弹性力学复习复习过程
弹性力学期末复习提纲_854903739
《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。
极坐标下的方程不用专门记忆。
3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。
4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。
5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。
6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。
要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。
附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。
2. 会正确计算给定泛函的变分。
3. 会求泛函的无条件极值问题。
4. 会求泛函的条件极值问题。
第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。
2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。
对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。
3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。
对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。
（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。
弹性力学复习第一～四章
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
fx
在x＝±l 的次要边界上，列出三个主矢量和主 矩对等的积分边界条件：
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个 平衡力系，（主矢量为0，对于同一点的主 矩也为0），那么，这个面力就只会使近处 产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
例题 写出图所示悬臂梁的应力边界条件（用直角坐标形式）
( y )
连续性,小变形,均匀性
x
u v u v ; y ; xy x y y x
运用基本假定: 物理方程
连续性,小变形,均匀性
1 x x y E
1 y y x E
xy
1 xy G
运用基本假定: 连续性,均匀性,完全弹性,各向同性,小变形
三 弹性力学的基本假定
（1）连续性假设 （2）线弹性假设 （3）均匀性假设 （4）各向同性假设 符合以上四个假定的物体称为理想弹性体。 （5）小变形假设 本课程所讨论的问题，都是理想弹性体的小变 形问题。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题，就是只有平面应力分量 （σx ,σy ,τxy）存在，且仅为x、y的函 数的弹性力学问题。 平面应变问题，就是只有平面应变分量 （εx ，εy ，γxy）存在，且仅为x、y的 函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不 同的两类问题，但其共同特点是应力分量 和应变分量都只是x 、y的函数，与z坐标无 关，故统称为平面问题。
弹性力学复习提纲课件
边界元法
边界元法是一种只对问题 的边界进行离散化处理的 方法。
边界元法的优点在于其计 算量较小，适用于处理复 杂形状和边界条件的问题。
ABCD
边界元法通过将偏微分方 程转化为边界上的积分方 程，然后利用数值方法进 行求解。
边界元法的缺点在于其对 于内部应力分布的计算精 度较低。
多尺度弹性力学研究还关注多场耦合效应，即在温度、磁场、电场等多
种外部场的作用下，材料的弹性行为和力学性能的变化规律。
非线性弹性力学研究
非线性行为
非线性弹性力学研究关注材料在 受力作用下的非线性响应和失稳 现象，如屈曲、断裂、塑性变形等。
高强度材料
非线性弹性力学研究对于高强度 材料的性能评估和设计优化具有 重要意义，如复合装甲、航空航 天材料等。
02
应变张量
描述应变在三维空间中的分布，包括正应变和剪应变。
03
应变协调方程
确保物体在变形过程中保持连续性和协调性。
弹性力学的基本方程
平衡方程
描述物体在力的作用下保持平衡的方程。
几何方程
描述物体在变形过程中形状变化的方程。
物理方程
描述材料在受力时应力与应变关系的方程。
02
本构方程
描述材料在受力时应力与应变之间关系的方 程，通常由实验确定。
03
基于弹性力学原理，开发新型材料并优化现有材料的性能，以
满足各种工程需求。
谢谢聆听
数值模拟与实验验
证
非线性弹性力学研究需要结合数 值模拟和实验验证，以深入理解 材料的非线性行为和失稳机制， 为工程应用提供理论支持和实践 指导。
弹性力学与其他学科的交叉研 究
05
弹性力学与流体力学的交叉研究
高三物理复习弹力教案
高三物理复习弹力教案一、教学目标1.掌握弹性力学中的基本概念和公式。
2.理解固体材料的弹性和塑性变形规律。
3.能够分析和计算简单的弹簧振动问题。
4.锻炼学生的分析、计算以及实验操作能力。
5.提高学生的物理实验和科学探究能力。
6.培养学生的团队合作和沟通能力。
二、教学内容及时间安排1. 弹性力学的基本概念和公式（2学时）1.恢复力和弹性形变。
2.胡克定律和斯普林伯格公式。
3.弹性势能和应变能。
2. 固体材料的弹性和塑性变形规律（4学时）1.杨氏模量和剪切模量。
2.弹性极限和屈服极限。
3.塑性流动和宏观形变规律。
3. 简单的弹簧振动问题（6学时）1.单自由度弹簧振动的简谐运动公式。
2.自由、受迫和自激振动的特点和区别。
3.振动能量和机械能守恒定律。
4. 实验操作和小组讨论（3学时）1.确定实验题目和自由组合实验小组。
2.完成实验操作和数据处理。
3.小组交流和总结报告。
三、教学方法1.讲授与演示相结合的教学方法。
2.实验操作和小组讨论的教学方法。
3.视频和多媒体资料的辅助教学方法。
4.组织实物和模型展示的教学方法。
5.运用评价和反馈的教学方法。
四、教学重点和难点1.弹性力学的基本概念和公式的掌握。
