高中数学第二讲 2.3不等式的证明方法之三：反证法教案新人教A版选修4-5

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高中数学2.3证明不等式的基本方法(三)学案新人教A版选修4-5

高中数学 2.3证明不等式的基本方法（三）学案新人教A 版选修4-5 ——反证法与放缩法【学习目标】1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单命题，2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式，3.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧【重点难点】重点：1. 体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题， 2. 掌握证明不等式的两种放缩技巧，重点：1. 会用反证法证明简单的命题，2. 体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”【学习过程】一、问题情景导入：1.命题p 与其否定p ⌝的真假关系是怎样的？2.在证明不等式时，直接证明很繁琐或很困难，而要证的结论的否定情况很简单，我们该怎样证明呢？二、自学探究：（阅读课本第26-29页，完成下面知识点的梳理）1.反证法：先假设要证的命题，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的实数等）的结论，以说明假设，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.2.放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某个部分的值，简化不等式，从而达到证明的，我们把这种方法称为放缩法.三、例题演练：题型一.用反证法证明否定性结论的命题：例1已知()1,0∈c b a 、、，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不能同时大于41变式：若20,20,20<<<<<<c b a ，求证：()()()a c c b b a ---2,2,2不能同时大于1.题型二.用反证法证明“至多”“至少”型命题：例2. 设+∈R c b a ,,，求证：a c cb b a 1,1,1+++至少有一个不小于2。

变式：设二次函数()q px x x f ++=2，求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个不小于21题型三.用放缩法证明不等式：例3. 已知：222131211n S ++++= ，则S 与2的大小关系为 .变式：设*,131211N n n A ∈+++= 求证： ⑴n A >；⑵n A n 2212<<-+【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.设z y x .,都是正实数，x z c z y b y x a 1,1,1+=+=+=.求证：c b a ,,中至少有一个不小于22.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证： a , b , c > 03.若x , y > 0，且x + y >2，则x y +1和yx +1中至少有一个小于2.4.已知正数数列{}n a 满足11=a ，且对一切自然数*N n ∈有n n n S a a 2121=-++，⑴求数列{}n a 的通项公式 ⑵求证：211122221<+++na a a 。

高中数学第二章证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法课件新人教A版选修45

探究一
探究二
思维辨析
变式训练2 设x>0,y>0,z>0,
求证 ��2 + �� + ��2 + ��2 + �� + ��2>x+y+z.
证明：因为 x>0,y>0,z>0,
所以 ��2 + �� &明命题“若p,则q”时,证明�� q假,进而得q为真. ( )
(2)若m>n>0,则
��
��
�� + 1 < �� + 1
.
(
×
)
(3)命题“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”. ( × )
(4)若|a|<1,则|a+b|-|a-b|<2. ( )
��(1-��)
≤
��+(1-��) 2
,
��(1-��) ≤ ��+(21-��),
当且仅当 a=b=c=d=12时,等号成立,
∴��+(1-��)
2
>
1 2
,
��+(1-��) 2
>
1 2
,
��+(1-��) 2
1 2
+
13+…+
1
��<2
��(n∈N+)
成立.

高中数学第二讲三反证法与放缩法同步配套教学案新人教A版选修4

三反证法与放缩法对应学生用书P24 1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对应学生用书P24[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．答案：D2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列．证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )．∴b 2＝b 2－d 2.∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a 32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明] x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y2|≥x ＋y2. 同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ，∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n＝1. 5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1| ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1 ∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.对应学生用书P251．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .答案：B3．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.因为P ＜0，Q ＜0.即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a . 所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故充分性成立．答案：C4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对③，显然不正确．答案：C5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0.∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1 7．完成反证法整体的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则________________均为奇数． ①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________________________ ② ＝________________________③ ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：反设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数．因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．答案：(a 1－1)，(a 2－2)，...，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1nn －＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1n －n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝2－1n<2.10．证明抛物线x ＝y 2上，不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．证明：假设抛物线x ＝y 2上存在两点A (a 2，a )B (b 2，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称．由k AB ＝1，且A 、B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上．即⎩⎪⎨⎪⎧a －b a 2－b 2＝1， ①a 2＋b 22＋a ＋b 2＋1＝0. ②由①得a ＋b ＝1，代入②得a 2＋b 22＋32＝0.此方程无解，说明假设不成立．∴抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 2.3.1 反证法课堂导学案新人教A版选修45

