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湖南省中考数学试卷

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【真题】湖南省常德市中考数学试卷含答案解析()

【真题】湖南省常德市中考数学试卷含答案解析()

湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．2﹣1D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2的相反数是：2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0 D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A．【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，D x=，D y=．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A．D==﹣7 B．D x=﹣14C．D y=27 D．方程组的解为【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【解答】解：A、D==﹣7，正确；B、D x==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；C、D y==2×12﹣1×3=21，不正确；D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；故选：C．【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．10．（3分）分式方程﹣=0的解为x=﹣1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x=0，解得：x=﹣1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为 1.5×108千米．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是1．【分析】将数据按照从小到大重新排列，根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，所以这组数据的中位数为1，故答案为：1．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b 的值可能是6（只写一个）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为0.35．视力x频数4.0≤x＜4.3204.3≤x＜4.6404.6≤x＜4.9704.9≤x≤5.2605.2≤x＜5.510【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案．【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：=0.35．故答案为：0.35．【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C 落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是9．【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6﹣x，从而列出方程x﹣12=6﹣x求解．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）求不等式组的正整数解．【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），∴k2=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y2=．∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：，解得：．答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90．∵k=﹣10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x ﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =•4•t ﹣•t•t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，m 2﹣m ），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO ∽△COA ，则|m 2﹣m |=2|m |；当=时，△PQO ∽△CAO ，则|m 2﹣m |=|m |，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x （x ﹣6），即y=x 2﹣x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=x ，设直线AB 的解析式为y=kx +b ，把B （6，0），A （8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （t ，t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =•4•t ﹣•t•t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣3）2+3，当t=3时，S有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；△AMN（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，AC=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出，进而得出a=b，即可表示出CN=b，AC=b，AN=AC﹣CN=b，即可得出结论．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，∵OD=OD，∴DM=CN=EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，设DE=b（b＞0），∴AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，∵∠OAD=∠ODC=45°，∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，∴△DEN∽△ADE，∴，∴，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．21 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2023年湖南省郴州市中考数学试卷及其答案

2023年湖南省郴州市中考数学试卷及其答案

2023年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝2408．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是分．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23．（8分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使∠BCD ＝∠A ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD ＝120°，CD ＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B 与点C 的距离x /cm 3025201510容器与水的总质量y 1/g 1012152030加入的水的质量y 2/g57101525把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y 2关于x 的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y 1与x 之间的函数关系，并求y 1关于x 的函数表达式；②求y 2关于x 的函数表达式；③当0＜x ≤60时，y 1随x 的增大而（填“增大”或“减小”），y 2随x 的增大而（填“增大”或“减小”），y 2的图象可以由y 1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y 2（g ）满足19≤y 2≤45，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2023年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，A，C，D均不能由图形a通过平移得到，故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A选项中，a4•a3＝a7，结论正确；B选项中，（a2）3＝a6，故B选项结论错误；C选项中，3a2﹣a2＝2a2，故C选项结论错误；D选项中，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D选项结论错误；故选：A．4．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【解答】解：A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；C．了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；故选：D．6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：C．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝240【解答】解：设原计划平均速度为xkm/h，由题意得，﹣＝1，故选：B．8．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝3．【解答】解：＝3．故答案为：3．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是3（答案不唯一）（任写一个符合条件的数即可）．【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以为3．故答案为：3（答案不唯一）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．故选：．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案为：9．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是93分．【解答】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94＝93（分）．故答案为：93．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．【解答】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AB＝＝＝3（cm），∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴点C的运动路径长为＝（cm）．故答案为：．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．【解答】解：原式＝2﹣×+1+2＝2﹣1+1+2＝4．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝，当x＝1+时，原式＝＝．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%＝100（人），最喜欢去A地的人数为：100﹣20﹣40﹣25﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°；答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴，∵AB＝80海里，∴CD+CD＝80，解得CD＝40﹣40≈29.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+a≤2.5（1+25%），解得：a≤1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠AOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△ACD ﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B 与点C 的距离x /cm 3025201510容器与水的总质量y 1/g 1012152030加入的水的质量y 2/g57101525把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y 2关于x 的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y 1与x 之间的函数关系，并求y 1关于x 的函数表达式；②求y 2关于x 的函数表达式；③当0＜x ≤60时，y 1随x 的增大而减小（填“增大”或“减小”），y 2随x 的增大而减小（填“增大”或“减小”），y 2的图象可以由y 1的图象向下（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y 2（g ）满足19≤y 2≤45，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．【解答】解：（1）作出y 2关于x 的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝；②∵y1＝y2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．【解答】解：（1），理由如下：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF＝CG＝BD；（2）①成立，理由如下：如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG＝CG＝BD；②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴，∵△ABC为等边三角形，，，∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴，，∵△DGF≌ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴，设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，∴①，∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴，即：，联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，∴，，，∴，∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，∴＝＝，∴S△CEF＝（4）＝4+2，∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG ﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵A，B关于抛物线的对称轴对称，∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC 与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y＝mx+n，则：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，当时，，∴，∵A（1，0），C（0，4），∴PA＝＝，PC＝＝，∴；（2）存在，∵D为OC的中点，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，，，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，∴Q（，2）或（，2）；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE＝BE，设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：，∴，设DE的解析式为：y＝kx+q，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或或Q（3，﹣2）或．。

2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A．+237元B．﹣237元C．0元D．﹣474 元2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）A．B．C．D．5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（）A．x6B．x6C．x5D．x96．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×1067．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0D．a≥0，b≥08．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）A．B．C．D．10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（）测试次数 1 2 3 4 5甲 5 10 9 3 8乙8 6 8 6 7A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（）A．反证法B．比较法C．综合法D．分析法12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x x＜x1＜x2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第象限．14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为．16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．20．（6分）解不等式组：．21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87 a98 60%九87 86 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．（1）求点A的坐标．（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．（1）求教学楼AB的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．（1）求证：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．25．（10分）[问题探究]（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．[迁移探究]（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP 的数量关系，并说明理由．26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．2023年湖南省衡阳市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A．+237元B．﹣237元C．0元D．﹣474 元【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．【解析】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，故选：B．2．（3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．【解析】解：A、∵1+2＝3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＝8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5＜10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5＞6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．3．（3分）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．4．（3分）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解析】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意．故选：B．5．（3分）计算（x3）2的结果正确的是（）A．x6B．x6C．x5D．x9【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．【解析】解：原式＝＝×x3×2＝x6．故选：B．6．（3分）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106【分析】利用科学记数法的法则解答即可．【解析】解：7358万＝73580000＝7.358×107，故选：A．7．（3分）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0D．a≥0，b≥0【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．【解析】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．【解析】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；故选：C．9．（3分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组．【解析】解：由题意可得，，故选：C．10．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2．则S甲2和S乙2的大小关系是（）测试次数 1 2 3 4 5甲 5 10 9 3 8乙8 6 8 6 7A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．【解析】解：图表数据可知，甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；即甲的波动性较大，即方差大，∴S甲2＞S乙2，故选：A．11．（3分）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（）A．反证法B．比较法C．综合法D．分析法【分析】根据反证法证明命题的方法判断．【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．”，则三角形的三个内角的和大于180°．这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，这种证明方法是反证法，故选：A．12．（3分）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x x＜x1＜x2【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察图象可得答案．【解析】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图：由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第三象限．【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．【解析】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，故答案为：三．14．（3分）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．【分析】根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．【解析】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是＝，故答案为：．15．（3分）已知x＝5，则代数式﹣的值为．【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解析】解：原式＝﹣＝＝＝，当x＝5时，原式＝＝，故答案为：．16．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是5．【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解析】解：设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一个根为5．故答案为：5．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．【分析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB＝＝10，则AB•CD＝AC•BC＝S，所以×10CD＝×8×6，则△AOBr＝CD＝，于是得到问题的答案．【解析】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，，∵AB•CD＝AC•BC＝S△AOB∴×10CD＝×8×6，解得CD＝，∴r＝CD＝，故答案为：．18．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解析】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．【解析】解：原式＝3+2+（﹣2）＝3+2﹣2＝3．20．（6分）解不等式组：．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解析】解：，解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x＞2，∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．21．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87 a98 60%九87 86 b c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；（2）利用样本估计总体即可．【解析】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；故答案为：84，100，80%；（2）500×＝200（人），答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．22．（8分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A．（1）求点A的坐标．（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．【解析】解：（1）解方程组（x＞0），得，∴点A的坐标为（3，4）；（2）设点D的坐标为（x，0）．由题意可知，BC是OA的垂直平分线，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝，∴D（，0），OD＝．23．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．（1）求教学楼AB的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论；（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答．【解析】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM•tan∠DBM＝24×＝24（米），∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．答：教学楼AB的高度为25.6米；（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°＝30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CE﹣CE＝48米，∴DG＝ED•tan60°＝48（米），∴48÷4＝12（秒），∴经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．（1）求证：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．【解析】（1）证明：∵D是弧AC的中点，∴，∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，∴，∴，∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝，∴tan∠ADE＝，设AE＝x，则DE＝2x，∵DF＝AF＝，∴EF＝2x﹣，∵AE2+EF2＝AF2，∴x＝2，∴AD＝＝2，∴AB＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．25．（10分）[问题探究]（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．[迁移探究]（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①根据正方形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM＝PN，证明四边形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，证明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，进而可得结论；③作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，证明AQ＝BE，BE＝EF即可得出结论；．（2）先证明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC 是平行四边形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四边形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ＝OP；理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，∴∠P AE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴P A＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于点M，则QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE＝EF，∴AQ＝OP；（2）解：AQ＝CP；理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1；（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），运用二次函数的性质即可求得答案；（3）分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），∴a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．∵y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，∴E（t，﹣t+3﹣m），∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵B′C′∥BC，∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，∵DE∥y轴，∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，∵∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），∵﹣＜0，∴当t＝时，DF取得最大值（+m），此时点D的坐标为（，）．（3）存在．当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，∴△BOM≌△COA（SAS），∴∠MBO＝∠ACO，∵∠CBO＝45°，∴∠CBP+∠MBO＝45°，∴∠CBP+∠ACO＝45°，设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1，联立，得，解得：（舍去），，∴P（﹣，）；当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P，由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，∴∠MCM′＝90°，∴M′（2，3），则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9，联立，得：，解得：（舍去），，∴P（2，3）；综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，点P的坐标为（﹣，）或（2，3）．。

