第三章 刚体定轴转动基本定律
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第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
第3章 刚体的定轴转动
F
Od
r *ϕ
P
方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 单位： 单位： N ⋅ m （牛⋅米） 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用， 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用，合力矩是 各力矩的代数和。 各力矩的代数和。
6
3.2 刚体的定轴转动定律
4
3.1 刚体的运动
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体作 匀变速转动 。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
1
3.1 刚体的运动
3.1.2 刚体的定轴转动
转动：组成刚体的各质点都绕某一直线作 组成刚体的各质点都绕某一直线作 圆周运动， 这条线为转轴。 圆周运动， 这条线为转轴。 转轴 若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 刚体的定轴转动 刚体的一般运动 （如：运行的车轮） 运行的车轮） 随某点(基点) 随某点(基点)的平动 + 过该点 的定轴转动。 的定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 章 3.1 刚体的运动
刚体： 刚体：特殊的质点系 受力时质点系的形状和体积不改变
3.1.1 刚体的平动
在运动过程中刚体上的任 意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行 任意质元运动都代表整体运动 任意质元运动都代表整体运动 质元运动都代表整体
A’ A B A”
B’
B”
可用质点运动学和动力学知识研究
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
刚体 定轴转动定律
1 12
mL2
mh 2
例：半径为R、质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，求对中垂轴的转动惯量。
r
R
（1）细圆环：
J r 2dm R2 dm mR 2
（2）薄圆盘：看作由许多宽为dr的细圆环组成
dm ds 2π rdr dJ r 2dm 2π r 3dr
J R 2πr 3dr 1 mR 2
（2） 3g sin 3g cos
2L
2L
d d d dt d dt
d d
d 3g cos d
2L
d
π 2
3g
cos
d
0
0 2L
L
mg
3g L
例：质量m的圆盘半径为R，绕中心旋转，与桌
面的摩擦系数为m。
求：圆盘从0到静止所需要的时间 t。
解： M f
J
J d dt
N
T2 m2 g m2a2
T1r T2r J
a1 a2 r
a1
a2
(m1 m2 )g
m1
m2
1 2
m
T1
2m1m2 g m1 m2
1 2
m1m3 g 1 2 m3
讨论 m3 0 :轻滑轮
3
T2
T1
T1 m3 T1 m3 g m1 a1
m1 g
a2
T2
T2
m2
m2 g
2m1m2
g
1 2
m2m
m1
T2
2mm2 1m122mg3 m1 m2
3
g
例：细杆质量为m，长为L，可绕水平光滑轴O
在竖直平面内转动，自水平静止释放。
求：（1）杆与铅直方向成 角时的；
平动参考系 刚体定轴转动定律
平动参考系刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律是刚体力学的基础定律之一，它描述了在平动参考系下，围绕固定轴线旋转的刚体的运动规律。
这个定律包括三条基本定律：转动惯量、角动量守恒和角加速度与作用力的关系。
我们要了解转动惯量。
转动惯量是描述刚体旋转惯性的物理量，用I表示。
对于一个质量为m的质点，其转动惯量与其离轴线的距离r 的平方成正比，即I=mr²。
对于一个复杂形状的刚体，其转动惯量需要通过积分来计算。
我们来看角动量守恒。
角动量是描述刚体旋转状态的物理量，用L 表示。
对于一个质点，其角动量与其转动惯量I和角速度ω的乘积成正比，即L=Iω。
根据角动量守恒定律，当刚体在外力作用下不受力矩的情况下，其转动惯量和角速度的乘积保持不变。
这意味着，当刚体在旋转过程中发生形状变化时，其转动惯量会改变，以保持角动量守恒。
