学15—16学年下学期高二第一次月考数学(理)试题(附答案)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。
2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（ ）U =R {}|24A x x =≤≤{}2|log 1B x x =>()U A B =A ．B ．C ．D ．∅{}2{}|02x x ≤≤{}|4x x ≤【答案】B【分析】首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.B 【详解】因为，{}{}222[2,4],|log 1|log log 2A B x x x x ==>=>又因为是上的单调递增函数，2log y x =()0,∞+所以，则，所以，()2B =+∞，(]U 2B =-∞， (){}U 2A B = 故选：B .2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）2i1i z =-i z A ．1BC ．2D ．4【答案】B【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可z 【详解】因为，()()()()2121111i i ii i i i i i 1z +===+=-+--+=故选：B3．“是“直线与圆：相交”的（ ）k <≤y kx =C ()2223x y -+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“和“直线与k <≤y kx =圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案.C ()2223x y -+=【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d ，C ()2223x y -+=y kx =则，d =当直线与圆：相交时，，y kx =C ()2223x y -+=d =<解得k <<当一定成立，k<<k<≤当k <≤k <<k 故“是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，k <≤y kx =C ()2223x y -+=故选：B4．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：()()()()()22 5.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（ ）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】由题意可知，，()()()()()22 5.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.2.5%故选：C.5．设等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 3644a a a +=+9S =A ．18B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前项公式结合等差数列的性质可54a =n 得，即可得解.19959()92a a S a +==【详解】数列是等差数列，所以，{}n a 365444a a a a a +=+=+所以，所以..54a =19959()92a a S a +==36=故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，输出的Р为（ ）A ．10B ．5C ．D ．1-8-【答案】C【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】，则，17i =<112,011,20119i T P =+==+==-=，则，27i =<213,112,19217i T P =+==+==-=，则，37i =<314,213,17314i T P =+==+==-=，则，47i =<415,314,14410i T P =+==+==-=，则，57i =<516,415,1055i T P =+==+==-=，则，67i =<617,516,561i T P =+==+==-=-，所以输出的Р为.77i =≥1-故选：C.7．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12232535【分析】根据几何概型求概率公式进行求解.【详解】7:20至8:10之间共50分钟，其中当到达车站的时刻为7:20至7:30之间，或者7:50至8:00之间时，满足等车时间不超过10分钟，共有20分钟满足要求，故他等车时间不超过10分钟的概率为.202505=故选：C 8．函数的图象大致为（ ）()cos e xx xf x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可π(0,2x ∈判断作答.【详解】函数的定义域为R ，，即函数是()cos e x x x f x =()()()cos cos e e x xx x x xf x f x ----==-=-()f x 奇函数，排除CD ；当时，，即当时，函数的图象在x 轴的上方，显然A 不满π(0,2x ∈()cos 0e xx x f x =>π(0,)2x ∈()f x 足，B 满足.故选：B9．“不积跬步，无以至千里:不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年高考还有242天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是()24211%+；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的2421.0110.8925≈()24211%-2420.990.0896≈值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天.(参考数据:)lg101 2.0043,lg 99 1.9956≈≈A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】依题意，1.011000.99nn≥所以，1.01lg lg100,lg1.01lg 0.9920.99nn n n≥-≥，()10199lg1.01lg 0.992,lg lg 2100100n n ⎛⎫-≥-≥ ⎪⎝⎭，()()lg101lg 992, 2.0043 1.99562n n -≥-≥，20.00872,2300.0087n n ≥≥≈所以大约经过天.230故选：D10．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15310325625【答案】D【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，3353C A 60=当分为2,2,1人时，有种实习方案，22353322C C A 90A ⋅=即共有种实习方案，6090150+=其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，13233333C A C A 36+=故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，36615025=故选：D.11．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、1F 2F C 22221()00a x y a b b >-=>，1F C 右两支分别交于A ，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）B 22345AB BF AF =∶∶∶∶A ．2BCD 【答案】C 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再3AB =24BF =25AF =1a =290ABF ∠=利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．2452c =【详解】，不妨令，，，22345AB BF AF = ：：：：3AB =24BF =25AF =，，22222||||AB BF AF += 290ABF ∠∴=又由双曲线的定义得：，，122BF BF a-=212AF AF a-=，11345AF AF ∴+-=-13AF ∴=．，．123342BF BF a∴-=+-=1a ∴=在中，，12Rt BF F 222221212||||6452F F BF BF =+=+=又，，2212||4F F c =2452c ∴=c ∴=双曲线的离心率．∴ce a ==故选;C12．已知定义在R 上的函数满足，且函数是偶函数，当时，()f x ()()2f x f x =--()1f x +[]1,0x ∈-，则（ ）()21f x x =-20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．925162534254125【答案】C【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有(1)f x +()f x 1x =，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和()(2)f x f x -=+()2()f x f x =--()f x 将化到上即可求解.()2()f x f x =--20235[]1,0-【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，(1)f x +(1)(1)f x f x -=+()(2)f x f x -=+因为，所以，所以，()2()f x f x =--()(2)2f x f x ++=(2)(4)2f x f x +++=所以，所以函数的周期为4，()(4)f x f x =+()f x 所以，33((101204(53525f f f =⨯+=因为，所以.233334(2()21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭故选：C.二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值为__________.,x y 103010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩2zx y =-【答案】6【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.2z x y =-【详解】画出可行域解可得，.3010x y y +-=⎧⎨+=⎩()4,1B -由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.:2l z x y =-()4,1B -z 故答案为：.614．已知随机变量满足，若，则__________．ξ()2,B p ξ ()314P ξ≤=p =【答案】/120.5【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可.()()()101P P P ξξξ≤==+=【详解】由已知得，()()()()()21231011C 14P P P p p p ξξξ≤==+==-+-=解得12p =故答案为：.1215．的展开式中含项的系数为30，则实数a 的值为___________．61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 【答案】2【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 32【详解】的展开式的通项为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661C C ,0,1,2,3,4,5,6kk k k kk T x x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭令，则，令，则（舍去），622k -=2k =623k -=32k =所以的展开式中含项的系数为，61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 26C 1530a a ==所以.2a =故答案为：.216．对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--()f x [1,1]-仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当π2π(Z)4x k k =+∈()f x ()f x π时，.其中正确结论是__________.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >【答案】②④【分析】将表示为分段函数的形式并画出图像，根据三角函数的值域、最值、最小正周期、()f x 函数值等知识确定正确答案.【详解】因为，cos ,sin cos 11()(sin cos )sin cos sin ,sin cos 22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩作出函数的图像，如图所示：()fx 所以，的值城为，①错误；()fx ⎡-⎢⎣函数的最小正周期是，③错误；()f x 2π当且仅当时，函数取得最大值，②正确；π2π(Z)4x k k =+∈()f x 当且仅当时，，④正确.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >故答案为：②④三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，.ABC 4a =6c =1cos 8C =(1)求及b 的值；sin A (2)求AB 边上的高.【答案】(1)sin A=5b =【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得1cos 8C =sin C sin A ；b （2）利用等面积法求解即可.【详解】（1）在中，因为，ABC 1cos 8C =所以，sin C ==又，4,6a c ==由正弦定理得：sin sin a CA c===由余弦定理得：，2222cos c a b ab C =+-即，2200b b --=解得或（舍去）；5b =4b =-（2）设AB 边上的高为，h 则，11sin 22ABC S bc A ch== 即，解得1156622h ⨯⨯=⨯h =即AB 18．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100直方图：(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机[80,90)[90,100]抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.[90,100]X X 【答案】(1)72(2)分布列见解析，()23E X =【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并[80,90)[90,100]求得数学期望.【详解】（1）因为，()0.0100.030100.40.5,0.40.045100.850.5+⨯=<+⨯=>所以竞赛成绩的中位数在内.[)70,80设竞赛成绩的中位数为，则，解得.m ()700.0450.40.5m -⨯+=72m ≈所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.（2）和的频率分别为，[80,90)[90,100]0.1,0.05所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，[80,90)4[90,100]2的可能取值为，X 0,1,2，()022426C C 620C 155P X ====，()112426C C 81C 15P X ===,()202426C C 12C 15P X ===所以随机变量的分布列为:X X 012P 25815115数学期望.()8121215153E X =⨯+⨯=19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，其中，P ABCD -AD BC ，，，平面ABCD ，且，点M 在棱PD 上（不包括端点），AD BA ⊥3AD =2AB BC ==PA ⊥3PA =点N 为BC 中点．(1)若，求证：直线平面PAB ；2DM MP = MN (2)求二面角的余弦值．N PC D --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明（2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取PA 的点Q ，满足，连接MQ ，QB ，2=AQ PQ因为，所以且，2DM MP = MQ AD 113QM AD ==又因为，且，点N 为BC 中点，即，且，BC AD 2BC =BN AD 1BN =所以且，则四边形MQBN 为平行四边形，MQ BN BN MQ =则，平面PAB ，平面PAB ，MN BQ ∥MN ⊄BQ ⊂所以直线平面PAB ．MN （2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P 又N 为BC 的中点，则，()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =- 设平面CPD 的法向量为，()1,,n x y z = 则，令，则，1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1x =()11,2,2n = 设平面CPN 的法向量为，()2,,n a b c = 则，令，则，222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 3a =()23,0,2n = 所以，121212cos ,n n n n n n ⋅=== 由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为N PC D --20．设正项数列的前n 项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：{}n a n S 11a =①，；②；③34a =()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥()1n n S ma m =-∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，是数列的前n 项和，求证：.()2111log n n b n a +=+n T {}n b 1n T <【答案】(1)12n n a -=(2)见解析【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；{}n a 选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；11a S =m n 选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；1122a k =⋅k n （2）利用裂项相消法求出，即可得解.n T 【详解】（1）解：选①，因为，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥所以，()2112n n n a a a n -+=≥所以数列等比数列，{}n a 设数列得公比为{}n a ,0q q >由，得或（舍去），22314a a q q ===2q =2q =-所以；12n n a -=选②，因为，()1n n S ma m =-∈R 当时，，1n =1111S ma a =-=所以，所以，11m -=2m =即，21n n S a =-当时，2n ≥，1122n n n n n a S S a a --=-=-所以，()122n n a a n -=≥所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以；12n n a -=选③，因为，()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R当时，，所以，1n =11222a k =⋅=1k =即，()12323412nn a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当时，，2n ≥11231234(1)2n n a a a na n --++++=-⋅ 所以，1(1)(1)2(2)n n n a n n -+=+⋅≥即，12(2)n n a n -=≥当时，上式也成立，1n =所以；12n n a -=（2）证明：由（1）得，()()2111111log 11n n b n a n n n n +===-+++所以，11111221111131n T n n n =-+--=-<++++ 所以.1n T <21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：20152016201720182019年份x12345报考人数y 3060100140170(1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年y x y x ˆˆˆybx a =+2020（按计算）的报考人数；6x =(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，()2,N μσ385μ=，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取2225σ=400[]385,400其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，80%3852020保留整数）．参考公式和数据：，，．()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-()()51360i i i x x y y =--=∑若随机变量，则，，()2,X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+=()220.9544P X μσμσ-<<+=．()330.9974P X μσμσ-<<+=【答案】(1)，人ˆ368yx =-208(2)人90【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可.（2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解.【详解】（1）由题可知：，，1(12345)35x =++++=1(3060100140170)1005y =++++=，，521(10i i x x =-=∑51521()()360ˆ3610()i i i ii x x y y bx x ==--===-∑∑．ˆˆ1003638a y bx =-=-⨯=-关于的线性回归方程为，y ∴x ˆ368y x =-当2020年即时，人，6x =ˆ3668208y=⨯-=即预测2020年的报考人数为208人.（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，，(385N 215)则，,40038515=+10.6826(400)0.15872P X ->==直接录取人数为人,2080.158733.0133⨯=≈，之间的录取人数为人，[385400]0.68262080.856.8572⨯⨯=≈预测2020年该专业录取的大约人数是人．∴335790+=22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-过定点.l 【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB ,x t x =-<<2x ≠-则，,,A t B t ⎛⎛⎝⎝所以，212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：，22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，，122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++12112(21)()22k m k x x =+-++++12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--，24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
南通市2021-2022学年(下)高二第一次月考数学试题(后附答案解析)
南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。
吉林省长春市重点中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
