湖南湘潭2019中考试卷-数学(解析版)

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2019年湖南省湘潭中考数学试卷含答案

点 C ，连接 MA、MC ，已知 M 半径为 2， AMC 60 ，双曲线 y k x＞0 经过圆心 M .
x （1）求双曲线 y k 的解析式；
x （2）求直线 BC 的解析式.
24.（8 分）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌. 小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2 800 元，平均每天的总利润为 1 280 元. （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒.若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
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湖南省湘潭市 2019 年初中学业水平考试
数学
此
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 24 分）
1.下列各数中是负数的是
A. | 3 |
B. 3
C. 3
卷
2.下列立体图形中，俯视图是三角形的是
（） D. 1
3 （）
上
A
B
C
D
3.今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约 24 000 人，24 000 用科学记数法表示为
18.（6 分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用
其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： x3 y3 x y x2 xy y2 立方差公式： x3 y3 x y x2 xy y2

湖南省湘潭市2019年中考[数学]考试真题与答案解析

湖南省湘潭市2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分。

1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6B．6C．﹣D．2．地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.6×108B．6×107C．6×108D．6×1093．已知2x n+1y3与x4y3是同类项，则n的值是（）A．2B．3C．4D．54．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算中正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（）﹣1＝﹣2C．（2﹣）0＝1D．a3•a3＝2a66．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°7．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25B．0.3C．25D．308．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1二、填空题本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分。

9．计算：sin45°＝．10．在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为．（任意写出一个即可）11．计算：＝．12．走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是步．13．若，则＝．14．如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为．15．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为．16．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是．三、解答题本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分。

2019年湖南省湘潭市中考数学试题及参考答案(word解析版)

2019年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷（考试时量：120分钟满分120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，满分24分）1．下列各数中是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3）D．2．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．3．今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为（）A．0.24×105B．2.4×104C．2.4×103D．24×1034．下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a25．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4 B．2 C．1 D．﹣46．随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是107．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°8．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．函数y＝中，自变量x的取值范围是．10．若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝．11．为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是．12．计算：（）﹣1＝．13．将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为．14．四边形的内角和是．15．如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019年初中毕业升学考试(湖南湘潭卷)数学【含答案及解析】

2019年初中毕业升学考试（湖南湘潭卷）数学【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣12. 下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（）A． B． C． D．3. 下列计算正确的是（）A． B． C． D．4. 在△ABC中，D．E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．205. 下列四个命题中，真命题是（）A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是6. 如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是∠MND的角平分线．若∠AMN=56°，则∠MNH的度数是（）A．28° B．30° C．34° D．56°7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（）A．60° B．90° C．100° D．120°8. 如图，观察二次函数的图象，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④二、填空题9. 的倒数是．10. 计算：= ．11. 在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止到5月底，王老师获得网络点赞共计183000个，用科学记数法表示这个数为．12. 高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：5、7、9、10、7，则这组数据的众数是．13. 湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4000元．那么当日售出成人票张．14. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．15. （2015湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．16. 小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为cm2．（结果保留π）三、解答题17. 解不等式组：．18. 先化简，再求值：，其中．19. “东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，≈1.73）20. 2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、B、C、D四所．（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；（2）求填报方案中含有A学校的概率．21. 水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”（1994年以前为7月1日至7日），从1991年起，我国还将每年5月的第二周作为城市节约用水宣传周．某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区5000户家庭中随机抽取100户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图表：请根据上面的统计图表，解答下列问题：（1）在频数分布表中：m= ，n= ；（2）根据题中数据补全频数直方图；（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价格？22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E 处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）请根据图象直接写出不等式的解集．24. 阅读材料：用配方法求最值．已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．示例：当时，求的最小值．【解析】，当，即时，的最小值为6．（1）尝试：当时，求的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？25. 如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P 为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．（1）知识探究（如图1）：①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．（2）知识运用（如图2）：当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．26. 如图，二次函数的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

湖南省湘潭市2019年中考数学试卷(有答案)

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0B．|﹣6| C．﹣6 D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=24．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．05．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是506．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A． +3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=1008．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．10．分解因式：2a2﹣3ab= ．11．四边形的内角和的度数为．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= ．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是．（结果保留π）15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是（任写一个符合条件的即可）．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．21．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？25．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．2019年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0B．|﹣6| C．﹣6 D．【考点】有理数大小比较．【分析】计算出结果，然后进行比较．【解答】解：（﹣6）0=1|﹣6|=6，因为﹣6＜＜1＜6，故选B．【点评】本题考查了有理数大小的比较，掌握零指数和绝对值的概念是关键．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确．故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=2【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】计算题．【分析】根据二•次根式的加减法对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据单项式的乘法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、3与不能合并，所以A选项错误；B、原式=8x6，所以B选项错误；C、原式=10ab，所以C选项正确；D、原式==，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣1=0，x+1≠0，解得，x=1．故选B．【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是50【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】由平均数、众数、中位数、方差的定义即可判断．【解答】解：（A）平均数为： =105，故A正确；（B）出现最多的数据是104，故B正确；（C）先排序：96、104、104、116，所以中位数为=104，故C正确；（D）方差为： [（96﹣105）2+（104﹣105）2+（104﹣105）2+（116﹣105）2]=51，故D错误故选（D）【点评】本题考查数据的分析，涉及平均数、众数、中位数、方差等知识，综合程度较高．6．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A． +3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=100【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得：3x+=100；故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．8．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，得到S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，得到S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，于是得到结论．【解答】解：设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，BE=t，∴S=t2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，如图2，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，S=a2﹣（t﹣m）2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，综上所述，S与t的图象分为三段，第一段为开口向上的抛物线的一部分，第二段为与x轴平行的线段，第三段为开口向下的抛物线的一部分．故选A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．10．分解因式：2a2﹣3ab= a（2a﹣3b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．【解答】解：2a2﹣3ab=a（2a﹣3b）．故答案为：a（2a﹣3b）【点评】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，解题时注意：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．11．四边形的内角和的度数为360°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），求解即可．【解答】解：（4﹣2）×180°=360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．【考点】概率公式．【分析】让1除以三馆参观的场馆总个数即为所求的概率．【解答】解：1÷3=．答：小张同学选择参观博物馆的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= 2 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，从而计算出EF的值．【解答】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，∴=，即=，∴=，∴EF=2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是π．（结果保留π）【考点】弧长的计算．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】根据题意，利用弧长公式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：l==π，故答案为：π【点评】此题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是2x （任写一个符合条件的即可）．【考点】完全平方式．【专题】推理填空题．【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，∴添加的单项式可以是2x．故答案为：2x．【点评】此题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a2±2ab+b2=（a±b）2．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为x2+y2=1 ．【考点】坐标与图形性质．【专题】新定义．【分析】根据以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2进行判断即可．【解答】解：∵以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∴以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y﹣0）2=12，即x2+y2=1，故答案为：x2+y2=1．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质．解决问题的关键是掌握以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（1，2），C1（3，1）；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称及关于y轴对称点的纵坐标相等、横坐标互为相反数可得；（2）待定系数法求解可得．【解答】解：（1）如图，点A1的坐标为（2，4）、点B1的坐标为（1，2）、点C1的坐标为（3，1），故答案为：（2，4），（1，2），（3，1）；（3，1）代入y=，得：k=3，（2）将点C1∴反比例函数解析式为y=．【点评】本题主要考查关于坐标轴对称点的坐标特点和待定系数法求函数解析式能力，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是关键．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．【考点】分式的化简求值．【分析】先将分子因式分解，再约分，最后计算分式的减法即可化简原式，将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=3时，原式==．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）【考点】解直角三角形的应用．【分析】首先利用勾股定理求出CD 的长度，然后求出小胖每天晨跑的路程，进而求出平均速度．【解答】解：∵ABED 是正方形，∠DCE=45°，AB=100米， ∴DE=CE=100米，在直角三角形DEC 中， DC 2=DE 2+CE 2，即DC=100，∴四边形ABCD 的周长为100+100+100+100+100=400+100，∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟， ∴小胖每天晨跑的路程为（2000+500）米，∴小胖同学该天晨跑的平均速度（2000+500）÷20=100+25≈135.25米/分．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用勾股定理求出DC 的长度，此题难度不大．20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1=1时，求另一个根x 2的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣，再代入可得答案．【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣3）2﹣4×1×m=9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x 1+x 2=﹣=3，x 1=1，∴x 2=2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．21．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连接BD 、OB ．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出△AEC∽△DEB；（2）设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此题得解．【解答】（1）证明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB．（2）解：设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2．∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4．∵△AEC∽△DEB，∴，即，解得：r=5．【点评】本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出方程是解题的关键．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是50 人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图的数据计算即可；（2）计算出共自行车租公赁系统运行前、后的百分比，计算即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由条形图可知，被调查的总人数是10+15+25=50人，故答案为：50；（2）共自行车租公赁系统运行前，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：15÷50=30%，公共自行车租赁系统运行后，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：100%﹣36%﹣14%=50%，50%﹣30%=20%，答：公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了20%；（3）公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有：2000×50%=1000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）第一胎有男、女两种可能，第二胎由男男、男女、女男、女女四种可能，据此画出树状图，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好是1男1女的有2中可能，=．∴P（恰好是1男1女的）（2）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，这三个小孩中至少有1个女孩的有7种结果，=．∴P（这三个小孩中至少有1个女孩）【点评】此题考查了树状图的应用，解题的关键是认真审题画出树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】根据题意分别利用当x≤10时，以及当x＞10时，表示总费用进而求出符合题意的答案．【解答】解：设购买国学经典x套，则购买少儿读物（20﹣x）套，当x≤10时，则2920≤100（20﹣x）+200x≤3100，解得：9.2≤x≤11，故x=10，当x＞10时，则2920≤100（20﹣x）+200×0.9x≤3100，解得：11.5≤x≤13.75，故x=12或x=13，当x=10时，总费用为：100×10+2000=3000（元），当x=12时，总费用为：8×100+200×0.9×12=2960（元），当x=13时，总费用为：7×100+200×0.9×13=3040（元），故共有3种购买方案，购买国学经典12套，则购买少儿读物8套方案费用最低．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系是解题关键．25．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．首先证明△ABE≌△ACF，再证明△AEM ≌△FEC，即可解决问题．（2）①结论：EC+CF=BC．如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．利用（1）的结论解决问题．②结论：CE+CF=．如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．利用（1）的结论解决问题．（3）如图4中，作BM⊥AC于M．利用（1）的结论：CG=CE+CF，求出CE即可解决问题．【解答】（1）证明：如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠B=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，。

湖南湘潭市2019年中考数学试卷(解析版)

湖南省湘潭市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.(2018•湘潭)下列运算正确得就是( )A. |﹣3|=3B.C. (a 2)3=a 5D. 2a •3a=6a考点: 单项式乘单项式;相反数;绝对值;幂得乘方与积得乘方。

分析: A 、根据绝对值得性质可知负数得绝对值就是它得相反数;B 、根据相反数得定义可知负数得相反数就是正数;C 、根据幂得乘方法则计算即可;D 、根据单项式与单项式相乘,把她们得系数分别相乘,相同字母得幂分别相加,其余字母连同她得指数不变,作为积得因式,计算即可.解答: 解:A 、|﹣3|=3,正确;B 、应为﹣(﹣)=,故本选项错误;C 、应为(a 2)3=a 2×3=a 6,故本选项错误;D 、应为2a •3a=6a 2,故本选项错误.故选D.点评: 综合考查了绝对值得性质,相反数得定义,幂得乘方与单项式乘单项式,就是基础题型,比较简单.2.(2018•湘潭)已知一组数据3,a,4,5得众数为4,则这组数据得平均数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 考点:算术平均数;众数。

