）12.如图1—108所示，某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m．根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图上找到古城的遗址（比例尺为1：100000）．13．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m，40 m，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同的花草，请你画图设计一种方案，并简单说明理由．14．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示的Rt△ABC的斜边AB上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那BD就是∠ABC的平分线．你认为他的作法有道理吗？证明你的看法．15．如图1—110（1）所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图1一110（2）所示，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F ，请你直接写出FE 与FD 之间的数量关系；（不要求写证明）（2）如图1-110（3）所示，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考答案与解析 1．C [提示：折痕EF 恰为∠DED ′的角平分线，∴∠DEF=∠D ′EF ．又∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED ′=65°×2=130°∴∠AED ′=180°一∠DED ′=50°．]２．Ｃ［提示：易知DE=DC ，AE=AC=BC ，∴BE ＋DE ＋BD=BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE=AC ＋BE=AE ＋BE=AB=6 cm ．]3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA ，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]4．D[提示：证明△OAP ≌△OBP ，可得答案．]5. 1.56.大于12DE 长． 7. ∠MON= 60° ；MN= 8 .8. 110°9．证明：如图1一l11所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G ，因为S △DCE =S △DBF ,所以C Ｅ•DG=BF •DH ，又CE=BF ，所以DG=DH ，所以点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．10．证明：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，所以DF=DE ．在Rt △ADF 和Rt △ADE中，AD=AD ，DF=DE ， AF=AE ， ∠FAM=∠EAM ，AM=AM ，所以Rt △ADF ≌Rt △AD （HL ）．所AF=AE ．在△AMF 和△AME 中，所以△AMF ≌△AME （ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME ．又因为∠AMF ＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM ⊥EF11．解：有，如图1一112所示，作∠BAC ，∠ACB 的平分线，它们的交点P 即为符合要求的点．理由：作PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，因为AP 是∠BAC 的平分线，所以PD=PF ．又CP 是∠ACB 的平分线，所以PE=PF ，所以PD=PE=PF ．连接PB ，设PD=PE=PF=x ，由题意S △APB ＋S △A ＰC ＋S △ＣP B = S △ＡＢＣ，即12× 7x ＋12× 24x ＋12× 25x =12×24×7，解这个方程，得x =3．即这个距离为3． 12．解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以3 cm 长为半径画弧，弧线与角平分线的交点即为所求．图略．13．解：如图1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，作出该三角形空地ABC 的三条角平分线的交点P ，连接PA ，PB ，PC ，则S △ACP ： S △BCP ：S△ABP ＝2：3：4．理由：作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，垂足分别为D ，F ，E ，由角平分线的性质定理，可知PD=PE=PF ，∴S △ACP ： S △BCP ：S △ABP =（12PF ·AC ）：（12PE ·BC ）：（12PD ·AB ）=AC ：BC ：AB=2：3:4．14．解：小明的作法是有道理的．根据他的画法我们可以用HL 证明Rt △BCD ≌Rt △BED ，得∠CBD=∠EBD ．15．解：在OM ，ON 上分别取OA ，OB ，使OA=OB ，再在OP 上任取一点D ，连接AD ，BD ，则△OAD 与△OBD 全等，如图l 一114（1）所示．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE=FD ．（2）（1）中的结论FE=FD 仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC 上截取AG=AE ，连接FG ，则△AEF ≌△AGF ，所以∠AFE=∠AFG ，FE=FG ．由∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD ．由∠3=∠4及FC 为公共边，可得△CFG ≌△CFD ，所以FG=FD ，所以FE=FD ．证法2：如图1—114（3）所示，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I．因为∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，FG=FH可证AEGF≌△DHF，所以FE=FD。
角平分线练习题
角平分线练习题一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，那么DF的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，那么∠MAB=〔〕A．30°B．35°C．45°D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，那么AB长为〔〕A．2 B．2 C．2 D．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，那么△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，那么△ABD的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD那么CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．68．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，那么以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，那么OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点 D．Q点11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，那么BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．2413．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．414．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，那么△APD与△APE 全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，那么点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，那么P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．418．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，那么以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个 B．3个 C．4个 D．1个21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，那么△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．2422．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S=10，DE=2，AB=4，△ABC那么AC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6评卷人得分二．填空题〔共13小题〕23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S△=9，那么DE的长为．ABC24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，那么点C到射线OA 的距离为．