湖南省2020年中考数学模拟试卷(及答案)
中考数学专题实际应用题(解析版)
【答案】（1）去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；（2）今年土特产销售至少有6.4万元的收入
【解析】
【分析】
（1）设去年餐饮收入为x万元，住宿为收入y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设今年土特产的收入为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
【详解】解：（1）设去年餐饮收入x万元，住宿收入y万元，
依题意得： ，
解得： ，
答：去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；
【答案】（1） ；（2）①60，②20，1500；（3）当 时，捐赠后 每天的剩余利润不低于1025元
【解析】
【分析】
（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；（2）①由表格信息规律直接填写答案，或利用（1）中的函数解析式，求当 时的函数值．②建立W与 的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可．（3）先求捐赠后的利润为1025元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可；
2．（2019年重庆市中考数学模拟试卷5月份试题）今年五一期间，重庆洪崖洞民俗风情街景区受热棒，在全国最热门景点中排名第二．许多游客慕名来渝到网红景点打卡，用手机拍摄夜景，记录现实中的“千与千寻”，手机充电宝因此热销．某手机配件店有A型（5000毫安）和B型（10000毫安）两种品牌的充电宝出售
（1）已知A型充电宝进价40元，售价60元，B型充电宝进价60元，要使B型充电宝的利润率不低于A型充电宝的利润率，则B型充电宝的售价至少是多少元（利润率＝ ×100%）
湖南省郴州市2020年中考数学试题(解析版)
2020年郴州市初中学业水平考试试卷数学（试题卷）第Ⅰ卷（共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A. 点A 与点BB. 点A 与点DC. 点C 与点BD. 点C 与点D【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点． 故选：B ．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ） A. 8110-⨯秒 B. 9110-⨯秒C. 91010-⨯秒D. 90.110-⨯秒【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵1秒=1000000000纳秒，∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒． 故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3.下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4.下列运算正确的是（ ）A. 44()a a -=B. 236a a a ⋅== D. 325235a a a +=【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可．【详解】A. 44()a a -=，计算正确，符合题意；B. 232+35=a a a a ⋅=，故本选项错误；==D. 3223a a +不能计算，故本选项错误； 故选：A ．【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解答此题的关键．5.如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（ ）A. 13∠=∠B. 24180∠+∠=C. 45∠=∠D. 12∠=∠【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．【详解】A 、当∠1=∠3时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； B 、当∠2+∠4=180°时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； C 、当∠4=∠5时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意； D 、当∠1=∠2时，a ∥b ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键． 6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数C. 众数D. 方差【答案】C 【解析】 【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C ．【点睛】本题考查对统计量的意义的理解与运用，能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A. 2221(1)x x x -+=-B. 21(1)(1)x x x -=+-C. 2221(1)x x x ++=+D. 2(1)x x x x -=-【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1， 第二个图形的面积是（x+1）（x-1）． 则x 2-1=（x+1）（x-1）． 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】分别作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，证明△AOE ∽△OBF 得到2()4AOE BOF S AO S BO∆∆==，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图，则∠AEO=∠BFO=90°， ∴∠AOE+∠OAE=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BOF+∠AOE=90°， ∴∠OAE=∠BOF ， ∴△AOE ∽△OBF ，∴2()4AOEBOFS AO S BO∆∆==，即121||2=41||2k k ， ∴12||=4||k k∵10k ＞，20k ＜， ∴124k k =-． 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出4AOEBOFS S ∆∆=是解题的关键． 第Ⅱ卷（共106分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若分式11x +的值不存在，则x =__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可． 【详解】∵分式11x +的值不存在， ∴x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =__________． 【答案】258【解析】 【分析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c =-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可．【详解】∵2a =，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c =-=--⨯=，解得258c =，故答案为：258． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根与24b ac =-有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可． 【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件， ∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=(件)， 故答案为：20．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为28.0s =．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新__________．【答案】80 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S 新2=8.0； 故答案为：8.0．【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37．【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 14.在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11A OB ∆．已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是__________．【答案】243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【详解】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3）， ∴点A 1的坐标是：232323⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即A 1243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 故答案为：243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．【答案】48 【解析】 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π， 故60π=π×10×r ， 解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高=8∵圆锥主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=1128=482⨯⨯， 故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 16.如图，在矩形ABCD 中，4,8AD AB ==．分别以点,B D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与,,DC DB AB 交于点,,M O N ，则MN =__________．【答案】．【解析】【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD 的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．【详解】如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴=，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得=，∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO ， ∵OD=OB ，∴△DMO ≌△BNO （AAS ）， ∴∴．故答案为：【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.计算：101()2cos 4511)3--+-+ 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．【详解】101()2cos 4511)3--+-3211=--131=-1=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键． 18.解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3． 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =．连接,,,DE DF BE BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．【答案】见解析 【解析】 【分析】连接BD ，由菱形ABCD 的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ，得出OE=OF ，证出四边形BEDF 是平行四边形，再由EF ⊥BD ，即可证出四边形BEDF 是菱形． 【详解】证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ， ∵AE=CF ， ∴OE=OF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少（要求画树状图或列表求概率）【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3）1 6 .【解析】【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.【详解】（1）80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），补全条形统计图如下：∠∝=40360=72⨯︒︒；200（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=21=；126②列表如下共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=21=；126【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，要把两图形结合在一起进行解答．同时还考查了画树状图或列表求概率．21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从AD=米，仰角为30．3秒后，火箭直地面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45︒．已知,C D两处相距460米，求火箭≈≈）从A到B处的平均速度（结果精确到1 1.414【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得460，进而解得x的值．【详解】解：设火箭从A到B处平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴∵CD=460，∴，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴-460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?（2）现在计划安排,A B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排,A B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．【解析】【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540 321380 x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：300240 xy⎧⎨⎩＝＝．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，依题意，得：()() 7550300 3750240 m mm m⎧+-≥⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：25≤m≤2712．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =．线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是⊙O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解析；（2）23π- 【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据OA ＝OC ，DA ＝DC 可得∠O A C ＝∠OCA ，∠DAC ＝∠D CA ，再根据直线l 与⊙O 相切于点A 可得∠DAO ＝90°，进而可得∠DCO ＝90°，由此可证得直线DC 是⊙O 的切线；（2）先证明BOC 为等边三角形，可得OB ＝OC ＝BC ＝2，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =，由此可求得COE S =△，最后便可得23COE BOC S S S π=--△阴影扇形．【详解】（1）证明：连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠O A C ＝∠OCA ， ∵DA ＝DC ， ∴∠DAC ＝∠D CA ， ∵直线l 与⊙O 相切于点A ， ∴∠DAO ＝90°， ∴∠DAC +∠OAC ＝90°，∴∠DCA +∠OCA ＝90°， ∴∠DCO ＝90°， ∴OC ⊥DC ， 又∵点C 在⊙O 上， ∴直线DC 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠CAB ＝30°， ∴∠COB ＝2∠CAB ＝60°， 又∵OB ＝OC ， ∴BOC 为等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝2，∴26022=3603BOC S ππ⋅⋅=扇形， ∵∠OCE ＝90°，∠COB ＝60°， ∴∠E ＝90°－∠COB ＝30°， ∴OE ＝2OC ＝4，∴在Rt COE 中，CE ==， ∴12COE S OC OE =⋅△122=⨯⨯=，∴23COE BOC S S S π=--△阴影扇形∴阴影部分的面积为23π-．【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键．24.为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内? 【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①11y x x =++；②122x ≤≤．【解析】 【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围． 【详解】（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米， ∴与之相邻的另一边长为1x米， ∴水池侧面面积的和为：1112122()x x x x⨯⨯+⨯⨯=+ ∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，∴11112()0.51y x x xx=⨯++⨯=++ 即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即y ≤3.5∴11 3.5x x ++≤ ∴12.5x x+≤，根据图象或表格可知，当2≤y ≤2.5时，122x ≤≤， 因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在122x ≤≤． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，90,4ADC AD ∠==．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接,AG CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由； ②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长． （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ． ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①全等，证明见解析；；（2）①证明见解析；②2． 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS ）即可证明；②过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出cos cos GAM AGF ∠=∠=，再由cos FG GH AGF =∠求出结果；（2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC 中由三角形内角和定理得出90GAD ECA DAC ++∠=∠∠︒，从而证明结论；②根据∠APC =90°得出PC 最大值是∠GAD 最大时，即GD ⊥AG 时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值． 【详解】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD =CD ，90ADC ∠=，在正方形DEFG 中，GD =ED ，90GDE ∠=， 又∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90ADE ADG ∠+∠=︒， ∴ADG CDE ∠=∠ 在AGD △和CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴C AGD ED ≅（SAS ）； ②如解图2，过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG 中，DE =GD =GF =EF =2， 由①得C AGD ED ≅， ∴AG CE =， 又∵CE CD =， ∴4AG AD CD ===， ∵AM ⊥GD ， ∴112GM GD ==， 又∵90D F ∠=∠=︒ ， ∴四边形GMNF 是矩形， ∴2MN GF ==， 在Rt AGM中，AM ===，∴cos AM GAM AG ∠==∵//FG AM ，∴GAM AGF∠=∠∴cos FGAGFGH∠==，∴cosFGGHAGF===∠（2）①由①得CAGD ED≅，∴CGAD E D∠=∠，又∵90ECD ECA DAC++∠=∠∠︒，∴90GAD ECA DAC++∠=∠∠︒，∴90APC∠=︒，即：AG CP⊥；②∵90APC∠=︒，∴sinPC AP PAC=∠，∴当PAC∠最大时，PC最大，∵∠DAC=45°，是定值，∴GAD∠最大时，PAC∠最大，PC最大，∵AD=4，GD=2，∴当GD⊥AG，30GAD∠=︒最大，如解图3，此时AG===，又∵AG CP⊥，EF FG⊥，∴F点与P点重合，∴CEFP四点共线，∴CP=CE+EF=AG+EF=2+，∴线段PC得最大值为：2+．【点睛】本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键．26.如图1，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过,B C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点,,,E F P Q 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点,P Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，3y x =-+；（2）①925；②存在，点P 的坐标为(2，3)，点Q 的坐标为(1，2)或(1，2-) 【解析】 【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入2()30y ax bx a =++≠可求得抛物线表达式，再求得点C 的坐标，把B(3，0)，C 的坐标代入y kx n =+即可求解；（2）①设点D 的坐标为(m ，3m -+)，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得411mmPD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为(2，1)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入23y ax bx =++得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++， 令0x =，则3y =， ∴点C 的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入y kx n =+得：303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+； （2）①∵PA 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为(m ，3m -+)， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+， ∴111103k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩，解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，∴2332311m m x x x m m -+-++=-++++， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭， 解得：12411mx x m ==-+，(不合题意，舍去)， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41mm +，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：∴DM ∥PN ，OM=m ，ON=41mm +，OA=1， ∴PDC 12ADC411mmS S PD MN m S SDA AM m -+====+ ()2231m mm -+=+()2239241m m ⎛⎫--+⎪⎝⎭=+，∵10-<，∴当32m =时，分子取得最大值，即12S S 有最大值，最大值为925；②存在，理由如下： 作FG AB ⊥于G ，如图，∵2y x 2x 3=-++的对称轴为：12bx a=-=， ∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90︒， ∴△OCB 是等腰直角三角形， ∵∠EFB=90︒，BE=OB-OE=2， ∴△OCB 是等腰直角三角形， ∴EG=GB=EG=1， ∴点F 的坐标为(2，1)， 当EF 为边时，∵EFPQ 为平行四边形， ∴QE=PF ，QE ∥PF ∥y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2， 当2x =时，222233y =-+⨯+=， ∴点P 的坐标为(2，3)， ∴QE=PF=3-1=2， 点Q 的坐标为(1，2)； 当EF 为对角线时，如图，∵四边形PEQF平行四边形，∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理求得：点P的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2-)；综上，点P的坐标为(2，3)，点Q的坐标为(1，2)或(1，2-)；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．。
2020年中考数学模拟试卷03含解析 (2)
2020年中考数学模拟试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在实数实数0，−√5，√6，﹣2中，最小的是（ ） A ．0 B ．−√5C ．√6D ．﹣2【答案】B【解析】∵−√5＜﹣2＜0＜√6， ∴所给的数中，最小的数是−√5． 故选B ． 2．函数1x y x+=-的自变量取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x <C ．0x ≠D ．1x ≠-【答案】C【解析】当0x ≠时，分式有意义。
即1x y x+=-的自变量取值范围是0x ≠。