分析: 要求平均数只要求出数据之与再除以总个数即可;众数就是一组数据中出现次数最多得数据,注意众数可以不止一个.依此先求出a,再求这组数据得平均数.解答: 解:数据3,a,4,5得众数为4,即得4次数最多; 即a=4.则其平均数为(3+4+4+5)÷4=4.故选B.点评: 本题考查平均数与众数得意义.平均数等于所有数据之与除以数据得总个数;众数就是一组数据中出现次数最多得数据.3.(2009•广州)下列函数中,自变量x 得取值范围就是x≥3得就是( )A. y =B. y=C. y=x ﹣3D. y= 考点: 函数自变量得取值范围;分式有意义得条件;二次根式有意义得条件。

分析: 分式有意义,分母不等于0;二次根式有意义:被开方数就是非负数就可以求出x 得范围.解答: 解:A 、分式有意义,x ﹣3≠0,解得:x≠3;B 、二次根式有意义,x ﹣3＞0,解得x ＞3;C 、函数式为整式,x 就是任意实数;D 、二次根式有意义,x ﹣3≥0,解得x≥3.故选D.点评: 本题考查得就是函数自变量取值范围得求法.函数自变量得范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式就是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式就是分式时,考虑分式得分母不能为0;(3)当函数表达式就是二次根式时,被开方数非负.4.(2018•湘潭)如图,从左面瞧圆柱,则图中圆柱得投影就是()A. 圆B. 矩形C. 梯形D. 圆柱考点:平行投影。

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案)

湖南省湘潭市 2019 年中考数学试卷　一、选择题1．（3 分）（2019•湘潭）下列各数中是无理数的是（）　A．B．﹣2C．0D．考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、正确；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选 A．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数．　2．（3 分）（2019•湘潭）下列计算正确的是（）　A．a+a2=a3B． 2﹣1=C．2a•3a=6aD．2+ =2考点：单项式乘单项式；实数的运算；合并同类项；负整数指数幂．专题：计算题．分析：A、原式不能合并，错误； B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式不能合并，错误．解答：解：A、原式不能合并，故选项错误； B、原式=，故选项正确； C、原式=6a2，故选项错误； D、原式不能合并，故选项错误．故选 B．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　3．（3 分）（2019•湘潭）如图，AB 是池塘两端，设计一方法测量 AB 的距离，取点 C，连接 AC、BC，再取它们的中点 D、E，测得 DE=15 米，则 AB=（）米．　A．7.5B．15C．22.5D．30考点：三角形中位线定理专题：应用题．分析：根据三角形的中位线得出 AB=2DE，代入即可求出答案．解答：解：∵D、E 分别是 AC、BC 的中点，DE=15 米， ∴AB=2DE=30 米，故选 D．点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．　4．（3 分）（2019•湘潭）分式方程的解为（）　A．1B．2C．3D．4考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验 x=3 是分式方程的解．故选 C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．（3 分）（2019•湘潭）如图，所给三视图的几何体是（）　A．球B．圆柱C．圆锥D．三棱锥考点：由三视图判断几何体分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选 C．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．　6．（3 分）（2019•湘潭）式子有意义，则 x 的取值范围是（）　A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得 x 的取值范围．解答：解：根据题意，得 x﹣1≥0，解得，x≥1．故选 C．点评：此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7．（3 分）（2019•湘潭）以下四个命题正确的是（） A．任意三点可以确定一个圆 B．菱形对角线相等 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．平行四边形的四条边相等考点：命题与定理分析：利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案．解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等．故选 C．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．　8．（3 分）（2019•湘潭）如图，A、B 两点在双曲线 y=上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影 =1，则 S1+S2=（）　A．3B．4C．5D．6考点：反比例函数系数 k 的几何意义．分析：欲求 S1+S2，只要求出过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线 y=的系数 k，由此即可求出 S1+S2．解答：解：∵点 A、B 是双曲线 y=上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选 D．点评：本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．二、填空题 9．（3 分）（2019•湘潭）﹣3 的相反数是　3　．考点：相反数．分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．解答：解：﹣（﹣3）=3，故﹣3 的相反数是 3．故答案为：3．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆． 10．（3 分）（2019•湘潭）分解因式：ax﹣a=　a（x﹣1）　．考点：因式分解-提公因式法．分析：提公因式法的直接应用．观察原式 ax﹣a，找到公因式 a，提出即可得出答案．解答：解：ax﹣a=a（x﹣1）．点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．该题是直接提公因式法的运用．　11．（3 分）（2019•湘潭）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计平均数方差甲0.40.026乙0.40.137则这两种电子表走时稳定的是　甲　．考点：方差；算术平均数．分析：根据方差的意义判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．解答：解：∵甲的方差是 0.026，乙的方差是 0.137， 0.026＜0.137， ∴这两种电子表走时稳定的是甲；故答案为：甲．点评：本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12．（3 分）（2019•湘潭）计算：（）2﹣|﹣2|=　1　．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2 =1．故答案为：1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（3 分）（2019•湘潭）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若满足　∠1=∠2　，则 a、b 平行．考点：平行线的判定．专题：开放型．分析：根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2 时，a∥b．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等两直线平行），故答案为：∠1=∠2．点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行． 14．（3 分）（2019•湘潭）如图，⊙O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切⊙O 于 A 点，则 PA=　4　．考点：切线的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先根据切线的性质得到 OA⊥PA，然后利用勾股定理计算 PA 的长．解答：解：∵PA 切⊙O 于 A 点， ∴OA⊥PA，在 Rt△OPA 中，OP=5，OA=3，∴PA==4．故答案为 4．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 15．（3 分）（2019•湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共 589 人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的 2 倍多 56 人．设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，可列方程为　2x+56=589﹣x ．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．分析：设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的 2 倍多 56 人．列方程即可．解答：解：设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，由题意得，2x+56=589﹣x．故答案为：2x+56=589﹣x．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．　16．（3 分）（2019•湘潭）如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是　16　，第　672　行最后一个数是 2019．考点：规律型：数字的变化类．分析：每一行的最后一个数字构成等差数列 1，4，7，10…，易得第 n 行的最后一个数字为 1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第 6 行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是 2019 在哪一行．解答：解：每一行的最后一个数字构成等差数列 1，4，7，10…，第 n 行的最后一个数字为 1+3（n﹣1）=3n﹣2， ∴第 6 行最后一个数字是 3×6﹣2=16； 3n﹣2=2019 解得 n=672．因此第 6 行最后一个数字是 16，第 672 行最后一个数是 2019．故答案为：16，672．点评：此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．三、综合解答题 17．（2019•湘潭）在边长为 1 的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上，（1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为　（﹣3，2）　；（2）将△AOB 向左平移 3 个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1 的坐标为　（﹣2，3）　．考点：作图-平移变换；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．专题：作图题．分析：（1）根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点 A、O、B 向左平移后的对应点 A1、O1、B1 的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．解答：解：（1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1 如图所示；（3）A1 的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．点评：本题考查了利用平移变换作图，关于 y 轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．　18．（2019•湘潭）先化简，在求值：（ +）÷ ，其中 x=2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=[+]• =•=，当 x=2 时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　19．（2019•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线 L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过），与 L 相交于 D 点，经测量∠ABD=135°，BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（ ≈1.414，精确到 1 米）考点：勾股定理的应用．分析：首先证明△BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得 CD2+BC2=BD2，然后再代入 BD=800 米进行计算即可．解答：解：∵CD⊥AC， ∴∠ACD=90°， ∵∠ABD=135°， ∴∠DBC=45°， ∴∠D=45°， ∴CB=CD，在 Rt△DCB 中：CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400 ≈566（米），答：直线 L 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖．点评：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．　20．（2019•湘潭）如图，将矩形 ABCD 沿 BD 对折，点 A 落在 E 处，BE 与 CD 相交于 F，若 AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△BCF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．21．（2019•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万元/台）1210月污水处理能力（吨/月）200160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2）哪种方案更省钱，说明理由．考点：一元一次不等式组的应用分析：（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．解答：解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据题意，得，解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．∵x是整数，∴x=3或x=4．当x=3时，8﹣x=5；当x=4时，8﹣x=4．答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；（2）当x=3时，购买资金为12×1+10×5=62（万元），当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．因为88＞62，所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键．22．（2019•湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：选择A转盘．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，∴P（A大于B）=，P（A小于B）=，∴选择A转盘．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（2019•湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：（1）参加调查的学生有　200　人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图分析：（1）用A的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）用总人数减去A、B、D的人数，再画出即可；（3）用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．解答：解：（1）参加调查的学生有20÷=200（人）；故答案为：200；（2）C的人数是：200﹣20﹣80﹣40=60（人），补图如下：（3）根据题意得：1200×=960（人），答：全校上网不超过7小时的学生人数是960人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（2019•湘潭）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．考点：两条直线相交或平行问题分析：（1）根据L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，可得出k的值即可；（2）根据直线互相垂直，则k1•k2=﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析式即可．解答：解：（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，∴2k=﹣1，∴k=﹣；（2）∵过点A直线与y=x+3垂直，∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，把A（2，3）代入得，b=﹣3，∴解析式为y=3x﹣3．点评：本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为﹣1．25．（2019•湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S 取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形专题：综合题；探究型．分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=a．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．26．（2019•湘潭）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．考点：二次函数综合题．分析：（1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，∴﹣=2，0=0+0+c，∴b=4，c=0，∴y=﹣x2+4x．（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∵=，∴=，∴=，∵EB∥FC，∴==．∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，∴x=，或x=，∵x B＜x C，∴EB=x B=，FC=x C=，∴4•=，解得k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．∴k=﹣1．（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°，∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC，∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，∴，∴EB•FC=EO•FO．∵x B=，x C=，且B、C过y=kx+4，∴y B=k•+4，y C=k•+4，∴EO=y B=k•+4，OF=﹣y C=﹣k•﹣4，∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），整理得16k=﹣20，∴k=﹣．点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．。

2019年湖南省湘潭市中考数学试题(Word版,含解析)

2019年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3分）﹣2019的绝对值是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝xC．x3•x2＝x6D．x2+y2＝（x+y）23．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°5．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0 6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝．10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为．11．（4分）分别写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为．13．（4分）分式方程的解为x＝．14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为．15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1+（﹣1）201918．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．19．（8分）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值．（2）求k的取值范围．20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1（1）表中m＝，n＝；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2019年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、x3÷x2＝x，正确；C、x3•x2＝x5，故此选项错误；D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C．4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°．故选：B．5．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故选：D．6．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C．7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得c＜﹣2，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．故答案是：a（x﹣y）．10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105．11．【解答】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．故答案为：．12．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+1＝2x，解得x＝1．将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．所以x＝1是原方程的解．14．【解答】解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．故答案为：1．15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故答案为：．16．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝1﹣2×+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），∴m＝2×1＝2；（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，∴k＞﹣2，∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得x+（600+x）＝1200解得x＝300．则600+x＝900．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，由题意，得y≤（300﹣y）．解得y≤75．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，故答案为：89.5～94.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，∴AB＝AG+GB＝36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米．23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．2019年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）﹣6的倒数是（）A．﹣B．C．﹣6D．62．（4分）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（2）2＝6C．+＝D．×＝3．（4分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（）A．B．C．D．4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3（2x﹣1）D．x+2＝3（2x﹣1）5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x26．（4分）已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（）A．平均数是8B．众数是8C．中位数是8D．方差是8 7．（4分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+9．（4分）如图，P A、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）A．P A＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4分）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快速收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为．12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是．13．（4分）不等式组的解集为．14．（4分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝度．15．（4分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是．16．（4分）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝．18．（4分）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：4sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1+|﹣2|．20．（8分）化简：（﹣4）÷．21．（8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC ≌△EAD．22．（10分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；（2）补全频数分布直方图；（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；（2）求证：ND＝NE；（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．24．（10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接P A、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．2019年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）﹣6的倒数是（）A．﹣B．C．﹣6D．6【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣6的倒数是﹣．故选：A．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．（4分）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（2）2＝6C．+＝D．×＝【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．【解答】解：A：＝2，故本选项错误；B：＝12，故本选项错误；C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．3．（4分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3（2x﹣1）D．x+2＝3（2x﹣1）【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以（2x﹣1），把分式方程便可转化成一元一次方程．【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣2＝3（2x﹣1），故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D 不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．6．（4分）已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（）A．平均数是8B．众数是8C．中位数是8D．方差是8【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．【解答】解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，故选：D．【点评】此题考查了学生对平均数，众数，中位数，方差的理解．只有熟练掌握它们的定义，做题时才能运用自如．7．（4分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．8．（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝a tanα，BD＝a tanβ，得出CD ＝BC+BD＝a tanα+a tanβ即可．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．9．（4分）如图，P A、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）A．P A＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【分析】先根据切线长定理得到P A＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥P A时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵P A，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥P A时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；②∵对称轴x＜﹣1，∴﹣＜﹣1，a＞0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确．③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4分）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快速收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为 1.8×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：将180 000 000科学记数法表示为1.8×108．故答案为：1.8×108．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是5．【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．13．（4分）不等式组的解集为x＜﹣3．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜1，解②得：x＜﹣3，则不等式组的解集是：x＜﹣3．故答案为：x＜﹣3．【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．14．（4分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝52度．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为：52．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．15．（4分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是90°．【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故答案为90°．【点评】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．16．（4分）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为；故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝6．【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），解得：n＝3，∴k＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．18．（4分）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，。

