七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十五讲 多边形的有关问题(含答案)
初中数学竞赛多边形(含答案)
多边形在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。
下面所说的多边形均指凸多边形。
它的重要性质是：几边形的内角和是，由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。
更加本质的是它的推论：任意多边形的外角和等于。
多边形中通过连结对角线中把多边形就分割为若干个三角形，这就把研究多边形的问题转化为研究三角形的问题，这是一种重要的研究思路，请读者在下面的解题过程中认真体会这种思路。
例1已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。
思路设多边数的边数为n，然后通过已知条件列出n的方程，再求出n值。
解设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得 n=8答：这个多边形的边数为8说明本题通过设边数为n，然后依题意列出n的方程，再求出n值。
这是运用方程的思想解几何题。
这种思想方法今后还会经常用到。
例2一个多边形的每个内角都等于，求这个多边形的边数。
思路1 利用多边形的内角和定理。
解法1 设这个多边形的边数为n，根据题意得解之得n=10思路2 利用多边形的外角和定理。
解法 2 因为这个多边形的每个内角都等于，所以每个外角都等于，而多边形的外角和是，所以这个多边形的边数是.说明当你们学习了解法1和解法2后，你们心里产生了怎样的想法呢？显然，解法1比较传统，解法2则标新立异，这就启发我们解题时选择恰当的出发点是多么重要。
例3一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于，求这个多边形的边数和这个内角的度数。
思路利用多边形的内角和定理。
解设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为X，根据题意有.又解之得又由n是正整数得n=14说明在解题中要重视对题目隐含条件的发掘和利用。
如本题中的x取值范围是。
n是正整数等。
例4 求证：n边形的内角中，最多有3个锐角。
思路1 用反证法.证法1 假设n边形至少有4个锐角，取出4个锐角之后剩下的角记为，，，则有，得那么，，中至少有一个大于，而这与，，中的每一个都小于180矛盾。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题06 多边形角的计算
专题06 多边形角的计算专题解读】在几何学习中，我们常常要研究一些变化过程中的不变量．比如，随着多边形边数的变化，其内角和在变化，而外角和则始终保持不变．因此，在分析与解决有关多边形的角的计算题时，我们往往以图形的确定性分析为抓手，从基本图形的演变入手，在“变”与“不变”中探索规律．在解决问题的具体过程中，常常化多边形问题为三角形问题．此外，我们还可设立未知数表达相关的量，最终建立方程求解问题．思维索引】例1．如图，从四边形ABCD 的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．DCBA例2．在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，点F 是一动点．设∠FDA ＝α，∠FEB ＝β，∠DFE ＝n ．（1）如图1，若点F 在线段AB 上，且n ＝50°，则α＋β＝；（2）如图2，若点F 在斜边BA 的延长线上运动（CE ＞CD ），请直接写出n 、a 、β之间的关系；（3）若点F 运动到△ABC 形外（只需研究图3情形），则n 、a 、β之间有何关系？并说明理由．图1ABCD E图2FEDC BA图3例3．如图：线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A ＋∠D ＝∠C ＋∠B ．（1）利用“8字型”：如图（1）：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝； （2）构造“8字型”：如图（2）：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝；（3）发现“8字型”：如图（3）：BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线．①图中共有个“8字型”；②若∠B ：∠D ：∠F ＝4：6：x ，求x 的值．OABCD图1ABC DEF图2GABC DEF图3GFE D CBA素养提升1．如图是一个长方形和两个等边三角形，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的值是 ( )A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°第1题图321第2题图ACB 12第5题图ABC DE第6题图ABCDEFO2．如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，按图中虚线将∠C 剪去后，∠1＋∠2等于 ( )A ．230°B ．210°C ．130°D ．310°3．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( ) A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°4．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或95．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为 ( )A ．360°B ．300°C ．220°D ．180°6．如图，已知∠BOF ＝120°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ ．7．如图的七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠BOD 的度数为．第7题图AB C DEFGO4321 第8题图B'A'HABC EFG第9题图AB CDEF第10题图A 2A 1OBA8．将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部，若∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝510°，则∠A ′KF ＋∠B ′JC ＝．9．如图，在同一平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠AEB ＋∠CED －∠BEC ＝．10．如图，已知∠AOB ＝7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A ＝90°－7°＝83°．当∠A ＜83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠BA 1A ＝∠A 2AO ．若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A ＝76°．若光线从A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值是．11．已知，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝40°，∠E ＋∠F ＝100°，将△DEF 如图1和图2摆放，使得∠D 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△DEF 如图1摆放时，则∠ABD ＋∠ACD ＝．（2）当将△DEF 如图2摆放时，请求出∠ABD ＋∠ACD 的度数，并说明理由．（3）能否将△DEF 摆放到某个位置时，使得BD 与CD 同时平分∠ABC 和∠ACB ，请说出理由．ABCDEF图1AB EFDC图212．（1）在图甲中，猜想：∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝ ，并说明理由．（2）如果把图甲称为2环三角形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2；把图乙成为2环四边形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＋∠D 2；把图丙成为2环五边形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＋∠D 2＋∠E 2．请你猜一猜，2环n 边形的内角和是多少？（只要直接写出结论）图甲A 2A 1B 2B 1C 2C 1图乙A 2A 1B 2B 1C 2C 1D 2D 1E 2E 1C 2D 1D 2C 1B 1B 2A 1A 2图丙E 2E 11D 2C 1C 2B 1B 2A 1A 2图丁F 1F 213．（1）如图1，AD 与BC 相交于E ，连接AB 、CD ，若AF 、CF 分别平分∠BAD 、∠BCD ，∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，试求∠F 的度数；（2）如图2，直线AF 平分∠NAD ，CF 平分∠MCB ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，试求∠F 的度数； （3）在图3中，直线AF 平分∠NAD ，CF 平分∠MCB ，猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由；（4）在图4中，AF 平分∠BAD ，CF 平分∠MCB ，猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由．图1FE DCBAN MA BDE F图2图3F A NMC ED BBDEC MAF图414．（1）如图1，已知直线PQ 与直线EF 交于点N ，则∠PME 、∠P 、∠MEF 、∠PNE 之间有何数量关系？并说明理由；（2）根据（1）的结论求图2中∠P ＋∠F ＋∠Q ＋∠M ＋∠N ＋∠E 的度数． 拓展延伸一：如图3，若平面内有点12345678,,,,,,,P P P P P P P P ，连接132435PP P P P P 、、、465768P P P P P P 、、、7182P P P P 、，求68123457PP P P P P P P ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数是多少？拓展延伸二：若平面内有n 个点1234n P P P P P ⋯⋯、、、、、，且将这个点围成的多边形是凸多边形，连接132435112n n PP P P P P P P P P -⋯⋯、、、、、，则12341n n P P P P P P -∠+∠+∠+∠+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠+∠+的度数是多少？（请用含n 的代数式表示）图1NMFEQP图2TFEMQP图3P 8P 7P 6P 54P 3P 2P 1专题06多边形角的计算思维索引】例1．180°；360°；540°；例2．(1)140°； (2)β－α－n ＝90°； (3)α＋n －β＝90°． 例3．(1)360° (2)540° (3)①6个； ②x ＝5． 素养提升】1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5．D ； 6．240°； 7．40°； 8．60°； 9．24°； 10．6°； 11．(1)240°； (2)40°； (3)不能； 12．(1)360°； (2)360°(n 一2)；13．(1)26°； (2)26°； (3)∠F ＝180°－12 (∠B ＋∠D )； (4)∠F ＝90°＋12 (∠B ＋∠D )；14．(1)∠PME ＝∠P ＋∠MEF ＋∠PNE ； (2)∠P ＋∠F ＋∠Q ＋∠M ＋∠N ＋∠E ＝360°； 拓展延伸一：∠P 1＋∠P 2＋∠P 3＋∠P 4＋∠P 5＋∠P 6＋∠P 7＋∠P 8＝720°． 拓展延伸二：∠P 1＋∠P 2＋∠P 3＋∠P 4＋…＋∠P n －1＋∠P n ＝(n －4)180°．。
七年级数学下册《多边形》练习题及答案(华师大版)
七年级数学下册《多边形》练习题及答案(华师大版)一、选择题1.下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是( )A. B. C. D.2.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（）A.5米B.7米C.10米D.18米4.将一个n边形变成n＋1边形，内角和将( )A.减少180°B.增加90°C.增加180°D.增加360°5.小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正方形、正六边形B.正三角形、正方形、正五边形C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形6.已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<67.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是( )A.43°B.47°C.30°D.60°8.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.7509.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )A. B.C. D.10.△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是( )A.4B.4或5C.5或6D.611.记n边形(n＞3)的一个外角的度数为p，与该外角不相邻的(n﹣1)个内角的度数的和为q，则p与q的关系是( )A.p＝qB.p＝q﹣(n﹣1)•180°C.p＝q﹣(n﹣2)•180°D.p＝q﹣(n﹣3)•180°12.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°二、填空题13.过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是边形．14.三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是．15.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝ .16.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= .17.如图，在一个正方形被分成36个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上.在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个.18.如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．三、作图题19.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和三角板画图:(1)补全△A′B′C′(2)画出AB边上的中线CD；(3)画出BC边上的高线AE；(4)△A′B′C′的面积为.四、解答题20.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数.21.小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.（1）请用a表示第三条边长.（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由.22.已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD是∠ACB平分线，求∠A和∠CDB的度数.23.在△ABC中,AB=AC,AC上的中线把三角形的周长分为18cm和24cm两个部分,求三角形各边长．24.现实生活中，各种各样的图形随处可见.我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形…通过学习，我们知道三角形三个内角的和为180°，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题.探究：猜想并验证四边形的内角和.猜想：四边形内角和为360°验证：在四边形ABCD中，连接AC，则四边形ABCD被分为两个三角形(图2).所以，四边形ABCD的内角和＝△ABC的内角和＋△ACD的内角和＝180°＋180°＝360°请类比上述方法探究下列问题.(1)探究：猜想并探究五边形ABCDE的内角和.(图3)猜想：验证：(2)根据上述探究过程，可归纳出n边线内角和为.(3)证明：①已知一个多边形的内角和为1800°，那么这是个边形.②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他.将一个多边形截去一个角后(没有过顶点)，得到的多边形内角和将会( )A.不变B.增加180°C.减少180°D.无法确定.25.如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满足(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB 交y轴于F点.(1)求点A、B的坐标；(2)点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；(3)如图 3，(也可以利用图 1)①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B.8.【答案】D.9.【答案】A.10.【答案】B.11.【答案】D.12.【答案】B.13.【答案】八．14.【答案】3或4．15.【答案】80°.16.【答案】25°17.【答案】5；18.【答案】180°．19.【答案】解:(1)(2)(3)题如图所示.(4)△A′B′C′的面积为:8.故答案为:8.20.【答案】解：设这个多边形的边数是，则(n﹣2)×180＝360×4，n﹣2＝8，n＝10.答：这个多边形的边数是10.21.【答案】解：（1）第三边为：30﹣a﹣（2a+2）=（28﹣3a）m. （2）第一条边长不可以为7m.理由：a=7时，三边分别为7，16，7∵7+7＜16∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.22.解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠A=×180°=40°，∠ACB=×180°=80°∵CD是∠ACB平分线，∴∠ACD=0.5∠ACB=40°∴∠CDB=∠A+∠ACD=40°+40°=80°23.【答案】解：设AD=CD=x,则AB=2x①当AB+AD=24时,得：3x=24,x=8AB=AC=16∵BC+x=18∴BC=10；②当AB+AD=18时3x=18,x=6AB=AC=12又BC+x=18∴BC=6.24.【答案】解：(1)探究：猜想：五边形ABCDE的内角和为540°.理由：如图3中，连接AD、AC.由图可知，五边形的内角和＝△ADE的内角和＋△ADC的内角和＋△ACB的内角和＝180°＋180°＋180°＝540°，故答案为540°.(2)因为：三角形内角和为180°＝(3﹣2)×180°四边形内角和为360°＝(4﹣2)×180°五边形内角和＝(5﹣2)×180°，…所以可以推出n边形的内角和＝(n﹣2)•180°故答案为(n﹣2)•180°.(3)①设是n边形，由题意(n﹣2)•180°＝1800，解得n＝12∴这个多边形是12边形.故答案为12.②因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，所以将一个多边形截去一个角后(没有过顶点)，得到的多边形内角和可能不变，可能增加180°，也可能减少180°，不能确定，故选D.25.【答案】。
