初中数学竞赛辅导资料全
初中数学竞赛辅导资料
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函数的图象
甲内容提要
1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做
函数y=f(x)的图象.
例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l. ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ； ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.
2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.
二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程
点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：
二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线；
二元分式方程y=x
k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：
① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；
② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；
③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式
f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.
④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等
超级资源(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a
ac
b b x 2422
,1-±-=
内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.
思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A 、一4
B 、8
C 、6
D 、0
思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .
思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】
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质数 合数
甲内容提要
1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,
这样的正整数叫做合数.
2 根椐质数定义可知
① 质数只有1和本身两个正约数,
② 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,
3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.
乙例题
例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数
解：∵两个质数的和等于奇数
∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a －2.
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数
解：∵质数m 只含两个正约数1和m,
又∵－1－m=m
∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.
例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30
求适合条件的a,b,c 的值
解：分解质因数：30＝2×3×5
适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===53
2c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩
⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.
例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.
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解合字母系数方程 时，在未指明方程类型时，应分 及 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 .
走进追问求根公式学历训练
1、已知 、 是实数，且 ，那么关于 的方程 的根为.
2、已知 ，那么代数式 的值是.
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分 或 、 中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出 、 的值.
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
A、 B、 或 C、 D、
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于 的不等式组，综合判断选择.
【例3】 已知关于 的方程 ，
(1)求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长 ＝1，另两边长 、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.(湖北省荆门市中考题)
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法.
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第一篇一元一次方程的讨论
第一部分基本方法
1.方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解
分别是： x =－3,x =0或x =1, x =±6,所有的数，无解。
2.关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，
讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =
a
b ； 当a =0且b ≠0时，无解；
当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）
3.求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；
当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b
第二部分典例精析
例1a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
例2k 取什么整数值时，方程①k (x +1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k =6的解是负整数？
例3 己知方程a (x －2)=b (x +1)－2a 无解。问a 和b 应满足什么关系？
例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a +（2x －3）b =8x －7有无数多解？
第三部分典题精练
1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,
那些年，我用过的最实用的初中数学教辅资料——竞赛辅导篇
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今天，为大家带来初中数学竞赛学习过程中的几大宝书，本本经典，绝对值得一看~
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TOP6：奥林匹克竞赛解题方法大全
适合人群：对于竞赛刷题及题目整合有需求的同学
难度定位：竞赛难度，综合性较强
内容特色：该书胜在选题，前后关联性较强，对于竞赛学完刷题串思路有所帮助
推荐理由：这本书第一次看到是在我超常班的课堂上一个孩子买的，当时我就寻思拿起来看看，随手一翻，还别说，题目设置很有深度，然后我就多看了几眼~从目录到内容，稍微深度阅读了一下，发现这本书依然经得住考验，本书直指杯赛，分为题型介绍和解题方法两部分，直接把考试聚焦到几个专题知识上，目标很明确，这样如果孩子想要进行突击型训练的话，会有一定帮助！同时，如果是想要梳理知识体系框架，也可以尝试一下这本书提到的方法，说不定对你有帮助呢~
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内容特色：完整的全套初中竞赛全部包含，自成体系
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初中数学竞赛辅导资料全
第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，
讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =
a
b ； 当a =0且b ≠0时，无解；
当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）
3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；
当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b
第二部分 典例精析
例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？
例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？
例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
第三部分典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,
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初中数学比赛专题选讲
识图
一、内容概要
1.几何学是研究物体形状、大小、地点的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的会合。点是构成几何图形的基本元素。《平
面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和互相地点。
3.几何里的点、线、面、体其实是不可以离开物体而独自存在的。所以独自
研究点、线、面、体，要靠正确的想像
点：只表示地点，没有大小，不行再分。
线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点构成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线构成的，“线动成面” 。
4.由于任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以辨别图形的组
合关系是学好几何的重要基础。
辨别图形包含静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中
的地点、数目的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注
意一般图形和特别图形的差异。
二、例题
例 1. 数一数甲图中有几个角（小于平角）乙图中有几个等腰三角形丙图中
有几全等三角形丁图中有几平等边三角形
E A
甲A
D
D 丙
C丁
乙
O O
C
D
B A
B
B E C
解：甲图中有10 个角：∠ AOB, ∠ AOC,∠ BOC,∠BOD,∠ COD,∠ COE,∠ DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.假如OA和OC成向来线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有 5 个等腰三角形：△ ABC，△ ABD，△ BDC，△ BDE，△
DEC 丙图中有全等三角形 4 对： ( 设 AC和 DB订交于 O)
△AOB≌△ COD，△ AOD≌△ BOC，△ ABC≌△ CDA，△ BCD≌△ DAB。
初中数学竞赛辅导资料(初一用)
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第一讲 数的整除
一、内容提要：
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y
解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。 ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8
∴x ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.