湖南湘潭市2019年中考数学试卷

湖南湘潭市2019年中考数学试卷(解析版)(共20页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-湖南省湘潭市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（2018•湘潭）下列运算正确的是（）A．|﹣3|=3B．C．（a2）3=a5D．2a•3a=6a考点：单项式乘单项式；相反数；绝对值；幂的乘方与积的乘方。

分析：A、根据绝对值的性质可知负数的绝对值是它的相反数；B、根据相反数的定义可知负数的相反数是正数；C、根据幂的乘方法则计算即可；D、根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．解答：解：A、|﹣3|=3，正确；B、应为﹣（﹣）=，故本选项错误；C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；D、应为2a•3a=6a2，故本选项错误．故选D．点评：综合考查了绝对值的性质，相反数的定义，幂的乘方和单项式乘单项式，是基础题型，比较简单．2．（2018•湘潭）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（）A．3B．4C．5D．6考点：算术平均数；众数。

分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．解答：解：数据3，a，4，5的众数为4，即的4次数最多；即a=4．则其平均数为（3+4+4+5）÷4=4．故选B．点评：本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．3．（2009•广州）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y =B．y =C．y=x﹣3D．y =考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。

分析：分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．解答：解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3；C、函数式为整式，x是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3．故选D．点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2018•湘潭）如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（）A．圆B．矩形C．梯形D．圆柱考点：平行投影。

湖南省湘潭市2019年中考数学试题(含解析)

