那些年，我用过的最实用的初中数学教辅资料——竞赛辅导篇

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初二数学竞赛辅导资料(共12讲)

初二数学竞赛辅导资料(共12讲)目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容本次培训具体计划如下以供参考第一讲实数一第二讲实数二第三讲平面直角坐标系函数第四讲一次函数一第五讲一次函数二第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试未装订在内另发第十四讲试卷讲评第1讲实数一知识梳理一非负数正数和零统称为非负数1几种常见的非负数1实数的绝对值是非负数即a≥0在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则绝对值的性质①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b③对任意实数a则a≥a a≥－a④a·b＝ab b≠0⑤a－b≤a±b≤a＋b2实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥03算术平方根是非负数即≥0其中a≥0算术平方根的性质 a≥0 ＝2非负数的性质1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零3若非负数不大于零则此非负数必为零3对于形如的式子被开方数必须为非负数4推广到的化简5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方例题精讲◆专题一利用非负数的性质解题例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根巩固1已知则的值为______________2若的值拓展设abc是实数若求abc的值◆专题二对于的应用例2已知xy是实数且例3已知适合关系式求的值巩固1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根2已知则拓展在实数范围内设＝求的个位数字◆专题三的化简及应用常用方法利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式例4化简例5若实数x满足方程那么巩固1若且则2已知实数a满足a＋＝03设1求y的最小值2求使6＜y＜7的x的取值范围拓展若求的值课后练习1如果a 0 那么2已知和是数的平方根则求的值3设abc是△ABC的三边的长则＝4已知xy是实数且则＝5若0 a 1 且则为6代数式的最小值是7已知实数满足＝则＝8已知△ABC的三边长为和满足求的取值范围9已知求的值10实数满足求的值第2讲实数二知识梳理一实数的性质1设x为有理数y为无理数则x＋yx－y都为无理数当x≠0时xy都是无理数当x＝0xy 就是有理数了2若xy都是有理数是无理数则要使＝0x＝y＝03xymn都是有理数都是无理数则要使成立须使x＝ym＝n常用方法直接法利用数轴比较平方法同次根式下比较被开方数法作差法作商法三证明一个数是有理数的方法证明这个数是一个有限小数或无限循环小数或可表示成几个有理数的和差积商的形式例题精讲◆例1比较下列两数的大小1 2 34 5 6巩固设◆例2若的小数部分为的小数部分为则的值为巩固1已知为的整数部分是9的平方根且求的值2设的整数部分为小数部分为试求的值拓展已知的整数部分为m小数部分为n的整数部分为a小数部分为b试计算的值◆例3已知是有理数且求的值巩固1已知ab是有理数且求ab的值2已知是有理数并且满足求的值◆例4设试用的代数式表示巩固已知试用的代数式表示◆例5求证是有理数◆例6a与b是两个不相等的有理数试判断实数是有理数还是无理数并说明理由拓展证明是无理数◆例5若ab满足的取值范围巩固已知求x和y的取值范围课后练习1比较大小2设ab是正有理数且满足求ab的值3设的整数部分为小数部分为试求的值4已知与的小数部分分别是ab求ab－3a＋4b＋8的值5已知ab为有理数xy分别表示的整数部分和小数部分且求a＋b的值6证明是无理数第3讲平面直角坐标系函数知识梳理1平面直角坐标系是在数轴的基础上为了实际问题的需要而建立起来的是学习函数的基础数形结合是本节最显著的特点2坐标平面内任意一点P都有唯一的一对有序实数xy和它对应反过来对于任何一对有序实数xy在平面内都有唯一的点P和它对应与点P相对应的有序实数对xy叫做点P的坐标3平面直角坐标系内的点的特征1若点Pxy在第一象限内2若点Pxy在第二象限内3若点Pxy在第三象限内 4若点Pxy在第四象限内5若点Pxy在x轴上 6若点Pxy在y轴上4对称点的坐标特征1点Pxy关于x轴对称或成轴反射的点的坐标为Px－y2点Pxy关于y轴对称或成轴反射的点的坐标为P－xy3点Pxy关于原点对称的点的坐标为P－x－y5函数的有关定义1函数的定义在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于每一个x确定的值y都有唯一确定的值与其对应则x是自变量y是的函数2函数关系式用来表示函数关系的等式叫函数关系式也称函数解析式6函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以1使分母不为零2开平方时被开方数为非负数3为整式时其自变量的范围是全体实数另外当函数关系表示实际问题时自变量的取值必须使实际问题有意义例题精讲◆例1若点M1＋a2b－1在第二象限则点N a－11－2b 在第象限巩固1点Q3－a5－a在第二象限则＝2若点P2a＋43－a关于y的对称点在第三象限求a的取值范围为◆例2方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内求m的取值范围巩固已知点Mab在第四象限且ab是二元一次方程组的解求点M关于坐标原点的对称点的坐标◆例3在直角坐标系中已知A11在轴上确定点P使△AOP为等腰三角形则符合条件的点P共有个A1 B2 C3 D4拓展在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD它的4个顶点为A100B 010C －100D 0－10 则该正方形内及边界上共有_______个整点即横纵坐标都是整数的点◆例4求下列函数中自变量的取值范围◆例5如图在靠墙墙长为18m的地方围建一个矩形的养鸡场另三边用竹篱笆围成如果竹篱笆总长为35m求鸡场的一边长y m与另一边长x m的函数关系式并求自变量的取值范围巩固1求下列函数中自变量的取值范围①②③2周长为10cm的等腰三角形腰长y cm 与底边长x cm 之间的函数关系式是______________自变量x的取值范围为_________________．拓展若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数求c的取值范围◆例6已知函数的图像如图所示求点AB的坐标巩固若点P在函数的图象上那么点P应在平面直角坐标系中的A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限升又知单开进水管20分钟可把空水池注满若同时打开进出水管20分钟可把满水池的水放完现已知水池内有水升先打开进水管分钟再打开出水管两管同时开放直至把水池中的水放完则能确定反映这一过程中水池的水量升随时间分钟变化的函数图象是巩固如图小亮在操场上玩一段时间内沿的路径匀速散步能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是课后练习1汽车由北京驶往相距120千米的天津它的平均速度是30千米时•则汽车距天津的路程S千米与行驶时间t时的函数关系及自变量的取值范围是 • AS＝120－30t0≤t≤4 BS＝30t0≤t≤4CS＝120－30tt 0 DS＝30tt＝42图1是韩老师早晨出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置则韩老师散步行走的路线可能是3函数自变量的取值范围为___________________4如图水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下图的四种底面积相同的容器中下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象A．