长春市重点中学2022—2023学年度下学期高二年级第一次月考数学试卷考试时间：90分钟 满分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.62. 函数()ln 2f x x x =-在1x =处的切线方程为 ( ) A.20x y += B.240x y --= C.30x y --=D.10x y ++=3. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．4y x =±D ．14y x =±4.不论k 为任何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=恒过定点，则这个定点的坐标为( ) A.(2,3)-B.(2,3)C.(2,3)-D.(2,3)--5. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86. 圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为( )B.2C. D.7. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++（x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )A. 6万斤B. 8万斤C. 3万斤D. 5万斤8．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，且，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.23 B. 12C.22D. 5二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A ．两人均获得满分的概率为12 B ．两人至少一人获得满分的概率为712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34 D ．两人至多一人获得满分的概率为111210. 下列说法中，正确的是( )A.直线40x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是8B.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C.过点(1,1)且与直线210x y ++=相互平行的直线方程是23y x =-+ D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= 11. 已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足()()01f x f x x '->-，对于函数()()e xf xg x =，则下列结论正确的是( ) A.函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B.1x =是函数()g x 的极小值点C.函数()g x 至多有两个零点D.0x ≤时，不等式()e x f x ≤恒成立12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}n b 满足：1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯ B ．C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. 已知数列{}n a 中，13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，则2020a =___________. 14. 已知函数2e ()(2ln )x f x k x x x =+-和2e ()xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则k 的最大值为___________.四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）15．（12分）已知函数2()x x f x e=．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域．16．(12分)当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该小组称这种方法为“长队法”. 为了检验他们的想法，该小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验. “传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.17．(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.18．（14分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12. (1)求抛物线C 的方程；(2)设点E 是抛物线C 上任意一点，求线段EF 中点D 的轨迹方程；(3)过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点（均与点()1,1A 不重合），设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 为定值.参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCABDCAD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）题号 9 10 11 12 答案BCDACABCABD三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）13. ‐3 14.四、解答题（共50分）15.（12分）（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞； （2）240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【详解】（1）由题意得，(2)()xx x f x e-'=，令()0f x '>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >或0x <，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞．（2）易知241(0)0,(2),2e f f f e ⎛⎫==-=⎪⎝⎭因为221416(2)2e e e f f e-⎛⎫--== ⎪⎝⎭ 22221628(22)(22)042e e e e e e --+->==>, 所以1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．（或由244(2)9f e =>，134329e f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭）,又当0x >时，2()0x x f x e =>，所以函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域为240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（12分）【详解】 (1)183125257369151146100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间， 所以选择“传统排队法”更适合；(2)记事件A =“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a 表示等待时间在[10，12]的满意顾客，Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a ），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a ），（3，4），（3，5），（3，a ），（4，5），（4，a ），（5，a ）}n （Ω）=15，事件A 包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）， ()10n A =，()102()()153n A p A n ===Ω.17.（12分）【详解】 (1)设{a n }的公比为q (q ＞1).由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.整理得2q 2－5q ＋2＝0，即(2q －1)(q －2)＝0.解得q ＝12 (舍去)或q ＝2. a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 18.（14分）(1)2y x =(2)211216y x =- (3)证明见解析【详解】（1）解：由题意抛物线2:2C y px =的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，又焦点到准线的距离为12，所以1222p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）解：由（1）知1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00(,)E x y ，(,)D x y ，则001422x x y y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即001242x x y y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 而点00(,)E x y 在抛物线C 上，200y x =，21(2)24y x ∴=-，即211216y x =-，此即所求点D的轨迹方程．（3）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，直线MN 的方程为(1)3x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以2(2)80t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以12121222121212111111111(1)(1)y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ 12121111312y y y y t t ===-+++--++，所以12k k 是定值．。
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，()224,,4,(1,4,1)a x x b =--=--，若//a b ，则x 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4或4-D ．5【答案】A【分析】由向量平行有a b λ=且R λ∈，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，a b λ=且R λ∈，则22444x x λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得44x λ=⎧⎨=-⎩. 故选：A2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若△1AF B的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】B【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得a =c ，进而求得21b =，即可写出椭圆方程.【详解】由题设，2121||||||||2AF AF BF BF a +=+=，且22||||||AB AF BF =+， 所以△1AF B的周长为2121||||||||4AF AF BF BF a +++==a =又c e a ==，可得c =2221b a c =-=， 综上，C 的方程为2213x y +=.故选：B3．函数()2e xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求导判断出函数()f x 的单调区间即可做出选择.【详解】∵()2e x f x x =，∴()()()22222222212e e e e e x xx x x x x x x f x x x x ''⋅-⋅--'===. 令()0f x '=，得12x =. 则函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.选项A ：违背函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减.判断错误；选项B ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误；选项C ：函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.判断正确；选项D ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误.故选：C4．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2192 B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000480000120000.4%39288n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D5．如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（ ）A ．123122a b c -+B ．122132a b c -++C ．122121a b c +-D ．211322a b c --【答案】D【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用,,OA OB OC 表示NM 即可得结果.【详解】由题图，1()2NM AM AB AC =-+，而AB OB OA =-，AC OC OA =-，13MA OA =，所以1211211()232332122NM OB OA OC OA OA OB OC O a b c A =---+-=--=--.故选：D6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()'f x 是函数()f x 的导函数，则（ ）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【答案】A【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ， 结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<. 故选：A.7．已知数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则26a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】直接列举即可求解.【详解】由题意知，1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，这次复制后数列已经有15项，下次复制会先复制这15项，再添加数5，故26111a a ==. 故选：A.8．若函数()ln f x kx x =+在区间[1,3]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)-+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】根据()f x 的导函数在区间上大于等于零恒成立，分离参数，即可求得参数的取值范围.【详解】因为()ln f x kx x =+，故可得'()f x 1k x=+，根据题意，10k x +≥在[]1,3恒成立，即1k x≥-在[]1,3恒成立， 又1y x =-在[]1,3的最大值为13-，故13k ≥-.故选：A. 二、多选题9．设数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，10a >，且69S S =，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．80a = C ．56S S > D ．7S 或8S 为n S 的最大值 【答案】BD【分析】由69S S =及前n 项和公式可得17a d =-，即可判断A 、B 的正误，进而得到2152n dn dnS -=判断C ，结合二次函数的性质判断D 的正误.【详解】由69S S =，即1165986922a d a d ⨯⨯+=+，则17a d =-，又10a >， 所以0d <，8170a a d =+=，则A 错误，B 正确；且21(1)1522n n n d dn dnS na --=+=，故525S d =-<627S d =-，C 错误； 由n S 的二次函数性质：开口向下且69S S =，易知78S S =为n S 的最大值，D 正确. 故选：BD10．如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值 【答案】AD【分析】A.利用导数的正负与函数的增减的关系判断； B. 利用导数的正负与函数的增减的关系判断； C.利用极值点的定义判断； D. 利用极值点的定义判断.【详解】A. 因为()0f x '>在(1,3)-上成立，所以(1,3)-是()y f x =的单调递增区间，故正确；B.因为 03x <<时，0f x ，35x <<时，0f x ，所以()y f x =在(0,5)上不单调，故错误； C.因为10x -<<时，0f x，03x <<时，0fx ，函数()y f x =在0x =处无极值，故错误；D.因为 35x <<时，0f x ，5x >时，0f x ，所以函数()y f x =在5x =处取得极小值，故正确； 故选：AD11．下列命题正确的是（ ）A ．sin cos 44ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()sin(23)f x x =+，则()cos(23)f x x '=+C ．对于已知函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为4D ．设函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，则9(2)4f '=-【答案】CD【分析】A.利用导数公式求解判断；B.利用复合函数的导数求解判断；C.利用平均变化率的定义求解判断；D.利用导数运算法则求解判断.【详解】A. sin 04π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误； B.若()sin(23)f x x =+，则()2cos(23)f x x '=+，故错误； C. 函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为()()31431f f -=-，故正确； D.因为函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，所以()()1232f x x f x''=++， 则()()1222322f f '=⨯++'，解得9(2)4f '=-，故正确；故选：CD12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，若()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论错误的是（ ）A ．()xf x 在()0,∞+上单调递增B ．()xf x 在()0,∞+上单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12【答案】ABC【分析】将()()2ln x f x xf x x '+=变形得()()ln xxf x f x x'+=（0x >），构造函数()()g x xf x =，结合导数讨论()g x '正负，即可求出()g x 单调性和极值.【详解】由()()2ln x f x xf x x '+=，可知0x >，则()()ln x xf x f x x '+=，即()ln x xf x x'=⎡⎤⎣⎦． 设()()g x xf x =，则由()ln 0xg x x'=>得1x >，由()0g x '<得01x <<， 所以()()g x xf x =在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 所以当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112g f ==． 故选：ABC ． 三、填空题13．若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________． 【答案】2【分析】对函数求导，根据极值点得到2a =或6a =，讨论a 的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+， 因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =， 若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意； 综上：2a =. 故答案为：2. 【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.14．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则8967a a a a +=+______． 【答案】9【分析】利用等比数列的性质及它们成等差可建立方程，从而可求q 的值，即可求得结论.【详解】解：由题意得：设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， ∵13a ，312a ，22a 成等差数列 ∴31232a a a =+ ∴2230q q --=∴3q =或1q =-（舍去）∴7822891156671139a a a q a q q a a a q a q ++====++． 故答案为：9 15．若点P 是抛物线2y x 上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为________.【分析】易知最小值点P 为抛物线2yx 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-，利用导数的几何意义可求得P 点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】当P 到直线2y x =-距离最小时，P 为抛物线2y x 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-， 21y x '==，12x ∴=，11,24P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴所求最小距离d ==故答案为：8.16的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆22110x y n+=是“黄金椭圆”，则n =__________．【答案】5【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，利用离心率公式求解.【详解】解：当焦点在x 轴上时，()2210,0,10a b n ==∈，则210c n =-所以2221010c n e a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；当焦点在y 轴上时，2210,10b a n ==>， 则210c n =-，所以22210c n e a n -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；故答案为：555± 四、解答题17．（1）求曲线e x y =在0x =处切线的方程； （2）过原点作曲线e x y =的切线，求切点的坐标． 【答案】（1）1y x =+；（2）()1,e .【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为(),e tt ，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出t 的值，即可得出切点坐标.【详解】解：（1）当0x =时，0e 1y ==，即切点坐标为()0,1，e x y '=，切线斜率为0e 1k ==，故所求切线方程为1y x -=，即1y x =+；（2）设切点坐标为(),e tt ，对函数e x y =求导得e x y '=，故切线斜率为e t ，所以切线方程为()e e t ty x t -=-，将原点坐标代入切线方程可得e e t t t -=-，解得1t =，故切点坐标为()1,e .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==．若在CD 上存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ．(1)求线段CE 的长；(2)求直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值． 【答案】(1)32CE = 517【分析】（1）以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设DE a =，其中02a ≤≤，由已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，可求得线段CE 的长；（2）利用空间向量法可求得直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值.【详解】(1)解：以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：设DE a =，其中02a ≤≤，则()0,,0E a 、()1,0,0A 、()11,0,1A 、()11,2,1B 、()10,0,1D ，()10,2,1AB =，()111,2,0D B =，()11,,1A E a =--， 若1A E ⊥平面11AB D ，则11A E AB ⊥，111A E D B ⊥，则11111210210A E AB a A E D B a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得12a =，则322CE CD DE a =-=-=.(2)解：由（1）可知平面11AB D 的一个法向量为()122,1,2n A E ==--，且131,,12EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11155172cos ,173n EB n EB n EB ⋅<>==-=⋅⨯因此，直线1B E 与平面11AB D 51719．已知点F 为抛物线22(0)x py p =>的焦点，点(),4A a 在抛物线上，且5AF =． (1)求该抛物线的方程；(2)若点A 在第一象限，且抛物线在点A 处的切线交y 轴于点M ，求AOM 的面积．【答案】(1)24x y =(2)8【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得||452pAF =+=，求出p ，从而可求得抛物线的方程，（2）将(),4A a 的坐标代入抛物线方程可求出点A 的坐标，设切线方程为4(4)y k x -=-，代入抛物线方程中化简后，由判别式为零可求出k ，从而可得直线方程，进而可求出点M 的坐标，然后可求出AOM 的面积 【详解】(1)由抛物线的定义可知||452pAF =+=， 即2p =，抛物线的方程为24x y =， (2)24416a =⨯=，且A 在第一象限，4a ∴=，即A （4，4）， 显然切线的斜率存在，故可设其方程为4(4)y k x -=-，．