《常微分方程》期末模拟试题
常微分方程期末考试题大全(东北师大)
证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。
证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。
应用洛比达法则得。
证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。
由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。
分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。
任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。
这就证明了方程组最多有个线性无关的解。
证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。
证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。
用常数变易法，求原方程的特解。
设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。
证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。
，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。
，，是方程组（1）的线性无关的解组。
证先证明，，.。
.，都是方程组（1）的解。
由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。
由易得。
(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。
再证明向量组，，.。
，线性无关。
因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。
给，两边关于求阶导数，则必有。
同理，可得,。
故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。
(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)
模拟试题1一、填空题: (每小题2分,共8分)1. 方程()()0dyp x y Q x dx++=的通解是 ① ; 2. (,)(,)0M x y dx N x y dy +=是全微分方程(恰当方程)的充要条件② ;3. 方程432432250d y d y d ydt dt dt++=的通解是 ③ ;4. 方程 ''2'x y y y xe -+=的特解可设为 ④ . 二、是非判断题: (每小题2分,共12分)1. 如果()()X t i t ϕψ=+是微分方程组()()dXA t X b t dt=+的复值解(这里()t ϕ、()t ψ、()b t 都是实向量函数,()A t 是实矩阵函数),那么()X t ψ=是微分方程组()()dXA t X b t dt=+的解; 2. 方程2220d ya y dx+=(a 是实数)的通解是12cos()sin()y C x C x =+;3. 如果存在定负函数V (X ),使得V 通过方程组()dXf X dt=其中()0f X ≠）的全导数dtdV定正,那么这个方程组的零解渐近稳定; 4. 方程''()'()()y a x y b x y c x ++=(其中a (x ),b(x ),c(x )连续)可以有三个线性无关的解;5. 如果()t Φ、()t ψ均为方程组()dXA t X dt=的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C 使得()()t t C Φ=ψ成立;6. 方程dxdy:x =0时y =0的解只有y =0 .三、(24分)求解下列各方程:1． dx dy =y x xy y 321++; 2.dx dy =331y x xy +;3. xy dy y e dx x +=;4. 220dy dy x y x dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.四、(20分)求下列各方程的通解:1. '''28sin 2x x x t +-=;2. 2''4'60t x tx x -+=.五、(14分)解方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=z x dt dz y x dtdyz y dt dx六、(12分)已知微分方程'()y y g x +=,其中g(x )=⎩⎨⎧>≤≤.1,010,2时当时，当x x试求一连续函数y=y(x ),满足条件y(0)=0,且在区间(0,1),(1,)+∞内满足上述方程.七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:1．⎪⎩⎪⎨⎧---=+=y y e dt dy y x dt dx xcos 32sin 82 2．⎪⎩⎪⎨⎧--=-=53y x dt dy x y dt dx模拟试题2一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1．方程0)(24=+'-'''y x y y 是 阶是(非) 线性方程.2．若方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（(,)(,)M x y N x y ，连续）是全微分方程，则(,)(,)M x y N x y ，满足关系 .3．李普希兹条件是保证初值问题 00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩解唯一性的 条件.4．对于一阶方程)()(x q y x p dxdy+=（p (x ),q (x )∈C (a ,b )）, 则其任一解的存在区间是 .5．对于欧拉方程 0222=+-y dx dy x dxy d x ，只需作变换 ，即可将其化为常系数线性方程.6．对于二阶方程0)(=+''x t a x ，其由解)(),(21t x t x 所构成的Wronski行列式必为 .7．对于常系数线性齐次方程组X =X 'A ，若常系数矩阵A 的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当+→t ∞时 .8．单摆运动方程0sin =+'+''ϕϕμϕlgm 可化为一阶方程组 .二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）1．y x e dx dy-=2．22y x ydx dy -=3．02)(2=+-xydy dx y x4.2)(22x dx dy x dx dy y +-=5.12+=-''t x a x6.t x x sin =+''7.0)(2='+''x x x三．（本题11分）1．何谓)(t Φ是线性齐次方程组X =X 'A 的基解矩阵？2．试求系数矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332上述方程组的基解矩阵.四．讨论题：（本题12分） 研究方程22xy dx dy n -= 1.当n =1, 方程是什么类型的方程？并求解之。
《常微分方程》期末练习
B）一阶变量可分离方程 D）一阶隐方程 （ C）特解； D）不是解 ）
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
x
0
e t dt 是 y"2 xy' 0 的
B）通解；
2
一．填空题（15 分）
1． 已知一曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 y 则曲线方程为： 2．二阶线性常系数非齐次方程 x x (t 1)e 的特解可待定为：
（ ； ）
*
则下列结论正确的是： A） x (t ) cos 2t 是（1）式的解
x * (t ) =
线
1 8
3．设 X 1 (t ), , X n (t ) 是一阶 n 维齐线性方程组
dX (t ) A(t ) X (t ) 的 n 个线性无关解， dt
封
X * (t ) 是非齐线性方程组
t
A）解；
1 ：且曲线过（1，1）点， x2
3．已知 x * (t ) ie 2 it i cos 2t
1 1 1 sin 2t 是方程 x 4 x 4 x e 2it 的解 8 8 8 记方程： x 4x 4x cos 2t （1） （2） x 4x 4x sin 2t （3） x 4x 4x cos 2t sin 2t
1.
