定积分换元法

4
.
定积分的换元法和分部积分法
换元积分 还可以证明一些定积分等式, 通常 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.
几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分
的例子.
例 设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
定积分的换元法和分部积分法
例 2 sin3 xdx 0
t cosx0
2
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
x 0, t 1 x ,t 0
2
2 (1 cos2 x)dcos x
t cos x
0(1 t 2 )dt
0
1
0
t 1 t 3 2
F(b) F(a),
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
解 令x a sin t, dx a costdt.
x 0, t 0
x a,t 2
原式 a2
2 cos 2tdt a2
2
1 cos 2t
dt
1 a2
0
0
2
4
这是半径为a的四分之一的圆的面积.
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a costdt
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上有连续导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
定积分的换元法和分部积分法
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
则 x a, t a; x 0, t 0.
令x t dx dt.
0
f ( x)dx
定积分的换元法和分部积分法
例 x4 sin xdx 0
5 5
x
x3 sin2 4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
源自文库
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
定积分的换元法和分部积分法
三角函数的定积分公式
例 若f ( x)在[0,1]上连续,证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
sin2
t
)
dt
1
2
20
sin t cost cos t sin t sin t cos t
dt
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin t cos t
dt
1 2
2
1 ln sin t
2
cos t
2 0
a
[ f (x)
f ( x)]dx
可得:
a
0
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
当f ( x)在[a, a]上连续,且有
(1) f (x)为偶函数,则
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数,则
a
f ( x)dx 0 a
由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
注
在用3“凑 ”1 微3分的方法
不明显地写出
时, 新的变量
t
,
定积分的上、下限就不要变.
定积分的换元法和分部积分法
或
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x
0
[cos x
1 cos3
2
x]
2
3
03
例 a a2 x2dx (a 0) 0
0
定积分的换元法和分部积分法 若f ( x)在[0,1]上连续, 证明
(2) 0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx
由此计算
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
.
证 设 x0 t dx dt
0
xf
(sin
x)dx
0(
t)
f
[sin(
t )]dt
0 ( t) f (sin t)dt
0 f (sin t)dt 0 xt f (sinxt)dxt
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
定积分的换元法和分部积分法
0
xf (sin x)dx
0
f (t)dt
a f (xt)dxt
a
a
0
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
利用这一结果计算:
4
4
cos 1 e
x
x
dx
4
0
cos x 1 e x
cos x 1 ex
dx
4 cos xdx
0
2 2
定积分的换元法和分部积分法
由
a
f ( x)dx
0
0
(2) xf (sin x)dx f (sin x)dx,
0
由此计算
x sin x 2
0 1 cos2 x dx.
0
证
(1)
设
0x2
2
t
dx dt
2 f (sin x)dx 0
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t )dt 2 f (cos x)dx 证毕.
0