基3的27点fft算法和蝶形图
FFT算法的DSP实现
FFT 算法的DSP 实现对于离散傅里叶变换（DFT）的数字计算，FFT是一种有效的方法。
一般假定输入序列是复数。
当实际输入是实数时，利用对称性质可以使计算DFT 非常有效。
一个优化的实数FFT算法是一个组合以后的算法。
原始的2N个点的实输入序列组合成一个N 点的复序列，之后对复序列进行N 点的FFT 运算，最后再由N 点的复数输出拆散成2N点的复数序列，这 2 N点的复数序列与原始的2N点的实数输入序列的DFT输出一致。
使用这种方法，在组合输入和拆散输出的操作中，FFT 运算量减半。
这样利用实数FFT 算法来计算实输入序列的DFT的速度几乎是一般FFT算法的两倍。
下面用这种方法来实现一个256 点实数FFT（2N=256 ）运算。
1. 实数FFT 运算序列的存储分配如何利用有限的DSP 系统资源，合理的安排好算法使用的存储器是一个比较重要的问题。
本文中，程序代码安排在0x3000 开始的存储器中，其中0x3000~0x3080 存放中断向量表，FFT程序使用的正弦表和余弦表数据（.data段）安排在OxcOO开始的地方，变量（.bss段定义）存放在0x80 开始的地址中。
另外，本文中256 点实数FFT 程序的数据缓冲位Ox23OO~Ox23ff , FFT 变换后功率谱的计算结果存放在Ox22OO~Ox22ff 中。
连续定位.cmd 文件程序如下：MEMORY {PAGE O: IPROG: origin = Ox3O8O,len=Ox1F8OVECT: lorigin=Ox3OOO,len=Ox8OEPROG: origin=Ox38OOO,len=Ox8OOOPAGE 1:USERREGS: origin=Ox6O,len=Ox1cBIOSREGS: origin=Ox7c,len=Ox4IDATA: origin=Ox8O,len=OxB8O}SECTIONS{EDATA: origin=OxCOO,len=Ox14OO{.vectors: { } > VECT PAGE O.sysregs:.trcinit:.gblinit: { } > BIOSREGS PAGE 1 { } > IPROG PAGE O { } > IPROG PAGE O.bios:frt:{ } > IPROG PAGE O { } > IPROG PAGE O.text: { } > IPROG PAGE O.cinit: { } > IPROG PAGE O.pinit: { } > IPROG PAGE O.sysinit: { } > IPROG PAGE O.data: .bss: .far:.const: { } > EDATA PAGE 1 { } > IDATA PAGE 1 { } > IDATA PAGE 1 { } > IDATA PAGE 1.switch: { } > IDATA PAGE 1 .sysmem: { } > IDATA PAGE1•cio:{ } > IDATA PAGE1.MEM$obj: { } > IDATA PAGE1.sysheap: { } > IDATA PAGE1}2.基2实数FFT运算的算法该算法主要分为以下四步进行：1）输入数据的组合和位排序首先，原始输入的2N=256个点的实数序列复制放到标记有“ d_input_addr "的相邻单元，当成N=128点的复数序列d[n]，其中奇数地址是d[n]实部，偶数地址是d[n]的虚部，这个过程叫做组合（n为序列变量，N为常量）。
FFT算法
用FPGA实现FFT算法引言DFT(Discrete Fourier Transformation)是数字信号分析与处理如图形、语音及图像等领域的重要变换工具，直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比。
