第三讲坐标变换的原理和实现方法
数学中的坐标系与坐标变换
数学中的坐标系与坐标变换数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而坐标系和坐标变换则是数学中的重要概念。
本文将介绍什么是坐标系，坐标变换的概念以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、坐标系坐标系是在某一平面或空间中确定点的位置的一种方式。
它由坐标轴和原点组成。
常见的坐标系包括二维笛卡尔坐标系和三维笛卡尔坐标系。
1. 二维笛卡尔坐标系二维笛卡尔坐标系由两条垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。
原点是坐标系的交点，用(0,0)表示。
在二维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
2. 三维笛卡尔坐标系三维笛卡尔坐标系在二维笛卡尔坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。
在三维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序组(x, y, z)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
二、坐标变换坐标变换是指将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
坐标变换在数学和物理学中都有着广泛的应用。
1. 平移平移是一种坐标变换，通过向所有的点添加一个常量向量，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
例如，将一个点的坐标由(x, y)变为(x+a, y+b)，其中(a, b)表示平移的向量。
2. 旋转旋转是一种坐标变换，通过围绕一个给定的中心点将点按照一定角度旋转，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
旋转可以使用旋转矩阵或旋转角度表示。
3. 缩放缩放是一种坐标变换，通过改变点的坐标的比例，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
缩放可以使点的坐标变大或变小，可以根据缩放因子在x方向和y方向上进行分别缩放。
三、数学与现实生活中的应用坐标系和坐标变换在数学和现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用情景：1. 几何学中的图形表示：坐标系可以用来表示几何图形，例如在平面上绘制直线、圆等图形，或者在空间中绘制立方体、球体等图形。
坐标平移变换
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
06
总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。
电力电子坐标变换课件
将实验结果与仿真结果进行对比，验证仿真模型的准确性和有效性 。
PART 06
结论与展望
研究成果总结
01
坐标变换理论在电力电子领域的应用
介绍了坐标变换理论在电力电子领域的应用，包括在电机控制、电网管
理和可再生能源系统等领域的应用。
02
电力电子系统建模与仿真
对电力电子系统进行建模和仿真，通过实验验证了坐标变换理论的正确
变换方法
包括克拉克变换、派克变 换等，用于实现不同坐标 系之间的转换。
坐标变换在电力电子变换器设计中的作用
提高系统性能
通过坐标变换，可改善电力电子系统的性能，如 减小谐波、降低开关损耗等。
简化电路设计
通过适当的坐标变换，可简化电力电子电路的设 计过程，降低设计难度。
便于控制策略实施
坐标变换有助于实现更有效的控制策略，如状态 反馈控制、滑模控制等。
2023-2026
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电力电子坐标变换课 件
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目 录
• 引言 • 坐标变换基本原理 • 电力电子中的坐标变换 • 电力电子变换器的控制策略 • 电力电子变换器的仿真与实验 • 结论与展望
PART 01
引言
背景介绍
电力电子在能源转换 和电力系统中的应用
电力电子系统的新应用领域
随着可再生能源、智能电网等领域的不断发展，电力电子系统的应用领域将不断扩大，需 要进一步研究和探索新的应用场景和技术。
电力电子系统的智能化和自主化
随着人工智能和机器学习技术的不断发展，电力电子系统的智能化和自主化将成为未来的 重要研究方向，需要加强相关技术的研究和应用。
(整理)坐标变换的原理和实现方法
由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
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❖ 令 Y CX ❖ C为变换系数，既可取常数，也可取时间的