故答案为：C3．下列说法正确的是（ ）A ．调查某班学生的身高情况,适采用抽样训查B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适合采用全面调查C ．小南抛掷两次硬币都是正面向上,说明抛掷硬币正面向上的率是1D ．“若,m n 互为相反数,则0m n +=”,这一事件是必然事件 【答案】D【解析】A 、调查你所在班级同学的身高，采用普查；B 、调查端午节期间市场上粽子质量情况，采用抽样调查；C 、小南抛掷两次硬币都是正面向上,不能说明抛掷硬币正面向上的率是1；D 、若,m n 互为相反数,则有0m n +=成立，故这一事件是必然事件；故选D ． 4．点()2,3A -关于原点对称的点的坐标为（ ） A ．()2,3 B ．()3,2-C ．()2,3-D ．()3,2-【答案】C【解析】点()2,3A -关于原点对称的点的坐标为()2,3- 故选C.5．如图是一个几何体的三视图，则此几何体是（ ）A ．圆柱B ．棱柱C ．圆锥D ．棱台【答案】A【解析】由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选A ．6．九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是( )A ．34B ．23C ．25D ．16【答案】D【解析】画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为21= 126，故选D．7．已知关于x，y的方程组24x y mx y m+=⎧⎨-=⎩的解为3x＋2y＝14的一个解，那么m的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】C【解析】解方程组24x y mx y m+=⎧⎨-=⎩，得3x my m=⎧⎨=-⎩，把3x m=，y m=-代入3214x y+=得：9214m m-=，2m∴=，故选C.8．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①由抛物线可知：a ＞0，c ＜0，对称轴x ＝﹣2ba＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣2ba＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝a+b+c ＝0， ∴c+3a ＝0，∴c+2a ＝﹣3a+2a ＝﹣a ＜0，故②正确； ③（1，0）关于x ＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b+c ＝0，故③正确； ④当x ＝﹣1时，y 的最小值为a ﹣b+c ， ∴x ＝m 时，y ＝am 2+bm+c ， ∴am 2+bm+c ≥a-b+c ，即a ﹣b ≤m （am+b ），故④错误； ⑤抛物线与x 轴有两个交点， ∴△＞0， 即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确；故选A ．9．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM 2=，N 是AC 上一动点，则DN MN +的最小值为( )A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C【解析】连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OB，即D、B关于AC对称，∴DN=BN，连接BM交AC于N，则此时DN+MN最小，∴DN=BN，∴DN+MN=BN+MN=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，BC=8，CM=8-2=6，由勾股定理得：=，∴DN+MN的最小值为10，故选C ．10．如图，在半径为6的⊙O 中，正六边形ABCDEF 与正方形AGDH 都内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．27﹣B ．C ．54﹣D ．54【答案】C【解析】设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示： 根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形， ∴EF ＝OF ＝6，∴△EFO 的高为：OF •sin60°＝6×2＝MN ＝2（6﹣12﹣∴FM ＝12（6﹣12+3，∴阴影部分的面积＝4S △AFM ＝4×12（3）×54﹣ 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：3x 3﹣12x=_____． 【答案】3x （x+2）（x ﹣2） 【解析】3x 3﹣12x =3x （x 2﹣4） =3x （x+2）（x ﹣2）， 故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．12．在学校举行“中国诗词大会”的比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，这组数据的众数是_____． 【答案】90【解析】这组数据中数据90出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为90， 故答案为：90．13．化简2221m m nm n ---的结果是____．【答案】1m n+. 【解析】原式＝2()()()()m m n m n m n m n m n +-+-+-＝()()m n m n m n -+-＝1m n+．故答案为：1m n+14．如图，在▱ABCD中，AB AD＝4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_____．【答案】3【解析】∵翻折后点B恰好与点C重合，∴AE⊥BC，BE＝CE，∵BC＝AD＝4，∴BE＝2，∴3AE===．故答案为3．15．如图，直线y＝12x与双曲线y＝kx（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝12x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝3BC，则k的值为____．【答案】98.【解析】如图，∵将直线y＝1x2向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝12x+2，如图：分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，32 x），），∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝13 OD，∵点B在直线y＝12x+2上，∴B（x，12x+2），∵点A、B在双曲线y＝kx，∴313222x x x x⎛⎫⋅=⋅+⎪⎝⎭，解得x＝12，∴111922228k⎛⎫=⨯⨯+=⎪⎝⎭．故答案为：9 816．如图，∠AOC＝90°，P为射线OC上任意一点（点P不与点O重合），分别以AO，AP为边在∠AOC的内部作两个等边△AOE和△APQ，连接QE并延长交OP于点F，则∠OEF的度数是_____．【答案】30°【解析】∵△AOE，△APQ都是等边三角形，∴AE＝AO，AQ＝AP，∠EAO＝∠QAP＝60°，∴∠QAE＝∠PAO，∴△QAE≌△PAO（SAS），∴∠AEQ＝∠AOP，∵∠AOP＝90°，∴∠AEQ＝∠AEF＝90°，∵∠AEO＝60°，∴∠OEF＝30°，故答案为30°．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分8分）解不等式组：3(2)421152x x x x --⎧⎪-+⎨<⎪⎩…． 【解析】3(2)4(1)211(2)52x x x x --⎧⎪-+⎨<⎪⎩… 不等式()1可化为364x x -+≥，解得1x ≤，不等式()2可化为()()22151x x -<+，4255x x -<+，解得7x >-．把解集表示在数轴上为：∴原不等式组的解集为71x -<≤．18．（本小题满分8分）如图，点B 在DC 上，BE 平分∠ABD ，∠ABE ＝∠C ，求证：BE ∥AC ．【解析】∵BE 平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABE；∵∠ABE＝∠C，∴∠DBE＝∠C，∴BE∥AC．19．（本小题满分8分）某服饰公司为我学校七年级学生提供L码、M码、S码三种大小的校服，我校1000名学生购买校服，随机抽查部分订购三种型号校服的人数，得到如图统计图：（1）一共抽查了人；（2）购买L码人数对应的圆心角的度数是；（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备多少件M码的校服？【解析】（1）本次调查的总人数为22÷22%＝100人，故答案为100；（2）购买L码人数对应的扇形的圆心角的度数是360°×30100＝108°，故答案为108°；（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备M码的校服1000×1003022100--＝480（件）．20．（本小题满分8分）如图，在下列9×9的网格中，横纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，1）、B（8，3）都是格点，E、F为小正方形边的中点，C为AE、BF的延长线的交点．（1）AE的长等于；（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图示所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并直接写出P、Q两点的坐标．=；【解析】（1）AE2（2）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．∴P（3，4），Q（6，6）．21．（本小题满分8分）如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)如图2，连接CD，若BC的长．【解析】(1)证明：连接OD ，OA ，作OF⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD ，∴AC 是⊙O 的切线；(2)过D 作DF⊥BC 于F ，连接OD ，∵tan∠BCD＝4，∴4DF CF设DF a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x ，∵O 是底边BC 中点，∴OB＝OC ＝4a ﹣x ，∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，∵OD⊥AB，∴∠BDO＝90°，∴∠BDF+∠FDO＝90°，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠D OF＝90°，∴∠BDF＝∠DOF，∴△DFO∽△BFD，∴BF DFDF FO=，x=，解得：x1＝x2＝a，∵⊙O∵DF2+FO2＝DO2，x)2+x2＝)2，∴x1＝x2＝a＝1，∴OC＝4a﹣x＝3，∴BC＝2OC＝6．22．（本小题满分10分）某校两次购买足球和篮球的支出情况如表：（2）学校准备给帮扶的贫困学校送足球、篮球共计60个，恰逢市场对两种球的价格进行了调整，足球售价提高了10%，篮球售价降低了10%，如果要求一次性购得这批球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个足球？【解析】（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球的花费需要y元，根据题意，得23310 52500x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8050 xy=⎧⎨=⎩．答：购买一个足球和一个篮球的花费各需要80和50元；（2）设购买a个足球，根据题意，得：（1+10%）×80a+（1﹣10%）×50（60﹣a）≤4000，解得：a≤1300 43，又∵a为正整数，∴a的最大值为30．答：最多可以购买30个足球．23．（本小题满分10分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E在边BC上，BE＝1n BC，AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．（1）求证：OF＝OG．（2）用含有n的代数式表示tan∠OBG的值．（3）若BF＝2，OF＝1，∠GEC＝90°，直接写出n的值．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO，AC⊥BD，∴∠AFO+∠FAO＝90°，∵AE⊥BG，∴∠BFE+∠FBG＝90°，且∠BFE＝∠AFO，∴∠FAO＝∠FBG，且OA＝OB，∠AOF＝∠BOG，∴△AOF≌△BOG（ASA），∴OF＝OG；（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∵BE＝1n BC，∴设BC＝n，则BE＝1，∴点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣x+n，直线AE解析式为：y＝﹣nx+n，∵BG⊥AE，∴直线BG的解析式为：y＝1nx，∴1nx＝﹣x+n，∴x＝21nn +，∴点G坐标（21nn+，1nn+），∵点A（0，n），点E（1，0），点C坐标（n，0），∴BO＝2n，点O坐标（2n，2n），∴OG＝() ()1 21nn-+，∴tan∠OBG＝11 OG nOB n-=+；（3）∵OB＝OF+BF，BF＝2，OF＝1，∴OB＝3，且OF＝OG，OC＝OB，BO⊥CO，∴OC＝3，OG＝1，BC＝，∴CG＝2，∵∠GEC＝90°，∠ACB＝45°，∴GE＝EC∴BE＝BC﹣EC＝，∴23 BEBC=，∴BE＝23BC=1nBC，∴n＝32.24．（本小题满分12分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．【解析】（1）由题意得：()121931bb c⎧-=⎪⨯-⎨⎪-++=-⎩，解得：22bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，∴B（0，2），由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），∵A（3，-1），∴AB，BC，AC∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=1，∴PE=AD=1∵由-x2+2x+2=1得：x=1，∴P（，1）或（，1），②如图，当点Q在PA延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD，∴PEAD=PQAQ=3，∴PE=3AD=3∵由-x2+2x+2=-3得：x，∴P（，-3），或（，-3），综上可知：点P的坐标为（，1）、（，1）、（，-3）或（，-3）．。
2020年湖南省长沙市中考数学试卷及参考答案与试题解析
2020年湖南省长沙市中考数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020•长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣82．（3分）（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2020•长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×10124．（3分）（2020•长沙）下列运算正确的是（）A．√3+√2=√5B．x8÷x2＝x6C．√3×√2=√5D．（a5）2＝a7 5．（3分）（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v=106t B．v＝106t C．v=1106t2D．v＝106t26．（3分）（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42√3米B．14√3米C．21米D．42米7．（3分）（2020•长沙）不等式组{x +1≥−1x 2＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 8．（3分）（2020•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）A ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C ．第一次摸出的球是红球的概率是13D ．两次摸出的球都是红球的概率是19 9．（3分）（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day ）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④10．（3分）（2020•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A 与直角顶点C 分别在两平行线FD 、GH 上，斜边AB 平分∠CAD ，交直线GH 于点E ，则∠ECB 的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．25°11．（3分）（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ）A ．400x−30=500x B ．400x =500x+30 C ．400x =500x−30 D ．400x+30=500x12．（3分）（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2020•长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数 7次及以上6 5 4 3 2 1次及以下 人数 8 12 31 24 15 6 4这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．14．（3分）（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A 、B 、C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学． 请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为 ．15．（3分）（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．16．（3分）（2020•长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ．（1）PF PQ +PE PM = ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则MQ NQ = ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（√10−1）0+√2cos45°+（14）﹣1． 18．（6分）（2020•长沙）先化简再求值：x+2x 2−6x+9•x 2−9x+2−x x−3，其中x ＝4．19．（6分）（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ．（2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ，射线OC 即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．20．（8分）（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取人；（2）m＝，n＝；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21．（8分）（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．22．（9分）（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？23．（9分）（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β，求tanα+tanβ的值．24．（10分）（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y=m x（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．̂上25．（10分）（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；̂从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过（2）当点C沿着劣弧AB的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．2020年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020•长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣8【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，故选：D．2．（3分）（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．（3分）（2020•长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×1012【解答】解：632 400 000 000＝6.324×1011，故选：A．4．（3分）（2020•长沙）下列运算正确的是（）A．√3+√2=√5B．x8÷x2＝x6C．√3×√2=√5D．（a5）2＝a7【解答】解：A 、√3与√2不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B 、原式＝x 8﹣2＝x 6，计算正确，故本选项符合题意． C 、原式=√3×2=√6，计算错误，故本选项不符合题意．D 、原式＝a 5×2＝a 10，计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B ．5．（3分）（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m 3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v （单位：m 3/天）与完成运送任务所需时间t （单位：天）之间的函数关系式是（ ）A ．v =106tB ．v ＝106tC ．v =1106t 2D ．v ＝106t 2【解答】解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v ×完成运送任务所需时间t ， ∴106＝vt ，∴v =106t ， 故选：A ．6．（3分）（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）A ．42√3米B ．14√3米C ．21米D ．42米【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42√3（米）故选：A ．7．（3分）（2020•长沙）不等式组{x +1≥−1x 2＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：由不等式组{x +1≥−1x 2＜1，得﹣2≤x ＜2，故该不等式组的解集在数轴表示为：故选：D ．8．（3分）（2020•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）A ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C ．第一次摸出的球是红球的概率是13D ．两次摸出的球都是红球的概率是19 【解答】解：A 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C 、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是13，故本选项正确；D 、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项正确； 故选：A ．9．（3分）（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day ）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A ．10．（3分）（2020•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A 与直角顶点C 分别在两平行线FD 、GH 上，斜边AB 平分∠CAD ，交直线GH 于点E ，则∠ECB 的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．25°【解答】解：∵AB 平分∠CAD ， ∴∠CAD ＝2∠BAC ＝120°， 又∵DF ∥HG ，∴∠ACE ＝180°﹣∠DAC ＝180°﹣120°＝60°， 又∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACB ﹣∠ACE ＝90°﹣60°＝30°， 故选：C ．11．（3分）（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ） A ．400x−30=500xB ．400x=500x+30C ．400x=500x−30D ．400x+30=500x【解答】解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x +30）万件产品， 依题意，得：400x=500x+30．故选：B ．12．（3分）（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，{9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6， 解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−b 2a =− 1.52×(−0.2)=3.75， 则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2020•长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表： 次数7次及以上654321次及以下 人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是 5 ， 5 ． 【解答】解：这次调查中的众数是5， 这次调查中的中位数是5+52=5，故答案为：5；5．14．（3分）（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．【解答】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．15．（3分）（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为3π．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．16．（3分）（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM=1．（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=√5−12．【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°， ∵NE 平分∠PNM ， ∴∠MNE ＝∠PNE ， ∴△PEN ∽△QFN ， ∴PE QF=PN QN，即PEPN=QF QN①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°， ∴∠NPQ ＝∠PMQ ， ∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ， ∴PN MP=NQ PQ②，∴①×②得PEPM=QF PQ，∵QF ＝PQ ﹣PF ， ∴PE PM =QF PQ =1−PFPQ ， ∴PF PQ+PE PM=1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPQ ， ∴△NPQ ∽△NMP ， ∴PN MN=QN PN，∴PN 2＝QN •MN ， ∵PN 2＝PM •MN ， ∴PM ＝QN ， ∴MQ NQ=MQ PM，∵tan ∠M =MQPM =PMMN ， ∴MQ NQ =PM MN，∴MQ NQ=NQ MQ+NQ，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQNQ ， 设MQ NQ=x ，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去），∴MQ NQ=√5−12， 故答案为：√5−12． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（√10−1）0+√2cos45°+（14）﹣1．【解答】解：原式＝3﹣1+√2×√22+4 ＝2+1+4 ＝7．18．（6分）（2020•长沙）先化简再求值：x+2x 2−6x+9•x 2−9x+2−xx−3，其中x ＝4．【解答】解：x+2x −6x+9•x 2−9x+2−xx−3=x+2(x−3)2⋅(x+3)(x−3)x+2−x x−3 =x+3x−3−xx−3 =3x−3，当x ＝4时，原式=34−3=3．19．（6分）（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ，射线OC 即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ① ．（填序号） ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA（2）请你证明OC 为∠AOB 的平分线．【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS ． 故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM ＝ON ，OC ＝OC ，MC ＝NC ， 则在△OMC 和△ONC 中， {OM =ON OC =OC MC =NC， ∴△OMC ≌△ONC （SSS ）， ∴∠AOC ＝∠BOC ， 即OC 为∠AOB 的平分线．20．（8分）（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取200人；（2）m＝86，n＝27；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），故答案为：200；（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，n＝27，故答案为：86，27；（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：（4）3000×27%＝810（人），答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．21．（8分）（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC=√3，∴tan∠DAC=DCAD=√33，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2√3，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC=12AC=√3，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA =AEcos30°=2，∴⊙O 的半径为2．22．（9分）（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A ，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批 第二批 A 型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B 型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A 、B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A 种型号货车．试问至少还需联系多少辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？【解答】解：（1）设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，依题意，得：{x +3y =282x +5y =50，解得：{x =10y =6．答：A 种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．（2）设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意，得：10×3+6m ≥62.4， 解得：m ≥5.4， 又∵m 为正整数， ∴m 的最小值为6．答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地． 23．（9分）（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ． （1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝2√3，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠F AE ＝β，求tan α+tan β的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， 由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB +∠EFC ＝90°，∠EFC +∠CEF ＝90°， ∴∠AFB ＝∠FEC ， ∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC ＝x ，由翻折可知，AD ＝AF ＝4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝2， ∵△ABF ∽△FCE ， ∴AB CF=BF EC，∴2√32=2x， ∴x =2√33， ∴EC =2√33．（3）∵△ABF ∽△FCE ， ∴AF EF=AB CF，∴tan α+tan β=BFAB +EFAF =BFAB +CFAB =BF+CF AB=BCAB ， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ， ∴AE ＝DE +2CE ＝x +2（a ﹣x ）＝2a ﹣x ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝x ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2＝AE 2，∴b 2+x 2＝（2a ﹣x ）2，∴a 2﹣ax =14b 2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴22=√b 2−a 2a−x ，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2， 整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0，∴（4a 2﹣3b 2）2＝0，∴b a =2√33， ∴tan α+tan β=BC AB =2√33．24．（10分）（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y ＝2x （ √ ）；②y =mx （m ≠0）（ √ ）；③y ＝3x ﹣1（ × ）．（2）若点A （1，m ）与点B （n ，﹣4）是关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围．（3）若关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+2bx +3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①a +b +c ＝0，②（2c +b ﹣a ）（2c +b +3a ）＜0，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．【解答】解：（1）①y ＝2x 是“H 函数”．②y =m x （m ≠0）是“H 函数”．③y ＝3x ﹣1不是“H 函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A ，B 是“H 点”，∴A ，B 关于原点对称，∴m ＝4，n ＝﹣1，∴A （1，4），B （﹣1，﹣4），代入y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）得{a +b +c =4a −b +c =−4， ∴{b =4a +c =0， ∵该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，∴−b 2a ＞2，∴−42a ＞2，∴﹣1＜a ＜0，∵a +c ＝0，∴0＜c ＜1，综上所述，﹣1＜a ＜0，b ＝4，0＜c ＜1．（3）∵y ＝ax 2+2bx +3c 是“H 函数”，∴设H （p ，q ）和（﹣p ，﹣q ），代入得到{ap 2+2bp +3c =q ap 2−2bp +3c =−q， 解得ap 2+3c ＝0，2bp ＝q ，∵p 2＞0，∴a ，c 异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴c2a＜4，∴﹣2＜ca＜2，设t=ca，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1﹣x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−2b a)2−4⋅3c a=√4(a+c)2a2−12c a=√4[1+2c a+(c a)2−3c a]＝2√1+2t+t2−3t＝2√(t−12)2+34，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2√7．25．（10分）（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB̂上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧AB̂从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，∴AH＝HB=12AB＝2√3，∠AOH＝∠BOH，∴sin∠AOH=AHAO=√32，∴∠AOH＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC．∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP=12OC＝2，∴点P 的运动路径的长=120⋅π⋅2180=4π3． （3）如图3中，若AC ＜BC ，连接OC 交AB 于J ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，过点C 作CK ⊥AB 于K ．∵AD ＝CD ，CE ＝EB ，∴DE ∥AB ，AB ＝2DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴S △CDES △CAB =（DE AB ）2=14， ∴S △ABC ＝4S 2，∵S △ADO ＝S △ODC ，S △OBE ＝S △OEC ，∴S 四边形ODCE =12S 四边形OACB ，∴S 1+S 2=12（4S 2+4√3）＝2S 2+2√3，∴S 1＝S 2+2√3，∵S 12﹣S 22＝21，∴S 22+4√3S 2+12﹣S 22＝21，∴S 2=3√34，∴S △ABC ＝3√3=12×AB ×CK ，∴CK =32，∵OH ⊥AB ，CK ⊥AB ，∴OH ∥CK ，∴△CKJ ∽△OHJ ，∴CK OH =CJ OJ ，∴CJOJ =322=34，∴CJ=37×4=127，OJ=47×4=167，∴JK=√CJ2−CK2=√(127)2−(32)2=3√1514，JH=√OJ2−OH2=√(167)2−22=2√157，∴KH=√15 2，∴AK＝AH﹣KH＝2√3−√15 2，∴AC=√AK2+CK2=(2√3−√152)2+(32)2=√18−6√5=√15−√3．若AC＞BC时，同法可得AC=√15+√3，综上所述，AC的长为√15−√3或√15+√3．。