练习一
1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）
①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除，那么a=_______________
最新的初中数学竞赛辅导讲座讲(全套)
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
第一讲 有 理 数
一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；
2、灵活运用运算法则；
3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆
法等）。
三、例题示范
1、数轴与大小
例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，
那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？
例2、 将99
98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；
提示2：先考虑其相反数的大小顺序；
提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c
a b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c
a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=n
a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非
负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
初中数学竞赛辅导资料
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概念的定义
甲内容提要和例题
1.概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。
例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一
概念指的是桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，
3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
4.理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：
①明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；
②明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
5.概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）
初中数学竞赛辅导材料目录
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一、初中数学竞赛基础知识
1.数集及其运算
-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则
2.代数式与方程
-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用
-一次函数的定义、性质与图像
-一元二次方程的解法及应用
3.几何基本概念
-点、线、面、角的定义与性质
-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定
-多边形、三角形、四边形的性质
4.图形的相似与投影
-图形的相似判定条件及相似比的计算
-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用
5.数据的整理与表示
-数据的收集、整理、描述和分析方法
-列联表的制作与应用
-分组频数统计图的制作与读图
6.立体几何
-空间图形的基本概念及性质
-空间图形的展开与剖析
-空间图形的体积与表面积计算方法
二、初中数学竞赛解题技巧与方法
1.快速计算技巧
-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）
2.思维训练与问题解决
-近似计算与估算的方法与应用
-分析解题条件与利用信息求解问题
-数学问题的逻辑和推理方法
3.策略与技巧
-消元法与代入法的使用
-枚举与特例法的应用
-逆向思维与反证法的运用
4.考试技巧与应试心理
-数学竞赛常见题型的解题思路
-如何正确阅读题目与审题技巧
-考试时间分配与答题顺序规划
-心理调适与压力应对方法
三、数学竞赛真题及解析
1.真题分析与解题方法讲解
-分析数学竞赛真题的特点与难点
-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧
-真题解析与解题思路讲解
2.解题思路总结与题型归纳
初中数学培优辅导资料(1-10)讲
初中数学竟赛辅导资料(1)
数的整除（一）
内容提要：
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y
解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除，那么a=_______________
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初中数学竞赛辅导资料(70)
正整数简单性质的复习
甲. 连续正整数
⼀. n 位数的个数：⼀位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数
从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)
练习：1. ⼀本书共1989页，⽤0到9的数码，给每⼀页编号，总共要⽤数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是⼀个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.
3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.
4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；
从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.
⼆. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2
n . 把它推⼴到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.
练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.
6. 1+3+5+……+99=____________.
7. 5+10+15+……+100=_________.
8. 1+4+7+……+100=____________.
9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______
10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.
11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
第一讲 有 理 数
一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；
2、灵活运用运算法则；
3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆
法等）。
三、例题示范
例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，
那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？
例2、 将99
98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；
提示2：先考虑其相反数的大小顺序；
提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c
a b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c
a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=n
a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非
负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
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原式=(x-2)(x2-2x+2)．
例8： 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2． 分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1， ±2为：
所以，原式有因式9x2-3x-2． 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1)
把一个分式分为部分分式的一般步骤是： （1）把一个分式化成一个整式与一个真分式的和； （2）把真分式的分母分解因式； （3）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待
定系数来表示成为部分分式的形式； （4）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出
关于待定系数的方程或方程组； （5）解方程或方程组，求待定系数的值； （6）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部分
４．待定系数法
例５： 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题 得到解决． 解： 设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3
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第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，
讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =
a
b ； 当a =0且b ≠0时，无解；
当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）
3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；
当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b
第二部分 典例精析
例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解
③有无数多解④是正数解
例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数②（1－x）k=6的解是负整数
例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系
例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解
第三部分 典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,
⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x
2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________
3. 在方程a (a －3)x =a 中，
当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；
当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数
① x =k
4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数 ②是非负数
6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零 ②是正数
7. 己知方程
221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系
8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(
-=-的解是整数
9. 己知方程ax x b 2
31)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax +by =c 中，
若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。即
如果（a ,b ）|c 则方程ax +by =c 有整数解
显然a ,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x +5y =1, 5x －2y =7, 9x +3y =6都有整数解。
返过来也成立，方程9x +3y =10和 4x －2y =1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ,b ）中的a ,b 实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax +by =c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x +11y =1的整数解
解：x =
5111y -=y y y y 25
15101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y =1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x =k －2 (1－5k )=11k －2
∴原方程所有的整数解是⎩⎨
⎧-=-=k
y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩
⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x ,y 的不等式组，确定k 值
②用观察法直接写出。
第二部分典例精析
例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解
例2 求方程5x+6y=100的正整数解
例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本
第三部分典题精练
1. 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2.求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材
4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个答：（填编号）
③4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分
7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：