山东省济南中学2021届第一学期高三期中考试数学试题 (1)
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]
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第一学期期中考试 高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、 选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ） 1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂=A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则向量a b -与向量b 夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D.1503.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4>4．若cos sin 3θθ+=-，则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数，当)2,0(∈x 时，,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像，只需将函数的图像A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是CD11．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>； (3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 2D.313.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．2- B ．2- C D ．14. 在ABC 中，,P Q 分别是,AB BC 的三等分点，且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==，则PQ = A.1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b -- 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，)('x f 为其导函数，若对于任意实数x ，都有)()('x f x f >，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B =,则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直，则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=，则|32|a b -= .20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =， （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<），函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试 数学（理科） 2016.10二、 选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 20. 23三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 21. 【解】（1）∵(2sin 2cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅2cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∵取k =0和1且[]0,x π∈，得03x π≤≤和56x ππ≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈，∴112666x πππ-≤-≤， ∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤，解得03x π≤≤和56x ππ≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以，当1x e =时，()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故()g x 是()1,+∞上的增函数， 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时，xx x f 1ln 2)(+=，定义域为),0(+∞， )(x f 的导函数22'1212)(x x x x x f -=-=．分 当210<<x 时，0)('<x f ，)(x f 在)21,0(上是减函数； 当21>x 时，0)('>x f ，)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时，)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ，无极大值． （Ⅱ）当0<a 时，ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞，)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ，012>-=a x ，aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时，)(x f 在)21,0(上是减函数，在)1,21(a -上是增函数，在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时，)(x f 在)1,0(a -上是减函数，在)21,1(a -上是增函数， 在),21(+∞上是减函数． 综上所述，当2-<a 时，)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数，在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时，)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数，在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当)2,(--∞∈a 时，)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ， ∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立， ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立． 当2-<a 时，4324313-<+-<-a ，∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．。
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)[精品]
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第一学期期中考试 高三数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为1，且||2z =，则复数的虚部是（ ）AB． C． D ．3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.0B ．1C ．2D. 2ln(e 1)+4.已知(3,1),(1,2)a b =-=-则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B.4π C.3π D.2π 5.若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ）A. 1B. 1±C. 2D. 2± 7．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．21y x =-+C.xy e -=D ．lg ||y x =8.已知命题:p 对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．q ⌝为假 9.已知函数cos()6y x π=-与sin(2)y x ϕ=+()2πϕ<，它们的图像有个交点的横坐标为3π，则ϕ的值为（ ）A.6π B. 6π-C.3π D. 3π-10．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c 满足（ ） A ．a b c << B ．b a c << C.c a b << D ．c b a <<11.将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为 A.1cos 2y x =+B. 22sin y x =C. 22cos y x = D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A.83-B. 1-C. 2D. 10313. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,//n α,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥F(第12题图)14．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）15. 已知函数()()21,1,1,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()(1)y f x f x m =+-- 恰有4个零点，则m 的取值范围是( ) （A ）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________17．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P , 则2cos sin 2αα+的值为. ________________.18．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥， //b c ，则()a b c +⋅= ．19.已知正数x ，y 满足34x y xy +=,则3x y +的最小值为____________. 20．给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.第14题图21. （本小题满分12分）已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设 （Ⅰ）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值. 22. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ． 23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）24. （本小题满分14分）设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立.高三阶段性测试 文科数学(答案)一、 选择题16. 82π- 17. 8518. 15 19．25 20. ①③ 三、解答题21. （Ⅰ）12)(-∙=b a x f22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π22. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以nc )111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． 23. 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．24.解（Ⅰ）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。