2020年湖南省初中数学学业水平考试 数学模拟试卷(二)(解析版)
2020年湖南省初中数学学业水平考试数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上．每小题4分，共40分）1．﹣2020的相反数是（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．20201D ．﹣20201 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：﹣2020的相反数是2020．故选：A ．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．﹣22×3的结果是（ ）A ．﹣5B ．﹣12C ．﹣6D ．12【分析】根据有理数的混合运算法则解答即可．【解答】解：﹣22×3＝﹣4×3＝﹣12．故选：B ．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．有理数的混合运算，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号内的．3．下列运算正确的是（ ）A ．a •a 2＝a 2B ．（ab ）2＝abC ．3﹣1＝D ．【分析】根据同底数幂的乘法法则对A 进行判断；根据积的乘方对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据二次根式的加减法对D 进行判断．【解答】解：A 、原式＝a 3，所以A 选项错误；B 、原式＝a 2b 2，所以B 选项错误；C 、原式＝，所以C 选项正确；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了整式的运算．4．分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＝0 C．x≠﹣2 D．x＝﹣7【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．【解答】解：分式有意义，则x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：A．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．5．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A＝35°，然后利用平行线的性质得到∠1＝∠B＝35°．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠B＝90°．又∵∠B＝55°，∴∠A＝35°．又CD∥AB，∴∠1＝∠A＝35°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数．6．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．5【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【解答】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3＝（1+2+3+4+x）÷5，解得x＝5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5＝3，解得x＝5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5＝2，解得x＝0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5＝2，解得x＝0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5＝x，解得x＝2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选：C．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数7．如图的立体图形的左视图可能是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．【解答】解：此立体图形的左视图是直角三角形，故选：A．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+k与y＝（k为常数，k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】方法1、根据已知解析式和函数的图象和性质逐个判断即可．方法2、先根据一次函数的图象排除掉C，D，再判断出A错误，即可得出结论．【解答】解：方法1、A、从一次函数图象看出k＜0，而从反比例函数图象看出k＞0，故本选项不符合题意；B、从一次函数图象看出k＞0，而从反比例函数图象看出k＞0，故本选项符合题意；C、从一次函数图象看出k＞0，而从反比例函数图象看出k＜0，故本选项不符合题意；D、从一次函数图象看出k＜0，而从反比例函数图象看出k＜0，但解析式y＝x+k的图象和图象不符，故本选项不符合题意；故选B．方法2、∵函数解析式为y＝x+k，这里比例系数为1，∴图象经过一三象限．排除C，D选项．又∵A、一次函数k＜0，反比例函数k＞0，错误．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，能灵活运用图象和性质进行判断是解此题的关键．9．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2，②a＝b①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，由△＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0可的结果．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，∴x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得，22﹣6×2+n﹣1＝0，解得：n＝9，当n＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不合题意，②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0解得：n＝10，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．10．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2020的值为（）A．201721⎪⎭⎫⎝⎛B．201722⎪⎪⎭⎫⎝⎛C．201822⎪⎪⎭⎫⎝⎛D．201821⎪⎭⎫⎝⎛【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出2S2＝S1，根据数的变化找出变化规律“S n＝（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴2S2＝S1．观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…，∴S n＝（）n﹣3．当n＝2020时，S2018＝（）2020﹣3＝（）2017．故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是利用图形找出规律“S n＝（）n﹣3”．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题4分，共32分）11．新田为实现全县“脱贫摘帽”，2019年2月已统筹整合涉农资金235000000元，撬动800000000元金融资本参与全县脱贫攻坚工作，请将235000000用科学记数法表示为 2.35×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将235000000用科学记数法表示为：2.35×108．故答案为：2.35×108．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．直线y＝2x+1经过点（0，a），则a＝ 1 ．【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（0，a）代入直线方程，然后解关于a的方程即可．【解答】解：∵直线y＝2x+1经过点（0，a），∴a＝2×0+1，∴a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征：经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足该函数的解析式方程．13．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】方法1解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为4．方法2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD 的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．14．把多项式3x2﹣12因式分解的结果是3（x﹣2）（x+2）．【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x﹣2）（x+2）．故答案为：3（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑运用公式法，注意分解一定要彻底．15．不等式组的解集是2≤x＜4 ．【分析】分别解两个不等式得到x＜4和x≥2，然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集．【解答】解：，解①得x＜4，解②得x≥2，所以不等式组的解集为2≤x＜4．故答案为2≤x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．如图，已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB 的面积为1，则k＝﹣2 ．【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|＝1，解得k＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，7），（3m﹣1，7），若线段AB与直线y＝﹣2x﹣1相交，则m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1 ．【分析】先求出直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m ≤﹣4≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．【解答】解：当y＝7时，﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4，所以直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，无解；当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，解得﹣4≤m≤﹣1，所以m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，故答案为﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y＝﹣2x﹣1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．．18．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与射线AC相交于点D．当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于2．【分析】连接PB、PC，根据二次函数的对称性可知OB＝PB，PC＝AC，从而判断出△POB和△ACP是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，∵△ODA是等边三角形，∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴△POB和△ACP是等边三角形，∵A（4，0），∴OA＝4，∴点B、C的纵坐标之和为4×＝2，即两个二次函数的最大值之和等于2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形并利用等边三角形的知识求解是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19．（8分）计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2020【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）先化简，再求值：﹣÷，其中a＝1．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣•2（a﹣3）＝﹣＝＝，当a＝1时，原式＝＝﹣1．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A：结伴步行、B：自行乘车、C：家人接送、D：其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽查的学生人数是多少人？（2）请补全条形统计图；请补全扇形统计图；（3）“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数是126 度；（4）如果该校学生有2000人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？【分析】（1）本次抽查的学生人数：18÷15%＝120（人）；（2）A：结伴步行人数120﹣42﹣30﹣18＝30（人），据此补全条形统计图；（3）“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360°×＝126°；（4）估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000×25%＝500（人）．【解答】解：（1）本次抽查的学生人数：18÷15%＝120（人），答：本次抽查的学生人数是120人；（2）A：结伴步行人数120﹣42﹣30﹣18＝30（人），补全条形统计图如下：（3）“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360°×＝126°，故答案为126；（4）估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000×25%＝500（人），答：该校“家人接送”上学的学生约有500人．【点评】本题主要考查条形统计图及扇形统计图及相关计算．解题的关键是读懂统计图，从条形统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（10分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，）【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB＝AC+DE即可得出结论．【解答】解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE•tan60°＝6×＝6≈6×1.732≈10.4m，∴AB＝AC+DE＝10.4+1.5＝11.9m．答：旗杆AB的高度是11.9米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出AC的长是解答此题的关键．23．（10分）如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．（1）求证：AE＝BF．（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的边长．【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA证得△ABE≌△BCF即可得出结论；（2）证出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG ＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，∵∠BEG＝∠AEB，∴△BGE∽△ABE，∴＝，即：BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，∴（）2＝x•（2+x），解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意舍去），∴AE＝3，∴AB＝＝＝．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等与相似是解题的关键．24．（10分）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD＝DB．（1）求证：DB为⊙O的切线．（2）若AD＝1，PB＝BO，求弦AC的长．【分析】（1）要证明DB为⊙O的切线，只要证明∠OBD＝90即可．（2）根据已知及直角三角形的性质可以得到PD＝2BD＝2DA＝2，再利用等角对等边可以得到AC＝AP，这样求得AP的值就得出了AC的长．【解答】（1）证明：连接OD；∵PA为⊙O切线，∴∠OAD＝90°；在△OAD和△OBD 中，，∴△OAD≌△OBD，∴∠OBD＝∠OAD＝90°，∴OB⊥BD∴DB为⊙O的切线（2）解：在Rt△OAP中；∵PB＝OB＝OA，∴OP＝2OA，∴∠OPA＝30°，∴∠POA＝60°＝2∠C，∴PD＝2BD＝2DA＝2，∴∠OPA＝∠C＝30°，∴AC＝AP＝3．【点评】本题考查了切线的判定及性质，全等三全角形的判定等知识点的掌握情况．25．（12分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：车型目的地大货车A村（元/辆）B村（元/辆）800 900小货车400 600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：，解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆．（2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y＝100x+9400，k＝100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往A村．最少运费为9900元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC 于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a ＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QPC＝，∴，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝，∴，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有：，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，∴S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ＝FQ•AG+FQ•DG，＝FQ（AG+DG），＝FQ•AD，＝×2（t﹣），＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．。
人教版2020年中考数学模拟试题及答案(含详解) (4)
中考数学模拟试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．2．（2.00分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞03．（2.00分）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2.00分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m25．（2.00分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°6．（2.00分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．47．（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2.00分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2.00分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2.00分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2.00分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2.00分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计线路A59151166124500 B5050122278500 C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2.00分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2.00分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5.00分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5.00分）解不等式组：20．（5.00分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．22．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A （4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6.00分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6.00分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7.00分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B 重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7.00分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2.00分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2.00分）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2.00分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2.00分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2.00分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2.00分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2.00分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2.00分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2.00分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2.00分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2.00分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为380元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，当租1艘四人船，1艘6人船，1一艘8人船，100+130+150=380元∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是380元，故答案为：380．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2.00分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5.00分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5.00分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5.00分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A （4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6.00分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6.00分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷及其答案
