系统仿真算法

h[
f
(tn ,
yn )
f
(tn1,
yn 1 )]
3.1 数值积分法
即
yn1
yn
1 h[ f 2
(tn , yn )
f
(tn1, yn1)]
yn
1 2
h[
f
n
f n 1 ]
也称为梯形公式或二阶隐式Adams公式，公式右端隐含有待
求量，故梯形法不能自行起步运算，而需有其他算法的帮
助。为了提高计算精度常常需要迭代运算。为减小计算量
k4 )
y1
打印 x1, y1
N i n?
Y
i 1 i x1 t0 y1 y0
3.1 数值积分法
【例3-2】已知系统方程 &y& 0.5y& 2 y 0 y&(0) 0 y(0) 1 取步长 h 0.1试用RK4公式计算 t 0.1 t 0.2 时y的值。 解：将原系统方程转化成下列方程组：
3.1 数值积分法
3.1.2 龙格－库塔（Runge-Kutta）积分法 是用几个点上的的一阶导函数值的线性组合来近似代替在某
一点的各阶导数，然后用Taylor级数展开式确定线性组合 中各加权系数。这就是Runge-Kutta（简称RK）法的基本 思想。 各阶RK公式及说明如下：
一阶RK公式为： y(t h) y(t) hf (t，y) 它就是Euler公式，也就是说，Euler公式是RK公式的特例
将这种思想引申如果在每个积分步中多取几个点（如取r个点 ），分别求出其斜率 k1，k2，…，kr，然后取不同的权 值，则公式为：k 1k1 2k2 ... rkr 得出一系列龙格 —
库塔（Runge-Kutta）法 。
3. 几个基本概念 （1）算法自启动 （2）单步法与多步法 （3）显式与隐式 （4）截断误差 （5）舍入误差 （6）初始误差
1. Euler法 对于初值问题
y& f (t, y)
y(0)
y0
假定y(t)为其解析解，将展成泰勒级数：y(t h) y(t) y&(t)h ...
则 y(t h) y(t) hf (t, y)
写成差分方程的形式：
3.1 数值积分法
yn1 yn hf (tn , yn ) yn hfn
依次取1/2,1/2,0,1时为 依次取1,1,1/2,1/2时为
k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
h 2 , yn
1 2 hk1)
yn1
yn
hf
(tn
h 2
,
yn
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1 2
hk1 )
yn1
k1
f
yn
h 2
(tn，yn
(k1 )
k2
)
k2 f (tn h，yn hk1)
3.1 数值积分法
梯形面积代替每一个小区间的曲线面积，则可提高精度。
曲边梯形的面积为 直边梯形的面积为
tn1
S1 f (t, y)dt y(tn1) y(tn )
tn
S2
1 2
h[
f
(tn ,
yn )
f
(tn1,
yn 1 )]
当比较小时，以直边梯形面积取代曲边梯形的面积，可得
y(tn1)
y(tn )
1 2
，常常迭代一次就求得近似解。这样就可以得到改进的
Euler法公式：
yp n1
yn
hf
(tn ,
yn )
yc n1
yn
1 2
h[
f
(tn ,
yn )
f
(tn1,
yp n1
)]
第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。通常称这类方 法为预估— 校正法。
实质上是采用了和两点斜率平均值的结果
3.1 数值积分法
则上式在 t t0，t1，...，tn，tn1 在形式上的连续解为
tn1
tn1
Yn1 Y (tn1) Y (t0 ) F (t，Y )dt Y (tn ) F (t，Y )dt Yn Qn
t0
tn
通过上式的演化，连续系统的数值解就转化为相邻
两个时间点上的数值积分问题。
3.1 数值积分法
h 2
，yn
h 2
k2
)
h，yn hk3)
3.1 数值积分法
四阶RK法程序框图
开始 读入数据
0i
t0 h x1 f (t0 , y0 ) k1
f
(t0
h 2
,
y0
hk1 ) 2
k2
f
(t0
h 2
,
y0
hk2 2
)
k3
f (t0 h, y0 hk3 ) k4
y0
1 6
h(k1
2k2
2k3
只要给定初始条件y0及步长h，就可根据f(t0，y0)算出y1， 再由y1，算出y2，如此递推算出y3，y4，y5…。
【例3-1】 y& y2 0 y(0) 1 h 0.1 0≤t ≤1 试用Euler法求其数值解。
3.1 数值积分法
2. 改进Euler法（预估 — 校正法） 在Euler法中，是用矩形面积来代替曲边梯形面积。如果改用
二阶RK法是每步取两个斜率加权。 第一斜率 k1 f (tn , yn ) fn
第二斜率 k2 f (tn h, yn hk1)
加权后递推公式为 yn1 yn hk yn h(1k1 2k2 )
3.1 数值积分法
经过与泰勒级数对比可确定四个参数αβω1ω2,可得二阶RK法 的计算公式：
三阶RK法公式： 四阶RK法公式：
yn1
yn
h 4
(k1
3k3 )
k1
f
(tn，yn )
k2
f (tn
h3，yn
h 3
k1
)
k3
f
(tn
2h 3
，yn
2h 3
k2
)
yn1
yn
h 6
(k1
2k2
2k3
k4 )
k1
f (tn，yn )
k2
f (tn
h 2
，yn
h 2
k1
)
k3 k4
f (tn f (tn
数值解法 3.1 数值积分法（针对连续系统的微分方程形式。利用数值
积分方法对常微分方程（组）建立离散化形式的数学模型 ——差分方程，并求其数值解 ）
3.1 数值积分法
3.1.1 数值积分法基本原理
把被仿真系统表示成一阶微分方程组或状态方程的形式
Y& F (t，Y ) Y (t0 ) Y0
（3-1）
所谓数值解法，就是寻求初值问题式（3-1）的真解在 一系列离散点 t1 t2 L tn L 上的近似数值解 Y1，Y2，...，Yn，... 相邻两个时间离散点的间隔hn = tn+1 - tn， 称为计算步距或步长，通常取hn = h为定值。
数值积分法的主要问题归结为对函数F(t，Y)的数值积分问题
系统仿真算法
第3章系统仿真算法 3.1 数值积分法
在数学仿真中，从一个实际系统抽象出数学模型只是第一步，这 一步将实际系统变成了数学模型，可以称之为系统建模或系统辨识， 这是第一次模型化过程。这次模型化所得到的只是数学方程式，必须 使用一定的仿真工具才能求解。将已获得的数学模型变成能在一定仿 真工具中运算求解的仿真模型，这是第二次模型化过程。