2022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ）{}{}211,20,Z∣∣A x x B x x x x =-≤≤=-≤∈A B = A.B.C.D.{}0,1[]1,2-[]0,1{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】解不等式可得集合，进而求交集即可. B 【详解】解得：，220x x -≤02x ≤≤所以， {}220,Z {0,1,2}∣B xx x x =-≤∈=所以. {0,1}A B = 故选：A2. 已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“O R t ∈()1OC t OA tOB =-+三点共线”的（ ）,,A B C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.【详解】充分性：由得，()1OC t OA tOB =-+ OC OA tOA tOB =-+故，则，故三点共线，所以充分性成立，()OC OA t OB OA =-- AC t AB =,,A B C 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而,,A B C AC t AB =，所以，所以，()OC OA t OB OA =-- OC OA tOA tOB =-+()1OC t OA tOB =-+所以必要性成立.综上所述：”是“三点共线”的充要条件.()1OC t OA tOB =-+,,A B C 故选：C3. 已知等比数列，则（ ） {}31017,8n a a a a =10a =A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质得到，进而得到，从而得解. 230171a a a =3108a =【详解】因为是等比数列， {}n a 所以，230171a a a =故，得.131030178a a a a ==102a =故选：B.4. 三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式和海伦公S =式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面S =2a b cp ++=积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则2a b c dp +++=θ四边形最大面积为（ ）A. 21B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答345692p +++==n S θ=案．【详解】∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，d ＝6，∴，又易知，，345692p +++==0πθ<<sin 0θ>则S =，i n θ==当，即时，有最大值为sin 1θ=π2θ=故选：D ．5. 已知为第三象限角，，则（ ）θ1sin cos 5θθ-=-()2cos 12sin sin cos θθθθ-=+A. B. C.D.425-325-325425【答案】B 【解析】【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】由，且， 1sin cos 5θθ-=-22sin cos 1θθ+=解得：或，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩又因为为第三象限角，所以，，θsin 0θ<cos 0θ<所以.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. ()2234[12()]cos 12sin 35543sin cos 2555--⨯--==-+--θθθθ故选：B6. 函数的图象大致为（ ）()32e2e xx f x =-+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再()f x ()f x 令求得有唯一零点，从而排除选项BCD ，而选项A 的图象满足的性()0f x =()f x ()f x 质要求，由此得解. 【详解】因为，所以，()32e2e xx f x =-+()323e 4e x x f x '=-+令，得；令，得；()0f x ¢>4ln 3x <()0f x '<4ln 3x >所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 4,ln3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4ln ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故的极大值点为，且， ()f x 4ln3x =4ln ln103x =>=令，则，得，且， ()0f x =320e 2e x x +=-ln 2x =ln 2ln10x =>=即在上有唯一大于的零点.()f x R 0ln 2对于B ，其图象的极大值点为，矛盾，故B 错误； 0x =对于C ，其图象先减后增，矛盾，故C 错误； 对于D ，其图象有两个零点，矛盾，故D 错误；对于A ，其图象满足上述结论，又排除了BCD ，故A 正确. 故选：A.7. 在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则ABC ,,A B C ,,a b c 6,4b c ==O （ ）AO BC ⋅=A.B.C. 10D. 2020-10-【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运0OD BC ⋅=算即可求得结果.【详解】记的中点为，连结，如图，BC D ,,AO OD AD 因为点为的外心，为的中点，所以，则，O ABC D BC OD BC ⊥0OD BC ⋅=所以()AO BC AD OD BC AD BC OD BC AD BC⋅=-⋅⋅==⋅-⋅ .()()()()()222211113616102222AC AB AC AB AC AB b c =+-=-=-=⨯-=故选：C.8. 设方程和的根分别为和，函数e e 0x x ++=ln e 0x x ++=p q ()()e xf x p q x=++，则（ ） A. B. ()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得，由此得到，再由函数的单调性易得，e p q +=-()e e xf x x =-()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭构造函数与，利用导数证得()()4341e 3g x x x x =--≥()()4233213h x x x x x =--≥与，从而解出. ()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】方法一：由得，由得， e e 0x x ++=e e x x =--ln e 0x x ++=ln e x x =--因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为e e 0x x ++=p e x y =e y x =--P ，p 同理：函数与的图象交点的横坐标为， ln y x =e y x =--Q q 因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，e x y =ln y x =y x =易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称， y x =e y x =--,P Q y x =即的中点一定落在，亦即点为与的交点，,P Q M y x =M y x =e y x =--联立，解得，即，e y x y x =⎧⎨=--⎩e 2e2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩e e ,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，e p q +=-故，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),1-∞()1,+∞所以， ()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，，()43440e e 133f f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则， ()()4341e 3g x x x x =--≥()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=-≥-=-> ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x [)e,+∞所以，即，故()()()4433e 33503811255g g <=-<=<=434e e 1<03--()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令，则，()()4233213h x x x x x =--≥()1133422333h x x x -'=--令，得，所以在上单调递增， ()0h x '>1x >()h x [)1,+∞所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--⨯=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-==⨯--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯--=⨯>>⎣⎦则，故， 42332e e e 03-->4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.方法二：前面部分同方法一得，，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增，所以， ()f x (),1-∞()1,+∞()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，当且仅当时取等号，所以，e 1x x ≥+0x =e 1x x -≥-+当时，，所以，()0,1x ∈1e 1xx <-413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=--<-=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭即，下面比较的大小关系， ()403f f ⎛⎫<⎪⎝⎭42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，()()()2g x f x f x =--()0,1x ∈所以，()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x --'''=+-=-+-=+--=故在上递增，，即有，亦即()g x ()0,1x ∈()()10g x g <=222033f f ⎛⎫⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：. 