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．﹣B．C．﹣3D．32．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a53．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝15．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a 2+a ＝．14．（3分）计算：﹣x ＝．15．（3分）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（，），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O 在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y 的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F 同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连接OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．2020年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．﹣B．C．﹣3D．3【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：D．2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5【解答】解：a3与a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D符合题意；故选：D．3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小【解答】解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A不符合题意；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B不符合题意；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意、选项D不符合题意；故选：C．11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6【解答】解：存在两种情况：如图1，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AD＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．如图2，过D作DM⊥BC于M，延长CB交直线DF于E，∴AD＝DF＝2，BE＝1，∴∠DAF＝∠DFA，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠EBF＝∠EFB，∴EF＝BE＝1，∴DE＝1+2＝3，∵∠DEM＝45°，∠DME＝90°，∴DM＝EM＝＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•DM＝2×＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝a（a+1）．【解答】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．（3分）计算：﹣x＝1．【解答】解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．（3分）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于12．【解答】解：∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为105°．【解答】解：如图，∵AB ∥CD ，∠D ＝45°，∴∠2＝∠D ＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有2x ﹣17+x ＝52，解得x ＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（，），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．【解答】解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【解答】解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，检验，n＝1是原方程的根，且符合题意，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24（cm），当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12（cm），又∵OC＝DE＝12（cm），∴B′D＝B′E+DE＝12+12（cm），即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O 在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．解法二：证明△BDE∽△BAD，可得＝＝＝，设BE＝3k，BD＝4k，则BA＝k，∵BA﹣BE＝AE，∴k﹣3k＝10，∴k＝，∴BD＝4k＝．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y 的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连接OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点H落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．第21页（共21页）由题意：（t ﹣3）2﹣••（3t ﹣13）＝，整理得45t 2﹣486t +1288＝0，解得t ＝或（舍弃），∴满足条件的t 的值为．（3）如图3﹣1中，当点M 第一次落在EH 上时，4t +t ＝3，t ＝（s ），当点M 第一次落在FG 上时，4t +t ＝4，t ＝（s ），∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s ），当点M 第二次落在FG 上时，4t ﹣t ＝4，t ＝（s ），当点M 第二次落在EH 上时，4t ﹣（t +1）＝4，t ＝（s ），点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s ），当3≤t ≤5时，E 点运动，M 在O 点不动，M 在正方形EFGH 的边界，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝++2＝（s ）．。
湖南省湘潭市2020年中考数学模拟试题(二)有答案精析
湖南省湘潭市2020年中考数学模拟试卷（二）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．|﹣2|=（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（﹣4x）2=（）A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x23．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．下列命题中，正确的是（）A．平行四边形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直且平分D．对角线相等的四边形是矩形5．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（）A． B． C． D．16．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．7．若关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＜2 D．a＞28．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2） D．（2，1）二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．化简：﹣=____________．10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是____________．11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则此函数的关系式是____________．12．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为____________．13．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为____________元．14．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是____________．15．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=____________．16．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为____________．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．计算：|﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0．18．解不等式．19．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．20．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．21．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）22．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．24．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．25．（10分）（2020•湘潭模拟）如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE=CK；（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长．26．（10分）（2020•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？2020年湖南省湘潭市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．|﹣2|=（）A．2 B．﹣2 C． D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的性质可直接求出答案．【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．故选：A．【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（﹣4x）2=（）A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x2【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=16x2，故选D．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列命题中，正确的是（）A．平行四边形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直且平分D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据菱形的性质对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项错误；B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直且平分，所以C选项正确；D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部组成．熟练平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质是解决此题的关键．5．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（）A． B． C． D．1【考点】列表法与树状图法．【分析】首先分别用A与B表示三角形与矩形，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与能拼成“小房子”（如图2）的情况，再利用概率公式求解即可求得答案，【解答】解：分别用A与B表示三角形与矩形，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，能拼成“小房子”的有8种情况，∴任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于：=．故选A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（）A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形是三角形即可．【解答】解：A、主视图为长方形，故本选项错误；B、主视图为三角形，故本选项错误；C、主视图为长方形，故本选项错误；D、主视图为长方形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7．若关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＜2 D．a＞2【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣a+=0没有实数根，∴△=12﹣4（﹣a+）＜0，解得：a＜2，故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，2） D．（2，1）【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．【解答】解：∵点C的坐标为（4，0），∴OC=4，∴点B的纵坐标是﹣1，∴A（2，1）．故选D．【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．化简：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是4．【考点】三角形的面积．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，=S△CGE+S△BGF=4．∴S阴影故答案为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则此函数的关系式是y=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），则把（2，3）代入解析式就可以得到k的值．【解答】解：根据题意得：3=解得k=6，则此函数的关系式是y=．故答案为：y=．【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．12．在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为．【考点】几何概率．【分析】根据题意，求得正方形与圆的面积，相比计算可得答案．【解答】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，圆的半径为1cm，其面积为πcm2，故其概率为．【点评】本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．13．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为500元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润=售价﹣进价，根据此等量关系列方程即可．【解答】解：设该服装的标价为x元，则实际售价为80%x，根据等量关系列方程得：80%x﹣300=100，解得：x=500．故答案为：500．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解利润、售价、进价三者之间的关系是解题关键．14．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是﹣2＜x≤﹣1．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】把所给两点代入一次函数解析式可得k，b的值，进而求不等式组的解集即可．【解答】解：∵直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，∴，解得，∴不等式变为﹣3≤﹣2x﹣5＜﹣x﹣3，解得﹣2＜x≤﹣1，故答案为﹣2＜x≤﹣1．【点评】考查一次函数和一元一次不等式的相关问题；用待定系数法求得未知函数解析式是解决本题的突破点．15．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=80°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．【解答】解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴=，∴∠BOD=2∠BAC=80°．故答案为：80°．【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．16．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可．【解答】解：∵AB=3，AD=4，∴DC=3，BC=4∴AC==5，根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，22+x2=（4﹣x）2，解得：x=，故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．计算：|﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣2×+1=﹣+1=1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．解不等式．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≤2，由②得，x＞﹣．故不等式组的解集为：﹣＜x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．20．某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数．【分析】（1）根据A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，求得B等和C等所占的百分比，再根据捐10元和15元的人数共27人求得总人数；根据中位数和众数的概念求解；（2）各部分所占的圆心角即为百分比×360°；（3）根据样本估计总体．【解答】解：（1）总人数=27÷=60（人）；众数：20（元）；中位数15（元）．（2）捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数=×360°=108°；（3）D部分的学生人数=1000×=300（人）；D部分学生的捐款总额=300×20=6000（元）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时也考查了中位数、众数、平均数的概念及根据样本估计总体．21．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE ﹣CE，可得出答案；（2）在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．【解答】解：如右图，过点B作BE⊥AC于点E，（1）在Rt△ABE中，AB=3m，cos12°≈0.9781，AE=ABcos12°≈2.934m=293.4cm，∴AC=AE﹣CE=293.4﹣60=233.4cm．答：AC的长度约为233.4cm．（2）h=BE=ABsin12°=×300×0.2079=20.79≈20.8cm．答：每级台阶的高度h约为20.8cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，并解直角三角形．22．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】首先得出BC=EF，利用平行线的性质∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，即可得出答案．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．23．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．25．（10分）（2020•湘潭模拟）如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE=CK；（2）如果AB=a，AD=a（a为大于零的常数），求BK的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先根据平行线的性质和垂直的定义得出∠AED=90°，再根据矩形的性质判断出Rt△ADE≌Rt△CBK即可；（2）先利用勾股定理求出AC，再用三角形的面积公式求出BK即可．【解答】（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，在△ADE和△CBK中∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK．（2）在Rt△ABC中，AB=a，AD=BC=a，∴AC===，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===a．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，平行线的性质，垂直的定义，勾股定理，解本题的关键是判断出Rt△ADE≌Rt△CBK．26．（10分）（2020•长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？【考点】一次函数的应用；分段函数．【分析】（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本﹣员工工资﹣其它费用，列出方程即可解；（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．【解答】解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，则，解得，故，同理，当60＜x＜100时，．故y=；（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，由5=（﹣×50+8）（50﹣40）﹣15﹣0.25a，得30﹣15﹣0.25a=5，解得a=40，所以公司可安排员工40人；（3）当40≤x≤60时，利润w1=（﹣x+8）（x﹣40）﹣15﹣20=﹣（x﹣60）2+5，则当x=60时，w max=5万元；当60＜x＜100时，w2=（﹣x+5）（x﹣40）﹣15﹣0.25×80=﹣（x﹣70）2+10，∴x=70时，w max=10万元，∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，∴n≥8，即n=8为所求．【点评】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．。
2020年湖南省常德市汉寿县中考数学一模测试试卷 (解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．2019年“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（）A．68.8×104B．0.688×106C．6.88×105D．6.88×1062．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°3．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．14．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．3或05．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差6．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（）A．B．C．D．8．如图摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2020个图案中箭头的指向是（）A．上方B．左方C．下方D．右方二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．数据2，7，5，7，9的众数、中位数、平均数分别是、、．11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．12．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝．13．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为．14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．16．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）17．计算：|﹣|﹣（5+π）0+2sin45°+（）﹣1．18．解不等式组：．四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．20．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB ＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）21．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．22．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）23．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．24．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）…27.52524.522…售价x（元/千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？七、（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每题4个选项中只有一个符合题意，答对得3分，共24分）1．2019年“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为（）A．68.8×104B．0.688×106C．6.88×105D．6.88×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将688000用科学记数法表示为6.88×105．故选：C．2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（）A．135°B．125°C．115°D．105°【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，∴∠ACD＝30°+75°＝105°，∵BD∥EF，∴∠E＝∠ACD＝105°．故选：D．3．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．4．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．3或0【分析】直接利用分式的定义以及分式的值为零则分子为、分母不为零进而得出答案．解：∵分式的值为0，∴|x|﹣3＝0且x+3≠0，解得：x＝3．故选：B．5．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．6．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a 大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．7．如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选：A．8．如图摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2020个图案中箭头的指向是（）A．上方B．左方C．下方D．右方【分析】直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案．解：如图所示：每次旋转4个图形为一个周期，2020÷4＝505，则第2020个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致，箭头的指向是左方．故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．数据2，7，5，7，9的众数、中位数、平均数分别是7、7、6．【分析】分别利用众数、中位数、平均数的定义求出相应数据即可．解：因为7出现了2次，其它数字都只出现一次，所以众数是7；把数据按从小到大的顺序排列得到2、5、7、7、9，最中间的一个数是7，所以中位数是7；平均数为（2+5+7+7+9）÷5＝6．故答案为：7，7，6．11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠1．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：根据题意得k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤且k≠1．故答案为k≤且k≠1．12．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝3．【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得，AE＝3．故答案为：3．13．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sin B的值．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝4×＝1，∴AD＝＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD＝，∴AB＝＝＝2，∴sin B＝＝＝．故答案为：．14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是④．【分析】①对称轴为x＝﹣＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，根据x＝1时，a+b+c＜0计算，判断即可．解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时，a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故答案为：④．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走250步才能追到速度慢的人．【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．16．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）17．计算：|﹣|﹣（5+π）0+2sin45°+（）﹣1．【分析】先去绝对值符号、计算零指数幂、代入三角函数、计算负整数指数幂，再计算乘法、加减可得．解：原式＝．18．解不等式组：．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．解：原式＝•＝，当a＝3时，原式＝＝．20．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB ＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO ＝22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：0°≤∠POB ≤90°；（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，∴∠BOP＝45°，∵OB＝100，∴OE＝OB＝50，∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）21．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．【分析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）n＝5÷10%＝50；（2）样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），1200×＝240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，所以恰好抽到2名男生的概率＝＝．22．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）23．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，由OP＝OB得∠OPB＝∠OBP，由OA⊥l得∠OAC＝90°，则∠ACB+∠APC＝90°，而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，所以∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O 的切线；（2）根据勾股定理求得AB＝4，PC＝2，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，通过证得△ODP∽△CAP，得到，求得PD，即可求得PB．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得：AB＝4，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，∴，∴，∴．24．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）售价x（元/…27.52524.522…千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；（2）根据利润＝销量×（售价﹣成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴y＝﹣x+60（15≤x≤40），∴当x＝28时，y＝32，答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；（2）由题易知m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，当m＝400时，则﹣x2+70x﹣600＝400，解得，x1＝20，x2＝50，∵15≤x≤40，∴x＝20，答：这天芒果的售价为20元．七、（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE ＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG═a，再判断出△CHD≌△BGC（AAS），进而判断出GH＝CH，即可得出结论；（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△GHN∽△CHG，得出HN＝＝a，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△CDH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝26．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为：．。
