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初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。
初中数学培优辅导资料(11—20讲)(1)
初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
初中数学竞赛辅导资料为(完全平方数和完全平方式)
初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，，121都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围（a+）2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0；如果b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b）2 中当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1.在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中①若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；②若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.2.在整系数方程x2+px+q=0中①若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；②若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.解这个方程，得m1=0.5, m2=2.解不等式m－1>0 ，得m>1.即它们的公共解是m=2.答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式.例3. 已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m2(m为整数)，即（－5）2－4k=m2(m为整数)，解得，k=.∵k是非负整数，∴由25－m2≥0，得，即－5≤m≤5；由25－m2是4的倍数，得m=±1, ±3, ±5.以m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=.求得k= 6,4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.设3k2－1＝m2(m是整数).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.当k为偶数，m为奇数时，左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立.∴3k2－1不是整数的平方，16（3k2－1）也不是整数的平方.∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根丙练习461.如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2.如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.3.如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5.一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6.m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？7.m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？8.a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.10.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11.已知四位数是平方数，试求a, b.12.已知：n是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数.13.已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值.14.已知：a, b是自然数且互质，试求方程x2－abx+(a+b)=0的自然数解.(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题) 返回目录参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(5)
全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（5）1、求函数值和函数表达式：例1：已知()44551912-+=-x x x f ，求()x f 。
例2：若函数()21x x g -= ，()[]221x x x g f -=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛43f 。
例3：已知函数()535++-=x bx ax x f ，其中a 、b 为常数，若()75=f ，求()5-f 。
例4：函数()x f 的定义域是全体实数，并且对任意实数x 、y ，有()()xy f y x f =+，若()9919=f ，求()1999f 。
2、建立函数关系式：例5：直线l 1过点A （0，2），B （2，0），直线l 2：b mx y +=过点C （1，0），且把ΔAOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图象。
例6：已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式。
3、含绝对值的函数：例7：作函数|1||3|-+-=x x y 的图象。
例8：作函数|65|2+-=x x y 的图象。
例9：点（x ，y ）满足方程2|2||1|=++-y x ，求它的图象所围成区域的面积。
例10：m 是什么实数时，方程05||42=+-x x 有四个互不相等的实数根？解答：（1）()3093192++=x x x f ；（2）3；（3）3；（4）99；（5）()0221<≤--=m m S ；（6）()604329222<<++-=x x x S CD AE （7）略。
（8）略。
（9）8。
（10）51<<m 。
练习：1、填空：（1）已知()44551912-+=-x x x f ，则()x f 。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
全国初中(7年级)数学竞赛辅导：第10讲-整式的乘法与除法
全国初中〔初一〕数学竞赛(jìngsài)辅导第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念根底上开展起来的，因而保存着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四那么运算就可以在许多方面与数的四那么运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最根底的局部，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法那么的根底上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法那么：(1)a M· a n=a M+n； (2)(ab)n=a n b n；(3)(a M)n=a Mn； (4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为(yīn wèi)x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要到达正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)=13x-7=9-7=2．说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n=1+(-x)n．说明本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n．例4 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．分析(fēnxī)与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．例5 设x，y，z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解先将条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．所以条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以说明(shuōmíng)本例中屡次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．多项式的除法比拟复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．解法1 用普通的竖式除法解法2 用待定系数法．由于(yóuyú)f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首r(x)= bx+ c．根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得x3-3x2-x-1比拟两端系数，得例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，假设设f(x)=x4+ax2-bx+2，假设f(x)能被x2+3x+2整除，那么x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0，①当x=-2时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0，②由①，②联立，那么(nà me)有练习十1．计算：(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4；(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．2．化简：(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．3．z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．本资料来源于?七彩教育网?。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数⼀. n 位数的个数：⼀位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. ⼀本书共1989页，⽤0到9的数码，给每⼀页编号，总共要⽤数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是⼀个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.⼆. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推⼴到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为⽌：位198011121234567891这个数⽤9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是⼀个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这⼀数中划去100个数字，使剩下的数尽可能⼤，那么剩下的数的前⼗位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是m n +2m n +…+??i m n . [x]表⽰不⼤于x 的最⼤正整数，i=1,2,3… m i ?n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：+????2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积5的个数是：____16.⼀串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都⼩于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.⼄. 正整数⼗进制的表⽰法⼀. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0?a i ?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最⾼位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除⼆. 常见的⼀些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何⼀个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-?-n n=)13110(3110+-?-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明：把⼀个⼤于1000的正整数分为末三位⼀组，其余部分⼀组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平⽅数. 