1～甲2～乙3～丁4～丙 B．1～乙2～甲3～丁4～丙C．1～乙2～甲3～丙4～丁 D．1～丁2～甲3～乙4～丙5平面直角坐标系内点An1－n一定不在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若P a＋b－5 与Q 13a－b 关于原点对称则a＋b a－b 的值为6已知点P3p－153－p在第三象限如果其坐标为整数点求点M的坐标第4讲一次函数一姓名知识梳理一一次函数和正比例函数的概念若两个变量xy间的关系式可以表示成y＝kx＋bkb为常数k≠0的形式则称y是x的一次函数x为自变量特别地当b＝0时称y是x的正比例函数二一次函数的图象由于一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的图象是一条直线所以一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b．由于两点确定一条直线因此在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与y轴的交点0b直线与x轴的交点－0但也不必一定选取这两个特殊点画正比例函数y＝kx的图象时只要描出点001k即可三一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的性质1k的正负决定直线的倾斜方向①k＞0时y的值随x值的增大而增大②k＜O时y的值随x值的增大而减小．2k大小决定直线的倾斜程度即k越大直线与x轴相交的锐角度数越大直线陡k越小直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓3b的正负决定直线与y轴交点的位置①当b＞0时直线与y轴交于正半轴上②当b＜0时直线与y轴交于负半轴上③当b＝0时直线经过原点是正比例函数．4由于kb的符号不同直线所经过的象限也不同①如图11－181所示当k＞0b＞0时直线经过第一二三象限直线不经过第四象限②如图11－182所示当k＞0b＞O时直线经过第一三四象限直线不经过第二象限③如图11－183所示当k＜Ob＞0时直线经过第一二四象限直线不经过第三象限④如图11－184所示当k＜Ob＜O时直线经过第二三四象限直线不经过第一象限．5由于k决定直线与x轴相交的锐角的大小k相同说明这两个锐角的大小相等且它们是同位角因此它们是平行的．另外从平移的角度也可以分析例如直线y ＝x＋1可以看作是正比例函数y＝x向上平移一个单位得到的．四正比例函数y＝kxk≠0的性质1正比例函数y＝kx的图象必经过原点2当k＞0时图象经过第一三象限y随x的增大而增大3当k＜0时图象经过第二四象限y随x的增大而减小．五用函数的观点看方程与不等式1方程2x＋20＝0与函数y＝2x＋20观察思考二者之间有什么联系从数上看方程2x＋20＝0的解是函数y＝2x＋20的值为0时对应自变量的值从形上看函数y＝2x＋20与x轴交点的横坐标即为方程2x＋20＝0的解关系由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0kb为常数k≠0的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数值为0时求相应的自变量的值从图象上看这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．2解关于xy的方程组从数的角度看•相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是多少从形的角度看相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点坐标两条直线的交点坐标•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解3解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于或小于0时求自变量相应的取值范围．解关于x的不等式kx＋b mx＋n可以转化为当自变量x取何值时直线y＝k－mx＋b－n上的点在x轴的上方或2求当x 取何值时直线y＝kx＋b上的点在直线y＝mx＋n上相应的点的上方．不等号为时是同样的道理例题精讲◆例1已知一次函数则这样的一次函数的图象必经过第象限巩固1一次函数的图象如图则下面结论正确的是A BC D2若直线经过点Am－1B1m其中则这条直线不经过第象限拓展已知≠并且那么一定经过A第一二象限 B第二三象限 C第三四象限 D第一四象限◆例2若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24求常数k的值是多少巩固过点P3作直线使它与两坐标轴围成的三角形面积为5这样的直线可以作几条拓展设直线是正整数与两坐标轴所围成的图形的面积为则◆例3如图所示直线y＝x＋2与x轴交于点A直线y＝－2x＋6与x轴交于点B且两条直线的交点为P试求出△PAB的面积巩固1如图在直角坐标系中长方形OABC的顶点B的坐标为 156 直线恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分那么2如图所示已知直线y＝x＋3的图象与x轴y轴交于AB两点直线l经过原点与线段AB交于点C把△AOB的面积分为21的两部分求直线l的解析式．拓展若直线和直线k是正整数及x轴围成的三角形面积为则值为___________◆例4一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则下列结论①k1＞0b＜0②k2＞0③关于x的不等式的解集是④关于xy的二元一次方程组的解为其中正确的结论有____________巩固1已知关于x的不等式kx－2 0k≠0的解集是x －3则直线y＝－kx＋2与x 轴的交点是_______．2如右图直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则关于的不等式的解集为◆例5一个一次函数的图像与直线平行与轴轴的交点分别为AB并且过点－1－25则线段AB上包括端点AB横坐标纵坐标都是整数的点有几个巩固如图一次函数的图象经过点和则的值为◆例6如图直线的解析式为且与轴交于点D直线经过点AB直线交于点C1求直线的解析式2求△ADC的面积3在直线上存在异于点C的另一点P使得△ADP与△ADC的面积相等请直接写出点P的坐标课后练习1点A为直线上的一点点A到两坐标轴的距离相等则点A的坐标为________ 2直线经过一二四象限那么直线经过象限3一次函数是常数的图象如图所示则不等式的解集是A．B．C．D．4如图一直线L经过不同三点AabB ba C那么直线L经过A．第二四象限 B．第一三象限 C．第二三四象限 D．第一三四象限5设直线为自然数与两坐标轴围成的三角形面积为＝1232000 则1＋2＋3＋＋2000的值为A B C D6如图直线与轴轴分别交于AB两点以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC∠BAC＝90°如果在第二象限内有一点P且△ABP的面积与△ABC的面积相等求a的值第5讲一次函数二知识梳理一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系构建一次函数模型再利用一次函数的性质求出问题的解例题精讲◆例1我市一种商品的需求量y1万件供应量y2万件与价格x元／件分别近似满足下列函数关系式y1＝x＋60y2＝2x36需求量为时即停止供应当y1 ＝ y2 1求该商品的稳定价格与稳定需求量2价格在什么范围该商品的需求量低于供应量3当需求量高于供应量时政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格以提高供应量现若要使稳定需求量增加4万件政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量巩固图11－30表示甲乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y千米随时间x分变化的图象全程根据图象回答下列问题．