由24(4)4y k x x y -=-⎧⎨=⎩，消去y 得[]24(4)4x k x =-+，即2416160x kx k -+-=， 令2164(1616)0k k ∆=--=，解得2k =，∴切线方程为24y x =-． 令x =0，得4y =-，即4(0,)M -， 11||44822AOMA SOM x ∴==⨯⨯=． 20．已知函数2()ln f x a x bx x =++在其图象上的点(1,)c 处的切线方程为620x y --=． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)1,3,4a b c =-==；(2)单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值.【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c ，再由()()161f f c ⎧=⎪⎨='⎪⎩求出参数a 、b即可.（2）由（1）得()()()3121x x f x x-+'=()0x >，根据fx 的符号判断()f x 的单调区间，并确定极值情况.【详解】(1)由题设，()21af x bx x'=++，且624c =-=， 又()()1216114f a b f b c ⎧=++=⎪⎨=+=='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩．(2)由（1）得：()2ln 3f x x x x =-++，∴()()()3121161x x f x x x x-+'=-++=()0x >， 令0f x ，解得13x >；令0f x ，解得103x <<，∴()f x 的单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴当13x =时，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值．21．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足121n n na a a +-=． (1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)若()()()211N n n n b a a n *+=--∈，求数列{}n b 前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析； (2)342(1)(223)n S n n n =++-+，()n *∈N . 【分析】（1）由题设可得111111+-=--n n a a ，利用等差数列的定义判断11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是否为等差数列即可. （2）由（1）有1(2)n b n n =+，应用裂项相消法求n S 即可.【详解】(1)由题设，111+--=n n n a a a ，则1111111n n n n a a a a +==+---，所以111111+-=--n n a a 为常数，又1111a =-， ∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由（1）得：11=-n n a ，所以()()2111111(2)22n n n b a a n n n n +⎛⎫=--==- ⎪++⎝⎭， 所以，111111*********...12243511222123n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++，()n *∈N ． 22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a 元(1013)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x 万件． (1)求该商店一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式； (2)求出L 的最大值()Q a ．【答案】(1)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈；(2)()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域范围.（2）对L 求导，令0L '=得2823a x +=或18x =，讨论2823a+与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的区间单调性，即可求最大值.【详解】(1)由题意，预计当每件产品的售价为x 元()1317x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a 元（1013a ≤≤），所以商店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈(2)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈，()()()282318L x a x x '∴=+--，令0L '=，解得：2823a x +=或18x =，而1013a ≤≤，则28216183a+≤≤， ①当28213173a+≤<，即1011.5a ≤≤时， 当28213,3a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≥，()L x 单调递增， 当282,173a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≤，()L x 单调递减， ()3max 282413327a L L a +⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭； ②当28217183a+≤≤，即11.513a ≤≤时，则()0L x '≥，即()L x 在[13,17]单调递增， ()max 1712L L a ∴==-，综上，()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.。
安徽省灵璧中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 含答案
灵璧中学2015—2016学年第二学期高二年级第一次月考数学(理)试题(时间：120分钟， 满分：150分）命题人：李勇 审核人: 管宝第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.25P a a =++43+++=a a Q )0(≥a ，则P ,Q 的大小关系为（）A ．Q P ＞B ．Q P =C ．Q P ＜D ．由a 的取值确定2。
函数343)(x x x f -=([]1,0∈x )的最大值是 ( )Ａ．１ Ｂ．21 Ｃ．０ Ｄ．1- 3。
观察下列各式：3437,4973==2，240174=，则20117的末两位数字为（)A ． 01B ． 43C ． 07D ． 494。
某个命题与正整数有关,若当)(*∈=N k k n 时该命题成立,那么可推得当1+=k n 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ )A 。
当6=n 时,该命题不成立B 。
当6=n 时，该命题成立C 。
当4=n 时，该命题成立 D.当4=n 时，该命题不成立 5．函数3y axx =-在R 上是减函数，则（ ）A 。
13a ≥B. a=1C. a=2D.0a ≤6。
函数()(1)xf x x e =-的单调减区间为( )A 。
(,0)-∞ B 。
(0,1) C. (1,4) D.(0,)+∞7．用数学归纳法证明不等式“()2,12131211*≥∈<-++++n N n n n时，由()2≥=k k n 不等式成立,推证1+=k n 时,左边应增加的项数是( ）A ．12-k B ．12-kC ．k2 D ．12+k8．)(x f 的导函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是 （ )9． 设曲线1*()n y xn N +=∈在点(1, 1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x xx ⋅⋅⋅的值为 （ )A. 1nB 。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则复平面内与对应的点位于（ ）z ()1i 3i z -=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.12z i =+【详解】因为，所以，()1i 3i z -=+()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+所以复平面内与对应的点位于第一象限，z 故选：A2．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在上的频率为[)20,600.8，则估计样本在，内的数据个数共为[)40,50[)50,60A ．15B ．16C ．17D ．19【答案】A【解析】由题可先求样本在,内的频率,再根据总样本容量为30求解即可.[)40,50[)50,60【详解】由题易得在,内的频率为.故样本在,内的数据[)40,50[)50,60450.80.530+-=[)40,50[)50,60个数共为.300.515⨯=故选：A【点睛】本题主要考查了频率与频数的问题.属于基础题型.3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（ ）A ．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B ．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减C ．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D ．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关【答案】B【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.【详解】对于A ，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A 正确；对于B ，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B 不正确；对于C ，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 正确；对于D ，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确.故选：B4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）22:154x y C +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点22:154x y C +=2x y ==在圆上，所以，3R =故选：A5．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线()1.2,0.5()4.8,7.5的斜率为1.1，则（ ）l A ．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D ．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判l y 断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值l y 增加速度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和，1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解l ˆ1.1y x a =+ˆ4 1.13a =⨯+得，ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则，1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6．在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比丙高，乙：我的成绩比丙高，丙：乙的成绩比我和甲的都高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）．A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】D【分析】由丙的成绩最低、最高进行推理可得，【详解】如果丙的成绩最低，则甲乙预测都正确，不合题意，若丙成绩最高，三人预测都错误，也不合题意，因此丙成绩是第二，只有D 可选，事实上，这时丙预测是错误的，甲正确，则乙错误．故选：D ．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，12C 另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，22A 222A 33A 不同的排队方法有：种.12232223C (A 2A )A 72⋅+⋅=故选：C.8．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方36312法共有 A ．种B ．种C ．种D ．种90180270540【答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原336A =422364233390C C C A A =理可得：，422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=应选答案：D ．【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．33A 9．如图，过抛物线的焦点为F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，()220y px p =>若，且，则（）23AF CF =10AF =AB =A ．B ．C ．18D ．259561007【答案】B【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物15CF =MF CFAD AC=6p =线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半()11,A x y ()22,B x y ():3AB y k x =-径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.17x =297x =【详解】设准线l 与x 轴交于点M ，过A 作，垂足为D ，由抛物线定义知，AD l ⊥，由得，，10AD AF ==23AF CF =15CF =因为，所以，即，得，//MF AD MF CFAD AC=15101015p =+6p =所以抛物线方程为.212y x =设，，则，所以.()11,A x y ()22,B x y 113102pAF x x =+=+=17x =设直线，联立，得到，():3AB y k x =-212y x =()222261290k x k x k -++=则，21294p x x ==∴，297x =∴.1291007677AB x x p =++==++故选：B.10．若展开式中的常数项是60，则实数的值为（ ）6(1)2x x ⎛+- ⎝a A ．±3B ．±2C ．3D ．2【答案】B【解析】由的通项公式化简，结合分析得到常数项的公62x ⎛- ⎝616(1)2rrr r r x T C -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1x +式，即可求参数值【详解】由的通项公式为，结62x ⎛- ⎝63662166(1)(1)22rrrr r r r r r r x T C C a x ---+⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭合知：()1x +当为常数项时，有，即(舍去)1r x T +⋅3612r -=-143r =当为常数项时，有，即11r T +⋅3602r -=4r =又∵展开式的常数项为606(1)2x x ⎛+⋅- ⎝∴，解得()4464461C 260a -+-⨯⨯⨯=2a =±故选：B【点睛】本题考查了二项式定理，已知常数项的值，保证通项公式中x 的指数为0且所求的指数r 为自然数，即可求得参数值11．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意12F F 、22221(0,0)x y a b a b -=>>P 一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率为 221||||PF PF 9a A ．2B ．5C ．3D ．2或5【答案】B【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a ，确定m ＝a 或221||PF PF 4a ，此时c ＝2a 或5a ，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，根据双曲线定义：，()1PF m m c a =≥-22PF a m=+所以，()222212||44a m PF a m a PF m m +==++因为的最小值为 ，221||PF PF 9a 所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ，m a =4m a =此时，所以双曲线的离心率为5．5a 故选B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,cce a =的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知实数，，，且 ）0a >0b >1a ≠ln b =A ．B ．C ．D ．log 1a b >a b<log 1a b <a b>【答案】A【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取()12ln f x x xx =--x =误，得出答案.【详解】令函数，则.()12ln f x x x x =--()222122110x x f x x x x -+'=+-=≥所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.()f x ()10f =()0f x <()0,1()0f x >()1,+∞取x =ln ln ln fa b a ===-当时，，即，；01<<0f<ln ln 0b a -<b a <时，，即，.故B ，D 不一定成立.1>0f>ln ln 0b a ->b a>又当时，，所以，由换底公式得；01<<ln ln 0b a <<ln 1ln ba >log 1ab >时，.所以，得. 所以选项A 正确1>ln ln 0b a >>ln 1ln ba >log 1ab >故选: A二、填空题13．某中学高一年级有学生700人，高二年级有学生600人，高三年级有学生500人，现在要用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加6×6方队表演，则高一年级被抽取的人数为______．【答案】14【分析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】高一年级被抽取的人数为．7003614700600500⨯=++故答案为：14.14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.2s 2s =学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679【答案】25【解析】由题意可得甲班的数据波动较小，计算甲班方差即可得解.【详解】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.()2121001055s =⨯++++=故答案为：.25【点睛】本题考查了方差的概念和计算，属于基础题.15．如图，在正方体中，E 是棱BC 的中点，G 是棱的中点，则异面直线GB ABCD A B C D -''''DD '与所成的角为______．B E '【答案】90【分析】直接建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出向量的坐标，根据向量法即可求出两条异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，2则，，，，(0,0,1)G (2,2,0)B (1,2,0)E (2,2,2)B '则，，(2,2,1)GB =- (1,0,2)B E '=--则，()()2120120GB B E '=⨯-+⨯-⨯-=⋅所以，GB B E '⊥ 所以，所以直线与直线的夹角为．GB B E '⊥GB B E '90故答案为：．9016．已知正实数，满足，则的最大值为______．x y ln e ln x x y y =+()4x y x -+【答案】244e+【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，ln e ln e xxyx x y =⋅()e xf x x =0x >,x y 这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．()4x y x -+x 【详解】由得，所以，，ln e ln xx y y =+ln e x x y y =ln e x x x x y y =ln e ln e xxy x x y =⋅因为，所以，0x >ln 0xy >设（），则，递增，()e xf x x =0x >()e (1)x f x x '=+0>()f x 所以由得，所以，ln e ln e xxy x x y =⋅ln x x y =e x x y =，22(4)(4)4e e x x x x x y x x x x x-+=-+=-+设，则，22()4e x xg x x x =-+22()24(2)(2)e e xx x x x g x x x -'=-+=-+所以时，，递增，时，，递减，02x <<()0g x '>()g x 2x >()0g x '<()g x所以．max 24()(2)4e g x g ==+故答案为：．244e +【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能lne ln e xx yx x y =⋅力，属于较难题．三、解答题17．一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出进行测试．(1)求前两次取出的都是二等品的概率；(2)求第二次取出的是二等品的概率．【答案】(1)16(2)12【分析】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；2222A A ⨯（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯然后利用古典概型的概率公式解之即可；【详解】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，2222A A ⨯所以前两次取出的产品都是二等品的概率为；222244A A 1A 6⨯=（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯所以第二次取出的产品是二等品的概率为；132344C A 1A 2⨯=18．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组[]40,100并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点x 值作代表）；(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同110[]70,100学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的[]70,10022⨯条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？[]70,100喜欢不喜欢合计男同学女同学合计附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)频率分布直方图见详解，；73.5x =(2)列联表见详解，没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质以及平均数的计算公式求解.(2)利用已知的数据以及公式计算求解.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【详解】（1）各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，10.050.150.30.250.10.15f =-----=所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：0.150.01510=样本平均数.450.05550.15650.15750.3850.25950.173.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)喜欢不喜欢合计男同学403070女同学203050合计6060120，()221201200600 3.429 3.84170506060K ⨯-=≈<⨯⨯⨯故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.19．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y （单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份y a bx =+2y c dx =+代码x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程.