dy xy x 2 y 4 dx
2.
x y x x t t y 2 x y e
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
四．求下列方程的通解或特解（共 42 分）
线
1． （6 分）求方程 3x y dx 2 x ydy cos xdx 0 的满足初始条件 y( ) 1 解
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
(完整版)常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
常微分方程期末考试练习题及答案.
（ c>0） .
即： t 1
cy ，变量回代得：
x ln
c1 y +1 ( c1
c)
y
类型二： 形式： dy f ( a1x b1y c1 )
dx
a 2 x b2 c2
解法： 1. 当 c1=c2=0 时，
y
dy
f ( a1x b1y )
a1 f(
b1 x )
g( y)
dx
a2 x b2 y
y a2 b2 x
dx
分离变量得： dy dx ，两边同时积分，
y
得： y cex ，因而可设原方程的通解为： y c( x)ex ，则 dy dc( x) ex exc( x) ，
dx dx
将之入原方程，得：
dc( x) ex exc(x) c( x)ex sin x ，即： dc( x)
dx
dx
两边积分得： c(x) sin xe xdx ，而
a2 b2
a1x b1y c1 0
解方程组｛ a2x b2y c2 0 ，求交点 ( , ) , 令 x=X+α ， y Y ，则原方程化为： dX ( Y )
dY X
这是齐次方程。
例 5. 求解方程 dy 2x y 1 .
dx x 2 y 1
x1
解：｛ 2x y 1 0 得交点
x 2y 1 0
｛
y
M N ， (x, y) D .
yx
3. 解的形式： u c.
4. 解法： a. 朴素化简法：由 u M ，得 u( x, y) M ( x, y)dx ( y) ，
x
再由 u N ，得 ( y) y4 N (x, y)
常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6）学院 _＿＿_＿_ 班级 ＿__＿＿__ 学号 _____＿＿ 姓名 _______成绩 ______＿一． 填空题 (共30分，９小题，1０个空格,每格3分)。
1．当______＿___＿＿＿__时,方程Ｍ（x ，y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
２、_____________＿__称为齐次方程。
3、求dxdy =f （x,ｙ)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程＿_＿_____＿___________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dxdy = 的解 y ＝),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是＿______＿_＿。
5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是___________＿_＿_＿_＿＿_＿＿_＿________＿____＿___＿。
6、方程组x t A x )(/=的_＿_＿_＿_＿__＿______称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵,则e ｘpAt =__＿_＿＿＿_____。
８、满足_______＿______＿_＿__的点(**,y x )，称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部____＿__＿时，零解是稳定的,对应的奇点称为____＿____＿_。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
１、求解方程：dx dy =312+++-y x y x ２.解方程： （２x ＋2y-1)dx ＋(ｘ+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程:t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dt dx =+=, （1）的奇点类型，其中ａ,b,c 为常数,且a ｃ≠0。
常微分方程期末试题答案
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
12． n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（ A ）构成一个线性空间
（ C）构成一个 n 1 维线性空间
（ B）构成一个 n 1 维线性空间
（ D ）不能构成一个线性空间
13．方程 y
y 2 x 2 2 （ D ）奇解．
（ A ）有一个
（ B ）有无数个
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分）。
e
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
件是 线性无关
8．方程 y 4 y 4 y 0 的基本解组是 e 2x , xe 2x
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）。
dy
9．一阶线性微分方程
p(x) y q( x) 的积分因子是（
dx
A ）．
（A）
p ( x)dx
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n个。
2、一阶微分方程2dy x dx的通解为2y xC （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21y x，与直线y=2x+3相切的解是24yx，满足条件303ydx 的解为22y x。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。
4、对方程2()dy x y dx作变换u x y，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()y x C x。
5、方程过点共有无数个解。
6、方程''21yx的通解为4212122xxyC x C ，满足初始条件13|2,|5xxy y 的特解为421912264xxyx。
7、方程无奇解。
8、微分方程2260d y dy ydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdx dz z ydx。
9、方程的奇解是 y=0。
10、35323d y dy x dxdx 是 3阶常微分方程。
11、方程22dy xy dx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy 平面。
12、微分方程22450d y dy y dxdx通解为512xxy C e C e，该方程可化为一阶线性微分方程组45dy zdx dz z ydx。
21d d y xy )1,2(xxyxy d d y xy d d13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yx yx 成为其基本解组的充要条件是线性无关。
14、设1342A，则线性微分方程组dX AX dt有基解矩阵25253()4t t tte et ee。
二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为∴原方程通解为2、答案：特征方程为即。
特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为∴原方程组的通解为。
3、答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+0d d )2(y x x y xxy xy 21d d xu y xu xu xy d d d d uxu x 1d d 1Cx uxCx y 2yxtyy x t x 4d d d d 01411E A 03223112031413111b a 2111b a 122122b a tt tt C C yx 2ee2ee2331xy xy 2e3d d xC y 3e xx C y3e)(Cx C x 5e 51)(xC y 3ex2e 514、2x ydy dx；答案：2x ydy dx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc （其中c 为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、)(22xdydx y xx y 答案：)(22dxy xx xdy ydx 两边同除以22y x得022xdx y x xdy ydx ，即021)(2dxy x arctgd ，故原方程的解为Cxyx arctg2217、2453dxx ydt dy x ydt.答案：方程组的特征方程为203A E45即(2)(3)(4)(5)0，即25140特征根为17，22对应特征向量应满足112740537a b ，可得1145a b xyexy dx dy xyxexyedxdy xyxydxy xe xdy xy)(dxxe ydx xdyxydxxe dxyxyxdx e dxy xycx exy2210212c exxy同样可算出22时，对应特征向量为2211a b ∴原方程组的通解为72127245t t ttx ee C C yee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为9、0)2()122(dyy x dx y x 答案：，令z=x+y ，则所以–z+3ln|z+1|=x+， ln =x+z+即10、22d x dx x dtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。