2.固体材料的弹性和塑性变形规律的理解和应用。
3.单自由度弹簧振动的简谐运动公式的推导和计算。
4.实验操作和小组讨论的设计和总结。
五、评价与反馈1.试题和答案的及时分析和评价。
2.学生小组实验报告的及时反馈和指导。
3.批量评测和数据分析的统计方法和结果分析。
4.课堂反馈和满意调查的开展和结果处理。
六、教学资源1.教材和参考书。
2.模型和实物展示。
3.实验器材和工具。
4.多媒体和在线教育资源。
5.互动和交流平台。
七、课后作业1.完成练习题和掌握重点知识点。
2.思考和讨论教师布置的案例和综合问题。
3.录制和上传学员小组实验操作视频。
4.完成学科评比和科技竞赛。
八、总结回顾1.教学目标和教学效果的评估和总结回顾。
2.教师教育与自我反思。
弹性力学-复习(简明教程版2009)
2、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答？
x 4x 2 , y 4 y 2 , xy 8xy
13
14
15
16
3、 试写出图示平面问题的应力边界条件。
q
FS FN
M
O
h/2 x h/2
o n
y
q
x
q1
y
l
(l>>h,δ =1)
（a） （b）
17
解：在y=0的边界上，有
7
4、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，为了求解这 些微分方程，以求得需求的应力、形变和位移，最后须结 合( ) (A) 几何条件 (B) 边界条件 (C) 数值方法 (D) 附加假定 5、按位移法求解弹性力学问题的基本方程，其本质上是 （ ） (A) 平衡微分方程 (B) 相容方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程
(1)已知应力分量求主应力 (2)最大与最小正应力、切应力 7、平面问题基本方程、基本未知函数的个数及组成
1
8、边界条件的类型；坐标面、斜面的应力边界条件P19
9、圣维南原理的内容及应用(轴力、剪力、弯矩正 负号的规定)P21
10、位移法求解 位移分量需满足的条件、适用的边 界条件，及其本质 P25
11
四、问答题 1、 弹性力学五个基本假定的内容是什么？试简述 它们在建立弹性力学方程时有什么用途。 2、在什么条件下平面应力问题与平面应变问题的应 力分量是相同的?
12
五、分析计算题 1、在平面问题中，已知位移分量为
u x 2 y 3 , v xy2 试求应变分量，并指出它们是否满足形变协调方程。
y x tan
cos 0
弹性力学总结与复习(2014)概论
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 5个基本假设； 8个基本量：
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程（2个）：
性
控制微分方程
力
（8个）
几何方程（3个）：
学 基本方程 平
物理方程（3个）：
面
问
题
边界条件
应力边界条件（2个）：
（4个）
（2-15）
3. 常体力下求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-25）求出应力函数： (x, y)
4
4 4
x4 2 x2y2 y4 0
4 0
(2-25)
(x, y) , , （2） 然后将
代入式（2-26）求出应力分量：
x
2
y 2
fxx
y
2
x2
fyy
xy
2x
xy
单元结点位移 单元结点力
e ui vi u j v j um vm T
F e Fix Fiy Fjx Fjy Fmx Fmy T
整体结点位移 整体结点荷载
u1 v1 u2 v2 T
FL FL1x FL1y FL2x FL2 y
T
2. 基本公式
d N e
B e
S e
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
N
m
/ x
B
0
/ y
0 / y / x
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0
N
m
S DB
弹性力学 期末考试复习
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。
（2）假定物体是完全弹性的。
（3）假定物体是均匀的。
（4）假定物体是各向同性的。
弹性力学期末考试复习
弹性力学期末考试复习弹性力学是固体力学的重要分支，它主要研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移。
对于即将迎来弹性力学期末考试的同学们来说，有效的复习是取得好成绩的关键。
下面就为大家提供一份全面的弹性力学期末考试复习指南。
一、基本概念和理论1、应力应力是弹性体内单位面积上所承受的内力。
要理解正应力和切应力的定义、方向以及它们在不同坐标系下的表达式。
重点掌握平面应力状态和空间应力状态的分析方法，如莫尔圆的应用。
2、应变应变描述了物体在受力作用下的变形程度。
包括线应变和角应变，要熟悉它们的定义和计算方法。
同时，要了解应变张量的概念以及主应变和应变不变量。
3、本构关系本构关系反映了材料的应力和应变之间的内在联系。
对于各向同性线性弹性材料，要熟练掌握胡克定律的表达式，并能应用于简单的问题求解。
4、平衡方程平衡方程描述了物体内部的力的平衡条件。
在直角坐标系和柱坐标系、球坐标系下的平衡方程都需要掌握，能够根据具体问题建立相应的平衡方程。
5、几何方程几何方程描述了应变和位移之间的关系。
要理解位移分量和应变分量之间的数学表达式，并能通过已知位移求应变，或通过已知应变求位移。
二、常见的问题类型和解题方法1、平面问题平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
对于这两类问题，要能够根据给定的条件判断所属类型，并选择相应的解法。
常见的解法有应力函数法，通过求解满足双调和方程的应力函数，进而求得应力分量。
2、轴对称问题在轴对称情况下，要学会利用柱坐标系下的基本方程进行求解。
掌握圆环、圆筒等常见轴对称结构的应力和位移分析。
3、薄板弯曲问题薄板弯曲问题中，要理解薄板的基本假设，掌握弯矩、扭矩和挠度的计算方法，以及相应的边界条件的处理。
4、能量法能量法在弹性力学中也有重要应用，如虚功原理、最小势能原理等。
要能够运用这些原理求解结构的位移和内力。
三、复习资料和学习资源1、教材仔细阅读教材是复习的基础。