参考数据：y521ii x=∑541ii x=∑51i ii x y=∑521i ii xy=∑34559796572805，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay xb =-【答案】(1)2y c dx=+(2)26.5 2.5y x=+【分析】（1）根据散点图及一次函数与二次函数特点得出结论；（2）令，换元后转化为关于的线性回归方程，根据公式求出系数，得出回归直线方程，再2t x =t 换回即可．x 【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合．2y c dx =+（2）由（1）可设回归方程为，2y c dx =+ 令，则回归方程.2t x =y c dt =+因为，，554121979i ii i t x====∑∑552112805i ii ii i y t xy ====∑∑，，55211111551i i i i t t x =====∑∑34y =，51221555i ii ii t y t yd tt==-⋅=-∑∑ 22805511349352.5979511374-⨯⨯===-⨯，34 2.511 6.5c y dt =-=-⨯= 故回归方程为，6.5 2.5y t =+即.26.5 2.5y x =+ 20．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，P ABCD -ABCD//AB CD 60DAB ∠=︒，侧面底面，且为等腰直角三角形，．2AB AD CD ==PAD ⊥ABCD PAD 90APD∠=︒（Ⅰ）求证：；AD PB ⊥（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．PAD PBC 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结、、，根据和是正三角形，证明PG GB BD PA PD =ABD △平面即可.AD ⊥PGB （Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G 为PAD ⊥ABCD PG AD ⊥GA GB GP 原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面GA GB GP G xyz -的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面PBC ()000,,n x y z =PAD 1,0)n GB ==与平面所成锐二面角为，由求解.PAD PBC θ11cos ||n n n n θ⋅=⋅【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结、、．PG GB BD ，PA PD = PG AD ∴⊥，且，AB AD = 60DAB ∠=︒是正三角形，，ABD ∴ BG AD ⊥又，PG BG G = 平面．AD ∴⊥PGB AD PB∴⊥（Ⅱ）∵侧面底面，PAD ⊥ABCD 又，底面．．PG AD ⊥ PG ∴⊥ABCD PG BG ∴⊥∴直线、、两两互相垂直，GA GB GP 故以G 为原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立GA GB GP 如图所示的空间直角坐标系．G xyz-设，则可求得，，，，．PG a =(0,0,)P a (,0,0)Aa ,0)B (,0,0)D a-3,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．．3,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,)PB a ∴=- 设是平面的一个法向量，()000,,n x y z =PBC 则且．0n BC ⋅= 0n PB ⋅=解得000030,20.ax az ⎧-=⎪∴-=000,.x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取．y =(n =-又∵平面的一个法向量，PAD 1,0)n GB ==设平面与平面所成锐二面角为，PAD PBC θ则cos θ=所以平面与平面PAD PBC 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x Nx N MMN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k kx x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122xx k x x -=++()12124x x x+++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k=4k =-22．已知函数．()()1ln f x x x ax a=+-+(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；2a =()f x (2)若恒成立．()1,0x f x >>①求的取值范围：a ②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：11111232n a n n n n =+++++++ []x x []10n a ）ln 20.69≈【答案】(1)为上的增函数，证明见解析()f x ()0,∞+(2)①；②当或2时，；当时，(],2a ∈-∞1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答()1,0x f x >>()min 0f x >案；②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范11111232n a n n n n =+++++++ n a 围，再根据的定义即可得解.[]x 【详解】（1），()()1ln 10f x x x x =+->'记，则，()1ln 1g x x x =+-()22111x g x x x x -'=-=所以，所以单调递减；()()0,1,0x g x '∈<()g x ，所以单调递增,()()1,,0x g x '∈+∞>()g x 所以，所以，即，且仅有，()min ()10g x g ==()0g x ≥()0f x '≥()10f '=所以为上的增函数；()f x ()0,∞+（2）①，()1ln 1f x x a x =++-'令，则，()1ln 1a h x x x =++-()21x h x x -'=则，所以单调递增,()()1,,0x h x '∈+∞>()h x 所以，即，()()1h x h >()()12f x f a''>=-①当时，，所以为递增函数，2a ≤()0f x ¢>()f x所以，满足题意；()()10f x f >=②当时，，2a >()()1120,e 10e a a f a f ='=-<+>'有唯一零点，且，()f x '0x ()01,e a x ∈则时，单调递减，()01,x x ∈()()0,f x f x '<所以，不合题意，舍去，()()010f x f <=综上，；(],2a ∈-∞②经计算：，()()1237370.5,0.5,0.6,0.6,0.71260a a a ==∈=∈因为，所以数列单调递增，1111110212212122n n a a n n n n n +-=+-=->+++++{}n a 所以，当或2时，，1n =0.50.6n a ≤<当时，，3n ≥30.6n a a ≥>当时，由①可知，此时，即，2a =()0f x >()21ln (1)1x x x x ->>+令，则，则有，()2111x x k -=+2121k x k +=-121ln 21k k k +<-令，1,2,,2k n n n =++ 则有，11123254141ln ln ln ln12221234121n n n n n n n n n n n +++++++<+++=++++-+ 因为，411ln ln 2ln20.72121n n n +⎛⎫=-<< ⎪++⎝⎭所以当时，，3n ≥0.60.7n a <<所以，当或2时，；当时，．1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
安徽省亳州市涡阳县育萃高级中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
育萃高中高二年级第二学期第一次月考数学（理科）试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13i i 42z =--，则2z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -+ D. 2i --C根据复数的乘法运算、复数模的运算以及复数的几何意义即可求解.()()()143i 52i 2i 2i2i 2i z -+===+-+-，又复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22z i =-+.故选：C. 2. 已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A. 21,04x x x ∃∈-+R B. 21,04x x x ∃∈-+>RC. 21,04x x x ∀∈-+>R D. 21,04x x x ∀∈-+<R B根据全称命题的否定直接写出答案.命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()()135810,2360n S a a a a a ++++=，则11S 的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66C根据等差数列求和与通项公式求解即可.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()()1358102360a a a a a ++++=，()()1111122437960a a d a d a d a d ∴++++++++=，解得1655,5a d a +=∴=，()111116611112115522S a a a a ∴=+=⨯==，故选：C. 4. 已知1a b >>，给出下列不等式：①11b ba a +>+；②11ab a b+>+；③3322a b a b +>；④11a b b a+>+；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C利用作差法，结合题干条件，可判断①②④的正误，代入特殊值，可判断③的正误，即可得答案. 对于①：1(1)(1)1(1)(1)(1)b b a b b a ab a ab b a ba a a a a a a a++-++----===++++， 因为1a b >>，所以0,10a b a ->+>，所以101(1)b b a b a a a a+--=>++，即11b b a a +>+，故①正确； 对于②：11111(1)()1()b a ab a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab --⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=--=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>， 所以110a b a b ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b a b+>+，故②正确； 对于③：当3,2a b ==时，33333235a b +=+=，22223236a b =⨯⨯=， 所以3322a b a b +<，故③错误；对于④：11111()1a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故④正确.所以正确的有①②④.故选：C 5. 若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（ ）A. -4B. -2C.2e D. eA设切点()00,2ln x x ，写出切线方程0022ln 2xy x x =+-，从而可得01x e=，代入切线方程即可求解.设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-，则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-，故选：A.6. 双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>，圆22:(2)3M x y ++=与双曲线C 的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）A.B.C.D.A由题意先计算出圆心到渐近线的距离，然后再运用点到直线的距离公式计算出b c 、数量关系，即可求出离心率由题意可知圆心()2,0-，又因为渐近线与圆相交所得弦长为2，则圆心到渐近线双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，运用点到直线的距离公式计算2b c ==2b c=，所以a=，故ce a == A. 7. 对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，则2a =（ ）A. 6B. 9C. 12D. 21A根据题意，将3x 进行变形，变形成3[(2)2]x -+，通过二项式定理可得30031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x C x C x C x C x -+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，由题意，可知21232326a C ==⨯=.∵3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，而330031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x x C x C x C x C x =-+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，又3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-， 由对应相等得：21232326a C ==⨯=.故选：A.本题考查二项式定理的应用，关键点在于将3x 变形成3[(2)2]x -+，进而用二项式定理解题. 8. 在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ） A. 72B.47C. 3D. 23B利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+.故选：B. 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 9. 已知直线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，4FA FB =，则k =（ ）A. 34B.54C. 3D.2A设()()1122,,,A x y B x y ，进而联立方程得28160x kx --=，再结合韦达定理得21284y y k +=+，124y y ，又因为抛物线焦点在y 轴正半轴且4FA FB =，故1246y y =+，进而解得1218,2y y ==，34k =.解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知抛物线的焦点坐标为()0,2F ， 直线线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =联立方程得：28160x kx --=， 所以12128,16x x k x x +==-，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()()1212224y y kx kx =++=，又因为4FA FB =，所以()12242y y +=+，即1246y y =+， 所以由1246y y =+和124y y 解得1218,2y y ==（负的舍去） 所以21218482y y k +=+=+，解得2916k =，所以34k =故选：A本题考查直线与抛物线的位置关系问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于联立方程并结合韦达定理得12128,16x x k x x +==-，进而得21284y y k +=+，124y y ，再根据焦半径公式得1246y y =+，联立方程即可得答案.10. 已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A. (3,2)--B. [3,2]--C. (,2)-∞D. (,2]-∞-D求出()1f x ≥-，令()f x t =，解()0<f t 得11a t a -<<+，然后得1()1a f x a -<<+无解，结合()f x 的值域可得结论．2()()11f x x a =--≥-，设()t f x =，则(())0f f x <化为()0<f t ，2()()10f t t a =--<，11a t a -<<+，1()1a f x a -<<+，由题意此不等式无解，则11a ≤-+，∴2a ≤-．故选：D ．11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4B利用特殊位置可判断①②的正误，可证明//EF 平面ABCD ，据此可判断③的正误，利用向量的数量积可求,AF CE 夹角的余弦值，从而可求其最大值．如图1，当F 与1A 重合时，E 与1D 重合时，直线EF 与直线AC 是异面直线，故①错误．如图2，当F 与1A 重合时，E 与1C 重合时，四边形ACEF 为矩形， 故直线AF 与直线CE 平行，故②错误．因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，而EF ⊂平面1111D C B A ，故//EF 平面ABCD ， 所以直线EF 到平面ABCD 的距离为定值（正方体的棱长），故③正确． 建立如图3所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()0,,1F a ，(),1,1E b ，其中01,01a b ≤≤≤≤， 而()1,1,0C ，故()0,,1AF a =，()1,0,1CE b =- ，设直线AF 与直线CE 所成角为θ， 则1cos cos ,2AF CE θ==≥=， 若直线AF 与直线CE 不平行，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故直线AF 与直线CE 所成角的最大值是，所以④正确．故选：B ．方法点睛：空间中与直线与直线的位置关系有关的判断，应该让几何对象动态变化，在变化过程中确定位置关系，而角的最值判断，则需构建平面角，也可以通过直线的方向向量的夹角来处理．12. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭） A. ()6063,e +∞B. ()20210,e C. ()2021,e +∞ D. ()60630,eD由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 由题可设()()xf x F x e =，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e --==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==， 将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=<， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 有1ln 20213x<，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e=、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.1-根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案.根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A 将目标函数3z x y =-化为133zy x =-，z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133z y x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种.(用数字作答)24首先为“爸”、“爸”的两张卡片选一个信封，再将剩下三个字放进三个不同信封进行全排列，分步相乘即得结果.5张卡片放入4个不同信封，分两步进行：第一步：“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封，先为其选信封，有14C 种选法； 第二步：“去”、“哪”、“儿”三个字放入剩下的三个不同信封，有33A 种放法，故写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有134324C A =种.故答案为：24.15. 函数()sin co (0)s 2f x x x x x π=+≤≤的最大值为________.2π 先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， ∵,(2)122f f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()f x 的最大值为2π.故答案为：2π. 易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.16. 已知圆1C ：()2223x y a ++=（7a >）和2C ：()2231x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为__________.17首先根据题意得到M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，设为2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =，根据12123PMC PMC PC C S S S +=△△△△得到18a =，再代入121a a =+即可得到答案.因为126C C =，17r a =>，21r =，所以121C C a <-， 又因为动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切， 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切. 设动圆(),M x y ，半径为R ，所以1MC a R =-，21MC R =+，即121216MC MC a C C +=+>=， 所以M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，如图所示：设椭圆为：2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =.因为P 是12MC C 内心，所以P 到1MC ，2MC ，12C C 的距离相等，设为h .又因为12123PMC PMC PC C SS S+=，所以1211316222MC h MC h h +⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，即119a +=，18a =， 又121a a =+，所以17a =. 故答案为：17三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知a R ∈，命题p :函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ;命题q ;关于α的不等式210x ax -+≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围;（2）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. （1）04a ≤<；（2）[)[)0,24,⋃+∞.（1）若命题p 是真命题，等价于210ax ax ++>在R 上恒成立，分别由0a =和00a >⎧⎨∆<⎩即可求解；（2）由题意可知命题p 和命题q 一真一假，分别讨论p 真q 假、p 假q 真两种情况即可求解. （1）.当p 为真时，210ax ax ++>在R 上恒成立， ①当0a =，不等式化为20010x x ++>，符合题意. ②当0a ≠时，则0a >，且240a a ∆=-<故04a <<， 即当p 真时有04a ≤<. （2）[)[)0,24,⋃+∞. 由题意知:当q 为真时，1a x x ≥+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 令()1g x x x =+，则()y g x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增， 所以()()min 12a g x g ≥== 所以当q 假时，2a < ，由（1）知当p 假时0a <或4a ≥，又因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以命题p 和命题q 一真一假， 当p 真q 假时，所以042a a ≤<⎧⎨<⎩解得02a ≤<，当p 假q 真时，0a <或4a ≥且2a ≥，所以4a ≥综上所述：a 的取值范围是[)[)0,24,⋃+∞. 方法点睛：不等式有解求参数常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值.（1）3π；（2）3. （1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R a R B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. （1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin 3a R A ==， 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +的最小值为3. 