函数。在线性变换中，系数与变量无关。
❖ 若要原变量和新变量间存在单值关系，转 换矩阵C须满秩。
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二、综合矢量
二、综合矢量
❖ 时间矢量 –随时间作正弦变化的量 –可以用沿逆时针旋转的矢 量在y轴的投影表示 – y轴称为时间轴
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二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 综合矢量的计算 –设有正序电流
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8
二、综合矢量
综合矢量的计算
–正序电流综合矢量为
–其中， a为旋转算子
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二、综合矢量
综合矢量的计算
❖ 图解
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二、综合矢量
综合矢量的计算
–设有负序电流
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二、综合矢量
综合矢量的优点
❖ 三相同时考虑 –除零序分量
❖ 在任意轴线上的投影 –表示与该轴线圈有关变量的瞬时值
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三、坐标转换
各坐标系统间的转换
❖ 旋转电机的坐标变换：两大类
–坐标轴线放在定子上的静止坐标系统，如 abc,αβ0,+-0坐标系统
–坐标轴线放在转子上的旋转坐标系统，如 dq0,fb0坐标系统。
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二、综合矢量
单时标多矢量法
❖ 单时标多矢量表示法 –三相对称系统 –三个旋转矢量 –一个时间轴
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5
坐标系转换方法
坐标系转换方法
坐标系转换的方法有多种，以下是三种主要的方法：
1. 线性变换法：这种方法将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中。
通过选择合适的矩阵，可以将坐标变换为新的形式。
线性变换法在处理平面坐标系时特别有效。
2. 多项式拟合法：这种方法利用多项式来拟合两个坐标系之间的关系。
通过找到一组对应点，并拟合出多项式方程，可以将一个坐标系中的点转换为另一个坐标系中的点。
这种方法适用于任何维度的坐标系转换。
3. 最小二乘法：这种方法利用最小二乘原理，通过优化误差平方和，找到最佳的坐标转换方法。
它可以用于各种类型的坐标系转换，包括线性变换、多项式拟合等。
最小二乘法对于处理具有大量数据点的复杂转换非常有效。
这些方法都有其适用范围和优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择最合适的方法。
向量的坐标系和坐标变换
向量的坐标系和坐标变换向量是数学中的一个基本概念，它可以用来表示空间中的点和方向，是许多科学领域的重要工具。
在计算机图形学、物理学、机器学习等领域中，向量是不可或缺的一部分。
本文将介绍向量的坐标系和坐标变换。
一、坐标系坐标系是用来描述一个向量在空间中的位置的系统。
我们通常使用直角坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，分别标记为x 轴、y轴和z轴。
一个向量可以表示为(x, y, z)的形式，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影，z表示向量在z轴上的投影。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为一组坐标。
例如，(3, 4, 0)表示x轴上投影为3，y轴上投影为4，z轴上投影为0的点。
同样地，向量也可以表示为一组坐标。
二、坐标变换坐标变换是指将一个向量从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
在三维空间中，我们常用的坐标变换有平移、旋转和缩放。
1. 平移平移是指将一个向量从一个位置移动到另一个位置的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用向量加法来进行平移运算。
例如，向量(1, 2, 3)加上向量(4, 5, 6)等于向量(5, 7, 9)，表示向量在x轴上平移了4个单位，在y轴上平移了5个单位，在z轴上平移了6个单位。
2. 旋转旋转是指将一个向量绕一个轴旋转一定角度的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用矩阵乘法来进行旋转运算。