中考数学复习《多边形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《多边形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列说法中，正确的是( )A.直线有两个端点B.射线有两个端点C.有六边相等的多边形叫做正六边形D.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角2.如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是( )A.7B.8C.9D.103.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n－2)个三角形；其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.若一个正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的边数是( )A.10B.9C.8D.66.如图，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )A.140米B.150米C.160米D.240米7.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝45°，∠3＝30°时，那么∠2 的度数是( )A.15°B.25°C.30°D.45°8.如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是( )A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形9.用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第n个图案中，所包含的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和是( )A.n2＋4n＋2B.6n＋1C..n2＋3n＋3D.2n＋410.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是( )A.222B.280C.286D.292二、填空题11.形状、大小完全相同的三角形________(填“能”或“不能”)铺满地面；形状、大小完全相同的四边形________(填“能”或“不能”)铺满地面.12.如果一个多边形的各个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是.13.一个多边形有44条对角线，那么这个多边形内角和是__________．14.如图是由射线AB、BC、CD、DE、EA组成的图形，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝．15.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝_____度．16.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝ .三、解答题17.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数.18.若两个多边形的边数之比为1：2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数.19.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形的每个内角等于几度？20.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.21.如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F.(1)若∠F＝80，则∠ABC+∠BCD＝；∠E＝；(2)探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；(3)给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F所添加的条件为.22.如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠BCD＝124°，∠DEF＝80°.(1)观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；(2)试求∠AFE的度数.23.探索问题：(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B+∠C+∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；(2)如图②﹣1，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°；如图②﹣2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°；如图②﹣3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°；(3)如图③，下图是一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝°.参考答案1.D2.B.3.A4.D5.A6.B.7.A8.D9.B10.D11.答案为：能，能.12.答案为：1260°.13.答案为：1 620°14.答案为：360°．15.答案为：360.16.答案为：108°.17.解：设这个多边形的边数是n依题意得(n﹣2)×180°＝3×360°﹣180°，n﹣2＝6﹣1，n＝7. ∴这个多边形的边数是7.18.解：设这两个多边形的边数分别为n、2n，依题意得180(n﹣2)+180(2n﹣2)＝1440540n﹣720＝1440540n＝2160n＝4所以这两个多边形的边数分别为4和8所以这两个多边形的内角和分别为：180°×(4﹣2)＝360°和180°×(8﹣2)＝1080°19.解：设这个多边形的边数为n则有(n﹣2)•180°＝360°+540°解得n＝7．∵这个多边形的每个内角都相等∴它每一个内角的度数为900°÷7＝20.解：连接AF．∵在△AOF和△COD中，∠AOF＝∠COD∴∠C+∠D＝∠OAF+∠AFD∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OAF+∠OFA+∠CFE+∠OAB+∠E+∠F＝∠BAF+∠AFE+∠E+∠B＝360°．21.解：(1)∵∠F＝80∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝100°.∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F∴∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF∴∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF＝2(∠FBC+∠BCF)＝200°；∵四边形ABCD的内角和为360°∴∠BAD+∠CDA＝360°﹣(∠ABC+∠BCD)＝160°.∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E∴∠DAE＝12∠BAD，∠ADE＝12∠CDA∴∠DAE+∠ADE＝12∠BAD+12∠CDA＝12(∠BAD+∠CDA)＝80°∴∠E＝180°﹣(∠DAE+∠ADE)＝100°；(2)∠E+∠F＝180°.理由如下：∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°∵∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°∴∠E+∠F＝360°﹣(∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF)＝180°；(3)AB∥CD.故答案为200°；100°；AB∥CD.22.解：(1)AB∥DE.理由如下：延长AF、DE相交于点G∵CD∥AF∴∠CDE+∠G＝180°.∵∠CDE＝∠BAF∴∠BAF+∠G＝180°∴AB∥DE；(2)延长BC、ED相交于点H.∵AB⊥BC∴∠B＝90°.∵AB∥DE∴∠H+∠B＝180°∴∠H＝90°.∵∠BCD＝124°∴∠DCH＝56°∴∠CDH＝34°∴∠G＝∠CDH＝34°.∵∠DEF＝80°∴∠EFG＝80°﹣34°＝46°∴∠AFE＝180°﹣∠EFG＝180°﹣46°＝134°.23.解：(1)如图①，∠BOC＝∠B+∠C+∠A.(2)如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.如图③根据外角的性质，可得∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D∵∠1+∠2+∠E＝180°∴x＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.如图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G根据外角的性质，可得∠GFC＝∠D+∠E，∠FGC＝∠A+∠B ∵∠GFC+∠FGC+∠C＝180°∴x＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.(3)如图⑤，∵∠BOD＝70°∴∠A+∠C+∠E＝70°∴∠B+∠D+∠F＝70°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝70°+70°＝140°.。
七年级数学《多边形》专项训练试卷及答案解析
七年级数学《多边形》专项训练试卷及答案解析时间：120分钟 满分：120分班级______ 姓名______ 得分______一、选择题(每小题3分，共30分)1．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ) A ．正五边形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十边形 2．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( ) A ．BD 是△ABC 的角平分线 B ．CE 是△BCD 的角平分线 C ．∠3＝12∠ACB D ．CE 是△ABC 的角平分线第2题图 第3题图3．如图，下列说法中错误的是( ) A ．∠1不是△ABC 的外角 B ．∠B ＜∠1＋∠2C ．∠ACD 是△ABC 的外角 D ．∠ACD ＞∠A ＋∠B4．下列长度的三条线段不能组成三角形的是( ) A ．5，5，10 B ．4，5，6 C ．4，4，4 D ．3，4，5 5．只用下列图形中的一种，能够铺满地面的是( ) A ．正十边形 B ．正八边形 C ．正六边形 D ．正五边形6．已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值范围是( ) A ．0<x <52 B ．x ≥52C ．x >52D ．0<x <107．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 8．如图，把一块含有30°角(∠A ＝30°)的直角三角板ABC 的直角顶点放在长方形桌面CDEF 的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F 在三角板的斜边上，如果∠1＝40°，那么∠AFE 的度数是( )A ．50°B ．40°C ．20°D ．10°第8题图9．如图，已知在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED＝155°，则∠EDF等于( )A．50° B．65° C．70° D．75°第9题图第10题图10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，M为正八边形内部的小正方形的一个顶点，则∠ABM的度数及阴影部分的面积分别为( )A．45°，2a2 B．60°，3a2 C．30°，4a2 D．75°，2a2二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC中，如果∠B＝45°，∠C＝72°，那么与∠A相邻的一个外角等于________度．12．如果三角形的三边长度分别为3a，4a，14，则a的取值范围是____________．13．如图，AD，BE分别是△ABC的角平分线和高，∠BAC＝40°，则∠AFE＝________．第13题图第14题图14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝5cm，AC＝7cm，则△ACD与△ABD 的周长差为________cm.15．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝________．第15题图第16题图第18题图16．维明公园的一段小路是由型号相同的五边形地砖平铺而成的，如图所示，是平铺图案的一部分，如果每一个五边形中有3个内角相等，那么这三个内角的度数都等于________．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为________．18．如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积是________。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
七年级数学上册多边形、角、线段练习题(附答案)
七年级数学上册多边形、角、线段练习题一、单选题1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是( )A.3nB.(2)n n+ D.21n n+ C.(1)n-2.若某一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成七个三角形，则这个多边形是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形3.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.114.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线,则它的边数是( )A.6B.7C.8D.95.过多边形某个顶点的所有对角线,将这个多边形分成7个三角形,这个多边形是( )A.八边形B.九边形C.十边形D.十一边形6.已知古塔在小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，符合条件的示意图是( )A. B.C. D.7.已知点A、B、C都是直线l上的点,且AB=5cm,BC=3cm,那么点A与点C之间的距离是( )A.8cmB.2cmC.8cm或2cmD.4cm二、填空题8.若将一个圆分割成四个小扇形，它们的圆心角的度数之比为1:2:3:4，则这四个小扇形中圆心角度数最大的是__________°.9.如图,点O是直线AB上一点,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,若∠COE等于64°,则∠AOD等于__________度.10.数轴上表示-3和-15的两点间的距离为__________.参考答案1.答案：B解析：根据题意，第1个图形需要黑色棋子2(11)13+-=个；第2个图形需要黑色棋子2(21)18+-=个；第3个图形需要黑色棋子2(31)115+-=个；第4个图形需要黑色棋子2(41)124+-=个；；所以第n 个图形需要黑色棋子()22(1)12(2)n n n n n +-=+=+个.故选B. 2.答案：D解析：从n 边形的一个顶点出发的对角线把n 边形分成(2)n -个三角形，则将多边形分成七个三角形对应的多边形是九边形.故选D.3.答案：C解析：设多边形有n 条边,则n-2=8,解得n=10.故这个多边形的边数是10.故选:C.分析:经过n 边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n-2)个三角形,根据此关系式求边数.4.答案：C解析：设这个多边形是n 边形.依题意,得n-3=5,解得n=8.故这个多边形的边数是8.故选C.分析:根据多边形的对角线的定义可知,从n 边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,由此可得到答案.5.答案：B解析：从n 边形的一个顶点引对角线，可以把n 边形分为n-2个三角形，过多边形某个顶点所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是9边形．故选：B ．考点：多边形．6.答案：B解析：根据方向角的定义结合北偏东30°方向，可知符合题意的图形是B.7.答案：C解析：8.答案：144 解析：四个小扇形的圆心角的度数分别为12336036,36072,360108123412341234⨯=⨯=⨯=︒+++++︒︒︒︒++︒++，43601441234⨯=+++︒︒，所以四个小扇形中圆心角度数最大的是144°. 9.答案：26解析：∵OE 平分∠BOC,∠COE=64°∴∠BOC=2∠COE=128°∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-128=52°∵OD 平分∠AOC∴∠AOD= 12∠AOC=12×52°=26°. 分析:首先根据OE 平分∠BOC,∠COE 等于64°可得∠BOC=128°,再由平角的定义可得∠AOC=180°-128=52°,然后根据OD 平分∠AOC 可求得∠AOD 的度数.10.答案：12解析：数轴上表示-3和-15的两点间的距离为|3(15)||31512---=-+=∣.。