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，那么点D到AB的距离为．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，那么D 到AB边的距离是．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，那么DE的长为．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有处．31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，那么∠BOC=．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，那么△ACD的面积为．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，那么∠DGF=．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，那么…、〞的形式：如果，那么．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，那么D到AB的距离为．评卷人得分三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE ⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．2021年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，那么DF的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，应选：D．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，那么∠MAB=〔〕A．30°B．35°C．45°D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，应选：B．3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．应选：C．4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，那么AB长为〔〕A．2 B．2 C．2 D．3【解答】解：如图，过B点作BE⊥OA于E，∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD=2，∴BE=BD=2，在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，∴AB=BE=2．应选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，那么△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．应选：B．6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，那么△ABD的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．应选：C．=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD那么CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，=AB•DE=×10•DE=15，∴S△ABD解得DE=3．应选：A．8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，那么以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，应选：C．9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，那么OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM=ON=8cm，应选：C．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点 D．Q点【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．应选A．11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处【解答】解：如下图，加油站站的地址有四处．应选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，那么BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，应选：C．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕，∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的选项是①②③④共4个．应选：D．14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．应选：C．15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，那么△APD与△APE 全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和△AEP中，∴Rt△ADP≌△AEP〔HL〕，应选：D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，那么点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴DE=DC=3cm，应选：B．17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，那么P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=2，∴PE=PD=2．应选：B．18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．应选：A．19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选：B．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，那么以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．应选：B．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，那么△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=，应选：B．22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S=10，DE=2，AB=4，△ABC那么AC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，=AB×DE=×4×2=4，∵S△ADB∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6应选：D．二．填空题〔共13小题〕23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S△=9，那么DE的长为．ABC【解答】解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，，即×5×DE+×6×DE=9，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC解得，DE=，故答案为：．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，那么点C到射线OA的距离为 3 ．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是96 ．【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OM=ON=OD=6，∴△ABC的面积为：×AB×OM+BC×DO+NO=〔AB+BC+AC〕×DO=32×6=96．故答案为：96．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是42 ．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB +S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×〔AB+AC+BC〕=×4×21=42，故答案为：42．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，那么点D到AB的距离为4cm ．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，那么D 到AB边的距离是16 ．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，那么DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=16〔角平分线性质〕，故答案为：16．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，那么DE的长为 3 ．【解答】解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°．