2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的地点上，每题 3 分，满分24 分）1．（ 3 分）以下各数中是负数的是（）A ．|﹣ 3|B ．﹣ 3C．﹣（﹣ 3）D．2．（ 3 分）以下立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．3．（ 3 分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000 人， 24000 用科学记数法表示为（）A ．0.24 ×10 5 4 3D．3B ．2.4 ×10 C． 2.4 ×10 24×104．（ 3 分）以下计算正确的选项是（）6 3 2 2 3 5C． 2a+3a＝ 6a D．2A ．a ÷a ＝ aB ．（a ）＝ a 2a?3a＝ 6a5．（ 3 分）已知对于x 的一元二次方程2c＝（）x ﹣ 4x+c＝ 0 有两个相等的实数根，则A ．4B ．2 C． 1 D．﹣ 46．（ 3 分）跟着长株潭一体化进度不停推动，湘潭在交通方面愈来愈让人期望．将要实行的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3 号线南延至湘潭北站，来回长潭两地又将多“地铁”这一选择．为认识人们选择交通工具的意向，随机抽取了部分市民进行检查，并依据检查结果绘制以下统计图，对于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的选项是（）A ．均匀数是 8B ．众数是 11C ．中位数是 2D ．极差是 107．（ 3 分）如图，将△ OAB 绕点 O 逆时针旋转70°到△ OCD 的地点，若∠ AOB ＝40°，则∠ AOD＝（）A ．45°B ．40°C ． 35°D ． 30°8．（ 3 分）现代互联网技术的宽泛应用，催生了快递行业的高速发展．据检查，湘潭某家小型快递企业的分拣工小李和小江，在分拣同一类物品时，小李分拣120 个物品所用的时间与小江分拣 90 个物品所用的时间同样，已知小李每小时比小江多分拣20 个物品．若设小江每小时分拣x 个物品，则可列方程为（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的地点上，每题3 分，满分 24分）9．（ 3 分）函数 y ＝中，自变量 x 的取值范围是．10．（ 3 分）若 a+b ＝5， a ﹣ b ＝3，则 a2﹣ b 2＝．11．（3 分）为庆贺新中国成立 70 周年，某校展开以 “我和我亲爱的祖国 ”为主题的 “快闪 ”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，假如每一位同学被选中的时机均等，则选出的恰为女生的概率是．12．（ 3 分）计算：（ ﹣1＝．）13．（ 3 分）将一次函数 y ＝ 3x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的函数表达式为．15．（ 3 分）如图，在四边形ABCD 中，若 AB＝ CD ，则增添一个条件，能获得平行四边形 ABCD ．（不增添协助线，随意增添一个切合题意的条件即可）16．（ 3 分）《九章算术》是我国古代数学成就的优秀代表作，此中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢 +矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的暗影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦 AB 时， OC 均分 AB）能够求解．现已知弦AB＝ 8 米，半径等于 5 米的弧田，依照上述公式计算出弧田的面积为平方米．三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应地点上，满分72 分）17．（ 6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（ 6 分）阅读资料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完好平方公式之外，还能够应用其余公式，如立方和与立方差公式，其公式以下：立方和公式：x3+y3＝（ x+y）（ x2﹣xy+y2）332 2立方差公式：x ﹣ y ＝（ x﹣ y）（x +xy+y ）依据资料和已学知识，先化简，再求值：﹣，此中x＝3．19．（ 6 分）我国于2019 年 6 月 5 日初次达成运载火箭海上发射，这标记着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭抵达点 A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点 A 的距离为8 千米，仰角为30°．火箭持续直线上涨抵达点 B 处，此时海岸边N 处的雷达测得 B 处的仰角增添15°，求此时火箭所在点 B 处与发射站点M 处的距离．（结果精准到0.1 千米）（参照数据：≈，≈）20．（ 6 分）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学展开以“关怀别人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为认识师生的心理健康状况，对全体2000 名师生进行了心理测评，随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与剖析：①数据采集：抽取的20 名师生测评分数以下85， 82， 94， 72， 78， 89， 96， 98，84， 65，73， 54， 83， 76， 70， 85， 83， 63，92， 90．②数据整理：将采集的数据进行分组并评论等第：分数 x 90≤x＜ 100 80≤x＜ 90 70≤x＜ 80 60≤x＜ 70 x＜ 60人数 5 a 5 2 1等第 A B C D E③数据剖析：绘制成不完好的扇形统计图：④依照统计信息回答以下问题（ 1）统计表中的a＝．（ 2）心理测评等第 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为．（ 3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理指导，请你依据数据剖析结果，预计有多少师生需要参加团队心理指导？21．（ 6 分）如图，将△ ABC 沿着 AC 边翻折，获得△ADC ，且 AB∥ CD．（1）判断四边形 ABCD 的形状，并说明原因；（2）若 AC＝ 16， BC＝ 10，求四边形 ABCD 的面积．22．（ 6 分） 2018 年高一重生开始，湖南全面启动高考综合改革，推行“ 3+1+2的”高考选考方案．“3”指语文、数学、外语三科必考；是“1”指从物理、历史两科中任选一科参加选是考，“2”指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考是（ 1）“1+2”选考方案共有多少种？请直接写出全部可能的选法；的（选法与次序没关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们热爱历史和生物，两人商定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参照，若这三科被选中的时机均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰巧都选中政治的概率．23．（ 8 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴的正半轴交于A、B 两点，与 y 轴的正半轴相切于点C，连结MA、 MC ，已知⊙ M 半径为2，∠ AMC ＝60°，双曲线y＝（x ＞ 0）经过圆心M．（ 1）求双曲线y＝的分析式；（ 2）求直线 BC 的分析式．24．（ 8 分）湘潭政府工作报告中重申，2019 年侧重推动农村复兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮检查了一家湘潭特产店A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售状况， A 种湘莲礼盒进价 72 元 /盒，售价 120 元 /盒， B 种湘莲礼盒进价 40 元 /盒，售价 80 元 /盒，这两种湘莲礼盒这个月均匀每日的销售总数为2800 元，均匀每日的总收益为1280 元．（ 1）求该店均匀每日销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（ 2）小亮调査发现， A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒均匀每日的总收益最大，最大是多少元？225．（ 10 分）如图一，抛物线 y＝ ax +bx+c 过 A（﹣ 1， 0） B（）、C（ 0，）三点（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）P（ x1， y1）、Q（4， y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求 P 点横坐标x1的取值范围；（ 3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，连结 CD 、CB，点 F 为线段 CB 的中点，点M、 N 分别为直线CD 和 CE 上的动点，求△ FMN 周长的最小值．26．（ 10 分）如图一，在射线DE 的一侧以AD 为一条边作矩形ABCD ，AD＝5，CD＝5，点 M 是线段 AC 上一动点（不与点 A 重合），连结 BM ，过点 M 作 BM 的垂线交射线DE 于点 N，连结 BN．（1）求∠ CAD 的大小；（2）问题研究：动点 M 在运动的过程中，①能否能使△AMN 为等腰三角形，假如能，求出线段MC 的长度；假如不可以，请说明理由．②∠ MBN 的大小能否改变？若不改变，恳求出∠MBN 的大小；若改变，请说明原因．（ 3）问题解决：如图二，当动点M 运动到 AC 的中点时， AM 与 BN 的交点为F， MN 的中点为 H ，求线段 FH 的长度．2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题共8 小题，每题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的地点上，每题 3 分，满分24 分）1．（ 3 分）以下各数中是负数的是（）A ．|﹣ 3|B ．﹣ 3C．﹣（﹣ 3）D．【剖析】依据负数的定义可得 B 为答案．【解答】解：﹣ 3 的绝对值＝ 3＞ 0；﹣3＜0；﹣（﹣ 3）＝ 3＞0；＞ 0．应选： B．【评论】本题运用了负数的定义来解决问题，重点是要有数感．2．（ 3 分）以下立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【剖析】俯视图是从物体上边看所获得的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；应选： C．【评论】本题考察了几何体的三种视图，掌握定义是重点．注意全部的看到的棱都应表此刻三视图中．3．（ 3 分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约 24000 人， 24000 用科学记数法表示为（）A ．0.24 ×10 5B ．2.4 ×10 4C ． 2.4 ×10 33D ． 24×10【剖析】科学记数法的表示形式为 a ×10n的形式，此中 1≤|a ＜10， n 为整数．确立 n 的值时，要看把原数变为a 时，小数点挪动了多少位，n 的绝对值与小数点挪动的位数相同．当原数绝对值＞ 10 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．【解答】解：将 24000 用科学记数法表示为： 2.4 ×10 4，应选： B ．【评论】本题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n的形式，其中 1≤|a ＜ 10， n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及 n 的值．4．（ 3 分）以下计算正确的选项是（）63 2 2 35C ． 2a+3a ＝ 6a 2A ．a ÷a ＝ aB ．（a ）＝ a D ． 2a?3a ＝ 6a【剖析】依据同底数幂的除法，幂的乘方，归并同类项法例和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．【解答】解： A 、结果是 a 3，故本选项不切合题意；6B 、结果是 a ，故本选项不切合题意；C 、结果是 5a ，故本选项不切合题意；D 、结果是 6a 2，故本选项切合题意；应选： D ．【评论】本题考察了同底数幂的除法，幂的乘方，归并同类项法例和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解本题的重点．5．（ 3 分）已知对于 x 的一元二次方程 2c ＝（）x ﹣ 4x+c ＝ 0 有两个相等的实数根，则 A ．4B ．2C ． 1D ．﹣ 4【剖析】依据方程有两个相等的实数根联合根的鉴别式即可得出对于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵方程x 2﹣ 4x+c ＝ 0 有两个相等的实数根，∴△＝（﹣ 4）2﹣4×1×c ＝16﹣ 4c ＝ 0，应选： A．【评论】本题考察了根的鉴别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根联合根的鉴别式得出对于 c 的一元一次方程是解题的重点．6．（ 3 分）跟着长株潭一体化进度不停推动，湘潭在交通方面愈来愈让人期望．将要实行的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁 3 号线南延至湘潭北站，来回长潭两地又将多“地铁”这一选择．为认识人们选择交通工具的意向，随机抽取了部分市民进行检查，并依据检查结果绘制以下统计图，对于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的选项是（）A ．均匀数是 8B ．众数是 11 C．中位数是 2 D．极差是 10【剖析】从条形统计图中能够知道共检查40 人，选择公交 7 人，火车 2 人，地铁13 人，轻轨 11 人，其余7 人，极差为 13﹣ 2＝ 11，故 D 不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故 B 不正确，从小到大摆列，第20、 21 个数都是 13，即中位数是13，故 C 是不正确的；（ 7+2+13+11+7 ）÷5＝ 8，即均匀数是8，故 A 事正确的．【解答】解：（ 7+2+13+11+7 ）÷5＝ 8，即均匀数是8，故 A 事正确的．出现次数最多的是13，即众数是 13，故 B 不正确，从小到大摆列，第20、 21 个数都是 13，即中位数是 13，故 C 是不正确的；极差为 13﹣ 2＝ 11，故 D 不正确；应选： A．【评论】考察均匀数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提．7．（ 3 分）如图，将△ OAB 绕点 O 逆时针旋转70°到△ OCD 的地点，若∠ AOB ＝40°，则∠ AOD ＝（）10A ．45°B ．40°C． 35°D． 30°【剖析】第一依据旋转角定义能够知道∠ BOD ＝ 70°，而∠ AOB ＝ 40°，而后依据图形即可求出∠ AOD ．【解答】解：∵△OAB 绕点 O 逆时针旋转70°到△ OCD 的地点，∴∠ BOD＝ 70°，而∠ AOB＝ 40°，∴∠ AOD＝ 70°﹣ 40°＝30°．应选： D．【评论】本题主要考察了旋转的定义及性质，此中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．8．（ 3 分）现代互联网技术的宽泛应用，催生了快递行业的高速发展．据检查，湘潭某家小型快递企业的分拣工小李和小江，在分拣同一类物品时，小李分拣120 个物品所用的时间与小江分拣90 个物品所用的时间同样，已知小李每小时比小江多分拣20 个物品．若设小江每小时分拣x 个物品，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【剖析】依据题意，能够列出相应的分式方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，应选： B．【评论】本题考察由实质问题抽象出分式方程，解答本题的重点是明确题意，列出相应的分式方程．二、填空题（本大题共8 小题，请将答案写在答题卡相应的地点上，每题 3 分，满分24 分）9．（ 3 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是x≠6 ．【剖析】依据分母不等于0 列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣ 6≠0，解得 x≠6．故答案为： x≠6．