例如，对向量(1, 0, 0)进行绕y轴旋转90度的运算，可以表示为：cos(90) 0 sin(90)0 1 0-sin(90) 0 cos(90)乘以向量(1, 0, 0)得到向量(0, 0, 1)，表示向量绕y轴旋转90度后的结果。
3. 缩放缩放是指将一个向量的大小按照一定比例进行变换的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用矩阵乘法来进行缩放运算。
例如，对向量(1, 2, 3)进行按照2倍缩放的运算，可以表示为：2 0 00 2 00 0 2乘以向量(1, 2, 3)得到向量(2, 4, 6)，表示向量按照2倍缩放后的结果。
平面解析几何中的坐标变换
平面解析几何中的坐标变换在平面解析几何中，坐标系统是我们研究和描述平面上的点和图形的重要工具。
坐标变换是指将一个点的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的过程。
在本文中，我们将探讨平面解析几何中的常见坐标变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的向量移动一定的距离，而保持点在平移之前的方向不变。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它平移d单位，那么它的新坐标为P'(x+d, y+d)。
平移变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡1 0 d⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢0 1 d⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣0 0 1⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为平移之后的坐标，d为平移的距离。
二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着一个给定的旋转中心顺时针或逆时针旋转一定的角度。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它绕旋转中心O旋转θ角度，那么它的新坐标为P'(x', y')。
旋转变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡cosθ -sinθ⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣sinθ cosθ⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为旋转之后的坐标，θ为旋转角度。
三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照一定的比例扩大或缩小，而不改变点在所缩放前的方向。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它按照给定的比例水平缩放sx，垂直缩放sy，那么它的新坐标为P'(x', y')。
缩放变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡sx 0⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣ 0 sy⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为缩放之后的坐标，sx为水平缩放系数，sy为垂直缩放系数。
四、镜像变换镜像变换是指将平面上的点按照给定的镜像轴进行对称翻转。
坐标变换的两种基本方法
坐标变换的两种基本方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊坐标变换的两种基本方法呀。
咱先来说说平移吧！这就好比你在一个大地图上，要把一个东西从这儿挪到那儿。
你想想，本来这个点在这儿呢，你给它往左挪一点，往右挪一点，往上或者往下挪一点，这可不就是平移嘛！就像你玩拼图，把一块拼图移到合适的位置，让整个画面更完整。
这平移可重要啦，没有它，很多图形的位置就没法改变啦，那多没意思呀！再说说旋转呢，这就更有意思啦！就像你拿着一个东西，围着一个中心点转呀转。
比如一个大风车，呼呼地转着，那就是在做旋转呀！旋转能让图形变得更生动，更有变化。
你能想象一个正方形一直呆呆地在那不动吗？多无聊呀！但是一旦让它旋转起来，哇，那感觉立马就不一样了，就好像突然有了活力似的。
平移和旋转，这俩可是坐标变换里的宝贝呀！它们能让我们看到各种各样奇妙的变化。
比如说，一个简单的图形，通过平移和旋转，就能变成超级复杂、超级好看的图案。
这多神奇呀！就好像魔术师一样，轻轻一变，就完全不一样了。
你看那些漂亮的建筑设计，很多不就是通过平移和旋转这些方法来实现的嘛。
还有那些好玩的游戏，里面的角色和场景，不也是靠这两个方法来让我们玩得开心嘛。
要是没有平移和旋转，那得多单调呀！咱们生活中也到处都是平移和旋转的影子呀。
你想想，你每天走路，从这个地方走到那个地方，不就是平移嘛。