在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°，∴DE=AD=3．故答案为：3．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有 4 处．【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．31．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，那么∠BOC= 120°．【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴点O是三个角的平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣60°〕=60°，在△BCO中，∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，那么△ACD的面积为8 ．【解答】解：作DH⊥AC于H，∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°，DH⊥AC，∴DH=DB=2，∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8，故答案为：8．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，那么∠DGF= 150°．【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，那么…、〞的形式：如果一个点在角的平分线上，那么它到这个角两边的距离相等．【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，那么D到AB的距离为14 ．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32×=14，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故答案为：14．三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】〔1〕证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；〔2〕AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：〔1〕∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∴∠ECD=∠EDC；〔2〕在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE〔HL〕，∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，∵AB=AD，∴△ABC面积=△ACD面积，又∵AE=DF，∴△AEC面积=△CDF面积，∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，∴△BCE面积=△ACF面积，∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，∴四边形AECF面积=△ABC面积，又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．【解答】解：〔1〕OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；〔2〕过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，=BC•OM=×12×4=24〔cm2〕．∴S△OBC40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE ⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；〔2〕解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．。
北师大版八下数学《角平分线》同步练习1(含答案)
1.4 角平分线一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_______∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知OM平分∠POQ，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△POM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如下图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC参考答案一、1.√ 2. × 3.√ 4.×二、1.=2.=3.14.905.4三、1.C 2.A 3.B 4. D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF=DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC.。
人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》练习题附答案
13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．无法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，根据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，根据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只需O 添加一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．如图所示，∠ AOB=40°， OM平分∠ AOB， MA⊥ OA于 A，MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为什么？AN M BBE与 CFEBDA F C2．如图所示，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM平分∠ ADC，判断 AM?是否平分∠ DAB，说明理由．M DCA B3．如图所示，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠ CDP吗？为什么？ADCBP探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．BA区比例尺 1:200002．（探究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．3．如图所示，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下面三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 解析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 解析：∵ AD 平分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（ 2）∠ AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示， AD 平分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的平分线的性质．D3． AD 平分∠ BAC ．4．解析：∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．解析： BE=CF．∵AD平分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△ BDE≌△ CDF提供了条件．2．解析： AM平分∠ DAB．理由：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM平分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM平分∠ DAB．3．解析：可以．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP平分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的平分线上．又∵比例尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（ 1）解析：按题意画图，如答图13-11 ．（2）可以得到 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．理由如下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另三角形全等来寻找相等的线段．3． C解析：如答图所示，连结AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP平分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外本题主要应用角的平分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P 在∠ BAC的平分线上．。
角的平分线问题专项训练(30道)