2024年湖南省长沙市中考数学模拟试卷及答案解析
2024年湖南省长沙市中考数学模拟试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠1C．x＞1D．x＜13．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为75．（3分）2023年前三季度全国GDP30强城市排名已经揭晓，长沙GDP约为10800亿名列第十五，同比增速为6.32%，数据10800用科学记数法表示为（）A．0.108×105B．10.8×103C．1.08×104D．1.08×103 6．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a2+a3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a6 7．（3分）在直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于原点对称的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形9．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°10．（3分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：1﹣x2＝．12．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝70°，那么圆周角∠C＝．13．（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数6241014．（3分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0的只有一个解，则m的值是．15．（3分）如图所示，点A是反比例函数y＝图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面积为2，则k的值是．16．（3分）若一次函数y＝x+1与y＝﹣x﹣1交于A点，则A点的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。
2020年湖南常德中考数学试卷(附答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1.4的倒数为（）A. 14B. 2C. 1D. ﹣4【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义进行解答即可.【详解】4的倒数为14．故选：A．【点睛】本题考查求一个数的倒数，正确理解倒数的定义是解答的关键.2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键.3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°【答案】B【解析】【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a5【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 2与a 4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、a 10÷a 5＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、a 2•a 3＝a 5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查幂与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．5.下列说法正确的是（ ）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义． 6.一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．这个圆锥的侧面积＝12． 故选：C ．【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．7.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【详解】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣2b a＝2， ∴4a +b ＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故②正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．8.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A. C 、EB. E 、FC. G 、C 、ED. E 、C 、F【答案】D【解析】【分析】 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋， 若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1）， 由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．故选：D ．【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.二．填空题（共8小题）9.分解因式：24xy x -=_________________．【答案】x （y+2）（y-2）【解析】【分析】首先提公因式x ，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：224)4(2)((2)x y x y y y x x --+-==故答案为：x （y+2）（y-2）【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解止． 10.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x ＞3【解析】【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有260x -≥．又因为分式分母不为零所以260x -≠．故综上：26x -＞0则：3x ＞．故答案为：x ＞3【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．11._____．【答案】【解析】【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．＝故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.12.如图，若反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A ，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积为6，则k ＝_____．【答案】﹣12【解析】【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【详解】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝||2k ＝6， ∴k ＝±12， ∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义． 13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤5 5＜x ≤6.5 x ＞6.5 人数12 8 6 4若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．【答案】400【解析】【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【详解】解：1200×6412864++++＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．故答案为：400．【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．【答案】4【解析】【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：4．【点睛】此题主要考查二元一次方程应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解． 15.如图1，已知四边形ABCD 是正方形，将DAE △，DCF 分别沿DE ，DF 向内折叠得到图2，此时DA 与DC 重合（A 、C 都落在G 点），若GF ＝4，EG ＝6，则DG 的长为_____．【答案】12【解析】【分析】设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt BEF △中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．【详解】设正方形ABCD 的边长为x ，则AB BC DC DA x ====，90B ∠=︒由翻折的性质得：DG DA DC x ===，AE EG =，CF GF =∵4,6GF EG ==∴6AE =，4CF =，10EF GF EG =+=∴6BE AB AE x =-=-，4BF BC CF x =-=-如图，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=即222(6)1()04x x -=+-整理得：210240x x --=，即(12)(2)0x x -+=解得12x =或2x =-（不符题意，舍去）则12DG =故答案为：12．【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键． 16.阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【答案】x ＝2或x ＝﹣2x ＝﹣12【解析】【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【详解】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∴x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1故答案为：x＝2或x＝﹣x＝﹣1【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三．解答题（共10小题）17.计算：20+（13）﹣14tan45°．【答案】3 【解析】【分析】先计算20（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【详解】20+（13）﹣14tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.解不等式组2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②．【答案】﹣1≤x＜5【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【详解】解：2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣79xx-）÷29xx-．【答案】33xx-+，当x＝2时，原式=﹣15．【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（x+1﹣79xx-）÷29xx-＝(1)(79)(3)(3) x x x xx x x+--⋅+-＝279 (3)(3) x x xx x+-++-＝2 (3) (3)(3)xx x-+-＝33xx-+，当x＝2时，原式＝2323-+＝﹣15．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．20.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：600x ﹣60015x＝140， 解得：x ＝4，经检验：x ＝4是原分式方程的解，且符合题意， 15x =15×4＝60，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G 与4G 下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．21.已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）． 【解析】 【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点， ∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（-3，6）．【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.752）【答案】所求BC的长度约为2.6米．【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先求出∠C，再运用锐角三角函数关系的知识求得CE和AE，然后再说明△AEB 是等腰直角三角形得到AE＝BE，最后根据BC＝BE+CE解答即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝CEAC，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝AEAC，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点睛】本题考查了运用锐角三角函数解直角三角形，正确做出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【答案】（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）1 10【解析】【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝1.51603(20015%)100200⨯+⨯⨯+＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B （A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C （A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E （A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝220＝110．【点睛】此题主要考查统计与概率，解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【答案】（1）见解析；（2）5 2【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得EC CFOA AC=，可求解．【详解】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC22AB BC-10064-6，∵cos∠ABC＝BD BC BF AB=，∴8410BF=，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴EC CF OA AC=，∴EC＝OA CFAC⋅＝536⨯＝52．【点睛】此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【答案】（1）y＝14x2；（2）见解析；（3）P（﹣172+72）或（﹣72﹣72）或（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，14t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．详解】解：（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，得到94＝9a，∴a＝14，∴抛物线的解析式为y＝14x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有93432k bk b⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1234kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的解析式为y＝﹣12x+34，令x＝0，得到y＝34，∴C（0，34），由2141324y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或394xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴B（1，14），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴BMMC＝1MBMO＝31232-＝13，MCMA＝1MOMA＝323(3)2--＝13，∴BMMC＝MCMA，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，14t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣12t+34），∴|14t2﹣（﹣12t+34）|＝34，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣7或﹣1＝7或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣7，2+72）或（﹣1+7，2﹣72）或（﹣2，1）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①见解析②30°（2）见解析【解析】【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴12 BM BD BC AB==即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．考试小提示：同学们，天道酬勤，十年寒窗十年苦，大巧若拙勤为路。
2020年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。
2020年湖南省长沙市教科院中考数学第五次模拟试卷 (Word 含解析)
2020年中考数学模拟试卷（五）一、选择题1．2-的绝对值是( ) A ．12-B ．2-C ．12D ．22．函数123y x =-中，自变量x 的取值范围为( ) A ．32x >B ．32x ≠C ．32x ≠且0x ≠ D ．32x <3．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为( ) A ．83.38610⨯B ．90.338610⨯C ．733.8610⨯D ．93.38610⨯4．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．一个正多边形的内角和为540︒，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A ．108︒B ．90︒C ．72︒D ．60︒6．下列运算正确的是( ) A ．88a a -=B ．44()a a -=C ．326a a a =gD ．222()a b a b -=-7．在平面直角坐标系中， 若点(,)A a b -在第一象限内， 则点(,)B a b 所在的象限是()A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限8．若方程23440x x --=的两个实数根分别为1x ，2x ，则12(x x += )A ．4-B ． 3C ．43-D ．439．下列命题中，其中正确命题的个数为( )个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，¶·AD DC=，若20CAB ∠=︒，则CAD ∠的大小为( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒11．如图，在ABC ∆中，延长BC 至D ，使得12CD BC =，过AC 中点E 作//EF CD （点F 位于点E 右侧），且2EF CD =，连接DF ．若8AB =，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．3D ．3212．已知点1(3,)A y -，2(2,)B y 均在抛物线2y ax bx c =++上，点(,)P m n 是该抛物线的顶点，若12y y n >…，则m 的取值范围是( ) A ．32m -<<B ．3122m -<<-C ．12m >-D ．2m >二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．已知2210x x +-=，则2362x x +-= ．14．在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，4D 个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是 ． 15．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ，若点E 是BC 的中点，则OD 的长为 ．16．用一个圆心角为180︒，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．17．如图，一张三角形纸片ABC ，90C ∠=︒，8AC cm =，6BC cm =．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到DEC ∆，则AE 的长是 ．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：201911(1)|13()tan 603----+-+︒20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt ABC ∆三个顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）写出A ，C 两点的坐标；（2）画出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形△111A B C ；（3）画出ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到的△222A B C ，并直接写出点C 旋转至2C 经过的路径长．21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表组别 海选成绩xA 组 5060x <„B 组 6070x <„C 组7080x <„D 组 8090x <„E 组90100x <„请根据所给信息，解答下列问题：（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为%a，则a的值为，表示C组扇形的圆心角θ的度数为度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？22．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，ABCDY中，AOB∆和BOC∆是“互补三角形”．（1）写出图1中另外一组“互补三角形”；（2）在图2中，用尺规作出一个EFH∆，使得EFH∆和EFG∆为“互补三角形”，且EFH∆和EFG∆在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．23．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？24．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AD平分BAC∠交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的Oe分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是Oe的切线；（2）设AB x=，AF y=，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若8BE=，5sin13B=，求DG的长，25．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B n 两点，一次函数22y x b =+的图象过点A ． （1）若12a =． ①若二次函数21(0)y ax bx c a =++>与y 轴交于点C ，求ABC ∆的面积；②设312y y my =-，是否存在正整数m ，当0x …时，3y 随x 的增大而增大？若存在，求出正整数m 的值；若不存在，请说明理由． （2）若1235a <<，求证：54n -<<-．26．已知抛物线213y ax x c =-+经过(2,0)A -，(0,2)B 两点，动点P ，Q 同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P 沿x 轴正方向运动，动点Q 沿y 轴正方向运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）当13BQ AP =时，求t 的值； （3）随着点P ，Q 的运动，抛物线上是否存在点M ，使MPQ ∆为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．2-的绝对值是( ) A ．12-B ．2-C ．12D ．2【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则2-的绝对值就是表示2-的点与原点的距离． 解：|2|2-=， 故选：D ． 2．函数123y x =-中，自变量x 的取值范围为( ) A ．32x >B ．32x ≠C ．32x ≠且0x ≠ D ．32x <【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母230x -≠，解得x 的范围．解：根据题意得：230x -≠， 解得：32x ≠． 故选：B ．3．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为( ) A ．83.38610⨯B ．90.338610⨯C ．733.8610⨯D ．93.38610⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为83.38610⨯． 故选：A ．4．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B 、是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A ．5．一个正多边形的内角和为540︒，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A ．108︒B ．90︒C ．72︒D ．60︒【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180(2)540n -=，即可求得5n =，再由多边形的外角和等于360︒，即可求得答案． 解：设此多边形为n 边形， 根据题意得：180(2)540n -=， 解得：5n =，∴这个正多边形的每一个外角等于：360725︒=︒． 故选：C ．6．下列运算正确的是( ) A ．88a a -=B ．44()a a -=C ．326a a a =gD ．222()a b a b -=-【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案． 解：A 、87a a a -=，故此选项错误；B 、44()a a -=，正确；C 、325a a a =g ，故此选项错误；D 、222()2a b a ab b -=-+，故此选项错误；故选：B ．7．在平面直角坐标系中， 若点(,)A a b -在第一象限内， 则点(,)B a b 所在的象限是()A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可 ． 解：Q 点(,)A a b -在第一象限内，0a ∴>，0b ->， 0b ∴<，∴点(,)B a b 所在的象限是第四象限 ．故选：D ．8．若方程23440x x --=的两个实数根分别为1x ，2x ，则12(x x += ) A ．4-B ． 3C ．43-D ．43【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“1243x x +=”， 由此即可得出结论 ． 解：Q 方程23440x x --=的两个实数根分别为1x ，2x ，1243b x x a ∴+=-= 故选：D ．9．下列命题中，其中正确命题的个数为( )个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项．解：①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题；②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题； ④水中捞月是必然事件，故正确，是真命题， 真命题有4个， 故选：D ．10．如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，¶·AD DC=，若20CAB ∠=︒，则CAD ∠的大小为( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒【分析】先求出70ABC ∠=︒，进而判断出35ABD CBD ∠=∠=︒，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论． 解：如图，连接BD ，AB Q 为O e 的直径， 90ACB ∴∠=︒， 20CAB ∠=︒Q ， 70ABC ∴∠=︒，Q ¶¶AD CD=， 1352ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒， 35CAD CBD ∴∠=∠=︒．故选：D ．11．如图，在ABC ∆中，延长BC 至D ，使得12CD BC =，过AC 中点E 作//EF CD （点F位于点E 右侧），且2EF CD =，连接DF ．若8AB =，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．23D ．32【分析】取BC 的中点G ，连接EG ，根据三角形的中位线定理得：4EG =，设CD x =，则2EF BC x ==，证明四边形EGDF 是平行四边形，可得4DF EG ==． 解：取BC 的中点G ，连接EG ， E Q 是AC 的中点， EG ∴是ABC ∆的中位线，118422EG AB ∴==⨯=， 设CD x =，则2EF BC x ==， BG CG x ∴==， 2EF x DG ∴==， //EF CD Q ，∴四边形EGDF 是平行四边形，4DF EG ∴==，故选：B ．12．已知点1(3,)A y -，2(2,)B y 均在抛物线2y ax bx c =++上，点(,)P m n 是该抛物线的顶点，若12y y n >…，则m 的取值范围是( ) A ．32m -<<B ．3122m -<<-C ．12m >-D ．