还有，你骑自行车的时候，轮子那可是一直在旋转呀！这都是很平常但又很重要的例子呢。
所以呀，可别小看了这坐标变换的两种基本方法哟！它们就像是我们生活中的小魔法，能给我们带来很多惊喜和乐趣呢！平移让一切变得有序，旋转让一切变得精彩，它们俩相辅相成，共同打造出一个丰富多彩的世界。
这不就是我们生活的写照嘛，有时候需要稳稳地平移，有时候又需要活力四射地旋转，这样的生活才有意思呀，不是吗？。
坐标转换原理资料PPT教学课件
墨卡托(Mercator)投影（二）
• 在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点， 墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨 卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直 到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向 都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
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平面坐标转换
• 平面坐标转换
• UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经 180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60 个投影带。
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高斯-克吕格投影与UTM投影异同（一）
• 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托 投影的变种。
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不同(椭球)坐标系的转换流程
空间直角坐标(X,Y,Z)
椭球转换
空间直角坐标(X,Y,Z)
大地坐标(B,L,H) 投影反算 平面直角坐标(x,y,h) 平面转换 当地平面坐标(x,y)
大地坐标(B,L,H) 投影正算
平面直角坐标(x,y,h) 平面转换
当地平面坐标(x,y)
22
不同(椭球)坐标系的转换流程
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高斯-克吕格投影与UTM投影异同（二）
• 从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克 吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东 分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西 经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带 的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的 第1带是UTM的第31带。
• 设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按 照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影 为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球 面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母 线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
坐标旋转变换和平移变换
坐标旋转变换和平移变换现代计算机图形学中，坐标旋转变换和平移变换是非常基础的变换操作，也是构建各种图形算法的重要基础。
在这篇文章中，我将会从基本概念入手，解析坐标旋转和平移变换的原理、应用和相互关系。
一、坐标旋转变换坐标旋转变换，简单地说就是将平面或空间中的点围绕某一轴心点旋转一定角度，从而改变其坐标位置。
坐标旋转变换可分为二维和三维，下面分别讲解。
1. 二维坐标旋转变换我们知道，二维坐标系中的每个点都有两个坐标值，分别表示在横轴和纵轴上的位置。
以原点 A(x, y) 为中心点，将第一个象限(x>0, y>0) 沿其上对称轴旋转α 角度，可以得到新点 B(x', y')。
其中，x' 与 y' 的计算方式如下：x' = xcosα - ysinαy' = xsinα + ycosα其中cosα 和sinα 是旋转角度α 对应的余弦值和正弦值。
以此类推，对于第二、三、四象限的点坐标变换，只需要考虑对称轴所在的二三象限、一四象限即可。
2. 三维坐标旋转变换三维坐标旋转变换也是类似的，只是需要绕各个坐标轴进行旋转。
以绕 Z 轴正方向为例，点 P(x, y, z) 绕该轴旋转α 角度后，可得到新的点 P'(x', y', z')。