2023年常德市中考数学试卷及答案

2023年常德市中考数学试卷及答案

2023年湖南省常德市中考数学真题试卷一、选择题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）1. 3的相反数是（ ）A. 3B. 3-C. 13D. 13- 2. 下面算法正确的是( )A. ()()5995-+=--B. ()710710--=-C. ()505-+=-D. ()()8484-+-=+ 3. 不等式组32312x x x -<⎧⎨+≥⎩的解集是( ) A. 5x < B. 15x ≤< C. 15x -≤< D. 1x ≤-4. “神十六”的三位航天员已在中国空间站值守,空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱,假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等,现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验,则甲、乙两人同时被选中的概率为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 155. 若2340a a +-=,则2263a a +-=( )A. 5B. 1C. 1-D. 06. 下列命题正确的是( )A. 正方形的对角线相等且互相平分B. 对角互补的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线互相垂直D. 一组邻边相等的四边形是菱形7. 如图1,在正方形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点O ,E ,F 分别为AO ,DO 上的一点,且EF AD ∥,连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒,则AED ∠的度数为( )A. 80︒B. 90︒C. 105︒D. 115︒ 8. 观察下边的数表（横排为行,竖排为列）,按数表中的规律,分数202023若排在第a 行b 列,则a b -的值为( ) 1112 21 13 2231 1423 32 41 ……A. 2003B. 2004C. 2022D. 2023二、填空题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）9. 计算：（a 2b ）3=___．10. 分解因式：3222a a b ab ++=_______．11. ,则x 应满足的条件是__________．12. 将8000000000用科学记数法表示为__________．13. 若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是_________． 14. 我市体育中考有必考和选考项目,掷实心球是必考项目之一,在一次训练中,张同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6,8.5,8.6,8.5,9.1,8.5,8.4,8.6,9.2,73．则张同学撰实心球成绩的众数是__________． 15. 如图1,在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,8AB =,6BC =,D 是AB 上一点,且2AD =,过点D 作DE BC ∥交AC 于E ,将ADE ∆绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BD CE的值为__________．16. 《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图．AB 是以O 为圆心,OA 为半径的圆弧,C 是弦AB 的中点,D 在AB 上,CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA=+,当2OA =,90AOB ∠=︒时,l s -=__________．（结果保留一位小数）三、（本大题2个小题,每小题5分,满分10分）17.计算：1011sin 6022-⎛⎫-⋅︒+- ⎪⎝⎭18. 解方程组：213423x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 四、（本大题2个小题,每小题6分,满分12分）19. 先化简,再求值：231242x x x x ++⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭,其中5x =． 20. 如图所示,一次函数1y x m =-+与反比例函数2k y x =相交于点A 和点()3,1B -．（1）求m 的值和反比例函数解析式;（2）当12y y >时,求x 的取值范围．五、（本大题2个小题,每小题7分,满分14分）21. 为了了解粮食生产情况,某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：请根据图中信息回答下列问题：（1）该种粮大户2022年早稻产量是__________吨;（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是__________,平均数是__________;（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同,那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？22. “六一”儿童节将至,张老板计划购买A 型玩具和B 型玩具进行销售,若用1200元购买A 型玩具的数量比用1500元购买B 型玩具的数量多20个,且一个B 型玩具的进价是一个A 型玩具进价的1.5倍．（1）求A 型玩具和B 型玩具的进价分别是多少？（2）若A 型玩具的售价为12元/个,B 型玩具的售价为20元/个,张老板购进A ,B 型玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A 型玩具最多购进多少个？六、（本大题2个小题,每小题8分,满分16分）23. 今年“五一”长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余,小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中,已知四边形ABCD 是平行四边形,座板CD 与地面MN 平行,EBC 是等腰三角形且BC CE =,114.2FBA ∠=︒,靠背57cm FC =,支架43cm AN =,扶手的一部分16.4cm BE =．这时她问小余同学,你能算出靠背顶端F 点距地面（MN ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.80.91︒=,cos65.80.41︒=,tan65.8 2.23︒=）24. 如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 是直径,C 是BD 的中点,过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是O 的切线;（2）若6BC =,8AC =,求,CE DE 的长．七、（本大题2个小题,每小题10分,满分20分）25. 如图,二次函数的图象与x 轴交于()1,0A -,()5,0B 两点,与y 轴交于点C ,顶点为D ．O 为坐标原点,1tan 5ACO ∠=．（1）求二次函数的表达式;（2）求四边形ACDB 的面积;（3）P 是抛物线上的一点,且在第一象限内,若ACO PBC ∠=∠,求P 点的坐标．26. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,D 是BC 的中点,延长DA 至E ,连接,EB EC ．（1）求证：BAE CAE ≌;（2）在如图1中,若AE AD =,其它条件不变得到图2,在图2中过点D 作DF AB ⊥于F ,设H 是EC 的中点,过点H 作AB HG //交FD 于G ,交DE 于M ．求证：①AF MH AM AE ⋅=⋅;①GF GD =．2023年湖南省常德市中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. C3. C4. B5. A6. A7. C8.C解：观察表中的规律发现,分数的分子是几,则必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致,故202023在第20列,即20b =;向前递推到第1列时,分数为201912023192042-=+,故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行,则2042a =．①2042202022.a b -=-=故选：C ．二、填空题.9. 36b a10. ()2a a b +11. 4x ≥12. 9810⨯13. 1k <14. 8.5 15. 45解：①在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,8AB =,6BC =.①10AC ==①DE BC ∥①90ADE ABC ∠=∠=︒,AED ACB ∠=∠①ADE ABC △△∽①AD AE AB AC= ①AD AB AE AC = ①BAC DAE ∠=∠①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠①BAD CAE ∠=∠①ABD ACE ∽ ①84105BD AB CD AC ===． 故答案为：45． 16. 0.1解：①290OA OB AOB ︒==∠=，①AB =①C 是弦AB 的中点,D 在AB 上,CD AB ⊥①延长DC 可得O 在DC 上,12OC AB ==①2CD OD OC =-=①(22232CD s AB OA-=+==.9022360l ππ⨯⨯==. ①30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．三、解答题.17. 018. 52x y =⎧⎨=⎩四、解答题. 19. 12x -,1320. （1）2m =,3y x =-（2）1x <-或03x <<五、解答题.21. （1）9.2 （2）160吨;172吨（3）264.5吨22. （1）A 型,B 型玩具的单价分别是10元/个,15元/个 （2）最多可购进A 型玩具25个六、解答题.72.8cm解：过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q .四边形ABCD 是平行四边形,114.2FBA ∠=︒.∴180114.265.8FCQ CBH ∠︒=∠=︒-︒=.57FC =∴sin 57sin 65.8FQ FC FCQ =⋅∠=⋅︒.过点A 作AP MN ⊥于点P .由题意知AB CD MN ∥∥,FC AN ∥.∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒. 又43AN =.∴sin 43sin65.8AP AN ANP =⋅∠=⋅︒.过C 作CH AB ⊥于点H .BC CE =,16.4EB =.∴8.2BH =∴tan 8.2tan65.88.2 2.2318.29CH BH CBH =⋅∠=⨯︒=⨯≈. ∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为57sin 65.843sin 65.818.29FQ AP HC +-=︒+︒-1000.9118.2972.7172.7cm =⨯-=≈; 24. （1）证明见解析;（2）245EC =,185DE =．【小问1详解】连接OC①C 为BD 的中点.①12∠=∠.又①OA OC =.①23∠∠=.①13∠=∠.①AE OC ∥.又①CE AE ⊥.①CE OC ⊥,OC 为半径.①CE 为O 的切线.【小问2详解】①AB 为O 直径.①90ACB ∠=︒.①6,8BC AC ==.①10AB =.又①12∠=∠,90AEC ACB ∠=∠=︒. ①AEC ACB ∽. ①EC AC CB AB =,即8610EC =. ①245EC =. ①CD CB =.①CD BC 6==,在DEC Rt △中,由勾股定理得：185DE ===． 七、解答题.（1）()()15y x x =-+- （2）30 （3）127,24P ⎛⎫⎪⎝⎭ 【小问1详解】①二次函数的图象与x 轴交于()()1,0,5,0A B -两点． ①设二次函数的表达式为()()15y a x x =+- ①11,tan 5AO ACO =∠=. ①5OC =,即C 的坐标为()0,5 则()()50105a =+-,得1a =- ①二次函数的表达式为()()15y x x =-+-;【小问2详解】()()215(2)9y x x x =-+-=--+ ①顶点的坐标为()2,9过D 作DN AB ⊥于N ,作DM OC ⊥于M .四边形ACDB 的面积AOC CDM DNB OMDN S S S S =+-+△△△矩形 ()()111152929552930222=⨯⨯+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯=;【小问3详解】如图,P 是抛物线上的一点,且在第一象限,当ACO PBC ∠=∠时. 连接PB ,过C 作CE BC ⊥交BP 于E ,过E 作EF OC ⊥于F .①5OC OB ==,则OCB 为等腰直角三角形,45OCB ∠=︒．由勾股定理得：CB =①ACO PBC ∠=∠.①tan tan ACO PBC ∠=∠. 即15CE CB ==. ①CE 由CH BC ⊥,得90BCE ∠=︒.①180180904545ECF BCE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．①EFC 是等腰直角三角形 ①1FC FE ==①E 的坐标为()1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x =-+ 令()()3152215y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+-⎩解得50x y =⎧⎨=⎩,或12274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以BE 直线与抛物线的两个交点为()1275,0,,24B P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 即所求P 的坐标为127,24P ⎛⎫⎪⎝⎭ 26.【小问1详解】 证明：①AB AC D =，是BC 的中点. ①AD 是BC 的垂直平分线. 又①E 在AD 上.①EB EC =.在BAE 和VCE ∆中,,,AB AC EB EC AE AE === ①(SSS)BAE CAE △≌△【小问2详解】证明：①连接AH .①,A H 分别是ED 和EC 的中点.①AH 为EDC △的中位线. ①∥AH DC .①90EAH EDC ∠=∠=︒. 又①DF AB ⊥.①90AFD ∠=︒.又①HG AB .①FAD AMH ∠=∠. 在AFD △和MAH 中,90,AFD MAH FAD AMH ∠=∠=︒∠=∠. ①AFD MAH △∽△. ①AF AD AM MH=. ①AF MH AM AD ⋅=⋅. 又①AE AD =.①AF MH AM AE ⋅=⋅; ①在AMH 和DAC △中,90MAH ADC ∠=∠=︒. ①AB AC =.①A ABC CB =∠∠. ①DF AB ⊥.①90FAD ADF ∠+∠=︒. ①90F AB D D A +=︒∠∠. ①F ABD AD =∠∠. ①AB HG ∥.①90AFD HGD ==︒∠∠. ①AMH GMD ∠=∠. ①F AHM AD =∠∠.①ABD ADF AHM ∠=∠=∠. ①AHM ACB ∠=∠. ①AMH DAC △∽△.又①A 、H 分别为ED 和EC 中点. ①AH 为EDC △的中位线.①12 AM AHAD DC==.①12AM AD=,即M为AD中点.又①AF GH∥.①G为FD中点.①GF GD=.。

湖南省中考数学试题及答案

湖南省中考数学试题及答案

湖南省中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 一条直线B. 一个圆C. 一个抛物线D. 一个立方体答案：C2. 一个等边三角形的内角和是多少度？A. 90°B. 180°C. 360°D. 540°答案：B3. 一个数的绝对值总是：A. 负数B. 非负数C. 正数D. 零答案：B4. 如果一个角是30°，那么它的补角是多少度？A. 60°C. 120°D. 150°答案：C5. 以下哪个表达式可以简化为0？A. 3x - 3xB. 2x + 3xC. 4x - 2xD. 5x - 3x答案：A6. 一个圆的周长是2πr，那么它的面积是多少？A. πr²B. 2πr²C. πrD. 2πr答案：A7. 一个数的立方根是它本身的数是：A. 1B. -1C. 0D. A和B都是答案：D8. 以下哪个选项是不等式2x + 3 > 7的解？B. x < 2C. x > -2.5D. x < -2.5答案：C9. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是多少度？A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°答案：B10. 以下哪个选项是方程x² - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 2 或 x = 3D. x = -2 或 x = -3答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方根是它本身的数是______。

答案：012. 一个数的相反数是它本身的数是______。

答案：013. 一个数的倒数是它本身的数是______。

答案：1 或 -114. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长x满足的不等式是______。

2023年湖南省岳阳市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省岳阳市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省岳阳市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3分）2023的相反数是（）A．B．﹣2023 C．2023 D．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．a2•a＝a3B．a6÷a2＝a3C．3a﹣a＝3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．（3分）下列几何体的主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°5．（3分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（）A．180，182 B．178，182 C．180，180 D．178，1806．（3分）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．菱形的四条边相等C．正五边形是中心对称图形D．单项式5ab2的次数是47．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（）A．寸B．25寸C．24寸D．7寸8．（3分）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y ＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．10．（4分）近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只，数据378300用科学记数法表示为．11．（4分）有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为＝160mm，甲队身高方差s甲2＝1.2，乙队身高方差s乙2＝2.0，两队身高比较整齐的是队．（填“甲”或“乙”）12．（4分）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC ＝°．13．（4分）观察下列式子：12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…依此规律，则第n（n为正整数）个等式是．14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝．15．（4分）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为 1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．16．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB 的延长线交于点E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是（结果保留π）；（2）若＝，则＝．三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．18．（6分）解不等式组：．19．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．20．（8分）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A 包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：（1）本次共调查了名学生；（2）请补全条形统计图；（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．21．（8分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM ＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．22．（8分）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．24．（10分）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．（1）请求出抛物线Q1的表达式．（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2023年湖南省岳阳市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3分）2023的相反数是（）A．B．﹣2023 C．2023 D．【分析】利用相反数的定义判断即可．【解析】解：2023的相反数是﹣2023．故选：B．【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．a2•a＝a3B．a6÷a2＝a3C．3a﹣a＝3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式进行计算，再根据求出的结果进行判断即可．【解析】解：A．a2•a＝a3，故本选项符合题意；B．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；C．3a﹣a＝2a，故本选项不符合题意；D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式等知识点，能熟记同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项法则和完全平方公式是解此题的关键．3．（3分）下列几何体的主视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据球体、正方体、四棱锥、三棱柱的主视图的形状进行判断即可．【解析】解：球体的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，四棱锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是矩形．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．4．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】由平角的定义可求得∠BEG＝50°，再由平行线的性质即可求解．【解析】解：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．5．（3分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（）A．180，182 B．178，182 C．180，180 D．178，180【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【解析】解：这组数据178出现2次，次数最多，所以这组数据的众数为178，这组数据的中位数为180，故选：D．【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．6．（3分）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．菱形的四条边相等C．正五边形是中心对称图形D．单项式5ab2的次数是4【分析】利用平行线的性质、菱形的性质、正多边形的对称性及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（）A．寸B．25寸C．24寸D．7寸【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长．【解析】解：依题意得：BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸，由勾股定理得：．∴CD的长为24寸．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．8．（3分）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y ＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0【分析】根据根与系数的关系解答即可．【解析】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s∵f（t）＞0，∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．根与系数的关系是二次函数部分非常重要的关系式，这里进行了反复运用，一定要牢牢掌握并灵活运用．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【解析】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．10．（4分）近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只，数据378300用科学记数法表示为3.783×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：将378300用科学记数法表示为3.783×105．故答案为：3.783×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（4分）有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为＝160mm，甲队身高方差s甲2＝1.2，乙队身高方差s乙2＝2.0，两队身高比较整齐的是甲队．（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义求解即可．【解析】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝2.0，∴S甲2＜S乙2，∴两队身高比较整齐的是甲队．故答案为：甲．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．12．（4分）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC ＝30°．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解析】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠AOB＝＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．13．（4分）观察下列式子：12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…依此规律，则第n（n为正整数）个等式是n2﹣n＝n（n﹣1）．【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．【解析】解：12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…；依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解析】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，∵x1+x2+x1•x2＝2，∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，∴实数m的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．15．（4分）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是9.5米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．【分析】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：由题意得，四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，在Rt△ADE中，∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，∴DE＝AD•tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），答：气球顶部离地面的高度EC是9.5m．故答案为：9.5．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地仰角的定义是解题的关键．16．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB 的延长线交于点E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是π（结果保留π）；（2）若＝，则＝．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出的长；（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．【解析】解：（1）如图，连接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的长＝＝π；故答案为：π；（2）如图，连接OC，∵点C为的中点，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．【分析】先化简特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，再根据实数的运算法则计算即可．【解析】解：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．＝4﹣+﹣1﹣1＝2．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．18．（6分）解不等式组：．【分析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可．【解析】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜4，故不等式组的解集为：2＜x＜4．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法．19．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；（2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C 的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标．【解析】解：（1）将点A（1，2）代入，得：k＝2，∴反比例函数的解析式为：，将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，∴正比例函数的解析式为：y＝2x．（2）解方程组，得：，，∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，∵S△ABC ＝S△AOC+S△BOC＝4，∴，即：|n|×1+|n×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4，∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC 和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．20．（8分）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A 包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：（1）本次共调查了100名学生；（2）请补全条形统计图；（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．【分析】（1）根据C组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出同时选中A和C两个社团的概率．【解析】解：（1）25÷25%＝100（名），即本次共调查了100名学生，故答案为：100；（2）选择B的学生有：100﹣40﹣25﹣15＝20（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）树状图如下所示，由上可得，一共有12种等可能性，其中同时选中A和C两个社团的可能性有2种，∴同时选中A和C两个社团的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．21．（8分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM ＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．（1）你添加的条件是①（填序号）；（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件即可；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥DC，AB＝DC，求得∠A+∠D＝180°，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：当∠1＝∠2时，▱ABCD为矩形．故答案为：①；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和DCM中，，∴△ABM≌DCM（SAS），∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∴▱ABCD为矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得△ABM≌DCM，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．22．（8分）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．【分析】设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，利用养殖面积＝总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解析】解：设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，根据题意得：＝，解得：x＝300，经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．答：今年龙虾的平均亩产量为300kg．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是MN＝AC，MN与AC的位置关系是MN∥AC．特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论；（2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°；②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则，设DE＝x，则，在Rt△ABE 中，BE＝2，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得，则；（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC ＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则α+β＝360°，表示∠BAE与∠ABF，即可求解．【解析】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴，MN∥AC；故答案是：MN＝AC，MN∥AC；（2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF，∵MN是△BAC的中位线，∴MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝90°，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°，∵点A，E，F在同一直线上，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，∴，∴BM＝ME＝BE，∴△BME是等边三角形，∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°，∴∠NBF＝60°，BN＝BF，∴△BNF是等边三角形，又∵BN＝NC，BN＝NF，∴NF＝NC，∴∠NCF＝∠NFC，∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°，∴∠FCB＝30°；（2）如图所示，连接AN，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴，∠ACB＝∠ABC＝45°，∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，∴△ADN∽△BDE，∴，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，∴，解得：或（舍去），∴；（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴∠MNB＝∠MBN＝θ，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，∴∠EBF＝∠EFB＝θ，∴∠BEF＝180°﹣2θ，∵点C，E，F在同一直线上，∴∠BEC＝2θ，∴∠BEC+∠BAC＝180°，∴A，B，E，C在同一个圆上，∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ，∵∠ABF＝α+θ，∴∠BAE+∠ABF＝180°，如图所示，当F在EC上时，∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC，∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则α+β＝360°，∴∠ABF＝θ﹣β，∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β，∵，∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β，∴∠BAE＝∠ABF，综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌以上知识是解题的关键．24．（10分）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．（1）请求出抛物线Q1的表达式．（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，由正方形性质可得AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，进而可证得△EAG≌△ADO（AAS），得出AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，即E （﹣2，3），再证明点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），即可求得F（1，2）．（3）先求得抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，得出K（1，4），H（3，0），运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得tan∠CHK＝＝＝，进而可求得点P的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形．理由：如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，∵A（﹣3，0），D（0，﹣1），∴OA＝3，OD＝1，∵四边形DAEF是正方形，∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAG＝∠ADO，∴△EAG≌△ADO（AAS），∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，∴E（﹣2，3），当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2，F（1，2）．（3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4），∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，∴K（1，4），H（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+n，把C（0，3），H（3，0）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，则T（0，4），M（m，﹣m+3），N（t，﹣t+3），∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT＝45°，CK＝KT＝，∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝45°，CH＝OC＝3，∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°，∴tan∠CHK＝＝＝，∵∠CPK＝∠CHK，∴tan∠CPK＝tan∠CHK＝，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝∠CHK，∵BK∥OC，∴∠CBK＝∠BCO，∴∠CBK＝∠CHK，即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK，∴P1（1，0）；∵SK＝1，PS＝3，∴tan∠CPK＝＝，∴∠CPK＝∠CHK，∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称，∴P（﹣2，3）；综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．。