【七年级数学几何培优竞赛专题】专题11 多边形的内角和【含答案】
专题11 多边形的内角和知识解读1．求不规则图形的角的和借助外角，将不规则图形的角转化到规则图形中，再求出这些角的和．2．内角化外角巧解题多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的.所以，我们可以利用外角和的不变来制约内角和的万变，把内角问题转化为外角问题来处理．3．少算（或多算）一个角的多边形多边形的内角和是180°的整数倍，在少算一个角时，总度数除以180°的余数加上少算的那个角的度数应该等于180°．4．截去一个角的多边形多边形被截去一个角后得到的新多边形可能和原多边形的边数相同，也可能比原多边形多一条边，也可能少一条边．培优学案典例示范：1．求不规则图形的角的和例1 如图所示八角星中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H+∠G的度数．提示：∠A+∠D=∠GMA，∠B+∠E=∠GNE，∠C+∠F=∠HPF，∠H+∠HPF=∠HQM．Q PN M HGFE C B A【技巧点评】求不规则图形的角的和时，经常借助“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”将两个角的和转化为一个角，同时将这些零散的角转化成规则图形的内角．跟踪训练1．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度．例2 多边形的内角中，锐角的个数最多有（）A．1个B．2个C．3个D．4个提示：多边形的外角和等于360°，而360°÷90°=4，所以多边形的外角中最多有3个钝角．【技巧点评】多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的.所以，可以把内角问题转化为外角问题来处理．跟踪训练2．已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，则这个多边形的边数是．3．少算（或多算）一个角的多边形例3 已知一个多边形除一个内角外的其余内角的和是2008°，求这个多边形的边数及这个内角的度数．提示：由于多边形的内角和一定能被180°整除，且每个内角都在0°到180°之间，2008°肯定不能被180°整除，且2008°÷180°得到的余数应该与所要求的内角的度数之和为180°．【技巧点评】多边形的内角和是180°的整数倍，这个性质是解决本题的关键．跟踪训练3．一个多边形的内角和与它的一个外角之和为1150°，求这个多边形的边数及这个外角的度数．4．截去一个角的多边形例4 一个多边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是720°，那么原多边形是几边形？提示：多边形截去一个角后，由于截线位置的不同，截后所剩的多边形的边数也会不同．如图1中的n 边形截去一个角后，或成为图2中的（n+1）边形，或仍成为图3中的n边形，也可能成为图4中的（n-1）边形．多边形被截去一个角后得到的新多边形可能和原多边形的边数相同，也可能比原多边形多一条边，也可能少一条边．跟踪训练4．一多边形的每个外角都是30°，将其截去一个角后得到的多边形的边数是多少？培优训练直击中考1．（2017·广西百色）多边形外角和等于（）A．180° B．360° C．720° D．（n－2）·180°2．（2017·云南）若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3．（2017·江苏苏州）如图11－4，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°图11-6图11-5图11-44．（2017·乌鲁木齐）如果正n 边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．（2017·山东莱芜）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．156．（2017·贵州黔南）如果一个正多边形的内角和等于外角和2倍，则这个正多边形是（ ）A ．正方形B ．正五边形C ．正六边形D ．正八边形7．（2017·湖南邵阳）如图11－5所示的正六边形ABCDEF ，连接FD ，则∠FDC 的大小为___________．8．（2017·江苏南京）如图11－6，∠1是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1＝65°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝___________．9．（2017·浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是____________．10．（2017·福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式l 如图11－7所示，则∠AOB 等于___________度．11．（2017·青海）如图11－8，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝_________．挑战竞赛1．（全国联赛）在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （）A ．0B ．1C ．3D ．52．（山东省竞赛）如图11－9，设∠CGE ＝，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ （ α）A ．360°－B ．270°－C ．180°+D ．2αααα图 11-10图 11-93．（重庆竞赛）如图11－10，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝________．4．（第17届希望杯）从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的，那么此n 边形的内角和为__________．495．（江苏省竞赛）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是__________．6．（希望杯）如图11－11，延长凸五边形的各边相交得到5个角，12345A A A A A ∠，∠，∠，∠，∠，它们的和等于__________；若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，1B 2B 3B 4B5B 则得到的n 个角的和等于_________．图11-11B 42。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十五讲 多边形的有关问题(含答案)
第十五讲 多边形的有关问题趣题引路】如图15-1，用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案． (1)第四个图案中有白色地面砖 块． (2)第n 个图案中有白色地面砖 块． 第一个图案有白砖数6， 6＝4×1＋2； 第二个图案有白砖数10，10＝4×2＋2； 第三个图案有白砖数14，14＝4×3＋2； 第四个图案有白砖数18，18＝4×4＋2； ……一般地，第n 个图案有白色地砖(4n ＋2)块．图15-1...知识拓展】1．多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．2．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策略，从凸n 边形的一个顶点引出的对角线把凸n 边形分成(n －2)个三角形，凸n 边形一共可引出(3)2n n -条对角线． 3．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用技巧．4．多边形的内角和为(n －2)180°；外角和为360°； 正多边形的每个内角为(2)180n n -，每个外角为360n．一、多边形的内角与外角例1 (2003年全国联赛题)在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )个． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5解析 由于任何凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不超过3个．又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个．实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形．故选C ．点评 把内角问题转化为外角问题考虑．例2 一个凸n 边形，除了一个内角外，其余(n －1)个角之和为2002°，求n 的值．解析 本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意n 为自然数且每个内角不大于180°这两个隐含条件．解 设除去的这个内角是x 度，则(n －2)×180°－x °＝2002°，那么(n －2)×180°＝2002°＋x°．显然2002°＋x °应是180°的倍数，故x °＝158°，这时求得n ＝14．二、多边形的边例3 (2002年全国竞赛题)若1239A A A A 是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )A ．B ．C ．()12a b + D ． a b + 解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力．不必画出完整图形，只需画出有用的局部图形．图15-215解 如图15-2，延长A 1A 2、A 5A 4．相交于点P ，连结A 2A 4，则A 2A 4// A 1A 5，且A 2A 4＝A 1A 3＝b ，因为正九边形的每一个内角为(92)1801409-⋅=，所以∠A 2A 1A 5＝∠A 4A 5A 1(92)18031402-⋅-⨯=60=，故△P A 1A 5和△P A 2A 4均为正三角形．所以A 2P ＝A 2 A 4＝A 1 A 3＝b ．于是A 1 A 5＝A 1 P ＝A 1 A 2＋A 2 P ＝a ＋b ．选D ．例4 (1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作A 1[如图15-3(1)]．将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2，[如图15-3(2)]；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3[如图15-3(3)]；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么，A 4的周长是 ．图15-3(1)解析 从基本图形入手计算，寻找规律．解 从A 1开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍．所以， A 2的周长是4343⨯=；A 3的周长是416433⨯=；A 4的周长是41664339⨯=．三、多边形的对角线问题例5 (1)计算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数．(2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论．解析(1)共有(103)10352-⨯=条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，则三角形个数为4581203⨯=个． (2)奇三角形个数是偶数．因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写的数在总和中计算了40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一定是偶数，偶三角顶点之和必为偶数．故奇三角形个数必为偶数．四、多边形的证明问题例6 已知凸六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形．求证：这样的六边形有无穷多个．解析 由n 边形(n ≥4)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个．故下面寻找是否存在六个正整数a 1，a 2，…，a 6(不妨设a 1≤a 2≤…≤a 6)，满足(1)12620a a a +++=；(2)12123234345456,,,,a a a a a a a a a a a a a a ≤+≤+≤+≤+≤； (3)123456++a a a a a a ++>．如果这样的六边形存在，则以126a a a ，，，为边长的六边形即符合要求．实际上，对任选三个整数61i j k a a a a ≤≤≤≤，必有i j k a a a +≤，可见此六边形的任意三边不能构成三角形，如121a a ==，32a =，43a =，55a =，68a =，满足上述全部条件．所以，这样的六边形有无穷多个．点评 本题首先证明了这样的六边形存在，然后根据n 边形(n ≥4)的不稳定性，说明这样的六边形有无穷多个．五、多边形中的开放性问题例7 (1999年全国联赛题)在正五边形ABCDE 所在平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形．这样的不同的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 可先动手画出简图．由△PCD 与△BCD 的面积相等及等积变换的思想，点点P 应在平行于CD 且与CD 的距离等于B 点到CD 的距离的直线l 上，这样的直线l有两条，且位于CD 的两侧．然后再根据△ABP 为等腰三角形确定点P 的个数．图15-4如图15-4，由S △PCD ＝S △BCD 知，点P 只能在直线l 1(即直线BE )与直线l 2上，其中l 2与CD 平行且与CD 的距离等于l 1与CD 的距离．在等腰△ABP 中，按其底边可分如下三种情形：(1)当AB 为底边时，AB 的垂直平分线分别与l 1、l 2交于P 1、P 2，则P 1、P 2是符合条件的点． (2)当P A 为底边时，以B 为圆心，BA 为半径作圆，与l 1交于P 3、P 4两点，则P 3、P 4符合条件． (3)当PB 为底边时，只有E 点符合条件．综上所述，共有P 1、P 2、P 3、P 4、E 五个点符合题设全部条件，故应选D ．点评 解答这类计数问题，需要分清谁是底，谁是腰，可直接通过作图确定点P 的个数，这里主要应用了交轨法．好题妙解】佳题新题品味例1 一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有( )A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条解析 每一内角为140°，得每一外角为40°，360°÷40°＝9，即边数为9，故从一个顶点可作对角线9－3＝6条，选D ．例2 设12n A A A 是一个有n 个顶点的凸多边形，对每一个顶点(1,2,3,,)i A i n ，将构成该角的两边分别反向延长至12,i i A A ，连接12,i i A A ，得到两个角12,i i A A ∠∠(扫描件版本中有错)，那么所有这些新得到的角的度数的和是 ．解析 注意每一内角与相邻的外角互补即可求． 故：n ×180°－(n －2)·180°＝360°．例3 正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上．解析 设甲走完x 条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了400x m ，乙走了4004636850xx ⨯=m ，甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m ，所以(368x ＋800)－400x ≤400．解得x ≥12.5．而x 为整数，取x ＝13． 所以，甲、乙走了40010450x=min 后走到一条边上．中考真题欣赏例4 (吉林省)如图15-5，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．(1)在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n 的代数式表示)．(2)设铺地面用瓷砖的总数为y ，请写出y 与(1)中n 的函数关系式(不要求写自变量n 的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？ (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？图15-5解析()()()() 1231n n n n n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++： 1 2 3 白砖： 1 2 2334 黑砖：34-1 2 45-2 3 56-3 4-解(1)n ＋3，n ＋2．(2)y ＝(n ＋3)(n ＋2)． (3)当y ＝506时，(n ＋3)(n ＋2)＝506， 解得n 1＝20，n 2＝－25(舍去)． 白色砖数：n (n ＋1)＝20×(20＋1)＝420． 黑色砖数：506－420＝86．(4)共需钱数：86×4＋420×3＝1604(元)(5)n (n ＋1)＝(n ＋2)(n ＋3)－n (n ＋1)，化简得n 2－3n －6＝0，解得n ．