2m >【分析】根据点1(3,)A y -，2(2,)B y 均在抛物线2y ax bx c =++上，点(,)P m n 是该抛物线的顶点，12y y n >…，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x m =，则322m -+<，从而可以求得m 的取值范围，本题得以解决．解：Q 点1(3,)A y -，2(2,)B y 均在抛物线2y ax bx c =++上，点(,)P m n 是该抛物线的顶点，12y y n >…， ∴322m -+<， 解得12m >-，故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．已知2210x x +-=，则2362x x +-= 1 ．【分析】直接利用已知得出221x x +=，再代入原式求出答案． 解：2210x x +-=Q ， 221x x ∴+=，223623(2)23121x x x x ∴+-=+-=⨯-=．故答案为：1．14．在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，4D 个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是14． 【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率． 解：画树状图如下：P ∴（两次摸到同一个小球）41164== 故答案为：1415．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为22．【分析】设(,2)D x则(2,1)E x+，由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x的值即可得出答案．解：设(,2)D x则(2,1)E x+，Q反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点D、点E，22x x∴=+，解得2x=，(2,2)D∴，2OA AD∴==，2222OD OA OD∴=+=．故答案为216．用一个圆心角为180︒，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为2．【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题解：设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：18042180Rππ=g，解得2R=．故答案为2．17．如图，一张三角形纸片ABC，90C∠=︒，8AC cm=，6BC cm=．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于4．【分析】根据折叠得：GH 是线段AB 的垂直平分线，得出AG 的长，再利用两角对应相等证ACB AGH ∆∆∽，利用比例式可求GH 的长，即折痕的长． 解：如图，折痕为GH ，由勾股定理得：226810AB cm =+=， 由折叠得：1110522AG BG AB cm ===⨯=，GH AB ⊥， 90AGH ∴∠=︒，A A ∠=∠Q ，90AGH C ∠=∠=︒， ACB AGH ∴∆∆∽， ∴AC BCAG GH =， ∴865GH=， 154GH cm ∴=． 故答案为：154．18．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，得到DEC ∆，则AE 的长是26+ ．【分析】如图，连接AD ，由题意得：CA CD =，60ACD ∠=︒，得到ACD ∆为等边三角形根据AC AD =，CE ED =，得出AE 垂直平分DC ，于是求出122EO DC ==，sin 606OA AC =︒=g ，最终得到答案26AE EO OA =+=+．解：如图，连接AD ，由题意得：CA CD =，60ACD ∠=︒， ACD ∴∆为等边三角形，AD CA ∴=，60DAC DCA ADC ∠=∠=∠=︒； 90ABC ∠=︒Q ，2AB BC ==，22AC AD ∴==， AC AD =Q ，CE ED =，AE ∴垂直平分DC ， 122EO DC ∴==，sin 606OA CA =︒=g， 26AE EO OA ∴=+=+，故答案为26+．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：201911(1)|13()tan 603----+-+︒【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式1(31)33=----+ 3=-．20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt ABC ∆三个顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）写出A ，C 两点的坐标；（2）画出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形△111A B C ；（3）画出ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到的△222A B C ，并直接写出点C 旋转至2C 经过的路径长．【分析】（1）利用第二象限点的坐标特征写出A ，C 两点的坐标；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出1A 、1B 、1C 的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点2A 、2B 、2C ，然后描点得到△222A B C ，再利用弧长公式计算点C 旋转至2C 经过的路径长． 解：（1）A 点坐标为(4,1)-，C 点坐标为(1,3)-； （2）如图，△111A B C 为所作；（3）如图，△222A B C 为所作，221310OC =+=点C 旋转至2C 经过的路径长9010101802ππ==g g ．21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表组别 海选成绩xA 组 5060x <„B 组 6070x <„C 组7080x <„D 组 8090x <„E 组90100x <„请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（2）在图2的扇形统计图中，记表示B 组人数所占的百分比为%a ，则a 的值为 15 ，表示C 组扇形的圆心角θ的度数为 度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？【分析】（1）用随机抽取的总人数减去A 、B 、C 、E 组的人数，求出D 组的人数，从而补全统计图；（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C 组扇形的圆心角θ的度数；（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．解：（1）D的人数是：2001030407050----=（人)，补图如下：（2）B组人数所占的百分比是30100%15% 200⨯=，则a的值是15；C组扇形的圆心角θ的度数为4036072200⨯=︒；故答案为：15，72；（3）根据题意得：702000700200⨯=（人)，答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．22．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，ABCDY中，AOB∆和BOC∆是“互补三角形”．（1）写出图1中另外一组“互补三角形”AOD∆和DOC∆；（2）在图2中，用尺规作出一个EFH∆，使得EFH∆和EFG∆为“互补三角形”，且EFH∆和EFG∆在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．【分析】（1）根据“互补三角形”可得结论；（2）作//EH FG ，且EH FG =，可得符合条件的EFH ∆，根据四边形EFGH 是平行四边形可知：这一组“互补三角形”的面积相等． 解：（1）ABCD Y 中，OA OC =， OD OD =Q ，180AOD COD ∠+∠=︒，AOD ∴∆和DOC ∆是“互补三角形”， 故答案为：AOD ∆和DOC ∆；（2）如图所示，//EH FG ，且EH FG =，则EFH ∆即为所求，证明：连接GH ，//EH FG Q ，且EH FG =， ∴四边形EFGH 是平行四边形，//GH EF ∴，EFG EFH S S ∆∆∴=．23．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元 （1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【分析】（1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出第五档的蛋糕的利润；（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据单件利润⨯销售数量=总利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：（1）102(51)18+⨯-=（元)． 答：该档次蛋糕每件利润为 18 元；（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：[102(1)][764(1)]1024x x+-⨯--=，整理得：216480x x-+=，解得：14x=，212x=（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是四档次的产品．24．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AD平分BAC∠交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的Oe分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是Oe的切线；（2）设AB x=，AF y=，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若8BE=，5sin13B=，求DG的长，【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sin B的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin sinAEF B∠=，进而求出DG的长即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，ADQ为BAC∠的角平分线，BAD CAD∴∠=∠，OA OD=Q，ODA OAD∴∠=∠，ODA CAD∴∠=∠，//OD AC∴，90C∠=︒Q，90ODC ∴∠=︒，OD BC ∴⊥，BC ∴为圆O 的切线；（2）解：连接DF ，由（1）知BC 为圆O 的切线，FDC DAF ∴∠=∠，CDA CFD ∴∠=∠，AFD ADB ∴∠=∠，BAD DAF ∠=∠Q ，ABD ADF ∴∆∆∽， ∴AB AD AD AF=，即2AD AB AF xy ==g ，则AD =；（3）解：连接EF ，在Rt BOD ∆中，5sin 13OD B OB ==， 设圆的半径为r ，可得5813r r =+， 解得：5r =，10AE ∴=，18AB =， AE Q 是直径，90AFE C ∴∠=∠=︒，//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，5sin 13AF AEF AE ∴∠==， 550sin 101313AF AE AEF ∴=∠=⨯=g ， //AF OD Q ， ∴501013513AG AF DG OD ===，即1323DG AD =，AD ∴===，则1323DG ==25．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B n 两点，一次函数22y x b =+的图象过点A ．（1）若12a =． ①若二次函数21(0)y ax bx c a =++>与y 轴交于点C ，求ABC ∆的面积；②设312y y my =-，是否存在正整数m ，当0x …时，3y 随x 的增大而增大？若存在，求出正整数m 的值；若不存在，请说明理由．（2）若1235a <<，求证：54n -<<-． 【分析】（1）①将点A 坐标代入解析式可求2b =，2c a =-，即可求抛物线解析式，可求点C ，点B 坐标，由三角形的面积公式可求解；②由22313132(22)(22)(2)2222y x x m x x m x m =++-+=+-+-，由二次函数的性质可求1m „，即可求解；（3）212(2)y ax x a =++-的对称轴为212x a a =-=-，由1235a <<，可得1532a -<-<-，又(1,0)A -、(,0)B n 两点关于对称轴对称，则11|1()|||n a a---=--，即可求解． 解：（1）①21(0)y ax bx c a =++>Q 过点A ，0a b c ∴-+=，22y x b =+Q 的图象过点A ，2b ∴=，2c a ∴=-；12a =Q ， 13222c ∴=-=， 2113222y x x ∴=++，Q 二次函数2113222y x x =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(1,0)A -，(,0)B n 两点， ∴点3(0,)2C ，点(3,0)B -， 2AB ∴=，ABC ∴∆的面积1332222=⨯⨯=； ②23132(22)22y x x m x =++-+ 213(22)(2)22x m x m =+-+-， Q 在0x …时，3y 随x 的增大而增大， ∴对称轴22220122m x m -=-=-⨯„， 1m ∴„，m Q 是正整数，1m ∴=；（2）212(2)y ax x a =++-Q 的对称轴为212x a a =-=-， 又Q 1235a <<， 1532a ∴-<-<-， 又(1,0)A -Q 、(,0)B n 两点关于对称轴对称，11|1()|||n a a∴---=--， 21n a∴=-+或1n =-（舍去）， 54n ∴-<<-．26．已知抛物线213y ax x c =-+经过(2,0)A -，(0,2)B 两点，动点P ，Q 同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P 沿x 轴正方向运动，动点Q 沿y 轴正方向运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）当13BQ AP =时，求t 的值； （3）随着点P ，Q 的运动，抛物线上是否存在点M ，使MPQ ∆为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式．（2）13BQ AP =，要考虑P 在OC 上及P 在OC 的延长线上两种情况，有此易得BQ ，AP 关于t 的表示，代入13BQ AP =可求t 值． （3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑MPQ ∆，发现PQ 为一有规律的线段，易得OPQ 为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ 运动至何种情形时MPQ ∆为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO 应为PQ 的垂直平分线，即使MPQ ∆为等边三角形的M 点必属于PQ 的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足MPQ ∆为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t 的方程，考虑t 的存在性．解：（1）Q 抛物线经过(2,0)A -，(0,2)B 两点， ∴24032a c c ⎧++=⎪⎨⎪=⎩． 解得：23a =-，2c =． ∴抛物线的解析式为221233y x x =--+；（2）由题意可知，OQ OP t ==，2AP t =+．①如图1，当2t … 时，点Q 在点B 下方，此时2BQ t =-．13BQ AP =Q ， 12(2)3t t ∴-=+， 1t ∴=．②如图2，当2t > 时，点Q 在点B 上方，此时2BQ t =-．13BQ AP =Q ， 12(2)3t t ∴-=+， 4t ∴=．∴当13BQ AP = 时，1t = 或4t =．（3）存在．作MC x ⊥ 轴于点C ，连接OM ．设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标为221233m m --+． 当MPQ ∆ 为等边三角形时，MQ MP =， 又OP OQ =Q ，∴点M 点必在PQ 的垂直平分线上， 1452POM POQ ∴∠=∠=︒， MCO ∴∆ 为等腰直角三角形，CM CO =，221233m m m ∴=--+， 解得11m =，23m =-．M ∴ 点可能为(1,1)或(3,3)--． ①如图3，当M 的坐标为(1,1)时，则有1PC t =-，221(1)MP t t =+-= 222t -+， 222PQ t =，MPQ ∆Q 为等边三角形，MP PQ ∴=，t ∴ 22222t t -+=，解得113t =-+213t =--（负值舍去）．②如图4，当点M 的坐标为(3,3)--时，则有3PC t =+，3MC =， 22223(3)618MP t t t ∴=++=++，222PQ t =， MPQ ∆Q 为等边三角形， MP PQ ∴=， 解得1333t =+2333t =-（负值舍去）．∴当13t =-抛物线上存在点(1,1)M ，或当333t =+时，抛物线上存在点(3,3)M --，使得MPQ ∆ 为等边三角形．。
2020年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(四) (解析版)
2020年长沙市教科院中考数学模拟试卷（四）一、选择题1．下列实数中，最小的是（）A．3B．C．D．02．据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（）A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10113．下列各式运算正确的是（）A．3y3•5y4＝15y12B．（a3）2＝（a2）3C．（ab5）2＝ab10D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x104．在一个不透明的袋子中装有3个白球和4个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（）A．B．C．D．5．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠A＝45°，则∠CEF等于（）A．135°B．120°C．45°D．35°6．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）A．正方体B．三棱柱C．三棱锥D．长方体7．某车间20名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A．5、6、5B．5、5、6C．6、5、6D．5、6、68．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米，则该扇形田地的面积为（）A．120平方米B．240平方米C．360 平方米D．480平方米9．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（）A．7B．8C．12D．1310．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．2011．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤1612．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M 是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N 在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．0二、填空题（本大捱共6个小®，每小S3分，共|K分）13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．分解因式：x2y+2xy+y＝．15．不等式组的解集是．16．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的极差为．17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD 的周长为．18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题毎小题9分，第25、26题每小題10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣|2﹣|+（）﹣2﹣2sin60°20．先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．21．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9m八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；（2）表中m的值为；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．22．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．23．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率＝）24．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）概念延伸：下列说法正确的是（填入相应的序号）①对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；（3）问题探究：如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，并将Rt△ABC 沿∠B的平分线BB'方向平移得到△A'B'C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离（即线段BB'的长）？25．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A （x1，0），B（x2，0），若＝+，求M的取值范围．26．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BEC的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（在下列各題的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．下列实数中，最小的是（）A．3B．C．D．0【分析】先比较各个数的大小，再得出选项即可．解：∵3＞，∴最小的数是0，故选：D．2．据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（）A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：8000000000000＝8×1012，故选：B．3．下列各式运算正确的是（）A．3y3•5y4＝15y12B．（a3）2＝（a2）3C．（ab5）2＝ab10D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x10【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、单项式乘以单项式运算法则分别判断得出答案．解：A、3y3•5y4＝15y7，故此选项不合题意；B、（a3）2＝（a2）3，正确；C、（ab5）2＝a2b10，故此选项不合题意；D、（﹣x）4•（﹣x）6＝x10，故此选项不合题意；故选：B．4．在一个不透明的袋子中装有3个白球和4个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算可得．解：∵袋子中球的总个数为3+4＝7（个），其中黑球有4个，∴摸出黑球的概率是，故选：C．5．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠A＝45°，则∠CEF等于（）A．135°B．120°C．45°D．35°【分析】根据平行线的性质可得∠AED，结合对顶角可求得∠CEF，可得出答案．解：∵AB∥CD，∴∠AED＝180°﹣∠A＝135°，又∵∠CEF和∠AED为对顶角，∴∠CEF＝135°．故选：A．6．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）A．正方体B．三棱柱C．三棱锥D．长方体【分析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可．解：由主视图和俯视图可得几何体为三棱柱，故选：B．7．某车间20名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A．5、6、5B．5、5、6C．6、5、6D．5、6、6【分析】根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，则中位数是＝6；平均数是：＝6；故选：D．8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米，则该扇形田地的面积为（）A．120平方米B．240平方米C．360 平方米D．480平方米【分析】首先求得半径的长，然后利用扇形面积公式S＝lr求解即可．解：∵径长（两段半径的和）为16米，∴半径长为8米，∵下周长（弧长）为30米，∴S═lr＝×30×8＝120平方米，故选：A．9．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（）A．7B．8C．12D．13【分析】由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，即可得出DA＝DB＝5，依据CD的长即可得到BC＝CD+BD＝8．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB＝5，又∵CD＝3，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，故选：B．10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20【分析】作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据正切的定义用EF表示出CF、BF，根据题意列式求出EF，结合图形计算，得到答案．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．11．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤16【分析】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论．解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，∴2≤k≤16．故选：C．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M 是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N 在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．0【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y＝x2+x∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．二、填空题（本大捱共6个小®，每小S3分，共|K分）13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠0．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．14．分解因式：x2y+2xy+y＝y（x+1）2．【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，故答案为：y（x+1）2．15．不等式组的解集是x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．16．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的极差为11．【分析】根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据极差的定义即可得出答案．解：∵两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，∴，解得：，故将这两组数据合并成一组数据为：12，6，6，1，12，12，7，则极差为：12﹣1＝11．故答案为：11．17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD 的周长为16．【分析】首先证明OE＝BC，再由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE＝EB，∴OE＝BC，∵AE+EO＝4，∴2AE+2EO＝8，∴AB+BC＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，故答案为：16．18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有①②③．【分析】①由抛物线的开口方向确定a的正负号，再由对称轴的位置，确定b的正负号，由抛物线与y轴的交点位置，确定c的正负号；②根据抛物线的顶点坐标公式用a表示b和c，再代入5a﹣b+c中，便可得由a的取值范围确定代数5a﹣b+c的正负；③把y＝ax2+bx+c＝0中，b、c换成a，再解方程便可得判断正误；④分别求出方程ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的两根和，便可求得原方程四根之和．解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，所以①结论正确；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故②结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣5a，当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，即a（x+5）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣5或1，∴方程ax2+bx+c＝0的两个根x1＝﹣5，x2＝1，故结论③正确；若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论④错误，故答案为①②③．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题毎小题9分，第25、26题每小題10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣|2﹣|+（）﹣2﹣2sin60°【分析】首先计算乘方，然后计算加减，即可．解：原式＝3﹣（2﹣）+4﹣2×＝3﹣2++4﹣＝5．20．先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝，＝，＝∵从﹣2≤a＜2的范围内选取一个合适的整数，∴当a＝﹣2时，原式＝．21．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9m八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有23人；（2）表中m的值为77.5；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，故答案为：23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．22．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝＝，∵点E是BC的中点，BC＝5，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．23．