4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在区间上有解，则解可能为（ ） cos22x x +=[]0,2πA.B.C.D.π62π37π65π3【答案】AC 【解析】【分析】先由辅助角公式得到，再逐一代入检验选项中的解即可. πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1πcos22cos22sin 226x x x x x ⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以，即， π2sin 226x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于A ，当时，，故A 正确； π6x =ππππsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当时，，故B 错误； 2π3x =π4ππ3πsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，故C 正确； 7π6x =π7ππ5ππsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，当时，，故D 错误. 5π3x =π10ππ7π3πsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+===- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：AC.10. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） {}n a n 202312022,0,1n a S a a ><-A.B. 的最大值为 20220a >n S 2023SC. 的最小值为D.n a 2022a 40440S <【答案】ACD 【解析】【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数{}n a 2023120220,1a a a ><-202320220,0,a a <>列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， {}n a 2023120220,1a a a ><-数列为递减的等差数列， ∴{}n a∴202320220,0,a a <>故A 正确，对于B, 数列为递减的等差数列，{}n a 202320220,0,a a <>的最大值为，∴n S 2022S 故B 错，对于C,202320220,0,a a <>由得 ∴202320221a a <-20232022,a a <- ∴202320220,a a +<∴20232022||||,a a >的最小值为,即，∴n a 2022||a 2022a故C 正确， 对于D,140444044202220234044()2022()0,2a a S a a +==+<故D 正确. 故选：ACD11. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）0,0,21a b a b >>+=A.B. 119a b+ (18)ab …C. 2215a b +…【答案】BCD 【解析】【分析】对A 用“1”的妙用进行变形即可，对C 利11112()3b a a b a b a b a b+=++=++用柯西不等式可求最值，对BD 利用基本不等222222211()(21)(2)55a ab a b b =++≥++式式及其变形即可得解.【详解】由得：0,0,21,a b a b >>+=对A ，， 11112()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，时取等，故A 错误； 2b aa b=b =对B ，，时取等， 21a b +=≥2b a =两边平方可得，故B 正确； 18ab ≤对C ，由柯西不等式可得：，2222222111()(21)(2)555b a b a b a =++≥=++取等，故C 正确；2b a =对D ，由，时取等， 22(2)2a b ≤+=2b a =D 正确；+故选：BCD12. 在中，内角所对的边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c）()()tan 1tan tan A B A B +-=A. π6A =B. 若，则为直角三角形 b c -=ABCC. 若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为ABCD. 若为边上一点，且，则 D BC 1,:2:AD BD DC c b ==2b c +【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到； π3A =对于B ，利用余弦定理得到，将代入解得，从而得222a b c bc =+-b c =+a =到，由此得证；2b c =对于C ，利用三角形面积公式得到，从而得到222,,AD BF CE a b c===，利用基本不等式得证； ()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭对于D ，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”12c b+=的妙用即可证得. 2b c +≥【详解】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+， ()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =因为，所以，故0πC <<sin 0C >tan A =又，所以，故A 错误； 0πA <<π3A =对于B ，由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，即，代入上式得，b c -=b c =+222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪+-+⎪⎭⎭⎪整理得，解得或（舍去），则，22320c a +-=a =a =2b c =所以，故B 正确；222b a c =+对于C ，设边上的高分别是，,,AB AC BC ,,CE BF AD 则由三角形面积公式易得，则， 222,,AD BF CE a b c ===()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭此时，得，所以， 1sin 12S bc A ==bc =()2212AD BF CE a ⨯⨯=又，当且仅当时等号成立， 222a b c bc bc =+-≥=b c =所以，故C 正确； ()2212AD BF CE a =⨯⨯≤对于D ，因为，所以:2:BD DC c b =22c AD AB AB BC b cBD =+=++，()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ 可得， 22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++整理得，故， ()22227b cb c +=12c b+=所以()1222225b c b c b c c b cb ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭5⎫≥+=⎪⎪⎭，当且仅当且，即时，等号成立，22b c c b=12c b +=b c==所以，即，故D 正确.2b c +≥2b c +故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则与夹角的余弦值为__________.()()2,1,0,1a b =-= 2a b - b【答案】## 35-0.6-【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量2a b -积公式即可求解.【详解】因为，所以，则， ()()2,1,0,1a b =-= 2(4,3)a b -=-2=5a b - 又因为，，()0,1b =1b = 由平面向量的数量积公式可知：， ()2·33cos 2,552a b b a b b a bb---===--所以与夹角的余弦值为，2a b - b 35-故答案为：. 35-14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________. ()38,2,2xax x f x a x -<⎧=⎨≥⎩R a 【答案】 (][)1,24,∞⋃+【解析】【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在()f x R 上的任意函数值要不大于上的最小值，据此解答即可.(),2-∞[)2,+∞【详解】因为在上单调递增，()f x R 所以当时，在上单调递增，故，且2x <()38f x ax =-(),2-∞0a >，()()268f x f a <=-当时，在上单调递增，故，且，2x ≥()xf x a =[)2,+∞1a >()()2min 2f x f a ==所以，解得或，268a a -≤2a ≤4a ≥由于上述条件要同时成立，所以或， 12a <≤4a ≥故的取值范围为. a (][)1,24,∞⋃+故答案为：.(][)1,24,∞⋃+15. 已知是定义域为R 的奇函数，为奇函数，则__________.()f x ()21f x -+161()i f i ==∑【答案】68 【解析】【分析】由和均是奇函数可推出，赋值可得()f x ()21f x -+()()42f x f x +=+，从而根据递推公式可知.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=161()i f i =∑【详解】而是定义域为R 的奇函数，故有，且， ()f x ()()f x f x =--(0)0f =因为为奇函数，所以， ()21f x -+()()2121f x f x --+=---而， ()2[(2)](2)f x f x f x --=-+=-+所以，()()222f x f x +=-+用替换得：， 2x +x ()()42f x f x +=+令，则有， =1x -(3)(1)2(1)2f f f =-+=-+即；(1)(3)2f f +=令，则， 2x =-(2)(2)2(2)2f f f =-+=-+则，即； 2(2)2f =(2)1f =令，则有； 0x =(4)(0)22f f =+=所以.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=；(1)(2)(3)(4)813(5)(6)(7)(8)f f f f f f f f ++++++=+=； (9)(10)(11)61(12)(5)()(7)(8)82f f f f f f f f +++++++==；(9)(10)(11)(12)829(13)(14)(15)(16)f f f f f f f f ++++++==+ 所以161()(1)(2)(3)(4)(16)i f i f f f f f ==+++++∑ .=513212968+++=故答案为：6816. 