角的平分线问题专项训练（30道）【题型1 单角平分线型】1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC 的度数．∠EOC，若∠DOE＝3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=1255°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；∠DOB，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠COE=136．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON 的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【题型2 双角平分线（不交叉型）】11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON ＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图∠，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图∠，如图∠，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图∠结论：；图∠结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．∠若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；∠若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON 的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB ＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【题型3 双角平分线（交叉型）】21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图∠所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB 之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图∠所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．。
《角平分线》计算题及答案(提高)
《角平分线》计算题及答案（提高）1.已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC度数是α，∠MON的大小是否发生改变？为什么？2.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β(0°＜α＋β＜180°)时，猜想∠MON与α，β的数量关系，并说明理由．3.如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成2：5的两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC的度数．4.(1)如图①，∠AOB和∠COD都是直角，请你写出∠AOD和∠BOC之间的数量关系，并说明理由；(2)当∠COD绕点O旋转到如图②所示的位置时，上述结论还成立吗？并说明理由．(3)如图③，当∠AOB＝∠COD＝β(0°＜β＜90°)时，请你直接写出∠AOD和∠BOC之间的数量关系．(不用说明理由)5.小丽将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，求∠CBD的度数.6.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．7.小倩把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）如图1，当OB平分∠COD时，∠AOD与∠BOC的和是多少度？（2）如图2，当OB不平分∠COD时，∠AOD和∠BOC的和是多少度？8.如图，点C 为线段AB 上一点， AC ︰CB ＝3︰2，D 、E 两点分别为AC 、AB 的中点，若线段DE ＝2cm ，求AB 的长.9.如图，点C 是线段AB 上一点，线段AC ＝8，BC ＝20，点N 为AC 的中点，点M 是线段CB 上一点，且CM ：BM ＝1：4，求线段MN 的长．10.如图，点C 是AB 的中点，D ，E 分别是线段AC ，CB 上的点，且AD ＝23AC ，DE ＝35AB.若AB ＝24 cm ，求线段CE 的长．《角平分线》计算题参考答案1.解：（1）∵∠AOB 是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 是∠BOC 的平分线，ON 是∠AOC 的平分线，∴，．∴∠MON=∠MOC ﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小不发生改变．∵=，又∠AOB 是直角，不改变，∴． 2.解：(1)∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝45°. (2)∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝12α. (3)∠MON ＝12α.理由：∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12(α＋β)－12β＝12α.3.解：设∠ABE ＝2x°，则∠CBE ＝5x°，∠ABC ＝7x°.因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC ＝72x°， 所以∠DBE ＝∠ABD －∠ABE ＝72x°－2x°＝32x°＝21°. 所以x ＝14，所以∠ABC ＝7x°＝98°.4.解：(1)∠AOD 与∠BOC 互补．理由：因为∠AOB ，∠COD 都是直角，所以∠AOB ＝∠COD ＝90°，所以∠BOD ＝∠AOD －∠AOB ＝∠AOD －90°，∠BOD ＝∠COD －∠BOC ＝90°－∠BOC ，所以∠AOD －90°＝90°－∠BOC ，所以∠AOD ＋∠BOC ＝180°，所以∠AOD 与∠BOC 互补．(2)成立．理由：因为∠AOB ，∠COD 都是直角，所以∠AOB ＝∠COD ＝90°.因为∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＋∠AOD ＝360°，所以∠AOD ＋∠BOC＝180°，所以∠AOD与∠BOC互补．(3)∠AOD＋∠BOC＝2β.5. 90°6.解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°﹣x，∴∠AOB=90°+60°﹣x=150°﹣x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°﹣x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．7.解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠COB=∠BOD=45°，∴∠COA=90°﹣45°=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°，∴∠AOD和∠BOC的和是180°．（2）∵∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）+（∠BOD+∠BOC）=90°+90°=180°．∴∠AOD和∠BOC的和是180°．8. 8cm9.解：因为点N 是AC 的中点，所以NC ＝12AC ＝12×8＝4. 因为点M 是线段CB 上一点，且CM ：BM ＝1：4，所以CM ＝15BC ＝15×20＝4. 所以MN ＝MC ＋CN ＝4＋4＝8.即线段MN 的长为8.10.解：因为点C 是AB 的中点，所以AC ＝BC ＝12AB ＝12×24＝12(cm)． 所以AD ＝23AC ＝23×12＝8(cm)．所以CD ＝AC －AD ＝12－8＝4(cm)．因为DE ＝35AB ＝35×24＝14.4(cm)， 所以CE ＝DE －CD ＝14.4－4＝10.4(cm)．。
角的平分线的判定(分层作业)(解析版)
12.3.2角的平分线的判定夯实基础篇一、单选题：1．在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分ABC∠B ．AD DC =C ．BD 垂直平分ACD ．2AB AD=【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：如图.由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，∴BP 平分∠ABC ，∵AB =BC ，∴AD =DC ，BD ⊥AC ，即BD 垂直平分AC ，故A 、B 、C 三个选项正确，不符合题意；只有当△ABC 是等边三角形时，才能得出AB =2AD ，故选项D 错误，符合题意.故答案为：D.【分析】由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，根据角平分线的判定可得BP 平分∠ABC ，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD =DC ，BD 垂直AC ，据此判断即可.2．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA =P B.则对点P 位置的判断，正确的是（）A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点【答案】B【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定【解析】【解答】解： P 到∠A 的两边的距离相等，∴P 在∠A 的角平分线上，PA =PB ，∴P 在线段AB 的垂直平分线上，故P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点，故答案为：B.