当N较大时，因计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
快速傅立叶变换(Fast Fourier Transformation，简称FFT)使DFT运算效率提高1～2个数量级。
其原因是当N较大时，对DFT进行了基4和基2分解运算。
FFT算法除了必需的数据存储器ram和旋转因子rom外，仍需较复杂的运算和控制电路单元，即使现在,实现长点数的FFT仍然是很困难。
本文提出的FFT实现算法是基于FPGA之上的，算法完成对一个序列的FFT计算，完全由脉冲触发，外部只输入一脉冲头和输入数据，便可以得到该脉冲头作为起始标志的N 点FFT输出结果。
由于使用了双ram，该算法是流型(Pipelined)的，可以连续计算N点复数输入FFT，即输入可以是分段N点连续复数数据流。
采用DIF(Decimation In Frequency)-FFT 和DIT(Decimation In Time)-FFT对于算法本身来说是无关紧要的，因为两种情况下只是存储器的读写地址有所变动而已，不影响算法的结构和流程，也不会对算法复杂度有何影响。
算法实现的可以是基2/4混合基FFT，也可以是纯基4FFT和纯基2FFT运算。
傅立叶变换和逆变换对于变换长度为N的序列x(n)其傅立叶变换可以表示如下：NnkX(k)=DFT[x(n)] = Σ x(n)Wn="0"式（１）其中，W="exp"(-2π/N)。
当点数N较大时，必须对式(1)进行基4/基2分解，以短点数实现长点数的变换。
而IDFT的实现在DFT的基础上就显得较为简单了：式（２）由式(2)可以看出，在FFT运算模块的基础上，只需将输入序列进行取共轭后再进行FFT运算，输出结果再取一次共轭便实现了对输入序列的IDFT运算，因子1/N对于不同的数据表示格式具体实现时的处理方式是不一样的。
数字信号处理判断题
判断题1、 信号可定义为传载信息的函数2、模拟信号就是时间连续的信号3、连续时间信号就是时间连续的信号4、离散时间信号就是时间离散的信号5、数字信号就是时间幅度都是离散的信号6、系统就是反映信号处理因果关系的设备或运算7、连续时间系统就是输入输出都是连续时间信号的系统8、数字信号处理精度高9、数字信号处理不可时分复用10、数字信号处理可靠性强，但灵活性不大1、√2、×3、√4、√5、×6、√7、√8、√9、× 10、×1、理想取样可以看成实际取样的科学的本质的抽象2、连续时间的取样造成频谱的周期重复3、连续时间信号的取样可能发生频谱混叠4、离散时间信号可用序列表示5、两序列相乘就是对应序列值相乘6、所有正弦序列都是周期的7、所有复指数序列都是周期的8、当h(n)为因果序列时，系统一定是因果的9、当h(n)绝对可和时，系统一定是稳定的 10、)(1)(n u n n h =，则系统是稳定的 11、)(2)(n u n h n -=，系统是非因果的不稳定系统 12、2)()(+=n x n y ，系统是线性的 13、)()(n x a n y n =，系统是时变的14、离散时间线性非时变系统可用常系数线性差分方程描述15、系统频率响应是指系统对不同频率的正弦序列的不同传输能力16、系统频率响应是连续的非周期的17、系统频率响应是周期的，周期为2π18、任何序列的傅里叶变换都是存在的19、实序列的傅里叶变换是共轭对称的20、Z 变换的收敛域可以是方形区域21、Z 变换的收敛域是以极点来限定边界的22、双边序列的Z 变换的收敛域为环域23、)(n ∂的收敛域为整个Z 平面24、傅里叶变换就是单位圆上的Z 变换25、系统函数收敛域包括单位圆，则系统稳定26、系统函数的收敛域在环内，则系统是因果的27、极点、零点都在单位圆内，系统是最小相位系统28、极点在单位圆内，零点有在单位圆内，也有在单位圆外，则系统是最大相位系统29、极点在单位圆内，零点有在单位圆内，也有在单位圆外，则系统是非最小相位系统30、非最小相位系统可以看成最小相位系统和全通函数相乘1、√2、√3、√4、√5、√6、×7、×8、√9、√ 