(完整版)2011年辽宁高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }，则A I B = ( )A. {x 21|<<-x }B. {x 1|->x }C. {x 11|<<-x }D. {x 21|<<x }【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集. 【参考答案】D【试题解析】利用数轴可以得到A I B ={x 1|>x }I {x 21|<<-x }={x 21|<<x }. 2．i 为虚数单位，3571111i i i i+++= ( ) A. 0B. 2iC. 2i -D. 4i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算. 【参考答案】A 【试题解析】3571111i i i i 0i i i i +++=-+-+=. 3．已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0-=g a a b ，则=k ( )A. 12-B. 6-C. 6D. 12【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数. 【参考答案】D【试题解析】因为(2,1),(1,)k ==-a b ，所以2(5,2)k -=-a b ．（步骤1） 又(2)0⋅-=a a b ，所以0)2(152=-⨯+⨯k ，得12=k ．（步骤2）4．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则P ⌝为 ( )A. ∀n ∈N ，2n ≤1000B. ∀n ∈N ，2n ＞1000C. ∃n ∈N ，2n ≤1000D. ∃n ∈N ，2n ＜1000【测量目标】全称命题和特称命题的否定. 【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定. 【参考答案】A【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 ( )A. 2B. 4C. 8D. 16 【测量目标】等比数列的性质.【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比. 【参考答案】B【试题解析】设等比数列{a n }的公比为q ，116nn n a a +=Q ,11216n n n a a +++∴=，（步骤1）∴216,4q q ==（步骤2） 6．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a = ( )A.21 B. 32 C. 43D. 1 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数. 【参考答案】A【试题解析】∵ 函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数,∴(2)(2),f f -=2(41)(2)a --+--即2=(41)(2)a +-，解得12a =.7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B. 1C.54D.74【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离. 【参考答案】C【试题解析】设 A ，B 两点的横坐标分别为,m n 则由=3AF BF +及抛物线的定义可知132m n ++=, (步骤1) ∴1,2m n +=5.24m n +=（步骤2）即线段AB 的中点到y 轴的距离为5.4（步骤3）8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )A. 4B.32C. 2D.3【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积. 【参考答案】B【试题解析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ，（步骤1） 所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯．（步骤2） 9．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ( )A. 8B. 5C. 3D. 2【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图， 注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值． 【参考答案】C【试题解析】若输入n =4，则执行s =0，t =1，k =1，p =1，判断1<4成立，进行第一次循环；（步骤1）p =2，s =1，t =2，k =2，判断2<4成立，进行第二次循环；（步骤2） p =3，s =2，t =2，k =3，判断3<4成立，进行第三次循环；（步骤3） p =4，s =2，t =4，k =4，判断4<4不成立，故输出p =4（步骤4）.10．已知球的直径4SC A B =，，是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ∠=∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为( )A.33 B. 233 C.433 D.533【测量目标】球体和三棱锥的体积.【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.【参考答案】C【试题解析】设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边,4=SO 故2==BO AO ，(步骤1)且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴1()3S ABC S AOB C AOB AOB V V V S SO OC ---=+=+△=3344243312=⨯⨯⨯．（步骤2） 11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ( )A.（1-，1）B.（1-，+∞）C.（∞-，1-）D.（∞-，+∞）【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集. 【参考答案】B【试题解析】设()()(24)g x f x x =-+ , ()()2g x f x ''-=. （步骤1）因为对任意x ∈R ，2)(>'x f ，所以对任意x ∈R ，()0g x '>，则函数g (x )在R 上单调递增. （步骤2）又因为g (-1)=(1)(24)0f ---+=，故()0g x >,即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞（步骤3）12．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（π0,||2ωϕ><），y =)(x f 的部分图像如下图，则π()24f = ( )A. 2+3B.3C.33D.23- 【测量目标】)(x f =A tan （ωx +ϕ）的图象及性质.【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【参考答案】B 【试题解析】如图可知3ππ288T =-，即ππ24ω=，所以2=ω，（步骤1） 再结合图像可得ππ2π,82k k ϕ⨯+=+∈Z ，即πππ42k ϕ=+<，所以4143<<-k ，（步骤2）只有0=k ，所以π4ϕ=，又图像过点（0，1），代入得A tan π4=1，所以A =1，函数的解析式为π()tan(2)4f x x =+，则ππ()tan 3246f ==. （步骤3）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________． 【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程. 【参考答案】22(2)10x y -+= 【试题解析】直线AB 的斜率是311152AB k -==--，中点坐标是(3,2).故直线AB 的中垂线方程()223y x -=-，（步骤1）由()223,0,y x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得圆心坐标(2,0)C ，||r AC ===故圆的方程为22(2)10x y -+=.（步骤2）14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． 【测量目标】回归直线方程的实际应用.【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解． 【参考答案】0.254【试题解析】由于321.0254.0ˆ+=x y，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________． 【测量目标】等差数列的综合应用.【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项. 【参考答案】1-【试题解析】设等差数列的公差为d ，解方程组1116526,231,a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩得2d =-， (步骤1)541.a a d =+=-（步骤2）16．已知函数()e 2xf x x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系.. 【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围. 【参考答案】(],2ln 22-∞-【试题解析】函数()e 2xf x x a =-+有零点等价于()0,f x =即e 2xx a -+有解. 等价于2e xa x =-有解. (步骤1） 令()2e x g x x =-，∴()2e x g x '=-.当ln 2x >时，()0g x '<；当ln 2x <时，()0g x '>.（步骤2） ∴当ln 2x =时，()2e x g x x =-取到最大值2ln 22-，∴a 的取值范围是(],2ln 22-∞-.