2023年湖南省长沙市中考数学试卷及答案解析

2023年湖南省长沙市中考数学试卷及答案解析

2023年湖南省长沙市中考数学试卷及答案解析题目部分第一题请计算下列各题：1. ($-2.5) + 5$答案解析：将$-2.5$与$5$相加，得出结果$2.5$。

：将$-2.5$与$5$相加，得出结果$2.5$。

2. $8 \times 0.4$答案解析：将$8$与$0.4$相乘，得出结果$3.2$。

：将$8$与$0.4$相乘，得出结果$3.2$。

第二题请回答以下选择题：1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ 的结果是：A. $\frac{1}{16}$B. $\frac{17}{8}$C. $\frac{7}{8}$D. $\frac{15}{8}$答案解析：将$\frac{3}{4}$与$\frac{5}{8}$相加，得出结果$\frac{7}{8}$，所以选项C是正确答案。

：将$\frac{3}{4}$与$\frac{5}{8}$相加，得出结果$\frac{7}{8}$，所以选项C是正确答案。

2. $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ 的结果是：A. $\frac{15}{12}$B. $\frac{25}{32}$C. $\frac{6}{5}$D. $\frac{6}{7}$答案解析：将$\frac{5}{6}$除以$\frac{2}{3}$，即$\frac{5}{6} \times \frac{3}{2}$，得出结果$\frac{5}{4}$，所以选项A是正确答案。

：将$\frac{5}{6}$除以$\frac{2}{3}$，即$\frac{5}{6} \times\frac{3}{2}$，得出结果$\frac{5}{4}$，所以选项A是正确答案。

总结本试卷共有两道题目，分为计算题和选择题两个部分。

通过审题和运算，我们可以得到每道题目的正确答案。

在数学中考中，正确的解答方法和答案解析是非常重要的，希望同学们能通过这份试卷来加深对数学知识的理解和掌握。

2024年湖南省长沙市中考数学试题(解析版)

2024年湖南省长沙市中考数学试题(解析版)

2024年长沙市初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A 中图形轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，故选：B ．2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）A. 81.2910×B. 812.910×C. 91.2910×D. 712910×【答案】C 是【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为91.2910×，故选：C ．3. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是180−℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）A. 180−℃B. 150℃C. 30℃D. 330℃【答案】D【解析】【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是()150180330−−=℃， 故答案为：D ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 642x x x ÷=B.C. 325()x x =D. 222()x y x y +=+【答案】A【解析】【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．【详解】解：A 、 642x x x ÷=，计算正确；BC 、326()x x =，原计算错误；D 、222()2x y x xy y +=++，原计算错误；故选A ．5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）A. 9.2B. 9.4C. 9.5D. 9.6【答案】B【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可．【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位数为：9.4，故选B ．6. 在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为（ ）A. ()1,5B. ()5,5C. ()3,3D. ()3,7【答案】D【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为()3,52+，即()3,7，故选：D ． 7. 对于一次函数21y x =−，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y 轴交于点()0,1−B. y 随x 的增大而减小C. 当12x >时，0y <D. 它的图象经过第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：A.当0x =时，1y =−，即一次函数21y x =−的图象与y 轴交于点()0,1−，说法正确； B.一次函数21y x =−图象y 随x 增大而增大，原说法错误； C.当12x >时，0y >，原说法错误； D.一次函数21y x =−图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A ．的的8. 如图，在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°，AD BC ∥．则1∠的度数为（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得70C ∠=°，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°， ∴18070C BAC B ∠∠−∠−=°=°,∵AD BC ∥，∴170C ∠∠==°．故选：C ．9. 如图，在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，则O 的半径长为（ ）A. 4B.C. 5D. 【答案】B【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，∴OE AB ⊥，142AE AB ==，在Rt AOE △中，OA， 故选：B ．10. 如图，在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，DE ，过点A 作AF DE ⊥于点P ．设DE x =，AF y =，则y 与x 之间的函数解析式为（不考虑自变量x 的取值范围）（ ）A. 9y x =B. 12y x =C. 18y x =D. 36y x= 【答案】C【解析】【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x 、y 的关系式是解答的关键．过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，根据菱形的性质和平行线的性质得到6CD AD AB ===，ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°，进而利用含30度角的直角三角形的性质132DH CD ==，证明AFD DHE ∽得到AF AD DH DE=，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，∵在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，∴AB CD ∥，AD BC ∥，6CD AD AB ===，∴ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°， 在Rt CDH △中，132DH CD ==， ∵AF DE ⊥， ∴90AFD DHE ∠=∠=°，又ADF DEH ∠=∠，∴AFD DHE ∽， ∴AF AD DH DE=， ∵DE x =，AF y =，∴63yx =，∴18yx =，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵3.610.815.8<<，∴甲种秧苗长势更整齐，故答案为：甲．12. 某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．【答案】15##0.2【解析】【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．利用概率公式直接进行计算．【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为21 2355=++，故答案为：15．13. 要使分式619x−有意义，则x需满足的条件是______．【答案】19x≠【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵分式619x −有意义， ∴190x −≠，解得19x ≠，故答案为：19x ≠．14. 半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为______（结果保留π）．【答案】4π【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式2π360n r S =（n 为圆心角的度数，r 为半径）求解即可．【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为290π44π360×=， 故答案为：4π．15. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AC BC ，的中点，连接DE ．若12DE =，则AB 的长为______．【答案】24【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是ABC 的中点，∴221224AB DE ==×=，故答案为：24．16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．【答案】2009【解析】【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意列二元一次方程，整理得1001109x a =+，根据a 的取值得到x 的9种可能，结合实际即可求解．【详解】解：设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意，得()10 4.6101978915a x +×+−=， 整理，得100461978915a x ++−=∴1001109x a =+， ∵a 是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，∴x 的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，∴x 只能是2009，故答案为：2009．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第2425题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：()011()π 6.84−−°−． 【答案】3【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．【详解】解：原式41=+3=．18. 先化简，再求值：()()()2233m m m m m −−++−，其中52m =． 【答案】49m −；1【解析】【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：()()()2233m m m m m −−++−22229m m m m =−++−49m =−． 当52m =时，原式54910912=×−=−=．19. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，AB =2AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 和N ，作直线MN 分别交AB BC ，于点D ，E ，连接CD AE ，．（1）求CD 的长；（2）求ACE 的周长．【答案】（1（2）6【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得MN 是线段AB 的垂直平分线，故点D 是斜边AB 的中点．据此即可求解；（2）根据EA EB =、ACE 的周长AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+即可求解；【小问1详解】解：由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，∴在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点．∴1122CD AB ==×． 【小问2详解】解：在Rt ABC △中，4BC =．∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴EA EB =．∴ACE 的周长246AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+=+=．20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型人数 百分比 纯电m 54% 混动 n %a氢燃料 3%b 油车 5 %c请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中=a ______，b =______；（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）见解析 （3）108°（4）3600人【解析】【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b ，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a ；（2）先求得n ，进而可补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．【小问1详解】解：本次调查活动随机抽取人数为510%50÷=（人）， %350100%6%b =÷×=，则6b =，%154%6%10%30%a =−−−=，则30a =，故答案为：50；30，6；【小问2详解】解：∵5030%15n =×=，∴补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：扇形统计图中“混动”36030%108°×=°；【小问4详解】解：()400054%30%6%3600×++=（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．21. 如图，点C 在线段AD 上，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若60BAC ∠=°，求ACE ∠的度数． 【答案】（1）见解析 （2）60ACE ∠=°【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明ACE △是等边三角形是解答的关键．（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，再证明ACE △是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【小问1详解】证明：在ABC 与ADE 中，AB AD B D BC DE = ∠=∠ =， 所以()SAS ABC ADE ≌；【小问2详解】解：因为ABC ADE △≌△，60BAC ∠=°， 所以AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，所以ACE △是等边三角形．所以60ACE ∠=°．22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A 、B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元． （1）求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件？【答案】（1）A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元（2）最多能购买100件A 种湘绣作品【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元，根据“购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件，总费用=单价×数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【小问1详解】设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元．根据题意，得2700231200x y x y += +=， 解得300,200x y = = ．答：A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元．【小问2详解】设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件．根据题意，得()30020020050000a a +−≤，解得100a ≤．答：最多能购买100件A 种湘绣作品．23. 如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，90ABC ∠=°．（1）求证：AC BD =；（2）点E 在BC 边上，满足CEO COE ∠=∠．若6AB =，8BC =，求CE 的长及tan CEO ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）5CE =，tan 3CEO ∠=【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．（1）直接根据矩形的判定证明即可；（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得10AC =，OB OC =．进而可得152CO AC ==，再根据等腰三角形的判定得到5CE CO ==，过点O 作OF BC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得4CF =，1EF =，3OF =，然后利用正切定义求解即可．【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，且90ABC ∠=°，所以四边形ABCD 是矩形．所以AC BD =；【小问2详解】解：在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，所以10AC =，因为四边形ABCD 是矩形， 所以152CO AC ==，OB OC =． 因为CEO COE ∠=∠，所以5CE CO ==．过点O 作OF BC ⊥于点F ，则142==CF BC ，所以541EF CE CF =−=−=，在Rt COF △中，3OF， 所以tan 3OF CEO EF∠==． 24. 对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有=R ．（ ） （2）如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，四条边长满足：AB CD BC AD +≠+．①该四边形ABCD 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，连接EF ．求证：EF 是O 的直径．（3）已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ．①如图2．连接EG FH ，交于点P ．求证：EG FH ⊥．②如图3，连接OA OB OC ，，，，若2OA =，6OB =，3OC =，求内切圆O 的半径r 及OD 的长．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型单圆；②见解析（3）r =OD = 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③；（2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明 EBF EDF=即可证得结论； （3）①连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，根据四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出180A EOH ∠+∠=°，180FOG C ∠+∠=°，180A C∠+∠=°，进而可得EOH C ∠=∠，180FOG EOH∠+∠=°，然后利用圆周角定理可推导出90HPG ∠=°，即可证得结论；②连接OE 、OF 、OG 、OH ，根据已知条件证明OAH COG ∠=∠，进而证明AOH OCG ∽得到32CG r =，再利用勾股定理求得r =，BE =BEO OHD ∽求解OD 即可． 【小问1详解】解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；②∵内角不等于90°的菱形的对角不互补，∴该菱形无外接圆，∵菱形的四条边都相等，∴该菱形的对边之和相等，∴该菱形有内切圆，∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，则OM r =，ON R =，OM MN ⊥，45ONM ∠=°，∴Rt OMN △为等腰直角三角形，∴ON =，即=R ；故③正确，故答案为：①×；②√；③√；【小问2详解】解：①∵四边形ABCD 中，AB CD BC AD +≠+，∴四边形ABCD 无内切圆，又该四边形有外接圆，∴该四边形ABCD 是“外接型单圆”四边形，故答案为：外接型单圆；的②∵BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，∴BAE DAE ∠=∠，BCF DCF ∠=∠， ∴ BEDE =， BF DF =， ∴ BEBF DE DF +=+， ∴ EBF EDF=，即 EBF 和 EDF 均为半圆， ∴EF 是O 的直径．【小问3详解】①证明：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，∴90OEA OHA ∠=∠=°，在四边形AEOH 中，3609090180A ∠+∠°−°−°=°，同理可证，180FOG C ∠+∠=°，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，∴该四边形有外接圆，则180A C ∠+∠=°，∴EOH C ∠=∠，则180FOG EOH∠+∠=°， ∵12FHG FOG ∠=∠，12EGH EOH ∠=∠， ∴()1902FHG EGH FOG EOH ∠+∠=∠+∠=°， ∴()18090HPGFHG EGH ∠=°−∠+∠=°， ∴EG FH ⊥；②如图，连接OE 、OF 、OG 、OH ，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ，∴∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，OE OF OG OH ===，∴180EAH FCG ∠+∠=°，OAH OAE ∠=∠，OCG OCF ∠=∠， ∴90OAH OCG ∠+∠=°，∵90COG OCG ∠+∠=°，∴OAH COG ∠=∠，又90AHO OGC ∠=∠=°，∴AOH OCG ∽， ∴OA OH OC CG=， ∵2OA =，3OC =， ∴23r CG =，则32CG r =， 在Rt OGC △中，由222OG CG OC +=得222332r r +=，解得r = 在Rt OBE 中，6OB =，∴BE 同理可证BEO OHD ∽， ∴BE OB OH OD=，6OD=，∴OD =【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战．25. 已知四个不同的点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y 都在关于x 的函数2y ax bx c ++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象上．（1）当A ，B 两点的坐标分别为()1,4−−，()3,4时，求代数式3202410127a b ++的值； （2）当A ，B 两点的坐标满足212122()40a y y a y y +++=时，请你判断此函数图象与x 轴的公共点的个数，并说明理由；（3）当0a >时，该函数图象与x 轴交于E ，F 两点，且A ，B ，C ，D 四点的坐标满足：222121222()0a y y a y y ++++=，222343422()0a y y a y y −+++=．请问是否存在实数(1)m m >，使得AB ，CD ，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3？若存在，求出m 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF ⋅表示一条长度等于EP 的m 倍的线段）．【答案】（1）3320241012202477a b ++= （2）此函数图象与x 轴的公共点个数为两个，理由见解析（3）存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =此时该函数的最小值为2a −【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x 轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键.（1）将A B 、代入得到关于a 、b 的关系式，再整体代入求解即可;（2）解方程212122()40a y y a y y +++=求解，再根据a 的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个3060°°、的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可.【小问1详解】将()1,4A −−，()3,4B 代入2y ax bx c ++得4934a b c a b c −+=− ++=①②， ②-①得848a b +=，即22a b +=． 所以333202*********(2)2024777a ba b ++=++=． 【小问2详解】此函数图象与x 轴的公共点个数为两个． 方法1：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=． 可得12a y =−或22a y =−． 当0a >时，<02a −，此抛物线开口向上，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的下方，此时该函数图象与x 轴有两个公共点；当0a <时，>02a −，此抛物线开口下，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的上方，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，此函数图象与x 轴必有两个公共点．方法2：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=． 可得12a y =−或22a y =−． 所以抛物线上存在纵坐标为2a −的点，即一元二次方程22a ax bx c ++=−有解． 所以该方程根的判别式24()02ab ac ∆=−+≥，即2242b ac a −≥． 因为0a ≠，所以240b ac −>．所以原函数图象与x 轴必有两个公共点．方法3：由()21212240a y y a y y +++=，可得12a y =−或22a y =−． 当12a y =−时，有2112a ax bx c ++=−，即2112a ax bx c ++=−， 所以2222211144()2(2)02ab ac b a ax bx a ax b ∆=−=+++=++>． 此时该函数图象与x 轴有两个公共点． 当22a y =−时，同理可得0∆>，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，该函数图象与x 轴必有两个公共点．【小问3详解】因为0a >，所以该函数图象开口向上．由222121222()0a y y a y y ++++=，得()()22120a y a y +++=，可得12y y a ==−．由222343422()0a y y a y y −+++=，得2234()()0a y a y −+−=，可得34y y a ==． 所以直线AB CD ，均与x 轴平行．由（2）可知该函数图象与x 轴必有两个公共点，设()5,0E x ，()6,0F x ． 由图象可知244ac b a a−−>，即2244b ac a −>． 所以2ax bx c a ++=−的两根为1x ，2x，可得12AB x x =−= 同理2ax bx c a ++=的两根为3x ，4x，可得34CD x x =−= 同理20ax bx c ++=的两根为5x ，6x，可得56m EF m x x m ⋅=⋅−= 由于1m >，结合图象与计算可得AB EF m EF <<⋅，<AB CD ．若存在实数()1m m >，使得AB CD ，，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB 不可能是该直角三角形的斜边．①当以线段CD 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为m EF AB ⋅>，所以必须同时满足：222()AB m EF CD +⋅=，m EF ⋅． 将上述各式代入化简可得2222288244a a m b ac a =<=−，且22223(44)4b ac a m b ac −−=−， 联立解之得222043a b ac −=，22286245a m b ac ==<−，解得1m =>符合要求．所以m =，此时该函数最小值为2220453443a acb a a a −−==−． ②当以线段m EF ⋅为斜边时，必有222()AB CD m EF +=⋅，同理代入化简可得的2222(4)(4)b ac m b ac −−，解得m =为斜边，且有一个内角为60°，而CD AB >，所以tan 60CD AB =⋅°， 化简得222484b ac a a −=>符合要求．所以m =2824a a a −==−． 综上所述，存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =2a −．。