19. 已知等差数列的首项为2，前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的首项为1，且满足，前n 项和为a 3＝2b 2，S 5＝b 2＋b 4． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设()331log log nn n n c S b =-+，求数列{c n }的前26项和．（1）2n a n =，13n n b -=；（2）328.（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式. （2）利用裂项相消法和分组求和可求{}n c 的前26项和.（1）由题意得：113111225452a d b q a d b q b q +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩即32221010d q d q q +=⎧⎨+=+⎩， ∴390q q -=，∵{}n b 是正项等比数列，∴3q =，则2d =， ∴()2212n a n n =+-=，11133n n n b --==.（2）()()12212nS n n n n =+=+， 则()()()()()13331log 1log 31log 1log 11n n n n n c n n n n n -⎡⎤=-++=-+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴{}n c 的前26项和为：()()()26333333log 1log 20log 2log 31log 3log 42T =--+++++--++()()3333log 25log 2624log 26log 2725+--++++()3326025log 1log 2733253282⨯+=-++=+=.思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20. 如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得PB 2.（1）求证：面PCE⊥面ABCE；（2）求PC与面ABP所成角的正弦值.（1）证明见解析；（2）222 11.（1）连结BE，可得BE EC⊥，结合两图，可得BE EC⊥，BE PE⊥，又EC PE E⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE⊥面PEC，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A为原点，分别以,AB AE直线为x轴，y 轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE，由图1可得BE EC⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE===∴⊥又EC PE E BE⋂=∴⊥面PEC BE∴⊂面ABCE∴面PCE⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛ ⎝⎭()132,,,1,0,022AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =- 112,,22PC ⎛=- ⎝⎭222sin cos ,11PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角正弦值为2211. 方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直；（2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点到左顶点的距离是2 （1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（1）由题意可得2c a =、2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解. （1）由已知可得：22222c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以(2,0)A -，(0,1)B -，设(,)(0,0)M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=. 则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1c mx n =+； 同理：直线AM 的方程为(2)2n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+. 所以21121(22)||||2122122(2)(1)ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++. 即四边形ABCD 的面积为定值2.关键点点睛：本题解题的关键点是设出点(,)(0,0)M m n m n >>，求出直线BM 、AM 的方程以及点C 、D 的坐标，直接计算ABCD S ，需要注意点(,)M m n 在椭圆上可得2214m n +=.求定值的问题往往设而不求整体消参.22. 已知函数()()1ln a f x x a x x =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()()22ln g x x f x x ax '=+-(其中()f x '是()f x 的导函数)，若函数()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<，求()()12g x g x -的取值范围.（1）答案见解析；（2）2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）写出定义域，求出导函数，对a 进行分类讨论，判断单调性； （2）利用()g x 有两个极值点1x ，2x ，得到 12=x x a +，可得 ()()212112114ln g x g x x x x -=-+， 构造新函数()22114ln (1)h t t t t t e =-+<<，讨论故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调性，求最值即可， 解：（1）()f x 的定义域为()0,∞，而()222111a x ax f x x x x-+'=+-=， 令()210h x x ax =-+=，则①当0a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；②当2400a a ⎧∆=-≤⎨>⎩，即02a <≤时()f x 在()0,∞单调递增；③当2a >时，210x ax -+=有两根12a x -=，22a x +=所以()f x增区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；减区间⎝⎭. 综上述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）()()222ln 22ln 1g x x f x x ax x ax x '=+-=-++，则()g x 的定义域为()0,∞+，()()221222x ax g x x a x x -+'=-+=， 若()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<， 则方程210x ax -+=的判别式240a ∆=->， 且120x x a +=>，122111x x x e x =⇒=< 得2a >，且111x e<<.所以()()221211122222ln 22ln g x g x x ax x x ax x -=-+-+-()()()()()12121211212124ln 4ln x x x x a x x x x x x x x =+---+=-+-+211121114ln 1x x x x e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭设()22114ln 1h t t t t t e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减， 从而()()10h t h >=，()22114h t h e e e ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x -的取值范围是2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 研究含参数的函数的单调性：（1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；（2）利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；（3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；（4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.。
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}240A x x x =-≤{}21,B x x n n ==-∈N A B = A ．B ．C ．D ．{}3{}1,3{}1,3,4{}1,2,3,4【答案】B【解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.A AB ⋂【详解】，当时，，{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤ n N ∈211n -≥-所以，集合为不小于的奇数组合的集合，{}21,B x x n n ==-∈N 1-因此，.{}1,3A B = 故选：B.2．“”是“函数在区间上的增函数”的（ ）1a =()()22x x f a --=[)2,+∞A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论.【详解】解：若函数在区间上为增函数，则对称轴，()()22x x f a --=[)2,+∞2x a =≤当时，满足，即充分性成立，1a =2a ≤当时，满足，但不成立，即必要性不成立，2a =2a ≤1a =所以“”是“函数在区间上的增函数”的充分不必要条件，1a =()()22x x f a --=[)2,+∞故选：C.3．已知函数的定义域为R ，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）()f x ()f x '()f x 'A ．在区间上单调递减B ．的一个增区间为()f x (0,1)()f x (1,1)-C ．的一个极大值为D ．的最大值为()f x (1)f -()f x (1)f 【答案】B 【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由的部分图像可得：()f x '在上，，所以单调递增，所以A 不正确，B 正确；(1,1)-()0f x '>()f x 由，导函数在左右两侧的函数值异号，(1)0f '-==1x -所以是的一个极小值，所以C 不正确，(1)f -()f x 同理可知是的一个极大值，并不一定是最大值，D 不正确.(1)f ()f x 故选：B.4．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）y 22214x y m +=2mA ．或B ．C ．D ．353【答案】D【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求.y 24m <222a b c =+【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得y 24m <241m -=m =故选：D.5．根据如下样本数据得到的回归方程为．若，则每增加个单位，就（ ）ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =x 1y x 34567y 4 2.50.5-0.52-A ．增加个单位B ．减少个单位1.4 1.4C ．增加个单位D ．减少个单位．1.2 1.2【答案】B【分析】先根据数据求出，代入回归直线可得，根据的符号判定.x y ˆb ˆb【详解】由题意可得，，1(34567)55x =++++=1(4 2.50.50.52)0.95y =+-+-=回归方程为．若，且回归直线过点， ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =(5,0.9)，解得，ˆ0.957.9b ∴=+ˆ 1.4b =-每增加1个单位，就减少1.4个单位，x ∴y 故选：B ．6．下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A B ．C ．D ．8π9π10π【答案】A 【解析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.【详解】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，故几何体的侧面积为，122S π==故选：A7．抛物线的方程为，抛物线上一点P 的横坐标为，则点P 到抛物线的焦点的距离为28x y =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P 的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答.【详解】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则28x y ==2y -0)P y 28x y =，01y =所以点P 到抛物线焦点的距离为.()023y --=故选：B 8．函数在区间上是（ ）ln y x x =(01)，A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在上是单调减函数，在上是单调增函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．在上是单调增函数，在上是单调减函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【详解】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用．解：函数定义域为．由得，所以函数在区间上是“在(0,)+∞ln 10y x +'=>1x e >ln y x x =(01)，上是单调减函数，在上是单调增函数”，故选C ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．命题“，”的否定为（ ）[2,)∀∈+∞x 24x ≥A ．，B ．，[2,)∀∈+∞x 24x <0[2,)∃∈+∞x 204x ≤C ．，D ．，0[2,)∃∈+∞x 204x ≥[)02,x ∞∃∈+204x <【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为，是全称量词命题，[2,)∀∈+∞x 24x ≥所以其否定为存在量词命题，即，，[)02,x ∞∃∈+204x <故选：D 10．为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④【答案】A【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；乙的得分为28,29,30,31,32；因为，()12528293132295++++=()12829303132305++++=()()()()()2222212529282929293129322965⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦()()()()()2222212830293030303130323025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；62故正确的有②③；故选：A11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为C 1D 1，B 1C 1的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．四点B ，D ，E ，F 在同一平面内B．三条直线BF，DE，CC1有公共点C．直线A1C与直线OF不是异面直线D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线【答案】C【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D．【详解】作出图象如图所示，连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以BD∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，又平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确；因为直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线OF是异面直线，故选项C错误；A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交，所以直线A 1C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线，故选项D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：根据异面直线的判定定理判定异面直线是解题的关键，属于中档题.12．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()()f x f x '>()()121x e f x f x -<-A ．B ．C ．D ．(),e -∞(),1∞-(),e +∞()1,+∞【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．()()x f x g x e =【详解】解：令，则 ，()()x f x g x e =()()()0x f x f x g x e ''-=>故g （x ）在R 递增，不等式，()()121x e f x f x -<-即，21()(21)x x f x f x ee --<故，()(21)g x g x <-故x ＜2x −1，解得：x ＞1，故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是______.223y x x =-+()1,6A -【答案】42y x =-+【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由可得，223y x x =-+22y x '=-所以曲线在点处斜率，223y x x =-+()1,6A -()2124k =⨯--=-所以曲线在点处的切线方程为，223y x x =-+()1,6A -()641y x -=-+整理得，42y x =-+故答案为：42y x =-+14．已知函数，则的值为__________．()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】1【详解】，，解得，()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ ''sin cos 4444f f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故，故答案为.)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115．已知焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P 满足222211x y m m -=-1F 2F ，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.12PF PF ⊥12PF F △【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式即可求出，即可求出离心率.24m =【详解】解：由双曲线中焦点三角形面积，1222213490tan 45tan 2PF F b m S m ︒-===⇒= 所以，，24a =24417c =+-=则c e a ==.16．如图，棱长为 1 的正方体中，为线段上的动点（不含端点），有下列1111ABCD A B C D -P 1A B 结论:①平面 平面;11A D P ⊥1A AP ②多面体 的体积为定值;1D CDP -③直线 与所成的角可能为;1D P BC 3π④可能是钝角三角形.1APD 其中结论正确的序号是____________ （填上所有序号）.【答案】①②④【分析】由面面垂直的判定定理可知①正确，由等体积法可知②正确，由直线 与所成的1D P BC 角的最大值小于可知③错误，由可知④正确.45︒1cos ,0PA PD < 【详解】对于①，正方体中，，，1111ABCD A B C D -111A D AA ⊥11A D AB ⊥平面111111AA AB A AA AB A AP A D ⋂=⊂∴⊥，，平面，1A AP平面平面平面，故①正确;11A D ⊂ 11D A P ∴，11D A P ⊥1A AP 对于②，到平面的距离，1111122CDD S P =⨯⨯= ，1CDD 1BC =三棱锥，为定值，故②正确;∴1D CDP -的体积111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=对于③，易得BC ∥，即为直线与BC 所成角，，当点与点重合时，是直11A D 11A D P ∠1D P P B 1D CB 角三角形，，所以，11tan 1BC D BC D C ∠===<145D BC ∠<︒而此时直线 与所成的角是最大角，1D P BC 所以直线 与所成的角不可能为，故③错误；1D P BC 3π对于④，以点为原点建立空间直角坐标系如上图所示：D 由题得，()()1100001A D ，，，，，设，()11(01)P y y y -<<，，所以，()()1011PA y y PD y y =--+=-- ，，，，，所以21112(21)cos ,y y y y PA PD PA PD PA PD --〈〉== 当时，，102y <<1cos ,0PA PD < 即是钝角. 此时是钝角三角形.故④正确.1APD ∠1APD △故答案为：①②④三、解答题17．西昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，公里，每一步都来之不42.195易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从名学生随机抽取名学生进行体能检测，这名学生进行了公里的马拉300010010015松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是、、[)50,60[)60,70、、．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中的值；a (2)根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的中位数（结果精确到）；1000.01(3)根据样本频率分布直方图，估计该校名学生中约有多少名学生能在分钟内完成公里马30008015拉松比赛？【答案】(1)0.005a =(2)71.67(3)人2250【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得实数的值；1a （2）设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；m m （3）样本中分钟之频率，乘以可得结果.803000【详解】（1）解：由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得1，解得.()2100.040.030.02101a ⨯+++⨯=0.005a =（2）解：前两个矩形的面积之和为，()0.0050.04100.450.5+⨯=<前三个矩形的面积之和为，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=>所以，中位数，所以，，解得.()70,80m ∈()0.45700.030.5x +-⨯=71.67m ≈（3）解：样本中分钟之前频率为，80()0.0050.040.03100.75++⨯=因此，估计该校名学生中能在分钟内完成公里马拉松比赛的学生人数为30008015.30000.752250⨯=18．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 19．设函数.()32962f x x x x a =-+-(1)对于任意实数x ，恒成立，求m 的最大值；()f x m '≥(2)若方程有且仅有一个实根，求a 的取值范围.()0f x =【答案】(1)34-(2)()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利()f x ()f x '()f x m '≥min ()m f x '≤用二次函数性质，求的最小值即可；()f x '（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于()f x 0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【详解】（1）解：已知函数，，则，()32962f x x x x a =-+-x ∈R 2()396f x x x -'=+因为对于任意实数x ，恒成立，则，()f x m '≥min ()m f x '≤对称轴，所以，93232x -=-=⨯2min 3333()()3(962224f x f ''==⨯-⨯+=-可得，即的最大值为.34m ≤-m 34-（2）（2）令，即，解得或，()0f x '=()()23963120x x x x -+=--=1x =2x =当时，；当时，；当时，.1x <()0f x '>12x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x (][),1,2,-∞+∞[]1,2当时，取极大值；当时，取极小值，1x =()f x 5(1)2f a =-2x =()f x (2)2f a =-故当或时，方程仅有一个实根，(2)0f >(1)0f <()0f x =解得或，所以a 的取值范围为.2a <52a >()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，，平PD//QA PD ⊥面ABCD ，且，.22AD QA ==2PD =(1)求证：平面PDC .