推荐使用经典的弹性力学教材，如徐芝纶院士编写的《弹性力学》，书中对基本概念和理论的讲解清晰透彻。
弹性力学期末考试复习
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。
弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。
弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。
2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。
线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。
小变形假设是指应变小到可以忽视不计。
均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。
3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。
在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。
其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。
4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。
在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。
弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。
5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。
圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。
圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。
通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。
6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。
在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。
稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。
以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。
通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。
弹性力学总复习
（1） 已知一点的应变 x , y , xy ，可计算任意方向的
应变 N 。 N 的最大值、最小值。主应变、主应
变方向等。
（2）已知一点任意三方向的应变 N1, N 2 , N3，可求得
该点的应变分量 x , y , xy 。
NN21
（2）若： qb 0(而qa 0)
r
b2
r2 b2
a2
1 qa (
1
0)
（压应力）
b2
r2 b2
a2
1
qa ( 0)
1
（拉应力）
r
（3）若： qa 0, (qb 0)
r
1 1
a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）
1 1
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
同济大学弹性力学-总复习
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
第十一章 弹性力学的变分原理
基本概念
fi uidV Ti uidS ijijdV
(11.1)
V
ST
V
虚位移方程或位移变分方程,表示外力所做的虚功等于真实内力所
做的虚功
（1） （2）
由问题的条件求出满足式（8.13）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（8.13）
由式（8.12）求出相应的应力分量： r , , r
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
（8.14）
位移分量：
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln r 1) (1 3 )Br
2(1 )Cr I cos K sin （8.15）
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
弹性力学 主讲 邹祖军 总复习
弹性力学极坐标求解归结为：
fr r
1 r
f
)0
r
1 r
r
1 r2
2 2
r
2
r 2
1 r2
1 r
2 r
弹性力学复习第一～四章总结
最大最小切应力在与主应力成450的斜面上。
§2-3
平衡微分方程
平面问题的基本方程
x yx fx 0 x y
y y xy x
一、平面应力问题的基本方程
fy 0
运用基本假定: 几何方程
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
正负号。
§2-7
圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面 力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应力 条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy
§2-2
平面问题中一点的应力状态
一 、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0， 该面为应力主 面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向 即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力 之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
第1章
关键概念
绪 论