湖南省株洲市2024年中考数学试卷(解析版)

湖南省株洲市2024年中考数学试卷(解析版)

湖南省株洲市2024年中考数学试卷一、选择题1．下列数中，﹣3的倒数是（）A．﹣13B．13C．﹣3D．3【答案】A．【解析】试题分析：1÷（﹣3）=13-=﹣13．故选A．考点：倒数．2．下列等式错误的是（）A．222(2)4mn m n=B．222(2)4mn m n-=C．22366(2)8m n m n=D．22355(2)8m n m n-=-【答案】D．【解析】考点：幂的乘方与积的乘方．3．甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成果（环）及方差统计如表，现要依据这些数据，从中选出一人参与竞赛，假如你是教练员，你的选择是（）队员平均成绩方差甲9.7 2.12乙9.6 0.56丙9.7 0.56丁9.6 1.34A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C．【解析】试题分析：∵=x x甲丙=9.7，22S S>甲乙，∴选择丙．故选C．考点：方差．4．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B．【解析】考点：旋转的性质．5．不等式21120xx-≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：解不等式2x﹣1≥1，得：x≥1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式组的解集为：1≤x＜2，故选C．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．6．在解方程13132x xx-++=时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（）A．2x﹣1+6x=3（3x+1）B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）D．（x﹣1）+x=3（x+1）【答案】B．【解析】试题分析：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故选B．考点：解一元一次方程．7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=12DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．8．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种状况的面积关系满意S1+S2=S3图形个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】故选D．考点：勾股定理．9．已知，如图一次函数1y ax b=+与反比例函数2ky x =的图象如图示，当12y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞5C ．2＜x ＜5D ．0＜x ＜2或x ＞5 【答案】D ． 【解析】试题分析：依据题意得：当12y y <时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x ＞5．故选D ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．已知二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）的图象经过点A （﹣1，2），B （2，5），顶点坐标为（m ，n ），则下列说法错误的是（ ）A ．c ＜3B ．m ≤12 C ．n ≤2 D ．b ＜1【答案】B ． 【解析】考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题11．计算：3a ﹣（2a ﹣1）= ． 【答案】a+1． 【解析】试题分析：原式=3a ﹣2a+1=a+1，故答案为：a+1． 考点：整式的加减．12．据民政部网站消息，截至2024年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为 ． 【答案】2.12×108．【解析】试题分析：2.12亿=212000000=2.12×108，故答案为：2.12×108．考点：科学记数法—表示较大的数．13．从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是．【答案】0.4．【解析】试题分析：从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率=40100=0.4．故答案为：0.4．考点：概率公式．14．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．【答案】π．【解析】试题分析：如图，连接OA、OB，∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×16=60°，AB的长为603180π⨯=π．故答案为：π．考点：正多边形和圆；弧长的计算．15．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x= ．【答案】（x+4）（x﹣4）．考点：因式分解-运用公式法．16．△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF= 度．【答案】120．【解析】试题分析：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣75°﹣45°=105°﹣45°=60°．∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵四边形OECF的内角和等于360°，∴∠EOF=360°﹣（90°+90°+60°）=360°﹣240°=120°．故答案为：120．考点：三角形的内切圆与内心．17．已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y1=k1x+b1，直线CD的表达式为y2=k2x+b2，则k1k2= ．【答案】1．【解析】试题分析：设点A（0，a）、B（b，0），∴OA=a，OB=﹣b，∵△AOB≌△COD，∴OC=a，OD=﹣b，∴C（a，0），D（0，b），∴k1=OAOB=ab-，k2=ODOC=ba-，∴k1k2=1，故答案为：1．考点：两条直线相交或平行问题；全等三角形的性质．18．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．31．【解析】考点：解直角三角形；等腰直角三角形；新定义．三、解答题19．计算：20169(1)4cos 60+--．【答案】2．【解析】试题分析：原式利用算术平方根定义，乘方的意义，以及特别角的三角函数值计算即可得到结果．试题解析：原式=3+1﹣2=2．考点：实数的运算；零指数幂；特别角的三角函数值．20．先化简，再求值：2114()22xx x--⋅+，其中x=3．【答案】2xx-，13．【解析】考点：分式的化简求值．21．某社区从2024年起先，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参与项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参与总人数折线统计图和2024年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你依据统计图解答下列题（1）2024年比2024年增加人；（2）请依据扇形统计图求出2024年参与跑步项目的人数；（3）组织者预料2024年参与人员人数将比2024年的人数增加15%，名各活动项目参与人数的百分比与2024年相同，请依据以上统计结果，估计2024年参与太极拳的人数．【答案】（1）990；（2）880；（3）184．【解析】试题解析：（1）1600﹣610=（人）；故答案为：990人；（2）1600×55%=880（人）；答：2024年参与跑步项目的人数为880人；（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）=184（人）；答：估计2024年参与太极拳的人数为184人．考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．22．某市对初二综合素养测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成果（满分100分）和平常成果（满分100分）两部分组成，其中测试成果占80%，平常成果占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成果和平常成果两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成果和平常成果各得多少分？（2）某同学测试成果为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）假如一个同学综合评价要达到A等，他的测试成果至少要多少分？【答案】（1）孔明同学测试成果位90分，平常成果为95分；（2）不行能；（3）75．【解析】试题分析：（1）分别利用孔明同学的测试成果和平常成果两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；（2）利用测试成果占80%，平常成果占20%，进而得出答案；（3）首先假设平常成果为满分，进而得出不等式，求出测试成果的最小值．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．23．已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A 作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值．【答案】（1）证明见解析；（2）9 13．【解析】试题分析：（1）依据协助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；（2）过点A作AH⊥DE于点H，依据勾股定理得到1022CD CE=5，依据三角形的面积S△AED=12AD×BA=92，S△ADE=12ED×AH=92，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．试题解析：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE 中，∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，∴△ADF≌△ABE；考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．24．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数k yx =（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）k=6，C（﹣2，﹣3）；（2）1213．【解析】试题分析：（1）依据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数kyx=（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）依据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再依据等积法可以求得点D到直线AC的距离．试题解析：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数kyx=（k≠0）图象上，点B 、D 在x 轴上，且B 、D 两点关于原点对称，∴3=2k，点C 与点A 关于原点O 对称，∴k=6，C （﹣2，﹣3），即k 的值是6，C 点的坐标是（﹣2，﹣3）；考点：反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；函数及其图象．25．已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形．（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若DA=7AF ，求证：CF ⊥AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，依据三角形的外角的性质即可得到结论；试题解析：（1）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF 为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB ，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB 是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM=3a，在Rt△DAM中，AD=7AF=27a，AM=3，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．26．已知二次函数22(21)y x k x k k=-+++（k＞0）．（1）当k=12时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程22(21)0x k x k k-+++=有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：222 111OA AB AQ+=．【答案】（1）（1，14-）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）干脆将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；（3）依据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．试题解析：（1）将k=12代入二次函数可求得，2324y x x=++=21(1)4x+-，故抛物线的顶点坐标为：（1，14-）；考点：二次函数综合题．。

湖南省常德市中考数学真题试卷(含解析)

湖南省常德市中考数学真题试卷(含解析)

湖南省常德市中考数学真题试卷一、选择题（共8小题）.1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4的倒数为．故选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12 ．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12 ．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。