【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定进行解答即可.3．如图，已知BD AE ⊥于点B ，DC AF ⊥于点C ，且DB DC =，40BAC ︒∠=，130ADG ︒∠=，则CDG ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义【解析】【解答】∵BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB =DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC =40°，∴∠CAD =12∠BAC =20°，∴∠CDA =90°-20°=70°，∵130ADG ︒∠=，∴∠CDG =∠ADG -∠CDA =130°-70°=60°．故答案为：D ．【分析】根据角平分线的判定得出AD 是∠BAC 的平分线，得出∠CAD =12∠BAC =20°，从而求出∠CDA =70°，利用∠CDG =∠ADG -∠CDA ，即可求解.4．如图，在△AB C 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为()A ．60°B ．62°C ．64°D ．66°【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的判定【解析】【解答】∵∠B =42°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =48°，∵ED =EF ，AD ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠BAE =∠DAE =24°，∴∠AEC =∠B +∠BAE =66°，故答案为：D【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD =48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE 平分∠BAD ，根据角平分线的定义得出∠BAE =∠DAE =24°，根据三角形的外角定理即可算出答案。
北师大版八下数学《角平分线》同步练习1(含答案)
1.4 角平分线一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_______∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知OM平分∠POQ，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△POM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如下图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC参考答案一、1.√ 2. × 3.√ 4.×二、1.=2.=3.14.905.4三、1.C 2.A 3.B 4. D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF=DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC.。
《角平分线》单元测试题(带答案)
基本定义从一个角的极点引出一条射线，把这个角分红两个完整同样的角，这条射线叫做这个角的角均分线(bisector of angle ) 。
三角形三个角均分线的交点叫做三角形的心里（中心）。
三角形的心里到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
有关性质1.角均分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
2.角均分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
3.三角形的三条角均分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为心里，即以此点为圆心能够在三角形内部画一个内切圆。
基本作法在角 AOB 中，画角均分线方法一：1.以点 O 为圆心，以随意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点 M ，N。
2.分别以点 M ， N 为圆心，以大于 1/2MN 的长度为半径画弧，两弧交于点 P。
3.作射线 OP。
则射线 OP 为角 AOB 的角均分线。
角均分线试题一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1．已知：△ABC中，∠ B °，∠A、∠C的均分线交于点O，则∠ AOC的度数为.=902．角均分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．．∠ AOB的均分线上一点 M ，M到 OA的距离为cm，则 M到 OB的距离为_________.3．如图，∠AOB °， CD⊥OA于 D，CE⊥OB于E，且 CD CE，则∠ DOC4=60==_________.．如图，在△ ABC中，∠ C °， AD是角均分线， DE⊥AB 于 E，且 DE cm，BD cm，则5=90=3=5BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图， CD为 Rt△ABC斜边上的高，∠ BAC的均分线分别交C D、CB于点 E、 F， FG⊥AB，垂足为 G，则 CF______FG， CE________CF.7．如图，已知 AB、CD订交于点 E，∠ AEC及∠ AED的均分线所在的直线为PQ与 MN，则直线MN与 PQ的关系是 _________.8．三角形的三条角均分线订交于一点，而且这一点到________________相等．9．点 O是△ ABC内一点，且点 O到三边的距离相等，∠ A=60°，则∠ BOC的度数为_____________．10．在△ ABC中，∠ C=90°， AD均分∠ BAC交 BC于 D，若 BC=32，且 BD∶CD=9∶7，则 D 到AB的距离为.二、选择题（每题 3 分，共 30 分）11．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直均分线的交点B、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角均分线的交点．如图，∠1＝∠ 2， PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，以下结论错误的选项是（ ）12A 、 PD ＝PEB 、 OD ＝OEC 、∠ DPO ＝∠ EPOD 、PD ＝ OD13．如图，直线 l 1，l 2，l 3 表示三条互订交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A 、1 处B 、2 处C 、3 处D 、4 处．如图，△ ABC 中，∠ C ＝ °， AC ＝BC ， AD 均分∠ CAB 交 BC 于 D ， DE ⊥AB 于 E ，且 AB＝ 6 14 90㎝，则△ DEB 的周长为（）A 、4 ㎝B 、6 ㎝C 、10 ㎝D 、不可以确立BCl 2El 1DP1O 2DAl 3BEA第 12题 第 13题 第 14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△ MNP 的角均分线， MT ＝MP ，连结 TQ ，则以下结论中不正确的选项是 （ ）A 、TQ ＝PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝° D 、∠ NQT ＝∠ MQT90PCE CQEDMNADBABTF第 15题第 16题第17题 ．如图在△ ABC 中，∠ ACB °， BE 均分∠ ABC ，DE ⊥AB 于 D ，假如AC cm ，那么 AE DE 16 =90=3 + 等于( )A ．2 cmB ． 3 cmC ．4 cmD ． 5 cm．如图，已知 AB AC ，AE AF ，BE 与 CF 交于点 D ，则关于以下结论：①△ ABE ≌△ ACF ；② 17 = =△BDF ≌△ CDE ；③ D 在∠ BAC 的均分线上．此中正确的选项是（ ）A．①B．②C．①和②D．①②③AB AD， CB CD， AC、BD订交于点 O，则以下结论正确的选项是（）18．如图， ==DA．OA OC B．点 O到 AB、CD的距离相等A C=OC．∠ BDA∠BDC D．点 O到 CB、 CD的距离相等B=第18题19．△ABC中，∠ C=90°，点 O为△ ABC三条角均分线的交点， OD⊥BC于 D，OE⊥ AC于 E，OF⊥AB于 F，且AB cm，BC cm，AC cm，则点 O到三边 AB、AC、BC的距离为（）=10=8=6A．cm，cm，cm；B．3cm，cm， cm；C．4cm，cm， cm；D．2cm， cm，222334435cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A．两个三角形全等B．假如还有一角相等，两三角形就全等C．两个三角形必定不全等D．假如一平等角的角均分线相等，两三角形全等三、解答与证明（共30 分）22．（ 6 分）如图，已知△ ABC中， AB=AC， D是 BC的中点，求证： D 到 AB、AC的距离相等 .AB D C23．（ 7 分）如图，已知BE⊥ AC于 E，CF⊥ AB于 F，BE、CF订交于点 D，若 BD=CD．求证：AD均分∠ BAC.24．（ 7 分）如图，已知 BE均分∠ ABC，CE均分∠ ACD，且交 BE于 E．求证： AE均分∠ FAC.FAEB C D25．（7 分）如图，已知 AB=AC，AD=AE，DB与 CE订交于 O. (1) 若 DB⊥AC于 D，CE⊥ AB于 E，试判断 OE与 OD的大小关系 . 并证明你的结论 . (2) 若没有第（ 1）中的条件，能否有这样的结论 ?试说明原因 .AE DOB C 26．（ 7 分）如图，∠ B=∠C=90°， M是 BC的中点， DM均分∠ ADC，求证： AM均分∠ DAB.角均分线测试题答案一、填空题1.135 ;2.略;3.1.5cm;4. 30 ;5. 8cm;6.=、= ;7. MN PQ ;8.到三边的距离相等； 9.120 ；；二、选择题三、解答题略。