若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果{}n x ()()1n n n n f x x x f x +=-'{}n x ，数列为牛顿数列，设，且，则()256f x x x -=+{}n x 22log 3n n n x a x -=-11a =2x =__________；数列的前项和为，则__________.{}n a n n S 2023S =【答案】 ①. ②. 103202321-【解析】【分析】（1）由定义可得，从而， 21212()3(23)n n n n x x x x ++=----1222log 23n n n n x a a x +=-=-得出是以为首项，公比为2的等比数列，从而可求得； {}n a 11a =2x （2）由等比数列前项和公式即可得解.n 【详解】（1）因为，所以，()256f x x x -=+()25f x x '=-，()()2125665522n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +=-=-='-+---则，，2126255()2222n n n n n x x x x x +-=-----=2126355()3322n n n n n x x x x x +-=-----=则有，21212()3(23)n n n n x x x x ++=----则， 211222212()2log log log 232(23)3n n n n n n n n x x x a a x x x +++---===--=-所以是以为首项，公比为2的等比数列， {}n a 11a =所以，所以， 11122n n n a --=⨯=2222223l og a x x -==-解得：. 2103x =（2），所以. 1(12)2112n n n S ⨯-==--2023202321S =-故答案为：；. 103202321-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.()22cos cos f x x x x =+（1）求的最小正周期； ()f x （2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的()y f x =6π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.12()y g x =()g x 【答案】（1）； π（2）. ,Z 46k x k ππ=+∈【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简为标准型，再求其最小正周期即可； ()f x （2）根据三角函数图象的变换，求得的解析式，再求对称轴即可. ()g x 【小问1详解】，()22cos cos f xx x x =+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭故的最小正周期. ()f x 22T ππ==【小问2详解】的图象先向右平移个单位得到()y f x =6π的图象；2sin 212sin 21666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到12的图象；()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，解得， 4,Z 62x k k πππ-=+∈,Z 46k x k ππ=+∈故的对称轴为. ()g x ,Z 46k x k ππ=+∈18. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，{}n a {}n b n n S 且有. 1122431,1,a b a b a S ===+=（1）求数列的通项公式；{}{},n n a b （2）令，数列的前11项和.,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩当为奇数时当为偶数时{}n c 11T 【答案】（1）,21n a n =-12n n b -=（2）748 【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为{}n a d {}n b ,再根(0)q q >据已知条件列出方程，即可得到两数列的通项公式.,d q (2)先求出的通项公式，再根据通项公式求出的前11项和即可. n c {}n c 【小问1详解】设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，{}n a d {}n b (0)q q >由得：，22431a b a S =+⎧⎨=⎩112111113a d b q a d b b q b q +=+⎧⎨+=++⎩，111a b ==Q ，23d q d q q =⎧∴⎨=+⎩解得：2,d q ==，12(1)21n a n n ∴=+-=-12.n n b -=【小问2详解】 由（1）知， 121,2,n n n n a n n c b n -=-⎧=⎨=⎩当为奇数时当为偶数时∴111234567891011T a b a b a b a b a b a =++++++++++ 1357911246810()()a a a a a a b b b b b =++++++++++3579(159131721)(22222)=++++++++++.56(121)2(14)748214⨯+-=+=-19. 在中，内角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c ()2cos cos a B b A c -=（1）证明：； tan 3tan A B =（2）若，求. 22a b bc -=B 【答案】（1）证明见详解 （2） π6B =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，可将题设条件转化为，再由sin cos 3cos sin A B A B =三角形内角的性质得出结果；（2）由（1）可推得，.进而根据余弦定理可推出，，求cos 3cos a B b A =2c b=a 解即可得到.222cos 2a c b B ac+-=【小问1详解】证明：因为，()2cos cos a B b A c -=所以，又， ()2sin cos sin cos sin A B B A C -=sin sin()C A B =+∴， ()2sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+即，sin cos 3cos sin A B A B =又且为三角形内角，，0π,0πA B <<<<,A B cos sin 0A B ≠则，即.sin cos 3cos sin cos cos cos cos A B A BA B A B=tan 3tan A B =【小问2详解】由（1）知，， sin cos 3cos sin A B A B =由正弦定理可得，.cos 3cos a B b A =根据余弦定理可知，，2222cos a b c bc A =+-，222222cos 6cos b a c ac B a c bc A =+-=+-联立可得，.22222c a b =-又，则，所以，则，22a b bc -=2c b =2222226a b c b =+=a则， 222cos 2a c b B ac +-===又，则. 0πB <<π6B =20. 已知三次函数. ()()32111212322f x ax a x x =+---（1）当时，求曲线在点处的切线方程， 3a =()y f x =()()1,1f （2）讨论的单调性. ()y f x =【答案】（1）； 650x y --=（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义，可得曲线()2952f x x x '=+-()y f x =在点处的切线斜率为，，利用直线点斜式即可得解； ()()1,1f (1)12f '=(1)3f =（2）求导可得，对参数进行讨论即得解.()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+a 【小问1详解】 当时，， 3a =()3251222f x x x x =+--，()2352f x x x '=+-所以曲线在点处的切线斜率为，()y f x =()()1,1f ()16f '=又，， ()51112122f =+--=()611y x =-+整理可得曲线在点处的切线方程为；()y f x =()()1,1f 650x y --=【小问2详解】 ，()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+若，由可得，0a =()(2)0f x x '=-+=2x =-当时，，为增函数，(,2)x ∈-∞-()0f x '>()f x 当时，，为减函数，(2,)x ∈-+∞()0f x '<()f x 当时，，0a >()(1)(2)0f x ax x '=-+=可得或， 1x a=2x =-所以在 为增函数，在上为减函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若， 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若， 12a <-在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -综上可得：若，0a =在上为增函数，在上为减函数，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞当时， 在 为增函数，在上为减函数，0a >()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若 102a -<<在 为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若，在 为减函数，在上为增函数. 12a <-()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -21. 设正项数列满足，且.{}n a 11a =()()222*11N n n na n a n n n +-+=+∈（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）设，求证：数列的前项和. n b ={}n b n 32n S <【答案】（1）证明见解析；n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得22111n n a a n n +-=+2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；n a n =（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可n b =1n =2n ≥证得. 32n S <【小问1详解】因为， ()()222111n n na n a n n n n +-+=+=+所以， 22111n n a a n n+-=+又，故， 11a =2111a =所以是首项为，公差为的等差数列， 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11故，则， ()2111n a n n n=+-⨯=n a n =±因为数列是正项数列，所以.{}n a n a n =【小问2详解】由（1）得， n b ==当时，； 1n =111322S b ==<当时，2n ≥n b ==<=， <=所以； 1331222n S ⎛<+-+++=< ⎝ 综上：. 32n S <22. 