因n 的值不是整数， ∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．竞赛样题展示例1 (2004年江苏省初中竞赛题)在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为( )A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15解析 设这个多边形为n (n 为正整数)边形，由题意2002°<(n －2)×180°<2002°＋360°，111113159090n <<． 所以，n ＝14或15．选D ．例2 (2002年上海市竞赛题)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段？证明你的结论．解析(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连65152⨯=条． (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连541112⨯+=条． (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连732⨯条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条． (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A )只引出2条线段AB 、AC ，则不与A 相连的4点每2点必须连线，要连4362⨯=条．由B 引出的线段至少有2条，即除BA 外还至少有一条．因此，此时至少要连6＋2＋1＝9条．图15-6图15-6给出连9条线的情况．综合(1)~(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．例3 (第14届希望杯)两条直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连结线段： ①同直线上的点之间不连结；②连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n ＝1，2，3时，连结的线段最多各有多少条？(2)由(1)猜想n (n 为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论． (3)当n ＝2003时，所连结的线段最多有多少条？图15-7解析 (1)由图15-7可以看出，n ＝1时，最多可以连结1条线段，n ＝2时，最多可以连结3条线段，n ＝3时，最多可以连结5条线段．(2)猜想：对于正整数n ，则n 对点直接连结的直线段最多有2n －1条． 证明 将直线标记为l 1、l 2，它们上面的点从左到右排列分别为123,,,,n A A A A 和123,,,,n B B B B ，设这n 对点之间连结的直线段最多有P n 条，显然，其中必有n n A B 这一条，否则，P n 就不是最多的数． 当在l 1，l 2分别加上第n +1个点时，不妨设这两个点在A n 与B n 的右侧，那么除了原来已经有的P n 条直线段外，还可以连结A n+1B n ，An +1B n +1这两条线段，或连结A n B n +1，A n +1B n +1这两条线段． 所以P n +1≥P n +2．l 2l 1B n+1B i+1B i A n+1A n另一方面，设对于n +1对点有另一种连法：考虑图中以A n +1为端点的线段，若以A n +1为端点的线段的条数大于1，则一定可以找到一个i ≤n ，使得对于任意的j <i ，A n +1B j ，都不在所画的线段中，这时，B i +1，B i +2，...，B n +1，只能与A n +1连结，不妨设A n +1B i +1，A n +1B i +2，…，A n +1B n +1都已连结，此时图中的线段数为P n +1，我们做如下操作：去掉A n +1B i ，连结A n B i +1，得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与A n +1连结的线段只有一条A n +1B n +1为止．最后图中，与点B n +1相关的线段只剩两条，即A n B n +1，A n +1B n +1，去掉这两条线段，则剩余P n +1-2条线段，而图形恰是n 对点的连结图，所以P n +1-2≤P ． 由此我们得到P n +1=P n +2，而P 1=1，P 2=3，所以P n =1+2×(n -1)=2n -1． （3）当n =2003时，P 2003=4005（条）．过关检测】A 级1．一个凸n 边形共有54条对角线，则它的内角和是（ ） A ．1080° B ．1440° C ．1800° D ．1620°2．（1999年全国初中联赛试题）一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．143．（第12届“希望杯”邀请赛试题）凸n 边形中有且仅有两个内角为饨角，则n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm ．16cm12cm5．如图，ABCD 是凸四边形，AB =2，BC =4，CD =7，则线段AD 的取值范围是 ．DC BA6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ． 求证：AD 平分∠CDE ．EDBAB 级1．一个凸n（n≥4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则这样的凸多边形共有（）A．4种B．6种C．3种D．2种2．一个凸n边形最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n等于（）A．6 B．12 C．4 D．103．如图所示，CD//AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的大小．F EDCBA4．若凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°．求n所有可能的值．5．平面上给出4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形.请判断；这4个三角形中最多有几个锐角三角形？证明你的结论．6．已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数.问这样的多边形有几种？证明你的结论．()。
多边形和圆的初步认识-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.5多边形和圆的初步认识姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•邵东市期末）从五边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：从五边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是5﹣3＝2，故选：A．2．（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…A n，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，故选：C．11 / 1211 / 123．（2019秋•惠来县期末）下列说法中，正确的是（ ）A ．直线有两个端点B ．射线有两个端点C ．有六边相等的多边形叫做正六边形D ．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角【分析】根据直线、射线的性质，正多边形的性质，角的定义，可得答案．【解答】解：A 、直线没有端点，故A 错误；B 、射线有一个端点，故B 错误；C 、六条边相等，六个内角相等是正六边形，故C 错误；D 、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故D 正确；故选：D ．4．（2019秋•江汉区期中）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 【分析】根据n 边形的对角线有n(n−3)2条，把5代入即可得到结论． 【解答】解：由题意得，n(n−3)2=5，解得：n ＝5，（负值舍去），故选：B ．5．（2019春•浦东新区校级月考）以线段a ＝7，b ＝8，c ＝9，d ＝10为边作四边形，可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【分析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．【解答】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．故选：D ．6．（2019春•文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题06多边形角的计算
专题06多边形角的计算专题解读】在几何学习中，我们常常要研究一些变化过程中的不变量.比如，随着多边形边数的变化，英内角和在变化，而外角和则始终保持不变.因此，在分析与解决有关多边形的角的计算题时，我们往往以图形的确泄性分析为抓手，从基本图形的演变入手，在“变”与“不变”中探索规律.在解决问题的具体过程中, 常常化多边形问题为三角形问题.此外，我们还可设立未知数表达相关的呈:，最终建立方程求解问题.思维索引】例1.如图，从四边形ABCD的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画岀示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和.例2.在AABC中，ZC=90%点D, E分别是边AG BC上的点，点F是一动点・设ZFDA=a.乙FEB=B、ZDFE=n.（1）___________________________________________________ 如图1,若点尸在线段AB h,且” = 50。
，贝IJa+0= ________________________________________________ :（2）如图2,若点F在斜边BA的延长线上运动（CE>CD）,请直接写出小心”之间的关系_（3）若点F运动到△ABC形外（只需研究图3情形），则小“、B之间有何关系？并说明理由.C图1C图2 图3例3.如图：线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,我们把这个图形称为“8字型］根据三角形内角和容易得到：ZA + ZD=ZC+ZB・(1)利用“8 字型”：如图(1)： ZA+ ZB+ ZC+ ZD+ZE+ ZF= ___________________ :(2)构造“8 字型”：如图(2)： ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG= ___________________ :(3)发现“8字型”：如图(3)：BE、CD相交于点儿CF为ZBCD的平分线，EF为ZBED的平分2.如图，在IXXBC中，ZC= 50°,按图中虚线将ZQ剪去后，Z1 + Z2等于线.①图中共有个“8字型”;②若ZB： ZD：ZF=4： 6： x,求x 的值.素养提升1.如图是一个长方形和两个等边三角形，若Z3 = 50%则Z1 + Z2的值是A. 90°B. 100°C. 130°D.图2 图3第2題图180°A. 230°B. 210°C. 130°D. 310°A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°4. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080%那么原多边形的边数为()A. 7 B・7或8 C・8或9 D・7或8或95.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE 为() A. 360° B. 300。
七级数学思维探究多边形的边与角(含答案)
泰勒斯（公元前624-前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”25．多边形的边与角 解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180n -⨯︒随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360︒的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决例1 如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．试一试 运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7试一试 把凸多边形内角问题转化为外角问题．例3 凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570︒，求n 的值．试一试 设除去的角为x ︒，可建立关于x ，n 的不定方程；又0180x ︒<<︒，又可得到关于n 的不等式，故有两种解题途径，注意n 为自然数的隐含条件．例4 如图，四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．证明：180BAD EAF ∠+∠=︒．试一试 从四边形AECF 内角和入手． n 角星例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形()2n ≥，且12221n n B B B B +是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠++∠+∠度数．DGHABC EFDABCEF分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解 （1）180︒ （2）540︒（3）12221n n A A A A +∠+∠++∠+∠=（21n +个三角形1121n A B B +，221A B B ，332A B B ，…，2221n n n A B B -，21212n n n A B B ++的内角总和减去多边形12221n n B B B B +外角和的2倍）()()21180360223180n n =+⨯︒-︒⨯=-⨯︒．完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n 边形共有()12n n -条连线．例6 证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解 借助图表示这一抽象的思想．用点1A ，2A ，…，6A 代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．考虑1A 与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设12A A ，13A A ，14A A 同为红色；若23A A ，34A A ，42A A 中有红边，则有红色()12,4i j A A A i j △≤≤；若23A A ，34A A ，42A A 无红边，则234A A A △为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．数学冲浪 知识技能广场图①DAB CE图②D GHMN A BC EFIJ K LB 2n B 2n +1B 2B 3B 4B 5B 1B 9B 8B 7B 6A 2A 3A 4A 5A 1A 2nA 9A 87A 6A 2n +1图③A 2A 3A 4A 11．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若120A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=_______．2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的度数为_______．3．如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_____________．4．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为___________．5．将五边形纸片ABCDE 按如图所示的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在'E 、'D '上，已知76AFC ∠=︒，则'CFD ∠等于（ ）． A ．31︒ B ．28︒ C ．24︒ D ．22︒DABCE 1234A H GA'图①图②1234567图①图②6．如图，已知正五边形ABCDE 中，12∠=∠，34∠=∠，则x =（ ）． A ．30︒ B ．45︒ C ．40︒ D ．36︒7．一个凸多边形的每一内角都等于140︒，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）． A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ．6条8．一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400︒，则n 的值是（ ）． A ．15 B ．16 C ．17 D ．不能确定9．如图，已知DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．10．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，AE 、CF 分别平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥．思维方法天地 11．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为________．12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060︒，则原多边形是_________边形．13．如图，设120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．DBCEFE'1234x A BED ABCEDABCE14．