常微分方程期末考试试题与答案
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]
(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案
(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、 考试所用时间：120分钟。
3、 考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件 是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）.（A ）上半平面 （B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓 班试卷份数年月 日9、微分方程xlnx y y 的通解 （）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解 对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解： 由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。
《常微分方程》期末考试试题库
《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
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《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件303ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy +-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx 。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dyx dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t e e 。
二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为xyx y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u xu x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u ∴ 原方程通解为x Cx y -=22、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d答案：特征方程为 01411=--=-λλλE A 即0322=--λλ。
特征根为 31=λ，12-=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a∴ 原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。
3、x y xy2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=C x C x +=5e 51)(代入原方程，确定出原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 514、2-=x y dydx ； 答案：2-=x y dydx是一个变量分离方程 变量分离得22y x dy dx =两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、xy e xydx dy =+ 答案：xy xe xy e dx dy xyxy -=-= 积分：c x e xy +=--221 故通解为：0212=++-c e x xy6、{}0)(22=-+-xdy dx y x x y答案：0)(22=+--dx y x x xdy ydx ?两边同除以22y x +得022=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-221 7、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .答案：方程组的特征方程为203A E λλλ---==--45即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦t t t t x e e C C y e e8、sin cos2x x t t ''+=-答案：线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x答案：2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y ，则dx dy dx dz +=1所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C即y x Ce y x +=++23)1(10、220++=d x dxx dt dt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。
其特征方程为210λλ++=特征根为112λ=-+，212λ=-∴ 方程的通解为111()()2221212()t t t x c ec ec c e ---=+=+11、312+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即21d 2x -d(xy)+dx-331dy -3dy=0所以C y y x xy x =--+-3312132三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 =)(t ϕ[]η)(0t t A e -。
证明：设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0又1)(0-At e=0At e - 所以C=1)(0-At e η=0At e -η代入（1）得)(t ϕ=ηη)(0t t A At At e e e --= 即命题得证。
2、（12分）设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xysin )(d d ϕ=的所有解的存在区间必为),(∞+-∞。
证明 ：由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。
显然1±=y 是方程的两个常数解。
任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y 。
记过该点的解为)(x y y =， 由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为),(∞+-∞。
3、（12分）设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．证明：设)(1x y ，)(2x y 是方程的两个解，则它们在),(∞+-∞上有定义，其朗斯基行列式为)()()()()(2121x y x y x y x y x W ''=由已知条件，得0)()(0)()()()()(0201020102010=''=''=x y x y x y x y x y x y x W 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数21αα，， 使得0)()(2211=+x y x y αα，),(∞+-∞∈x 由于0)(1≠x y ，可知02≠α．否则，若02=α，则有0)(11=x y α，而0)(1≠x y ，则01=α， 这与)(1x y ，)(2x y 线性相关矛盾．故)()()(11212x Cy x y x y =-=αα 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.（1）(,)f x y 在R 上连续，（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.则初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,),max |(,)|x y R bh a M f x y M∈==.唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=. 证明：00()(,())xx x y f d φξφξξ=+⎰，001()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =首先估计0x x ≥.00|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，设10|()()|()(1)!nn n ML x x x x n ϕφ+-≤-+成立，则 001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!n xxn n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰这就证明了对任意的n ，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.5、（10分）求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=++=51y x dtdy y x dt dx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。