正面，负面，面力，体力，应力、应变、弹性、弹性体、均 匀性假设、连续性假设、各向同性假设、线弹性假设，小变 形条件
本章重点
1、弹性力学研究的内容 2、弹性力学的基本量 3、弹性力学的基本假设 4、各个基本假定在建立弹性力学基本方程时的用途
弹性力学总复习
x
2c
y
3、三次式应力函数 面梁纯弯曲。
Φ=ay
3
，求解矩形截
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
4、轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性
σρ =
1）轴对称应力 轴对称应力 轴对称
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C ;
2
σϕ = −
A
τ ρϕ = 0
2力相应
应力函数Φ解法 五、常体力时引入Airy应力函数 解法 体力时引入 应力函数
∂4 ∂4 ∂4 1、 4 + 2 2 2 + 4 Φ = 0 、 ∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂ 1 ∂2 2 ∂2 ( 2+ ) Φ = 0; + ∂ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2
∂2 ∂2 2 + 2 σx +σ y = 0 ∂x ∂y
(σ ρ ) s = f ρ ( s ) (τ ρϕ ) s = f ϕ ( s ) (σ ϕ ) s = f ϕ ( s )
3) 近似边界条件（圣维南原理）： (τ ) = f ( s ) 近似边界条件（圣维南原理）： 边界条件 ϕρ s ρ
∫−h / 2 −h / 2 h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1⋅ y = ±∫−h / 2 f x ( y) d y ⋅1⋅ y(= M ), h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1 = ±∫−h / 2 f y ( y) d y ⋅1(= FS ).
弹性力学总结与复习全文
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章 平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想； （2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）
弹性力学期末考试复习1200字
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是力学的一个分支，争辩物体在外力作用下发生的弹性变形和弹性恢复的规律。
期末考试对于弹性力学的复习可以从以下几个方面开放。
首先，复习基本概念和公式。
弹性力学的基本概念包括应力、应变、弹性模量等。
应力是单位面积上的力，应变是物体的长度变化与原始长度的比值，弹性模量是描述物体抗弯、抗拉、抗压的力量。
娴熟把握这些概念，并把握相关的计算公式是复习的首要任务。
其次，理解和应用胡克定律。
胡克定律描述了线弹性材料的应力和应变之间的关系。
应力和应变成正比例，比例常数为弹性模量。
胡克定律是弹性力学中格外重要的理论基础，娴熟把握该定律的应用和推导是复习的重点之一。
然后，复习弹性体的应力、应变和位移的关系。
弹性体的应力和应变之间的关系可以通过弹性体的位移来描述。
对于简洁的弹性体，可以通过弹性体的拉伸或压缩来推导位移和应力、应变之间的关系。
在复习过程中，可以通过解题来加深对应力、应变和位移的关系的理解。
最终，复习弯曲和扭转。
弹性体在弯曲和扭转过程中的应力和位移的变化规律也是复习的重点内容。
弯曲和扭转是实际工程中常见的变样子况，娴熟把握相关的理论和公式，能够解决相应的问题是格外重要的。
在复习的过程中，可以通过多做例题和习题来加深对弹性力学的理解和应用。
可以利用教材、参考书和网络资料进行复习，多进行思考和争辩。
此外，还可以参与争辩小组或请教老师，准时解答自己的怀疑。
在考试前，可以进行模拟测试，检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，进行有针对性的复习。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
总之，弹性力学期末考试的复习需要把握基本概念和公式，理解和应用胡克定律，复习弹性体的应力、应变和位移的关系，以及弯曲和扭转等重要内容。
通过多进行练习和思考，提高自己对弹性力学的理解力量，能够有效地备考弹性力学的期末考试。
弹性力学总复习汇总
1111 22 2 2 33 3 3 2121 2 223 2 3 231 31
两正交线元之间的直角减小量为工程剪应变 t
t 2t 2 t 2ijit j 若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j) 其余的
方向余弦均为零，则由上式得 ij 2ij (i j)
3 12 2 3 0
1 ii 1 2 3
2
1 2
ii jj ijij
12 23 31
3 eijk1i2 j3k 123
分别称为第一，第二和第三应变不变量。
第三章 应变理论
dV ' dV
dV
由于
1 1 dx1 1 2 dx2 1 3 dx3 dx1dx2dx3
弹性力学与材料力学的区别
第二章 应力理论
1 应力和内力的概念 ，应力张量 2 斜面应力公式（柯西公式）：实质是四面体微元的平衡条件。
或 v v v j viij
即：
v1 v1 11v2 21v3 31
v2 v1 12 v2 22 v3 32
v3 v1 13 v2 23 v3 33
ij
2Gij
kkij
ij
1
E
ij
E
kk ij
x
1 E
[ x
y z
1
ExE源自x 2G x ;y
1 E
[ y
z
x
1 E
y
E
即
z
1 E
[ z
x y
1
E
z
E
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
y 2G y ;
弹性力学复习指导
弹性力学复习指导一、问答题1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。
答1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。