我们来讨论角加速度与作用力的关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比。
对于旋转的刚体而言，由于存在转动惯量，其加速度并不直接与作用力成正比，而是与作用力和转动惯量的乘积成正比。
具体而言，当刚体在轴线上受到作用力F时，其角加速度α与作用力F和转动惯量I的比值成正比，即α=F/I。
综上所述，刚体定轴转动定律包括转动惯量、角动量守恒和角加速度与作用力的关系。
这些定律揭示了刚体旋转运动的基本规律，为我们理解和研究刚体力学提供了基础。
在实际应用中，刚体定轴转动定律有广泛的应用，例如在机械工程、物理实验和天体力学等领域。
以上就是关于刚体定轴转动定律的基本介绍。
通过理解和掌握这些定律，我们可以更好地理解和分析刚体的旋转运动，研究和设计相应的机械系统，并在实际应用中进行相关的计算和实验。
同时，也可以为深入研究刚体力学提供一个坚实的基础。
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
四 角动量定理、角动量守恒的应用
练习 电风扇开启电源时，经t1时间达到额定 转速 0 ，关闭电源时经t2时间停止。设电风扇的 转动惯量为 I ，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为 恒量。求：电风扇电机的电磁力矩。 解. 风扇开启时，受电磁力矩 M与摩擦力矩 M f 的共同作用，经过时间t1，角速度0由增加 0 ， t 由角动量定理 t Mdt L L0 有
0
(M M f )t1 I0
即
I 0 (M M f ) t1
（ 1）
风扇关闭，受摩擦力矩 M f的共同作用，经过 时间t2，角速度由 0降低至零，由角动量定理有
M f t2 0 I0
即
I 0 Mf t2
（ 2）
由（1）式-(2)式 得
1 1 M I 0 ( ) t1 t 2
Nx
v0
m
例7 摩擦离合器 飞轮1：I1、 摩擦 轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
2 1
试与下例的齿轮啮合过程比较。
例8 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后 轮以 两轮的角速度。 解： 两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
一、 刚体定轴转动的角动量定理 如前所述：刚体作为质点系的特例，显然应 当服从质点系角动量定理
dLZ 沿固定轴(z轴)的分量式为 M z dt
dL M dt
对于定轴转动的刚体，常常略去下标，即
dLபைடு நூலகம்M dt
称刚体定轴转动的角 动量定理的微分形式
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时， 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
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物体由静止下落 2m 时的速度。
［解］ 设圆盘的转动惯量为 I，由题意知
β
rF = Iβ I = rF
β 当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为υ，且此时圆盘转动的
Ｏ． Ｆ
角速为ω，因只有重力做功，系统的机械能守恒。
mgh = 1 mυ 2 + 1 Iω 2
2
2
υ = rω
Ｏ．
由以上各式可得
υ 2 = 2mgh m+ F rβ
1
8．几种定理、定律联合应用。
三、典型例题
例 ３－１ 求质量为 m 半径为 r 的均质圆环对下列各轴的转动惯量。
（1）通过中心并与环所在平面垂直的轴；
（2）通过环的一个直径的轴。
［解］ （1）将环分成质量为 dm 的小块，则
∫ ∫ I = m r 2dm = r 2 m dm = mr 2
0
0
（2）环的线密度为 λ = m / 2πr ，将环分成质量为 dm
第三章 刚体定轴转动基本定律
一、知识网络
刚体定轴转动
转动惯量
∫ I = r 2dm
转动定律 M = Iβ
转动力矩 M = r ×F
1．力矩对时间的累积
∫ 量矩
t2
M dt
t1
2．动量矩定义 L = Iω
力矩的冲
1．力矩对空间的累积 力矩的功
∫ A = θ2 Mdθ θ1
2．转动动能定义 Ek
=
1 Iω 2 2
为 R 和 r，质量分别为 M 和 m，两个小物体 m1 和 m2 通过绕在柱体上的细绳分别挂在圆柱体
的两侧，如图。求：
（1）该系统转动时的角加速度；
（2）绳中的张力；
（3）设开始时系统静止，且 m1 和 m2 离地面均为 h，问哪个物体先着地？经多长时间？