10、×11、× 12、× 13、√ 14、√ 15、× 16、× 17、√ 18、× 19、√ 20、×21、√ 22、√ 23、√ 24、√ 25、√ 26、× 27、√ 28、× 29、√ 30、√1、离散傅里叶变换在一个域里边是周期的，则另一个域是连续的2、离散傅里叶变换在一个域里边是非周期的，则另一个域是离散的3、离散傅里叶变换一个域里边周期的倒数是另一个域的周期4、DFT 是DFS 取主值5、DFT 不隐含周期性6、DFT 不是连续傅里叶变换的近似7、DFT 是X(z)在单位圆上的等间隔取样8、DFT 的综合就是X(z)9、DFT 和IDFT 可用一套程序计算10、补零增长可使谱线变密11、x(n)反转，X(k)也反转。
FFT的FPGA实现
fft的fpga实现1．引言DFT及其快速算法FFT是信号处理领域的核心组成部分。
FFT算法多种多样，按数据组合方式不同一般分时域和频域，按数据抽取方式的不同又可分为基2，基4等。
各算法的优缺点视不同的制约因素而不同。
FFT的实现方法也多种多样，可以用软件实现，也可以用硬件实现，用软件在PC机或工作站上实现则计算速度很慢。
一般多结合具体系统用硬件实现。
例如用单片机或DSP实现。
但是速度仍然很慢，难以与快速的A/D器件匹配。
在雷达信号处理领域主要追求的目标是速度，即实时性的要求非常高。
针对这种快速信号处理的要求及FPGA器件的特点，本文采用的是一种基2固定几何结构的FFT算法。
采用的是Altera公司推出的最新器件Stratix来做硬件仿真。
Stratix器件是一款采用高性能结构体系的PLD器件。
它结合了强大内核性能，大存储带宽，数字信号处理（DSP）功能，高速I/O性能和模块化设计与一体的PLD。
其内嵌的DSP模块具有很高的乘法运算速度。
在用VHDL编程时可以用MegaWizard的方法指定用DSP模块生成乘法器，用这种乘法器来做蝶形，用多个蝶形来构成FFT运算级，通过循环即可实现FFT核心运算的并行化。
用Altera公司的Quartus软件做逻辑分析和波形分析。
Quartus软件具有很强的硬件仿真和逻辑分析功能，它可将用VHDL编写的硬件描述综合到FPGA中。
2．算法介绍为了说明问题的方便，下面以基2，八点FFT为例加以说明。
传统的基2变几何结构算法如下（图一）：箭头上的数字代表旋转因子中的k。
图中输入采用的是按码位颠倒的顺序排放的。
输出是自然顺序。
这种结构的特点是每个蝶形的输出数据仍然放在原来的输入的数据存储单元内，这样只需要2N个存储单元（FFT中的数据是复数形式，每点需要两个单元存储）。
其缺点是不同级的同一位置蝶形的输入数据的寻址不固定，难以实现循环控制。
用FPGA编程时难以并行实现，数据处理速度慢。
N为复合数的FFT算法——混合基算法
:L: L.: =
x(n, .no) 叫「 ·· W JVi tvye
• . _, ~ O . . '牛 。
(4 - 42)
在上面推导中应用了 W ， 日 川】 需 W23 1 .1 =IWJ 蜻 果这里 n 是肘，川和.， 表示的.所
U 主要对矶和. . 的所有佳求利，则 n 的 一 个求和1 号变成了.，初 " 0 的两个求和号 .
(4 - 35)
(3) 对于多基多进制或称混合基.这是绩 一 般的情况 可 以包括上面两种单蜂的情
Ilt . 此时 N 可表示 威直合舷 N=r ， rl' " 凡 ，则对 于 ，， < r ， rl '" 凡的任何 一 个正，事 '生 n. 可
以後 L 个恙町 .r" ... .rt 表示为多通~ !彭 进制形式 (nι ， "ι ， 制数所代表的数值为
差，的 r 进制形式 .