角平分线练习题
角平分线练习一、选择题1。
已知:如图1,B E,C F是△ABC的角平分线,B E，CF相交于D,若∠A=50°，则∠BDC=（）A。
70° B。
120° C.115° D。
130°2。
已知：如图2,△ABC中,AB = AC,BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ )A。
10° B. 20°C。
30° D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C。
三条角平分线的交点 D。
三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上,∠AOB = 60°，OP = 10 cm,那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A。
5cm 、cm B. 4cm、5cmC. 5cm、5cm D。
5cm、10cm5。
下列四个命题的逆命题是假命题的是（)A。
直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C。
全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC,OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于( ）cmA. 2、2、2 B。
3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1。
命题:“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ,它是命题。
2.角平分线可以看作是的点的集合。
3。
已知：△ABC中,∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。
4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |"的命题是 ,它是命题。
三、简答题1。
已知:如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE,∠1=∠2，AD = AC求证:DC∥AE2。
角平分线练习
角平分线（练习）
1、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立
的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
（第1题）（第2题）（第3题）
2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB 的距离是______________。
3、如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=________
4、如图：△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，过D分别作D E⊥AB，DF⊥AC，
求证：DE=DF
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于9．
求：△ADC的面积．
6、已知∠A=∠B=90°，∠BCD、∠ADC的平分线交AB于E．求证：AE=BE．
7、如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE=ED，点F在PA上，∠APB=60°，∠PEF=15°．求∠CFE的度数．
如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）
数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．。
角平分线的判定练习题
角平分线的判定练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，点D在边BC上，若AD平分∠BAC，则下列哪个条件是错误的？A. ∠BAD = ∠DACB. AD是角平分线C. ∠B = ∠CD. ∠BAD + ∠DAC = 90°2. 角平分线的性质是：A. 将角分为两个相等的角B. 将边分为两个相等的线段C. 将角分为两个不相等的角D. 将角平分线所在的三角形分为两个面积相等的三角形3. 如果点E在三角形ABC的角平分线AD上，那么下列哪个结论是正确的？A. AE = ECB. ∠BAE = ∠CAEC. BE = CDD. ∠BEC = ∠C4. 在三角形ABC中，如果BD是角平分线，那么下列哪个条件可以证明BD是角平分线？A. ∠ABD = ∠DBCB. ∠ABC = ∠ACBC. AB = ACD. BC = BD5. 在三角形ABC中，如果AD是角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，那么下列哪个结论是正确的？A. DE = DFB. ∠ADE = ∠ADFC. AD = BDD. ∠BAC = 90°二、填空题6. 在三角形ABC中，若AD是角平分线，则∠BAD与∠CAD的关系是________。
7. 如果三角形ABC的角平分线AD与BC的垂直平分线相交于点E，则点E是三角形ABC的________。
8. 在三角形ABC中，若BD是角平分线，且BD=CD，则三角形ABC是________三角形。
9. 如果三角形ABC的角平分线AD将∠BAC平分为两个40°的角，那么∠ABC的大小是________。
10. 在三角形ABC中，若AD是角平分线，且∠BAC=60°，则∠B与∠C 的大小关系是________。
三、简答题11. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将角分为两个相等的角。
12. 如果在三角形ABC中，AD是角平分线，且AB=AC，说明AD是否垂直于BC，并解释原因。
角平分线(练习)(解析版)-八年级数学 下册
第一章三角形的证明第四节角平分线精选练习一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC 交CD 于点E ，8,3BC DE ，则BCE 的面积等于（）A ．24B ．12C ．8D ．4∵CD 是AB 边上的高线，∴DE BD ，∵BE 平分ABC ，3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，DE 平分ADC ，55B ，35C ，则ADE （）A ．50B ．55C ．60D ．62.5123货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处【答案】D 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90A ，BP 平分ABC 交AC 于点P ，若4cm PA ，13cm BC ，则BCP 的面积是（）A ．252cm B ．213cm C ．245cm D ．226cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得4cm PH PA ，即可直接求得BCP 的面积．【详解】解：过点P 作PH BC 于点H ，∵BP 平分ABC ，4cm PH PA ，∵13cm BC ，2113426cm 2BCP S△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得BCP 的高．．（秋八年级单元测试）如图，是ABC 的角平分线，于点，且DE DG ，52ADG S ，38AED S △，则DEF 的面积为（）A ．7B ．12C ．8D ．14【答案】A 【分析】过点D 作DH AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF DH ，然后利用“HL ”证明Rt DEF △和Rt DGH △全等，根据全等三角形的面积相等可得EDF GDH S S ，设面积为S ，然后根据ADF ADH S S V V 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC 于H ，∵AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∴DF DH ，在Rt DEF △和Rt DGH △中，DE DG DF DH，∴ Rt Rt HL DEF DGH ≌ ，∴EDF GDH S S ，设面积为S ，同理Rt Rt ADF ADH ≌ ，∴ADF ADH S S V V ，即3852S S ，解得7 S ，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明Rt Rt DEF DGH ≌ ．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P 是AOB 的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ，若60AOB ，8OC ，则PD ___________为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC 、于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于点G ．如果6AB ，8BC ，ABG 的面积为12，则CBG 的面积为________．