已知函数. ()1ln f x a x x x =-+（1）若恒成立，求的取值范围；()1,0x f x ∀≥≤a （2）证明：对任意；()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ （3）讨论函数零点的个数.()f x 【答案】（1）；(],2-∞（2）见详解； （3）时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x 【解析】 【分析】（1）进行求导可得，讨论函数的单调性，求得最大值满足221()x ax f x x -+-'=()f x 小于0即可；（2）取，时，成立，代入（）整理即可得证； 2a =1x >12ln x x x <-1k x k+=N k *∈（3）由导函数，讨论的单调性，结合图象即可求得零点. 221()x ax f x x -+-'=()f x 【小问1详解】求导可得：， 22211()1a x ax f x x x x-+-=--'=若，对任意的，，为减函数，所以，符合题0a ≤1x ≥()0f x '<()f x ()(1)0f x f ≤=意；若，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-当，即时，，此时在上为减函数，有0∆≤02a <≤()0u x ≤()f x [)1,+∞()(1)0f x f ≤=，符合题意；当，即时，令可得：0∆>2a >()0u x =，， 11x =<21x =>所以，当时，，为增函数，所以，不符题意， ()21,x x ∈()0f x '>()f x ()(1)0f x f >=综上可得：的取值范围为.a (],2-∞【小问2详解】由（1）知当时，成立，即时，恒有， 2a =()0f x ≤1x ≥12ln 0x x x-+≤即当时，成立. 1x >12ln x x x<-取（），有， 1k x k +=N k *∈112ln ()1k k k k k k ++<-+即，， 111ln(1)ln ()21k k k k +-<++1,2,3,k n = 所以，, ()11111111ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2222321n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+-<+⋯+-<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭将上述不等式相加可得：， 11111ln(1)(2232(1)n n n +<++++++ 整理可得， 1111ln(1)232(1)n n n n ++++->++ 即成立； ()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ 【小问3详解】由（）， 221()x ax f x x -+-'=0x >当时，，为减函数，0a <()0f x '<()f x又，， 11(ln 22022f a =--+>1(2)ln 2202f a =-+<此时在内有一个零点； ()f x (0,)+∞01,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当时，令，可得或（舍）， 0a =1()0f x x x=-+=1x ==1x -此时有一个零点， ()f x 当时，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-若，即时，，240a ∆=-≤02a <≤()0u x ≤所以为减函数，由， ()f x ()1010101e 10e 0e f a =-+<，此时有一个零点在内； 10101011()10e 0e e f a =--+>()f x 10101,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，时，有两解，240a ∆=->2a >2()10u x x ax =-+-=，， 12x x ==1201x x <<<此时在上为减函数，在上为增函数，()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 由可知，所以极小值,极大值， ()10f =()()110f x f <=()()210f x f >=由， ()1ln f x a x x x =-+取，， e a x =()2e 1(2)ee a a af a a =-+>令， 21()e (2)ex x h x x x =-+>，令，则， 1()2e e x x h x x '=--()12e e x x g x x =--()12e +ex x g x '=-由所以，所以为减函数， 2x >()12e 0ex x g x -'=+<()h x '所以，所以为减函数， 221()(2)4e 0eh x h ''<=--<()h x 所以，所以， 221()(2)4e 0e h x h <=-+<()20e e 1e a a a f a =-+<可得，此时有三个零点， 21e 1e e +0a a af a ⎛⎫⎪⎭-=-> ⎝()f x 综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)[精品]
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第一学期期中考试 高三数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为1，且||2z =，则复数的虚部是（ ）AB． C． D ．3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.0B ．1C ．2D. 2ln(e 1)+4.已知(3,1),(1,2)a b =-=-则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B.4π C.3π D.2π 5.若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ）A. 1B. 1±C. 2D. 2± 7．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．21y x =-+C.xy e -=D ．lg ||y x =8.已知命题:p 对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．q ⌝为假 9.已知函数cos()6y x π=-与sin(2)y x ϕ=+()2πϕ<，它们的图像有个交点的横坐标为3π，则ϕ的值为（ ） A.6π B. 6π-C.3π D. 3π-10．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c 满足（ ） A ．a b c << B ．b a c << C.c a b << D ．c b a <<11.将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为 A.1cos 2y x =+B. 22sin y x =C. 22cos y x = D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A.83-B. 1-C. 2D. 10313. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,//n α,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥F(第12题图)14．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）15. 已知函数()()21,1,1,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()(1)y f x f x m =+-- 恰有4个零点，则m 的取值范围是( ) （A ）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________17．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P , 则2cos sin 2αα+的值为. ________________.18．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥， //b c ，则()a b c +⋅= ．19.已知正数x ，y 满足34x y xy +=,则3x y +的最小值为____________. 20．给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.第14题图21. （本小题满分12分）已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设 （Ⅰ）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值. 22. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ． 23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）24. （本小题满分14分）设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立.高三阶段性测试 文科数学(答案)一、 选择题16. 82π- 17. 8518. 15 19．25 20. ①③ 三、解答题21. （Ⅰ）12)(-∙=b a x f22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π22. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以nc )111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． 23. 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．24.解（Ⅰ）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。
2020-2021济南市高三数学上期中一模试题带答案
（2）若 ， ，求 .
25． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
求C；
若 ，求， 的面积
26．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵ ，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，
∴a4＋a2 013＝2，
∴ .
很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，
本题选择D选项.
12．D
解析：D
【解析】
分析：由正弦定理可将 化简得 ，由余弦定理可得 ，从而得解.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简 ，得到 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知， ，
结合正弦定理，化简可得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 或 ，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，验证 是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 .