丙. 末位数的性质.⼀.⽤N (a)表⽰⾃然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本⾝.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本⾝.2. N (a)=N (b)?N (a －b)=0?10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ；和②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.⼆. ⾃然数平⽅的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平⽅的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. ⽤这⼀性质计算连续整数平⽅的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平⽅的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平⽅数提供了⼀种⽅法例题2. 求证：任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.证明：(⽤反证法)设五个连续整数的平⽅和是完全平⽅数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何⾃然数平⽅的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成⽴∴任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.3.判断不是完全平⽅数的其他⽅法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平⽅数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平⽅之间∴a(a+1)+1不是完全平⽅数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平⽅数证明：根据奇数的平⽅数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，⽽不是1，∴它不是完全平⽅数.例题5. 求证：任意两个奇数的平⽅和，都不是完全平⽅数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平⽅和，都不可能是完全平⽅数.三. 魔术数：将⾃然数N 接写在每⼀个⾃然数的右⾯，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的⾃然数，其末位数是1，2，5 (即10的⼀位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的⾃然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的⾃然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在⼩于130的⾃然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续⾃然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是⾃然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻⾃然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的⼀种分类：??).1(.)1( 1然数整除和本⾝外还能被其他⾃除合数；然数整除和本⾝外不能被其他⾃除质数； 2. 质数中，偶数只有⼀个是2，它也是最⼩的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续⾃然数，个个都是合数.解：答案不是唯⼀的，其中的⼀种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.⼀般地，要写出n 个连续⾃然数，个个是合数，可⽤令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2?i ?n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ，与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最⼩公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续⾃然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这⾥11=10+1，即N 是不⼤于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的⼀种分类：)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：①两个连续整数必⼀奇⼀偶，其和是奇数，其积是偶数.②奇数的平⽅被4除余1；偶数的平⽅能被4整除；除以4余2或3的整数不是平⽅数.a) 2n (n 为正整数)不含⼤于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必⼀奇⼀偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必⼀奇⼀偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有⼀个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从⽽m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求⽅程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴⽅程左、右两边不能相等.若x, y 为⼀奇⼀偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴⽅程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，⽅程两边都不能相等.所以原⽅程没有整数解本题是根据整数的⼀种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了⽅程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的⽴⽅和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：⽅程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： =?=++++.0321321n x x x x x x x x n n ；求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是⼤于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘⽅的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期⼀，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, ⾄少有两个是同余数，这是为什么？ 45. a 是整数，最简分数7a 化为⼩数时，若为循环⼩数，那么⼀个循环节最多有⼏位？4. 运⽤余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进⾏检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ；② 2473×429=1060927.解：①⽤各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7，∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.⽽7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有⽆差错：①372854－83275=289679 ；②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应⽤例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有⼀个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复⼜不违漏)例4. 已知： p ?5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1；只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数，符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平⽅和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：⾃然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果有⼀个是质数，则另⼀个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，⾄少有⼀个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. ⼆元⼀次⽅程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有⼀个整数的特解?==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ?-=+= 2. 运⽤整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数，整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)⾃然数=整数3. ⼀元⼆次⽅程，⽤求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. ⼩军和⼩红的⽣⽇.都在10⽉份，且星期⼏也相同，他们⽣⽇的⽇期的和等于34，⼩军⽐⼩红早出⽣，求⼩军的⽣⽇.解：设⼩军和⼩红的⽣⽇分别为x, y ，根据题意，得=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ==.2410y x ，当k=4时，?==.313y y x ， (10⽉份没有31⽇，舍去) ∴⼩军的⽣⽇在10⽉10⽇例2. 如果⼀个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平⽅和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初⼆数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ，且－8( 1)当a －b+c=0时，得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理??-=-=+.2522121c c a a c a a ，这是必要⽽⾮充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐⼀讨论a 的解.当 c=2, 4时，⽆实数根；当c=1, 3时，⽆整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时，得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐⼀以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满⾜等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最⼤值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成⽴. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初⼆数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的⼆次⽅程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初⼆数学双基赛题） 56.若关于x 的⼆次⽅程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初⼆数学双基赛题） 57.不等边三⾓形的三条边都是整数，周长的值是28，最⼤边与次⼤边的差⽐次⼤边与最⼩边的差⼤1，适合条件的三⾓形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直⾓三⾓形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于⾯积的数值，求各边长. 59.鸡翁⼀，值钱；，鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各⼏何？ 60. 甲买铅笔4⽀，笔记本10本，⽂具盒1个共付1.69元，⼄买铅笔3⽀，笔记本7本，⽂具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、⽂具盒各1，应付⼏元？