1当比赛开始多少分时两人第一次相遇2这次比赛全程是多少千米3当比赛开始多少分时两人第二次相遇◆例2在购买某场足球赛门票时设购买门票数为张总费用为元．现有两种购买方案方案一若单位赞助广告费10000元则该单位所购门票的价格为每张60元总费用＝广告赞助费＋门票费方案二购买门票方式如图所示．解答下列问题1方案一中与的函数关系式为方案二中当时与的函数关系式为当时与的函数关系式为2如果购买本场足球赛超过100张你将选择哪一种方案使总费用最省请说明理由3甲乙两单位分别采用方案一方案二购买本场足球赛门票共700张花去总费用计58000元求甲乙两单位各购买门票多少张．元一月用水超过10吨的用户10吨水仍按每吨元收费超过10吨的部分按每吨元收费设一户居民月用水吨应收水费元与之间的函数关系如图13所示1求的值某户居民上月用水8吨应收水费多少元2求的值并写出当时与之间的函数关系式3已知居民甲上月比居民乙多用水4吨两家共收水费46元求他们上月分别用水多少吨◆例3抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全决定将甲乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的AB两仓库已知甲库有粮食100吨乙库有粮食80吨而A库的容量为70吨B库的容量为110吨从甲乙两库到AB两库的路程和运费如下表表中元吨·千米表示每吨粮食运送1千米所需人民币1若甲库运往A库粮食吨请写出将粮食运往AB两库的总运费元与吨的函数关系式2当甲乙两库各运往AB两库多少吨粮食时总运费最省最省的总运费是多少巩固我市某乡两村盛产柑桔村有柑桔200吨村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库已知仓库可储存240吨仓库可储存260吨从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．1请填写下表并求出与之间的函数关系式总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨2试讨论两村中哪个村的运费较少3考虑到村的经济承受能力村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下请问怎样调运才能使两村运费之和最小求出这个最小值．◆例4我国铁路第六次大提速在甲乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s 单位在km 与运行时间t 单位h 的函数图象BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s 单位km 与运行时间t 单位h 的函数图象．请根据图中信息解答下列问题1点B的横坐标05的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h点B的纵坐标300的意义是_______________________ 2请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象3若普通快车的速度为100 kmh①求BC的解析式并写出自变量t的取值范围②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．巩固某物流公司的快递车和货车每天往返于AB两地快递车比货车多往返一趟图中表示快递车距离A地的路程y 单位千米与所用时间x 单位时的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发到达B地后用2小时装卸货物然后按原路原速返回结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．1请在图中画出货车距离A地的路程y 千米与所用时间x 时的函数图象2求两车在途中相遇的次数直接写出答案3求两车最后一次相遇时距离A地的路程和货车从A地出发了几小时课后练习1某车站客流量大旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现每天开始售票时约有300名旅客排队等候购票同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票新增购票人数人与售票时间分的函数关系如图所示每个售票窗口票数人与售票时间分的函数关系如图所示．某天售票厅排队等候购票的人数人与售票时间分的函数关系如图所示已知售票的前分钟开放了两个售票窗口．1求的值2求售票到第60分钟时售票厅排队等候购票的旅客人数3该车站在学习实践科学发展观的活动中本着以人为本方便旅客的宗旨决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票以便后来到站的旅客能随到随购请你帮助计算至少需同时开放几个售票窗口2如图工地上有AB两个土墩洼地E和河滨F两个土墩的土方数分别是781方1584方洼地E填上1025方河滨F可填上1390方要求挖掉两个土墩把这些土先填平洼地E余下的图填入河滨F填入F实际只有1340方如何安排运土方案才能使劳力最省提示把土方米作为运土花费劳力的单位第6讲全等三角形知识梳理1全等三角形全等三角形能够完全重合的两个三角形2全等三角形的判定方法有SASASAAASSSSHL3 全等三角形的性质1全等三角形的对应角相等对应线段边高中线角平分线相等2全等三角形的周长面积相等4全等三角形常见辅助线的作法有以下几种遇到等腰三角形可作底边上的高利用三线合一的性质解题思维模式是全等变换中的对折．遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相等构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的旋转．遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和差倍分等类的题目．特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来利用三角形面积的知识解答．例题精讲◆例1已知如图△ABC中AB＝5AC＝3则中线AD的取值范围是_________巩固如图所示已知在△ABC中AD是BC边上的中线E是AD上一点且BE＝AC 延长BE交AC于F求证 AF＝EF◆例2已知等腰直角三角形ABC中AC＝BCBD平分∠ABC求证AB＝BC＋CD巩固1已知△ABC中AD平分∠BACAB＞AC求证AB－AC＝BD－DC2如图所示已知四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝60°∠BCD＝120°求证 BC＋DC＝AC◆例3如图已知在△ABC中∠B＝60°△ABC的角平分线ADCE相交于点O求证OE＝OD◆例4如图在△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P过点P分别作PN⊥AB于NPM ⊥AC于点M求证BN＝CM◆例5AD为△ABC的角平分线直线MN⊥AD于AE为MN上一点△ABC周长记为△EBC周长记为求证＞拓展正方形ABCD中E为BC上的一点F为CD上的一点BE＋DF＝EF求∠EAF 的度数课后练习1如图∠BAC＝60°∠C＝40°AP平分∠BAC交BC于PBQ平分∠ABC交AC于Q求证AB＋BP＝BQ＋AQ2如图△ABC中EF分别在ABAC上DE⊥DFD是中点试比较BE＋CF与EF的大小3如图△ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平分BCDE⊥AB于EDF⊥AC于F1说明BE＝CF的理由2如果AB＝AC＝求AEBE的长第7讲直角三角形与勾股定理知识梳理一直角三角形的判定1有两个角互余的三角形是直角三角形2勾股定理逆定理二直角三角形的性质1直角三角形两锐角互余．2直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．。