【评论】本题考察了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不可以为0；（ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（ 3 分）若 a+b＝5， a﹣ b＝3，则 a 2﹣ b2＝15．【剖析】先依据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝ 5， a﹣ b＝ 3，∴a 2﹣ b2＝（ a+b）（ a﹣ b）＝5×3＝15，故答案为： 15．【评论】本题考察了平方差公式，能够正确分解因式是解本题的重点．11．（3 分）为庆贺新中国成立70 周年，某校展开以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，假如每一位同学被选中的时机均等，则选出的恰为女生的概率是．【剖析】随机事件 A 的概率 P（ A）＝事件 A 可能出现的结果数÷全部可能出现的结果数．【解答】解：选出的恰为女生的概率为，故答案为．【评论】本题考察了概率，娴熟运用概率公式计算是解题的重点．12．（ 3 分）计算：（）﹣1＝4．【剖析】依据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：（）﹣1＝＝4，故答案为： 4．【评论】本题考察了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．13．（ 3 分）将一次函数y＝ 3x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的函数表达式为y＝3x+2．【剖析】依据“上加下减”的平移规律进行解答即可．【解答】解：将正比率函数y＝ 3x 的图象向上平移 2 个单位后所得函数的分析式为y＝3x+2，故答案为： y＝ 3x+2．【评论】本题考察的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答本题的重点．14．（ 3 分）四边形的内角和是360 ° ．【剖析】依据n 边形的内角和是（n﹣ 2） ?180°，代入公式就能够求出内角和．【解答】解：（ 4﹣ 2）×180°＝ 360°．故四边形的内角和为360°．故答案为： 360°．【评论】本题主要考察了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．15．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，若 AB＝ CD ，则增添一个条件AD＝BC，能获得平行四边形ABCD ．（不增添协助线，随意增添一个切合题意的条件即可）【剖析】可再增添一个条件AD ＝ BC，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形 ABCD 是平行四边形．【解答】解：依据平行四边形的判断，可再增添一个条件：AD＝ BC．故答案为： AD＝ BC（答案不独一）．【评论】本题主要考察平行四边形的判断．是一个开放条件的题目，娴熟掌握判断定理是解题的重点．16．（ 3 分）《九章算术》是我国古代数学成就的优秀代表作，此中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢 +矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的暗影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦 AB 时， OC 均分 AB）能够求解．现已知弦AB＝ 8 米，半径等于 5 米的弧田，依照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．【剖析】依据垂径定理获得AD＝ 4，由勾股定理获得OD＝＝3，求得OA﹣OD＝ 2，依据弧田面积＝（弦×矢+矢2）即可获得结论．【解答】解：∵弦AB＝ 8 米，半径OC⊥弦 AB，∴ AD＝ 4，∴OD＝＝3，∴ OA﹣ OD＝ 2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为： 10．【评论】本题考察垂径定理的应用，重点是依据垂径定理和扇形面积解答．三、解答题（本大题共10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应地点上，满分72 分）17．（ 6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【剖析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解不等式①得，x≤3，解不等式②，x＞﹣ 1，因此，原不等式组的解集为﹣1＜ x≤3，在数轴上表示以下：．【评论】本题主要考察了一元一次不等式组解集的求法，其简易求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（ 6 分）阅读资料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完好平方公式之外，还能够应用其余公式，如立方和与立方差公式，其公式以下：立方和公式：x3+y3＝（ x+y）（ x2﹣xy+y2）立方差公式：x3﹣ y3＝（ x﹣ y）（x2+xy+y2）依据资料和已学知识，先化简，再求值：﹣，此中x＝3．【剖析】依据题目中的公式能够化简题目中的式子，而后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣＝＝＝，当 x＝ 3 时，原式＝＝ 2．【评论】本题考察分式的化简求值，解答本题的重点是明确分式化简求值的方法．19．（ 6 分）我国于2019 年 6 月 5 日初次达成运载火箭海上发射，这标记着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭抵达点 A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点 A 的距离为8 千米，仰角为30°．火箭持续直线上涨抵达点 B 处，此时海岸边N 处的雷达测得 B 处的仰角增添15°，求此时火箭所在点 B 处与发射站点M 处的距离．（结果精准到0.1 千米）（参照数据：≈，【剖析】利用已知联合锐角三角函数关系得出BM 的长．【解答】解：以下图：连结OR，由题意可得：∠AMN ＝ 90°，∠ ANM ＝ 30°，∠ BNM ＝ 45°， AN＝ 8km，在直角△ AMN 中， MN ＝ AN?cos30°＝ 8×＝4（km）．在直角△ BMN 中， BM ＝MN ?tan45 °＝4km≈．答：此时火箭所在点 B 处与发射站点M 处的距离约为．【评论】本题考察解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要修业生能借助仰角结构直角三角形并解直角三角形．20．（ 6 分）每年5 月份是心理健康宣传月，某中学展开以“关怀别人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为认识师生的心理健康状况，对全体2000 名师生进行了心理测评，随机抽取20 名师生的测评分数进行了以下数据的整理与剖析：①数据采集：抽取的20 名师生测评分数以下85， 82， 94， 72， 78， 89， 96， 98，84， 65，73， 54， 83， 76， 70， 85， 83， 63，92， 90．②数据整理：将采集的数据进行分组并评论等第：分数 x90≤x＜ 10080≤x＜ 9070≤x＜ 8060≤x＜ 70x＜ 60人数5a52 1等第A B C D E③数据剖析：绘制成不完好的扇形统计图：④依照统计信息回答以下问题（ 1）统计表中的a＝7．（ 2）心理测评等第 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为90° ．（ 3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理指导，请你依据数据剖析结果，预计有多少师生需要参加团队心理指导？【剖析】（ 1）依据 D 组人数以及百分比求出总人数，再求出 a 即可．（2）依据圆心角＝ 360°×百分比计算即可．（3）利用样本预计整体的思想解决问题即可．【解答】解：（ 1）总人数＝ 2÷10%＝20（人），a＝ 20×35%＝7，故答案为 7．（2）C 所占的圆心角＝ 360°×＝90°，故答案为 90°．（3） 2000×＝ 100（人），答：预计有100 名师生需要参加团队心理指导．【评论】本题考察扇形统计图，样本预计整体的思想，频数散布表等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（ 6 分）如图，将△ ABC 沿着 AC 边翻折，获得△ADC ，且 AB∥ CD．（1）判断四边形 ABCD 的形状，并说明原因；（2）若 AC＝ 16， BC＝ 10，求四边形 ABCD 的面积．【剖析】（ 1）由折叠的性质得出 AB＝AD ，BC＝ CD，∠ BAC ＝∠ DAC，∠ BCA ＝∠ DCA ，由平行线的性质得出∠ BAC ＝∠ DAC ，得出∠ BAC ＝∠ DAC ＝∠ BCA＝∠ DCA ，证出 AD∥BC， AB＝ AD＝BC ＝CD，即可得出结论；（ 2）连结 BD 交 AC 于 O，由菱形的性质得出AC⊥BD ，OA＝ OB＝AC＝ 8，OB＝ OD ，由勾股定理求出OB ＝＝6，得出BD＝2OB＝ 12，由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：（ 1）四边形ABCD 是菱形；原因以下：∵△ ABC 沿着 AC 边翻折，获得△ADC ，∴AB＝ AD ， BC＝ CD，∠ BAC＝∠ DAC ，∠ BCA＝∠DCA ，∵AB∥CD，∴∠ BAC＝∠ DAC，∴∠ BAC＝∠ DAC＝∠ BCA＝∠ DCA ，∴AD∥ BC，AB ＝ AD＝BC＝ CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）连结 BD 交 AC 于 O，以下图：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD，OA＝ OC＝ AC＝8， OB＝ OD，∴OB＝＝＝6，∴BD＝ 2OB＝12，∴四边形ABCD 的面积＝AC×BD＝×16×12＝96．【评论】本题考察了翻折变换的性质、菱形的判断与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；娴熟掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的重点．22．（ 6 分） 2018 年高一重生开始，湖南全面启动高考综合改革，推行“ 3+1+2的”高考选考方案．“3是”指语文、数学、外语三科必考；“1是”指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2是”指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（ 1）“1+2的”选考方案共有多少种？请直接写出全部可能的选法；（选法与次序没关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们热爱历史和生物，两人商定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参照，若这三科被选中的时机均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰巧都选中政治的概率．【剖析】（ 1）利用树状图可得全部等可能结果；（2）画树状图展现全部等可能结果，从中找到切合条件的结果数，再依据概率公式求解可得．【解答】解：（ 1）画树状图以下，由树状图知，共有12 种等可能结果；（ 2）画树状图以下由树状图知，共有9 种等可能结果，此中他们恰巧都选中政治的只有 1 种结果，因此他们恰巧都选中政治的概率为．【评论】本题考察了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展现全部可能的结果求出 n，再从中选出切合事件 A 或 B 的结果数量m，求出概率．23．（ 8 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴的正半轴交于A、B 两点，与 y 轴的正半轴相切于点C，连结MA、 MC ，已知⊙ M 半径为2，∠ AMC ＝60°，双曲线y＝（x（1）求双曲线 y＝的分析式；（2）求直线 BC 的分析式．【剖析】（1）先求出 CM ＝ 2，再判断出四边形 OCMN 是矩形，得出 MN ，从而求出点 M 的坐标，即可得出结论；（2）先求出点 C 的坐标，再用三角函数求出 AN，从而求出点 B 的坐标，即可得出结论．【解答】解：（ 1）如图，过点 M 作 MN⊥ x 轴于 N，∴∠ MNO ＝90°，∵⊙ M 切 y 轴于 C，∴∠ OCM ＝90°，∵∠ CON＝ 90°，∴∠ CON＝∠ OCM ＝∠ ONM ＝90°，∴四边形 OCMN 是矩形，∴AM ＝CM ＝ 2，∠ CMN ＝90°，∵∠ AMC ＝ 60°，∴∠ AMN ＝ 30°，在 Rt△ANM 中， MN ＝AM ?cos∠AMN ＝ 2×＝，∴M（2，），∵双曲线y＝（x＞0）经过圆心M，∴ k＝ 2×＝2，∴双曲线的分析式为y＝（x＞0）；（2）如图，过点 B， C 作直线，由（ 1）知，四边形 OCMN 是矩形，∴CM＝ON＝ 2，OC＝MN ＝，∴C（0，），在 Rt△ANM 中，∠ AMN ＝ 30°， AM ＝2，∴ AN＝ 1，∵MN⊥AB，∴ BN＝ AN＝ 1， OB＝ ON+BN＝ 3，∴ B（ 3， 0），设直线 BC 的分析式为 y＝ k'x+b，∴，∴，∴直线 BC 的分析式为y＝﹣x+．【评论】本题是反比率函数综合题，主要考察了矩形的判断和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点 M 的坐标是解本题的重点．24．（ 8 分）湘潭政府工作报告中重申，2019 年侧重推动农村复兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮检查了一家湘潭特产店A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售状况， A 种湘莲礼盒进价 72 元 /盒，售价 120 元 /盒， B 种湘莲礼盒进价 40 元 /盒，售价 80 元 /盒，这两种湘莲礼盒这个月均匀每日的销售总数为2800 元，均匀每日的总收益为 1280 元．（ 1）求该店均匀每日销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（ 2）小亮调査发现， A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒均匀每日的总收益最大，最大是多少元？【剖析】（ 1）依据题意，可设均匀每日销售 A 礼盒 x 盒， B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方程组即可解题（ 2）依据题意，可设 A 种礼盒降价m 元 /盒，则 A 种礼盒的销售量为：（ 10+）盒，再【解答】解：（ 1）依据题意，可设均匀每日销售A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒，则有，解得故该店均匀每日销售A 礼盒 10 盒，B 种礼盒为 20 盒．（ 2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元 /盒，收益为 W 元，依题意总收益 W ＝（ 120﹣m ﹣ 72）（ 10+ ） +800化简得 W ＝ m 2+6m+1280＝﹣ （ m ﹣ 9）2 +1307∵ a ＝＜ 0∴当 m ＝ 9 时，获得最大值为 1307，故当 A 种湘莲礼盒降价 9 元 /盒时，这两种湘莲礼盒均匀每日的总收益最大，最大是 1307元．【评论】本题考察了二次函数的性质在实质生活中的应用．最大销售收益的问题常利函数的增减性来解答，我们第一要吃透题意，确立变量，成立函数模型，而后联合实质选择最优方案．25．（ 10 分）如图一，抛物线2）、C （ 0，）三点y ＝ ax +bx+c 过 A （﹣ 1， 0） B （（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）P （ x 1， y 1）、Q （4， y 2）两点均在该抛物线上，若 y 1≤y 2，求 P 点横坐标 x 1 的取值范围；（ 3）如图二，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点E ，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点D ，连结 CD 、CB ，点 F 为线段 CB 的中点，点M 、 N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点，求△ FMN 周长的最小值．【剖析】（ 1）将三个点的坐标代入，求出a 、b 、c ，即可求出关系式；（ 2）能够求出点Q （ 4，y 2）对于对称轴的对称点的横坐标为： x ＝﹣ 2，依据函数的增减。