[倒 4- 1 ] N= 3X5 :a r ， r! . 则有
芷中 例如
( n ) ,. = n , rl + "0 = 5" t +"。
[p( 时 ] ， . = "Orl + '" = + 3" 0 'I t
n , =0 . 1, 2 : no = 0. 1. 2 . 3 . 4
(l 4 ) ,. = 4X3+2 =(32).x, . [ p (l 4 )J ,. = 4 X2+3= (I I) ,. [ 例 4-3 ] N = 4X3X2 - r ， rz r) . 则有
(,,),. = l1, rl r , +n, r, + no = 6111 +2 11, + 11. • 163 •
数字信号处理试题(1)
、单项选择题1. 序列 x(n)=Re(e jn 皿)+1 m (e jn 皿),周期为()。
n A. 18B. 72C. 18 nD. 362. 设C 为Z 变换X(z)收敛域内的一条包围原点的闭曲线， F(z)=X(z)z n-1,用留数法求X(z)的反变换时()。
5、人(n)二R ,0(n) , X 2(n)二R 7(n)，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使 DFT 的长度N 满足 _______________ A. N 16 B. N =16C. N ：166. 设系统的单位抽样响应为 h(n)= S (n)+2 S (n-1)+5 S (n-2),其频率响应为( j 3 j « j2 3 j5 3j 3-j 3-j2 3A. H(e j )=e j +e j +e jB. H(e j)=1+2e j+5e jj 3 -j 3-j2 3 -j5 3j 3 1 -j 3 1 -j2 3 C. H(e j)=e j +e j+e jD. H(e j)=1+ —e j +—e j257.设序列 x(n)=2 S (n+1)+ S(n)- S (n-1)，贝U X(e j 3)| 3=0 的值为()。
A. 1B. 2C. 4D. 1/28. 设有限长序列为 x(n), N 1< n W N 2,当N K 0,N 2>0 , Z 变换的收敛域为( )。
A. 0<|z|< gB. |z|>0C. |z|<gD. |z|W89.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率 Qs 与信号最高截止频率 Qc 应满足关系() A. Q s>2 Q c B. Q s> Q c C. Q s< Q cD. | Q s<2 Qc10.下列系统(其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列)中哪个属于线性系统？( )A.y( n)=y( n-1)x(n)B.y( n)=x( n) /x( n+1)C.y( n)=x( n)+1D.y( n)=x (n )-x( n-1)11.已知某序列Z 变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为()A. 只能用F(z)在C 内的全部极点B. 只能用F(z)在C 外的全部极点C.必须用收敛域内的全部极点3.有限长序列h(n)(0 < n W N-1)关于D.用F(z)在C 内的全部极点或C 外的全部极点N - 1-一1偶对称的条件是2)。
第二章 3信号变换FFT和DCT
视频压缩原理, class 02
视频压缩原理
1.傅立叶变换
2.DFT和FFT
3.DCT
4.时域信号到频域信号变换 5.窗函数
24
视频压缩原理, class 02
3、DCT
DFT和FFT是正弦和余弦变换，时域信号转换为许多不同频率和幅度的余 弦和正弦信号的叠加。
时域信号也可以转换为只有余弦或只有正弦信号的叠加，即DCT或DST。
当方波的周期趋于无穷大，频谱中的离散谱线越来越 靠近，最终得到单一脉冲对应的连续频谱。 单个方波的频谱可由Sin(x)/x函数描述。
u(t ) u( f )
t
1/ T
T
f
图5.12 单个方波脉冲的频谱
30
视频压缩原理, class 02
4、时域信号到频域信号变换
13
视频压缩原理, class 02
1、傅立叶变换
正弦信号的矢量图可由实部（余弦分量）和虚部（正弦分量）矢量
欧拉方程：Ae(2πft+ φ)=recos(2πft)+jimsin(2πft) u(t)=Asin(2πt/T+φ)
图5.3 矢量图
14
10
视频压缩原理, class 02
视频压缩原理
时域信号在某个时刻的值是所有这些正弦信号在那个时刻的值之和，这 些正弦信号也叫做谐波，频谱分析仪能提供各次谐波的幅度和能量。 在数学上，周期时域信号可以用傅立叶级数分析法分解成各次谐波。 周期时域信号的频谱是离散谱，包含直流分量、基波和多次谐波，谐波 的频率是基波频率的整数倍。 非周期时域信号的频谱是连续谱。
1988年，PC上做一次256点FFT需要几分钟。现在，一次 8192点FFT（8K FFT）不到1毫秒。推动了FFT的新应用：
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解
X 3(1)x3(0)W 2 1x3(1)x(0)W21x(4)x(0)WN0x(4) 这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。
20
以8点为例第三次按奇偶分解
N=8按时间抽取法FFT信号流图
21