如图，A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________．15．如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于（ ）． A ．360︒ B ．450︒ C ．540︒ D ．720︒16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002︒，则这个多边形的边数为（ ）． A ．12 B ．12或13 C ．14 D ．14或1517．有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）． A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转()0180αα︒︒<︒<︒，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则α︒角为（ ）． A ．720︒ B ．108︒或144︒ C ．144︒ D ．720︒或144︒19．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．20．已知凸四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图①，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明； （2）如图②，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明．GBCEFαDGHA BCEFIKGMN ABCEFDABCEF应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；（2）如图②，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？ 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，则有B BOD ∠=∠，又因为BOD ∠是POD △的外角，故BOD BPD D ∠=∠+∠，得BPD B D ∠=∠-∠．将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠，B ∠，D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则BPD ∠，B ∠，D ∠，BQD ∠之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论，求图④中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． 微探究 平面镶嵌DABCEF 图①F E CBAD图②图①图②图③DOPA BC图①DPABC图②DPQ AB C图③ABCEF图④平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360︒，镶嵌图案有下列多种方式：1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；2．用同一种正多边形进行镶嵌；3．用几种正多边形组合镶嵌．对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为x、y、z，则111x y z++的值为________．试一试从建立x、y、z的等式入手．例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则6090360m n+=，即2312m n+=，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．例3 问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+⋅=，整理得：238x y +=， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．解 设可以拼成凸n 边形，n 边形的内角只可能是60︒，90︒，120︒，150︒．并设其个数分别为x ，y ，z ，w （x ，y ，z ，w 为大于等于零的整数）． 则()60901201502180x y z w n x y z w n +++=⎧⎪⎨+++=-⨯⎪⎩①② 由②得2345612x y z w n +++=- ③ ①6⨯-③得43212x y z w +++= ④43212n x y z w x y z w =++++++=∴≤．由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．（1）当2n =时，由1243212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得320x y z ++=，()(),,,0,0,0,12x y z w =∴．这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150︒，如图①．O（2），当11n =时，由1143212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得321x y z ++=，()(),,,0,0,1,10x y z w =∴．这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120︒，其余各内角均为150︒，如图②．（3）当10n =时，由1043212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得322x y z ++=，()(),,,0,0,2,8x y z w =∴．这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120︒，有8个内角为150︒，如图③． （4）当9n =时，由943212x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩，得323x y z ++=，()(),,,0,0,3,6x y z w =∴．这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120︒，有6个内角为150︒，如图④．同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．练一练1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．图①十二边形()图②十一边形()图③十边形()图④九边形()图⑤八边形()图⑥七边形()图⑦六边形()图⑧五边形()2．花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n 圈，则共需砖_______块．3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）．A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n 边形地板砖铺满，则n 等于（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；A…（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．例1 不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．试一试 设ABC △的面积为S 、第三条高的长为h ，则ABC △三边都可用S 的代数式表示，由三边关系建立关于h 的不等式组．例2 已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a b c <≤，如果7b =，则这样的三角形共有（ ）． A ．21个 B ．8个 C ．9个 D ．4个试一试 a 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c 的取值范围，列表枚举出所有的可能性．例3 如图，已知P 为ABC △内任一点．（1）AB BC CA ++与()2PA PB PC ++哪个大？证明你的结论； （2）AB BC CA ++与PA PB PC ++哪个大？证明你的结论．试一试 对于（2），解题的关键是先证明：BP PC AB AC +<+， PA PC AB BC +<+，PA PB AC BC +<+．例4 现有长为150cm 的铁丝，要截成()2n n >小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段？试一试 因n 段之和为定值150cm ，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记(),,a b c 为三边分别为a ，b ，c 且a b c ≤≤的一个三角形．（1）试尽可能多地写出满足题意的(),,a b c ； （2）你能否提出一些进一步的问题？分析与解 （1）由题意可知24a b c ++=，且a b ca b c +>⎧⎨⎩≤≤，由此得811c ≤≤，即8c =，9，10，11，故满足题意的(),,a b c 共有如下12组：():2,11,11A ；():3,10,11B ；():4,9,11C ；():5,8,11D ；():6,7,11E ；():4,10,10F ；():5,9,10G ；():6,8,10H ；():7,7,10I ；():6,9,9J ；():7,8,9K ；():8,8,8L ． （2）以下问题供参考：①将长度为()7n n ≥的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；②将长度为()4n n ≥的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？ 练一练1．现有3cm 、4cm 、7cm 、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三PCBA角形的个数是________________．2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，7m AB =，一个行人P 在马路MN 上行走．问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_______米．4．将长度为25cm 的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a 、b 、c ，且满足a b c ≤≤，则(),,a b c 有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．5．三角形的三边长为3，4，1x -，那么x 的取值范围是（ ）． A ．08x << B ．28x << C ．06x << D ．26x <<6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ）． A ．55种 B ．45种 C ．40种 D ．30种7．7条长度均为整数的线段1a ，2a ，…，7a 满足177a a a <<<，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若11a =，721a =，则6a =（ ）． A ．18 B ．13 C ．8 D ．58．已知ABC △的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．在平面内，分别用3根，5根，6根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？ 11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？P NBA25．多边形的边与角 问题解决例1 连BC ，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=四边形EFBC 的内角和360=︒．例2 C 设凸多边形的边数为n ，n 个内角中恰有三个是锐角，则其余3n -个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即33n -≤，解得6n ≤．例3 设除去的角为x ︒，则()21802570n x -⨯=+，得2570360180x n ++=，130x =，17n =．例4 180EAF C ∠+∠=︒，又C BAD ∠=∠，故180BAD EAF ∠+∠=︒． 数学冲浪1． 30 2．60︒ 3．540︒4．6 得到的正多边形的一个内角为3602120120︒-⨯︒=︒． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．40B ∠=︒10．180DAB DCB ∠+∠=︒，90EAB FCB ∠+∠=︒，又90FCB CFB ∠+∠=︒，得EAB CFB ∠=∠，故AE CF ∥．11． 720︒ 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13． 240︒ 14．1080︒ 连KF 15．C 16．D 设这个多边形为n 边形（n 为正整数），由()200221802002360n ︒<-⨯︒<︒+︒，得111113159090n <<，14n =或15． 17．C 18．D 19．可以证明CD AF ∥ 20．（1）DE BF ⊥；（2）DE BF ∥（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．22．（1）不成立，结论是BPD B D ∠=∠+∠． （2）结论：BPD BQD B D ∠=∠+∠+∠． （3）360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒． 平面镶嵌（微探究）例1 依题意有：222180180180360x y z x y z ---⨯+⨯+⨯=，化简得11112x y z ++=． 例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种． 例3 问题再现：3验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩．结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练1．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +⨯+⨯++-=+-．当26n =时，()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +->=，故最多能完整地铺满26组，还剩2005195154-=（块）瓷砖．2． 660；600；266n n + 3． B4． C 由()2180135n n-⨯=，得8n =．5．（1）108︒；120︒；()2180n n-⨯︒（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．假定在接合处一共有k 块正n 边形地砖．由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n-⨯⋅=，即24222n k n n ==+--，因k 为整数，故2|4n -，21n -=，2，4，得3n =，4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程90135360m n ⋅︒+⋅︒=︒的整数解，即238m n +=的整数解．∵这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组，∴符合条件的图形只有一种．三角形三边关系（微探究）例1 设长度为4和12的高分别是边a 、b 上的，边c 上的高为h ，ABC △的面积为S ，则24S a =，212Sb =，2Sc h=，由22222412412S S S S Sh -<<+，得36h <<，又h 为整数且ABC △为不等边三角形，故5h =．a b c +>，列表如下：例3 （1） +AB PA PB <，BC PB PC <+，AC PC PA <+，相加得：()2AB BC CA PA PB PC ++<++． （2）如图，延长BP 交AC 于D ．在ABD △中，AB AD BD BP PD +>=+①， 在PDC △中，PD DC PC +>②，①+②，得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，同理AB BC PA PC +>+，AC BC PA PB +>+．相加得:()()22AB AC BC PA PB PC ++>++，故AB AC BC PA PB PC ++>++．例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1123455143150+++++=<，112345589232150++++++=>．故n 的最大值为10，共有以下7种方式：()1,1,2,3,5,8,13,21,34,62；()1,1,2,3,5,8,13,21,35,61；()1,1,2,3,5,8,13,21,36,60； ()1,1,2,3,5,8,13,21,37,59；()1,1,2,3,5,8,13,22,35,60； ()1,1,2,3,5,8,13,22,36,59；()1,1,2,3,5,8,14,22,36,58． 练一练1．2 2．等腰3．7 PA PB AB -≤，当A 、B 、P 在一条直线上时，等号成立．4．2 等腰 最长边介于周长的13和12之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有1111325++=，771125++=． 5．B 6．D7．B 只有当22a =，3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，64513a a a =+=时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．8．B 设第三条高线的长为h ，可得2043h <<．9．（1）不能搭成三角形（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．PDCBA11．不妨设a b c <<，则由30a b ca b c +=-⎧⎨+>⎩得1015c <<．因c 为整数，故11c =，12，13，14．当11c =时，10b =，9a =；当12c =时，11b =，7a =或10b =，8a =；当13c =时，12b =，5a =或11b =，6a =或10b =，7a =或9b =，8a =；当14c =时，13b =，3a =或12b =，4a =或11b =，5a =或10b =， 6a =或9b =，7a =．。