【中考真题】2019年湖南省湘潭市中考数学真题试卷(附答案)

12．计算： _____．
13．将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为_____．
14．四边形的内角和为．
15．如图，在四边形中，若，则添加一个条件_____，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 ⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（）
A．4B．2C．1D．﹣4
6．随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）
1．B
【解析】
【分析】
根据负数的定义可得B为答案．
【详解】
解：因为﹣3的绝对值，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D错误．
故选：B．
【点睛】
本题运用了负数的定义来解决问题，关键是掌握负数的定义．
2．C
【解析】
【分析】
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．

2019年湖南省湘潭市中考数学试题(原卷+解析)

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷含答案【精品】一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列各数中是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3）D．2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为（）A．0.24×105B．2.4×104C．2.4×103D．24×1034．（3分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2 5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4 B．2 C．1 D．﹣46．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10 7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD ＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．10．（3分）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝．11．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是．12．（3分）计算：（）﹣1＝．13．（3分）将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为．14．（3分）四边形的内角和是．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）根据材料和已学知识，先化简，再求值：﹣，其中x＝3．19．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）20．（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：分数x90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数 5 a 5 2 1等第A B C D E③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：④依据统计信息回答问题（1）统计表中的a＝．（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为．（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？21．（6分）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已知⊙M半径为2，∠AMC＝60°，双曲线y＝（x＞0）经过圆心M．（1）求双曲线y＝的解析式；（2）求直线BC的解析式．24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？25．（10分）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN 周长的最小值．26．（10分）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH 的长度．2019年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列各数中是负数的是（）A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3）D．【分析】根据负数的定义可得B为答案．【解答】解：﹣3的绝对值＝3＞0；﹣3＜0；﹣（﹣3）＝3＞0；＞0．故选：B．【点评】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感．2．（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为（）A．0.24×105B．2.4×104C．2.4×103D．24×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将24000用科学记数法表示为：2.4×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5C．2a+3a＝6a D．2a•3a＝6a2【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是a3，故本选项不符合题意；B、结果是a6，故本选项不符合题意；C、结果是5a，故本选项不符合题意；D、结果是6a2，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键．5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4 B．2 C．1 D．﹣4【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，解得：c＝4．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．6．（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，极差为13﹣2＝11，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；（7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是8，故A事正确的．【解答】解：（7+2+13+11+7）÷5＝8，即平均数是8，故A事正确的．出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；极差为13﹣2＝11，故D不正确；故选：A．【点评】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提．7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD ＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，然后根据图形即可求出∠AOD．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．8．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠6 ．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣6≠0，解得x≠6．故答案为：x≠6．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（3分）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝15 ．【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝5，a﹣b＝3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×3＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．11．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是．【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：选出的恰为女生的概率为，故答案为．【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．12．（3分）计算：（）﹣1＝ 4 ．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：（）﹣1＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．13．（3分）将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为y＝3x+2 ．【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．【解答】解：将正比例函数y＝3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y＝3x+2，故答案为：y＝3x+2．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．14．（3分）四边形的内角和是360°．【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．故四边形的内角和为360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件AD＝BC，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）【分析】可再添加一个条件AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC．故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．16．（3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10 平方米．【分析】根据垂径定理得到AD＝4，由勾股定理得到OD＝＝3，求得OA﹣OD ＝2，根据弧田面积＝（弦×矢+矢2）即可得到结论．【解答】解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解不等式①得，x≤3，解不等式②，x＞﹣1，所以，原不等式组的解集为﹣1＜x≤3，在数轴上表示如下：．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）根据材料和已学知识，先化简，再求值：﹣，其中x＝3．【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣＝＝＝，当x＝3时，原式＝＝2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长．【解答】解：如图所示：连接OR，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：分数x90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数 5 a 5 2 1等第A B C D E③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：④依据统计信息回答问题（1）统计表中的a＝7 ．（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为90°．（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？【分析】（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）总人数＝2÷10%＝20（人），a＝20×35%＝7，故答案为7．（2）C所占的圆心角＝360°×＝90°，故答案为90°．（3）2000×＝100（人），答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．【点评】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（6分）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由折叠的性质得出AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，由平行线的性质得出∠BAC＝∠DAC，得出∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，证出AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD，即可得出结论；（2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OB＝AC＝8，OB＝OD，由勾股定理求出OB＝＝6，得出BD＝2OB＝12，由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：∵△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD，∴OB＝＝＝6，∴BD＝2OB＝12，∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．22．（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能结果；（2）画树状图如下由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，所以他们恰好都选中政治的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已知⊙M半径为2，∠AMC＝60°，双曲线y＝（x＞0）经过圆心M．（1）求双曲线y＝的解析式；（2）求直线BC的解析式．【分析】（1）先求出CM＝2，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的坐标，即可得出结论；（2）先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，过点M作MN⊥x轴于N，∴∠MNO＝90°，∵⊙M切y轴于C，∴∠OCM＝90°，∵∠CON＝90°，∴∠CON＝∠OCM＝∠ONM＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴AM＝CM＝2，∠CMN＝90°，∵∠AMC＝60°，∴∠AMN＝30°，在Rt△ANM中，MN＝AM•cos∠AMN＝2×＝，∴M（2，），∵双曲线y＝（x＞0）经过圆心M，∴k＝2×＝2，∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；（2）如图，过点B，C作直线，由（1）知，四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝2，OC＝MN＝，∴C（0，），在Rt△ANM中，∠AMN＝30°，AM＝2，∴AN＝1，∵MN⊥AB，∴BN＝AN＝1，OB＝ON+BN＝3，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝k'x+b，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点M的坐标是解本题的关键．24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可．【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．（10分）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN 周长的最小值．【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；（2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x＝﹣2，根据函数的增减。