2023年湖南省株洲市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省株洲市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省株洲市中考数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C.12D. 12−【答案】B 【解析】【详解】2的相反数是-2. 故选：B.2. 计算：()23a =（ ）A. 5aB. 23aC. 26aD. 29a【答案】D 【解析】【分析】根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：()2239a a =． 故选：D【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 3. 计算：()342−×=（ ） A. 6− B. 6C. 8−D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：()3462−×=−． 故选：A【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．4. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（ ）A.25B.35C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：总人数为10人，随机抽取一个学号共有10种等可能结果， 抽到的学号为男生的可能有6种， 则抽到的学号为男生的概率为：63105=， 故选：B ．【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．5. 一技术人员用刻度尺（单位：cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知90ACB ∠=°，点D 为边AB 的中点，点A 、B 对应的刻度为1、7，则CD =（ ）A. 3.5cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm【答案】B 【解析】【分析】由图求得AB 的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知716cm AB =−=，在ACB △中，90ACB ∠=°，点D 为边AB 的中点， 13cm 2CD AB ∴==, 故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 6. 下列哪个点在反比例函数4y x=的图像上？（ ）A. ()11,4P −B. ()24,1P −C. ()32,4PD. (4P【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数4y x=的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可． 【详解】解：A ．∵()1444×−=−≠，∴()11,4P −不在反比例函数4y x=的图像上，故选项不符合题意；B ．∵()4144×−=−≠，∴()24,1P −不在反比例函数4y x=的图像上，故选项不符合题意； C ．∵2484×=≠，∴()32,4P 不在反比例函数4y x=的图像上，故选项不符合题意；D ．∵4=，∴(4P 在反比例函数4y x=的图像上，故选项符合题意． 故选：D ．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 7. 将关于x 的分式方程3121x x =−去分母可得（ ） A. 332x x −= B. 312x x −=C. 31x x −=D. 33x x −=【答案】A 【解析】【分析】方程两边都乘以()21x x −，从而可得答案． 【详解】解：∵3121x x =−， 去分母得：()312x x −=， 整理得：332x x −=， 故选A ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键． 8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB AD >，AC 与BD 相交于点O ，下列说法正确的是（ ）A. 点O 为矩形ABCD 的对称中心B. 点O 为线段AB 的对称中心C. 直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D. 直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【解析】【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段AB 的对称中心是线段AB 的中点，矩形ABCD 是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案． 【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A 符合题意； 线段AB 的对称中心是线段AB 的中点，故B 不符合题意； 矩形ABCD 是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线， 故C ，D 不符合题意； 故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．9. 如图所示，直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A. b 恒大于0B. a ，b 同号C. a ，b 异号D. 以上说法都不对【答案】C 【解析】【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分a<0，>0a 两种情况讨论即可． 【详解】解：∵直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的图像的对称轴， ∴对称轴为直线>02bx a=−， 当a<0时，则>0b ， 当>0a 时，则0b <， ∴a ，b 异号， 故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y 轴的右侧列不等式是解本题的关键． 10. 申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C 【解析】【分析】7个地区的申报数量按照大小顺序排列后，根据中位数的定义即可得到答案．【详解】解：某7个区域提交的申报表数量按照大小顺序排列后，处在中间位置的申报表数量是6个，故中位数为6． 故选：C【点睛】此题考查了中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置的数据或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11. 计算：2232a a −=________． 【答案】2a 【解析】【分析】直接根据合并同类项法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：222232(32)a a a a −=−= 故答案为：2a【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项运算法则是解答本题的关键． 12. 因式分解221x x −+=______． 【答案】()21x −【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：221x x −+=（x ﹣1）2． 故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 13. 关于x 的不等式1102x −>的解集为_______． 【答案】2x > 【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法即可得出结果．详解】解：1102x −>， 移项，得112x >， 系数化为1，得2x >． 故答案为：2x >．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．14. 如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，B ∠的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为_____________．【答案】2 【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则AEB CBE ∠=∠，再由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，从而求得AEB ABE ∠=∠，则AE AB =，从而求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥， ∴AEB CBE ∠=∠，∵B ∠的平分线BE 交AD 于点E ， ∴ABE CBE ∠=∠，【∴AEB ABE ∠=∠， ∴AE AB =， ∵3AB =，5BC =，∴===53=2DE AD AE BC AB −−−， 故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．15. 如图所示，点A 、B 、C 是O e 上不同的三点，点O 在ABC V 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若6040A OCD ∠=°∠=°，，则ODC ∠=_______度．【答案】80 【解析】【分析】先根据圆周角定理求出BOC ∠的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果． 【详解】解：在O e 中，2260120BOC A ∠∠×°°Q ，1204080ODC BOC OCD ∴∠=∠−∠=°−°=°故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键． 16. 血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时压力．收缩压的正常范围是：20~140mmHg ，舒张压的正常范围是：60~90mmHg ．现五人A 、B 、C 、D 、E 的血压测量值统计如下：的则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有________个． 【答案】3 【解析】【分析】分析拆线统计图即可得出结果．【详解】解：收缩压在正常范围的有A 、B 、D 、E ， 舒张压在正常范围的有B 、C 、D 、E ，这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B 、D 、E ，即3个， 故答案为：3．【点睛】本题考查了拆线统计图，熟练识别拆线统计图，从中获得准确信息是本题的关键． 17. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān ），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣12=矩，1欘112=宣（其中，1矩90=°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若1A ∠=矩，1B ∠=欘，则C ∠=______度．【答案】22.5##1222##452． 【解析】【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知，1A ∠=矩90=°， 1B ∠=欘112=宣11122=×矩67.5°，9067.522.5C ∴∠=°−°=°，故答案为：22.5．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．18. 已知实数m 、1x 、2x 满足：()()12224mx mx −−=． ①若1193m x ==，，则2x =_________． ②若m 、1x 、2x 为正整数．．．，则符合条件的有序实数．．．．对()12,x x 有_________个 【答案】 ①. 18 ②. 7 【解析】【分析】①把1193m x ==，代入求值即可； ②由题意知：()()122,2mx mx −−均为整数， 12121,1,21,21mx mx mx mx ≥≥−≥−−≥−，则4142241,=×=×=×再分三种情况讨论即可．【详解】解：①当1193m x ==，时，211(92)(2)433x ×−×−=， 解得：218x =；②当m 、1x 、2x 为正整数时，()()122,2mx mx −−均为整数， 12121,1,21,21mx mx mx mx ≥≥−≥−−≥−而4142241,=×=×=×122124mx mx −=∴ −= 或122222mx mx −= −= 或122421mx mx −= −= ，1236mx mx = ∴ = 或1244mx mx = = 或1263mx mx = = ，当1236mx mx == 时，1m =时，123,6x x ==；3m =时，121,2x x ==， 故()12,x x 为(3,6),(1,2)，共2个； 当1244mx mx == 时，1m =时，124,4x x ==；2m =时，122,2x x ==，4m =时，121,1x x ==故()12,x x 为(4,4),(2,2),(1,1)，共3个； 当1263mx mx == 时，1m =时，126,3x x ==；3m =时，122,1x x ==， 故()12,x x 为(6,3),(2,1)，共2个； 综上所述：共有2327++=个． 故答案为：7．【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19.020232cos 60−+° 【答案】2 【解析】【分析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：原式12122=−+×11=+ 2=．【点睛】本题考查了算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 20. 先化简，再求值：211114x x x + +⋅ +−，其中3x =． 【答案】12x −，1 【解析】【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()1111122x x x x x x ++ =+⋅+++− ()()21122x x x x x ++⋅++−12x =−，当3x =时， 原式1132=−． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21. 如图所示，在ABC V 中，点D 、E 分别为AB AC 、的中点，点H 在线段CE 上，连接BH ，点G 、F 分别为BH CH 、的中点．（1）求证：四边形DEFG 为平行四边形（2）32DG BH BD EF ⊥==，，，求线段BG 的长度．【答案】（1）见解析 （2【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得到1,2DE BC DE BC =∥，1,2GF BC GF BC =∥，得到,GF DE GF DE =∥，即可证明四边形DEFG 为平行四边形；（2）由四边形DEFG 为平行四边形得到2DG EF ==，由DG BH ⊥得到90DGB ∠=°，由勾股定理即可得到线段BG 的长度． 【小问1详解】解：∵点D 、E 分别为AB AC 、的中点， ∴1,2DE BC DE BC =∥， ∵点G 、F 分别为BH 、CH 的中点． ∴1,2GF BC GF BC =∥， ∴,GF DE GF DE =∥， ∴四边形DEFG 为平行四边形；∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴2DG EF ==， ∵DG BH ⊥， ∴90DGB ∠=°， ∵3BD =，∴BG ．【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．22. 某花店每天购进16支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下这种花进行作废处理、该花店记录了10天该种花的日需求量n （n 为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量n 13 14 15 16 17 18 天数 112411（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理．．．．情形的天数； （2）当16n <时，日利润y （单位：元）关于n 的函数表达式为：1080y n =−；当16n ≥时，日利润为80元．①当14n =时，间该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率． 【答案】（1）4天；（2）①60元；②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为2． 【解析】【分析】（1）当16n <时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可； （2）①当14n =时，代入函数表达式即可求解；②当16n <时，日利润y 关于n 的函数表达式为1080y n =−；当16n ≥时，日利润为80元，8070>；即当70y =时求得n 的值，结合表中数据即可求得频率． 【小问1详解】解：当16n <时，该种花需要进行作废处理，则该种花作废处理情形的天数共有：1124++=（天）； 的①当16n <时，日利润y 关于n 的函数表达式为1080y n =−， 当14n =时，10148060y =×−=（元）； ②当16n <时，日利润y 关于n 的函数表达式为1080y n =−； 当16n ≥时，日利润为80元，8070>， 当70y =时，701080n =− 解得：15n =，由表可知15n =的天数为2天，则该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为2．【点睛】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题意，正确求解．23. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A 处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ 遮挡的道路②上的点B 处由南向北行驶．已知30POQ BC OQ ∠=°，∥，OC OQ AO OP ⊥⊥，，线段AO 的延长线交直线BC 于点D ．（1）求COD ∠大小；（2）若在点B 处测得点O 在北偏西α方向上，其中tan 12OD α=米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A 处货车？（当该轿车行驶至点D 处时，正好发现点A 处的货车） 【答案】（1）30°（2）轿车至少行驶24米才能发现点A 处的货车 【解析】【分析】（1）由AO OP ⊥得到90POD ∠=°，由30POQ ∠=°得到60DOQ ∠=°，由OC OQ ⊥得到的的90COQ ∠=°，即可得到COD ∠的大小；（2）由BC OQ ∥得到90BCO ∠=°，在Rt COD V 中求得162CD OD ==，由勾股定理得到OC =，由tan tan OCOBC BCα=∠=得到30BC =，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵AO OP ⊥， ∴90POD ∠=°，∵30POQ ∠=°， ∴903060DOQ POD POQ ∠=∠−∠=°−°=°， ∵OC OQ ⊥，∴90COQ ∠=°， ∴906030CODCOQ DOQ ∠=∠−∠=°−°=°， 即COD ∠的大小为30°； 【小问2详解】 解：∵BC OQ ∥，∴18090BCOCOQ ∠=°−∠=°， 在Rt COD V 中，30COD ∠=°，12OD =，∴162CD OD ==，∴OC =∵tan tan OC OBC BCα=∠=，∴30tan OC BC α===， ∴30624BD BC CD =−=−=，即轿车至少行驶24米才能发现点A 处的货车．【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．24. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为正方形，其中点A 、C 分别在x 轴负半轴，y 轴负半轴上，点B 在第三象限内，点(),0A t ，点()1,2P 在函数()00x kxk y >=>，的图像上（1）求k 的值；（2）连接、BP CP ，记BCP V 的面积为S ，设222T S t =−，求T 的最大值． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】【分析】（1）点()1,2P 在函数()00x kxk y >=>，的图像上，代入即可得到k 的值； （2）由点(),0A t 在x 轴负半轴得到OA t =−，由四边形OABC 为正方形得到OC BC OA t ===−，BC x ∥轴，得BCP V 的面积为212S t t =−，则()211T t −=++，根据二次函数的性质即可得到T 的最大值． 【小问1详解】解：∵点()1,2P 在函数()00x kxk y >=>，的图像上， ∴21k=， ∴2k =， 即k 的值为2； 【小问2详解】∵点(),0A t 在x 轴负半轴， ∴OA t =−，∵四边形OABC 为正方形，∴OC BC OA t ===−，BC x ∥轴， ∴BCP V 的面积为()()211222S t t t t =×−×−=−，∴()22222122212221T t t t t t t S t=−−=−−=−++=−， ∵10−<，∴抛物线开口向下，∴当1t =−时，T 有最大值，T 的最大值是1．【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．25. 如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的O e 的内接四边形，AB 是O e 的直径，45ABD ∠=°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足45CFE ∠=°．（1）求证：直线l ⊥直线CE ；（2）若AB DG =； ①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形ABCD 的周长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②72+． 【解析】【分析】（1）在O e 中，根据同弧所对的圆周角相等可得45ACD ABD ∠=∠=°，结合已知在CFE V 中根据三角形内角和定理可求得90FEC ∠=°；（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得ABC GDE ∠=∠，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得ACB GED ∠=∠，结合已知即可证得()AAS ABC GDE V V ≌；②在O e 中由1R =，可得2AB =，结合题意易证DA DB =，在Rt ABC △中由勾股定理可求得DA =BC CD DE CD CE +=+=，最后代入计算即可求得周长．【小问1详解】 证明：在O e 中，»»AD AD =Q ，45ACD ABD ∴∠=∠=°，即45FCE ∠=°，在CFE V 中，45CFE ∠=°Q ，()18090FEC FCD CFE ∴∠=°−∠+∠=°，即直线l⊥直线CE ；【小问2详解】①四边形ABCD 是半径为R 的O e 的内接四边形，180ADC ABC ∴∠+∠=°， 180ADC GDE ∠+∠=°Q ，ABC GDE ∴∠=∠，AB Q 是O e 的直径，90ACB ∴∠=°，由（1）可知90GED ∠=°，ACB GED ∴∠=∠，在ABC V 与GDE △中，ABC GDE ACB GED AB DG ∠=∠∠=∠ =， ()AAS ABC GDE ∴V V ≌，②在O e 中，1R =，22AB R ∴==，AB Q 是O e 的直径，90ADB ∴∠=°，45ABD ∠=°Q ，9045BAD ABD ∴∠=°−∠=°，DA DB ∴=，在Rt ABC △中，222DA DB AB ∴+=，即2222DA =，解得：DA =，由①可知ABC GDE △≌△，BC DE ∴=，32BC CD DE CD CE ∴+=+==， ∴四边形ABCD 的周长为：37222DA AB BC CD DA AB CE +++=+++=． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 26. 已知二次函数()20y ax bx c a ++>．（1）若11a c ==−，，且该二次函数的图像过点()2,0，求b 的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点()()12,0,0A x B x ，，且120x x <<，点D 在O e 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，32DOF DEO OF DF ∠=∠=，．①求证：23DO EO =． ②当点E 在线段OB 上，且1BE =．O e 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若224ac a b =−−，求2a b +的值．【答案】（1）32b =−（2）①见解析；②0 【解析】【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为21y x bx =+−，该二次函数的图像过点()2,0，代入即可求解； （2）①证明DOF DEO V V ∽，根据相似三角形的性质即可求解；②根据题意可得21OEx =−，12OD x =−，由①可得23DO EO =，进而得出2113x x =−，由已知可得2410c b a a++=，根据一元二次方程根与系数的关系，可得()()21212410x x x x +++=，将2113x x =−代入，解关于1x 的方程，进而得出2x ，可得对称轴为直线12bx a=−=，即可求解． 【小问1详解】 解：∵11a c ==−，，∴二次函数解析式为21y x bx =+−， ∵该二次函数的图像过点()2,0， ∴4410b +−= 解得：32b =−； 【小问2详解】①∵DOF DEO ∠=∠，ODF EDO ∠=∠， ∴DOF DEO V V ∽∴DF OFDO EO =∴DO OFEO DF= ∵32OF DF =∴23DO EO =； ②∵该二次函数的图像与x 轴交于点()()12,0,0A x B x ，，且120x x <<， ∴1OA x =−，2OB x =， ∵1BE =．∴21OEx =−， ∵O e 的半径长为线段OA 的长度的2倍 ∴12OD x =−，∵23DO EO =， ∴122213x x −=−， ∴12310x x +−=， 即2113x x =−①，∵该二次函数的图像与x 轴交于点()()12,0,0A x B x ，， ∴12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根， ∴12b x x a+=−，∵224ac a b =−−，0a ≠，∴24?10c b a a ++=，即()()21212410x x x x +++=②，①代入②，即()()211114131130x x x x −+++−=，即22111141211440x x x x −+++−=， 整理得1282x −=−， ∴2114x =， 解得：112x =−（正值舍去） ∴235122x =−−= ， ∴抛物线的对称轴为直线1215221222x x b x a −++=−===， ∴2b a =−， ∴2a b +0=．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