//QB (2)求平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）由已知条件根据面面平行的判定定理，可证平面平面PDC ，再由面面平行的性//QAB 质即可证明平面PDC ；//QB （2）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，再根据二面角的余弦公式求得，进而得到平面PBC与cos ,m n 〈〉= 平面PBQ 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：已知四边形ABCD 是正方形，所以，//CD AB 又，且，，PD//QA PD CD D ⋂=AQ AB A ⋂=平面，平面，,PD CD ⊂PDC ,AQ AB ⊂QAB 所以平面平面PDC ，//QAB 而平面，所以平面PDC.QB ⊂ABQ //QB （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以，AD CD ⊥又平面ABCD ，所以PD ，AD ，CD 两两互相垂直，PD ⊥以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，(0,0,2)P (2,2,0)B (0,2,0)C (2,0,1)Q ，，(2,2,2)PB ∴=- (2,0,0)CB = (0,2,1)QB =- 设是平面的一个法向量，(,,)m x y z = PBC 则，取，得，222020m PB x y z m CB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1y =(0,1,1)m = 设是平面的一个法向量，(,,)n a b c = PBQ 则，取，得，222020n PB a b c n QB b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1b =(1,1,2)n =，cos ,m n ∴〈〉== 1sin ,2m n = 平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值为.∴1221．已知椭圆的长轴长为4，点在上.2222:1(0)x y E a b a b +=>>1,⎛- ⎝E（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.:2l y kx =+E A B 2OA OB ⋅= O k 【答案】（1） （2）2214x y +=【解析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；2a=1,⎛- ⎝E b （2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方A B ()11,x y ()22,x y 2OA OB ⋅= 程，即可求出k 值.【详解】（1）解：由题意得 ，2a =又点在上，所以，解得，1,⎛- ⎝E 213144b +=1b =所以椭圆的标准方程为.E 2214x y +=（2）解：设，的坐标为，，依题意得，A B ()11,x y ()22,x y 联立方程组消去，得.22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()221416120k x kx +++=，所以()()221648140k k ∆=-+>234k >，，1221614k x x k -+=+1221214x x k =+1212OA OB x x y y ⋅=+ ()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++，()22212161241414k k k k k -=+⋅+⋅+++221220414k k -=++∵，所以，则，2OA OB ⋅= 2212204214k k -+=+27364k =>所以k =【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.22．已知函数．1()ln f x x ax x =++（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；()f x [)1,+∞a（2）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，求正实数1()g x x x =+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤的取值范围．a 【答案】（1）或；（2）．0a ≥14a -≤101e a <≤-【分析】（1）先求导，将问题转化为或对任意恒成立，参变分离后换()0f x '≥()0f x '≤[)1,x ∞∈+元构造函数，求出最值即可求得实数的取值范围；a （2）先由单调性求出在上的最值，再将问题转化为，解不等式求()(),f x g x []1,e max max ()()f x g x ≤出正实数的取值范围即可．a 【详解】（1），，由于函数在上是单调函数，222111()ax x f x a x x x +-=-+='[)1,x ∞∈+()f x [)1,+∞或对任意恒成立，即或对任意()0'∴≥f x ()0f x '≤[)1,x ∞∈+210ax x +-≥210ax x +-≤恒成立，[)1,x ∞∈+或对任意恒成立，令，由于，，211x x a ≥-∴211a x x ≤-[)1,x ∞∈+1t x =[)1,x ∞∈+(]0,1t ∴∈设，由得，所以实数的取值范围为或；2211()24h t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭01t <≤1()04h t -≤≤a 0a ≥14a -≤（2）由（1）知，当时，函数在上为增函数，故，即0a >()f x []1,e (1)()(e)f f x f ≤≤，11()1e e a f x a +≤≤++，则当时，，所以函数在上是单调递增函数，22211()1x g x x x -'=-= []1,e x ∈()0g x '≥()g x []1,e ，(1)()(e)g x g g ≤≤∴即，对任意，总存在，使得成立，可知在区间上12()e e g x ≤≤+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤[]1,e ，max max()()f x g x ≤即，即，故所求正实数的取值范围．111e e e e a +≤++11e a ≤-a 101e a <≤-。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(解析)
2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020212．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1285．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 37．(),0F c -为双曲线2222:1x yE a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．58．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个A ．170B ．10C ．172D ．1211．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 12．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：==…．按照以上规律，若“穿墙术”，则n=（）A．25 B．48 C．63 D．80【答案】C【分析】根据====…，归纳规律求解.【详解】因为====…，则按照以上规律： 得28163n =-=. 故选：C.3．在技术工程中，常用到双曲正弦函数e e sh 2x x x --=和双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余弦函数有()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-成立，而关于双曲正、余弦函数满足()ch ch ch sh sh x y x y x y +=-．请你类比关系式，下列得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确的是（ ） A ．()sh sh ch ch sh x y x y x y +=+ B ．sh22sh ch x x x = C ．2ch22sh 1x x =- D ．22ch sh 1x x -=【答案】C【分析】根据定义逐项验证即可.【详解】因为e e sh 2x x x --=，e e ch 2x xx -+=，所以()e e sh 2x y x yx y +---+=，e e e +e e e e e sh ch ch sh 2222x x y y x x y y x y x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以e +e e e e e +e e sh ch ch sh 44x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y +--+--+--+------+=+，所以e e sh ch ch sh 2x y x yx y x y +---+=，故()sh sh ch ch sh x y x y x y +=+，A 正确；22e e sh22x xx --=，22e e e +e e e 2sh ch 2222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫--==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 2222e e e e ch sh 122x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；22e e ch22x x x -+=，2222e e e e 4s +22h x x x x x --⎛⎫-==⎝-⎪⎭， 2ch22sh 1x x =+，C 错误；故选：C.4．用数学归纳法证明等式()()()22222222211211213n n n n n +++-++-+++=，当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上（ ）A ．()2212k k ++ B ．()221k k ++C ．()21k +D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 【答案】B【解析】写出n k =和1n k =+时的两式，然后比较可得． 【详解】n k =时等式为()()()22222222211211213k k k k k +++-++-+++=，1n k =+时等式为22222222(1)[2(1)1]12(1)213k k k k k +++++++++++=， 当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上22(1)k k ++， 故选：B ．【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用n k =的假设结论证明1n k =+的的结论，因此观察出1n k =+与n k =之间式子的关系至关重要．5．利用反证法证明“若20x y +=，则0x y ==”时，应假设为（ ）A ．0x ≠且0y ≠B ．x y ≠且x ，y 都不为0C ．x y ≠且x ，y 不都为0D ．0x ≠或0y ≠【答案】D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x ≠或0y ≠.【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设0x ≠或0y ≠ 故选：D6．利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．必要条件或充要条件【答案】B【分析】利用分析法证明的原理即可得到正确选项. 【详解】利用分析法证明是从求证的结论出发， 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件， 直到最后一个充分条件成立即可证明原式正确. 故选：B7．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)【答案】D【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 8．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C9．函数ln y x x =-在(0,]x e ∈上的最大值为（ ） A ．e B ．1C ．e -D ．1-【答案】D【分析】先求导函数11y x'=-，令导函数0y '=，得1x =．讨论在()0,1x ∈与(]1,e x ∈内的单调性，进而求得最大值．【详解】对函数求导，得11y x'=- 令110y x'=-=，得1x = 当()0,1x ∈ 时，0y >'，函数单调递增，当(]1,e x ∈时，0'<y ，函数单调递减所以在1x =处取得极大值，也是最大值，为ln111y =-=- 故选：D10．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12CD 【答案】D【详解】由题2ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x =-，令'()0h x =解得2x =，因x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小．即t =．11．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－3，6] B ．(－3，6)C ．(－∞，－3]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 【答案】D【分析】先求出导数f′（x ），由f （x ）有极大值、极小值可知f′（x ）=0有两个不等实根． 【详解】函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1，所以f′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）， 因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x ）=0有两个不相等的实数根， 即3x 2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a ）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a ＜﹣3或a ＞6． 故选D ．【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x ）=0有两个不相等的实数根是解题的关键．12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x =.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13．设函数()f x 可导且()f x 在0x 处的导数值为1，则()()0002lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆__________．【答案】23【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】依题意，0()1f x '=， 所以()()()()0000002022222limlim ()33233x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故答案为：2314．已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________． 【答案】2250x y -+=【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解 【详解】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-， 解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n =， 所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为： ()125252y x -=-， 即2250x y -+=故答案为：2250x y -+=.15．曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则=a ________.【答案】1±【分析】求出函数的导数，求出切线方程，利用三角形的面积列出方程，求解即可． 【详解】解：3y x =，23y x '∴=， ∴2|3x a y a ='=，∴曲线在点3(,)a a 处的切线方程为323()y a a x a -=-，即23320a x y a --=，令0y =，得23a x =， ∴切线与x 轴，直线x a =所围成的三角形的面积为3121236S a a a =⨯-⨯=，解得1a =±．故答案为：1±． 16．已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____ 【答案】3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围． 【详解】由已知函数41x y e =+的导数为'2441(1)2x x x x e y e e e=-=-+++12x x e e +≥，124x x e e ∴++≥，[1,0)y ∴∈-' 即tan [1,0)∈-α，0απ<<，34αππ∴≤<，即答案为：3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题三、解答题17．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=- 【答案】(1)()241y x -'=-(2)()()521e 182x y x x -+'=--【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数； （2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数. 【详解】（1）2211221x y x ++=+==- ()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭- ()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--18．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程； （2）求过点()2,3的抛物线2yx 的切线方程．【答案】（1）20x y +-=；（2）210x y --=或690x y --=． 【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程；（2）先设出切点坐标为()200,x x ，再利用导数几何意义即可求得过点()2,3的抛物线2yx 的切线方程．【详解】（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-， 解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-， 即210x y --=或690x y --=． 19．（12>；（2）若方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）(][),21,-∞--+∞．【分析】（12>；（2）先求得两个方程均有实根时实数a 的取值范围，进而利用补集思想求得至少有一个方程有实数根时实数a 的取值范围.【详解】（122>只需证)222>，即证>>只需证12>10，这显然成立故原不等式得证.（2）当方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=都没有实数根时， 有()()()2221402420a a a a ⎧--<⎪⎨--<⎪⎩，解得21a -<<-， 故当方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数根时，实数a 的取值范围为(][),21,-∞--+∞．20．用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【分析】利用数学归纳法，先证明当1n =时，等式成立，假设当n k =时成立，证明当1n k =+时等式成立即可.【详解】解：（1）当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， （2）假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何*n ∈N 都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 21．已知函数32()23f x x ax bx =+++在=1x -和2x =处取得极值. （1）求f （x ）的表达式和极值．（2）若f （x ）在区间[m ，m +4]上是单调函数，试求m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=2x 3-3x 2-12x +3,当x =-1时，有极大值10；当x =2时，有极小值-17（2）m ≤-5或m ≥2【分析】（1）由题意得1-和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求3{12a b =-=-，列表分析导函数符号变化规律，确定极值；（2）由（1）可得函数单调区间，根据[],4m m +为单调区间一个子集可得不等式41m +≤-或1{42m m ≥-+≤或2m ≥，解不等式即可.【详解】解：（1）()2620f x x ax b =++='的两根为1-和2，∴123{126a b -=-+=-⨯，得3{12a b =-=-， ∴()3223123f x x x x =--+，∴()()()26612612f x x x x x '=--=+-，令0f x ，得1x <-或2x >；令()0f x '<，得12x -<<，所以()f x 的极大值是()110f -=，极小值是()217f =-.（2）由（1）知，()f x 在(],1-∞-和[)2,+∞上单调递增，在[]1,2-上单调递减，∴41m +≤-或1{42m m ≥-+≤或2m ≥，∴5m ≤-或2m ≥，则m 的取值范围是][(),52,-∞-⋃+∞. 【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略：(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求()f x '→求方程()0f x '=的根→列表检验()f x '在()0f x '=的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数()f x 在点00(,)x y 处取得极值，则0()0f x '=，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.22．已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-．【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.试题解析：（Ⅰ）解：()f x 的定义域为 0,，()()222111212a x a ax a f x ax x x x +++++='=+=． 当0a ≥时， 0f x ，故()f x 在 0,单调递增； 当1a ≤-时， 0f x ，故()f x 在 0,单调递减； 当10a -<<时，令 0f x ，解得x = f x 在0,上单调递减，故当10,2a x a ⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭时， 0f x ，故()f x 在 10,2a a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当 1,2a x a ⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， 0f x ，故()f x 在 1,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （Ⅱ）证明：不妨假设12x x ≥．由于 2a ≤-，故 ()f x 在 0,单调递减．∴()()12124f x f x x x -≥-等价于 ()()211244f x f x x x -≥-．即()()221144f x x f x x +≥+．令()()4g x f x x =+，则()2124124a ax x a g x ax x x++++=+='+． 于是()()22214410x x x g x x x --≤='-+-<． 从而()g x 在 0,单调递减，故，即()()221144f x x f x x +≥+，故对任意 ()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∈+∞-≥-．【解析】导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数()()4g x f x x =+，然后再对函数()()4g x f x x =+求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．。
贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案贵溪市实验中学高中部2020—2021学年第一学期第一次月考高二(理科)数学试卷考试时间:120分钟 总分：150 命题人：一、 选择题:本大题共12小题。
每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。
1、设等差数列｛}的前n 项和为n S ，若515S =,则3a =（ ） A. 3 B 。
4 C. 5 D 。
6 2．若a b c >>，且0a b c ++=,则（ ） A ．ab bc > B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b >3．若a 和b 是异面直线，a 和c 是平行直线，则b 和c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．异面或相交D ．相交、平行或异面4、在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5、从平面α外一点P 引直线与α相交，使P 点与交点的距离等于1,这样的直线（ ）A ．仅可作2条B ．可作无数条C ．仅可作1条D ．可作1条或无数条或不存在6、已知圆锥的母线长是10,侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）。
A ．B ． 100πC ．D ． 50π7．已知数列{}n a 为各项均不相等的等比数列，其前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则 ）A ．3B．1 D8、关于空间中直线与平面之间的关系描述不正确的是（ ) A ．b a a //,α⊥⇒α⊥b B ．αα⊥⊥b a ,⇒b a // C ．α⊂b b a ,//⇒α//a D ．αβα⊂a ,//⇒β//a9、在ABC 中，角A , B ， C 的对边分别为a , b ， c ，且75A =︒， 60B =︒，则b =（)．A.B 。
高二下学期第一次月考数学选修1-2试卷(附答案)
高二下学期第一次月考数学选修1-2试卷（文科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。
第1卷 共75分一、选择题：（ 每小题5分，共75分；在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1、“金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( B )A ．完全归纳推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理2、下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（Ｂ）① y = sin x （x ∈ R ）是三角函数；② 三角函数是周期函数；③ y = sin x （x ∈ R ）是周期函数.A 、① ② ③ Ｂ、② ① ③ Ｃ、② ③ ① Ｄ、③ ② ① 3、a = 0是复数z = a + b i （a ，b ∈R ）为纯虚数的（A ）A 、必要但不充分条件B 、充分但不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、变量y 与x 之间的回归方程( D )A ．表示y 与x 之间的函数关系B ．表示y 与x 之间的不确定关系C ．反映y 与x 之间的真实关系D ．反映y 与x 之间真实关系达到最大限度的吻合5、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( C )A ．劳动生产率为1000元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D ．劳动生产率为1000元时，工资为90元6、若根据10名儿童的年龄 x （岁）和体重 y （㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是 y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是（C ）A 、17 ㎏B 、16 ㎏C 、15 ㎏D 、14 ㎏7、在复平面内，复数 21)i -+ 对应的点位于（A ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8、复数534+i的共轭复数是（B ） A 、34-i B 、3455i - C 、34+i D 、3455i + 9、函数32()31f x x x =-+的单调递减区间为( Ｄ)Ａ、(2,)+∞ Ｂ、(,2)-∞ Ｃ、(,0)-∞ Ｄ、(0,2)10、某种金属材料在耐高温实验中，温度随时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.下面说法正确的是：（B ）①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变. A 、①④ B 、②④ C 、②③ D 、①③11、已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an 等于( B )A.()212+n B.()12+n n C.22n －1 D.22n －1 12、满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( C )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆13、下面给出了关于复数的四种类比推理：① 复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；② 由向量 a 的性质 2||a a = ，可以类比得到复数 z 的性质 22||z z =；③ 方程 20ax bx c ++=（a 、b 、c ∈ R ）有两个不同实根的条件是240b ac ->, 类比可以得到 方程 20a z b z c ++=（a 、b 、c ∈ C ）有两个不同复数根的条件是 240b ac ->；④ 由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是（Ｄ）A 、① ③ Ｂ、 ② ④ Ｃ、② ③ Ｄ、① ④14、下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（Ｂ）A 、20x x -≥ Ｂ、ex e x ≥ Ｃ、ln x x > Ｄ、sin 1x x >-+15、若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的一个子区间)1,1(+-k k 内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是（ D ）A .23>kB .21-<kC .2321<<-kD .231<≤k第2卷 共75分二、填空题（每小题4分，共24分）16、观察数列3，3，15，21，33，…，写出数列的一个通项公式17、若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)之间满足yi ＝a ＋bxi ＋ei(i ＝1,2，…，n)，若ei 恒为0，则2R 等于__1______．18、函数]2,0[,cos 2π∈+=x x x y 的最大值是36+π19、函数x xe y =+1在点)1,0(处的切线方程为01=+-y x20、若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，(a ，b ∈N)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋f (8)f (7)＋f (10)f (9)＝__10 21、将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是n 2－n ＋62．三、解答题：（本大题共4题；满分51分）22、（本题满分12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；14%(2)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 解：(1)需要志愿者提供帮助的老年人的比例为14%；(2)()225004027030160 5.98070430200500k ⨯-⨯==⨯⨯⨯<6.635所以，不能有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)(2021年整理)
湖北省武汉市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x∈Z，使x2+2x+m＜0”的否定是（)A．∀x∈Z，使x2+2x+m≥0B．不存在x∈Z,使x2+2x+m≥0C．∀x∈Z，使x2+2x+m＞0 D．∃x∈Z，使x2+2x+m≥02．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．过点（3,﹣2）且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=14．若p、q是两个命题,则“p∨q为真命题"是“（¬p）∧（¬q）为假命题"的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．若条件p:｜x+1|＞2，条件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要条件，则a取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q:∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x,则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧(￢q）C．（￢p)∧q D．（￢p）∧（￢q）7．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0)，离心率等于，则C的方程是( )A．B．C．D．8．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且3a3=a6+4，则“a2＜1”是“S5＜10"的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若｜F2A|+｜F2B|=12，则｜AB｜=( ）A．12 B．10 C．8 D．610．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是( ）A．（0,﹣1）B．（﹣1，1) C．(0，﹣1）D．（﹣l，1)11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M（﹣2,1),则直线l的斜率为( )A．B．C．D．112．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（）A．(0，3）B． C．（0，2）D．二.填空题13．离心率，焦距2c=16的椭圆的标准方程为．14．已知:对∀x∈R+，a＜x+恒成立，则实数a的取值范围是．15．直线y=kx+1（k∈R)与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为．16．给出如下命题：①“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B"为真命题；②若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2(4，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段；③若p∧q为假命题，则p，q都是假命题；④设x∈R,则“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件；⑤若实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为．其中，所有正确的命题序号为．三。
2023-2024学年重庆市高二下学期第一次月考数学试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知函数()()321,103f x x x ax f =+-='，则实数=a （）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】B【分析】求导，利用()10f '=即可.【详解】因为()22f x x x a =+-'，所以()11230f a a '=+-=-=，则3a =，故选：B.2．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（）A ．60B ．80C ．100D ．120【正确答案】C【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解.【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，百位上的数字有除0外的5种选法，十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，所以总共有554100⨯⨯=种不同的三位数，故选：C3．已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D求出函数()f x 的导函数即()g x 的解析式，可判断函数为奇函数，即可排除AB ，再由特殊值可排除C ，即可得解.【详解】解：()sin cos 2020,f x x x x =++ ()()sin cos sin cosg x f x x x x x x x '∴==+-=()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=- ()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D本题考查函数的求导、函数图象的判断，考查推理论证能力，属于基础题.4．若函数()y f x =满足()()xf x f x '>-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【正确答案】B【分析】构造函数()()g x xf x =，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项.【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．如图，正方形ABCD 的边长为5，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和等于（）A ．1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．1012512⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．10251122⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．1015012⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】将正方形面积按作法次序排成一列得数列{}n a ，再确定该数列为等比数列，借助等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列{}n a ，125a =，因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的2，因此112n n a a +=，即数列{}n a 是等比数列，公比12q =，所以前10个正方形的面积之和101010110125[1()](1)1250[1()]11212a q S q --===---.故选：A6．已知F 是椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，P 是C 上的一点，若2PF OF =，且120OFP ∠=︒，则C 的离心率为（）A．1B．2C1D【正确答案】D【分析】由椭圆定义，在焦点三角形中由余弦定理建立齐次方程，求得离心率.【详解】设椭圆半长轴为a ，焦半径为c ，左焦点为1F ，则有()1,0F c -，(),0F c ，12FF c =，122,222PF OF c PF a PF a c ===-=-，所以在1PFF 中，())222222cos 04422122021202222c c a c OFP c a ac e e c e e c +--∠=-⇒-+=⇒-=⇒+⋅⋅>=.故选：D.7．曲线e 1x y =+上的点到直线20x y --=的距离的最小值是（）A ．3BC ．2D ．【正确答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点为()001,e xx +，依题意即过切点的切线恰好与直线20x y --=平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为e 1x y =+，所以e x y '=，设切点为()001,e x x +，则01|e xx x y ==='，解得00x =，所以切点为()0,2，点()0,2到直线20x y --=的距离d =e 1x y =+上的点到直线20x y --=的距离的最小值是故选：D8．已知ln1.21a =，0.21b =，0.2e 1c =-，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a>>【正确答案】C【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数研究其单调性，从而得到a b <；再直接计算51.21 2.5937=，从而得到5e 1.21>，进而得到c b >；由此得解.【详解】令()()ln 1f x x x =+-，[)0,1x ∈，则()11011x f x x x-'=-=≤++，故()f x 在[)0,1上单调递减，所以()()0.2100f f <=，即()ln 1.210.210-<，即()ln 1.210.21<，故a b <；因为51.21 1.211.211.211.211.21 2.5937=⨯⨯⨯⨯=，e 2.718≈，所以5e 1.21>，故0.2e 1.210.211>=+，即0.2e 10.21->，即c b >；综上.c b a >>故选：C.方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．二、多选题9．如图是函数()y f x =的导函数()f x '的图像，则下列判断正确的是（）A ．在区间()2,1-上，()f x 单调递增B ．在区间()1,2上，()f x 单调递增C ．在区间()4,5上，()f x 单调递增D ．在区间()3,2--上，()f x 单调递增【正确答案】BC【分析】当()0f x ¢>，则()f x 单调递增，当()0f x '<，则()f x 单调递减，据此可得答案.【详解】由题图知当()()1245,，,x x ∈∈时，()0f x ¢>，所以在区间()()1245,，，上，()f x 单调递增，BC 正确；当()2,1x ∈--时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x ¢>，所以在区间()2,1--上，()f x 单调递减.在()1,1-上递增，A 错误；当()3,2x ∈--时，()0f x '<，所以在区间()3,2--上，()f x 单调递减，D 错误；故选：BC10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,AB AD B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ⊥平面EFGC ．异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为3D ．过点,,EFG 作正方体的截面，所得截面的面积是【正确答案】ABD【分析】对于A ，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案；对于B ，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案；对于D ，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案.【详解】对于A ，取BC 中点H ，连接GH ，CG ，CE ，CF ，如下图：,G H Q 分别为11,BC B C 的中点，∴GH ⊥平面ABCD ，设正方形ABCD 的面积4S =，1341122CEF AEF CEB CDF S S S S S =---=---= ，113C EFG G CEF CEF V V GH S --==⋅⋅= ，故A 正确；对于B ，连接1AC 、1AB 、AC ，如下图：,E F 分别为,AB AD 的中点，且AC 为正方形ABCD 的对角线，AC EF ∴⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且EF ⊂平面ABCD ，1AA EF ∴⊥，1AC AA A ⋂=，1,AC AA ⊂平面1AAC ，EF ∴⊥平面1A AC ，1AC ⊂ 平面1A AC ，1EF AC ∴⊥，同理可得11AB AC⊥，,F G 分别是11,AD B C 的中点，1//AF B G ∴，1AF B G =，即1//AB GF ，1AC FG ⊥，EF FG F = ，,EF FG ⊂平面EFG ，1AC ∴⊥平面EFG ，故B 正确；对于C ，连接AG ，1FC ，CE ，CF ，1C E，如下图：,F G 分别为11,AD B C 的中点，1//AF C G ∴，1AF C G =，则1//AG FC ，故1C FE ∠为异面直线EF 与AG 所成的角或其补角，222EF AE AF =+=22221113EC CE CC CB BE C E =+=++=，222221113FC CC CF CC CD DF =+=++=，22211112cos 26232C F EF C E C FE C F EF +-∠===⋅⋅⨯⨯，异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6，故C 错误；对于D ，取1BB 的中点H ，11C D 的中点J ，1DD 的中点I ，连接EH ，HG ，GJ ，JI ，IF ，如下图：易知//EF JG ，//GH FI ，//IJ EH ，且正六边形EFIJGH 为过点EFG 作正方体的截面，则其面积为216sin 602S =⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD.11．新冠疫情发生后，某社区派出A ，B ，C ，D ，E 五名志愿者到甲､乙､丙､丁四个路口协助开展防护排查工作，每名志愿者只能到一个路口工作，则下列结论中正确的是（）A ．若每个路口至少分派1名志愿者，则所有不同的分派方案共240种B ．若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，则所有不同的分派方案共180种C ．若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A 必须到甲路口，则所有不同分派方案共60种D ．若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A ､B 不安排到甲路口，则所有不同分派方案共126种【正确答案】ACD【分析】A.先两个人一组，再全排列即可判断；B.讨论1，1，3或2，2，1两种情况即可判断；C.讨论志愿者A 一个人在甲路口，A 与另外一个人一起在甲路口，两种情况即可判断；D.讨论甲路口安排1人，甲路口安排2人即可判断.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五名志愿者到甲､乙､丙､丁四个路口协助开展防护排查工作，每名志愿者只能到一个路口工作，A.若每个路口至少分派1名志愿者，则所有不同的分派方案共2454C A =240种，正确；B.若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，分配方法有1，1，3或2，2，1，则所有不同的分派方案共11223545332222C C C C A 150A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种，错误；C.每个路口至少派1名志愿者，若志愿者A 一个人在甲路口，有21342322C C A 36A ⨯=种方案，愿者A与另外一个人一起在甲路口，有1343C A 24⨯=种方案，则所有不同分派方案共362460+=种，正确；D.每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A ､B 不安排到甲路口，若甲路口安排1人，共有123343C C A 108=种方案，若甲路口安排2人，共有233318C A =种方案，则所有不同分派方案共有10818+=126种方案，正确.故选：ACD.12．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()e xxf x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤【正确答案】BCD【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A ，1y x=在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误；对于B ，()e x x f x =，()1ex xf x -'=在()1,2上()0f x ¢<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，()2220e ex x x x x x y --'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确；对于C ，若()ln xf x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0x f x x-'==，得e x =，∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立min sin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭，令()sin xh x x =，()2cos sin x x x h x x -'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()ϕx 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =+'-≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x xF x x +'=>，∴()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =+，则()()11f f '+=______.