对于①中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数 ， 不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)
第一学期期中考试 高三数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为1，且||2z =，则复数的虚部是（ ）AB． C． D ．3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.0B ．1C ．2D. 2ln(e 1)+4.已知(3,1),(1,2)a b =-=-则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B.4π C.3π D.2π 5.若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ）A. 1B. 1±C. 2D. 2± 7．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．21y x =-+C.xy e -=D ．lg ||y x =8.已知命题:p 对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．q ⌝为假 9.已知函数cos()6y x π=-与sin(2)y x ϕ=+()2πϕ<，它们的图像有个交点的横坐标为3π，则ϕ的值为（ ） A.6π B. 6π-C.3π D. 3π-10．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c满足（ ） A ．a b c << B ．b a c << C.c a b << D ．c b a <<11.将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为 A.1cos 2y x =+B. 22sin y x =C. 22cos y x = D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则A EB F ⋅=（ ）A.83-B. 1-C. 2D. 10313. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,//n α,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥F(第12题图)14．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）15. 已知函数()()21,1,1,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()(1)y f x f x m =+-- 恰有4个零点，则m 的取值范围是( ) （A ）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________17．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ,则2cos sin 2αα+的值为. ________________.18．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥， //b c ，则()a b c +⋅= ．19.已知正数x ，y 满足34x y xy +=,则3x y +的最小值为____________. 20．给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.第14题图21. （本小题满分12分）已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设 （Ⅰ）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值. 22. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ． 23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）24. （本小题满分14分）设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立.高三阶段性测试 文科数学(答案)一、 选择题16. 82π- 17. 8518. 15 19．25 20. ①③ 三、解答题21. （Ⅰ）12)(-∙=b a x f22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π22. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以nc )111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． 23. 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．24.解（Ⅰ）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。
山东省济南德润高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
f
log2 3
_________
15.若存在实数 x，使得关于 x 的不等式 ax2－4x＋a－3＜0 成立，则实数 a 的取值范围
是
.
20.(本小题满分 12 分)已知函数 f x x3 1 x2 ax 1 ．
2
(1)当 a 2 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
高三数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
1. 已知集合 A x x2 2x 0 , B x 0 x 3 ，则 A B
A． 1,3
B．(0，2]
C．[2，3)
D．(2，3)
2. sin 225 =
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D． 1
3.已知
a
log3
2, b
1
34,c
ln
2 ，则a，b，c 3
的大小关系为
A． a b c B． b a c C． c b a D． c a b
4.设 x R ，则“ | x 1| 2 ”是“ lg x 0 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)当 a 0 时，设函数 f x 的最小值为 g a ，证明： g a 1；
(2)若函数 h x
f
x
1 x 2 ，有两个极值点 2
x1, x2
x1
x2 ，
证明： h x1 h x2 2 ．
高三数学试题参考答案
一、单选题：CBBBB ABA 二、多选题：9.CD 10.BD 11.BD 12.ABD
2
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题(有答案)
第一学期期中考试 高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、 选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ） 1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂=A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则向量a b -与向量b 夹角为 A. 30 B. 60 C. 120 D.1503.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4>4．若cos sin 3θθ+=-，则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数，当)2,0(∈x 时，,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像，只需将函数的图像A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是CD11．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>； (3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 2D.313.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．2- B ．2- C D ．14. 在ABC 中，,P Q 分别是,AB BC 的三等分点，且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==，则PQ = A.1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b -- 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，)('x f 为其导函数，若对于任意实数x ，都有)()('x f x f >，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B =,则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直，则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=，则|32|a b -= .20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =， （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<），函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试 数学（理科） 2016.10二、 选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 20. 23三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 21. 【解】（1）∵(2sin 2cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅2cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∵取k =0和1且[]0,x π∈，得03x π≤≤和56x ππ≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈，∴112666x πππ-≤-≤， ∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤，解得03x π≤≤和56x ππ≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以，当1x e =时，()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故()g x 是()1,+∞上的增函数， 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时，xx x f 1ln 2)(+=，定义域为),0(+∞， )(x f 的导函数22'1212)(x x x x x f -=-=．