其中，x'、y'、z' 的计算方式分别如下：x' = xcosα - ysinαy' = xsinα + ycosαz' = z其他绕 X 轴和 Y 轴的坐标旋转变换同理，只是需要改变对应的计算公式和旋转轴。
二、平移变换平移变换是指改变点或图形在坐标系中的位置，其实现方法是通过增加或减少图形的 x、y、z 坐标值来实现。
平移变换也分为二维和三维，下面分别讲解。
1. 二维平移变换在平面中，将坐标点 A(x, y) 沿 x 轴平移 Tx，y 轴平移 Ty，则新坐标点 A'(x', y') 计算方式如下：x' = x + Txy' = y + Ty其中，Tx 和 Ty 表示水平和垂直方向的平移距离。
直角坐标系与坐标变换
直角坐标系与坐标变换直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是描述平面或空间中点位置的常用坐标系统。
它由两条垂直的坐标轴组成，通常标记为x和y。
直角坐标系中，原点表示位置的参考点，x轴和y轴分别表示水平和垂直方向。
在平面直角坐标系中，每个点都可以由一对有序实数(x,y)来表示。
x坐标表示点在x轴上的位置，y坐标表示点在y轴上的位置。
点的坐标是相对于原点的水平和垂直距离。
在立体直角坐标系中，除了平面直角坐标系中的两个坐标轴，还加入了一条垂直于平面的z轴。
每个点都可以由一个有序实数元组(x,y,z)来唯一确定。
坐标变换是指将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系。
常见的坐标变换方式有平移、旋转和缩放等。
平移是通过将坐标系整体移动，实现点的坐标变换。
平移的实质是在原有的坐标基础上加上一个平移向量，使所有点的坐标都发生相应的变化。
旋转是通过将坐标系绕着某一点或某一轴进行旋转，实现点的坐标变换。
旋转的实质是通过一系列的线性变换将原有坐标系中点的坐标映射到新坐标系中。
缩放是通过改变坐标系中的比例尺度，实现点的坐标变换。
缩放的实质是通过乘以一个比例因子来改变点的位置。
除了上述基本的坐标变换方式，还有一种特殊的坐标变换叫做仿射变换。
仿射变换是指保持直线在变换前后的位置关系不变的变换。
它可以用来实现平移、旋转和缩放等各种变换。
总结来说，直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述平面或空间中点的位置。
坐标变换是指将点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系。
常见的坐标变换方式有平移、旋转、缩放和仿射变换等。
通过坐标变换，我们可以方便地进行几何问题的分析和计算。
坐标变换与变换参数
坐标变换与变换参数在数学和工程学中，坐标变换是一种常见的概念，它是把一个点或一组点从一个坐标系转移到另一个坐标系的过程。
在更具体的情况下，坐标变换表示从一种特定的坐标系统到另一种特定的坐标系统的空间变换变换。
它是将几何物体的形状，大小和位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
坐标变换是用于描述一个点在一个坐标系中的位置的变换。
如果一个物体从空间的一个位置到另一个位置移动，可以使用坐标变换来表示物体的位置。
另一方面，坐标变换也可以用于描述物体形状、大小或方向的变化。
需要注意的是，坐标变换通常用于表示一组连续的空间变换，而不是描述一个点在一个坐标系中的具体位置。
坐标变换可以分为两种，一种是旋转变换，另一种是平移变换。
旋转变换是把一个物体在空间中旋转一定角度，并保持相对位置不变。
另外，平移变换是物体在空间中沿一个方向平移一段距离的变换。
在坐标变换过程中，变换参数是描述变换的重要指标。
变换参数表示变换的细节，比如有哪些旋转角度，沿着什么方向移动等。
旋转变换的变换参数一般包括欧拉角（Euler angles），欧氏角（Orientation angles）和四元数（Quaternions）；而平移变换的变换参数一般包括平移矢量（Translation vector）和位移参数（displacement parameters）等。
常用的坐标变换可以分为直角坐标系变换、极坐标系变换和空间欧氏变换。
直角坐标系变换一般用于将一个物体从一个坐标系旋转到另一个坐标系，可以使用欧氏角或四元数进行变换。
极坐标系变换一般用于将一个物体从极坐标系转换到直角坐标系，可以使用平移矢量和位移参数进行变换。
空间欧氏变换也被称为仿射变换，是一种把一个物体从一个坐标系转换到另一个坐标系的空间变换，它可以使用欧氏角进行变换。
综上所述，坐标变换是将一个点或一组点从一个坐标系转移到另一个坐标系的过程。
变换参数是描述变换的重要指标，可以描述变换的细节，如旋转角度、沿着什么方向移动等。
坐标系中的变换
坐标系中的变换
坐标系中的变换是指在二维或三维坐标系中，通过某些操作将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中的点的过程。
常见的坐标系变换包括平移、旋转、缩放、镜像等操作。
其中平移是指将所有点都沿着某个方向移动一定的距离，旋转是指将所有点绕着某个点旋转一定的角度，缩放是指将所有点沿着某个方向缩放一定的比例，镜像是指将所有点沿着某个轴对称。