那些年，我用过的最实用的初中数学教辅资料——中考冲刺篇

那些年，我⽤过的最实⽤的初中数学教辅资料——中考冲刺篇今天，为⼤家带来中考数学压轴题我⼼中的前六名，这⼏本书在我这些年的教学过程中使我受益良多，对于孩⼦们⽽⾔，预计初三11⽉份可以开始接触这⼏本书的内容，如果能够掌握，中考⽆忧，话不多说，下⾯开始！相关阅读：那些年，我⽤过的最实⽤的初中数学教辅资料——同步辅导篇TOP6：图解名校初中⼏何压轴题适合⼈群：对于⼏何需要梳理体系的同学难度定位：中考⼏何题难度，不综合内容特⾊：⽐较适合阅读，看起来舒服，有知识梳理，题⽬主打⼏何综合题推荐理由：这本书如果⾮要纯看内容其实深度不⾜以⽀撑中考压轴题，因为选题缺少代⼏综合类问题，这也是从定位上这本书没有进前三的原因，不过如果是梳理⼏何体系的话，这本书对于初中阶段⼏何⼩逻辑不太清楚的同学，还是⼀个不错的选择，选题由易到难，从最开始的平⾏线，⼀直到最后的辅助圆，通过做题⼀点点的找到逻辑关系，是这本书做的很好的事情，同时，对于畏难情绪⽐较重的同学，做这本书会有⼀定的成就感，同时，在排版过程中的⾏间距较⼤，也让做题时没有很⼤压⼒，总之，从细节上看这本书还是很不错！TOP5：百题⼤过关系列适合⼈群：对于中考压轴题需要加强训练的同学难度定位：中考压轴题难度，该系列其他两本较为简单内容特⾊：选题⾮常不错，内容上每版改变不⼤，但是题⽬原创性很好推荐理由：作为第⼀周的最后⼀本，总要来点⼲货~实事求是的说，中考压轴题题领域，他和挑战中考压轴题都是⾮常优秀的书籍，纯粹的压轴题训练领域，我给这本书第⼆名，没有异议，唯独挑战中考压轴题每年都在更新前⼀年各地中考和模拟试题，⽽这本书更像是在不断梳理着每⼀类题⽬应该怎么做，所以买过两年的，内容很像，唯独改变的是在压轴训练⼤逻辑⽅⾯有了进⼀步的加强，更加符合现今需求，所以如果有时间有精⼒的话，这本书依然会是你很好的选择，⽽且在侧重点上和中考压轴题也⼩有区别，这点⼤家看⽬录就可以知道，同时，这套书还有前⾯两册：基础题和核⼼题，配合起来可能整体逻辑会更好⼀点，所以⼤家不妨可以去书店⽐对⼀下，看看你是否会更喜欢这本书呢~TOP4：⾦考卷中考试题汇总适合⼈群：初三所有学⽣难度定位：中考难度，绝对真题内容特⾊：全部选⾃官⽅解析，评分标准⾮常细致推荐理由：⾦考卷这本书不能不推荐，每⼀位备考中考的孩⼦都会有⼀本最新中考真题，市⾯上⼤概三家在做，但是⾦考卷⽆疑是做的最好的！中考真题随着新课改后的沉淀，慢慢⼤家会发现初中数学在创新性⽅⾯已经没有特别⼤的突破，都是在相同的母题，相同的⾻架上做出变化，可以讲全国的考试侧重点都经常改变，但改变后的影⼦，尤其是压轴题很多时候都会与其他城市近三年的中考题相类似，所以全国范围内刷题练习必不可少，⽽这本试卷的采分点给的⾮常细致，所以更加⽅便孩⼦们抓住中考阅卷⽅式，从⽽打磨⾃⼰的做题技巧，可以讲，⼀个成绩⼀般的孩⼦，抓住给分规律是完全可以分数最⼤化的，不过，在等级制的⼤长沙，这点还是差了点意思，实⼒才是硬道理，冲刺中考的必做卷，推荐给⼤家~TOP3：万唯湖南中考试题研究适合⼈群：所有初三学⽣难度定位：贴合长沙中考，难度符合中考要求内容特⾊：三年湖南地区真题对⽐，同类预测，有原创试题推荐理由：万唯中考这个书出了很多年，以做中考为主，以长沙中考为例，这本书区别于其他书的好在于重点⾮常的突出，地区适应性做的很好，同时，在压轴题训练上，这本书能够衍⽣很多相似题型，从⼀个点出发，研究的很深⼊，真正做到归类突破，在这⼀点上，我⾮常欣赏！所以，隆重推荐给⼤家！TOP2：中考数学拉分题3年真题+3道模拟题适合⼈群：所有初三学⽣难度定位：不以单⼀地区为蓝本，难度稍难内容特⾊：全国近三年中考真题重叠知识点重点分析推荐理由：这本书其实是我偶然间发现的⼀⼤宝贝，拉分题这⼀套书是上海地区的同步课程类书籍（后续会介绍），但是这本拉分题中考确是真正的王者书籍，该书在长沙⽐较冷门，但是他的最⼤卖点在于书中针对近三年全国范围内的中考重点题⽬的重叠知识点进⾏整理，指导性⾮常强，同时也是参考教辅中少有的能够将中考解答题评分细则明确给出的，对于每分必争的中考学⼦，教师，以及家长，都是⾮常宝贵的整理，这本神书，推荐给⼤家！TOP1：挑战中考压轴题适合⼈群：初三⽬标满分的同学难度定位：中考最⾼难度内容特⾊：全国每年各省市中考真题+模拟压轴题解析推荐理由：这个书如果想要冲击满分应该⼈⼿⼀本吧，⼀套书全配齐是标配，我从14年开始买，已经连续买了⼏年，更新频率很快，内容迭代很好，难度要求很⾼，但是可以真正做到俯视中考！其实在我内⼼中，这套书并不如前两本，但是他强就强在每年的更新太强了，⽽且逻辑性越来越好，压轴题⽅⾯的最强书籍，真正做到精做，题库类的NO.1！你，必须拥有！。

那些年我用过的最实用的初中数学教辅资料

一、概述在初中的数学学习过程中，我们通常都需要借助一些教辅资料来巩固所学知识，帮助我们更好地理解数学概念和方法。

在我读初中的那些年里，我曾经用过许多数学教辅资料，其中有一些给我留下了深刻的印象。

在本文中，我将共享那些年我使用过的最实用的初中数学教辅资料，希望能够给正在学习初中数学的同学们一些参考和帮助。

二、新世纪初中数学教辅1. 《新世纪初中数学》是我初中数学课外阅读的主要参考书之一。

这套教辅资料由著名数学学者编写，内容系统全面，覆盖了初中数学的各个知识点，且题型涵盖了选择题、填空题、解答题等多种形式。

这套教辅资料注重培养学生的解题能力和思维逻辑，对于我加深对数学概念的理解和提高解题技巧起到了很大的帮助。

2. 《新世纪初中数学》中的习题解析是我使用的另一个很实用的部分。

它将教材中的习题进行详细的解析和讲解，帮助我们理解题目的解题思路和方法，并提供了大量的练习题供我们练习，巩固所学的知识。

三、牛津初中数学辅导资料1. 《牛津初中数学辅导资料》是另一本我使用过的很实用的教辅资料。

这本资料中的知识点和题型设计都很贴近考试，内容易懂、通俗易懂，深受学生喜爱。

它以学校教材为基础，结合学生的实际学习情况编写，讲解方式生动有趣，能够引起学生的兴趣，促进学习。

2. 《牛津初中数学辅导资料》中的例题和练习题也十分实用，例题贴近生活，易于理解，而且题目的难易程度逐步递进，很有助于我们渐进式的学习和巩固知识。

四、新版新目标初中数学教辅1. 《新版新目标初中数学教辅》是我初中数学学习的又一利器。

这本教辅资料广泛运用了图表、实例等形象化的方式，使得抽象的数学知识变得更加具体直观，学生更容易理解和掌握。

这本教辅资料还通过大量的练习题和考试题，帮助我们检验自己的学习成果。

2. 《新版新目标初中数学教辅》书中的知识点总结和归纳也十分全面和详细，对于复习和考试复习时找重点有很大的帮助。

五、结语以上就是我在初中时期使用过的最实用的数学教辅资料。

48 初中数学竞赛小蓝本

《初中数学竞赛小蓝本》是一套适合初中数学竞赛的辅导教材。

它涵盖了初中数学竞赛的所有考点，并提供了大量的例题和习题，
以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这套书的内容非常丰富，包括代数、几何、数论等多个方面的
知识。