(中考精品卷)湖南省怀化市中考数学真题(解析版)

(中考精品卷)湖南省怀化市中考数学真题(解析版)

2022年湖南省怀化市中考数学真题一、选择题1.12-的相反数是（ ）A. 2-B. 2C.12- D. 12【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2. 代数式25x，1π，224x+，x2﹣23，1x，12xx++中，属于分式的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是22 4x+，1x，12xx++，∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（ ）A. 10.909×102B. 1.0909×103C. 0.10909×104D. 1.0909×104【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 下列说法正确的是（ ）A. 相等的角是对顶角B. 对角线相等的四边形是矩形C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】D【解析】【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．5. 下列计算正确的是（ ）A. （2a2）3＝6a6B. a8÷a2＝a4＝2 D. （x﹣y）2＝x2﹣y2【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误；B a8÷a2=a6≠a4，故错误；.D.（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2≠x 2﹣y 2，故错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ） A. 2x 2﹣x +1＝0 B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝【答案】C 【解析】【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根； B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根； 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A 【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得 （n ﹣2）•180°=900°， 解得n =7，∴这个多边形的边数是7， 故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 8. 如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据题意判断BE 的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE 即可． 【详解】因为ABC 沿BC 方向平移，点E 是点B 移动后的对应点， 所以BE 的长等于平移的距离，由图像可知，点B 、E 、C 在同一直线上，BC =5，EC =2， 所以BE =BC -ED =5-2=3, 故选 C ．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离关键．9. 从下列一组数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，0中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（ ） A.56B.23C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可． 【详解】∵数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，06个数， 其中﹣2，﹣12，﹣0.12为负数，有4个， ∴这个数是负数的概率为4263P ==， 故答案选：B ．【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键． 10. 如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）的A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D 【解析】【分析】设1a B m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由S △BCD =112a m m -⋅即可求解. 【详解】解：设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，， ∵BD ⊥y 轴 ∴S △BCD =112a m m-⋅=5， 解得：11a = 故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．二、填空题11. 计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1 【解析】【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减． 12. 因式分解：24-=x x _____． 【答案】2(1)(1)+-x x x【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可． 【详解】解：()242221(1)(1)-=-=+-x x x x x x x ，故答案为：2(1)(1)+-x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．13. 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______． 【答案】5 【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称， ∴2a =，3b =-， ∴()235a b -=--= 故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．14. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8 【解析】【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线， 所以DE ∥BC ，12DE BC = 所以△ADE ∽△ABC∴21()4ADE ABC S DE S BC ==∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．15. 如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．【解析】【分析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，∴AC=【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．16. 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是_____．【答案】744 【解析】【分析】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．【详解】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1）， ∴第27行的最后一个数，即第27个数为2728756⨯=，∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即75626744-⨯=， 故答案为：744．【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n 的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．三、解答题17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（12）﹣1． 【答案】【解析】【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（3.14﹣π）0﹣1|+（12）﹣1．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②【答案】23x <≤，数轴见解析 【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．【详解】解：()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②由①得2x >，由②得3x ≤，该不等式组的解集为23x <≤， 在数轴上表示该不等式组的解集为：【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键．19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． 1.73≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析 【解析】【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ， 在Rt △ACD 中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，t an 30A D B D︒=，即2.4x x =-， 解得x =0.88，可知AD=088千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．20. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上， AB ＝ CD．求证：（1）AC ＝BD ； （2）△ABE ∽△DCE ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． 【小问1详解】∵ AB ＝ CD∴ AB AD +＝ CD AD + ∴ BAD ADC =∴BD =AC 【小问2详解】 ∵∠B =∠C ；∠AEB =∠DEC ∴△ABE ∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．21. 电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．.频数分布表 满意程度频数（人） 频率 非常满意50 0.5 满意30 0.3 一般 a c 不满意b 0.05 合计 100 1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【答案】（1）15；5；0.15（2）54°（3）有理即可；见详解【解析】【分析】（1）根据图表信息进行求解即可；（2）根据满意度“一般”所占圆的的比例乘360°即可得α的度数；（3）根据图表数据给出合理建议即可；【小问1详解】解：1000.055b =⨯=（人）；1005030515a =---=（人）； 10.50.30.050.15c =---=【小问2详解】0.1536054⨯︒=︒答：扇形统计图中表示“一般”扇形圆心角α的度数为54°．【小问3详解】根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验．【点睛】本题主要考查扇形统计图，圆心角的求解，解本题的关键在于需认真读题并正确计算出结果．22. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，∵ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， ∴1AM AB AQ AC==， 则AM =AQ ，且∠A =60°，∴AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，的又∵MQ ∥CN ，∴∠QMP =∠CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；【小问2详解】∵AMQ △为等边三角形，且MH ⊥AC ，∴AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，∴PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．23. 去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】（1）每件雨衣40元，每双雨鞋35元（2）()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩（3）最多可购买6套【解析】【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可； （2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论； （3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．【小问1详解】解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =， 经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；【小问2详解】解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩； 【小问3详解】解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 经过点A (﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．在线段CB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，作PF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求抛物线和直线BC 的函数表达式，（2）当△PEF 周长为最大值时，求点P 的坐标和△PEF 的周长．（3）若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C 、B 、G 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线函数表达式为2y x 2x 3=-++，直线BC 的函数表达式为3y x =-+ （2）点P 的坐标为 (32,154)，△PEF的周长为91)4（3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数即可求解析式；（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF 周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式0∆=，从而找出对应点P 坐标，进而求出周长； （3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC 是否为对角线分情况进行分析，设出点G 的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．【小问1详解】解：将点A (-1,0)，B (3,0)代入2y ax 2x c =++，得：02096a c a c =-+⎧⎨=++⎩ ，解得13a c =-⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为2y x 2x 3=-++，C (0，3)的设直线BC 的函数表达式y kx b =+ ，将B (3，0)，C (0，3)代入得：033k b b =+⎧⎨=⎩ ，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 所以直线BC 的函数表达式为3y x =-+【小问2详解】解：如图，设将直线BC 平移到与抛物线相切时的解析式为y x p =-+ ，与抛物线联立得：223y x p y x x =-+⎧⎨=-++⎩ 整理得2330x x p -+-=234(3)0p ∆=--= ，解得p =， 将214p =代入2330x x p -+-=，解得32x =， 将32x =代入2y x 2x 3=-++得154y =， 即△PEF 的周长为最大值时，点P 的坐标为 (32,154) 将32x =代入3y x =-+得32y =， 则此时1539424PF =-=，因为△PEF 为等腰直角三角形，94PE FE ===则△PEF 的周长最大为91)4+【小问3详解】答：存在．已知B (3，0)，C (0，3)，设点Ｇ(m ，223m m -++ )，N (1，n )，当BC 为平行四边形对角线时，根据中点公式得：13m += ，2m =，则G 点坐标为(2，3)；当BC 为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得：31m += 或31m -= ，解得2m =- 或4m = 则G 点坐标为(-2，-5)或(4，-5)故点G 坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论。

2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析

2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5 B．0 C．D．2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×1063．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a6÷a2＝a3C．（ab3）2＝a2b9D．5a﹣2a＝34．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．100°D．120°7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9.6 B．中位数是9.5C．平均数是9.4 D．方差是0.38．（4分）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已＝9，那么点C的坐标为（）知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABCA．（﹣3，0）B．（5，0）C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为，另一个根为．14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝．15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为．16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为，点A2023的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝P A．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝P A•OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接P A、PC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5 B．0 C．D．【分析】正数＞0＞负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．【解析】解：∵1＜2，∴＜，即1＜，则＜，那么﹣5＜0＜＜，则最小的数为：﹣5，故选：A．2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×106【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解析】解：122254＝1.22254×105，故选：C．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a6÷a2＝a3C．（ab3）2＝a2b9D．5a﹣2a＝3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．【解析】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；C．（ab3）2＝a2b6，故此选项不合题意；D．5a﹣2a＝3a，故此选项不合题意．故选：A．4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【解析】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解析】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．故选：D．6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．100°D．120°【分析】根据平移直线AB至CD，可得AB∥CD，所以∠BMF＝∠2，根据对顶角相等得∠BMF ＝∠1＝60°，所以∠2＝60°．【解析】解：如图，∵平移直线AB至CD，∴AB∥CD，∴∠BMF＝∠2，∵∠BMF＝∠1＝60°，∴∠2＝60°．故选：B．7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9.6 B．中位数是9.5C．平均数是9.4 D．方差是0.3【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解析】解：在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A符合题意；把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项B不符合题意；平均数是＝9.5，故选项C不符合题意；方差是：[2×（9.6﹣9.5）2+（9.2﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2]＝0.032，故选项D不符合题意．故选：A．8．（4分）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【分析】根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360°可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D．【解析】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；∵一元二次方程x2+x+3＝0，∴Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，∴一元二次方程x2+x+3＝0无实数根，故选项B错误，符合题意；任意多边形的外角和等于360°，故选项C正确，不符合题意；三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；故选：B．9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．【解析】解：∵压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D．10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已＝9，那么点C的坐标为（）知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABCA ．（﹣3，0）B ．（5，0）C ．（﹣3，0）或（5，0）D ．（3，0）或（﹣5，0）【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B 的坐标，根据S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ＝9，求得CD 的长度，进而即可求得点C 的坐标．【解析】解：把点A （1，3）代入y ＝（k ＞0）得，3＝，∴k ＝3，∴反比例函数为y ＝，设直线AB 为y ＝ax +b ，代入点D （﹣1，0），A （1，3）得， 解得，∴直线AB 为y ＝x +， 解，得或，∴B （﹣2，﹣），∵S △ABC ＝9，∴S △ACD +S △BCD ＝，∴CD ＝4，∴点C 的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）要使代数式有意义，则x 的取值范围是 x ≥9 ．【分析】根据代数式有意义，可得x﹣9≥0，进一步求解即可．【解析】解：∵代数式有意义，∴x﹣9≥0，∴x≥9，故答案为：x≥9．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解析】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为﹣1，另一个根为2．【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．【解析】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为＝﹣2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝1．【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．【解析】解：（2x，3）•（3，﹣1）＝3，6x﹣3＝3，解得：x＝1．故答案为：1．15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为3．【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．【解析】解：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠P AE＝45°，∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠F AE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四边形AFPE为正方形，∴AE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．故答案为：3．16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为22023，点A2023的坐标为（22022，22022）．【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．【解析】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OA n＝2n，∴△A2023OB2033的边长为22023，∵2023÷6＝372…1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，22022•）．故答案为：22023，（22022，22022）．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2+3﹣3+1+1＝4．18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．【解析】解：原式＝•＝•＝，当a＝1或2时，分式无意义，故当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到AD∥BC，于是有∠EDO＝∠FBO，根据点O是BD的中点得出DO＝BO，结合对顶角相等利用ASA可证得△BOF和△DOE全等；（2）由（1）△BOF≌△DOE可得BF＝DE，结合DE∥BF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME ＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．【解析】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴DN＝MN＝35m，在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×＝（m），∴DC＝DE+CE＝+1.5≈+1.5≈31.8（m）．答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为200；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【分析】（1）由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；（2）用（1）的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360°乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．【解析】解：（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．故答案为：200；（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°；（3）3000×＝1050（人），答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝P A．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝P A•OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）先由切线的性质得∠P AO＝90°，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO＝∠P AO＝90°，据此即可得出结论；（2）由∠DCO＝∠DAP＝90°，∠ODC＝∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（3）连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE＝a，则OA＝OB ＝OC＝2a，，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2＝OD2﹣OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影＝S△DOC﹣S扇形BOC即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，∴P A⊥OA，即：∠P AO＝90°，∵点C在⊙O上，∴OC＝OA，在△POC和△POA中，，∴△POC≌△POA（SSS），∴∠PCO＝∠P AO＝90°，即：PC⊥OC，又OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线．（2）证明：由（1）可知：OC⊥PD，∴∠DCO＝∠DAP＝90°，又∠ODC＝∠PDA，∴△ODC∽△PDA，∴，即：PD•OC＝P A•OD．（3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，又OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵CE⊥OB，∴OE＝BE，设OE＝a，显然a≠0，则OA＝OB＝OC＝2a，在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，由勾股定理得：，∵OD＝8，∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，在Rt△CDE中，，DE＝8﹣a，由勾股定理得：，在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2，，整理得：a2﹣2a＝0，∵a≠0，∴a＝2，∴OC＝2a＝4，，∴，又∵，∴．23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y 的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．【解析】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据题意得：，解得：5≤y≤7，又∵y为正整数，∴y可以为5，6，7，∴该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接P A、PC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得S△P AC ＝S△P AF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；（3）由直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，可得x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，利用根与系数关系可得x M+x N＝k﹣2，x M x N＝﹣k，利用两点间距离公式可得MN2＝（x M﹣x N）2+（y M﹣y N）2＝（1+k2）2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′E＝MN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN＝90°，即证得结论．【解析】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，∴C（0，﹣8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，则F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△P AC ＝S△P AF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣2时，S△P AC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，∴x M+x N＝k﹣2，x M x N＝﹣k，∵y M＝kx M+k﹣，y N＝kx N+k﹣，∴y M﹣y N＝k（x M﹣x N），∴MN2＝（x M﹣x N）2+（y M﹣y N）2＝（1+k2）（x M﹣x N）2＝（1+k2）[（x M+x N）2﹣4x M x N]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，∵设MN的中点为O′，∴O′（，k2﹣），过点O′作O′E⊥直线l2：y＝﹣，垂足为E，如图，∴E（，﹣），∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），∴O′E＝MN，∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，∴∠MEN＝90°，∴在直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．。