【答案】16【分析】由作图步骤可知：BG 为ABC 的角平分线，过G 作,GH BC GM AB ，可得GM GH ，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：由作图作法可知：BG 为ABC 的角平分线过G 作,GH BC GM AB ，∴GM GH∴16218ABG AB GM S AB S BC为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE =3，则DF =_______．【答案】6【分析】过点D 作 DM OB ，垂足为M ，则3DM DE ，在Rt OEF △中，利用三角形内角和定理可求出30 DFM ，在Rt DMF △中，由30 角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】解：过点D 作 DM OB ，垂足为M ，如图所示．OC ∵是AOB 的平分线，3DM DE ．在Rt OEF △中，90OEF ，60EOF ，30OFE ，即30 DFM ．在Rt DMF △中，90DMF ，30 DFM ，26DF DM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30 角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，AD 平分BAC ，10BC ，6CD ，则点D 到AC 的距离为______．【答案】4【分析】过点D 作DE AC 于点E ，再根据角平分线的性质，即可进行解答．【详解】解：过点D 作DE AC 于点E ，∵10BC ，6CD ，∴1064BD BC CD ，∵AD 平分BAC ，90B Ð=°，DE AC ，∴4DE BD ，即点D 到AC 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．三、解答题11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图，DE AB 于E ，DF AC 于F ，AD 平分BAC ，若BD CD ，10AB ，18AC ，求BE 的长．【答案】4BE ，【分析】先证明Rt BDE 与Rt CDF 全等得BE CF ，再证明Rt ADE △与Rt ADF 全等得AE AF ，设=BE CF x ，通过等量代换列方程即可求解．【详解】解：DE AB DF AC ∵，，AD 平分BACDE DF在Rt BDE 与Rt CDF 中DE DF BD CDRt BDE Rt CDF HL BE CF在Rt ADE △与Rt ADF 中DE DF AD ADRt ADE Rt ADF HL AE AF设=BE CF x ，18AC ∵，10AB ，∴18AF AC FC x ，10AE AB BE x1810x x4x 即4BE 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ，求证：AD 垂直平分EF【答案】见解析【分析】根据AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，可得DE DF ，90DEA DFA ，则可证DEF DFE ，并得AEF AFE ，可证得AE AF ，根据DE DF ，AE AF ，得到点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，可证AD 垂直平分EF ．【详解】证明∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴DE DF ，90DEA DFA ，∴DEF DFE ，∴DEA DEF DFA DFE ，∴AEF AFE∴AE AF ，∵DE DF ，AE AF ，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD 平分CAB ，若:4:5ACD ABD S S △△，则:AB AC ________．【答案】5:4【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求得．【详解】∵AD 平分CAB ，∴D 到AC 、AB 的距离相等，又∵:4:5ACD ABD S S △△根据三角形面积等于底乘以高，∴:5:4AB AC ，答案为∶5:4．【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，E为AC的中点，AD平分23BAC BA CA，：：，AD与BE相交于点O，若OAE△的面积比BOD的面积大2，则ABC的面积是_____∵AD平分BAC，∴DM DN，∴121ABDAB DN S BD△是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AF ，若26ACB ，25CBE ，则AED ∠___________．【答案】39°【分析】连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE BE ，ER EF ，根据全等求RCE EBF ，求出26ACB QED ，求出65BED CED ，求出REF 的度数，再求出CAB ，求出CAE ，根据三角形的外角性质求出DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，∵DE 是线段BC 的中垂线，∴90EDC ，CE BE ，∴ECB CBE ，∵25CBE ，∴25ECB ，∴902565DEB CED ，∵ER AC ED BC ，，∴90QRC QDE ，9090ACB CQR EQD QED ，，CQR EQD ∵，ACB QED ，26ACB ∵，26QED ，AE ∵平分CAM ER AC EF AM ，，，ER EF ，在Rt ERC 和Rt EFB △中，CE BE ER EFRt ERC Rt EFB HL ≌（），262551EBF ACE ACB ECD ，90EFB ∵，90905139BEF EBF ，266539130REF RED BED BEF ，90ARE AFE ∵，360909013050CAM ，AE ∵平分CAM ，252651DOE CAE ACB ，ED BC ∵，90EDB ，90905139AED DOE ，故答案为：39°．【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB ，OC OD ，OA OC ，40AOB COD ．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①40AMB ，②AC BD ，③OM 平分AOD ，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【分析】由SAS 证明AOC BOD △△≌得出OCA ODB ，AC BD ，②正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，得出40 AMB AOB ，①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示：则90OGA OHB ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；假设MO 平分AOD ，则 DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ≌ ，得AO OD ，而OC OD ，所以OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵40AOB COD ，∴AOB BOC COD BOC ，即AOC BOD ，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD，∴AOC BOD △△≌ SAS ，∴OCA ODB ，AC BD ，故②正确；同时OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，∴40 AMB AOB ，故①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示，则90OGA OHB ，∵AOC BOD △△≌，∴OG OH ，∴MO 平分AMD ∠，故④正确；假设MO 平分AMD ∠，则 DOM AOM ，在AMO 与DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO，∴AMO DMO ≌ SAS ，∴AO OD ，∵OC OD ，∴OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；正确的个数有3个，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，BAC 的角平分线与线段BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ，DF AC ，垂足分别为点E 、F ．若10＝AB ，8AC ＝，则BE ______．【答案】1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF DE ，再利用中垂线性质得到CD BD ．进而证明 Rt Rt CDF BDE HL ≌，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ，DF AC ，∴DF DE ，90F DEB ，ADF ADE ，∴AF AE ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD BD ，在Rt CDF △和Rt BDE △中，CD BD DF DE，∴ Rt Rt CDF BDE HL ≌，∴BE CF ，∴2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE ，∵10AB ，8AC ，∴1BE 故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．