分 当210<<x 时，0)('<x f ，)(x f 在)21,0(上是减函数； 当21>x 时，0)('>x f ，)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时，)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ，无极大值． （Ⅱ）当0<a 时，ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞，)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ，012>-=a x ，aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时，)(x f 在)21,0(上是减函数，在)1,21(a -上是增函数，在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时，)(x f 在)1,0(a -上是减函数，在)21,1(a -上是增函数， 在),21(+∞上是减函数． 综上所述，当2-<a 时，)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数，在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时，)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数，在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当)2,(--∞∈a 时，)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ， ∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立， ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立． 当2-<a 时，4324313-<+-<-a ，∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．。
山东省济南市高三上学期期中数学试卷(理科)
山东省济南市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（）A . {3}B . {4，5}C . {1，2，3}D . {2，3，4，5}2. （2分）若函数f（x）在其定义域上既是减函数又是奇函数，则函数f（x）的解析式可以是（）A .B .C . f（x）=x2﹣x3D . f（x）=sinx3. （2分） (2018高一上·北京期中) 下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·湖北月考) 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A .B .C .D .5. （2分）“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2019高三上·黑龙江月考) 中， , , , 为线段上任意一点，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A . a≥﹣2B . a＞2C . 0＜a＜1D . 1≤a＜28. （2分）(2017·海淀模拟) 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A . 4，6B . 3，6C . 3，7D . 1，7二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 若向量与向量共线，则 ________．10. （1分）(2017·兰州模拟) cos2165°﹣sin215°=________．11. （1分） (2020高一下·隆化期中) 数列满足，则数列的前6项和为________．12. （1分） (2016高三下·娄底期中) 已知tanα=﹣2，tan（α+β）= ，则tanβ的值为________．13. （1分） (2019高一上·苏州月考) 设函数，若互不相同的实数满足，则的取值范围是________.14. （2分） (2020高一下·金华月考) 公差d不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则 =________； ________.三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2018高二上·济源月考) 已知等差数列满足：，（1）求通项公式及前n项和公式；（2）令，求数列的前项和16. （5分） (2016高一下·武城期中) 求函数f（x）=sin（x+ ）+2sin（x﹣）的周期及单调增区间．17. （10分） (2016高三上·武邑期中) 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．18. （10分） (2019高一下·静安期末) 设函数．（1）请指出函数的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）（2）请以正弦函数的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：在区间上单调递减．19. （10分）(2019·衡阳模拟) 已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （10分）已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．（1）若∈A，用列举法表示A；（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
山东省2021届高三第一学期期中考试数学试卷
2020-2021学年度第一学期高三期中教学质量检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷选择题(60分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{y|y＝2x－1}，则A∪B＝( ) A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，1)2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数1i2iaz+=为“等部复数”，则实数a的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知条件p:x2＋x－2＞0，条件q:x＜a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a≥－2 D．a≤－24．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则此函数可能是( )A．f(x)＝cos x·ln x B．f(x)＝cos x·ln|x|C．f(x)＝－cos x·ln|x| D．f(x)＝|cos x ln x|5．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率π≈3.1416．在«九章算术注»中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出高三数学试题第1页 (共5页 )高三数学试题第1页 (共5页 )２代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89°的近似值为( )A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.034916．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x )＝sin(3x －π4)的 图象，只需将f (x )的图象 ()A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 7．若函数f (x )为定义在 R 上的偶函数，且在(0，＋ ∞ )内是增函数，又f (2)＝0，则不等式 xf (x －1)＞0的解集为 ()A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－1，1)∪(3，＋∞)C ．(－1，0)∪(3，＋∞)D ．(－2，0)∪(2，＋∞)8．已知a ，b ∈R ，e x ≥ax ＋b 对任意的x ∈R 恒成立，则ab 的最大值为 ()A ．1eB ．1C ．2D ．e 2二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 ．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分 ，有选错的得 0 分 ． 9．已知a ，b ∈R ，下列说法正确的有 ()A ．若a ＞b ，则1 a 2 ＜1b 2B ．若a ＞b ，则a 3＞b 3C ．若ab ＝1，则a ＋b ≥2D ．若a 2＋b 2＝1，则ab ≤1210．某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:高三数学试题第1页 (共5页 )则下面判断中一定正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，丙同学更靠前11．已知向量e 1，e 2是平面α 内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α 内任意一点P ，当O P →＝xe 1＋y e 2时，则称有序实数对(x ，y )为点P 的广义坐标．若点A 、B (异于点O )的广义坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，关于下列命题正确的是 ()A ．线段AB 的中点的广义坐标为( x 1＋x 22 ， y 1＋y 22 )B ．A 、B 两点间的距离为 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2C ．向量 OA → 平行于向量OB →的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1 D ．向量 OA → 垂直于OB →的充要条件是x 1x 2＋y 1y 2＝012．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )＝cos B ＋12，延长BA 至D ．则下面结论正确的是 () A ．A ＝π6 B ．B ＝π3C ．若CD ＝3，则△ACD 周长的最大值为2 3 +3 D ．若BD ＝4，则△ACD 面积的最大值为 3第Ⅱ卷 非选择题(90分)三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若曲线f (x )＝x sin x 在x ＝π2处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝ ．14．已 知 △ABC 中，AC ＝1，BC ＝ 3 ，AB ＝2，点 M 是 线 段 AB 的 中 点，则CM → ·CA →＝．15．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，己知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2 －a n ＝1－(－1)n ，则该医院30 天内因患新冠肺炎就诊的人数共有．。
2021届山东省济南市重点高中高三上学期第一次教学质量检测 数学试题
)
C32
(
2)2 3
(1
2) 3
2 3
8 27
P(
A3 )
C42
(
2)2 3
(1
2)2 3
1 2
4 27
所以，甲队以 3：0,3:1,3:2 胜利的概率分别是 8 ， 8 ， 4 ； 27 27 27
（2）设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
P(
A4
)
C41 (1
13．若函数 f x kx ln x 在区间 1, 内不单调，则 k 的取值范围是______.
