基3的27点fft算法和蝶形图
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基3的27点FFT 算法和蝶形图
公式推导
设序列x (n )的长度为N ，且满足N =2M 。将x (n )分成三个N /3的序列：
1()(3)x r x r = 0,1,
,
13N
r =- 2()(31)x r x r =+ 0,1,
,13N
r =- 3()(32)x r x r =+ 0,1,
,13
N
r =- 则x (n )的DFT 为：
1113
3
3
3(31)(32)
()(3)(31)(32)N N N kr k r k r N N N
r r r X k x r W x r W x r W ---++====++++∑∑∑ 11133333231230
()()()N
N N kr k
kr k kr N N N N N r r r x r W W x r W W x r W ---====++∑∑∑
因为：
22333
3
j
kr N j
kr kr
kr N
N
N
W
e
e
W ππ--=== 所以：
111333
21230
3
3
3
()()()()N
N N kr k
kr k kr N N N N N r r r X k x r W W x r W W x r W ---====++∑∑∑
2123()()()k k
N N X k W X k W X k =++ 0,1,2,,
k N =-
其中X 1(k )、X 2(k )和X 3(k )分别为x 1(r )、x 2(r )和x 3(r )的N /3点DFT ，即：
13
1110
3
3
()()[()]N kr
N N r X k x r W DFT x r -===∑
132220
3
3
()()[()]N
kr
N N r X k x r W DFT x r -===∑
133330
3
3
()()[()]N
kr
N N r X k x r W DFT x r -===∑
由于X 1(k )、X 2(k )和X 3(k )均以N /3为周期，所以X (k )又可以表示成如下形式：
2123()()()()k k
N N X k X k W X k W X k =++ 0,1,2,
,
13
N
k =- 2()33123()()()()3N N k k N N N X k X k W X k W X k +++=++ 0,1,2,,1
3N
k =- 222()331232()()()()3N N
k k N N N X k X k W X k W X k +++=++ 0,1,2,,1
3
N
k =- 又因为：
2241
33
33322242
33
3
3N
N N j
j
N N N
N N j
j
N N
W e
e
W
W W
e
e
W ππππ----=======
所以代入后得：
2123()()()()k k
N N X k X k W X k W X k =++ 0,1,2,
,
13
N
k =- 12213233()()()()3k k N N N X k X k W W X k W W X k +
=++ 0,1,2,,13N k =- 212132332()()()()3k k
N N N X k X k W W X k W W X k +
=++ 0,1,2,,13
N k =- 27点基3的蝶形图
首先定义如下运算符号：
B
B
B
27点基3的蝶形图的一次时域抽取分解运算图
x(0) x(3) x(6) x(9) x(12) x(15) x(18) x(21) x(24)
x(1) x(4) x(7) x(10) x(13) x(16) x(19) x(22) x(25)
x(2) x(5) x(8) x(11) x(14) x(17) x(20) x(23) x(26)
(0)
(2) (1)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(11) (10)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(20) (19)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
x (0)x
x x (3)x x x (6)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X(0)X (2)X (1)X (3)X (5)X (4)X (6)X 8)X (7)X (9)(11)(10)(12)(14)(13)(15)(17)(16)(18)(20)(19)(21)(23)(22)(24)(26)
(25)