坐标系变换在计算机图形学中有着广泛的应用，如图像的旋转、缩放、平移等操作都是通过坐标系变换实现的。
在数学中，坐标系变换也是一个重要的概念，它被广泛应用于线性代数、微积分等领域。
需要注意的是，坐标系变换不仅可以应用于二维或三维坐标系，也可以应用于更高维度的坐标系。
此外，坐标系变换还可以通过矩阵运算来实现，这种方法更为高效和灵活。
- 1 -。
坐标旋转变换公式的推导
坐标旋转变换公式的推导在计算机图形学和计算机视觉中，坐标旋转变换是一种常见且重要的操作。
通过坐标旋转变换，我们可以将一个对象绕某个中心点进行旋转，从而达到不同角度观察的效果。
接下来将介绍坐标旋转变换的基本原理和推导过程。
假设我们有一个二维平面，坐标系原点为(0,0)，一个点P(x,y)表示平面上的某个位置。
现在我们希望将点P绕原点进行逆时针旋转$\\theta$角度，得到新的旋转后的坐标P′(x′,y′)。
根据三角函数的性质，我们知道点P到原点的距离为$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$，点P的极坐标为$(r, \\phi)$，其中$\\phi = \\arctan(\\frac{y}{x})$是点P与x轴的夹角。
接下来，我们需要推导点P′的坐标。
根据旋转变换的几何意义，可以得到如下关系：$$ \\begin{cases} x' = r \\cos(\\phi + \\theta) \\\\ y' = r \\sin(\\phi + \\theta) \\end{cases} $$我们知道三角和差公式为$\\cos(a \\pm b) = \\cos(a)\\cos(b) \\mp\\sin(a)\\sin(b)$和$\\sin(a \\pm b) = \\sin(a)\\cos(b) \\pm \\cos(a)\\sin(b)$，将上述关系代入，可以得到：$$ \\begin{cases} x' = x\\cos(\\theta) - y\\sin(\\theta) \\\\ y' = x\\sin(\\theta) + y\\cos(\\theta) \\end{cases} $$最终，我们得到了二维平面上点P(x,y)绕原点逆时针旋转$\\theta$角度后的坐标变换公式：$$ \\begin{pmatrix} x' \\\\ y' \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}\\cos(\\theta) & -\\sin(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) & \\cos(\\theta)\\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} $$这就是坐标旋转变换的推导过程及旋转变换矩阵的计算公式。
第三讲、第四讲：坐标变换和张量
轴张量： O X
X
Z
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坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！
1.4.3 张量的分类
张量的分类
轴张量的坐标变换方法：
T
' ijkl
a aip a jqakr als Tpqrs
• 坐标变换矩阵的模值为1或-1，正负与坐标系的手性是否 发生变化有关；
• 对于第一类对称操作，坐标变换矩阵模为1；
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
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1.4.3 张量的分类
张量的分类 • 极张量（Polar tensors） • 轴张量（Axial tensors）
极张量：与坐标系的手性无关；
轴张量：与坐标系的手性有关；
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1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
aik kl a jl aik a jl kl
' ij
15
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换 三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。
' ijk
d
aip a jqakr d pqr
' sijkl aip a jqakr alt d pqrt ' Tijkl aip a jq akr als Tpqrs
• 张量的外积
Tijk S pqr Cijkpqr
一个t阶张量与一个s阶张量的外积为一个（t+s）阶张量
• 张量的内积
Tijkl Sijpq Cklpq
T阶张量与s阶张量有n个相同的下标，则二者乘积为一个 （t+s-2n）介张量。
ckl aijkl bij aijkl bij
坐标变换的原理和实现方法