2021年中考复习数学 尖子生培优训练 多边形与平行四边形 (含答案)
2021中考数学尖子生培优训练多边形与平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 六边形的内角和是()A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°2. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE 绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.23. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD 是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形6. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A. 2 2B. 4 2C. 6 2D. 8 27. （2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（）A．1 B．C．D．8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1659. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A. (0，0)B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)10. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为.12. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．14. 如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠B＋∠C＝260°，则∠D的度数为________．15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．16. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是________．17. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．18. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．19. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.20. （2020·扬州）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．22. 如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．23. 如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线AF交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．24. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由.25. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5 BE，若AE=nDE，求n的值.图①图②图③，，，分别是26. 如图，O是平行四边形ABCD内任意一点，E F G HOA OB OC OD，，，的中点．若DE，CF交于P，DG，AF交于Q，AH，BG交于R，BE，CH交于S，求证：PQ SR．SR QPH GOEFDCB A2021中考数学 尖子生培优训练 多边形与平行四边形 -答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B 【解析】根据多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)×180°(n ≥3，且n 为整数)，计算可得．(6－2)×180°＝720°，故选B.2. 【答案】D [解析]由旋转的性质可知， △ADE ≌△ABF ，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D .3. 【答案】B【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE ＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.4. 【答案】B[解析] 设这个多边形的边数是n.由题意，得n－3＝2，解得n＝5.5. 【答案】B【解析】由平行四边形的对角线互相平分，知A选项正确；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，知C选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知D选项正确；由一组邻边相等的平行四边形是菱形，知B选项错误（因为B选项中是一组对边相等了），故选B．6. 【答案】A【解析】∵E，F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝22，则菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×22×2＝2 2.7. 【答案】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．故选：B．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB 的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．8. 【答案】A【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE和△CDF中，BC CDBCE CDF CE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，cos∠CBE=cos∠ECG=BC CG BE CE=，∴453CG=，CG=125，∴GF=CF﹣CG=5﹣125=135，故选A．9. 【答案】D【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E 作EF⊥OA，交OA于点F.由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE∽△EOF，∴COEO＝EOOF，∵OC＝OA＝5，OE＝OB2＝25，∴OF＝OE2CO＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．解图10. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13.根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36.则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题（本大题共10道小题） 11. 【答案】1612. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.13. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.14. 【答案】100°15. 【答案】24【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×8×6＝24.解图16. 【答案】84°[解析] 由题意，得∠AOE ＝108°，∠BOF ＝120°，∠OEF ＝72°，∠OFE ＝60°，∴∠EOF ＝180°－72°－60°＝48°.∴∠AOB ＝360°－108°－48°－120°＝84°.17. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.18. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE 中，BE＝12＋22＝5，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴FMEO＝BFBE，即FM1＝15，∴FM＝55.19. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.20. 【答案】93【解析】本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A作AM⊥BC于M，设EG、DC交于H．∵在Rt△AMB中，∠B=60°，AB=10，sin∠B=32AMAB=，∴AM=53，▱EFGC中，∵DF=4DE，∴ED=5DF，又EF=GC，∴5GC=，∵EF∥CG，∴△EHD∽△GHC，∴45DH ED EHHC CG HG===，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E在AB上如何运动，H始终是定点，H又在EG上，它到AB的最短距离就是HN，S▱ABCD=AM BC HN AB⨯=⨯，∴53843AM BCNHAB⨯⨯===，当动点E运动到与N重合（见答图2），EG最短，此时，HG=54NH=53，∴EG的最小值= HG+NH=93．因此本题答案为93．（答图1）（答图2）三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】(1)【思路分析】要证∠CEB＝∠CBE，结合CE∥DB，可得到∠CEB＝∠DBE，从而只需证明∠CBE＝∠DBE，结合△ABC≌△ABD即可得证．证明：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，(2分)∴∠CEB＝∠CBE.(3分)(2)证明：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，(5分)∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，(6分)∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．(8分)22. 【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，(1分)又∵四边形ABCD是平行四边形，∴MC∥AN，∴四边形CMAN是平行四边形．(2分)(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，又∵∠AED＝∠CFB＝90°，∴△AED≌△CFB(AAS)，(4分)∴DE＝BF＝4，∴在Rt△BFN中，BN＝32＋42＝5.(5分)23. 【答案】(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，(3分)∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(5分)(2)解：四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．(7分)∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形AFBD是矩形．(9分)24. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF.∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=OB，DF=OD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下: ∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA.∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理:CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形.25. 【答案】(1)证明：∵∠BED ＝∠BAD ，∠BPE ＝∠DP A ，∴∠ABE ＝∠ADF ，又∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ；(2)解：如解图①，延长ED 到点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，解图①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∴∠ABE ＝∠ADF ，∵BE ＝DF ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AF AE DF BE AD AB ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF 22AE AF +=5AE ，∵AE＝5BE，∴EF＝5AE＝5·5BE＝5BE，26. 【答案】设法证明四边形PORS为平行四边形．因为F，G分别为OB，OC的中点，所以FG BC∥，且12FG BC=，FG AD∥，且12FG AD=，从而F是AQ中点．同理可证，F是PC的中点（EF是PCD∆的中位线）．所以四边形APQC为平行四边形，PQ AC∥，PA AC=．同理，RS AC RS AC，∥=．因此PQ RS PQ RS，∥=，即四边形PQRS为平行四边形，故PQ RS=．说明本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS，APQC，ACRS像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．事实上，由于PQRS为平行四边形，我们还可得到PQ SR∥，PS QR∥，PS QR=，SQ与PR互相平分等等一系列结论．F为AQ的中点（同样G为DQ的中点）的断言可以证明于下：取AD中点M，连MF，则FG MD∥且FG MD=，所以四边形MFGD为平行四边形，MF DG∥．因此F为AQ的中点．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题15 几何证明
专题15 几何证明专题解读】几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分组成.解答几何证明题的一般步骤如下：审题，寻找证明的思路，书写证明过程，最终实现求证目标.几何证明是初中数学学习的重要组成部分，也是学好初中数学的重要一环.要学好几何证明，不但需要我们具有扎实的基础、科学的方法、良好的数学学习习惯，还需要具有敢于尝试、不怕挫折的勇气，更需要有吃苦耐劳、持之以恒的精神.思维索引】例1.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC=∠AOC，交边BC于点D.B图1 图2（1）如图1，求∠BOD的度数；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.①求证：BF∥OD；②若∠F=50°，求∠BAC的度数；③若∠F=∠ABC=40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度后得△B'OD'（0°<<360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值.例2.如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补. （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且 GH EG ，求证：PF /∥GH ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.CA图1 图2 图3例3.在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n.（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=_______，∠CDE=______；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由.BD①②③素养提升1.如图，AB CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（ ） A .122°B .151°C .116°D .97°CA（第1题） （第2题） （第3题）2.如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角形板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A .20°B .35°C .44°D .67°3.如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为3，则满足条件的格点C 的个数是（ ） A .2个B .4个C .5个D .6个4.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则图中∠1的度数是（ ） A .15°B .22.5°C .30°D .45°5.如图，AB ∥CD ，OE 平分∠BOC ，,OFOE OP CD ，∠ABO =，则下列结论：①∠BOE =1902；②OF 平分∠BOD ；③∠POE =∠BOF ；④∠POB =2∠DOF ，其中不正确的个数有（ ） A .1个B .2个C .3个D .4个CDA（第4题） （第5题） （第6题）6.如图，长方形ABCD 中，AB =4cm ，BC =3cm ，点E 是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .若点P 运动的时间为x 秒，那么当x =_______时，△APE 的面积等于5.7.