二、解答题6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点C 是MAN 的平分线上一点，CE AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB ．求证：12180 ．34 ∵，CE AM ，CF CE ，CFD CEB 1AE AD AB∵，AD AF ACE ，BD 交AC 于点F ，连接AD ．(1)当40BAC =时，求BDC 的度数．(2)请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明．(3)求证：AD BE ∥．【答案】(1)20(2)12BDC BAC ，证明见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出70ABC ACB ，再利用邻补角的定义得到110ACE ，然后根据角平分线的定义可计算出1352DBC ABC ，1552ECD ACE ，再利用三角形外角性质可计算出BDC ；（2）由外角的性质得到1122BDC ABC ACE ，BAC ABC ACE ，即可得出12BDC BAC ；（3）作DM BG 于M ，DN AC 于N ，DH BE 于H ，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．【详解】（1）解：∵AB AC ，40BAC ，∴ 118040702ABC ACB，∴110ACE ，∵BD ，CD 分别平分EBA ，ECA ，形的性质，角平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知ABC 为等边三角形，取ABC 的边,AB BC 中点,D E ，连接DE ，如图1，易证DBE 为等边三角形，将DBE 绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD ，其中080I ．(1)如图2，当60 时，连接,AD CE ，求证：AD CE ；(2)在DBE 旋转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接,AD CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，求证：FB 平分AFE ；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段,AF BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AF CF BF ，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到答案；（2）过点B 作BN AD 于N ，过点B 作BH CE 于H ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到AD CE ，ABD CBE S S ，BAD BCE ，利用等面积得到BN BH ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；（3）在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABM CBF △≌△，利用全等的性质即可得到答案．ABC ∵ ，DBE 都是等边三角形，AB BC ，BD BE ，ABC ABD CBE ，在ABD △和CBE △中，FB 平分AFE ；（3）解：AF CF BF ．理由如下：在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示：60AFB ∵，MF FB ，MFB △是等边三角形，MB BF ，60MBF ABC ，ABM CBF ，在ABM 和CBF V 中，CB AB ABM CBF BM BFSAS ABM CBF △≌△，AM CF ，AF AM MF ∵，AF CF BF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。
八年级数学下册《角平分线》同步练习1(含答案)
1.4 角平分线一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE______PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_______∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图（5），已知OM平分∠POQ，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△POM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.2.如下图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC参考答案一、1.√ 2. × 3.√ 4.×二、1.=2.=3.14.905.4三、1.C 2.A 3.B 4. D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF=DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC.。
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角平分线试题一、填空题（每小题3分，共30分）
1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为
.
2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．
3．∠AOB的平分线上一点M ，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为
_____________．
10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．三角形中到三边距离相等的点是（）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点
第4题第5题第6题第7题
C 、三条中线的交点
D 、三条角平分线的交点
12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）
A 、PD ＝PE
B 、OD ＝OE
C 、∠DPO ＝∠EPO
D 、PD ＝OD
13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A 、1处
B 、2处
C 、3处
D 、4处
14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6
㎝，则△DEB 的周长为（ ）
A 、4㎝
B 、6㎝
C 、10㎝
D 、不能确定
2
1D
A
P
O
E
B
l 2
l 1
l 3
D
C
A
E
B
第12题 第13题 第14题 15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）
A 、TQ ＝PQ
B 、∠MQT ＝∠MQP
C 、∠QTN ＝90°
D 、∠NQT ＝∠MQT
N
T
Q
P
M
E
D
C
B
A
E
D
C B
A
F
第15题 第16题 第17题
16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．4 cm
D ．5 cm
17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．①和②
D ．①②③
18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ） A ．OA =OC B ．点O 到AB 、CD 的距离相等 C ．∠BDA =∠BDC D ．点O 到CB 、CD 的距离相等
19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）
A ．2cm ，2cm ，2cm ；
B ． 3cm ，3cm ，3cm ；
C ． 4cm ，4cm ，4cm ；
D ． 2cm ，3cm ，5cm
20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）
A ．两个三角形全等
B ．如果还有一角相等，两三角形就全等
C ．两个三角形一定不全等
D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等
三、解答与证明（共30分）
22．（6分）如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.
23．（7分）如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .
D
C
A
O 第18题
24．（7分）如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .
F C
A
E
25．（7分）如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.
D
C
B
A
O
E
26．（7分）如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .
角平分线测试题答案
一、填空题
1.135︒;
2.略;
3.1.5cm;
4.30︒;
5. 8cm;
6.=、= ;
7.MN PQ
⊥;
8.到三边的距离相等；9.120︒；10.14；
二、选择题
11.D 12.D 13.A 14.B 15.D 16.B 17.D 18.D 19.A 20.D
三、解答题
略。