若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤⾃然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.516. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5⽽25，100，175，……700含有52因数，应各加且250，625，含有53因数，应再各加1个5625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是17. ??+++625198912519892519895198918. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19.因为它们都⼩于2n,n 组中的⼀个互质.20. 易证能被21. 原数=(10n22. 原数=91=(3110-n )2=( 个n 2)3333( (109－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第⼆因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++?-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配⽅，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17，那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)⽭盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期⼆，∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵⽤9除的余数 11－7≠5，②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平⽅后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.； x 2=16-m . ∵⽅程的根是⾃然数，∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=??-=? 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =??=? ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4；或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3. 56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏⼀只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=++=??消去⼀元，得⼆元⼀次⽅程： 7x+4y=200. 求⾃然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ============???? 60.=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。
(完整word版)初中数学竞赛辅导资料(七年级用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。
0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征:①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除)又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。
∵328＋92x ＝567,∴x=3例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8 ∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但(1＋2＋4）－(0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41，52，63,均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除,那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中竞赛书籍推荐数学试卷
在初中阶段，参加各类竞赛对于提高学生的数学素养和应试能力具有重要意义。
为了帮助同学们在竞赛中取得优异成绩，本文为您推荐几本优秀的初中数学竞赛书籍，并附上相应的试卷，供同学们参考和练习。
一、书籍推荐1.《初中数学竞赛一本通》本书由我国著名数学家、竞赛教练编写，内容涵盖了初中数学竞赛的各个知识点，包括数论、组合、几何、概率与统计等。
书中不仅有详细的解题方法，还配有大量的例题和习题，帮助同学们巩固所学知识。
2.《数学奥林匹克竞赛试题精选》本书收集了全国各地数学竞赛的真题，内容丰富，难度适中。
书中不仅提供了详细的解答过程，还附有答案解析，帮助同学们掌握解题技巧。
3.《初中数学竞赛必备》本书是专为初中数学竞赛设计的辅导书，涵盖了竞赛中的所有知识点，并配有大量的例题和习题。
书中还介绍了各种解题方法和技巧，帮助同学们在竞赛中脱颖而出。
二、试卷推荐1.数论试卷（1）已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，且a+b+c=100，求a、b、c的值。
（2）设正整数m、n、p、q满足m^2+n^2=p^2+q^2，且m+n+p+q=100，求m、n、p、q的值。
2.组合试卷（1）从1到9这9个数字中，任取3个不同的数字，组成一个三位数，求这个三位数的个数。
（2）从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字，组成一个四位数，求这个四位数的个数。
3.几何试卷（1）已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，求BC的长度。
（2）在平面直角坐标系中，点A（2，3）、B（5，1），求线段AB的长度。
4.概率与统计试卷（1）一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个绿球，随机取出一个球，求取到红球的概率。
（2）某班有40名学生，其中男生20名，女生20名。
随机选取3名学生，求这3名学生中至少有2名男生的概率。
通过以上书籍和试卷的推荐，相信同学们在初中数学竞赛中能够取得优异的成绩。
在备考过程中，同学们要注重基础知识的学习，掌握各种解题方法，多做题、多总结，不断提高自己的数学素养。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
全国初中数学竞赛辅导(初1)_绝对值
第七讲初中数学竞赛中绝对值的应用（一）绝对值在计算中应用从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．因为这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．因为绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法实行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式实行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在实行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就能够分类讨论化简了。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数②（1－x）k=6的解是负整数例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数① x =k4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数 ②是非负数6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零 ②是正数7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
第二篇 二元一次方程的整数解第一部分 基本方法1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax +by =c 中，若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。
即如果（a ,b ）|c 则方程ax +by =c 有整数解显然a ,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x +5y =1, 5x －2y =7, 9x +3y =6都有整数解。
返过来也成立，方程9x +3y =10和 4x －2y =1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ,b ）中的a ,b 实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：若方程ax +by =c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x +11y =1的整数解解：x =5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y =1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x =k －2 (1－5k )=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x ,y 的不等式组，确定k 值②用观察法直接写出。
第二部分典例精析例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解例2 求方程5x+6y=100的正整数解例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本第三部分典题精练1. 求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42.求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=1103.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个答：（填编号）③4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：第三篇 二元一次方程组解的讨论第一部分 基本方法1. 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）第二部分 典例精析例1. 选择一组a ,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数例4. （古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒第三部分 典题精练1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x1． a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数2． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+a y x ay x 24352的解x 和y 都是正整数3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少第四篇 用交集解题第一部分 基本方法1. 某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
1． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。
2． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组⎩⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3.0 2 34．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。
（如例2）第二部分典例精析例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人数学兴趣小组共有几人［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球19xy能被33整除，求x和y的值例5.十进制中，六位数87第三部分典题精练1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。
2. 12的正约数集合A＝｛｝，30的正约数集合B＝｛｝12和30的公约数集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的＿＿3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人②只会打排球是几人7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。