每个章节都配备了相应的概念描述和公式标注，以便学生更
好地理解和记忆。

同时，习题部分也是该书的亮点之一，题目难度
适中，从基础到高级，适合不同层次的学生进行练习。

此外，《初中数学竞赛小蓝本》还注重培养学生的解题思路和
方法。

通过大量的例题和习题，学生可以逐渐掌握数学竞赛的解题
技巧和方法，提高自己的解题能力和思维能力。

总的来说，《初中数学竞赛小蓝本》是一套非常适合初中数学
竞赛的辅导教材，可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。

【学习经验】初中数学竞赛辅导书推荐实用些

【学习经验】初中数学竞赛辅导书推荐实用些
1.首先我推荐的是一套相对来说比较基础的书籍：《数学培优新方法》。

可供学生，在兼顾基础的同时打开对奥赛的兴趣，当然这套书的难度对于奥赛来说是远远不够的，所以新手小白练习使用。

但这套书如果做透了，对于日后深度的学习大有好处，所以我建议学竞赛的第一套书选择数学培优新方法
2.说到数学初中竞赛，又怎么能忘记，丁宝荣的这套初中数学竞赛教程，没错就是《初中数学竞赛教程》，这套书的难度需要高于数学培优新方法的，可以建议大家在学习数学培优新方法的同时刷这本书，难度大概跟联赛初赛差不多，但相当内容没有达到更深的层次。

3.等大家刷完上述两本书后会发现自己层次已经上升了很多，这个时候大家都会发现自己在某一方面比如代数或几何，暴露出来不足，这些就是我们知道奥赛经典来针对辅导了。

学生说：《奥赛经典》这套书有四个模块，大家可以根据自己的不足进行辅导，难度较大，针对性强，效果比较好。

初中生提高类：《数学探究应用新思维》，《数学培优竞赛新方法》，
题目大部分都在中考思维范围内拔高大家的做题思路，清华附中每年必用书籍
拔高类：《奥数教程》，《奥数精讲与测试》等。

《奥数精讲与测试》本年度特别推荐。

最后在推荐一个本书《挑战中考压轴题》
合理安排好时间。

因为参加数学竞赛和平时的学习是一同进行的，所以不能因为参加竞赛而影响到其他课程的学习，所以要做好学习计划，合理安排好时间。

适当参加数学竞赛培训班。

数学竞赛培训班是专门为数学竞赛而进行培训，会更有针对性，也更专业，如果希望自己能取得名次，在条件许可情况下，参加数学竞赛培训班对自己有好处。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

初中数学最好的教辅书推荐最受欢迎的辅导书

初中数学最好的教辅书推荐最受欢迎的辅导书初中数学辅导书推荐《从课堂到奥数》初中数学辅导书分为三册，每册分培优篇和竞赛篇两部分。

书籍按照《九年义务教育数学课程标准》的进度分章、分节编写，在内容的安排上力求与课堂教学同步，采用从课内到课外逐步引申扩充、由浅入深、由易到难、循序渐进的教学方法;在夯实基础的同时。

通过新颖有趣的数学问题，构建通往数学奥林匹克前沿的捷径;在学生力所能及的范围内帮助学生扩展知识视野，提高思维能力;在有利于学生把通用教材的数学知识巩固深化的同时，又恰到好处地为学生拓宽有关竞赛数学的知识。

新教材完全解读讲解注重基础，由浅入深，让学生完全能够自主高效地学习。

能帮助学生通过预习将基础知识、概念、定理基本掌握，并找到自己的薄弱所在，这样能促使学生在听课时针对本课的重难点知识、易错疑难知识进行重点聆听。

听课效率提高60%。

《初中数学竞赛教程》本套丛书根据初中数学竞赛大纲及各年级课本内容，同步分30讲。

每讲设【赛点扫描】、【赛题解密】、【赛场演练】三个栏目。

【赛点扫描】描述了本讲内容的相关赛点，点拨了命题思路，有利于掌握解题方法;【赛题解密】巧妙应用技法，让赛题全面解密;【赛场演练】跳出常规思路，演练竞赛精题。

中学教材全解本书知识面分布全面;它涵盖了中学文化课教学全部课程和教与学的全部过程,内容丰富,题量充足。

再次是适用对象全面。

对教材讲解细致入微,重难点详细讲析,既有解题过程又有思路点拔。

真正体现了“一册在手,学**内容全有”的编写指导思想。

掌握初中数学学习方法主动预习预习初中数学的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。

主动思考很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。

主要原因还是听课过程中不思考惹的祸。

初一数学提升类教辅

初一数学提升类教辅
以下是几种常见的初一数学提升类教辅书籍，适合学生自主学习提高数学水平：
1. 《初中数学提升习题集》：该书以初中数学的各个知识点为基础，提供大量的练习题和解析，能够帮助学生巩固知识点和拓展思维。

2. 《初中数学解题思路与方法》：该书主要介绍数学问题的解题思路和方法，通过具体的例题和解析，帮助学生培养解题的思维方式和方法。

3. 《初中数学竞赛指导书》：该书以提高学生在数学竞赛中的表现为目标，提供了一系列的竞赛习题和解析，帮助学生提高解题能力和应对竞赛的策略。

4. 《初中数学拓展训练题集》：该书提供了一些拓展性的数学题目，不仅包括基础知识的应用，还包括一些更高层次的思维题，帮助学生提高数学思维和解题能力。

5. 《初中数学思维训练与拓展》：该书主要以培养学生的数学思维和逻辑思维能力为目标，通过一系列有趣的数学问题和解析，帮助学生培养思维习惯和解题能力。

以上书籍仅供参考，根据自己的实际情况和需求选择适合的教辅材料进行学习。

此外，平时多做课堂上的练习题，并结合教材进行复习，也是提升数学水平的有效方法。

初三数学辅导书

初三数学辅导书
以下是一些适合初三学生的数学辅导书推荐：
1. 《中学数学（七年级上、下册）》作者：人民教育出版社
这套教材是根据新课程标准编写的，内容系统全面，易于理解和掌握，适合初三学生作为基础参考书。