2023年湖南省长沙市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省长沙市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】B【解析】解：A 选项，17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；B 选项，π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；C 选项，﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D 选项，0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B ．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：A 、B 、C 都不是轴对称图形，只有D 是轴对称图形．故选：D ．3.【答案】A【解析】解：A 选项，235x x x ×=，本选项符合题意；B 选项，()339x x =，本选项不符合题意；C 选项，()21x x x x +=+，本选项不符合题意；D 选项，()2221441a a a -=-+，本选项不符合题意；故选：A ．4.【答案】C【解析】解：134+= ，∴1，3，4不能组成三角形，故A 选项不符合题意；227+< ，∴2，2，7不能组成三角形，故B 不符合题意；457+> ，754-<∴4，5，7能组成三角形，故C 符合题意；336+= ，∴3，3，6不能组成三角形，故D 不符合题意，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：∵科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，∴121400000000000 1.410⨯＝，故选：A ．6.【答案】C【解析】解：如图所示，∵直线m ∥直线n ，∴2180CAD ∠+∠=︒，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵140∠=︒，∴40902180∠︒+︒+=︒，∴250∠=︒，故选：C ．7.【答案】B【解析】解：A 选项，由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A 不符合题意；B 选项，这组数据的中位数是27，原说法错误，故B 符合题意；C 选项，这组数据的众数是24，说法正确，故C 不符合题意；D 选项，周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为32248-=（℃），说法正确，故D 不符合题意；故选：B ．8.【答案】A【解析】解：由240x +>得2x >-，由10x -≤得1x ≤，解集在数轴上表示为：，则不等式组的解集为21x -<≤．故选：A ．9.【答案】D【解析】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x 系数小于0时，y 随x 的增大而减小，1y x =-+，10-<故只有D 符合题意，故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）10.【答案】（n -10）（n +10）【解析】解：n 2-100=n 2-102=（n -10）（n +10）．故答案为：（n -10）（n +10）．11.【答案】9【解析】解：()109108859++++÷=（小时）．即该学生这5天的平均睡眠时间是9小时．故答案为：9．12.【答案】65【解析】解：根据题意可得：BD BE =，∴BDE BED ∠=∠，∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，，∴65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．13.【答案】196##136【解析】解：AOB 的面积为||192212k k ==，所以k =196．故答案为：196．14.【答案】1【解析】解：如图，连接OB ，∵60ACB ∠=︒，∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，90OEA ∠=︒，∴1602AOD BOD AOB ∠=∠=∠=︒，∴906030OAE ∠=︒-︒=︒，∴112122OE OA ==⨯=，故答案为：1．15.【答案】4【解析】解：设地球的半径为r 万里，则2π8r =，解得4πr =，∴火星的半径为2π万里，∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π⨯2π4(=万里)．故答案为：4．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.【答案】1-【解析】解：原式1222=+-⨯-12=+--1=-．17.【答案】46a -，6【解析】解：()()()222233a a a a a -+-++，2224263a a a a =---+，46a =-；当13a =-时，原式1464263⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．18.【答案】（1）4km （2）飞船从A 处到B 处的平均速度约为0.3km /s【解析】（1）解：在Rt AOC 中，90AOC ∠=︒ ，30ACO ∠=︒，8km AC =，AO ∴=12AC =1842⨯=()km ，（2）在Rt AOC 中，90AOC ∠=︒ ，30ACO ∠=︒，8km AC =，OC ∴=24AC =()km ，在Rt BOC 中，90BOC ∠=︒ ，45BCO ∠=︒，45BCO OBC ∠∠∴==︒，4OB OC ∴==km ，(4AB OB OA ∴=-=4)km ，∴飞船从A 处到B 处的平均速度=410()0.3km /s ≈．19.【答案】（1）150，36；（2）见解析（3）144（4）估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人【解析】（1）6040%150n =¸=，∵54%100%36%150m =⨯=，∴36m =；故答案为：150，36；（2）D 等级学生有：150********---=（人），补全的频数分布直方图，如图所示：（3）扇形统计图中B 等级所在扇形的圆心角度数为36040%144⨯︒=︒；故答案为：144；（4）300016%480´=（人），答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．20.【答案】（1）见解析（2）4BD =【解析】（1）证明：CD AB ⊥ ，BE AC ⊥，90AEB ADC ∴∠=∠=︒，在ABE 和ACD 中，AEB ADC BAE CAD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE ACD ∴ ≌；（2）解：ABE ACD ≌，6AD AE ∴==，在Rt ACD中，AC ==，10AB AC == ，1064BD AB AD ∴=-=-=．21.【答案】（1）该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．【解析】（1）解：设胜了x 场，负了y 场，根据题意得：15341x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得132x y =⎧⎨=⎩，答：该班级胜负场数分别是13场和2场；（2）设班级这场比赛中投中了m 个3分球，则投中了()26m -个2分球，根据题意得：()322656m m +-≥，解得4m ≥，答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．22.【答案】（1）见解析（2）3BF =；ADF △的面积为【解析】（1）证明：在ABCD Y 中，∴AB CD ∥，∴CDE F ∠=∠，∵DF 平分ADC ∠，∴ADE CDE ∠=∠，∴F ADF ∠=∠，∴AD AF =．（2）解：∵63AD AF AB ===，，∴3BF AF AB =-＝；过D 作DH AF ⊥交FA 的延长线于H ，∵120BAD ∠=︒，∴60DAH ∠=︒，∴30ADH ∠=︒，∴132AH AD ==，∴2233D H A D A H =-=∴ADF △的面积1163922AF DH =⋅=⨯⨯=．23.【答案】（1）BD 是O 的切线，证明见解析（2）152+（3）()01y x x =<≤【解析】（1）解：BD 是O 的切线．证明：如图，在ABC 中，222AB BC AC =+，∴90ACB ∠=︒．又点A ，B ，C 在O 上，∴AB 是O 的直径．∵90ACB ∠=︒，∴90CAB ABC ∠+∠=︒．又DBC CAB ∠=∠，∴90DBC ABC ∠+∠=︒．∴90ABD Ð=°．∴BD 是O 的切线．（2）由题意得，12112122S BC CD S BC AC S AD BC ⋅⋅===⋅，，．∵()212S S S ⋅=，∴2112122BC CD AD BC BC AC =⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．∴2•CD AD AC =．∴()2CD CD AC AC +=．又∵9090D DBC ABC A DBC A ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴D ABC ∠=∠．∴tan tan BC AC D ABC CD BC∠==∠=．∴2BC CD AC=．又()2CD CD AC AC +=，∴4222BC BC AC AC+=．∴4224BC AC BC AC +⋅=．∴241AC AC BC BC ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意，设()2tan D m =，∴2AC m BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴21m m +=．∴12m =．∵0m >，∴12m =．∴()22t an 1D =．（3）设A α∠=，∵90A ABC ABC DBC ABC N ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴A DBC N α∠=∠=∠=．如图，连接OM ．∴在Rt OFM △中，OF ==∴1BF BO OF =+=1AF OA OF =-=∴在Rt AFE 中，(tan 1tan EF AF αα=⋅=-⋅，1cos cos AF AE αα==．在Rt ABC △中，sin 2sin BC AB αα=⋅=．（∵1r =，∴2AB =）cos 2cos AC AB αα=⋅=．在Rt BFN △中，11sin sin BF BN αα+==，11tan tan BF FN αα+==．∴y FE FN =⋅2x =2x =2x =21x x =⋅x =．即y x =．∵FM AB ⊥，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴01x <≤．综上，()01y x x =<≤．24.【答案】（1）k 的值为1-，m 的值为3，n 的值为2；（2）①函数y 2的图像的对称轴为13x =-；②函数2y 的图像过两个定点()01，，2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）能构成正方形，此时2S >．【解析】（1）解：由题意可知：2212120a c a c b b ===-≠，，，∴321m n k ===-，，．答：k 的值为1-，m 的值为3，n 的值为2．（2）解：①∵点()P r t ，与点()()Q s t r s ≠，始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图像上运动，∴对称轴为222r s r x +==-，∴3s r =-，∴2221y sx xx =-+，∴对称轴为2123r r x s s -=-==-．答：函数2y 的图像的对称轴为13x =-．②()222321321y rx rx x x r =--+=-++，令2320x x +=，解得1220,3x x ==-，∴过定点()01，，2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．答：函数y 2的图像过定点()01，，2,13⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）解：由题意可知21y ax bx c =++，22y cx bx a =-+，∴224,,2,4244b ac b b ac b A B aa c c ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CD a =，11EF =-，∵CD EF =且240b ac ->，∴a c ＝；①若a c =-，则2212,y ax bx a y ax bx a =+-=--+，要使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，则CAD CBD ，为等腰直角三角形，∴2A CD y =，∴2242||||4a b a a--=⋅，∴224b a =+，∴2244b a +=，∴2222222114142222b ac b a S CD a a a-+==⋅=⋅=正，∵22440b a =->，∴201a <<，∴2S >正；②若a c =，则A 、B 关于y 轴对称，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，此时2S >．。

