《不等式与不等式组》经典例题分析

不等式与不等式组经典例题分析

【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于。

【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，所以我们应该先解不等式.

解：原不等式去分母，得

3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8.

满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.

这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.

【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）.

【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就能够求出问题的答案.

解：关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为

关于x的方程的解为

由题意得，解得.所以选D.

【例3】如果，2+c>2，那么（）.

A. a-c>a+c

B. c-a>c+a

C. ac>-ac

D. 3a>2a

【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便能够找到准确的答案.

解：由

所以a<0.

由2+c>2，得c>0，答案：B

【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .

【分析】因为四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就能够求出.

解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.

由<19，

解得7

因为m 为整数，所以m ＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，所以最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.

因为绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法实行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式实行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在实行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．

【例5】解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：

解：（1）当x ≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，

解得x<-7，结合x ≤

，故x<-7是原不等式的解； （2）当

＜x ≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1， 解得是原不等式的解；

（3）当x ＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，

解得x ＞-9，结合x ＞5，故x ＞5是原不等式的解．

综合（1），（2），（3）可知，是原不等式的解．

【例6】关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+b x a a b x 23

223的解集为，求a 、b 的值。 【分析】解此类不等式，是用构造方程法：先解出不等式组的解集，再根据已知条件列成方程组，解出结果。

解：解原不等式组的解为2a-3b ≤x ≤2b-2/3a

由已知条件得方程组2a-3b=-5

2b-2/3a=2

解得：a=-2,b=1/3

【例7】若不等式⎩

⎨⎧>+<1-2m x 1m x 无解，则m 的取值范围是 . 【分析】解无解类不等式组，常用反解法：

解：由原不等式组得2m-1

如：关于x 的不等式组无解，求a 的取值范围 。

答案：a≥3

【例8】若不等式组的解集为，求a 的取值范围。

解：由题意得：a－1≤3且32，则m的取值范围是

解：解原不等式组得：x>2

x>m+1

由不等式组解集是x>2，根据大大取大的法则得：m+1≦2，解得：m≤1

【例10】不等式组x +9﹥5x+1

x﹤m+1 的解集是x﹤2，则m的取值范围是

解：解原不等式组得：x﹤2

x﹤m+1

由不等式组解集为x﹤2，根据同小取小的法则得：m+1﹥2，所以m﹥1

【例11】不等式组x +9﹤5x+1

x﹤m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是

解：解原不等式组得：x>2

x﹤m+1

由不等式组解集为x>2所以m的范围为空集，无解。

注意：一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小时，取值范围为空集（如例11形式）。

【例12】如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有多少个？请说明理由。

分析解答：把原不等式组化为最简形式，得

因为不等式组有解，解集必为

又因为它的整数解仅为1，2，3，所以

从而

于是，整数a取1～9共9个整数，整数b取25～32共8个整数。

故有序数对（a，b）共有9×8即72对。

【例13】若不等式组有五个整数解，则a＝_________ 分析解答：把原不等式化为最简形式，得

因为不等式组有解，解集必有

又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－2，－1，0，1

故a的取值范围是

【例14】若不等式组的解集为，则的值为_______。

分析解答：把原不等式组化为最简形式，得

因为，所以

于是

解得a＝1，b＝－2

故

【例15】已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为。

解：第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k，

根据﹣1＜x﹣y＜0得到：﹣1＜1﹣2k＜0

即解得＜k＜1

k的取值范围为＜k＜1．

【例16】如果不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是。

解：由x+7＜3x+7移项整理得，2x＞0，∴x＞0，

∵不等式组的解集是x＞4，

∴n=4，

【例17】若不等式组有解，则m的取值范围是。

解：原不等式组可化为和，

（1）始终有解集，

则由（2）有解可得m＜2．由（1）、（2）知m＜2