2. 《初中数学课堂实用技巧与方法》作者：王俊瑜
这本书专注于数学学习的技巧和方法，以解题技巧、思维方法、学习策略为主线，帮助学生掌握数学的基本概念和解题技巧。

3. 《初中数学题型解题方法与技巧》作者：潘丽俊
这本书主要介绍了各类数学题型的解题方法和技巧，包括代数方程、几何图形、函数、概率等，帮助学生提高解题的能力和效率。

4. 《数学学业提高与习题解析》作者：王树义
这本书是一本习题集，包含了大量的数学习题和解析，涵盖了初中数学的各个知识点和题型，适合学生进行巩固和提高。

5. 《中学数学竞赛全书》作者：李阳
这本书是一本针对数学竞赛准备的辅导书，包含了大量的数学竞赛题目和解析，适合对数学有较高要求的学生进行挑战和提高。

初中数学竞赛辅导资料(3)

初中数学比赛指导资料(9)一元一次方程解的议论甲内容大纲1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

比方：方程 2x ＋ 6＝ 0， x （ x-1） =0,|x|=6, 0x=0,0x=2 的解分别是：x= － 3,x=0 或 x=1,x= ±6,全部的数，无解。

2，关于 x 的一元一次方程的解（根）的状况：化为最简方程ax=b 后，议论它的解：当a ≠0 时，有独一的解x= b；a当 a=0 且 b ≠ 0 时，无解；当 a=0 且 b ＝ 0 时，有无数多解。

（∵不论 x 取什么值， 0x ＝ 0 都成立） 3, 求方程 ax=b(a ≠ 0)的整数解、正整数解、正数解当 a ｜ b 时，方程有整数解；当 a ｜ b ，且 a 、 b 同号时，方程有正整数解；当 a 、 b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，议论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b乙例题例 1 a 取什么值时，方程 a(a －2)x=4(a － 2) ①有独一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当 a ≠ 0 且 a ≠2 时，方程有独一的解，x=4a②当 a=0 时，原方程就是 0x= － 8，无解；③当 a=2 时，原方程就是0x=0 有无数多解④由①可知当 a ≠ 0 且 a ≠2 时，方程的解是x=4,∴只要 a 与 4 同号，a即当 a>0 且 a ≠ 2 时，方程的解是正数。

例 2 k 取什么整数值时，方程① k(x+1)=k － 2（ x －2）的解是整数？②（ 1－ x ） k=6 的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2） x=4当 k+2 能整除 4，即 k+2= ± 1，± 2，± 4 时，方程的解是整数 ∴ k= －1，－ 3，0，－ 4， 2，－ 6 时方程的解是整数。

初一数学好的辅导资料

初一数学好的辅导资料初一数学是中学数学学习的基础阶段，对于培养学生的逻辑思维、空间想象和问题解决能力具有重要意义。

为了帮助初一学生更好地掌握数学知识，提高数学成绩，以下推荐一些优质的初一数学辅导资料，并对这些资料的特点和使用方法进行详细介绍。

一、《初中数学通解》《初中数学通解》是一本系统介绍初中数学知识的辅导资料，涵盖了初一数学的所有知识点。

该书以教材为基础，对各个知识点进行了详细讲解，并配备了大量的例题和练习题。

此外，该书还注重培养学生的解题思维和方法，通过一题多解、多题一解等方式，帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力。

使用方法：建议学生在课堂学习的基础上，结合《初中数学通解》进行课后复习和巩固。

可以先阅读该书的相关章节，了解知识点的基本概念和解题方法，然后再做相应的练习题进行巩固。

遇到不懂的问题，可以参考书中的解答或向老师请教。

二、《初中数学公式定律速记手册》《初中数学公式定律速记手册》是一本专门针对初中数学公式和定律的辅导资料。

该书将初一数学中涉及的公式和定律进行了分类整理，并提供了相应的记忆方法和技巧。

通过使用该手册，学生可以快速掌握数学公式和定律，提高解题效率。

使用方法：建议学生在学习过程中随时携带该手册，方便查阅和记忆。

可以在课堂上或课后复习时使用该手册进行公式和定律的巩固记忆。

同时，也可以在做题过程中遇到不熟悉的公式或定律时及时查阅该手册。

三、《初中数学典型题解题思路》《初中数学典型题解题思路》是一本针对初中数学典型题的辅导资料。

该书精选了初一数学中的典型题目，并提供了详细的解题思路和答案解析。

通过学习和模仿这些解题思路，学生可以更好地理解数学知识，提高解题能力。

使用方法：建议学生在做题过程中遇到难题时参考该书中的解题思路进行思考和解答。

可以先尝试自己解决问题，如果遇到困难再参考书中的答案解析进行对照和学习。

同时，也可以在做题前阅读该书中的相关章节，了解典型题目的解题方法和技巧。

四、《初一数学同步练习册》《初一数学同步练习册》是一本与初一数学教材同步的练习册，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学应用能力。

初中数学竞赛辅导资料课件.doc

初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。

2，关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab ；当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号，即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。