5.3.2 按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 L 级 蝶形运算；每级都由 N/2 个蝶形运算组成，而每个蝶形有
蝶形运算信 号流图符号
因此，只要求出2个N/2点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再 经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。
14
以8点为例第一次按奇偶分解
以N=8为例，
分解为2个4点
的DFT，然后
做8/2=4次蝶形
运算即可求出
W
0 N
所有8点X(k)的
值。
W
1 N
W
2 N
W
3 N
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
2
4
1
4 16
4
8 64
12
16 256
32
32 1028 80
4.0 128
16 384
448 36.6
4.0 256 65 536 1 024 64.0
5.4 512 262 144 2 304 113.8
7直接计算dft与fft算法的计算量之比为m24fft算法与直接dft算法运算量的比较25533按时间抽取的fft算法的特点序列的逆序排列同址运算原位运算蝶形运算两节点间的距离的确定26序列的逆序排列由于xn被反复地按奇偶分组所以流图输入端的排列不再是顺序的但仍有规律可循
《数字信号处理》试题库答案-信号采样测试题
一. 填空题1、一线性时不变系统，输入为输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为输出为 2y(n) ；输入为x （n-3）时，输出为）时，输出为 y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为：关系为：fs>=2f max 。
3、已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X （e jw ）的）的 N 点等间隔点等间隔 采样采样 。
4、有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ）= 。
5、用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠交叠 所产生的所产生的 混叠 现象。
现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度为N ，则它的对称中心是则它的对称中心是 (N-1)/2 。
7、用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，加矩形窗比加三角窗时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较所设计出的滤波器的过渡带比较所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰减比较，阻带衰减比较，阻带衰减比较 小小 。
8、无限长单位冲激响应（、无限长单位冲激响应（IIR IIR IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是）滤波器的结构上有反馈环路，因此是）滤波器的结构上有反馈环路，因此是 递归递归 型结构。
型结构。
9、若正弦序列x(n)=sin(30n π/120)/120)是周期的是周期的是周期的,,则周期是N= 8 N= 8 。
1010、、用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的过渡带的宽度不但与窗的过渡带的宽度不但与窗的 类型类型 有关，还与窗的还与窗的 采样点数 有关有关11．DFT 与DFS 有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的 主值区间截断 ，而周期序列可以看成有限长序列的 周期延拓 。
2022电信数字信号处理题库
2022电信数字信号处理题库一、单项选择1.下列四个离散信号中，是周期信号的是（）。
A．in(100n)B.ej2nC.conin30nD.e1jn3ej4n52.某系统的单位脉冲响应h(n)()u(n)，则该系统（）。
A.因果不稳定B.非因果稳定C.因果稳定D.非因果不稳定3.某(n)enj()3612n，则该序列是（）。
A.非周期序列B.周期N/6C.周期N6D.周期N24.一个离散系统（）。
A.若因果必稳定B.若稳定必因果C.因果与稳定有关D.因果与稳定无关5.某系统y(n)n某(n)，则该系统（）。
A.线性时变B.线性非时变C.非线性非时变D.非线性时变6.某系统y(n)g(n)某(n)，g(n)有界，则该系统（）。
A.因果稳定B.因果不稳定C.非因果稳定D.非因果不稳定7.某1(n)3in(0.5n)的周期是（）。
A.4B.3C.2D.18.若一线性移不变系统当输入为某(n)(n)时输出为y(n)R3(n)，则当输入为u(n)u(n2)时输出为（）。
A．R3(n)B.R2(n)C.R3(n)R3(n1)B.TS1/fhC.TS1/fhD.R2(n)R2(n1)D.TS1/(2fh)9.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期TS与信号最高截止频率fh应满足关系（）。