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率＝）【分析】（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意列式计算而得到结果，并检验是原方程的解，而求得．（2）设售价为每千克a元，求得关系式，又由630a ≥7500×1.26，而解得．解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：，解得x＝200，经检验x＝200是原方程的解，∴x+2.5x＝700，答：这两批水果共购进700千克；（2）设售价为每千克a元，则：，630a≥7500×1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元．24．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）概念延伸：下列说法正确的是①②④（填入相应的序号）①对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；（3）问题探究：如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，并将Rt△ABC 沿∠B的平分线BB'方向平移得到△A'B'C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离（即线段BB'的长）？【分析】（1）根据定义添加一组邻边相等即可；（2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；（3）由平移的性质易得BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC ＝3，A′C′＝AC＝5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．解：（1）AB＝BC或BC＝CD或AD＝CD或AB＝AD．答案：AB＝AD．（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；③不正确，理由为：有两个内角为直角的“等邻边四边形”不是平行边形时，该结论不成立；④正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；再由由一内角是直角的菱形为正方形推知，④的说法正确．故答案是：①②④；（3）∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC＝3，A′C′＝AC＝5，（I）如图1，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝4；（II）如图2，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝A′C′＝5；（III）当A′C′＝BC′＝5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′＝∠ABC＝45°，∴∠BB′D＝′∠ABB′＝45°∴B′D＝BD，设B′D＝BD＝x，则C′D＝x+1，BB′＝x，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2＝BC′2∴x2+（x+1）2＝52，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去），∴BB′＝x＝3（Ⅳ）当BC′＝AB＝4时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+C′D2＝BC′2，设B′D＝BD＝x，则x2+（x+1）2＝32，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴BB′＝x＝；综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移3或．25．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A （x1，0），B（x2，0），若＝+，求M的取值范围．【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解kx2+（2k+1）x+2＝0得到k＝1，由此得到该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，结合图象回答问题．（3）抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位后的解析式为y＝（x+﹣m）2﹣，令y ＝0，解方程求得x1＝m﹣1，x2＝m﹣2，代入＝+，求得M＝＝，根据3≤m≤6即可求得M的取值．【解答】（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1．∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．（3）解：∵抛物线解析式为y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣∴抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位后的解析式为y＝（x+﹣m）2﹣，令y＝0，则（x+﹣m）2﹣＝0，解得x1＝m﹣1，x2＝m﹣2，∵＝+，∴M＝＝，∵3≤m≤6，∴≤M≤．26．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BEC的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点A、B的坐标，利用O′为AB的中点，即可求解；（2）证明∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，即可求解；（3）分点P在直线BD下方、P在BD的上方两种情况，分别求解即可．解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，∴点O′的坐标为（4，0）；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠BEC的平分线为CD，∴∠BCD＝45°，∴∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，圆的半径为AB＝5，故点D的坐标为（4，﹣5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，①当点P（P′）在直线BD下方时，∵∠PDB＝∠CBD，∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点P的坐标为（，）；②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），故点P的坐标为（14，25）；故点P的坐标为：（，）或（14，25）．。
湖南省2024届九年级下学期中考模拟数学(三)试卷(含答案)
湖南省2024年初中学业水平考试模拟试卷数学温馨提示：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）A．祝5．如图，在△ABC径作圆弧，两弧相交于点A ．23°B ．25°C ．27°D ．29°6．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．同旁内角互补B ．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等C ．三角形的外角大于三角形的内角D ．对顶角相等7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AB =10 cm ，CD =8 cm ，则BE 的长为（ ）A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．1.5cm8．为更好地学习贯彻“第十四届全国人大会议”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“第十四届全国人大会议”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：82，84，85，87，88，90．则这组数据的中位数是（ ） A ．84B ．85.5C ．86D ．86.59．如图，将矩形ABCD 直线AC 折叠，使得点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，若AB =5，AD =3，则tan ∠ECF 的值为（ ）A ．53B ．54C ．158 D ．43 10．已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ＞0）的对称轴为直线x =1，与x 轴交于（x 1，0），（x 2，0）两点，2＜x 2＜3，下列结论正确的是（ ）A ．x 1x 2＞0B ．x 1+x 2=1C ．b 2＜4acD ．a -b+c ＞0二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．因式分解：am214．某超市开展“有奖促销图，转盘被平均分为时，该顾客获一等奖；15．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少倍，求规定的时间．设规定的时间为17．在平面直角坐标系中，直线18．图1是某收纳盒实物图，图与收纳盒相连．当支撑杆绕点始终保持与MN平行．点距离为 ．三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题满分6分）计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)202420．（本题满分6分）先化简，再求值：(1−4a+3)÷(a 2−2a+12a+6)，其中a =2．21．（本题满分8分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示．(1)本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； (2)本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；(3)全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？26．（本题满分10分）0,c，那么我们把经过点交点坐标为()线．22y x=+湖南省2024年初中学业水平考试模拟试卷数学·参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．B【详解】解：2024的相反数是−2024，故选：B．2．C【详解】解：0.00519=5.19×10−3．故选：C．3．D【详解】解：∵a2，a4不是同类项，不能作加法运算，故A选项错误；∵a3⋅a2=a3+2=a5，故B选项错误；∵b3÷b3=1，故C选项错误；∵(−ab)4=a4b4，故D选项正确，故选：D．4．D【详解】解：原正方体中与“祝”字一面相对面上的字是“利”．故选：D．5．C【详解】解：∵AB=AC，∠A=42°，∴∠B=∠C=12(180°−∠A)=12(180°−42°)=69°，由作法得MN垂直平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=42°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=69°−42°=27°．故选：C．6．D【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；B、两平行直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；C、三角形的外角大于与其不相邻的三角形的内角，原命题是假命题，不符合题意；D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，x1+x2=−ba=2，∴b2＞4ac，B、C错误，故不符合要求；∵x1与x2关于直线x＝1对称，2＜x2＜3，∴2＜2﹣x1＜3，∴﹣1＜x1＜0，∴x1x2＜0，A错误，故不符合要求；∵a＞0，图象开口向上，当x＜1时，y随着x的增大而减小，﹣1＜x1，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，D正确，故符合要求；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）∵∠AOB 的度数为100°， ∴∠ADB =12∠AOB =50°．∴∠ACB =180°−50°=130°． 故答案为：130°． 17．2020【详解】解：将点P （a ，b ）代入直线表达式得： 3a +4=b ，即3a -b =-4； ∴3a -b +2024=-4+2024=2020． 故答案为：2020． 18．25；25√2+212． 【详解】解：如图2：设BE 与MN 相交于点O ，AC 与MN 相交于点K ，连接BN ， 由题意得：MN ∥PQ ，MN ＝PQ ＝31cm ，BE ⊥MN ，AC ⊥MN ，OE ＝18cm ，AB ＝KO ＝CG ＝8.5cm ，设BO ＝x cm ，∴BM ＝BE ＝BO +OE ＝（x +18）cm ， ∵点A 位于PQ 的垂直平分线上， ∴AC 平分MN ，∴MK ＝KN =12MN ＝15.5（cm ）， ∴MN ＝MK +KO ＝24（cm ），在Rt △MOB 中，MO 2+OB 2＝MB 2，即：242+x 2＝（x +18）2， 解得：x ＝7，∴BO ＝7cm ，BM ＝BE ＝x +18＝25（cm ）， ∴ON ＝MN ﹣MO ＝31﹣24＝7（cm ）， ∴OB ＝ON ，∴∠OBN ＝∠ONB ＝45°， ∴BN =√2ON ＝7√2（cm ）；如图3：过点EJ ⊥QP ，交QP 的延长线于点J ，延长AB 交EJ 于点I ，交NP 于点H ， 由题意得：AH ⊥NP ，AI ⊥EJ ，PH ＝IJ ， ∴∠BHN ＝∠BIE ＝90°， ∵∠MNB ＝45°，AB ∥MN ， ∴∠NBH ＝∠MNB ＝45°，∵BN ＝7√2cm ，∴NH =BN √2=7（cm ）， ∵BE ＝25cm ，∴EI =2=25√22（cm ）， 由题意得：PHNH =1.5，∴PH ＝1.5NH ＝10.5（cm ），∴IJ ＝PH ＝10.5（cm ），∴EJ ＝EI +IJ =25√22+10.5=25√2+212（cm ）， ∴EF 与PQ 的距离为25√2+212cm ， 故答案为：25；25√2+212． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） （2）学生捐款金额出现次数最多的是将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是25．（1）证明：∵∠BDE =∠EAB ，∠BDE =∠CBE ∴∠EAB =∠CBE∵AB 是⊙O 的直径∴∠AEB =90°∴∠EAB +∠EBA =90°∴∠CBE +∠EBA =90°，即∠ABC =90° ----------------------------------2分 又∵AB 是⊙O 的直径∴BC 是⊙O 的切线 ----------------------------------3分（2）证明：∵∠DEA 和∠ABD 都是AD ⌢所对的圆周角，∴∠DEA =∠ABD∵BD 平分∠ABE∴∠ABD =∠DBE∴∠DEA =∠DBE ----------------------------------4分∵∠EDB =∠BDE ，∠DEA =∠DBE ，∴△DEF ∽△DBE ， ----------------------------------5分∴DEDB =DFDE∴DE 2=DF ⋅DB ---------------------------------6分（3）解：根据题意画出图形，连接DA 、DO∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD∵∠EBD =∠OBD∴∠EBD =∠ODB∴OD ∥BE∴PDPE =POPB∵P A =AO∴P A =AO =OB ，∴POPB =23∴PD PE =23∴PD PD+DE =23 ----------------------------------7分∵DE =2，∴PD =4∵∠PDA +∠ADE =180°，∠ABE +∠ADE =180°，∵点C 的坐标为()0,1m +，点D 的坐标为∴1,2OC m CD m =+=，∴11,22DG CD GF OC ==， ∴112m m =+， 由()2知，1n m =+，抛物线14y =−∴抛物线21142y x mx n =−++的极限分割线∵直线EF 垂直平分OC ，。
2020年数学中考模拟试题(及答案)
2020年数学中考模拟试题（及答案）一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6 2．下列计算正确的是（ ） A . 2a +3b = 5ab B . （a —b ）2=a 2—b 2 C . （2x 2）3=6x 6D . x 8;x 3=x 5 3．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（） A .4 B .5 C .6 D .74.九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89 分，则该同学这6次成绩的中位数是（ ）A . 94B . 95 分C . 95.5 分D . 96 分5．下列图形是轴对称图形的有（ ）6 .函数y =。
2 % -1中的自变量％的取值范围是（）A . % 丰—B . % 之1C . % >—D . % 之一 ^2 ^2 ^27 .如图，矩形纸片ABCD 中，AB = 4 , BC = 6,将VABC 沿AC 折叠，使点B 落在点 E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（）9.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价 10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更 合算（ ）A .甲B .乙C .丙D . 一样 10.甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃,乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃,将这两种 蔬菜放在一起同时保鲜,适宜的温度是（） B . C . D .A .40°B .50°C .60°D .70°A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个A . 8.将一个矩形纸片按如图所示折叠，若21=40°,则N2的度数是（）A．1℃~3℃B．3℃~5℃C．5℃~8℃D．1℃~8℃413.如图，在四边形 ABCD 中，NB=ND = 90°, AB = 3, BC=2, tanA= 3，则 CD =14.如图：已知八3=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边4AEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.15.已知圆锥的底面圆半径为3cm,高为4cm,则圆锥的侧面积是cm2.16.一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次2。
湖南省岳阳市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
湖南省岳阳市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.-2020的相反数是（）A. 2020B. -2020C. 12020D. －12020【答案】A【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】-2020的相反数是2020，故答案为：A.【分析】根据相反数直接得出即可.2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（）A. 0.1109×108B. 11.09×106C. 1.109×108D. 1.109×107【答案】 D【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法则11090000=1.109×107故答案为：D．【分析】根据科学记数法的定义即可得．3.如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示：故答案为：A．【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可．4.下列运算结果正确的是（）A. (−a)3=a3B. a9÷a3=a3C. a+2a=3aD. a⋅a2=a2【答案】C【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A、(−a)3=−a3，故不符合题意；B、a9÷a3=a6，故不符合题意；C、a+2a=3a，故符合题意；D、a⋅a2=a3故不符合题意；故答案为：C【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法及合并同类项的计算法则分别计算即可得解．5.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，则∠C的度数是（）A. 154°B. 144°C. 134°D. 124°【答案】 D【考点】平行线的判定与性质【解析】【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，∴AB//CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠B=56°，∴∠C=124°；故答案为：D．【分析】先证出AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠C+∠B=180°，即可求出∠C的度数.6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（）A. 36.3，36.5B. 36.5，36.5C. 36.5，36.3D. 36.3，36.7【答案】B【考点】中位数，众数【解析】【解答】解：将这7名学生的体温按从小到大的顺序排列如下：36.3，36.3，36.5，36.5，36.5，36.7，36.8则中位数就是第4个数：36.5；出现次数最多的数是36.5，则众数为：36.5；故答案为：B【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可判断．7.下列命题是真命题的是（）A. 一个角的补角一定大于这个角B. 平行于同一条直线的两条直线平行C. 等边三角形是中心对称图形D. 旋转改变图形的形状和大小【答案】B【考点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A不符合题意；B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D、旋转不改变图形的形状和大小，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．8.对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y=−x2−10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2)，关于x的方程x2+10x−m−2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4)，则下列关系式一定正确的是（）A. 0<x1x3<1 B. x1x3>1 C. 0<x2x4<1 D. x2x4>1【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系，二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】解：∵x1,x2是y=−x2−10x+m(m≠0)的两个不相等的零点即x1,x2是−x2−10x+m=0的两个不相等的实数根∴{x1+x2=−5x1x2=−m∵x1<x2解得x1=−5−√25+4m2,x2=−5+√25+4m2∵方程x2+10x−m−2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4∴{x3+x4=−5x3x4=−m−2∵x3<x4解得x3=−5−√13+4m2,x4=−5+√13+4m2∴x1−x3=−5−√25+4m−(−5−√13+4m)2=−√25+4m+√13+4m2<0∴x1<x3∵ x 1=−5−√25+4m 2<0 ， x 3=−5−√13+4m 2<0 ∴ x1x 3>1 ∴ x 2−x 4=−5+√25+4m−(−5+√13+4m)2=√25+4m−√13+4m 2>0 ∴ x 2>x 4而由题意知 {100+4m >0100+4(m +2)>0解得 m >−25当 −25<m <0 时， x 2<0,x 4<0 ， x2x 4>1 ； 当 0<m <3 时， x 2>0,x 4<0 ， x 2x 4<0 ；当m=3时， x 2x 4 无意义；当 m >3 时， x2x 4>1 ， ∴ x 2x 4 取值范围不确定， 故答案为：B ．【分析】根据根与系数的关系可以求出 x 1,x 2 ， x 3,x 4 的值，用作差法比较 x 1,x 3 的大小关系， x 2,x 4 的大小关系，根据 Δ 可求出m 的取值范围，结合 x 1,x 3 的大小关系， x 2,x 4 的大小关系从而得出选项．二、填空题（共8题；共11分）9.因式分解： a 2−9= ________．【答案】 (a +3)(a −3)【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】a 2-9=（a+3）（a-3）。
2020年中考数学模拟试题(八)有答案
2020年中考模拟试题（八）数学注意事项：1. 本试卷共8页，26个小题，满分为120分，考试时间为120分钟。
2. 根据阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将本试卷保管好并将答题卡上交。
一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．下列各数，最小的数是（）A．﹣2020B．0C．D．﹣12．下面运算中，结果正确的是（）A．5ab﹣3b＝2a B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．a3•b÷a＝a2b D．（2a+b）2＝4a2+b23．新冠病毒疫情发生以来，我国邮政快递企业调配全网资源，迅速开通了国际和国内的航线，畅通陆路运输，全力保障武汉等重点地区的应急救援物资和人民群众日常基本生活物资运递，截止至2020年4月14日，累计为援鄂医疗队免费寄递物品19.71万件．其中数值19.71万可用科学记数法表示为（）A．1.971×109B．19.71×104C．0.1971×106D．1.971×105 4．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（）A．B．C．D．6．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A．12 B．6C．4D．38．如图，直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AB边上，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在CE与PQ的交点F处，若S△DEC＝4，则AD的长为（）A．4B．2C．4D．29．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5B．m＝4b+8C．m＝6b+15D．m＝﹣b2+4 10．如图，棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，F是棱AC的中点．动点P从点A出发，沿着A→B→C的路线在该棱柱的棱上运动，运动到点C就停止．设点P运动的路程为x，y＝FP+PB1，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题包括7个小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．分解因式：a2b+4ab+4b＝．13．如图，菱形OABC的边长为2，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为．14．关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为．15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．17．如图，菱形OAA1B1的边长为1，∠AOB＝60°，以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B2，再依次作菱形OA2A3B3，菱形OA3A4B4，……，则菱形OA2019A2020B2020的边长为．三、解答题(本题包括9个小题，共69分，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．计算：（π﹣3.14）0+﹣2sin45°+﹣（﹣1）2020；19．先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．20．小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，DC＝13m，∠ABC＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由．21．在新中国成立70周年之际，某校开展了“校园文化艺术”活动，活动项目有：书法、绘画、声乐和器乐，要求全校学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．政教处在该校学生中随机抽取了100名学生进行调查和统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校初中学生中，参加“书法”项目的学生所占的百分比是多少？（3）若该校共有1500人，请估计其中参加“器乐”项目的高中学生有多少人？（4）经政教处对所有参加“绘画”项目的作品进行评比，共选出2名初中学生和2名高中学生的最佳作品，学校决定从这4名学生中随机抽取2人作为学生会“绘画社团”的团长，那么正好抽到一名初中学生和一名高中学生的概率是多少？22．如图，放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70120N地458024．（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．（填写要求证的结论）证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，请继续完成证明过程；（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD 边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．25．如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．（1）求证：△MFG为等腰三角形．（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．26．如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C．（1）求点B的坐标．（2）若△ABC的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式；②在拋物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年中考数学模拟试题（八）参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各数，最小的数是（）A．﹣2020B．0C．D．﹣1【分析】由于正数大于0，0大于负数，要求最小实数，只需比较﹣2020与﹣1即可．【解答】解：∵﹣2020＜﹣1＜0＜，∴最小的数是﹣2020．故选：A．2．下面运算中，结果正确的是（）A．5ab﹣3b＝2a B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．a3•b÷a＝a2b D．（2a+b）2＝4a2+b2【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式的除法和完全平方公式判断即可．