2022年湖南省张家界市中考数学试卷含答案

2022年湖南省张家界市中考数学试卷含答案

2022年湖南省张家界市中考数学试卷含答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.2022 的倒数是（）A.2022B.2022C.12022D.12022【答案】D 【解析】【分析】根据倒数定义解答．【详解】解：-2022的倒数是12022，故选：D ．【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．2.我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕地红线．将数据1800000000用科学记数法表示为（）A.81810 B.91.810 C.100.1810 D.101.810 【答案】B 【解析】【分析】直接利用科学记数法的表示形式求解即可．【详解】解：180******** 1.810 ，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中110a ，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C. D.【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.下列计算正确的是（）A.236a a a B.235235a a a C.22(2)4a a D.22(1)1a a 【答案】C 【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．【详解】A ．23235a a a a ，因此该选项不符合题意；B ．22a 与33a 不是同类项，因此不能合并，所以该选项不符合题意；C ．22(2)4a a ，因此该选项符合题意；D ．22(1)21a a a ，因此该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．5.把不等式组1034x x的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A.B.C. D.【答案】D【分析】求出不等式组的解集，即可得【详解】解：1034x x①②，由①得：1x ，由②得：1x ，不等式组的解集为11x ，在数轴上表示该不等式组的解集只有D 选项符合题意；故选D ．【点晴】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．6.某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：甲乙丙丁平均分95939594方差3.23.24.85.2根据表中数据，应该选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A 【解析】【分析】从平均数和方差进行判断，即可得【详解】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，故选：A ．【点晴】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．7.在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k 和(0)ky k x的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分0k 或0k ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【详解】解：当0k 时，一次函数1y kx 经过第一、二、三象限，反比例函数k y x位于第一、三象限；当0k 时，一次函数1y kx 经过第一、二、四象限，反比例函数ky x位于第二、四象限；故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握0k ，图像经过第一、三象限，0k ，图像经过第二、四象限是解题的关键．8.如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，2OA ，1OB ，OCAOB 与BOC 的面积之和为（）A.4B.2C.4D.【答案】C 【解析】【分析】将AOB 绕点B 顺时针旋转60 得BCD ，连接OD ，得到BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得90COD ，从而求解．【详解】解：将AOB 绕点B 顺时针旋转60 得BCD ，连接OD ，OB OD ，60BOD ，2CD OA ，BOD 是等边三角形，1OD OB ，∵2222134OD OC，2224CD ，222OD OC CD ，90DOC ，AOB 与BOC 的面积之和为23133113424BOC BCD BOD COD S S S S．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将AOB 与BOC 的面积之和转化为BOC BCD S S ，是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）9.因式分解：225a __．【答案】(5)(5)a a 【解析】【分析】直接利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式 22555a a a ．故答案为： 55a a ．【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.2，1 ， ，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．【答案】25##0.4【解析】【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．【详解】， 是无理数，P （恰好是无理数）25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．11.如图，已知直线a b ∥，185 ，260 ，则3 __．【答案】35 ##35度【解析】【分析】由平行线的性质可得185DCE ，再由对顶角相等得2ABC ，ACB DCE ，再由三角形的内角和即可求解．【详解】解：如图，//a b ∵，185 ，185DCE ，85ACB DCE ，260 ∵，2ABC ，60ABC ，3180180856035ACB ABC ．故答案为：35 ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．12.分式方程532x x的解是_______．【答案】x =-3【解析】【分析】方程两边都乘x （x -2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：方程两边都乘x （x -2），得5x =3（x -2），解得：x =-3，检验：当x =-3时x （x -2）≠0，所以x =-3是原方程的解，故答案为：x =-3．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．13.我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD 的面积是100，小正方形EFGH 的面积是4，那么tan ADF __．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据两个正方形的面积可得10AD ，2DF AF ，设AF x ，得到2DF x ，由勾股定理得222210x x （），解方程可得x 的值，从而解决问题．【详解】解：∵大正方形ABCD 的面积是100，∴10AD ．∵小正方形EFGH 的面积是4，∴小正方形EFGH 的边长为2，∴2DF AF ，设AF x ，则2DF x ，由勾股定理得，222210x x （），解得6x 或8 （负值舍去），∴6AF ，8DF ，∴6384AF tan ADF DF ．故答案为：34．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF 的长是解题的关键．14.有一组数据：13123a ，25234a ，37345a ， ，21(1)(2)n n a n n n ．记123n n S a a a a ，则12S __．【答案】201182【解析】【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【详解】解：13111311123222212a；2551113123424222222a ；3771113134560232232a；，2111131122122n n a n n n n n n，当12n 时，原式11111113111122312231323414201182，故答案为：201182．【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）15.计算：0112cos 45( 3.14)1()2．【答案】2 【解析】【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得【详解】解：原式211222 ．【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．16.先化简2121(1)1221a a a a a ，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．【答案】31a ，32【解析】【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a 的值，代入计算即可．【详解】解：原式 2221121a a a a a2111a a31a；因为1a ，2时分式无意义，所以3a ，当3a 时，原式32．【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．17.如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，AOB 的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,0)O ，(3,4)B ．（1）将AOB 沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△111AO B （不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将AOB 绕点O 顺时针旋转90 ，画出旋转后的△222A O B （不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B 绕点O 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留) ．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）52【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，O ，B 的对应点1A ，1O ，1B 即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，O ，B 的对应点2A ，2O ，2B 即可；（3）利用弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图，111A O B 即为所求；【小问2详解】解：如图，222A O B (即△A 2OB 2）即为所求；【小问3详解】解：在Rt AOB 中，225OB OA AB ，905253602l．【点睛】本题考查作图 旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．18.中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【答案】296km/h 【解析】【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．【详解】解：设高铁的平均速度为x km/h ，则普通列车的平均速度为(x -200)km/h ，由题意得：x +40=3.5(x -200)，解得：x =296.答：高铁的平均速度为296km/h ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．19.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，连接OE ，过点C 作CF BD ∥交OE 的延长线于点F ，连接DF．（1）求证：ΔΔODE FCE ；（2）试判断四边形ODFC 的形状，并写出证明过程．【答案】（1）见解析（2）矩形，见解析【解析】【分析】（1）由题意得CE DE ，根据平行线的性质得ODE FCE ，用ASA 即可证明ΔΔODE FCE ；（2）根据全等三角形的性质得OE FE ，即可得四边形ODFC 为平行四边形，根据菱形的性质得AC BD ，即90DOC ，即可得．【小问1详解】证明：∵点E 是CD 的中点，CE DE ，又//CF BD∵ODE FCE ，在ODE 和FCE 中，ODE FCE DE CE DEO CEF， ΔΔODE FCE ASA ；【小问2详解】四边形ODFC 为矩形，证明如下：证明：ΔΔODE FCE ∵，OE FE ，又CE DE ∵，四边形ODFC 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ，即90DOC ，四边形ODFC 为矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．20.为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：频数分布统计表组别时间x （分钟）频数A020x 6B2040x 14C4060x m D6080x nE80100x 4根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）频数分布统计表中的m ，n；（2）补全频数分布直方图；（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？（4）若E 组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．【答案】（1）18；8（2）见解析（3）240人（4）23【解析】【分析】（1）由B 组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】抽取的总人数为：1428%50 （人），∴m =50×36%=18，∴n =50-6-14-18-4=8，故答案为：18，8；【小问2详解】数分布直方图补全如下：【小问3详解】84100024050（人)，答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；【小问4详解】列表如下：男1男2女1女2男1（男1，男2)（男1，女1)（男1，女2)男2（男2，男1)（男2，女1)（男2，女2)女1（女1，男1)（女1，男2)（女1，女1)女2（女2，男1)（女2，男2)（女1，女2)由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，抽取的两名同学恰好是一男一女的概率82123．【点睛】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．21.阅读下列材料：在ABC 中，A 、B Ð、C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin a bA B．证明：如图1，过点C 作CD AB 于点D ，则：在Rt BCD 中，CD =a sin B 在Rt ACD 中，sin CD b Asin sin a B b Asin sin a bA B根据上面的材料解决下列问题：（1）如图2，在ABC 中，A 、B Ð、C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin b cB C；（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知67A ，53B ，80AC 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin530.8 ，sin670.9)【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作BC 边上的高，利用三角函数表示AD 后，即可建立关联并求解；（2）作BC 边上的高，利用三角函数分别求出AE 和BC ，即可求解．【小问1详解】证明：如图2，过点A 作AD BC 于点D ，在Rt ABD 中，sin AD c B ，在Rt ACD 中，sin AD b C ，sin sin c B b C ，sin sin b cB C；【小问2详解】解：如图3，过点A 作AE BC 于点E ，67BAC ∵，53B ，60C ，在Rt ACE 中， °sin 60802AE AC m 又∵sin sin AC BCB BAC，即800.80.9BC， 90BC m ，21902ABC S m△．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．22.如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AB 是直径，点C 是 BD的中点，延长AD 交BC 的延长线于点E ．（1）求证：CE CD ；（2）若3AB ，3BC ，求AD 的长．【答案】（1）见解析（2）1【解析】【分析】（1）连接AC ，根据圆周角推论得90ACB ACE ，根据点C 是 BD的中点得CAE CAB ，CD CB ，用ASA 证明ACE ACB ≌，即可得；（2）根据题意和全等三角形的性质得3AE AB ，根据四边形ABCD 内接于圆O 和角之间的关系得CDE ABE ，即可得ΔΔEDC EBA ∽，根据相似三角形的性质得DE CDBE AB，即可得【小问1详解】证明：如图所示，连接AC ，AB Q 为直径，90ACB ACE ，又∵点C 是 BD的中点CAE CAB ，CD CB ，在ACE 和ACB △中，ACE ACBAB AC CAE CABΔΔACE ACB ASA ，CE CB ，CE CD ；【小问2详解】解：ΔΔACE ACB ∵，3AB ，3AE AB ，又∵四边形ABCD 内接于圆O ，180ADC ABC ，又180ADC CDE ∵，CDE ABE ，又E E ∵，ΔΔEDC EBA ∽，DE CDBE AB，3，解得：2DE ，1AD AE DE ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．23.如图，已知抛物线2()30y ax bx a 的图像与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；（2）若四边形BCEF 为矩形，3CE ．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；（3）抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线图像上的动点．若过点Q 的直线9:()4l y kx m k与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK 为定值．【答案】（1）2315344y x x ；顶点为527(,)216D （2）911t或65t （3）见解析【解析】【分析】（1）设二次函数表达式为：23y ax bx ，将(1,0)A 、(4,0)B 代入23y ax bx ，进行计算即可得2315344y x x，根据二次函数的性质即可得；（2）依题意，t 秒后点M 的运动距离为CM t ，则3ME t ，点N 的运动距离为2EN t ，分情况讨论：①当ΔΔEMN OBC ∽时，②当ΔΔEMN OCB ∽时，进行解答即可得；（3）根据对称的性质得527(,)28G，根据直线9:()4l y kx m k 与抛物线图像只有一个公共点，即可得2144(415)48k m ，利用待定系数法可得直线GA 的解析式为：9944y x ，直线GB 的解析式为：994y x ，联立2144(415)489944k y kx y x，结合已知94k，解得：42112H k x ，同理可得：43912K k x ，运用三角函数求出GH ，GK 即可得．【小问1详解】解：设二次函数表达式为：23y ax bx ，将(1,0)A 、(4,0)B 代入23y ax bx 得：3016430a b a b，解得，34154a b，抛物线的函数表达式为：2315344y x x，又∵155432224b a，2231543()42744341644ac b a ， 顶点为527(,216D；【小问2详解】解：依题意，t 秒后点M 的运动距离为CM t ，则3ME t ，点N 的运动距离为2EN t ．①当ΔΔEMN OBC ∽时，3243t t ，解得911t；②当ΔΔEMN OCB ∽时，3234t t ，解得65t ；综上得，当911t 或65t 时，以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似；【小问3详解】解：∵点5(,0)2P 关于点527(,216D 的对称点为点G ， 527(,)28G ，∵直线9:()4l y kx m k与抛物线图像只有一个公共点， 2315344x x kx m 只有一个实数解， △0 ，即：2153[()]4(3)044k m ，解得：2144(415)48k m ，利用待定系数法可得直线GA 的解析式为：9944y x ，直线GB 的解析式为：994y x ，联立2144(415)489944k y kx y x ，结合已知94k ，解得：42112H k x ，同理可得：43912K k x，则：5()54212()sin 2124H x k GH AGP，5()43952()sin 1224k x k GK BGP ，54214395((212412248k k GH GK ，GH GK 的值为8．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点H 和K 的横坐标是解题的关键．。

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精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！2017年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．6 D．±62．（3分）下列运算正确的是（）A．（x3）2=x5B．（﹣x）5=﹣x5C．x3•x2=x6D．3x2+2x3=5x53．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（）A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011D．39×1094．（3分）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A． B．C．D．5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（）A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解7．（3分）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．68．（3分）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k 为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是．10．（4分）因式分解：x2﹣6x+9=．11．（4分）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是，众数是．12．（4分）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是．13．（4分）不等式组的解集是．14．（4分）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．15．（4分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈=．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）16．（4分）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．三、解答题（本大题共8小题，共64分）17．（6分）计算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．18．（6分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，．求证：．19．（8分）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．20．（8分）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：小时）频数（人数）频率0＜t≤220.042＜t≤430.064＜t≤6150.306＜t≤8a0.50t＞85b请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a=，b=；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？22．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）23．（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM 的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1•S2=；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF 绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1•S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．24．（10分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．2017年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2017•岳阳）6的相反数是（）A．﹣6 B．C．6 D．±6【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：6的相反数是﹣6，故选A．【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．2．（3分）（2017•岳阳）下列运算正确的是（）A．（x3）2=x5B．（﹣x）5=﹣x5C．x3•x2=x6D．3x2+2x3=5x5【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误；B、原式=﹣x5，故本选项正确；C、原式=x5，故本选项错误；D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3．（3分）（2017•岳阳）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（）A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011D．39×109【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：39000000000=3.9×1010．故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（3分）（2017•岳阳）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A． B．C．D．【分析】分别分析圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、左视图、俯视图，从而得出结论．【解答】解：∵球的主视图、左视图、俯视图都是圆，∴主视图、左视图、俯视图都相同的是B，故选B．【点评】本题考查三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，是解决问题的关键．5．（3分）（2017•岳阳）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据有理数的定义可找出在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．【点评】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键．6．（3分）（2017•岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（）A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．【解答】解：去分母得：2﹣2x=x﹣1，解得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．7．（3分）（2017•岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，∴2017÷4=506…1，∵（2+4+8+6）×506+2=10122，∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，故选B．【点评】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求出相应的式子的末位数字．8．（3分）（2017•岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（﹣a，）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=1或a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．（4分）（2017•岳阳）函数y=中自变量x的取值范围是x≠7．【分析】根据分母不为零，即可解决问题．【解答】解：函数y=中自变量x的范围是x≠7．故答案为x≠7【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知道分母不能为零是解题的关键．10．（4分）（2017•岳阳）因式分解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．11．（4分）（2017•岳阳）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是92，众数是95．【分析】环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数．【解答】解：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96．则中位数是：92；众数是95．故答案是：92，95．【点评】本题考查了众数、中位数的定义，注意中位数是大小处于中间未知的数，首先把数从小到大排列．12．（4分）（2017•岳阳）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是60°．【分析】根据直角三角形的内角和，求得∠O，再根据平行线的性质，即可得到∠MPQ．【解答】解：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，∴Rt△OPD中，∠O=60°，又∵PQ∥ON，∴∠MPQ=∠O=60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．13．（4分）（2017•岳阳）不等式组的解集是x＜﹣3．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜﹣3，∴不等式组的解集为x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．14．（4分）（2017•岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2．【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16﹣4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长=AC=2；故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．15．（4分）（2017•岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈==3，那么当n=12时，π≈= 3.11．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=24r•sin15°，d=2r，进而得到π≈≈3.11．【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB=30°，作OH⊥AB于点H，则∠AOH=15°，∵AO=BO=r，∵Rt△AOH中，sin∠AOH=，即sin15°=，∴AH=r×sin15°，AB=2AH=2r×sin15°，∴L=12×2r×sin15°=24r×sin15°，又∵d=2r，∴π≈=≈3.11，故答案为：3.11【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．16．（4分）（2017•岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P 处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是②③④．（写出所有正确结论的序号）①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．【解答】解：如图，连接OP，∵AO=OP，∠PAB=30°，∴∠POB=60°，∵AB=12，∴OB=6，∴弧的长为=2π，故①错误；∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴=，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB，故②正确；若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴PD=OP=6，故③正确；∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=∠BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴=，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．三、解答题（本大题共8小题，共64分）17．（6分）（2017•岳阳）计算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【解答】解：原式=2×+3﹣+1﹣2=2．【点评】本题考查的是实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解题的关键．18．（6分）（2017•岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．【解答】已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得AB=AD是解题的关键．19．（8分）（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P 的坐标．【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，∴双曲线的解析式为y=；把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，∴直线的解析式为y=x+1；（2）设P点的坐标为（x，0），在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，∵△BCP的面积等于2，∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，解得x=3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．20．（8分）（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这批书共有3x本，根据题意得：=，解得：x=500，∴3x=1500．答：这批书共有1500本．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等．列出关于x 的一元一次方程是解题的关键．21．（8分）（2017•岳阳）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：课外阅读时间（单位：小时）频数（人数）频率0＜t≤220.042＜t≤430.064＜t≤6150.306＜t≤8a0.50t＞85b请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中的a=25，b=0.10；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b 的值即可；（2）补全条形统计图即可；（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），则a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；故答案为：25；0.10；（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．22．（8分）（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【分析】（1）在Rt△CDE中，根据∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的长是多少即可．（2）首先在Rt△OAC中，根据∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的长是多少，进而求出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB 的长是多少．【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．23．（10分）（2017•岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1•S2=12；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF 绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1•S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，S2=•（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得S1•S2=x•y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，∴S1•S2=12，故答案为12．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴=，∴xy=8，∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，∴S1•S2=x•y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．24．（10分）（2017•岳阳）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；（3）求得E（0，﹣），得到CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE 于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM+PN的最大值是；（3）能，理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，∴E（0，﹣），∴CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，∴F（m，﹣m﹣），∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，或m2﹣m﹣2+m+=，∴m1=1，m2=0（舍去），m3=，m4=，②以CE为对角线，连接PF交CE于G，∴CG=GE，PG=FG，∴G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），∴×（m2﹣m﹣2﹣m﹣）=﹣，∴m=，m=0（舍去），综上所述，F（1，﹣），（，），（，），（，﹣），以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．。

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