［解］设 a1 和 a2 分别为 m1、m2 的加速度，与 m1 相连的绳中张力
的小块，则
dm = λdl = λrdθ
其中θ为 dm 所在半径与转轴的夹角，则
∫ I = m r′2dm 0 ∫ = m (r sinθ)2 λrdθ 0 ∫ = 2π r 3λ sin 2 θdθ 0 = r 3λπ = 1 mr 2 2
dm Ｏｒ
（１）
dl
θ ｒ
（２） 图例３－１
例 ３－２ 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其轴无摩擦转动，设大小圆柱体半径分别
动量矩定理
∫t2 M dt = L 2 − L1 = ∆ L t1
转动动能定理 A = EK − EK 0 = ∆EK
动量矩守恒定律 L2 = L1 = C （常矢量）
机械能守恒定律 E = E0 = C （常量）
二、基本题型
1．转动惯量和转动力矩的计算。 2．刚体转动定律和牛顿第二定律的联合应用。 3．动量矩定理和动量矩守恒定律的应用。 4．刚体转动定律与动能定理联合应用。 5．刚体转动定律与机械能守恒定律联合应用。 6．刚体转动定律与动量矩守恒定律联合应用。 7．动量矩守恒定律与机械能守恒定律联合应用。
= 2 ×1×9.8 × 2 1 + 13.5 0.3 × 5
m 图例３－５
= 3.92ms－1
例 ３－６ 有一质量为 m1、长为 l 的均匀细棒，可在水平桌面内绕过其一端的光滑轴转动，
棒与桌面间摩擦系数为μ。另有一质量为 m2 的光滑滑块，
以速度υ1 与棒的活动端 A 垂直相撞，并以υ2 弹回，如图 。求碰撞后细棒开始转动到停止所经历的时间。 ［解］ 设碰撞后细棒以角速度ω开始转动，在碰撞前、后 棒与滑块对 O 的总角动量守恒。
为 T1，与 m2 相连的绳中张力为 T2，分别列出 m1、m2 和柱体的运 动方程如下
ｒ．Ｒ
Ｏ
m1g − T1 = m1a1
TT12R−−mT22gr
= =
m2a2 Iβ
a1 = Rβ
Ｔ２ Ｔ２
a2 = rβ
m2
Ｔ１ Ｔ１ m1
其中 I 为两同轴柱体的转动惯量
I = 1 MR 2 + 1 mr 2
2
2
m2g
m1g
图例３－２
2
解以上方程组，得
（1）
β
=
m1R 2
+
Rm1g − rm2 g
m2r 2
+
1 2
MR 2
+
1 2
mr 2
（2） T1
=
2m1m2r 2 + 2m1m2rR 2m1R 2 + 2m2r 2
+ m1MR 2 + m1mr 2 + MR 2 + mr 2
g
T2
=
2m1m2rR + 2m1m2 R 2 2m1R 2 + 2m2r 2
绳运动的加速度的大小。 ［解］ 设单位长度绳的质量为λ，则
λ=m l
． Ｏ
左侧绳的质量为
m1
=
λl1
=
λl
− πR 2
−
s
Ｓ
右侧绳的质量为
m2
= λl2
= λl
−πR + s 2
图例３－３
圆盘及盘上绳的总转动惯量为
I = 1 MR 2 + λπR3 2
设两侧绳上张力分别为 T1、T2，圆盘转动角加速度为β，绳运动的加速度为 a，则
T1 − m1g = m1a (mT22g−−T1T)2R==mI2βa a = Rβ
解方程组，得
a = 2msg (M + 2m)l
例 ３－４ 一定滑轮转动惯量为 I，初始时以ω0 转动，并受到阻力矩而减速，角加速度为β=
3
－2θ（SI），求滑轮转过一周后的角速度ω。
［解］ 由题意，滑轮转动时受到阻力矩为 M = Iβ = −2Iθ
m2υ1l = Iω－m2υ2l
Ｏ．
A υr2 υr1
图例３－６
4
其中 I 为棒对 O 的转动惯量。开始转动后，棒受到桌面的摩擦力 f ，设该力的力矩大小为
Mf，则
Mf
=
µm1 g
l 2
=
Iβ
设停止转动所经历的时间为 t，则
由动能定理，转动一圈后的角速度ω为
∫2π 0
Mdθ
=
1 2
Iω
2
−
1 2
Iω
2 0
即
∫2π 0
−
2Iθdθ
=
1 2
Iω
2
−
1 2
Iω
2 0
ω
2
=
ω
2 0
+ 8π 2
ω
=
(ω
2 0
+ 8π 2 )1/ 2
例 ３－５ 如图，圆盘半径 r=0.3m，可绕无摩擦的水平中心轴转动，盘边绕一轻绳。当以 F=13.5N 的力作用在绳上时，盘转动的角加速度为 5rads-2。今以 m=1kg 物体挂于绳端，求
+ m2 MR 2 + m2mr 2 + MR 2 + mr 2
g
（3）显然，m1 先着地，设经过时间为 t，则
1 2
a1t 2
=
1 2
Rβ
t2
=
h
t = 2h Rβ
例 ３－３ 质量为 M，半径为 R 的均质圆盘，可绕通过其中心的水平光滑轴转动，其上挂有 质量为 m，长为 l 的均质柔软细绳，绳与圆盘无相对滑动，当圆盘两侧绳长之差为 s 时，求