因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。
4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。
2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
答：3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
4．试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。
5. 试叙述弹性力学中解的叠加定理。
6. 试叙述弹性力学中虚位移原理。
7. 有限元方法中，每个单元都是一个连续体。
位移模式的建立，解决了由结点位移求出单元中的位移函数的问题。
位移模式是有限元单元法的基础工作，当单元趋于很小时，为使有限元法的解答逼近于真解，亦即为了保证有限元法的收敛性，位移模式应满足哪些条件？8. 弹性力学问题的基本解法中，位移中，应力法各以什么参数作为未知量，各需满足什么条件？9. 泰勒级数死后一种完备的函数展开式，能够表示在某点附近函数的状态。
试写出在点()00,xy 附近二维问题的泰勒级数展开式。
10. 材料力学是否也是应用弹性力学的5个基本假设来研究的？如果不是，请加以区别。
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弹性力学复习指导一、问答题1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。
（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形假定，简化几何方程，简化平衡微分方程2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。
外力平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。
约束只作用于板边，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。
3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。
外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。
约束只作用于柱面，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。
4．试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。
答：圣维南原理是基于静力等效原理，当将面力的等效变换范围应用到大边界上，则必然使整个物体的应力状态都改变，所以大边界不能应用静力等效，在大边界上不能应用圣维南原理。
5. 试叙述弹性力学中解的叠加定理。
答：在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关（p135）6. 试叙述弹性力学中虚位移原理。
答：假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变，既没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功。
（p135）7. 有限元方法中，每个单元都是一个连续体。
位移模式的建立，解决了由结点位移求出单元中的位移函数的问题。
位移模式是有限元单元法的基础工作，当单元趋于很小时，为使有限元法的解答逼近于真解，亦即为了保证有限元法的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变（3）位移模式必须能反映位移的连续性（p151）8. 弹性力学问题的基本解法中，位移法，应力法各以什么参数作为未知量，各需满足什么条件？答：9. 泰勒级数是一种完备的函数展开式，能够表示在某点附近函数的状态。
试写出在点()0,x y 附近二维问题的泰勒级数展开式。
f （Xo ）=y o10. 材料力学是否也是应用弹性力学的5个基本假设来研究的？如果不是，请加以区别。
答：11. 试写出AB 、AC 边的边界条件。
提示：平面问题的应力边界条件为()()()()x yx x sxxy y s m f s m f s στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭l l式中：()x f s 和()y f s 是边界上S 的已知函数，l ，m 是边界面外法线n 的方向余弦。
12. 图示水坝，试写出其边界条件。
提示：平面问题的应力边界条件为()()()()x yx x sxxy y s m f s m f s στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭l l式中：()x f s 和()y f s 是边界上S 的已知函数，l ，m 是边界面外法线n 的方向余弦。
13. 若在斜边界面上，受有常量的法向分布力q 作用，试列出应力边界条件。
14. 若()22x y xy ay bx a b xy εεγ===+，，，是否可能成为弹性体中的形变？ 答：满足变形协调条件，能成为弹性体中的形变，（p50例3）15. 若0x y f f ==，且220x y xy ax by σστ===，，，是否可能成为弹性体中的应力？ 答：以上条件代入p15（2-2）得a=b=0，不可能成为弹性体中的应力。
16. 检验应力分量x y xy σστ，， 是否正确的全部条件是什么？答：（1）平衡微分方程p15（2-2）。
（2）相容方程p38（2-20）。
（3）应力边界条件式p25（2-15）.(4)对于多连体，还应满足位移的单值条件17. 若去应力函数为纯四次式子，432234ax bx y cx y dxy ey Φ=++++，为了满足相容方程，其系数之间应满足什么条件？ 答：由满足相容方程可得3a+c+3e=0二、绘图题1. 试绘出六面体上下左右四个面上正的应力分量。
2. 试绘出极坐标下扇面正的应力分量。
三. 推导题1. 试导出弹性力学平面应力问题的物理方程。