【解答】解：A、5ab与﹣3b不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B、（﹣3a2b）2＝9a4b2，选项错误，不符合题意；C、a3•b÷a＝a2b，选项正确，符合题意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，选项错误，不符合题意；故选：C．3．新冠病毒疫情发生以来，我国邮政快递企业调配全网资源，迅速开通了国际和国内的航线，畅通陆路运输，全力保障武汉等重点地区的应急救援物资和人民群众日常基本生活物资运递，截止至2020年4月14日，累计为援鄂医疗队免费寄递物品19.71万件．其中数值19.71万可用科学记数法表示为（）A．1.971×109B．19.71×104C．0.1971×106D．1.971×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：19.71万＝19710000＝1.971×105，故选：D．4．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．5．如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的主视图确定A、B、C选项，然后根据俯视图确定D选项即．【解答】解：A、B、D选项的主视图符合题意；C选项的主视图和俯视图都不符合题意，D选项的俯视图符合题意，综上：对应的几何体为D选项中的几何体．故选：D．6．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．【解答】解：根据题意，得：．故选：C．7．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A．12B．6C．4D．3【分析】设点A的坐标，利用矩形的面积，表示矩形的边长，再根据对称中心表示E的坐标，由点A、E都在反比例函数的图象上，由反比例函数k的几何意义求解即可．【解答】解：设矩形的对称中心为E，连接OA、OE，过E作EF⊥OC垂足为F，∵点E是矩形ABCD的对称中心，∴BF＝FC＝BC，EF＝AB，设OB＝a，AB＝b，∵ABCD的面积为12，∴BC＝，BF＝FC＝，∴点E（a+，b），∵S△AOB＝S△EOF＝k，∴ab＝（a+）×b＝k，即：ab＝6＝k，故选：B．8．如图，直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AB边上，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在CE与PQ的交点F处，若S△DEC＝4，则AD的长为（）A．4B．2C．4D．2【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF＝∠CDF＝30°，再根据三角形面积公式可求AD的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，∴∠DGF＝90°，CD∥PQ，DG＝AD，由折叠得∠EFD＝∠A＝90°，DF＝AD，∠EDF＝∠ADE，∴∠CFD＝90°，∵EF＝CF，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠ADE＝∠EDF＝∠CDF＝30°，∴EF＝DF，∴EC＝AD，∵S△DEC＝4，∴AD×AD÷2＝4，解得AD＝2．故选：D．9．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5B．m＝4b+8C．m＝6b+15D．m＝﹣b2+4【分析】由韦达定理得：x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，求出x1、x2的值，函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＜3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即可求解．【解答】解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，解得：x1＝﹣2±（舍去负数），则x2＝2+，∵x1+x2＝﹣2b，∴b＝﹣；函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＜3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，故选：C．10．如图，棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，F是棱AC的中点．动点P从点A出发，沿着A→B→C的路线在该棱柱的棱上运动，运动到点C就停止．设点P运动的路程为x，y＝FP+PB1，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的对称性，确定图象的对称性即可求解．【解答】解：由题意知，FP+PB1关于BB1对称，故可知y关于x的函数图象关于直线x＝1对称，故选：B．二．填空题（共7小题）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥0且x≠3．【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．【解答】解：由题意，得x≥0且x﹣3≠0，解得x≥0且x≠3，故答案为：x≥0且x≠3．12．分解因式：a2b+4ab+4b＝b（a+2）2．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，故答案为：b（a+2）213．如图，菱形OABC的边长为2，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为π．【分析】连接OB，根据菱形性质求出OB＝OC＝BC，求出△BOC是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝BC＝AB＝OA＝2，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴劣弧的长为＝π，故答案为：π．14．关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为16或22．【分析】先计算判别式的值得到△＝（k﹣1）2≥0，利用求根公式得到x1＝k+1，x2＝2k，根据等腰三角形的性质讨论：当k+1＝2k或k+1＝6或2k＝6时，分别计算出对应的k的值得到b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解．【解答】解：根据题意得△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝（k﹣1）2≥0，所以x＝，则x1＝k+1，x2＝2k，当k+1＝2k时，解得k＝1，则b、c的长为2，而2+2＜6，不合题意舍去；当k+1＝6时，解得k＝5，则2k＝10，此时三角形的周长为6+6+10＝22；当2k＝6时，解得k＝3，则k+1＝4，此时三角形的周长为6+6+4＝16．综上所述，△ABC的周长为16或22．故答案为16或22．15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，根据垂径定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案为：10﹣2．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为2．【分析】依据S△P AB＝S△PCD，即可得出点P在BC的垂直平分线上，进而得到PB＝PC，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，依据勾股定理求得BD的长，即可得到PC+PD的最小值为2．【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，AB＝CD，∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，∴点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∴PC+PD＝BP+PD，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，又∵AB＝CD＝4，BC＝6，∴对角线BD＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2，故答案为：2．17．如图，菱形OAA1B1的边长为1，∠AOB＝60°，以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B2，再依次作菱形OA2A3B3，菱形OA3A4B4，……，则菱形OA2019A2020B2020的边长为（）2019．【分析】根据图形的变化发现规律即可求解．【解答】解：∵菱形OAA1B的边长为1，∠AOB＝60°，对角线OA1为：2cos30°•OA＝；∴菱形OA1A2B2的边长为：菱形OA2A3B3的边长为（）2菱形OA3A4B4的边长为（）3……，发现规律：则菱形OA2019A2020B2020的边长为（）2019．故答案为：（）2019．三．解答题（共23小题）18．（1）计算：（﹣）﹣1+﹣|π﹣3|﹣；（2）因式分解：a3﹣2a2b+ab2．【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣3+﹣（π﹣3）﹣＝﹣3+﹣π+3﹣＝﹣π；（2）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2．19．（1）计算：（π﹣3.14）0+﹣2sin45°+﹣（﹣1）2020；（2）先化简，再求值：÷（﹣x+1），请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝1+﹣1﹣2×+﹣1＝﹣1；（2）原式＝＝＝＝，由不等式组，解得：﹣2≤x≤2，∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，∴x≠﹣1，x≠±2，∴当x＝0时，原式＝＝1．（或当x＝1时，原式＝＝）．20．小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，DC＝13m，∠ABC＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由．【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：同意豆花的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝5m，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝90°，∵DC＝13m，BD＝5m，∴CB＝＝12（m）．答：CB的长度为12m．21．在新中国成立70周年之际，某校开展了“校园文化艺术”活动，活动项目有：书法、绘画、声乐和器乐，要求全校学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．政教处在该校学生中随机抽取了100名学生进行调查和统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校初中学生中，参加“书法”项目的学生所占的百分比是多少？（3）若该校共有1500人，请估计其中参加“器乐”项目的高中学生有多少人？（4）经政教处对所有参加“绘画”项目的作品进行评比，共选出2名初中学生和2名高中学生的最佳作品，学校决定从这4名学生中随机抽取2人作为学生会“绘画社团”的团长，那么正好抽到一名初中学生和一名高中学生的概率是多少？【分析】（1）求出参加高中声乐的人数即可补充条形统计图；由参加器乐和声乐的总人数看分别求出其所占的百分比则扇形统计图可补充完整；（2）首先求出参加各个项目的初中总人数即可得到参加“书法”项目的学生所占的百分比；（3）求出参加“器乐”项目的高中学生所占百分比，即可估计1500名学生中参加“器乐”项目的高中学生的人数；（4）记两名高中学生为A，B，两名初中学生为a，b．列表得到所有可能结果，进而可求出正好抽到一名初中学生和一名高中学生的概率．【解答】解：（1）补全条形统计图和扇形统计图如下：（2）．答：该校初中学生中，参加“书法”项目的学生占45%．（3）（人）．答：该校参加“器乐”项目的高中学生约有375人．（4）记两名高中学生为A，B，两名初中学生为a，b．列表如下：A B a bA（A，B）（A，a）（A，b）B（B，A）（B，a）（B，b）a（a，A）（a，B）（a，b）b（b，A）（b，B）（b，a）由上表可知，共有12种等可能结果，其中能抽到一名初中学生和一名高中学生的结果有8种，∴P（抽到一名初中学生和一名高中学生）＝．答：正好抽到一名初中学生和一名高中学生的概率是．22．如图，放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE＝CM+BF+ED即可求出CE的长．【解答】解：过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．在Rt△BCM中，BC＝32cm，∠CBM＝30°，∴CM＝BC•sin∠CBM＝16cm．在Rt△ABF中，AB＝42cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAD＝21cm．∵∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD＝BF，∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝16+21+2＝21+18（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（21+18）cm．23．预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A地需要6吨，B地需要10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨．市预防新型冠状病毒领导小组决定将这16吨消毒液调往A地和B地．消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地．（1）求调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？A地B地终点起点M地70120N地4580【分析】（1）根据题意即可得调运16吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可求出总运费最低的调运方案和最低运费．【解答】解：（1）由题意可知：y＝70x+120（7﹣x）+45（6﹣x）+80[（9﹣（6﹣x）]＝﹣15x+1350（0＜x≤6）．（2）由（1）的函数可知：k＝﹣15＜0，所以函数的值随x的增大而减小，当x＝6时，有最小值y＝﹣15×6+1350＝1260（元）．答：总运费最低的调运方案是从M地调运6吨到A地，1吨到B地，最低运费为1260元．24．（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC．（填写要求证的结论）证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，请继续完成证明过程；（2）【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD 边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论．【解答】解：DE∥BC，DE＝BC，证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．故答案为：DE∥BC，DE＝BC．（2）如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝2，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5．25．如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．（1）求证：△MFG为等腰三角形．（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．【分析】（1）连接OF，利用等角的余角相等证明∠MFG＝∠MGF即可解决问题．（2）连接EF．证明△EGF∽△FGM，可得结论，（3）连接OB．证明∠M＝∠FOD，推出tan∠M＝tan∠FOD＝＝，由DF＝6，推出OF＝8，再由tan∠M＝tan∠ABH＝＝，假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，在Rt△OHB中，根据OH2+BH2＝OB2，构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OF．∵DM是⊙O的切线，∴DM⊥OF，∴∠MFG+∠OF A＝90°，∵BM⊥AD，∴∠AHG＝90°，∴∠OAF+∠AGH＝90°，∵OF＝OA，∴∠OF A＝∠OAF，∵∠MGF＝∠AGH，∴∠MFG＝∠AGF，∴MF＝MG，∴△MFG是等腰三角形．（2）证明：连接EF．∵AB∥DM，∴∠MF A＝∠F AB，∵∠F AB＝∠FEG，∠MFG＝∠MGF，∴∠FEG＝∠MFG，∵∠EGF＝∠MGF，∴△EGF∽△FGM，∴＝，∴FG2＝EG•GM，∵MF＝MG，∴FG2＝EG•MF．（3）解：连接OB．∵∠M+∠D＝90°，∠FOD+∠D＝90°，∴∠M＝∠FOD，∴tan M＝tan∠FOD＝＝，∵DF＝6，∴OF＝8，∵DM∥AB，∴∠M＝∠ABH，∴tan M＝tan∠ABH＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，在Rt△OHB中，∵OH2+BH2＝OB2，∴（8﹣3k）2+（4k）2＝82，解得k＝，∴AG＝．26．如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴的负半轴交于点C．（1）求点B的坐标．（2）若△ABC的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式；②在拋物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令y＝0，解方程可求出点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0）；（2）①由（1）可得，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，a），a＜0，再由△ABC 的面积得到a的值即可；②本题分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则直线与抛物线的交点P可求出；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则直线与抛物线的交点P即可求出．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x1＝1，x2＝a．∵点A位于点B的左侧，与y轴的负半轴交于点C，∴a＜0，∴点B坐标为（1，0）．（2）①由（1）可得，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，a），a＜0，∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4．∵a＜0，∴a＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3．②存在，理由如下：∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3．∵∠POB＝∠CBO，∴当点P在x轴上方时，直线OP∥直线BC，∴直线OP的函数解析式y＝3x，则∴（舍去），，∴点的P坐标为当点P在x轴下方时，直线OP'与直线OP关于x轴对称，则直线OP'的函数解析式为y＝﹣3x，则∴（舍去），，∴点P'的坐标为综上可得，点P的坐标为或．。
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湖南省2020年中考数学模拟试卷及答案1．﹣2的相反数的倒数是（）A． B．C．﹣2 D．2【考点】倒数；相反数．【专题】存在型．【分析】先根据相反数的定义求出﹣2的相反数，再根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2；∵2×=1，∴2的相反数是，即﹣2的相反数的倒数是．故选B．【点评】本题考查的是相反数及倒数的定义，熟练掌握相反数及倒数的定义是解答此题的关键．2．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（x3）2=x6 C．3m+2n=5mn D．y3•y3=y【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项正确；C、3m+2n≠5mn，故本选项错误；D、y3•y3=y6，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．3．在坐标平面内，若点P（x﹣2，x+1）在第二象限，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜2【考点】点的坐标．【分析】根据点的坐标满足第二象限的条件是横坐标＜0，纵坐标＞0可得到一个关于x的不等式组，求解即可．【解答】解：因为点P（x﹣2，x+1）在第二象限，所以x﹣2＜0，x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．故选D．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为： =．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）A．37°B．47°C．45°D．53°【考点】圆周角定理．【分析】连接AC，由AB是直径，可得直角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD的度数，利用两角差可得答案．【解答】解：连接AC，∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，又∠ACD=∠ABD=53°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣53°=37°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理；直径在题目已知中出现时，往往要利用其所对的圆周角是直角这一结论，做题时注意应用，连接AC是正确解答本题的关键．7．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：D．【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A． B．C． D．【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0，∴﹣b＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．故选D．【点评】此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图象与系数的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是 3.6×107 ．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：36000000=3.6×107．故答案为：3.6×107．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式L=求解．【解答】解：L===3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是18 cm3．【考点】由三视图判断几何体．【分析】首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可．【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，故其体积为：3×3×2=18，故答案为：18．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键．13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为 5 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC=BC=AB=4cm在Rt△ACO中，AC=4，OC=3，由勾股定理可得AO==5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即Sn： =，∴Sn=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共58分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（﹣2016）0+|﹣2|+（）﹣2+3tan30°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1+2﹣+4+，=7．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹒=，当x=时，原式=+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．【考点】分式方程的应用．【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，列方程求解．【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据题意得：﹣=3，解得：x=，经检验x=是原方程的解；答：每人每小时的绿化面积是平方米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．18．某小学三年级到六年级的全体学生参加“礼仪”知识测试，试题共有10题，每题10分．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，发现抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”．成绩情况统计表100分90分80分70分60分成绩人数21 40 3618 5频率0.1750.3330.3 0.150.04根据图表中提供的信息，回答下列问题：（1）测试学生中，成绩为80分的学生人数有36 名；众数是90 分；中位数是90 分；（2）若该小学三年级到六年级共有1800名学生，则可估计出成绩为70分的学生人数约有270 名．【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；中位数．【专题】数形结合．【分析】（1）先由直方图得到调查的学生总数，然后计算出各成绩的人数或频率，再根据众数、中位数的定义求解即可．（2）利用成绩为70分的学生所占百分数乘以1800即可．【解答】解：（1）学生总人数=28+30+26++36=120（人），21÷120=0.175，40÷120≈0.333，5÷120≈0.04，0.3×120=36，即成绩为80分的学生人数有36人，120﹣21﹣40﹣36﹣5=18，18÷120=0.15，90出现的次数最多，所以众数为90（分），第60和第61个数都是90分，所以中位数为90分；（2）1800×0.15=270名．估计成绩为70分的学生人数约有270名．故答案为36，18，0.175，0.333，0.15，0.04；36，90，90；270．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC 旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A 点的高度AB为2m，台阶AC的倾斜角∠ACB为30°，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先根据直角三角形的性质得出AC的长，再由锐角三角函数的定义得出DC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2m，∴AC=2AB=4．又∵∠DCE=60°，∴∠ACD=90°．∵AF∥BE，∴∠CAF=∠ACB=30°，∴∠DAC=60°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC=，∴DC=．在Rt△DCE中，∵∠DCE=60°，tan∠DCE=，∴DE=4×=6．答：树DE的高度为6米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．【考点】平行四边形的判定；矩形的性质．【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出•ED•DF=EF•CD，求出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC=EF是解题关键．22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．（1分）又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．又∠COB=2∠1=∠DAB，∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分）∴△ADC∽△ACB．（7分）∴=（9分）∴R==．（10分）【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．23．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知y=x2+kx﹣4（k 为常数）．（1）当k=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论k取何值，该函数总有两个零点．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数的零点的定义，令y=0，解方程即可．（2）令y=0，可得x2+kx﹣4=0．只要证明△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0即可．【解答】解：（1）当k=0时，y=x2﹣4．令y=0，x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2∴当k=0时，该函数的零点是2和﹣2．（2）证明：因为y=x2+kx﹣4，令y=0，可得x2+kx﹣4=0．∵△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0，∴无论k取何值，方程x2+kx﹣4=0总有两个不相等的实数根，∴无论k取何值，该函数总有两个零点．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、根的判别式、一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题．24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC 把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．（2）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB 的面积和减去△BCO的面积，即可得到△BCD的面积．（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析式中，由此求出点P的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，得x1=5，x2=1，由m＜n，知m=1，n=5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5=0，得x1=﹣5，x2=1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC==15．（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y=x+5；∴．解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．【点评】此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．。