数学家简介

高次幂开方的“增乘开方法”——贾宪中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。

贾宪，中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数学家。曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，着有《黄帝九章算法细草》，《释锁算书》等书。贾宪着作已失，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。

贾宪的主要贡献是创造了贾宪三角和增乘开方法。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越。增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所着《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“出释锁算书，贾宪用此术”。贾宪开方作法图就是贾宪三角形(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)，比帕斯卡三角形早600年。此外，“立成释锁开方法”的给出，“勾股生变十三图”的完善,以及“增乘方求廉法”的创立，都表明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。首先，贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术”加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术(一元一次或高次方程)到朱世杰的四元术(四元一次或高次方程组)的建立，终于在十四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。其次，贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。第三，“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算、捷算乃至于算具的改进是有启迪意义的。第四，“细草”这一着述形式开创了一种数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。

在《九章算术》数学理论上有突出贡献的主要是三位数学家----刘徽(理论基础的奠定)、贾宪(理论水平的提高)和杨辉(理论的基本完善)，贾宪起着承前启后的作用。另一方面，贾宪的数学方法论又激发了宋元的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。

虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的细草中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有两点：⑴抽象分析法。在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出；⑵程序化方法。程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤.适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法。当代学者研究发现，程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点，而贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家产生了深远影响，纵观“宋元四大家”，莫不从中汲取精髓。

中世纪世界最伟大的数学家——朱世杰朱世杰（1249年－1314年），元代平民数学家和数学教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。

朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年。他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，和四元术的代表作--《四元玉鉴》。《算学启蒙》由浅入深，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，形成一个完整体系。书中明确提出正负数乘法法则，给出倒数概念和基本性质，概括出若干新的乘法公式和根式运算法则，总结了若干乘除捷算口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组。《四元玉鉴》主要内容是四元术，即多元高次方程组的建立和求解方法。秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内。

在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义。他总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度。这主要表现在以下三个领域。⑴方程理论。蒋周的演段法为天元术作了准备工作，洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚，李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段。贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。至此，一元高次方程的建立和求解都已实现，而线性方程组古已有之，所以李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高。从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程。从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到发展。而朱世杰，则突破了有理式的限制，开始处理无理方程。⑵高阶等差级数。沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式。朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式。他还发现了垛积术与内插法的内在联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公式。⑶几何学。宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积。李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的基础上更进一步，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理--射影定理和弦幂定理。朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部，体现了数学思想的进步。