2.3.1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g (0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b , 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b -a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾.∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式【例2】设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41,即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.①又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(aa +-］2=41.同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41.以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y +1与y x+1中至少有一个小于2.证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31.证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +,三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c,∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1, 即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的, ∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|ab b a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾. ∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。

高中数学第二讲 2.3不等式的证明方法之三：反证法教案新人教A版选修4-5

中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

(新人教A版)高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法教案选修4-5

一、教学目标1．掌握用反证法证明不等式的方法． 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．二、课时安排1课时三、教学重点掌握用反证法证明不等式的方法．四、教学难点了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．五、教学过程（一）导入新课若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．【证明】假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．（二）讲授新课教材整理1 反证法先假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．教材整理2 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．（三）重难点精讲题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题例1已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【精彩点拨】 (1)把f (1)，f (2)，f (3)代入函数f (x )求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】 (1)由于f (x )＝x 2＋px ＋q ，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2.(2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则有|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.(*) 又|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )＝2，∴|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 规律总结：1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1.求证：a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数．【证明】 a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a ，b ，c ，d 都是非负数．即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd .这与已知中ac ＋bd ＞1矛盾，∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．即a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数.题型二、利用放缩法证明不等式例2已知a n ＝2n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】 ∵当n ≥2时，a n ＝2n 2＞2n (n －1)，∴1a n ＝12n 2＜12(1)n n -＝12·1(1)n n - ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1(1)n n - ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n ＜32，即1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 规律总结：1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．[再练一题]2．求证：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．【证明】 ∵k 2＞k (k －1)，∴1k 2＜1(1)k k -＝1k －1－1k(k ∈N ＋，且k ≥2)．分别令k ＝2,3，…，n 得122＜11·2＝1－12，132＜12·3＝12－13，…， 1n 2＜1(1)n n -＝1n －1－1n. 因此1＋122＋132＋…＋1n 2 ＜1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n ＝2－1n. 故不等式1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．题型三、利用反证法证明不等式例3已知△ABC 的三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.【精彩点拨】本题中的条件是三边间的关系2b ＝1a ＋1c，而要证明的是∠B 与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．【自主解答】 ∵a ，b ，c 的倒数成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c.假设∠B ＜90°不成立，即∠B ≥90°，则∠B 是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b ＞a ＞0，b ＞c ＞0，∴1b ＜1a ，1b ＜1c ，∴2b ＜1a ＋1c，这与2b ＝1a ＋1c相矛盾． ∴假设不成立，故∠B ＜90°成立．规律总结：1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B ≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题]3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.【证明】法一假设a ＋b >2，a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，故取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不成立，∴a 2－ab ＋b 2>0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>2(a 2－ab ＋b 2)，而a 3＋b 3＝2，故a 2－ab ＋b 2<1，∴1＋ab >a 2＋b 2≥2ab ，从而ab <1，∴a 2＋b 2<1＋ab <2，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <2＋2ab <4，∴a ＋b <2.这与假设矛盾，故a ＋b ≤2.法二假设a ＋b >2，则a >2－b ，故2＝a 3＋b 3>(2－b )3＋b 3，即2>8－12b ＋6b 2，即(b －1)2<0，这显然不成立，从而a ＋b ≤2.法三假设a ＋b >2，则(a ＋b )3＝a 3＋b 3＋3ab (a ＋b )>8.由a 3＋b 3＝2，得3ab (a ＋b )>6，故ab (a ＋b )>2.又a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，∴ab (a ＋b )>(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，∴a 2－ab ＋b 2<ab ，即(a －b )2<0.这显然不成立，故a ＋b ≤2.（四）归纳小结反证法与放缩法—⎪⎪⎪⎪ —反证法与放缩法的定义—反证法的一般步骤—证明不等式—放缩的技巧（五）随堂检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 【解析】实数a ，b ，c 不全为0的含义即a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数 D.abc ＜0【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的反面是a ，b ，c 不全是正数，故选C. 【答案】 C3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( )A ．综合法B ．放缩法C ．分析法 D.反证法【解析】由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C六、板书设计反证法例七、作业布置同步练习：2.3反证法与放缩法八、教学反思。