14．已知一组数据（1,3），（2,3.8），（3，5.2），（a，b）的线性回归方程为 yˆ = 1.04x + 1.9 ， 则 b - 1.04a = ______________．
15．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于 3”为事件 A．“两
B. f 1 ef 0 ， f (1) e2 f (1)
C. f 1 ef 0 ， f (1) e2 f (1)
D. f 1 ef 0 ， f 2020 e2020 f 0
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题 目要求的．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
是_________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（满分 10 分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 14:3
山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)
第一学期期中考试 高三数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为1，且||2z =，则复数的虚部是（ ）AB． C． D ．3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.0B ．1C ．2D. 2ln(e 1)+4.已知(3,1),(1,2)a b =-=-则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B.4π C.3π D.2π 5.若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ）A. 1B. 1±C. 2D. 2± 7．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．21y x =-+C.xy e -=D ．lg ||y x =8.已知命题:p 对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．q ⌝为假 9.已知函数cos()6y x π=-与sin(2)y x ϕ=+()2πϕ<，它们的图像有个交点的横坐标为3π，则ϕ的值为（ ） A.6π B. 6π-C.3π D. 3π-10．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c 满足（ ） A ．a b c << B ．b a c << C.c a b << D ．c b a <<11.将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为 A.1cos 2y x =+B. 22sin y x =C. 22cos y x = D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A.83-B. 1-C. 2D. 10313. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,//n α,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥F(第12题图)14．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）15. 已知函数()()21,1,1,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()(1)y f x f x m =+-- 恰有4个零点，则m 的取值范围是( ) （A ）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________17．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P , 则2cos sin 2αα+的值为. ________________.18．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥， //b c ，则()a b c +⋅= ．19.已知正数x ，y 满足34x y xy +=,则3x y +的最小值为____________. 20．给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.第14题图21. （本小题满分12分）已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设 （Ⅰ）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值. 22. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ． 23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）24. （本小题满分14分）设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立.高三阶段性测试 文科数学(答案)一、 选择题16. 82π- 17. 8518. 15 19．25 20. ①③ 三、解答题21. （Ⅰ）12)(-∙=b a x f22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π22. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以nc )111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． 23. 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．24.解（Ⅰ）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。
【数学】山东省济南市旅游学校2021届高三上学期期中考试试题
14．设等比数列 满足 ， ，则公比 ______．
15．已知函数 ，则 ______，若 ，则
______．（第一空2分，第二空3分）
16．已知 是定义在R上的奇函数，并且 ，当 时， ，则 ______．
四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（Ⅱ）设 ， ，求数列 的前n项和 ．
22．（本题12分）
已知 ，函数 在 处取得极值．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对 ， 恒成立，求实数b的最大值．
参考答案
一、单选题
1-5．BADCB 6-8．DAC
二、多选题
9．BC 10．BD 11．AD 12．ACD
三、填空题
13． 14． 15． ， 16．1
19．（本题12分）
已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在 处有极小值，求函数 在区间 上的最大值．
20．（本题12分）
已知函数已知函数 ．
（1）求函数 的最小值及取最小值时的x的集合；
（2）求函数 在 上的单调增区间．
21．（本题12分）
在等比数列 中， ， ．
（Ⅰ）求
A． B． C． D．
4．将函数 的图象向左平移 个周期后，所得图象对应的函数为（）
A． B．
C． D．
5．已知向量 ， 是不平行于x轴的单位向量，且 ，则 （）
A． B． C． D．
6．若 ，则函数 （）
A．有最大值 B．有最小值2
C．有最大值 D．有最小值4
7．函数 的图象可能是（）
A． B．
山东省济南市旅游学校2021届高三数学上学期期中试题含解析
【答案】1
【解析】
【分析】
根据已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把 转化为 ，再利用奇函数转化为 ，把 代入即可求得结果.
【详解】 ，令 ，
，故函数 的周期为 ，
，
为奇函数， ，
由已知可知 ，故 .
因此， .
故答案为： .
（1）若 ，求 、 的值；
（2）若 的面积 ，求b，c的值．
【答案】（1） ； ；（2） ， ．
【解析】
分析】
（1）由 ，且 ，可得 ．再利用正弦定理即可得出．
（2）由 ，解得 ，再利用余弦定理即可得出．
【详解】（1） ，且 ， ．
由正弦定理得 ， ．
（2） ， ．
由余弦定理得 ， ．
【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（2）求函数 在 上的单调增区间．
【答案】（1）最小值 ， ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）化简 ，令 , ，进而求解即可；
（2）令 , ，结果与 求交集即可.
【详解】（1）由题
故当 , ，即 , 时， 取得最小值，且
所以函数 的最小值是 ，此时x的集合为 ；
（2）由（1）令 , ，则 , ,
12. 为数列 的前n项和，若 ，则（）
A. B. 是等差数列
C. 是等比数列D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
令 可判断A；利用 可得 ，可判断BC；求出 ，得到 的值，可判断D.
【详解】当 时， ， ，A正确；
因为 ，
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第一学期期中考试 高三数学试题（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上.3.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为1，且||2z =，则复数的虚部是（ ）AB． C． D ．3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.0B ．1C ．2D. 2ln(e 1)+4.已知(3,1),(1,2)a b =-=-则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B.4π C.3π D.2π 5.若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ）A. 1B. 1±C. 2D. 2± 7．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．21y x =-+C.xy e -=D ．lg ||y x =8.已知命题:p 对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．q ⌝为假 9.已知函数cos()6y x π=-与sin(2)y x ϕ=+()2πϕ<，它们的图像有个交点的横坐标为3π，则ϕ的值为（ ） A.6π B. 6π-C.3π D. 3π-10．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c 满足（ ） A ．a b c << B ．b a c << C.c a b << D ．c b a <<11.将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为A.1cos 2y x =+B. 22sin y x =C. 22cos y x = D. sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A.83-B. 1-C. 2D. 10313. 已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//m n ,m α⊥,则n α⊥B.若//m α,//n α,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥F(第12题图)14．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）15. 已知函数()()21,1,1,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()(1)y f x f x m =+-- 恰有4个零点，则m 的取值范围是( ) （A ）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,14⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________17．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P , 则2cos sin 2αα+的值为. ________________.18．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥， //b c ，则()a b c +⋅= ． 19.已知正数x ，y 满足34x y xy +=,则3x y +的最小值为____________. 20．给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.第14题图21. （本小题满分12分）已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设 （Ⅰ）求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值. 22. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ． 23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）24. （本小题满分14分）设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立.高三阶段性测试 文科数学(答案)一、 选择题16. 82π- 17. 8518. 15 19．25 20. ①③ 三、解答题21. （Ⅰ）12)(-∙=b a x f22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小值为-2，此时423x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k ππ-+=，k ∈Z∴124k m ππ=-，所以正数m 的最小值为12π22. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以nc )111(32)33(21+-=+=n n n n S n ．故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)nn n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． 23. 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．24.解（Ⅰ）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。