例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。

②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6，只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数⼀. n 位数的个数：⼀位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. ⼀本书共1989页，⽤0到9的数码，给每⼀页编号，总共要⽤数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是⼀个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.⼆. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推⼴到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为⽌：位198011121234567891这个数⽤9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是⼀个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这⼀数中划去100个数字，使剩下的数尽可能⼤，那么剩下的数的前⼗位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是m n +2m n +…+??i m n . [x]表⽰不⼤于x 的最⼤正整数，i=1,2,3… m i ?n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：+????2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积5的个数是：____16.⼀串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都⼩于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.⼄. 正整数⼗进制的表⽰法⼀. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0?a i ?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最⾼位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除⼆. 常见的⼀些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何⼀个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-?-n n=)13110(3110+-?-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明：把⼀个⼤于1000的正整数分为末三位⼀组，其余部分⼀组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平⽅数. 丙. 末位数的性质.⼀.⽤N (a)表⽰⾃然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本⾝.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本⾝.2. N (a)=N (b)?N (a －b)=0?10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ；和②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.⼆. ⾃然数平⽅的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平⽅的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. ⽤这⼀性质计算连续整数平⽅的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平⽅的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平⽅数提供了⼀种⽅法例题2. 求证：任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.证明：(⽤反证法)设五个连续整数的平⽅和是完全平⽅数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何⾃然数平⽅的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成⽴∴任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.3.判断不是完全平⽅数的其他⽅法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平⽅数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平⽅之间∴a(a+1)+1不是完全平⽅数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平⽅数证明：根据奇数的平⽅数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，⽽不是1，∴它不是完全平⽅数.例题5. 求证：任意两个奇数的平⽅和，都不是完全平⽅数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平⽅和，都不可能是完全平⽅数.三. 魔术数：将⾃然数N 接写在每⼀个⾃然数的右⾯，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的⾃然数，其末位数是1，2，5 (即10的⼀位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的⾃然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的⾃然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在⼩于130的⾃然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续⾃然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是⾃然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻⾃然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的⼀种分类：??).1(.)1( 1然数整除和本⾝外还能被其他⾃除合数；然数整除和本⾝外不能被其他⾃除质数； 2. 质数中，偶数只有⼀个是2，它也是最⼩的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续⾃然数，个个都是合数.解：答案不是唯⼀的，其中的⼀种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.⼀般地，要写出n 个连续⾃然数，个个是合数，可⽤令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2?i ?n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ，与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最⼩公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续⾃然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这⾥11=10+1，即N 是不⼤于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的⼀种分类：)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：①两个连续整数必⼀奇⼀偶，其和是奇数，其积是偶数.②奇数的平⽅被4除余1；偶数的平⽅能被4整除；除以4余2或3的整数不是平⽅数.a) 2n (n 为正整数)不含⼤于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必⼀奇⼀偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必⼀奇⼀偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有⼀个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从⽽m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求⽅程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴⽅程左、右两边不能相等.若x, y 为⼀奇⼀偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴⽅程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，⽅程两边都不能相等.所以原⽅程没有整数解本题是根据整数的⼀种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了⽅程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的⽴⽅和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：⽅程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： =?=++++.0321321n x x x x x x x x n n ；求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是⼤于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘⽅的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期⼀，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, ⾄少有两个是同余数，这是为什么？ 45. a 是整数，最简分数7a 化为⼩数时，若为循环⼩数，那么⼀个循环节最多有⼏位？4. 运⽤余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进⾏检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ；② 2473×429=1060927.解：①⽤各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7，∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.⽽7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有⽆差错：①372854－83275=289679 ；②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应⽤例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有⼀个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复⼜不违漏)例4. 已知： p ?5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1；只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数，符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平⽅和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：⾃然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果有⼀个是质数，则另⼀个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，⾄少有⼀个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. ⼆元⼀次⽅程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有⼀个整数的特解?==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ?-=+= 2. 运⽤整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数，整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)⾃然数=整数3. ⼀元⼆次⽅程，⽤求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. ⼩军和⼩红的⽣⽇.都在10⽉份，且星期⼏也相同，他们⽣⽇的⽇期的和等于34，⼩军⽐⼩红早出⽣，求⼩军的⽣⽇.解：设⼩军和⼩红的⽣⽇分别为x, y ，根据题意，得=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ==.2410y x ，当k=4时，?==.313y y x ， (10⽉份没有31⽇，舍去) ∴⼩军的⽣⽇在10⽉10⽇例2. 如果⼀个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平⽅和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初⼆数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ，且－8( 1)当a －b+c=0时，得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理??-=-=+.2522121c c a a c a a ，这是必要⽽⾮充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐⼀讨论a 的解.当 c=2, 4时，⽆实数根；当c=1, 3时，⽆整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时，得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐⼀以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满⾜等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最⼤值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成⽴. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初⼆数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的⼆次⽅程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初⼆数学双基赛题） 56.若关于x 的⼆次⽅程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初⼆数学双基赛题） 57.不等边三⾓形的三条边都是整数，周长的值是28，最⼤边与次⼤边的差⽐次⼤边与最⼩边的差⼤1，适合条件的三⾓形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直⾓三⾓形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于⾯积的数值，求各边长. 59.鸡翁⼀，值钱；，鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各⼏何？ 60. 甲买铅笔4⽀，笔记本10本，⽂具盒1个共付1.69元，⼄买铅笔3⽀，笔记本7本，⽂具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、⽂具盒各1，应付⼏元？若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤⾃然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.516. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5⽽25，100，175，……700含有52因数，应各加且250，625，含有53因数，应再各加1个5625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是17. ??+++625198912519892519895198918. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19.因为它们都⼩于2n,n 组中的⼀个互质.20. 易证能被21. 原数=(10n22. 原数=91=(3110-n )2=( 个n 2)3333( (109－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第⼆因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++?-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配⽅，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17，那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)⽭盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期⼆，∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵⽤9除的余数 11－7≠5，②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平⽅后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.； x 2=16-m . ∵⽅程的根是⾃然数，∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=??-=? 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =??=? ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4；或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3. 56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏⼀只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=++=??消去⼀元，得⼆元⼀次⽅程： 7x+4y=200. 求⾃然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ============???? 60.=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。

初中数学竞赛辅导资料

返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，
∵〔9，3〕＝3，而3不能整除10；〔4，2〕＝2，而2不能整除1．
一般我们在正整数集合里研究公约数，〔a，b〕中的a，b实为它们的绝对值．
2，二元一次方程整数解的求法：
假设方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解〔即所有的解〕．k叫做参变数．
∵x＝1时，y=7，∴ 是一个整数解
∴通 ∴整数k=0，1，2
把k=0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本．
丙练习10
1，求以下方程的整数解
①公式法：x+7y=4，5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1，11x+3y=4
2，求方程的正整数解：①5x+7y=87， ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数．
5，以下方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿〔填编号〕
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x= = (1)，
设是整数〕，那么y=1-5k (2)，
把〔2〕代入〔1〕得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是〔k是整数〕
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解那么通解是〔x0，y0可用观察法〕
3，求二元一次方程的正整数解：
例2求方程5x+6y=100的正整数解

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初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。

0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征:①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。

如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99(能11整除)又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567,∴x=3例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8 ∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但(1＋2＋4）－(0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30,41，52，63,均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除,那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

初中数学竞赛辅导资料(1)

初中数学比赛指导资料（5）a n的个位数甲内容大纲.1. 整数 a 的正整数次a n,它的个位数字与 a 的末位数的n 次的个位数字同样。

比方2002 3与 23的个位数字都是8。

7位数是 5，620的个位数是6。

3.2， 3， 7 的正整数次的个位数字的律下表：指数12345678910⋯⋯底22486248624⋯⋯数33971397139⋯⋯77931793179⋯⋯其律是： 2 的正整数次的个位数是按2、 4、 8、 6 四个数字循出，即 24k+1与 21， 24K＋2与 22，24K＋3与 23，24K＋4与 24的个位数是同样的（K 是正整数）。