（步骤3）三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ． （I ）求ba； （II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.【试题解析】（I ）由正弦定理得，22sin sin sin cos 2sin B A B A A +=，即22sin (sin cos )2sin B A A A += (步骤1）故sin 2sin ,B A =所以2.ba=(步骤2）………………6分 （II ）由余弦定理和222(13)3,cos .2ac b a B c+=+=得(步骤1） 由（I ）知222,b a =故22(23).c a =+(步骤2）可得21cos ,2B =又cos 0,B >故2cos ,2B =所以45B =o . (步骤3） …………12分 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形, QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q ABCD -的的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值．【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.【考查方式】线线垂直⇒线面垂直, 给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积. 【试题解析】（I ）由条件知四边形PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . (步骤1）在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ=2PD ，则PQ ⊥QD (步骤2） 所以PQ ⊥平面DCQ . (步骤3） ………………6分 （II ）设AB =a .由题设知AQ 为棱锥Q ABCD -的高，所以棱锥Q ABCD -的体积311.3V a = (步骤1）由（I ）知PQ 为棱锥P DCQ -的高，而PQ，△DCQ的面积为22a ， 所以棱锥P DCQ -的体积为321.3V a =(步骤2） 故棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值为1 (步骤3）.……12分 19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．【测量目标】简单随机抽样，随机事件的概率，用平均数和方差估计总体的数字特征. 【考查方式】列出基本事件数，从而得出概率; 根据两类个体的平均数和方差来相互比较作出优化选择. 【试题解析】（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.（步骤1） 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1().6P A =（步骤2）………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(403397390404388400412406)400,8x =+++++++=甲2222222221(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8S =+-+-++-+++=甲（步骤1） ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(419403412418408423400413)412,8x =+++++++=乙2222222221[7(9)06(4)11(12)1]56.8S =+-+++-++-+=乙（步骤2） ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （步骤3） 20．（本小题满分12分）设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2.（I ）求a ，b 的值； （II ）证明：()22f x x -….【测量目标】函数的单调性和导数的关系，极值，不等式的证明.【考查方式】给出点坐标和切点斜率代入解析式中求出各参数，利用函数的单调性和导数来证明不等式. 【试题解析】 （I ）()12.bf x ax x'=++0x ≠（步骤1） …………2分 由已知条件得(1)0,(1) 2.f f =⎧⎨'=⎩即10,12 2.a a b +=⎧⎨++=⎩解得1, 3.a b =-=（步骤2） ………………5分（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+（步骤1）设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=-（步骤2） 01,()0;1,()0.x g x x g x ''<<>><当时当时所以()g x 在(0,1)单调增加，在(1,)+∞单调减少.而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>-剟故当时即（步骤3） …………12分21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．【测量目标】椭圆方程，直线斜率，直线与椭圆的位置关系，直线与直线的平行，不等式的应用.【考查方式】给出两椭圆之间的线段关系，进而设出椭圆和直线方程，求出对应线段的比例关系；将平行直线转化为斜率相等的条件，代入式后求出离心率的范围.【试题解析】（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>> 设直线:(||)l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- （步骤1）………………4分 当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === （步骤2）………………6分 （II ）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e-=-=--g (步骤1) 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得 所以当202e <…时，不存在直线l ，使得BO //AN ； 当212e <<时，存在直线l 使得BO //AN . （步骤2） ………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．【测量目标】直线与圆的位置关系，直线的平行.【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行；结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.【试题解析】（I ）因为EC =ED ，所以∠EDC =∠ECD .（步骤1）因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC =∠EBA .（步骤2）故∠ECD =∠EBA ，所以CD //AB . （步骤3）…………5分（II ）由（I ）知，AE =BE ，因为EF =EG ，故∠EFD =∠EGC从而∠FED =∠GEC . (步骤1)连结AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE =∠GBE ，（步骤2）又CD //AB ，∠EDC =∠ECD ，所以∠F AB =∠GBA .所以∠AFG +∠GBA =180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 （步骤3）…………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=π4-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．【测量目标】圆和椭圆的参数方程，梯形的面积.【考查方式】根据射线与圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数，进而求出交点横坐标由此得出梯形的面积.【试题解析】（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.（步骤1）当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当π2α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（步骤2）（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和（步骤1） 当π4α=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为x '= 当π4α=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，（步骤2）因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= （步骤3）…………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|2x -||-5x -|．（I ）证明： 3()3f x -剟；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．【测量目标】不等式的证明，分段函数和集合的基本运算.【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.【试题解析】（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩„…(步骤1)当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -剟 （步骤2）………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x -+时剠的解集为空集；当225,()815{|5x f x x x x x <<-+-时的解集为≤厔； 当25,()815{|26}x f x x x x x -+时的解集为厖剟.（步骤1）综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x -+的解集为厔? （步骤2）…………10分。