2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法教案(含解析)新人教A版选修4_5

三反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤： ①假设命题不成立； ②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.证明：假设4a (1－b )>1,4b (1－c )>1,4c (1－d )>1， 4d (1－a )>1，则有a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.∴a (1－b )>12，b (1－c )>12，c (1－d )>12，d (1－a )>12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2>12，b ＋1－c 2>12， c ＋1－d 2>12，d ＋1－a 2>12. 将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立．故a 32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得 y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证：1 a ＋1＋1b ＋1<32.证明：因为1a ＋1＋1b ＋1<1＋b a ＋1＋b ＋1＋a b ＋1＋a＝a ＋b ＋2a ＋b ＋1＝32，所以原不等式得证．5．已知n ∈N ＋，求证：1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122.证明：因为1×3<1＋32＝42，3×5<3＋52＝82，…，(2n －1)(2n ＋1)<(2n －1)＋(2n ＋1)2＝4n2，所以1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<4＋8＋…＋4n 2＝n 2＋n ，又因为n 2＋n <⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3. 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，∵a ，b ，c 均小于0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C. 5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________．解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M <1. 共210项答案：M <16．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nnn 项＝n . 答案：A ≥n8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1，知a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2.10．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，从而cos α＝1，这与α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos α2－cos β＝sin αsin β.因为α>β，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>sin β.从而cos α2－cos β>1，即cos α>2－cos β，即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立．由①②可知假设不成立，故原结论成立．。

高中数学教案选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法

三反证法与放缩法☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。

例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。

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新人教A高中数学教材目录必修选修很全面人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn 思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。