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有_______个.8．如图，点A 、C 、F 、B 在同一直线上，CD 平分∠ECB ，FG //CD ．若∠ECA 为a ，则∠GFB 为 ．GDEB C DPC NEMABP 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 、BE 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP 、外角∠MBC ．以下结论：①AD //BC ；②DB ⊥BE ：③∠BDC +∠ABC =90°；④∠A +2∠BEC =180°；⑤DB 平分∠ADC ．其中正确的结论有： （填序号）．10．如图，若平面内有点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7、P 8，连接P 1P 3、P 2P 4、P 3P 5、P 4P 6、P 5P 7、P 6P 8、P 7P 1、P 8P 2，则∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠P 4+∠P 5+∠P 6+∠P 7+∠P 8的度数是 ．11．在△ABC 中，∠ACB =90°，BD 是△ABC 的角平分线，P 是射线AC 上任意一点（不与A 、D 、C 三点重合），过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，交直线BD 于E ． （1）如图1，当点P 在线段AC 上时，说明∠PDE =∠PED ．（2）作∠CPO 的角平分线交直线AB 于点F ，则PF 与BD 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．图 1 图 2CBAE DQP CBA12．探究与发现：如图1，在△ABC 中，∠B =∠C =45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE =∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD =60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系；（3）深入探究：如图2，若∠B =∠C ，但∠C ≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．图 1 图 2ABCDE EDCBA13．如图，AC⊥CB，垂足为C点，AC=CB=8cm，点Q是AC的中点，动点P由B点出发，沿射线BC 方向匀速移动．点P的运动速度为2cm/s．设动点P运动的时间为t s．为方便说明，我们分别记三角形ABC 面积为S，三角形PCQ的面积为S1，三角形P AQ的面积为S2，三角形ABP的面积为S3．（1）S3= cm2（用含t的代数式表示）；（2）当点P运动几秒，S1=1S，说明理由；4（3）请你探索是否存在某一时刻，使得S1=S2=S3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．AQC B14．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；……现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1、P2三等分边AB，R1、R2三等分边AC．经探究知四边，请证明．形P1P2R2R1的面积恰为△ABC的面积的13问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1、Q2三等分边DC．请探究四边形P1Q1Q2P2的面积与四边形ABCD的面积之间的关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求四边形P2Q2Q3P3的面积.问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S₂，S3，S4．请直接写出含有S1，S₂，S3，S4的一个等式．专题15几何证明思维索引】例1．(1)∠BOD ＝90°； (2)．①略 ②∠BAC ＝2∠F ＝100° ③x ＝30°，210° 例2．略例3．(1)64°，32° (2)∠BAD ＝2∠CDE (3)∠BAD ＝2∠CDE 素养提升】1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．A ； 6．103或5；7．20；8．90°－2α：9．①②③④；10．720°； 11．(1)略； (2)当P 在线段AC 上时，此时PF ∥BD ，当P 在线段AC 的延长线上时，PF ⊥BD ； 12．(1)30°； (2)∠EDC ＝12∠BAD ； (3)∠EDC ＝12∠BAD ； 13．(1)8t ； (2)当点P 运动2秒或6秒时，S 1＝14； (3)当43t =时，S 1＝S 2＝S 3； 14．(1) 122113ABC P P R R S S =△四边形； (2) 11223ABCD PQ Q P S S =四边形四边形； (3) 22331155P Q Q P ABCD S S ==四边形四边形； (4)S 2＋S 3＝S 1＋S 4．。
2021中考数学 尖子生专项复习：多边形与平行四边形(含答案)
2021中考数学尖子生专项复习：多边形与平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°2. 一个正六边形共有n条对角线，则n的值为()A．6 B．7 C．8 D．93. 如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则∠ABE的周长为()A.28B.24C.21D.144. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，=AB·AC，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.有下列结论:∠∠CAD=30°，∠S▱ABCD∠OB=AB，∠OE=BC，其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5. 将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将()A．减少180° B．增加180°C．减少360° D．增加360°6. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．117. （2020·泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（ ）A∠1cm B∠63 cm C∠∠2 3 —3∠cm D∠∠2— 3 ∠cm8. （2020·海南）如图，在□ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为( )A ．16B ．17C ．24D ．259. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．2110. (2020·潍坊)如图，点E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）A BCDEFGA21 B. 28 C. 34 D. 42二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，王明想从一块边长为60 cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是________ cm.12. 如图，▱ABCD 中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．13. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是________ __．14.∠2020·∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ABCD∠∠AD//BC∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠__________________∠∠∠∠∠ABCD∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠.15. 将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2)，则点B的坐标为.16. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放，它们都有一边在直线FEDCBA . ACl 上，且有一个公共顶点O ，则∠AOB 的度数是________．17. （2020·天津）如图，的顶点C 在等边的边上，点E 在的延长线上，G 为的中点，连接．若，，则的长为_______．18. 如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点A ，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共5道小题）19. （2020·黄冈）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ． 求证：AD ＝BE ．20. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∠B=45°，延长CD 到点E ，使DE=DA ，连接AE. (1)求证:AE=BC ;(2)若AB=3，CD=1，求四边形ABCE 的面积.ABCD BEF BF ABDE CG 3AD =2AB CF ==CG A21. （2020·鄂州）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且5AB =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．22. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；QEP NMDCBA（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？2021中考数学 尖子生专项复习：多边形与平行四边形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.2. 【答案】D[解析] 六边形的对角线的条数为6×（6－3）2＝9.3. 【答案】D[解析]因为平行四边形的对角线互相平分，OE ⊥BD ，所以OE 垂直平分BD ，所以BE=DE ，从而∠ABE 的周长等于AB +AD ，即▱ABCD 的周长的一半，所以∠ABE 的周长为14，故选D .4. 【答案】C[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°. ∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°， ∴∠ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE. ∵AB=BC ，∴AE=BC ，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°， 故①正确;∵AC ⊥AB ，∴S ▱ABCD =AB ·AC ， 故②正确;∵AB=BC ，OB=BD ，BD>BC ，∴AB ≠OB ，故③错误; ∵CE=BE ，CO=OA ， ∴OE=AB=BC ， 故④正确.5. 【答案】D[解析] (n ＋2)边形的内角和比n 边形的内角和大n·180°－(n －2)·180°＝360°.6. 【答案】C[解析] 设多边形有n 条边，则n －2＝11，解得n ＝13. 故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.7. 【答案】D【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HF BEF ∠=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．8. 【答案】A 【解析】 在R t △ABG 中，AG＝6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.9. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3，E CFHA B DG∴，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=7+5=12．故选A．10. 【答案】B【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵12DEAE=，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴DE DFAE AB=,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD的周长为28.故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2012. 【答案】1＜a＜7【解析】如解图，对角线AC，BD相交于点O，则OA＝1 2AC＝4，OD＝12BD＝3，在∠OAD中，OA－OD＜AD＜OA＋OD，即1＜a＜7.13. 【答案】5【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故答案为：5．14. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.15. 【答案】(4，2)[解析]因为四边形OABC是平行四边形，所以BC=OA=3. 所以点B (4，2).16. 【答案】84°[解析] 由题意，得∠AOE ＝108°，∠BOF ＝120°，∠OEF ＝72°，∠OFE ＝60°，∠∠EOF ＝180°－72°－60°＝48°.∠∠AOB ＝360°－108°－48°－120°＝84°.17. 【答案】32【解析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC 交EF 于点M ，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG 是DEM △的中位线是解题的关键．延长DC 交EF 于点M （图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM 是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C 、G 是DM 和DE 的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．如下图所示，延长DC 交EF 于点M ，，， 平行四边形的顶点C 在等边的边上，，是等边三角形， ．在平行四边形中，，， 又是等边三角形，， ． G 为的中点，，是的中点，且是的中位线，． 故答案为：．12EM 3AD =2AB CF ==ABCD BEF BF //DM AE ∴CMF ∴2AB CF CM MF =∴===ABCD 2AB CD ==3AD BC ==BEF 325BF BE EF BC CF ===+=+=∴523EM EF MF =∴=--=DE 2CD CM ==C ∴DM CG DEM △1322CG EM =∴=3218. 【答案】62≤a ≤3－3 【解析】∠ABCD 是正方形，∠AB ＝a ＝22AC ，∠a 的取值范围与AC 的长度直接相关．如解图∠，当A ，C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，a 的值最小，∠正六边形的边长为1，∠AC ＝3，∠AB ＝a ＝22AC＝62；如解图∠，连接MN ，延长AE ，BF 交于点G ，∠正六边形和正方形ABCD ，∠∠MNG 、∠ABG 、∠EFG 为正三角形，设AE ＝BF ＝x ，则AM ＝BN ＝1－x ，AG ＝BG ＝AB ＝1＋x ＝a ，∠GM ＝MN ＝2，∠BNM ＝60°，∠sin ∠BNM ＝sin 60°＝BC 2BN ＝a 21－x，∠3()1－x ＝a ，∠3()2－a ＝a ，解得，a ＝233＋1＝3－ 3.∠正方形边长a 的取值范围是62≤a ≤3－ 3.三、解答题（本大题共5道小题）19. 【答案】解：∵□ABCD ，∴∠AD ＝∠BC ，∴∠C ＝∠DAO ． ∵点O 为CD 的中点，∴DO ＝∠CO ．又∵∠AOD=∠EOC ，∴△AOD ≌△EOC ．∴AD ＝CE ．20. 【答案】解:(1)证明:∵AD ⊥CD ，AB ∥CD ， ∴∠ADE=∠DAB=90°.∵AD=DE ，∴∠E=∠DAE=45°， ∴∠EAB=135°.∵∠B=45°，∴∠B +∠EAB=180°，∴AE ∥BC ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴AE=BC.(2)由(1)知AB=CE ，∵CD=1，AB=3，∴DE=2.∵AD=DE ，∴AD=2，∴S 四边形ABCE =3×2=6.21. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB //CD ，OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠DCA ，又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点， ∴1122===AM AO CO CN ， 在AMB ∆和CND ∆中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD BAC DCA AM CN ，∴()△≌△AMB CND SAS ．(2)BD ＝2BO ，又已知BD ＝2AB ，∴BO ＝AB ，∴△ABO 为等腰三角形；又M 为AO 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM ⊥AO ，∴∠BMO ＝∠EMO ＝90°，同理可证△DOC 也为等腰三角形，又N 是OC 的中点，∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN ⊥CO ，∠DNO ＝90°，∵∠EMO ＋∠DNO ＝90°＋90°＝180°，∴EM //DN ，又已知EM ＝BM ，由(1)中知BM ＝DN ，∴EM ＝DN ，∴四边形EMND 平行四边形，又∠EMO ＝90°，∴四边形EMND 为矩形，在Rt △ABM中，由勾股定理有：3AM ==， ∴AM ＝CN ＝3，∴MN ＝MO ＋ON ＝AM ＋CN ＝3＋3＝6，∴6424EMND S MN ME =⋅=⨯=矩形．22. 【答案】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形．在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠∴AEC DEB ∆∆≌∴AC BD = ∴1122PQ AC BD PN ===.23. 【答案】 （1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． QE P NM DC B A因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289． 考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-．图5。