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷2019 年湖南省湘潭市中考数学试卷副标题⼀⼆三四总分题号得分⼀、选择题（本⼤题共8 ⼩题，共24.0 分）1. 下列各数中是负数的是（）1A. |-3|B. -3C. -（-3）D.3【答案】B【解析】解：-3 的绝对值=3＞0；-3＜0；-（-3）=3＞0；1＞0．3故选：B．根据负数的定义可得B 为答案．本题运⽤了负数的定义来解决问题，关键是要有数感．2. 下列⽴体图形中，俯视图是三⾓形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A、⽴⽅体的俯视图是正⽅形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三⾓形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；故选：C．俯视图是从物体上⾯看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．本题考查了⼏何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3. 今年湘潭市参加初中学业⽔平考试的九年级学⽣⼈数约 24000 ⼈，24000 ⽤科学记数法表⽰为（）A. 0.24×105B. 2.4×104C. 2.4×103D. 24×103【答案】B【解析】解：将 24000 ⽤科学记数法表⽰为：2.4×104，故选：B．科学记数法的表⽰形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，⼩数点移动了多少位，n 的绝对值与⼩数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．此题考查科学记数法的表⽰⽅法．科学记数法的表⽰形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表⽰时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4. 下列计算正确的是（A. a6÷a3=a2）B. （a2）3=a5C. 2a+3a=6aD. 2a?3a=6a2【答案】D【解析】解：A、结果是a3，故本选项不符合题意；B、结果是a6，故本选项不符合题意；C、结果是 5a，故本选项不符合题意；D、结果是 6a2，故本选项符合题意；故选：D．根据同底数幂的除法，幂的乘⽅，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式⼦的值，再判断即可．本题考查了同底数幂的除法，幂的乘⽅，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式⼦的值是解此题的关键．5. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x2-4x+c=0 有两个相等的实数根，则c=（）A. 4B. 2C. 1D. -4【答案】A【解析】解：∵⽅程x2-4x+c=0 有两个相等的实数根，∴△=（-4）2-4×1×c=16-4c=0，解得：c=4．故选：A．根据⽅程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的⼀元⼀次⽅程，解⽅程即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解⼀元⼀次⽅程，由⽅程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的⼀元⼀次⽅程是解题的关键．6. 随着长株潭⼀体化进程不断推进，湘潭在交通⽅⾯越来越让⼈期待．将要实施的“两⼲⼀轨”项⽬中的“⼀轨”，是将长沙市地铁 3 号线南延⾄湘潭北站，往返长潭两地⼜将多“地铁”这⼀选择．为了解⼈们选择交通⼯具的意愿，随机抽取了部分市民进⾏调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通⼯具选择的⼈数数据，以下结论正确的是（）A. 平均数是 8B. 众数是 11C. 中位数是 2D. 极差是 10【答案】A【解析】解：（7+2+13+11+7）÷5=8，即平均数是 8，故A 事正确的．出现次数最多的是 13，即众数是 13，故B 不正确，从⼩到⼤排列，第 20、21 个数都是 13，即中位数是 13，故C 是不正确的；极差为 13-2=11，故D 不正确；故选：A．从条形统计图中可以知道共调查 40 ⼈，选择公交 7 ⼈，⽕车 2 ⼈，地铁 13 ⼈，轻轨 11 ⼈，其它 7 ⼈，极差为 13-2=11，故 D 不正确；出现次数最多的是 13，即众数是 13，故 B 不正确，从⼩到⼤排列，第 20、21 个数都是13，即中位数是 13，故 C 是不正确的；（7+2+13+11+7）÷5=8，即平均数是 8，故 A 事正确的．考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这⼏个统计量的意义是解决问题的前提．7. 如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若∠AOB =40°，则∠AOD =（） A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°【答案】D【解析】解：∵△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，∴∠BOD =70°，⽽∠AOB =40°，∴∠AOD =70°-40°=30°．故选：D ．⾸先根据旋转⾓定义可以知道∠BOD =70°，⽽∠AOB =40°，然后根据图形即可求出∠AOD ．此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利⽤了旋转前后图形全等，对应⾓相等等知识．8. 现代互联⽹技术的⼴泛应⽤，催⽣了快递⾏业的⾼速发展．据调查，湘潭某家⼩型快递公司的分拣⼯⼩李和⼩江，在分拣同⼀类物件时，⼩李分拣 120 个物件所⽤的时间与⼩江分拣 90 个物件所⽤的时间相同，已知⼩李每⼩时⽐⼩江多分拣 20 个物件．若设⼩江每⼩时分拣 x 个物件，则可列⽅程为（） 120 90120 901209012090A. =B. =C.= D.= ??20+2020+20【答案】B【解析】解：由题意可得， 12090= ， ?+20 故选：B ．根据题意，可以列出相应的分式⽅程，本题得以解决．本题考查由实际问题抽象出分式⽅程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式⽅程．⼆、填空题（本⼤题共 8 ⼩题，共 24.0 分） 19. 函数 y = 中，⾃变量 x 的取值范围是______． ??6【答案】x ≠6【解析】解：由题意得，x -6≠0，解得 x ≠6．故答案为：x ≠6．根据分母不等于 0 列式计算即可得解．本题考查了函数⾃变量的取值范围，⼀般从三个⽅⾯考虑：（1）当函数表达式是整式时，⾃变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是⼆次根式时，被开⽅数⾮负．10. 若 a +b =5，a -b =3，则 a 2-b 2=______．【答案】15【解析】解：∵a +b =5，a -b =3，∴a 2-b 2=（a +b ）（a -b ） =5×3 =15，故答案为：15．先根据平⽅差公式分解因式，再代⼊求出即可．本题考查了平⽅差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．11. 为庆祝新中国成⽴ 70 周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男⽣和三名⼥⽣中选出⼀名同学领唱，如果每⼀位同学被选中的机会均等，则选出的恰为⼥⽣的概率是______．【答案】353 3= ， 5【解析】解：选出的恰为⼥⽣的概率为 3+23故答案为．5 随机事件 A 的概率 P （A ）=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．本题考查了概率，熟练运⽤概率公式计算是解题的关键．112. 计算：（）-1=______． 4【答案】411 41【解析】解：（）-1= =4，4故答案为：4．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．本题考查了负整数指数幂，利⽤了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．13. 将⼀次函数 y =3x 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的函数表达式为______．【答案】y =3x +2【解析】解：将正⽐例函数 y =3x 的图象向上平移 2个单位后所得函数的解析式为 y =3x +2，故答案为：y =3x +2．根据“上加下减”的平移规律进⾏解答即可．本题考查的是⼀次函数的图象与⼏何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 14. 四边形的内⾓和是______．【答案】360°【解析】解：（4-2）×180°=360°．故四边形的内⾓和为 360°．故答案为：360°．根据 n 边形的内⾓和是（n -2）?180°，代⼊公式就可以求出内⾓和．本题主要考查了多边形的内⾓和公式，是需要识记的内容，⽐较简单．15. 如图，在四边形 ABCD 中，若 AB =CD ，则添加⼀个条件______，能得到平⾏四边形 ABCD ．（不添加辅助线，任意添加⼀个符合题意的条件即可）【答案】AD =BC【解析】解：根据平⾏四边形的判定，可再添加⼀个条件： AD =BC ．故答案为：AD =BC （答案不唯⼀）．可再添加⼀个条件 AD =BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形，四边形 ABCD 是平⾏四边形．此题主要考查平⾏四边形的判定．是⼀个开放条件的题⽬，熟练掌握判定定理是解题的关键．16. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《⽅⽥》章计算弧⽥⾯积所⽤的经验公式是：弧⽥1⾯积= （弦×⽮+⽮ 2）．孤⽥是由圆弧和其所对的弦2 围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“⽮”等于半径长与圆⼼到弦的距离之差，运⽤垂径定理（当半径 OC ⊥弦 AB 时，OC 平分 AB ）可以求解．现已知弦 AB =8 ⽶，半径等于 5 ⽶的弧⽥，按照上述公式计算出弧⽥的⾯积为______平⽅⽶．【答案】10【解析】解：∵弦 AB =8 ⽶，半径 OC ⊥弦 AB ，∴AD =4，∴OD =√??2 ? ??2=3，∴OA -OD =2，1 1∴弧⽥⾯积= （弦×⽮+⽮ 2）= ×（8×2+22）=10， 2 2故答案为：10．根据垂径定理得到 AD =4，由勾股定理得到 OD =√??2 ? ??2=3，求得 OA -OD =2，根据 1弧⽥⾯积= （弦×⽮+⽮ 2）即可得到结论．2 此题考查垂径定理的应⽤，关键是根据垂径定理和扇形⾯积解答．三、计算题（本⼤题共 1 ⼩题，共 6.0 分）17. 阅读材料：运⽤公式法分解因式，除了常⽤的平⽅差公式和完全平⽅公式以外，还可以应⽤其他公式，如⽴⽅和与⽴⽅差公式，其公式如下：⽴⽅和公式：x 3+y 3=（x +y ）（x 2-xy +y 2）⽴⽅差公式：x 3-y 3=（x -y ）（x 2+xy +y 2）3?2+2+422 38根据材料和已学知识，先化简，再求值： - ，其中 x =3． 3?2+2+4 【答案】解：?2?2?-383?2+2+4(??2)(?2+2?+4)= ? ?(??2)3 1= = ? ??2 ??2 2， ??22当 x =3 时，原式= =2． 3?2【解析】根据题⽬中的公式可以化简题⽬中的式⼦，然后将 x 的值代⼊化简后的式⼦即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的⽅法．四、解答题（本⼤题共 9 ⼩题，共 66.0 分）2? ≤ 618. 解不等式组{3?+1 ，并把它的解集在数轴上表⽰出来．＞?2 2? ≤ 6①【答案】解：{3?+1 ，＞?② 2解不等式①得，x ≤3，解不等式②，x ＞-1，所以，原不等式组的解集为-1＜x ≤3，在数轴上表⽰如下：．【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了⼀元⼀次不等式组解集的求法，其简便求法就是⽤⼝诀求解．求不等式组解集的⼝诀：同⼤取⼤，同⼩取⼩，⼤⼩⼩⼤中间找，⼤⼤⼩⼩找不到（⽆解）． 19. 我国于 2019 年 6 ⽉ 5 ⽇⾸次完成运载⽕箭海上发射，这标志着我国⽕箭发射技术达到了⼀个崭新的⾼度．如图，运载⽕箭从海⾯发射站点 M 处垂直海⾯发射，当⽕箭到达点 A 处时，海岸边 N 处的雷达站测得点 N 到点 A 的距离为 8 千⽶，仰⾓为 30°．⽕箭继续直线上升到达点 B 处，此时海岸边 N 处的雷达测得 B 处的仰⾓增加15°，求此时⽕箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离．（结果精确到 0.1 千⽶）（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）【答案】解：如图所⽰：连接 OR ，由题意可得：∠AMN =90°，∠ANM =30°，∠BNM =45°， AN =8km ，√3在直⾓△AMN 中，MN =AN ?cos30°=8× =4√3（km ）．2 在直⾓△BMN 中，BM =MN ?tan45°=4√3km ≈6.9km ．答：此时⽕箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离约为 6.9km ．【解析】利⽤已知结合锐⾓三⾓函数关系得出BM 的长．本题考查解直⾓三⾓形的应⽤-仰⾓俯⾓问题，要求学⽣能借助仰⾓构造直⾓三⾓形并解直⾓三⾓形．20. 每年 5 ⽉份是⼼理健康宣传⽉，某中学开展以“关⼼他⼈，关爱⾃⼰”为主题的⼼理健康系列活动．为了解师⽣的⼼理健康状况，对全体 2000 名师⽣进⾏了⼼理测评，随机抽取 20 名师⽣的测评分数进⾏了以下数据的整理与分析：①数据收集：抽取的 20 名师⽣测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．②数据整理：将收集的数据进⾏分组并评价等第：分数x ⼈数90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60 5 a 5 2 1等第A B C D E③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：④依据统计信息回答问题（1）统计表中的a=______．（2）⼼理测评等第C 等的师⽣⼈数所占扇形的圆⼼⾓度数为______．（3）学校决定对E 等的师⽣进⾏团队⼼理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师⽣需要参加团队⼼理辅导？【答案】7 90°【解析】解：（1）总⼈数=2÷10%=20（⼈），a=20×35%=7，故答案为 7．5（2）C 所占的圆⼼⾓=360°×=90°，20故答案为 90°．1（3）2000×=100（⼈），20答：估计有 100 名师⽣需要参加团队⼼理辅导．（1）根据D 组⼈数以及百分⽐求出总⼈数，再求出a 即可．（2）根据圆⼼⾓=360°×百分⽐计算即可．（3）利⽤样本估计总体的思想解决问题即可．本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21. 如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若AC=16，BC=10，求四边形ABCD 的⾯积．【答案】解：（1）四边形ABCD 是菱形；理由如下：∵△ABC 沿着AC 边翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接BD 交AC 于O，如图所⽰：∵四边形ABCD 是菱形，1∴AC⊥BD，OA=OC= AC=8，OB=OD，2∴OB=√??22=√102?82=6，∴BD=2OB=12，11∴四边形ABCD 的⾯积= AC×BD= ×16×12=96．22【解析】（1）由折叠的性质得出AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，由平⾏线的性质得出∠BAC=∠DAC，得出∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，证出AD∥BC，AB=AD=BC=CD，即可得出结论；1（2）连接BD 交AC 于O，由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OB= AC=8，OB=OD，由2勾股定理求出OB=√??22=6，得出BD=2OB=12，由菱形⾯积公式即可得出答案．本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平⾏线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．22. 2018 年⾼⼀新⽣开始，湖南全⾯启动⾼考综合改⾰，实⾏“3+1+2”的⾼考选考⽅案．“3”是指语⽂、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选⼀科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、⽣物四科中任选两科参加选考（1）“1+2”的选考⽅案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序⽆关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同⼀种选法）（2）⾼⼀学⽣⼩明和⼩杰将参加新⾼考，他们酷爱历史和⽣物，两⼈约定必选历史和⽣物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选⼀科参考，若这三科被选中的机会均等，请⽤列表或画树状图的⽅法，求出他们恰好都选中政治的概率．【答案】解：（1）画树状图如下，由树状图知，共有 12 种等可能结果；（2）画树状图如下由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有 1 种结果，1所以他们恰好都选中政治的概率为．9【解析】（1）利⽤树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图展⽰所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．本题考查了列表法与树状图法：利⽤列表法和树状图法展⽰所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数⽬m，求出概率．23. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，⊙M与x轴的正半轴交于A、B 两点，与y 轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已知⊙M 半径为 2，∠AMC=60°，双曲线y= （x＞0）经过圆⼼M．（1）求双曲线y= 的解析式；（2）求直线BC 的解析式．【答案】解：（1）如图，过点M 作MN⊥x 轴于N，∴∠MNO=90°，∵⊙M 切y 轴于C，∴∠OCM=90°，∵∠CON=90°，∴∠CON=∠OCM=∠ONM=90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴AM=CM=2，∠CMN=90°，∵∠AMC=60°，∴∠AMN=30°，√3在Rt△ANM 中，MN=AM?cos∠AMN=2×=√3，2∴M（2，√3），∵双曲线y= （x＞0）经过圆⼼M，∴k=2×√3=2√3，∴双曲线的解析式为y= （x＞0）；（2）如图，过点B，C 作直线，由（1）知，四边形OCMN 是矩形，∴CM=ON=2，OC=MN=√3，∴C（0，√3），在Rt△ANM 中，∠AMN=30°，AM=2，∴AN=1，∵MN⊥AB，∴BN=AN=1，OB=ON+BN=3，∴B（3，0），设直线BC 的解析式为y=k'x+b，3?′+?=0∴{，=√3√33 ， ?′ = ?∴{= √3√3∴直线 BC 的解析式为 y =- x +√3．3 【解析】（1）先求出 CM =2，再判断出四边形 OCMN 是矩形，得出 MN ，进⽽求出点 M 的坐标，即可得出结论；（2）先求出点 C 的坐标，再⽤三⾓函数求出 AN ，进⽽求出点 B 的坐标，即可得出结论．此题是反⽐例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐⾓三⾓函数，待定系数法，求出点 M 的坐标是解本题的关键．24. 湘潭政府⼯作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特⾊农产品品牌．⼩亮调查了⼀家湘潭特产店 A 、B 两种湘莲礼盒⼀个⽉的销售情况， A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个⽉平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）⼩亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最⼤，最⼤是多少元？【答案】解：（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒， (120 ? 72)? + (80 ? 40)? = 1280 120? + 80? = 2800 ? = 10 ? = 20 则有{ ，解得{故该店平均每天销售 A 礼盒 10 盒，B 种礼盒为 20 盒．（2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为 W 元，依题意 ?总利润 W =（120-m -72）（10+ ）+800 3 11 化简得 W =? m 2+6m +1280=- （m -9）2+130731∵a =? ＜03 ∴当 m =9 时，取得最⼤值为 1307，故当 A 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最⼤，最⼤是 1307 元．【解析】（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒，列⼆元⼀次⽅程组即可解题（2）根据题意，可设 A 种礼盒降价 m 元/盒，则 A 种礼盒的销售量为：（10+ ）盒， 3 再列出关系式即可．本题考查了⼆次函数的性质在实际⽣活中的应⽤．最⼤销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们⾸先要吃透题意，确定变量，建⽴函数模型，然后结合实际选择最优⽅案．25. 如图⼀，抛物线 y =ax 2+bx +c 过 A （-1，0）B （3.0）、C （0，√3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）P （x ，y ）、Q （4，y ）两点均在该抛物线上，若 y ≤y ，求 P 点横坐标 x 1 1 2 1 2 1 的取值范围；（3）如图⼆，过点 C 作 x 轴的平⾏线交抛物线于点 E ，该抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，连结 CD 、CB ，点 F 为线段CB 的中点，点 M 、N 分别为直线 CD 和 CE 上的动点，求△FMN 周长的最⼩值．【答案】解：（1）∵抛物线 y =ax 2+bx +c 过 A （-1，0）B （3.0）、C （0，√3）三点 ? ? ? + ? = 0∴{9? + 3? + ? = 0 解得：a =? ，b =，c =√3；√32√3 3 3= √3√32√3 ∴抛物线的解析式为：y =? x 2+x +√3．3 3（2）抛物线的对称轴为 x =1，抛物线上与 Q （4，y ）相对称的点 Q ′（-2，y ） 2 2 P （x ，y 在该抛物线上，y ≤y ，根据抛物线的增减性得： 1 1 1 2 ∴x ≤-2 或 x ≥4 1 1答：P 点横坐标 x 的取值范围：x ≤-2 或 x ≥4． 1 1 1（3）∵C （0，√3），B ，（3，0），D （1，0）∴OC =√3，OB =3，OD ，=1 ∵F 是 BC 的中点， 33√ ∴F （，）2 2 当点 F 关于直线 CE 的对称点为 F ′，关于直线 CD 的对称点为 F ″，直线 F ′F ″与 CE 、CD 交点为 M 、N ，此时△FMN 3的周长最⼩，周长为 F ′F ″的长，由对称可得到：F ′（，23√3 ），F ″（0，0）即点 O ，23 3√3 F ′F ″=F ′O =√ ( ) + ( )2=3，2 22即：△FMN 的周长最⼩值为 3，【解析】（1）将三个点的坐标代⼊，求出 a 、b 、c ，即可求出关系式；（2）可以求出点 Q （4，y 2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x =-2，根据函数的增减性，可以求出当 y ≤y 时 P 点横坐标x 的取值范围；1 2 1 （3）由于点 F 是 BC 的中点，可求出点 F 的坐标，根据对称找出 F 关于直线 CD 、CE 的对称点，连接两个对称点的直线与 CD 、CE 的交点 M 、N ，此时三⾓形的周长最⼩，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．考查待定系数法求函数的关系式、⼆次函数的性质、对称性，勾股定理以及最⼩值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．26. 如图⼀，在射线DE 的⼀侧以AD 为⼀条边作矩形ABCD，AD=5√3，CD=5，点M是线段AC 上⼀动点（不与点A 重合），连结BM，过点M 作BM 的垂线交射线DE 于点N，连接BN．（1）求∠CAD 的⼤⼩；（2）问题探究：动点M 在运动的过程中，①是否能使△AMN 为等腰三⾓形，如果能，求出线段MC 的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN 的⼤⼩是否改变？若不改变，请求出∠MBN 的⼤⼩；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图⼆，当动点M 运动到AC 的中点时，AM 与BN 的交点为F，MN 的中点为H，求线段FH 的长度．【答案】解：（1）如图⼀（1）中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∵tan∠DAC=??53√= = ，5√33∴∠DAC=30°．（2）①如图⼀（1）中，当AN=NM 时，∵∠BAN=∠BMN=90°，BN=BN，AN=NM，∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），∴BA=BM，在Rt△ABC 中，∵∠ACB=∠DAC=30°，AB=CD=5，∴AC=2AB=10，∵∠BAM=60°，BA=BM，∴△ABM 是等边三⾓形，∴CM=AC-AM=5．如图⼀（2）中，当AN=AM 时，易证∠AMN=∠ANM=15°，∵∠BMN=90°，∴∠CMB=75°，∵∠MCB=30°，∴∠CBM=180°-75°-30°=75°，∴∠CMB=∠CBM，∴CM=CB=5√5，综上所述，满⾜条件的CM 的值为 5 或 5√3．②结论：∠MBN=30°⼤⼩不变．理由：如图⼀（1）中，∵∠BAN+∠BMN=180°，∴A，B，M，N 四点共圆，∴∠MBN=∠MAN=30°．如图⼀（2）中，∵∠BMN=∠BAN=90°，∴A，N，B，M 四点共圆，∴∠MBN+∠MAN=180°，∵∠DAC+∠MAN=180°，∴∠MBN=∠DAC=30°，综上所述，∠MBN=30°．（3）如图⼆中，∵AM=MC，∴BM=AM=CM，∴AC=2AB，∴AB=BM=AM，∴△ABM 是等边三⾓形，∴∠BAM=∠BMA=60°，∵∠BAN=∠BMN=90°，∴∠NAM=∠NMA=30°，∵BA =BM ，∴BN 垂直平分线段 AM ， 5∴FM = ， 25√33∴NM = = ， 30°∵∠NFM =90°，NH =HM ， 15√3 6∴FH = MN = ． 2【解析】（1）在 Rt △ADC 中，求出∠DAC 的正切值即可解决问题．（2）①分两种情形：当 NA =NM 时，当 AN =AM 时，分别求解即可．②∠MBN =30°．利⽤四点共圆解决问题即可．（3）⾸先证明△ABM 是等边三⾓形，再证明 BN 垂直平分线段 AM ，解直⾓三⾓形即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形，等边三⾓形的判定和性质，锐⾓三⾓函数，等腰三⾓形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运⽤所学知识解决问题，学会⽤分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2019年湖南省湘潭市中考数学试题