人教版2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案新人教A版选修4_5

三反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一反证法证明不等式命题角度1 证明“否定性”结论例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．反思与感悟当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 证明假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 都大于1，即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1，则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1.①∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， ∴(2－a )·a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 类型二放缩法证明不等式例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：x2＋xy ＋y2＋y2＋yz ＋z2＋z2＋zx ＋x2＞32(x ＋y ＋z )．证明x2＋xy ＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得y2＋yz ＋z2≥y ＋z2，z2＋zx ＋x2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x2＋xy ＋y2＋y2＋yz ＋z2＋z2＋zx ＋x2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)．证明 ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)(k ∈N ＋且k ≥2)， ∴错误!＜错误!＜错误!，即1k －1k ＋1＜1k2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)．分别令k ＝2,3，…，n ，得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…， 1n －1n ＋1＜1n2＜1n －1－1n ，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1＜122＋132＋…1n2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋1－1n，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( )A.1a ＋x ＞1aB.b a ＜b ＋m a ＋mC ．x 2＋x ＋3＞x 2＋3 D ．|a ＋1|≥|a |－1 答案 D解析对于A ，x 的正、负不定；对于B ，m 的正、负不定；对于C ，x 的正、负不定；对于D ，由绝对值三角不等式知，D 正确．2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( ) A ．a ，b ，c 全不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至少有一个不为0 D ．a ，b ，c 至多有一个不为0 答案 C3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．答案 a ≥0，b ≥0，a ≠b 解析由a 及b 知a ≥0，b ≥0，又a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b)2(a ＋b)＞0. ∴a ≠b ，∴a ≥0，b ≥0，a ≠b .4．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.证明假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.因为a ，b ，c 均为小于3的正数，所以错误!＞错误!，错误!＞错误!，错误!＞错误!，从而有错误!＋错误!＋错误!＞错误!错误!.①但是错误!＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!＋错误! ＝错误!＝错误!.②当且仅当a ＝b ＝c ＝32时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤a ＋b 2，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ＋c 3≥3abc(a ，b ，c ＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题1．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋cc ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( )A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P ＜3D ．P ＞3答案 C解析 P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1＜a a ＋b b ＋cc＝3.2．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾．所以a ，b ，c 至少有一个不小于2.A 、B 、D 可用特殊值法排除．故选C.3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a 2＋b 2＝c 2，则a n ＋b n 与c n(n ≥3，n ∈N ＋)的大小关系为( ) A ．a n＋b n＞c nB ．a n ＋b n ＜c nC ．a n＋b n≥c nD ．a n＋b n＝c n答案 B解析 ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜bc＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x均为减函数．∴当n ≥3时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴a n ＋b n ＜c n . 4．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＝BC ．A ＞BD ．A ＜B 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y＝B .5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确；对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确；对于③，显然不正确．6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，假设其中有两个负的成立，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0，因为P ＜0，Q ＜0，即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a .所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立．二、填空题7．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．答案 A ＜1解析 A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误． ②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC 有两个直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序是________．答案 ③①②解析由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________．答案12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1解析因为a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ， a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，所以2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1，所以12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的反设应该是________．答案存在x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，使|f (x 1)－f (x 2)|≥12成立三、解答题11．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数，证明假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知，a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd ＞1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n，当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…，当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．13．设a ，b ∈R,0≤x ≤1,0≤y ≤1，求证：对于任意实数a ，b 必存在满足条件的x ，y ，使|xy －ax －by |≥13成立．证明假设对一切0≤x ≤1,0≤y ≤1，结论不成立，则有|xy －ax －by |＜13.令x ＝0，y ＝1，得|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，得|a |＜13；令x ＝y ＝1，得|1－a －b |＜13.又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13，这与上式矛盾．故假设不成立，原命题结论正确．四、探究与拓展14．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…·(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③②与③矛盾，故p 为偶数．答案 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0解析由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an ＜32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫an ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知，1an ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32.所以1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.。

2019-2020高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法同步配套教学案新人教A版选修4_5

[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．
答案：D
2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．
解析：反设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．
因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．
2．放缩法
(1)放缩法证明的定义：
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．
(2)放缩法的理论依据有：
①不等式的传递性；
②等量加不等量为不等量；
求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________________均为奇数．①

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法 3 反证法与放

1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[再练一题] 1．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c， d 中至多有三个是非负数．
【证明】 a，b，c，d 中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设 a，b，c，d 都是非负数．
即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中 ac＋bd＞1 矛盾， ∴原假设错误，故 a，b，c，d 中至少有一个是负数．即 a，b，c，d 中至多有三个是非负数.
阶
阶
段
段
一
三
三反证法与放缩法
学
阶段二
业分层测
评
1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点) 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 反证法阅读教材 P26～P27“例 2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是( )
【导学号：32750039】
A．|a－b|＜2h
B．|a－b|＞2h