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第十五讲 多边形的有关问题趣题引路】如图15-1，用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案． (1)第四个图案中有白色地面砖 块． (2)第n 个图案中有白色地面砖 块． 第一个图案有白砖数6， 6＝4×1＋2； 第二个图案有白砖数10，10＝4×2＋2； 第三个图案有白砖数14，14＝4×3＋2； 第四个图案有白砖数18，18＝4×4＋2； ……一般地，第n 个图案有白色地砖(4n ＋2)块．图15-1...知识拓展】1．多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．2．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策略，从凸n 边形的一个顶点引出的对角线把凸n 边形分成(n －2)个三角形，凸n 边形一共可引出(3)2n n -条对角线． 3．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用技巧．4．多边形的内角和为(n －2)180°；外角和为360°； 正多边形的每个内角为(2)180n n -，每个外角为360n．一、多边形的内角与外角例1 (2003年全国联赛题)在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )个． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5解析 由于任何凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不超过3个．又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个．实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形．故选C ．点评 把内角问题转化为外角问题考虑．例2 一个凸n 边形，除了一个内角外，其余(n －1)个角之和为2002°，求n 的值．解析 本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意n 为自然数且每个内角不大于180°这两个隐含条件．解 设除去的这个内角是x 度，则(n －2)×180°－x °＝2002°，那么(n －2)×180°＝2002°＋x°．显然2002°＋x °应是180°的倍数，故x °＝158°，这时求得n ＝14．二、多边形的边例3 (2002年全国竞赛题)若1239A A A A 是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )A ．B ．C ．()12a b + D ． a b + 解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力．不必画出完整图形，只需画出有用的局部图形．图15-215解 如图15-2，延长A 1A 2、A 5A 4．相交于点P ，连结A 2A 4，则A 2A 4// A 1A 5，且A 2A 4＝A 1A 3＝b ，因为正九边形的每一个内角为(92)1801409-⋅=，所以∠A 2A 1A 5＝∠A 4A 5A 1(92)18031402-⋅-⨯=60=，故△P A 1A 5和△P A 2A 4均为正三角形．所以A 2P ＝A 2 A 4＝A 1 A 3＝b ．于是A 1 A 5＝A 1 P ＝A 1 A 2＋A 2 P ＝a ＋b ．选D ．例4 (1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作A 1[如图15-3(1)]．将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2，[如图15-3(2)]；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3[如图15-3(3)]；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么，A 4的周长是 ．图15-3(1)解析 从基本图形入手计算，寻找规律．解 从A 1开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍．所以， A 2的周长是4343⨯=；A 3的周长是416433⨯=；A 4的周长是41664339⨯=．三、多边形的对角线问题例5 (1)计算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数．(2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论．解析(1)共有(103)10352-⨯=条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，则三角形个数为4581203⨯=个． (2)奇三角形个数是偶数．因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写的数在总和中计算了40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一定是偶数，偶三角顶点之和必为偶数．故奇三角形个数必为偶数．四、多边形的证明问题例6 已知凸六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形．求证：这样的六边形有无穷多个．解析 由n 边形(n ≥4)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个．故下面寻找是否存在六个正整数a 1，a 2，…，a 6(不妨设a 1≤a 2≤…≤a 6)，满足(1)12620a a a +++=；(2)12123234345456,,,,a a a a a a a a a a a a a a ≤+≤+≤+≤+≤； (3)123456++a a a a a a ++>．如果这样的六边形存在，则以126a a a ，，，为边长的六边形即符合要求．实际上，对任选三个整数61i j k a a a a ≤≤≤≤，必有i j k a a a +≤，可见此六边形的任意三边不能构成三角形，如121a a ==，32a =，43a =，55a =，68a =，满足上述全部条件．所以，这样的六边形有无穷多个．点评 本题首先证明了这样的六边形存在，然后根据n 边形(n ≥4)的不稳定性，说明这样的六边形有无穷多个．五、多边形中的开放性问题例7 (1999年全国联赛题)在正五边形ABCDE 所在平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形．这样的不同的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 可先动手画出简图．由△PCD 与△BCD 的面积相等及等积变换的思想，点点P 应在平行于CD 且与CD 的距离等于B 点到CD 的距离的直线l 上，这样的直线l有两条，且位于CD 的两侧．然后再根据△ABP 为等腰三角形确定点P 的个数．图15-4如图15-4，由S △PCD ＝S △BCD 知，点P 只能在直线l 1(即直线BE )与直线l 2上，其中l 2与CD 平行且与CD 的距离等于l 1与CD 的距离．在等腰△ABP 中，按其底边可分如下三种情形：(1)当AB 为底边时，AB 的垂直平分线分别与l 1、l 2交于P 1、P 2，则P 1、P 2是符合条件的点． (2)当P A 为底边时，以B 为圆心，BA 为半径作圆，与l 1交于P 3、P 4两点，则P 3、P 4符合条件． (3)当PB 为底边时，只有E 点符合条件．综上所述，共有P 1、P 2、P 3、P 4、E 五个点符合题设全部条件，故应选D ．点评 解答这类计数问题，需要分清谁是底，谁是腰，可直接通过作图确定点P 的个数，这里主要应用了交轨法．好题妙解】佳题新题品味例1 一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有( )A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条解析 每一内角为140°，得每一外角为40°，360°÷40°＝9，即边数为9，故从一个顶点可作对角线9－3＝6条，选D ．例2 设12n A A A 是一个有n 个顶点的凸多边形，对每一个顶点(1,2,3,,)i A i n ，将构成该角的两边分别反向延长至12,i i A A ，连接12,i i A A ，得到两个角12,i i A A ∠∠(扫描件版本中有错)，那么所有这些新得到的角的度数的和是 ．解析 注意每一内角与相邻的外角互补即可求． 故：n ×180°－(n －2)·180°＝360°．例3 正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上．解析 设甲走完x 条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了400x m ，乙走了4004636850xx ⨯=m ，甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m ，所以(368x ＋800)－400x ≤400．解得x ≥12.5．而x 为整数，取x ＝13． 所以，甲、乙走了40010450x=min 后走到一条边上．中考真题欣赏例4 (吉林省)如图15-5，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．(1)在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n 的代数式表示)．(2)设铺地面用瓷砖的总数为y ，请写出y 与(1)中n 的函数关系式(不要求写自变量n 的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？ (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？图15-5解析()()()() 1231n n n n n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++： 1 2 3 白砖： 1 2 2334 黑砖：34-1 2 45-2 3 56-3 4-解(1)n ＋3，n ＋2．(2)y ＝(n ＋3)(n ＋2)． (3)当y ＝506时，(n ＋3)(n ＋2)＝506， 解得n 1＝20，n 2＝－25(舍去)． 白色砖数：n (n ＋1)＝20×(20＋1)＝420． 黑色砖数：506－420＝86．(4)共需钱数：86×4＋420×3＝1604(元)(5)n (n ＋1)＝(n ＋2)(n ＋3)－n (n ＋1)，化简得n 2－3n －6＝0，解得n ．因n 的值不是整数， ∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．竞赛样题展示例1 (2004年江苏省初中竞赛题)在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为( )A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15解析 设这个多边形为n (n 为正整数)边形，由题意2002°<(n －2)×180°<2002°＋360°，111113159090n <<． 所以，n ＝14或15．选D ．例2 (2002年上海市竞赛题)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段？证明你的结论．解析(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连65152⨯=条． (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连541112⨯+=条． (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连732⨯条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条． (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A )只引出2条线段AB 、AC ，则不与A 相连的4点每2点必须连线，要连4362⨯=条．由B 引出的线段至少有2条，即除BA 外还至少有一条．因此，此时至少要连6＋2＋1＝9条．图15-6图15-6给出连9条线的情况．综合(1)~(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．例3 (第14届希望杯)两条直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连结线段： ①同直线上的点之间不连结；②连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n ＝1，2，3时，连结的线段最多各有多少条？(2)由(1)猜想n (n 为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论． (3)当n ＝2003时，所连结的线段最多有多少条？图15-7解析 (1)由图15-7可以看出，n ＝1时，最多可以连结1条线段，n ＝2时，最多可以连结3条线段，n ＝3时，最多可以连结5条线段．(2)猜想：对于正整数n ，则n 对点直接连结的直线段最多有2n －1条． 证明 将直线标记为l 1、l 2，它们上面的点从左到右排列分别为123,,,,n A A A A 和123,,,,n B B B B ，设这n 对点之间连结的直线段最多有P n 条，显然，其中必有n n A B 这一条，否则，P n 就不是最多的数． 当在l 1，l 2分别加上第n +1个点时，不妨设这两个点在A n 与B n 的右侧，那么除了原来已经有的P n 条直线段外，还可以连结A n+1B n ，An +1B n +1这两条线段，或连结A n B n +1，A n +1B n +1这两条线段． 所以P n +1≥P n +2．l 2l 1B n+1B i+1B i A n+1A n另一方面，设对于n +1对点有另一种连法：考虑图中以A n +1为端点的线段，若以A n +1为端点的线段的条数大于1，则一定可以找到一个i ≤n ，使得对于任意的j <i ，A n +1B j ，都不在所画的线段中，这时，B i +1，B i +2，...，B n +1，只能与A n +1连结，不妨设A n +1B i +1，A n +1B i +2，…，A n +1B n +1都已连结，此时图中的线段数为P n +1，我们做如下操作：去掉A n +1B i ，连结A n B i +1，得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与A n +1连结的线段只有一条A n +1B n +1为止．最后图中，与点B n +1相关的线段只剩两条，即A n B n +1，A n +1B n +1，去掉这两条线段，则剩余P n +1-2条线段，而图形恰是n 对点的连结图，所以P n +1-2≤P ． 由此我们得到P n +1=P n +2，而P 1=1，P 2=3，所以P n =1+2×(n -1)=2n -1． （3）当n =2003时，P 2003=4005（条）．过关检测】A 级1．一个凸n 边形共有54条对角线，则它的内角和是（ ） A ．1080° B ．1440° C ．1800° D ．1620°2．（1999年全国初中联赛试题）一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．143．（第12届“希望杯”邀请赛试题）凸n 边形中有且仅有两个内角为饨角，则n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm ．16cm12cm5．如图，ABCD 是凸四边形，AB =2，BC =4，CD =7，则线段AD 的取值范围是 ．DC BA6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ． 求证：AD 平分∠CDE ．EDBAB 级1．一个凸n（n≥4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则这样的凸多边形共有（）A．4种B．6种C．3种D．2种2．一个凸n边形最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n等于（）A．6 B．12 C．4 D．103．如图所示，CD//AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的大小．F EDCBA4．若凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°．求n所有可能的值．5．平面上给出4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形.请判断；这4个三角形中最多有几个锐角三角形？证明你的结论．6．已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数.问这样的多边形有几种？证明你的结论．()。