3 和 7 也有似的性。

4. 4， 8，9 的正整数次的个位数，可模拟上述方法，也可以用4＝ 22，8＝ 23，9＝ 32化以 2、3 底的。

5.上所述，整数 a 的正整数次的个位数有以下的一般律：a4K＋m与 a m的个位数同样 (k,m 都是正整数。

乙例例 1的个位数是多少？解：与 32003的个位数是同样的，∵ 2003＝ 4× 500＋ 3，∴ 32003与 33的个位数是同样的，都是7，∴2003 的个位数是 7。

例 2 明 632000＋ 1472002的和能被 10 整除的原由解：∵ 2000＝ 4×500， 2002＝ 4× 500＋ 2∴ 632000与 34的个位数同样都是1，1472002与 72的个位数同样都是9，∴ 632000＋ 1472002的和个位数是0，∴ 632000＋ 1472002的和能被10 整除。

例 3K 取什么正整数，3k＋2k是 5 的倍数？例 4解：列表察个位数的律K ＝1234⋯⋯3 的个位数3971⋯⋯2 的个位数2486⋯⋯3k＋ 2k的个位数55⋯⋯从表中可知，当 K＝ 1，3 ， 3k＋ 2k的个位数是5，∵ a m与 a4n+m的个位数同样（ m,n 都是正整数， a 是整数）;∴当 K 任何奇数， 3k＋ 2k是 5 的倍数。

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那些年，我用过的最实用的初中数学教辅资料——专题篇TOP6：初中数学300题系列适合人群：某一专题掌握不太好的同学难度定位：中考难度，难度适中内容特色：题目适量，难度从专题角度逐级递增推荐理由：湖北、上海真的是我最爱的两所教辅城市，这套交大之星丛书也是挺大的一个品牌，子品牌很多，非常好的专题书，其中中考热点300题，三角形与四边形，相似与圆都是很好的推荐，可以一试，其中质量最高的是中考热点问题分析，从作者思考问题深度来说非常棒，但不太好的是知识点和目标都是上海中考和自招，对于长沙孩子用处不那么大，但对开拓思维还是超级棒的！TOP5：丢分题几何专题系列适合人群：平面几何、函数中的几何有困难的同学难度定位：中考同步难度内容特色：高度整合知识点，方法巧妙推荐理由：又是一本湖北教辅，丢分题这本书有课时训练和专题两个版本，但是那本书一般，而这套专题很不错，专题一共只有两本，基本图形巧解几何和几何图形巧解函数，目标直指初中数学两大难点：几何和函数，定位准确，同时，书本身不厚，孩子阅读压力不大，但是由于题量确实不多，所以题目本身以技巧性为主，如果需要系统的话还需要配套相关书籍哦！专题书的前TOP4都值得尝试~TOP4：龙门专题（2015版）适合人群：初中所有同学难度定位：中考难度内容特色：版块划分清楚，专题从中考角度俯视，内容翔实，对于中等成绩同学提升帮助很大推荐理由：早期龙门专题一直定位基础提高，所以对于这本书的推荐一直是孩子基础不好先做做这个，但随着改版的不断进行，2015版让我眼前一亮，题量的设置在难度方面进度很大，而且也有比较难的挑战题目出现，当然整个系列一共10本，最经典的是函数、圆、思想方法，三本书专题整理的非常好，其他书难度稍低，但是都还是能够很好的查漏补缺，对于体系整合，短腿科目的补充，都有极大的帮助！如果你只在某一方面很苦恼的话，那么，龙门专题是你一个好的选择！TOP3：初中平面几何解题思路培养与训练适合人群：想要弥补几何短板的同学难度定位：难度适中，部分选题稍难内容特色：几何框架思维培养，逻辑条理非常清楚推荐理由：谈到几何专题训练，市面上初中相关教辅不多，我现在推荐给大家的这本其实是一本低调的王者，先说我认为唯一的缺点，就是这本书选题偏老，多以03年前后，但是除此之外，这套书的其他方面就太赞了！主要谈两点，这本书不是在就题讲题，更多的是梳理解题方法和解题技巧，归类和分析做的很好，引导性很棒；第二就是这本书的几何思考逻辑写的非常清楚，利用脑图的形式演绎几何证明和解题的过程，并且配套有少量习题，如果你想把几何这一块拿下，这套书是你一个很好的选择~TOP2：初中数学动点密钥适合人群：看到动点就怕怕的同学难度定位：动点压轴难度内容特色：反正市面上纯动点专题我就发现这一本~动点恐惧患者有福啦~推荐理由：稀缺，绝对的稀缺！冷门，绝对的冷门！我想很多同学提动点就怕，一直没知道怎么做！然后，直到今天你才发现，哎呦，竟然真的有专门讲动点的书！是的，你没看错，真的有，而且内容还很不错！这本北京四中网校出品的初中数学动点密钥收集了市面上常见的动点题型，分别一共五个篇章，从线段讲到函数，内容覆盖面广，非常值得尝试！不过，就内容来说，这本书还是更加适合培优多一点，如果你是动点恐惧的同学，需要你克服一下困难，坚持一下，慢慢走进这本书，我想你终有一天会打通动点的任督二脉~TOP1：几何辅助线秘籍适合人群：初中二、三年级同学难度定位：俯视中考，实验班难度内容特色：学而思教研团队整合市面大量教辅并结合讲义整合而成，题目极具代表性，体系方法超赞推荐理由：99.8%的好评率！初中数学通用类常年第一名！很多家长小学就带着孩子看！学而思老师人手一本必刷体系练习册！...太多不需要赘述，我只能讲，这本书是典型的学而思口碑类书籍！纵观学而思教研中心出的这么多书，我内心真正认为的业界NO.1只有这本，也许到了现在由于没有改版，他的内容缺少创新，但仅从2014年来看，整个市场找不到可以和他媲美的书籍！这本书，囊括初中数学最常见八大辅助线模块，中点、角分线、三垂直、几何变换、圆、梯形，可以说，高频考点一网打尽！这本书整合了当初市面上所有好书的明题，好题，并将我们讲义中的经典变式题放入书中，例题与习题风格匹配，深度训练，虽只有薄薄一本，但是却都是精华，模型，需要训练，更需要总结，我想，如果再配套第三名的平面结合解题训练，初中几何可以无忧！强推！。

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