2018_2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案新人教A版选修4_5

三反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一反证法证明不等式命题角度1 证明“否定性”结论例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．反思与感悟当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 证明假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 都大于1，即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1，则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1. ①∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， ∴(2－a )·a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 类型二放缩法证明不等式例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32(x ＋y ＋z )．证明x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)．证明 ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)(k ∈N ＋且k ≥2)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)．分别令k ＝2,3，…，n ，得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…， 1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n ，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜12＋13＋…＋1n ＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1＜122＋132＋…1n 2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( ) A.1a ＋x ＞1aB.b a ＜b ＋ma ＋mC ．x 2＋x ＋3＞x 2＋3 D ．|a ＋1|≥|a |－1 答案 D解析对于A ，x 的正、负不定；对于B ，m 的正、负不定；对于C ，x 的正、负不定；对于D ，由绝对值三角不等式知，D 正确．2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( ) A ．a ，b ，c 全不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至少有一个不为0 D ．a ，b ，c 至多有一个不为0 答案 C3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．答案 a ≥0，b ≥0，a ≠b 解析由a 及b 知a ≥0，b ≥0，又a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0. ∴a ≠b ，∴a ≥0，b ≥0，a ≠b .4．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.证明假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.因为a ，b ，c 均为小于3的正数，所以a (3－b )＞92，b (3－c )＞92， c (3－a )＞92，从而有a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )＞92 2.①但是a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )≤a ＋(3－b )2＋b ＋(3－c )2＋c ＋(3－a )2 ＝9＋(a ＋b ＋c )－(a ＋b ＋c )2＝92.② 当且仅当a ＝b ＝c ＝32时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤a ＋b2，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ＋c 3≥3abc (a ，b ，c ＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题 1．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋cc ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( )A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P ＜3D ．P ＞3答案 C 解析 P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1＜a a ＋b b ＋cc＝3. 2．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6，又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾．所以a ，b ，c 至少有一个不小于2.A 、B 、D 可用特殊值法排除．故选C.3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a 2＋b 2＝c 2，则a n ＋b n 与c n(n ≥3，n ∈N ＋)的大小关系为( ) A ．a n＋b n＞c nB ．a n ＋b n ＜c nC ．a n ＋b n ≥c nD ．a n ＋b n ＝c n答案 B解析 ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 均为减函数．∴当n ≥3时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴a n＋b n＜c n.4．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＝BC ．A ＞BD ．A ＜B 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y＝B .5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确；对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确；对于③，显然不正确．6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，假设其中有两个负的成立，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0，因为P ＜0，Q ＜0，即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a .所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立．二、填空题7．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．答案 A ＜1解析 A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误． ②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC 有两个直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序是________．答案 ③①②解析由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________．答案12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1解析因为a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，所以2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1，所以12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的反设应该是________．答案存在x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，使|f (x 1)－f (x 2)|≥12成立三、解答题11．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数，证明假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知，a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd ＞1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n ，当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…，当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．13．设a ，b ∈R,0≤x ≤1,0≤y ≤1，求证：对于任意实数a ，b 必存在满足条件的x ，y ，使|xy －ax －by |≥13成立．证明假设对一切0≤x ≤1,0≤y ≤1，结论不成立，则有|xy －ax －by |＜13.令x ＝0，y ＝1，得|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，得|a |＜13；令x ＝y ＝1，得|1－a －b |＜13.又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13，这与上式矛盾．故假设不成立，原命题结论正确．四、探究与拓展14．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…·(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数． ①因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________． ②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________. ③②与③矛盾，故p 为偶数．答案 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0解析由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知，1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

【教学】2020学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法同步配套教学案新人教A版选修

【关键字】教学三反证法与放缩法对应学生用书P241．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值缩小或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对应学生用书P24[例1] 已知求证：(1)f(1)＋f(3)－(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明] (1)f(1)＋f(3)－(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－(2)＝2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为是对“全为的否定，与其等价的是“至少有一个不为．答案：D2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－a)，求证：a<b.证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b.当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．∴a<b.[例2]＋＋>(x＋y＋z)．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．[证明]＝≥＝|x＋|≥x＋.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ，∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n＝1. 5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1| ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1 ∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.对应学生用书P25 1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .答案：B3．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.因为P ＜0，Q ＜0.即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a . 所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故充分性成立．答案：C4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对③，显然不正确．答案：C5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0.∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1 7．完成反证法整体的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则________________均为奇数． ①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________________________ ② ＝________________________③ ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：反设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数．因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．答案：(a 1－1)，(a 2－2)，...，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1nn －1＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1n －1n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝2－1n<2.10．证明抛物线x ＝y 2上，不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．证明：假设抛物线x ＝y 2上存在两点A (a 2，a )B (b 2，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称．由k AB ＝1，且A 、B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上．即⎩⎪⎨⎪⎧a －b a 2－b 2＝1， ①a 2＋b 22＋a ＋b 2＋1＝0. ②由①得a ＋b ＝1，代入②得a 2＋b 22＋32＝0.此方程无解，说明假设不成立．∴抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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