A．TS2/fh10.某系统y(n)[某(n)]2，则该系统是（）。
A.线性移不变系统B.移不变非线性系统C.线性移变系统D.非线性移变系统11.某系统y(n)某(n)5，则该系统（）。
A.因果稳定B.非因果稳定C.因果不稳定D.非因果不稳定12.差分方程y(n)某(nm)所描述系统的单位冲激响应是（）nm0A．u(n)B.(n)C.不存在D.au(n)13.以下说法中（）是不正确的。
A.时域采样，频谱周期延拓B.频域采样，时域周期延拓C.序列有限长，则频谱有限宽D.序列的频谱有限宽，则序列无限长14.某(n)2n[u(n)u(n5)]，则某(z)的收敛域应是（）。
利用单片机实现实现频谱显示的快速傅里叶变换算法并进行优化
利用单片机实现实现频谱显示的快速傅里叶变换算法并进行优化1 引言在家庭影院、卡拉OK等音响系统中，实时显示音乐信号的频谱将为音响系统增添不少色彩。
目前实际生产的音响系统产品，大多采用以下两种方法实现音频频谱显示：一是利用硬件滤波器和A／D转换器；二是利用DSP处理频谱显示。
前者实现简单，但硬件成本高，后者软件和硬件实现都较复杂。
这里针对单片机RAM资源少、运算速度慢的特点，提出一种切实可行的快速傅里叶变换算法实现频谱显示。
2 系统整体设计及原理该系统设计由单片机SST89V58RD2、音频数据采样电路、A/D转换电路、频谱显示电路等部分组成。
图1为系统整体设计原理框图。
该系统从功能上可划分成3部分：(1)音频数据采集电路实现模拟音频信号的采样保持和量化处理，包括音频采样电路和加转换电路；(2)频谱显示电路实现模拟音频信号频谱的分段显示，它将音频信号频谱划分成14段，每段按照14级量化，由VFD显示器件显示；(3)主控制器采用SST89V58RD2单片机。
在完成系统其他控制任务的前提下，充分利用单片机剩余计算资源，采用优化FFT算法计算音频信号频谱，并将计算结果输出到频谱显示电路。
3 音频信号的采集和预处理3．1 采样频率根据香农采样定理，一般采样频率至少应为所采样音频信号最高频率的2倍。
由于人耳能够感受的频率为20 Hz~20 kHz，所以理论上采样频率最高取40 kHz。
目前工业上广泛采用的采样频率大致有3种：44 kHz、16 bit的声音称作CD音质：22 kHz、16 bit的声音效果近似于立体声广播(FMStereo)，称作广播音质；11 kHz、8 bit的声音称作电话音质。
本文为提高频谱计算的精度，拟采用40 kHz的采样频率和8Bit的数据位长。
3．2 样本大小。
FFT至简设计法实现法_FFT算法_蝶形运算
DIT-FFT 至简设计实现法1、 DIT-FFT 算法的基本原理有限长序列x n 的N 点DFT 定义为：X (k )=∑x (n )W N Kn N−1n=0,式中W N=e−j2πN。
DFT 在实际应用中很重要，但是如果直接按DFT 变换进行计算，当序列长度N 很大时，计算量会非常大，所需时间也很长，因此常用的是DFT 的一种快速计算算法，简称FFT 。
最常用的FFT 算法是基于时间抽取的基2-FFT 算法和基于频率抽取的基2-FFT 算法，这种算法的特点在于FFT 会把一次大的DFT 分割成几个小的DFT ，这样递归式地细分下去，例如有8个采样点的FFT ，首先会把最外层的8点运算分成两个4点FFT 的奇偶组合，第二层FFT 又分成四个两点FFT 的奇偶组合，并且由此计算出的频谱中很有趣的一点在于对于实数输出的数组，后面一半和前面一半正好对称相同，对于虚数输出的数组，后面一半是前面数组对称后乘上负1，因此，我们只需要算出FFT 的一半即可求出全部。
本设计讨论的是基于至简设计法实现按时间抽选的基2-FFT 算法（即DIF-FFT ）实现过程，支持N 由8到1024。
图 1按时间抽取的基2-FFT 算法蝶形运算流图（N=8）2、蝶形运算至简实现过程2、1 模块划分图 2蝶形运算模块框图本模块包括三个RAM模块（RAM1，RAM2，RAM3）与一个DFT模块，各模块功能如下：1）RAM1模块：在开始进行蝶形运算前，全部采样点（如图1所示的x(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(1)、x(5)、x(3)、x(7)）已经按照倒位序二进制的地址依次存储在RAM1模块中，即地址0保存了采样点x(0)，地址1保存了采样点x(4)。
选用双端口RAM1可以同时对两点采样数据(如图1的x（0）、x(4))进行读、写操作。
2）RAM2模块：RAM2模块也是采用双端口输入输出，可同时对两点数据进行读、写操作。
数字信号处理期末考试题
一、填空：1、 数字信号处理内容十分丰富，但数字滤波和数字频谱分析是其中最重要的内容。
2、 离散时间信号是指时间上取离散值，而幅度上取连续值的信号。
3、 与模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、可靠性好、便于大规模集成、灵活性好，可以分时多路复用、易实现线性相位以及多维滤波的特点。
4、 数字信号处理的应用技术有滤波、变换、调制解调、均衡、增强、压缩、估值、识别、产生等，应用方式可分为数据的非实时处理、数据的实时处理、系统或设备的设计与模拟。
5、 单位抽样序列的定义式是：0001)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ，单位阶跃信号的定义为：0001)(<≥⎩⎨⎧=n n n u 。