绝密★启用前湖南省湘潭市2019年中考数学试题第I 卷（选择题)评卷人得分一、单选题1．下列各数中是负数的是（）A.|3|- B.﹣3 C.(3)-- D.13【答案】B【解析】【分析】根据负数的定义可得B 为答案．【详解】解：因为﹣3的绝对值30=>，所以A 错误；因为30-<，所以B 正确；因为(3)30--=>，所以C 错误；因为103>，所以D 错误．故选：B ．【点睛】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是掌握负数的定义．2．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A 、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B 、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C 、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D 、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．今年某市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为（）A.50.2410⨯ B.42.410⨯ C.32.410⨯ D.32410⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将24000用科学记数法表示为：42.410⨯，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．下列计算正确的是（）A.632a a a÷= B.()325a a = C.236a a a += D.2236a a a ⋅=【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．【详解】解：A 、结果是3a ，故本选项不符合题意；B 、结果是6a ，故本选项不符合题意；C 、结果是5a ，故本选项不符合题意；D 、结果是26a ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键．5．已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A.4B.2C.1D.﹣4【答案】A【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根，∴2(4)411640c c =--⨯⨯=-=，解得：4c =．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）A.平均数是8B.众数是11C.中位数是2D.极差是10【答案】A【解析】【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，极差为13﹣2＝11，故D 不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B 不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C 是不正确的；(7213117)58++++÷=，即平均数是8，故A 是正确的．【详解】解：(7213117)58++++÷=，即平均数是8，故A 是正确的．出现次数最多的是13，即众数是13，故B 不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C 是不正确的；极差为13211-=，故D 不正确；故选：A ．【点睛】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提．7．如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=，则AOD ∠=（）A.45°B.40°C.35°D.30°【答案】D【解析】【分析】首先根据旋转角定义可以知道70BOD ∠=，而40AOB ∠=，然后根据图形即可求出AOD ∠．【详解】解：∵OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，∴70BOD ︒∠=，而40AOB ︒∠=，∴704030AOD ∠=-=故选：D ．【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．8．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为（）A.1209020x x =- B.1209020x x =+ C.1209020x x =- D.1209020x x =+【答案】B【解析】【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，1209020x x=+，故选：B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．第II 卷（非选择题)评卷人得分二、填空题9．函数16y x =-中，自变量x 的取值范围是_____．【答案】6x ≠【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，60x -≠，解得6x ≠故答案为：6x ≠【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____．【答案】15【解析】【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【详解】解：∵5a b +=，3a b -=，∴22a b -()()a b a b =+-53=⨯15=故答案为：15【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．11．为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是_____．【答案】35【解析】【分析】随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：选出的恰为女生的概率为33325=+，故答案为35．【点睛】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．12．计算：11()4-=_____．【答案】4【解析】【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【详解】解：111(4144-==，故答案为：4.【点睛】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．13．将一次函数3y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为_____．【答案】32y x =+【解析】【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．【详解】解：将正比例函数3y x =的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为32y x =+，故答案为：32y x =+.【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．14．四边形的内角和为．【答案】360°．【解析】试题分析：根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出四边形的内角和为：（4﹣2）×180°=360°．考点：多边形内角和定理．15．如图，在四边形ABCD中，若AB CD=，则添加一个条件_____，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）【答案】AD BC=【解析】【分析】可再添加一个条件AD BC=，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD BC=．故答案为：AD BC=（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦8AB=米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．【答案】10【解析】【分析】根据垂径定理得到4=AD，由勾股定理得到3OD ==，求得2OA OD -=，根据弧田面积12=（弦×矢+矢2）即可得到结论．【详解】解：∵弦8AB =米，半径OC ⊥弦AB ，∴4=AD ，∴3OD ==，∴2OA OD -=，∴弧田面积12=（弦×矢+矢2）()21822102=⨯⨯+=，故答案为：10【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．评卷人得分三、解答题17．解不等式组26312x x x ⎧⎪⎨+>⎪⎩ ，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】13x -<≤，见解析.【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：26(1)31(2)2x x x ⎧⎪⎨+>⎪⎩ ，解不等式(1)得，3x ≤，解不等式(2)，1x >-，所以，原不等式组的解集为-13x ≤＜，在数轴上表示如下：．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+；立方差公式：()3322()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，先化简，再求值：22332428x x x x x x ++---，其中3x =．【答案】2【解析】【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：22332428x x x x x x ++---()22324(2)(2)24x x x x x x x x ++=---++3122x x =---22x =-，当3x =时，原式2232==-【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考1.41≈ 1.73≈）【答案】此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离约为6.9km ．【解析】【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM 的长．【详解】解：如图所示：连接OR ，由题意可得：90AMN ︒∠=，30ANM ︒∠=，45BNM ︒∠=，8AN km =，在直角AMN ∆中，•cos308)2MN AN km ︒==⨯=．在直角BMN ∆中，tan 45 6.9BM MN km =∙=≈．答：此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离约为6.9km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：x<分数x90100x≤<6070≤<60xxx≤<8090≤<7080人数5a521等第A B C D E③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：④依据统计信息回答问题（1）统计表中的a=．（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为．（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？【答案】（1）7；（2）90°；（3）估计有100名师生需要参加团队心理辅导．【解析】【分析】（1）根据D 组人数以及百分比求出总人数，再求出a 即可．（2）根据圆心角360=⨯百分比计算即可．（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）总人数210%20=÷=（人），2035%7a =⨯=，故答案为7．（2）C 所占的圆心角53609020︒︒=⨯=，故答案为90°．（3）1200010020⨯=（人），答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，将ABC ∆沿着AC 边翻折，得到ADC ∆，且//AB CD ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若16AC =，10BC =，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）四边形ABCD 是菱形，见解；（2）四边形ABCD 的面积96=【解析】【分析】（1）由折叠的性质得出AB AD =，BC CD =，BAC DAC ∠=∠，BCA DCA ∠=∠，由平行线的性质得出BCA DCA ∠=∠，得出BAC DAC BCA DCA ∠=∠=∠=∠，证出//AD BC ，AB AD BC CD ===，即可得出结论；（2）连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出AC BD ⊥，182OA OB AC ===，OB OD =，由勾股定理求出6OB ==，得出212BD OB ==，由菱形面积公式即可得出答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形；理由如下：∵ABC ∆沿着AC 边翻折，得到ADC ∆，∴AB AD =，BC CD =，BAC DAC ∠=∠，BCA DCA ∠=∠，∵//AB CD ，∴BCA DCA ∠=∠，∴BAC DAC BCA DCA ∠=∠=∠=∠，∴//AD BC ，AB AD BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，182OA OB AC ===，OB OD =，∴6OB ==，∴212BD OB ==，∴四边形ABCD 的面积1116129622AC BD =⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．22．2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．【答案】（1）共有12种等可能结果，见解析；（2）见解析，他们恰好都选中政治的概率为19．【解析】【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能结果；（2）画树状图如下由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，所以他们恰好都选中政治的概率为19．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．23．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴的正半轴交于,A B 两点，与y 轴的正半轴相切于点C ，连接,MA MC ，已知⊙M 半径为2，60AMC ∠=，双曲线(0)k y x x =>经过圆心M ．（1）求双曲线k y x=的解析式；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）(0)y x x =>；（2）3=-+y x .【解析】【分析】（1）先求出2CM =，再判断出四边形OCMN 是矩形，得出MN ，进而求出点M 的坐标，即可得出结论；（2）先求出点C 的坐标，再用三角函数求出AN ，进而求出点B 的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）如图，过点M 作MN x ⊥轴于N ，∴90MNO ︒∠=，∵⊙M 切y 轴于C ，∴90OCM ︒∠=，∵90CON ︒∠=，∴90CON OCM ONM ∠=∠=∠=，∴四边形OCMN 是矩形，∴2AM CM ==，90CMN ︒∠=，∵60AMC ︒∠=，∴30AMN ︒∠=，在Rt ANM ∆中，•cos 22MN AM AMN =∠=⨯=，∴M ，∵双曲线k (0)xy x =>经过圆心M ，∴2k ==，∴双曲线的解析式为(0)y x x=>；（2）如图，过点,B C 作直线，由（1）知，四边形OCMN 是矩形，∴2CM ON ==，OC MN ==，∴C ，在Rt ANM ∆中，30AMN ︒∠=，2AM =，∴1AN =，∵MN AB ⊥，∴1BN AN ==，3OB ON BN =+=，∴(3,0)B ，设直线BC 的解析式为'y k x b =+，∴3'0k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴'3k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为33=-+y x．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点M 的坐标是解本题的关键．24．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒；（2）当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【解析】【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设A 种礼盒降价m 元/盒，则A 种礼盒的销售量为：（103m +）盒，再列出关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩，解得1020x y =⎧⎨=⎩故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意总利润(12072)108003m W m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+∵103a =-<∴当9m =时，取得最大值为1307，故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图一，抛物线2y ax bx c =++过(1,0)(3.0),(0,A B C -三点（1）求该抛物线的解析式；（2）()()112,,4,P y Q y x 两点均在该抛物线上，若12y y ≤，求P 点横坐标1x 的取值范围；（3）如图二，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，连结,CD CB ，点F 为线段CB 的中点，点,M N 分别为直线CD 和CE 上的动点，求FMN ∆周长的最小值．【答案】（1）233=-++y x x ；（2）P 点横坐标1x 的取值范围：12x ≤-或14≥x ；（3）FMN ∆的周长最小值为3.【解析】【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出,,a b c ，即可求出关系式；（2）可以求出点2(4,)Q y 关于对称轴的对称点的横坐标为：2x =-，根据函数的增减性，可以求出当12y y ≤时P 点横坐标1x 的取值范围；（3）由于点F 是BC 的中点，可求出点F 的坐标，根据对称找出F 关于直线,CD CE 的对称点，连接两个对称点的直线与,CD CE 的交点,M N ，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++过(1,0)(3,0),A B C -三点∴0930a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解得：,33a b c =-==∴抛物线的解析式为：233=-++y x x ．（2）抛物线的对称轴为1x =，抛物线上与2(4,)Q y 相对称的点2'(2,)Q y -11(,)P x y 在该抛物线上，12y y ≤，根据抛物线的增减性得：∴12x ≤-或14≥x 答：P 点横坐标1x 的取值范围：12x ≤-或14≥x ．（3）∵C ，(3,0)B ，(1,0)D∴OC =，3OB =，1OD =∵F 是BC 的中点，∴3(,)22F 当点F 关于直线CE 的对称点为'F ，关于直线CD 的对称点为''F ，直线'''F F 与CE 、CD 交点为,M N ，此时FMN ∆的周长最小，周长为'''F F 的长，由对称可得到：3'(,)22F ，''(0,0)F 即点O ，''''3F F F O ===，即：FMN ∆的周长最小值为3，【点睛】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．26．如图一，在射线DE 的一侧以AD 为一条边作矩形ABCD ，AD =，5CD =，点M 是线段AC 上一动点（不与点A 重合），连结BM ，过点M 作BM 的垂线交射线DE 于点N ，连接BN ．（1）求CAD ∠的大小；（2）问题探究：动点M 在运动的过程中，①是否能使AMN ∆为等腰三角形，如果能，求出线段MC 的长度；如果不能，请说明理由．②MBN ∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN ∠的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M 运动到AC 的中点时，AM 与BN 的交点为F ，MN 的中点为H ，求线段FH 的长度．【答案】（1）30︒∠=CAD ；（2）①能，CM 的值为5或；②大小不变，30︒∠=MBN ；（3）6=FH .【解析】【分析】（1）在Rt ADC ∆中，求出DAC ∠的正切值即可解决问题．（2）①分两种情形：当NA NM =时，当AN AM =时，分别求解即可．②30MBN ∠=．利用四点共圆解决问题即可．（3）首先证明ABM ∆是等边三角形，再证明BN 垂直平分线段AM ，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）如图一（1）中，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=，∵DC tanAD 3∠===CAD ，∴30︒∠=CAD ．（2）①如图一（1）中，当AN NM =时，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，BN BN =，AN NM =，∴Rt Rt ()BNA BNM HL ∴∆≅∆，∴BA BM =，在Rt ABC ∆中，∵30ACB DAC ︒∠=∠=，5AB CD ==，∴210AC AB ==，∵60BAM ︒∠=，BA BM =，∴ABM ∆是等边三角形，∴5AM AB ==，∴5CM AC AM =-=．如图一（2）中，当AN AM =时，易证15AMN ANM ︒∠=∠=，∵90BMN ︒∠=，∴75CMB ︒∠=，∵30MCB ︒∠=，∴180753075CBM ︒︒︒︒∠=--=，∴CMB CBM ∠=∠，∴CM CB ==，综上所述，满足条件的CM 的值为5或．②结论：30︒∠=MBN 大小不变．理由：如图一（1）中，∵180BAN BMN ︒∠+∠=，∴,,,A B M N 四点共圆，∴30MBN MAN ︒∠=∠=．如图一（2）中，∵90BMN BAN ∠=∠=，∴,,,A N B M 四点共圆，∴180MBN MAN ︒∠+∠=，∵180DAC MAN ︒∠+∠=，∴30MBN DAC ︒∠=∠=，综上所述，30︒∠=MBN ．（3）如图二中，∵AM MC =，∴BM AM CM ==，∴2AC AB =，∴AB BM AM ==，∴ABM ∆是等边三角形，∴60BAM BMA ︒∠=∠=，∵90BAN BMN ︒∠=∠=，∴30NAM NMA ︒∠=∠=，∴NA NM =，∵BA BM =，∴BN 垂直平分线段AM ，∴52FM =，∴cos303FM NM ︒==，∵90NFM ︒∠=，NH HM =，∴126FH MN ==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。