由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
点的坐标变换知识点
点的坐标变换知识点1. 前言在计算机科学和数学领域中，点的坐标变换是一种非常重要的概念。
它涉及到将点在不同坐标系中表示和转换的技巧和方法。
本文将介绍点的坐标变换的基本概念、常见的坐标变换方法以及它们的应用。
2. 点的坐标表示在笛卡尔坐标系中，一个点可以由一组有序的数字表示。
通常情况下，二维空间中的点用两个数字表示，分别是x和y坐标。
三维空间中的点则需要用三个数字表示，分别是x、y和z坐标。
例如，二维空间中的点A可以表示为(Ax, Ay)，三维空间中的点B可以表示为(Bx, By, Bz)。
3. 坐标变换方法3.1 平移变换平移是坐标变换中最简单的一种。
它只是简单地将点在坐标系中沿x和y轴方向上进行移动。
对于二维空间中的点(Ax, Ay)，它在x轴上的平移量为tx，在y轴上的平移量为ty。
通过平移变换，点A的新坐标可以表示为(Ax + tx, Ay + ty)。
3.2 缩放变换缩放变换是指改变点的大小或比例。
对于二维空间中的点(Ax, Ay)，它在x轴上的缩放比例为sx，在y轴上的缩放比例为sy。
通过缩放变换，点A的新坐标可以表示为(Ax * sx, Ay * sy)。
3.3 旋转变换旋转变换是指改变点的方向或角度。
对于二维空间中的点(Ax, Ay)，它相对于原点的旋转角度为θ。
通过旋转变换，点A的新坐标可以表示为(Ax * cosθ - Ay * sinθ, Ax * sinθ + Ay * cosθ)。
3.4 倾斜变换倾斜变换是指改变点在坐标系中的形状。
对于二维空间中的点(Ax, Ay)，它在x 轴上的倾斜比例为kx，在y轴上的倾斜比例为ky。
通过倾斜变换，点A的新坐标可以表示为(Ax + Ay * kx, Ay + Ax * ky)。
3.5 变换顺序在进行多个坐标变换时，变换的顺序是很重要的。
不同的变换顺序可能会得到不同的结果。
通常情况下，变换的顺序是从右到左进行的。
例如，先进行缩放变换，再进行平移变换，最后进行旋转变换。
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第三讲坐标变换的原理和实现方法
坐标变换是计算机图形学领域中的重要概念之一，它可以用来描述物
体在平面或者三维空间中的位置和方向。
在计算机图形学中，常常需要将
物体从一个坐标系变换到另一个坐标系，以便于进行操作、渲染或者显示。
1.坐标变换的原理
在进行坐标变换之前，首先需要给定一个参考坐标系，通常称之为世
界坐标系。
然后，需要确定一个局部坐标系，用来表示参考坐标系中的一
些物体。
局部坐标系通常是以物体的一些点为原点，以物体一些方向为坐
标轴的。
坐标变换的原理可以归结为两个步骤：平移和旋转。
平移是指将物体沿着参考坐标系的一些方向移动一定的距离。
平移可
以用一个向量表示，这个向量称为平移向量。
在平移过程中，物体的位置
发生了变化，但是物体的方向不会改变。
旋转是指将物体沿着参考坐标系的一些轴进行旋转。
旋转可以用一个
旋转矩阵表示，这个矩阵称为旋转矩阵。
在旋转过程中，物体的位置不变，但是物体的方向发生了变化。
2.实现方法
实现坐标变换的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
（1）矩阵变换法
矩阵变换法是坐标变换的一种常用方法，它通过矩阵的乘法来实现坐
标的转换。
首先，需要将物体的坐标变换矩阵相乘，得到变换后的坐标。
然后，将变换后的坐标赋给物体的顶点，即可实现物体的坐标变换。
矩阵
变换法可以实现平移、旋转、缩放等各种变换。
（2）四元数插值法
四元数插值法是一种基于四元数的坐标变换方法，它通过插值四元数
来实现物体的平滑旋转。
四元数插值法可以避免欧拉角存在的万向节锁问题，保留了旋转矩阵的简洁性。
四元数插值法适用于需要平滑旋转过程的
场景，比如游戏中的角色动画。
（3）欧拉角变换法
欧拉角变换法是一种将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法，它通过欧拉角来表示物体的旋转角度。
欧拉角变换法可以实现物体的绕固
定轴旋转，比如绕x轴、y轴或z轴旋转。
欧拉角变换法的优点是简单易懂，但是在实际应用中容易出现万向节锁问题。
（4）四元数变换法
四元数变换法是一种将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法，它通过四元数来表示物体的旋转。
四元数变换法相对于欧拉角变换法而言，可以避免万向节锁问题，并且计算效率更高。
四元数变换法的缺点是相对
于欧拉角变换法而言，计算过程相对复杂。
3.总结
坐标变换在计算机图形学中是一个基础而重要的概念，它可以描述物
体在平面或者三维空间中的位置和方向。
坐标变换的原理是通过平移和旋
转来实现的。
实现坐标变换的方法有很多种，矩阵变换法、四元数插值法、欧拉角变换法和四元数变换法都是常用的方法。
每种方法都有其适用的场
景和优缺点，根据具体的需求选择合适的方法进行坐标变换。
通过学习和
理解坐标变换的原理和实现方法，可以更好地应用于计算机图形学中的实际问题。