按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现

按时间抽取的基2FFT 算法分析及MATLAB 实现

一、DIT-FFT 算法的基本原理

基2FFT 算法的基本思想是把原始的N 点序列依次分解成一系列短序列，充分利用旋转因子的周期性和对称性，分别求出这些短序列对应的DFT ，再进行适当的组合，得到原N 点序列的DFT ，最终达到减少运算次数，提高运算速度的目的。

按时间抽取的基2FFT 算法，先是将N 点输入序列x(n)在时域按奇偶次序分解成2个N/2点序列x1(n)和x2(n)，再分别进行DFT 运算，求出与之对应的X1(k)和X2(k)，然后利用图1所示的运算流程进行蝶形运算，得到原N 点序列的DFT 。只要N 是2的整数次幂，这种分解就可一直进行下去，直到其DFT 就是本身的1点时域序列。

图1 DIT-FFT 蝶形运算流图

二、DIT-FFT 算法的运算规律及编程思想

1.原位计算

对N=M 2点的FFT 共进行M 级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。在同一级中，每个蝶的输入数据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元)，经过M 级运算后，原来存放输入序列数据的N 个存储单元中可依次存放X(k)的N 个值，这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。

2.旋转因子的变化规律

N 点DIT ―FFT 运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子p

W N ，p 称为旋转因子的指数。例如N ＝8 ＝3

2 时各级的旋转因子：

第一级：L=1， 有1个旋转因子：p

W N =J

/4W N =J

2L W J=0

第二级：L=2，有2个旋转因子：p W N =J /2W N =J

2L W J=0,1

第三级：L=3，有4个旋转因子：p W N =J W N =J

2L W J=0,1,2,3 对于N ＝M

2的一般情况，第L 级共有1

-L 2

个不同的旋转因子：

p W N =J 2L W J=0,1,2,… ,1

-L 2－1

L 2=M 2×M

-L 2

= N ·M

-L 2

故： 按照上面两式可以确定第L 级运算的旋转因子

3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目

第L 级FFT 运算中，同一旋转因子用在L -M 2个蝶形中； 4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离” 第L 级中，蝶距：D=L 2； 5、同一蝶形运算两输入数据的距离

在输入倒序，输出原序的FFT 变换中，第L 级的每一个蝶形的2个输入数据相距：B=1-L 2。 6、码位颠倒

输入序列x(n)经过M 级时域奇、偶抽选后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。

将十进制顺序数用I 表示，与之对应的二进制是用IB 表示，十进制倒序数用J 表示，与之对应的二进制是用JB 表示。十进制顺序数I 增加1，相当于IB 最低位加1且逢2向高位进1，即相当于JB 最高位加1且逢2向低位进1。JB 的变化规律反映到J 的变化分为两种情况，若JB 的最高位是0（J

7、蝶形运算的规律

序列经过时域抽选后，存入数组中，如果蝶形运算的两个输入数据相距B 个点，应用原位计算，蝶形运算可表示成如下形式：

8、 DIT-FFT 程序框图

根据DIT-FFT 原理和过程，DIT-FFT 的完整程序框图如图2：

(1)倒序:输入自然顺序序列x(n)，根据倒序规律，进行倒序处理；

(2)循环层1:确定运算的级数，L=1~M (N=M

2)；确定一蝶形两输入数据距离B=1

-L 2

p=J ×2M-L ， J=0,1,2,… ,2L-1－1

(3)循环层2:确定L 级的B=1-L 2个旋转因子；旋转因子指数p=J ×L -M 2，J=0~B-1；

(4)循环层3:对于同一旋转因子，用于同一级L -M 2个蝶形运算中：k 的取值从J 到N-1，步长为L 2 (使用同一旋转因子的蝶形相距的距离) (5)完成一个蝶形运算。

开 始

送入x (n )，M

N ＝2

M 倒 序

L ＝1 , M Ｊ＝0 , B － 1

P ＝2

M －L J k ＝ J , N －1 , 2

L p

N p N W B k X k X B k X W B k X k X k X )()()()()()(+-⇐+++⇐输 出

结 束

B 2 L －1

图2 数据倒序程序框图 图3 DIT-FFT 的完整程序框图

三、程序源代码

设计函数myDitFFT(xn)完成一个序列的DIT-FFT 运算：

function y=myDitFFT(xn) M=nextpow2(length(xn)); N=2^M;

disp('调用fft 函数运算的结果:'), fftxn=fft(xn,N); if length(xn)

xn=[xn,zeros(1,N-length(xn))]; end

for m=0:N/2-1;%旋转因子指数范围