提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为()()()11,11,11,x x y z yzyz y y z x zx zx zz x y xy xy E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎫⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎬⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎭式中，E 是弹性模量，G 是切变模量（刚度模量），μ是泊松系数，这三个弹性常数之间关系为()21EG μ=+。
答：在平面应力问题中，σ z=0，τ zy=0，τ zx=0，代入上述式子得弹性力学平面应力问题的物理方程（p23）2. 试导出弹性力学平面应变问题的物理方程。
提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为()()()11,11,11,x xy z yz yz y y z x zx zx zz x y xy xy E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎫⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎬⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎭式中，E 是弹性模量，G 是切变模量（刚度模量），μ是泊松系数，这三个弹性常数之间关系为()21EG μ=+。
答：在平面应变问题中，物体的所有各点都不沿z 方向移动，所有z 方向的线段都没有伸缩，z 方向的应变为0，代入上式子，求出z 方向的应力分量，将z 方向的应力分量代入上式子得p23（2-13）3. 试导出平面应力问题中用应力表示的相容方程。
提示：平面问题的几何方程为x uxε∂=∂，y v y ε∂=∂，xy v u x y γ∂∂=+∂∂；平面应力问题的物理方程和平衡微分方程分别为()()()1121x x y y y x xy xy E E E εσμσεσμσμγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪+=⎪⎭，00yx xx y xy y f x y f y x τσστ⎫∂∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭4. 试导出平面应变问题中用应力表示的相容方程。
提示：平面问题的几何方程为x uxε∂=∂，y v y ε∂=∂，xy v u x y γ∂∂=+∂∂； 平面应变问题的物理方程和平衡微分方程分别为()22111121x xy y y x xy xyE E E μμεσσμμμεσσμμγτ⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪=-⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪+⎪=⎪⎭，00yx xx y xy y f x y f y x τσστ⎫∂∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭5．在弹性体中取包含x 面、y 面和ρ面且厚度为1的微小三角板A 、B ，如图所示。
设已知直角坐标中的应力分量x σ，y σxy τ，试求极坐标中的应力分量ρσ，ϕσ，ρϕτ。
6．在弹性体中取包含x 面、y 面和ρ面且厚度为1的微小三角板A 、B ，如图所示。
设已知极坐标中的应力分量ρσ，ϕσ，ρϕτ，试求直角坐标中的应力分量x σ，yσxy τ。
7. 对于三节点三角形单元，已知三个节点的坐标分别为(),i i x y ，(),j j x y ，(),m m x y ，三节点处的位移分别表示为(),i i u v ，(),j j u v ，(),m m u v ，且设定三角形单元中的位移函数为123456，u x y v x y αααααα=++=++。
试导出三节点三角形单元的形函数矩阵。
四、计算题1. 试考虑下列平面问题的应变分量（32y ，，x xy Axy By C Dy εεγ===-）是否可能存在。
2. 在无体力情况下，应力分量（()()2222y ，，x xy A x y B x y Cxy σστ=+=+=）是否可能在弹性体中存在。
3. 已知应力函数()()22222Ayax Bxy C x y Φ=-+++，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数。
答：当A=0时，可以作为平面问题的应力函数。
4. 已知应力函数()223342F xy h y hΦ=-，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数，如果能，请求解应力分量。
答：能。
代入p57（2-24）5. 如图所示梁受荷载作用，使用应力表达式求解其应力，()23364x q x y y h σ=--， 31232yqy C y C h σ=--+，2136xyqxy C x hτ=+，6. 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力不计，h >>l ，试用应力函数233Axy ByCy Dxy Φ=+++求解应力分量。
7. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA’，AB，BB’的面力边界条件。
8. 楔形体在两侧作用有均布剪力q，如图所示。
试求其应力分量。
提示：可采用应力函数：()2cos2sin2r A B C Dϕθθθ=+++。
本题的答案中a=β9. 已知x ax by czσ=++，其他应力分量为0，求位移场。
10. 如图所示，在悬臂梁端部受集中力P 的作用，试用应力函数33Axy BxyCy ϕ=++，求其应力分量。
11. 当应变为常量时，x y xy a b c εεγ===，，，试求对应的位移分量。
12. 图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A 处无应力存在。
提示：边界条件为()()()()x s xy s y s xy s l m X m l Y στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭。