第四章无穷级数复习题

第四章无穷级数复习题
一、选择题
1. 若0lim =∞
→n n a ，则数项级数
∑∞
=1
n n
a
（ ）
(A)收敛； (B)发散
(C)收敛且和为0； (D)可能收敛，也可能发散．
2. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 收敛，则级数 ++++4321a a a a （ ） (A)收敛； (B)发散；
(C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛于原级数的和．
3. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 发散，则级数 ++++4321a a a a （ ） (A)收敛； (B)发散；
(C)收敛且和为0； (D) 可能收敛，也可能发散． 4. 若
∑∞
=1
n n
a
收敛，记∑==
n
k k
n a
S 1
，则{}n S （ ）
(A)发散； (B)是无穷大；
(C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛． 5. 若
∑∞
=1
n n
a
的部分和数列{}n S 有界，则级数
∑∞
=1
n n
a
（ ）
(A)发散； (B)收敛；
(C)可能收敛，也可能发散； (D)等于∞+． 6.
∑∞
=1
n n
a
发散，则
∑∞
=1
n n
a
（ ）
(A)收敛； (B)发散；
(C)条件收敛； (D)可能收敛，也可能发散． 7. 设
∑∞
=1n n
a
条件收敛，则下列结论中唯一不正确的是 （ ）
(A)
∑∞
=1n n
a
发散； (B))(0∞→→n a n ；
(C)
∑∞
=1
n n
a
收敛； (D)
∑∞
=1
n n
a
收敛．
8. 级数
∑∞
=+1
11
n n
a
（ ）
(A)必收敛； (B)当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散；
(C) 必发散； (D)当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛． 9. 0lim =∞
→n n a 是级数
∑∞
=1
n n
a
收敛的 （ ）
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既不是充分又不是必要条件． 10. 设a 为常数，则级数
1
(1)(1cos )n
n a n ∞
=--∑ （ ） （A ）发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的值有关 11. 下列级数收敛的是( )
(A) 1
253n n
n
n ∞=-∑ (B) 1
(1)!n
n
n n n ∞
=-∑ (C) 121
n n
n ∞
=-∑ (D) 111
ln(1)n n
n ∞
=+∑ 12. 设正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则下列级数中必收敛的是( )
(A) 11
n n
a ∞
=∑ (B)
1
n n a ∞
=∑
(C)
1
(1)n
n a
∞
=+∑收敛 (D)
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑
13．下列级数中绝对收敛的是( )
(A) 1
32
(1)tan n
n n n ∞
=-∑ (B)
1
(1)21n
n n ∞
=--∑
(C) 2
1(1)2+1
n n n
n ∞
=-∑ (D) 1
1
(1)n
n n n
∞
=+-∑ 14. 设
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，则( )
(A) 若lim 0n n a →∞
=，则
1n
n a
∞
=∑收敛 (B) 若
1
n
n a
∞
=∑收敛 ，则
21
n
n a
∞
=∑也收敛
(C) 若
21
n
n a
∞
=∑收敛，则
1
n
n a
∞
=∑收敛 (D) 若
1
n
n a
∞
=∑发散，则lim n n a →∞
=+∞
15. 下列级数中发散的是
(A) 2
121
(1)
n n n n ∞
=-+∑ (B) 21
2
ln(1)n n ∞
=+∑ (C) 1
2
sin n n ∞
=∑ (D) 2
1
2!n n n n ∞
=⋅∑ 16. 设
∑∞
=1
)(n n
x u
在),(b a 上内闭一致收敛，则∑∞
=1
)(n n x u 在 （ ）
(A)),(b a 上处处收敛； (B)),(b a 上一致收敛；
(C)),(b a 上绝对收敛； (D)],[b a 上一致收敛．
17. 设幂级数
(1)
n
n n a x ∞
=+∑在3x =处条件收敛，则此幂级数的收敛半径为( )
(A) 3R = (B) 4R = (C) 2R = (D) 无法确定 18. 已知幂级数
1
n n n a x ∞
=∑在点0x x =处收敛，又1
lim
(0)n
n n a R R a →∞
+=>，则( ) (A) 00x R ≤≤ (B) 0x R > (C) 0x R ≤ (D) 0x R >
19. 若幂级数
(3)
n
n n a x ∞
=-∑在8x =处收敛，则此幂级数在点1x =-处( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定
二、填空题 1.
2
1
1
41
n
k k
==-∑ ，21
141
k k ∞
==-∑
，
2
2
1
ln(1)n n ∞
=-
=∑ ． 2. 级数11ln(1)n n ∞
=+∑ ；级数21
1
ln(1)n n ∞
=+∑ ．
3. 当p 时，级数1sin 2p
n n π∞
=⎛
⎫ ⎪⎝
⎭∑收敛．
4. 当p 时，级数
1
1
arctan p
n n n ∞
=∑
收敛．
5.
3
44
1
sin n nx
n x
∞
=+∑
在(,)-∞+∞上 ．
6. 幂级数0(3)3n
n
n x n ∞
=--∑的收敛半径R = ． 7. 幂级数0
23n n n
n x n ∞
=+∑的收敛半径R = ．
8. 11lim sin 2
2n n x n x n x
π∞
→==∑ ，其中3[0,]2x ∈．
9. 设1cos (),(,)n nx
S x x n n
∞
==
∈-∞+∞∑，则 0
()d x S x x =⎰ ． 10. 函数1
()(0)f x a a x
=
≠-在0x =的泰勒展开式为 ． 11. ()ln f x x =在1x =处的Taylor 展开式为 ．
12.
2
1
(1)
x -展成x 的幂级数为 ． 13. 函数x
e 在1x =处的Taylor 级数展开式是 ．
14. 把1, 01,
()0, 1 2.
x f x x <<⎧=⎨
<<⎩展为以4周期的正弦级数，则此级数在7x =处的值为
(7)S = ．
15. 设, 0
()1, 0x e x f x x ππ
-⎧-≤<=⎨≤<⎩，则其以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛
于 ．
16. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为3
2, 10,
(), 0 1.
x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的以2为周期的Fourier 级数在1x =处收敛于 ．
17. 设2
0cos ()n
n x a
nx x ππ∞
==
-≤≤∑，则2a = ．
三、解答题 1. 求幂级数
1
1n n nx
∞
-=∑的收敛域及其和函数。

2. 求幂级数
1(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域，并求其和函数．
3. 求幂级数
11
(1)
n n x n n ∞
=+∑的和函数。

4. 求幂级数
21
(21)n
n n x
∞
=-∑的和函数。

5.将函数1
431
)(2+-=
x x x f 展开为x 的幂级数。

6. 将()arctan f x x =展开为x 的幂级数，并求级数1
1(1)21
n n n +∞
=--∑的和。

7.将函数2()23
x
f x x x =--在02x =处展开为幂级数．
8.将函数1
()4x f x x
-=-在1x =展开为Taylor 级数,并求()(1).n f。