常微分方程考试大纲

常微分方程考试大纲Ⅰ. 课程性质本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。

通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。

是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。

Ⅱ. 课程设置目的与要求通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

Ⅲ. 课程内容与考核目标第一章 绪论（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。

掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。

理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。

（二）课程主要内容1．微分方程：某些物理过程的数学模型2．基本概念（1）常微分方程和偏微分方程。

（2）线性和非线性。

（3）解和隐式解。

（4）通解和特解。

（5）积分曲线和方向场。

（三）考核知识点1．微分方程的数学模型。

2．微分方程的基本概念。

（四）考核要求1．微分方程：某些物理过程的数学模型（1）理解：微分方程的数学模型。

2．基本概念（1）理解：微分方程的基本概念。

第二章 一阶微分方程的初等解法（一）学习目的和要求通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。

理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程。

掌握四类典型的一阶隐方程的解法。

（二）课程主要内容1．变量分离方程与变量变换（1）变量分离方程。

（2）可化为变量分离方程的类型、应用举例。

2．线性方程与常数变易法3．恰当方程与积分因子法4．一阶隐方程与参数表示（三）考核知识点1．变量分离方程与可化为变量分离方程的解法。

2．线性方程的常数变易法。

3．恰当方程与积分因子法。

4．一阶隐方程的参数方法。

（四）考核要求1．变量分离方程与变量变换（1）熟练掌握：变量分离方程与变量变换。

2．线性方程与常数变易法（1）熟练掌握：线性方程与常数变易法。

3．恰当方程与积分因子法（1）掌握：恰当方程与积分因子法。

4．一阶隐方程的参数方法（1）掌握：一阶隐方程的参数方法。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理（一）学习目的和要求通过本章学习，掌握一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理和证明方法。

理解常微分方程初值问题的解的延拓和解对初值以及参数的连续依赖性和可微性定理。

了解一阶常微分方程奇解的概念和求奇解的方法。

（二）课程主要内容1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法（1）存在唯一性定理。

（2）近似计算与误差估计。

2．解的延拓3．解对初值的连续性和可微性定理4．奇解（1）包络和奇解。

（2）克莱罗（Clairaut）方程。

（三）考核知识点1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法2．奇解（四）考核要求1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法（1）掌握：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。

2．奇解（1）理解：求奇解。

第四章 高阶微分方程（一）学习目的和要求通过本章学习，掌握线性微分方程的解的性质和通解结构。

掌握常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程的解法。

掌握常数变易法、比较系数法求特解。

理解高阶常微分方程的降阶解法的思想，掌握二阶常微分方程的降阶解法。

了解二阶齐线性微分方程的幂级数解法的思想。

（二）课程主要内容1．线性微分方程的一般理论（1）齐线性方程的解的性质与结构。

（2）非齐线性方程与常数变易法。

2．常系数线性方程的解法3．高阶方程的降阶和幂级数解法（三）考核知识点1．线性微分方程的一般理论2．常系数线性方程的解法3．高阶方程的降阶和幂级数解法（四）考核要求1．线性微分方程的一般理论（1）掌握：齐线性方程的解的性质与结构。

（2）掌握：非齐线性方程与常数变易法。

2．常系数线性方程的解法（1）熟练掌握：常系数线性方程的解法。

3．高阶方程的降阶和幂级数解法（1）理解：高阶方程的降阶法。

（2）理解：高阶方程的幂级数解法。

第五章 线性微分方程组（一）学习目的和要求通过本章学习，掌握线性微分方程组的向量、矩阵表示法，以及与高阶线性常微分方程的关系。

理解一阶n维向量常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理和证明方法。

掌握线性微分方程组的通解结构、常数变易公式、标准基解矩阵。

掌握常系数线性微分方程组的基解矩阵的求解方法。

（二）课程主要内容1．存在唯一性定理（1）记号和定义。

（2）存在唯一性定理。

2．线性微分方程组的一般理论（1）齐线性微分方程组。

（2）非齐线性微分方程组。

3．常系数线性微分方程组（1）矩阵指数exp A的定义和性质。

（2）基解矩阵的计算公式。

（三）考核知识点1．线性微分方程组的一般理论。

2．常系数线性微分方程组。

（四）考核要求1．线性微分方程组的一般理论（1）熟练掌握：基解矩阵。

2．常系数线性微分方程组（1）掌握：基解矩阵的计算公式。

第六章 非线性微分方程和稳定性（一）学习目的和要求理解非线性微分方程的基本理论和运动稳定性概念。

掌握二维线性微分方程孤立奇点的分类，并画出相图。

掌握按线性近似判定奇点的分类与稳定性。

（二）课程主要内容1．引言2．相平面（三）考核知识点1．奇点计算。

（四）考核要求1．相平面（1）了解：奇点计算。

Ⅳ. 有关说明与实施要求（一）关于考核目标说明为了明确对考核目标的要求，我们把基本要求分为由低到高五个层次：了解、理解、掌握、熟练掌握，四个层次分别规定了应当达到的能力要求，四个层次是递进等级关系。

了解：指能够对有关名词、概念、知识、术语做出正确解释，并能记住和正确表述出来。

理解：在识记的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融会贯通，能够正确运用。

掌握：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题。

熟练掌握：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决问题。

（二）关于教材及主要参考书教材：王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编《常微分方程》(第二版)，高等教育出版社，1983 参考书：1、《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，20052、《常微分方程讲义》（第二版），叶彦谦编，人民教育出版社，19823、《常微分方程教程》，丁同仁等编，高等教育出版社，19914、《常微分方程习题解》（第一版），庄万，山东科学技术出版社，20045、《偏微分方程数值解法》（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，20046、《微分方程定性理论》，张芷芬丁同仁黄文灶董镇喜著，科学出版社，19857、《微分方程数值解法》，李荣华，高等教育出版社，20058、《微分方程模型与混沌》，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，19999、《差分方程和常微分方程》，阮炯编著，复旦大学出版社，200210、《Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations》，L.Hörmander,世界图书出版公司北京公司，200311、《Ordinary Differential Equations》，V.I.Arnol’d,世界图书出版公司北京公司，200312、《Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations Second Edition》，V.I.Arnol’d,世界图书出版公司北京公司，200413、《Analytic Methods for Partial Differential Equations》，G.Evans, J.Blackledge and P.Yardley,世界图书出版公司北京公司，200414、《Symmetry and Integration Methods for Differential Equations》，George W.Bluman Stephen C.Anco,世界图书出版公司北京公司，2004（三）关于考试命题的若干要求1. 本课程的考试命题，应根据本考试大纲所规定的考试内容和考试目标来确定考试范围和考核要求，不要任意扩大或缩小考试范围，提高或降低要求。

考试命题要覆盖到各章，并适当突出重点章节，体现本课程的内容重点。

2. 本课程在试题中对不同能力层次要求的分数分布，一般为：了解占10%；理解占30%；掌握占35%，熟练掌握占25%。

3. 试题要合理安排难度结构。

试题难易度可分为易、较易、较难、难四个等级。

每份试卷中，不同难易度试题的分数比例一般为：易占20%；较易占30%；较难占30%；难占20%。

必须注意：试题的难易度与能力层次是一个概念，在各能力层次中都会存在不同难度的问题，切勿混淆。

4. 本课程考试试卷采用的题型，一般有：单项选择题、填空题、计算题、简答题、证明题等。