6、 一般任意序列可表述为：∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ。
7、 若对于每个有界的输入x (n )，都产生一有界的输出y (n )，则称该系统为稳定系统，其充要条件是：∞<∑∞-∞=|)(|k k h .8、 若系统在n 0时的输出只取决于其输入序列在n ≤n 0时的值，则称该系统为因果系统。
其充要条件是：当n ＜0时，h (n )=0。
非因果系统在物理上是不可实现的。
9、 n x (n )的Z 变换为-zdX(z )/dz ，收敛域为：R x -＜|z |＜R x +。
10、 DFT 的循环位移特性可表述为：DFT[x (n +m )]= W N -kmDFT[x (n )]。
11、 对于长序列用循环卷积分段计算线性卷积时一般采用重叠相加法。
12、 美国德州仪器公司生产的DSP 芯片TMS320系列属于通用DSP 芯片，它采用了不同于通用计算机CPU 的哈佛结构。
13、 FIR 数字滤波器的优点是用较高的阶数为代价换来的。
14、 FIR 数字滤波器的设计一般有窗函数法和频率抽取法，此外还有等纹波优化设计法。
15、 IIR 数字滤波器的设计分为模拟转化法和直接法两种。
16、 双线型Z 变换通过变换关系：s=(z-1)/ (z+1)，将s 平面映射到z 平面。
进行蝶形运算
/
2)
W W n 2 NN
nr
,
0 r N / 21
n0
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17
按频率抽取基-2 FFT （DIF）
上述过程可由下图表示
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按频率抽取基-2 FFT （DIF）
与DIT类似，采用上述方法，一直进行r-1次分解，直到最后化成
6
（9）
蝶运算
以N=8 时的DFT为例,可以分解为两个4点的DFT
(1) n为偶数时
xe (0) x(0) xe (1) x(2) xe (2) x(4) xe (3) x(6)
(2) n为奇数时
xo (0) x(1) xo (1) x(3) xo (2) x(5) xo (3) x(7)
输出序号 0 1 2 3 4 5 6 7
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DIT算法结构
N=8时，共r=3级，每级8/2=4个蝶形单元； m=0级，共g=4组，每组含b=1个蝶形单元； m=1级，共g=2组，每组含b=2个蝶形单元； m=2级，共g=1组，每组含b=4个蝶形单元；
13
进行4点的DFT，得X e (k)
3
Xe(k) x(2r)W4rk , k 0,1,2,3 r0
进行4点DFT，得Xo (k)
X (0) X (1) X (2) X (3)
3
Xo (k) x(2r 1)W4rk , k 0,1, 2,3 r0
蝶运算
(3)对 X e(k) 和 Xo(k) 进行蝶形运算 前半部为X(0)-X(3),后半部分为X(4)-X(7)，整个过程如下图所示:
傅立叶变换
*
正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_
x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 )
\right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha
f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
FFT与DWT(快速傅里叶变换和离散小波变换)
10 快速傅氏变换和离散小波变换长期以来，快速傅氏变换(Fast Fourier Transform)和离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。
各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 快速傅里叶变换FFT离散傅里叶变换是20世纪60年代是计算复杂性研究的主要里程碑之一，1965年Cooley 和Tukey 所研究的计算离散傅里叶变换(Discrete Fourier Test)的快速傅氏变换(FFT)将计算量从О(n 2)下降至О(n log n )，推进了FFT 更深层、更广法的研究与应用。
FFT 算法有很多版本，但大体上可分为两类：迭代法和递归法，本节仅讨论迭代法，递归法可参见文献[1]、[2]。
1.1.1 串行FFT 迭代算法假定a [0],a [1], …,a [n -1] 为一个有限长的输入序列，b [0], b [1], …,b [n -1]为离散傅里叶变换的结果序列，则有：)1,...,2,1,0(][][10-==∑-=n k W k a k b n m km n，其中 W ni n e π2=，实际上，上式可写成矩阵W 和向量a 的乘积形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1210)1)(1()1(2)1(0)1(2420121000001210n n n n n n n n a a a a w w w w w w w w w w w w w w w w b b b b 一般的n 阶矩阵和n 维向量相乘，计算时间复杂度为n 2，但由于W 是一种特殊矩阵，故可以降低计算量。