【正确答案】5【分析】由导数的几何意义可得()1f '的值，将点M 的坐标代入切线方程可得()1f ，即可得解.【详解】由导数的几何意义可得()12f '=，将点M 的坐标代入切线方程可得()12113f =⨯+=，因此，()()115f f '+=.故答案为.514．已知函数241e ln(25)2x y x +=-+，则该函数的图象在2x =-处的切线的倾斜角为__________.【正确答案】3π4【分析】对函数求导数，计算2x =-时的斜率，得倾斜角.【详解】因为()241e ln 252x y x +=-+，所以2424112e e 2222525x x y x x ++=⨯-⨯=-++'，所以2121x y =-=-'=-∣，即切线的斜率为-1，倾斜角为3π4.故答案为.3π415．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【正确答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案3343C A 24⋅=（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案1424C A 48⋅=（种），则不同的种植方案共有244872+=（种）.故7216．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(]0,1【分析】由已知得12ln 1y y x x a⎛⎫⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()()()2ln 1f x x x =-+，即()1f x a ≤恒成立，根据导数可判断函数()f x 的单调性及最大值，进而求得a 的取值范围.【详解】由()()2ln ln 1xx y y x a--+≤，0,0x y >>，得12ln 1y y x x a⎛⎫⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设()()()2ln 1f x x x =-+，即()1f x a≤恒成立，()()()12ln 12ln 2f x x x x x x'=-++-⋅=-+-，()221220x f x x x x+''=--=-<，所以()f x ¢在()0,+¥上单调递减，且()10f '=，所以当01x <<时，()0f x ¢>；当1x >时，()0f x ¢<；即函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+¥单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值为()11f =，即11a≤，所以01a <≤，故答案为.(]0,1导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．已知函数321()2313f x x x x =-++．(1)求函数()f x 在点=1x -处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]3,4-的最大值和最小值．【正确答案】(1)1183y x =+(2)最大值为73，最小值为35-【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数()f x 在=1x -的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数()f x 在[]3,4-上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．【详解】（1）易知，函数321()2313f x x x x =-++的定义域为x ∈R ；所以113(1)23133f -=---+=-，则切点为131,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭又()()2()4331f x x x x x '=-+=--，则()f x 在点=1x -处的切线斜率(1)8k f '=-=，所以，切线方程为()13813y x +=+，整理可得1183y x =+即函数()f x 在点=1x -处的切线方程为1183y x =+.（2）由（1）可知，当()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 在()1,3上单调递减；()3,1x ∈-或()3,4时，()0f x '>，()f x 在()3,1-或()3,4上单调递增；函数()f x 在[]3,4-上的单调性列表如下：x[)3,1-1()1,33(]3,4()f x极大值极小值所以，()f x 的极大值为()12313713f =-++=，极小值为()9299113f =-⨯++=；又()92991353f =--⨯-=--+，()647216341334f =-⨯+⨯+=；综上可得，函数()f x 在[]3,4-上的最大值为73，最小值为35-18．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=.(1)求证数列{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；(2)若()212n bn n c b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【正确答案】(1)证明见解析，n b n=(2)2122n n ++-【分析】（1）将条件等式两边同时除以(1)n n +后即可证明；（2）代入n b n =，然后用分组求和法求和.【详解】（1）由1(1)(1)n n na n a n n +-+=+得111n na a n n+-=+，即11n n b b +-=，又111b a ==，∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，()11n b n ∴=+-，即n b n =；（2）由（1）得()212nn c n =-+，()()()()23122123252nn n S =++++∴+-+++ ()()2313522212nn =++++++++-+ ()()2121212122212n n n nn +-+-=+=+--.19．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角大小；【正确答案】(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）先证明CD ⊥平面PAD ，则有AM CD ⊥，在证明AM ⊥平面PCD ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又,,,AD CD AD AP A AD AP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以AM CD ⊥，因为点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，又,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ，因为AM ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PCD ；（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02A P M B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，因为AM ⊥平面PCD ，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭即为平面PCD 的一条法向量，()1,0,1PB =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AM PB AM PB AM PB θ⋅===，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6θ=，即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为π6.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F，且过点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点(2,0)P ，若ABP 的面积为23，求直线l 的方程．【正确答案】(1)2212x y +=(2)10x y ±-=【分析】（1）由已知得1c =，再将点代入椭圆方程，可得22a =，21b =；（2）先考虑直线斜率为0时，不合要求，从而设l 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出ABP 的面积，再代入根与系数的关系即可，求出答案．【详解】（1）右焦点为(1,0)F ，则1c =，则221a b =+，椭圆过点，则221112a b +=，则22a =，21b =，椭圆的方程为2212x y +=；（2）直线l 过点(1,0)F ，当直线斜率为0时，此时ABP 不存在，不合题意，设l 的方程为1x my =+，直线l 交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，121223ABPS FP y y =⋅⋅-= 则21m =，1m =±，则直线l 的方程为1x y =±+，即10x y ±-=．21．已知函数()()e 1=--∈xf x ax a R .(1)当1a =时，证明()0f x ≥.(2)讨论函数()f x 零点的个数.【正确答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导得到最值，即可证明；（2）根据题意，分0a ≤与0a >两种情况讨论，当0a >时，得到函数()f x 的最小值，然后证明()ln 0f a ≤即可.【详解】（1）当1a =时，()e 1xf x x =--，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，即当0x =时，()()min 00f x f ==，所以()0f x ≥.（2）因为函数()()e 1=--∈x f x ax a R ，则()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增，且()00e 10f =-=，所以()f x 在R 上只有一个零点；当0a >时，令()0f x '=，可得ln x a =，由()0f x '<，得ln x a <，由()0f x ¢>，得ln x a >，且()ln ln e ln 1ln 1af a a a a a a =--=--，令()ln 1g a a a a =--，则()ln g a a '=-，由ln 0a -=，可得1a =，则01a <<时()0g a '>，1a >时()0g a '<，所以(0,1)上()g a 递增，(1,)+∞上()g a 递减，故()()10g a g ≤=，所以()ln 0f a ≤，11e 0af a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，x 趋向正无穷则()f x 趋于正无穷，此时，当(0,1)(1,)a ∈+∞ 时有两个零点，当1a =时有一个零点，综上，当(,0]{1}a ∈-∞⋃时，有1个零点；当(0,1)(1,)a ∈+∞ 时，有2个零点.22．已知函数()()2ln 0f x ax bx c x x =+-->在1x =处取得极值，其中,a b 为常数.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若0a >，且函数有()f x 两个不相等的零点12,x x ，证明：122x x +>【正确答案】(1)函数()f x 的单调递增区间()1,+∞，函数()f x 的单调递减区间()0,1(2)证明见解析【分析】（1）代入1a =得出()f x ，求导得出()f x '，根据已知得出()110f b '=+=，即可得出1b =-，再根据导数的正负得出函数()f x 的单调区间；（2）求导得出()f x '，根据已知结合导数得出函数()f x 的单调区间，设12x x <，则()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，构造函数()()()()2,0,1h x f x f x x =--∈，求导得出()h x 在()0,1单调递减，则当()0,1x ∈时，()()10h x h >=，即()()2f x f x >-，则当()10,1x ∈，则()()112f x f x >-，根据已知得出()()120f x f x ==，得出()()212f x f x >-，而12x -、()21,x ∈+∞，即可根据函数()f x 在()1,+∞上的单调性得出答案.【详解】（1）当1a =，()2ln f x x bx c x =+--，()12f x x b x'=+-，()110f b '=+=，解得1b =-，()()()212112121x x x x f x x x x x-+--'=--==，当01x <<，()0f x '<当1x >，()0f x ¢>函数()f x 的单调递增区间()1,+∞，函数()f x 的单调递减区间()0,1（2）()2ln (0)f x ax bx c x x =+-->，()12(0)f x ax b x x-'=+>，由函数在1x =处取极值，则()1210f a b =+-='，则12b a =-，()()1121212f x ax a x a x x ⎛⎫=+--=-+ ⎝'⎪⎭，(0)x >，当0a >时，120a x+>，则当()0,1x ∈，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，∴函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(]0,1，函数有()f x 两个不相等的零点12,x x ，则()()120f x f x ==，∴不妨设12x x <，则()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，构造函数()()()()2,0,1h x f x f x x =--∈则()()22ln 2ln h x x x x =-+--，求导()()()221112022x h x x x x x -=--=--'<-，()h x ∴在()0,1单调递减，()0,1x ∴∈时，()()10h x h >=，即()()2f x f x >-，由()10,1x ∈，则()()112f x f x >-，由()()120f x f x ==，()()212f x f x ∴>-，而12x -、()21,x ∈+∞，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，122x x ∴+>.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
井冈山中学高二下学期第一次月考数学（理科）试卷一、选择题：1．b3．设,,,a b c d R ∈，若a bic di+-为实数，则( ) A.0bc ad+≠ B.0bc ad -≠ C. 0bc ad += D. 0bc ad -=2．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．2)1(+n n C ．12-n D ．2)1(-n n 3．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A4． 双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±=5．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．606．求由曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ）A.4(2x dx -⎰B.0⎰C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰7．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －28．在310(1)(1)xx -+的展开中，5x 的系数是（ ）A.297- B ．252- C ．297 D ．2079．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为 （ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]481,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭10．设()f x 、()g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且//()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时有( )A. ()()()()f x g x f b g b >B. ()()()()f x g a f a g x >C. ()()()()f x g b f b g x >D.()()()()f x g x f a g a >11．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ．1248-C12．函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m的取值范围为（ ）A ．（-24,8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）二、填空题：(20分）13．直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；14．511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 。
15．从1239 ，，，这9个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有 种取法（用数字作答）.16．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为3()x x ρ=（取细棒所在的直线为x 轴，细棒的一端为原点），棒长为1，试用定积分．．．表示细棒的质量M = 三、解答题：（70分）17．（10分）已知23||()2iz z z i i-++=+，其中z 是z 的共轭复数，求复数z .18．（12分）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ （1）甲得一本，乙得二本，丙得三本；（2）平均分成三堆；（3）甲、乙、丙每人至少得一本。
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，,E F 分别是,AB PB 的中点．(1)求证：EF CD ⊥；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．20．（12分）对于数列}{n a ，若.1),10(1111n n a a a a a a a a -=≠>+=+且 （1）求422,,a a a ，并猜想}{n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．AEBPCDF21．(12分)已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足: AP PB λ=- ,AQ QB λ=(0λ≠且1λ≠±).求证:点Q 总在某定直线上.22．（12分）设函数.3)(3xx x f += （1）求f (x )的单调区间； （2）当k k x f k x 2)4()(],1,1[,]21,2[2--+<-∈--∈λλ对任意实数时恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题： CBDCAC ，CDACDD 二、填空题：13．40x y -+= 14. -51 15．60 16.130x dx ⎰三、解答题17（10）解：由已知得 2||()1z z z i i ++=-设,(,)z x yi x y R =+∈，代入上式得2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故复数z为122-± 18（12）（1）分成三堆的方法有16C 25C 33C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为16C 25C 33C =60 种．（2）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有222426C C C =90种方法． （3）19（12）(1) 因为(,0,)(0,,0)022a aEF DC a ⋅=-⋅= ，所以EF CD ⊥.(2)设平面DEF 的法向量为(,,)x y z =n ．由00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得，(,,)(,,)0222(,,)(,,0)02a a a x y z a x y z a ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，1z =，得(1,2,1)=-n ．cos ,6|||BD BD BD ⋅〈〉===n n n |， 所以，DB 与平面DEF所成角的正弦值的大小为620（12）解：（1）,1,1111nn a a a a a a -=+=+ )1(111112242112+++=+-+-+=-=∴a a a a a a aa a a a a a a )1(11)1(11242462422213+++++=+++-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a 同理可得)1(124624684+++++++=a a a a a a a a a猜想)1(1111)1(122221222242222222--=-⋅--=+++++++=+-+---nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a （2）（ⅰ）当1=n 时，右边12241)1(1a aa a a a =+=--=，等式成立．（ⅱ）假设当k n =时)N (*∈k ，等式成立，即)1(1222--=+k k k a a a a ，则当1+=k n 时，1)1(1122221---+=-=++k k k k a a a a a a a a )1()1()1)(1(2222222----+=++k k k a a a a a a ,)1(1)1(2)2(2--=++k k a a a这就是说，当1+=k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切*∈N n ，)1(1222--=+nn n a a a a 成立． 21（12）解:(1)由22:4C x y =知1(0,1)F ,设000(,)(0)M x y x <,因M 在抛物线2C 上,故2004x y =…①又15||3MF =,则0513y +=……②,由①②解得03x =-,023y =.而点M 椭圆上,故有22222()331a b +=即2248193a b+=…③, 又1c =,则221b a =-…④由③④可解得24a =,23b =,∴椭圆1C 的方程为22143y x +=. (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)Q x y ,由AP PB λ=- 可得:1122(1,3)(1,3)x y x y λ--=---,即121213(1)x x y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩由AQ QB λ= 可得:1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,即1212(1)(1)x x x y y yλλλλ+=+⎧⎨+=+⎩⑤⨯⑦得:222212(1)x x x λλ-=- ⑥⨯⑧得:2222123(1)y y y λλ-=- 两式相加得2222221122()()(1)(3)x y x y x y λλ+-+=-+又点,A B 在圆223x y +=上,且1λ≠±,所以22113x y +=,22223x y +=即33x y +=,∴点Q 总在定直线33x y +=上. 22（12）解:（1）定义域：（－∞，0）∪（0，+∞）2233)(x x x f -='，令f ′(x )>0,则x <－1或x >1，∴f (x )的增区间为（－∞，－1）,（1，+∞）令f ′(x )<0,则－1<x <1, ∴f (x )的减区间为（－1，0）,（0，1）（2）令2233)(xx x f -='=0，得x =±1 ∵x ∈[－2，－1]时，f (x )为增函数；x ∈[－1，－21]时，f (x )为减函数. ∴x =－1时，f (x )max =f (－1)=－4∴由题意得λ2+(k －4) λ－2k>－4对任意k ∈[－1，1]恒成立即k ∈[－1,1]时(λ－2)k+λ2－4λ+4>0恒成立.令g(k)=( λ－2)k+λ2－4λ+4,只需⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g 即可, ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-+⨯->+-+--0441)2(044)2)(1(22λλλλλλ 解得λ<1或λ>3即为所求。