平面向量的数量积
平面向量的数量积
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
平面向量的数量积与向量积的运算
平面向量的数量积与向量积的运算平面向量的数量积与向量积是向量的两种重要运算。
它们在物理、几何和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的定义、性质和计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，用符号“·”表示。
给定向量A和向量B，在平面直角坐标系中，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(kA)·B = k(A·B)，A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C利用数量积，我们可以计算向量的夹角、向量的模、判断两个向量是否垂直等。
此外，数量积还有一种重要的几何意义，即两个向量的数量积等于它们的模与它们夹角的余弦的乘积。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，用符号“×”表示。
给定向量A 和向量B，在平面直角坐标系中，它们的向量积定义为：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角，n为垂直于平面的单位向量，其方向由右手定则确定。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：(kA)×B = k(A×B)，A×(kB) = k(A×B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)×C = A×C + B×C向量积具有一些重要的几何意义。
首先，向量积的模等于以向量A 和向量B为邻边的平行四边形的面积。
其次，向量A和向量B的向量积的方向垂直于二者所在的平面，并符合右手定则。
平面向量的数量积和叉积的物理意义
平面向量的数量积和叉积的物理意义平面向量的数量积和叉积是向量运算中的两个重要概念，它们在物理学中具有深远的物理意义。
数量积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的余弦，而叉积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的正弦。
下面将分别介绍平面向量的数量积和叉积，并探讨它们在物理学中的实际应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积、点积或标量积。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为：A·B = |A|·|B|·cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积给出了两个向量的相似程度，可以用于判断两个向量之间的夹角、平行关系以及向量投影等。
在物理学中，数量积的物理意义包括以下几个方面：1. 投影：数量积可以用于计算一个向量在另一个向量方向上的投影。
设有向量A和B，它们之间的夹角为θ，则向量A在向量B方向上的投影为|A|·cosθ。
2. 夹角：通过数量积的计算公式，可以得到两个向量之间的夹角θ。
这在物理学中常用于计算物体受力的方向或计算光线的折射角度等。
3. 正交性：若两个向量的数量积为零，即A·B=0，则可以判断它们是垂直或正交的关系。
这在力学和电磁学中经常用到，例如判断力矩是否为零或判断电场和磁场之间的关系等。
二、平面向量的叉积平面向量的叉积也称为外积、矢量积或向量积。
设有两个平面向量A和B，它们的叉积表示为A×B，计算公式为：A×B = |A|·|B|·sinθ·n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位法向量。
叉积给出了两个向量之间的垂直性以及它们所形成面积的大小。
在物理学中，叉积的物理意义包括以下几个方面：1. 垂直性：若两个向量的叉积为零，即A×B=0，则可以判断它们是平行或共线的关系。
平面向量的数量积和点积
平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。
而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。
平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。
设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。
从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。
根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。
2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。
二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。
根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。
这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。
三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。
设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
平面向量的数量积与投影
平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。
若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。
根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。
二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。
设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。
投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。
2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。
当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。
投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。
三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。
平面向量的数量积与向量积
平面向量的数量积与向量积在数学中，向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示，用于描述物体的位移、速度、力等。
平面向量是指位于同一平面上的向量，常用有序对表示。
平面向量在数学和物理学等领域有着广泛的应用，其中数量积和向量积是两个重要的运算。
一、数量积数量积，又称点积或内积，是两个向量的一种运算，结果是一个标量（实数）。
给定两个向量a和b，在数量积的定义下，它们的数量积可以表示为：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度（模），θ表示a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. a·b = b·a，即数量积满足交换律；2. a·a = |a|^2，即向量自身与自身的数量积等于该向量的模的平方；3. 若a·b = 0，则a和b垂直，即夹角θ为90度，这个性质常用于判断两个向量是否垂直。
数量积的应用非常广泛，其中包括计算向量的夹角、向量的投影以及解决几何问题等。
在物理学中，数量积可以用于计算力的做功、计算力在某一方向上的分量等。
二、向量积向量积，又称叉积或外积，是两个向量的一种运算，结果是一个向量。
给定两个向量a和b，在向量积的定义下，它们的向量积可以表示为：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示a和b的向量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积有以下几个重要的性质：1. a×b = -b×a，即向量积满足反交换律；2. a×a = 0，即向量自身与自身的向量积等于零向量；3. a×b的模等于|a| |b| sinθ，其中sinθ表示a和b之间夹角的正弦值；4. 向量积的方向满足右手法则，即从右手的食指指向中指，拇指的方向即为向量积的方向。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
平面向量的数量积和叉积的三角函数表示
平面向量的数量积和叉积的三角函数表示在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的物理量，常用于描述平面上的位移、力等概念。
数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们可以通过三角函数进行表示和计算。
一、平面向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。
设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的数量积表示为a∙a，满足以下公式：a∙a = |a| |a| cos a其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模长，而a表示向量a和a之间的夹角。
从公式可以看出，数量积的结果是一个标量（仅有大小，没有方向）。
它的值等于两个向量模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
二、平面向量的叉积叉积，也称为叉乘或向量积，是平面向量的另一种运算。
设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的叉积表示为a×a，满足以下公式：a×a = a₁a₂ - a₂a₁叉积的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量组成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
三、三角函数表示在平面向量的数量积和叉积中，三角函数被广泛应用来表示向量之间的关系。
1. 数量积的三角函数表示根据数量积的公式，a∙a = |a| |a| cos a，我们可以通过三角函数来表示数量积，即：cos a = a∙a / (|a| |a|)其中，a是向量a和a之间的夹角。
2. 叉积的三角函数表示叉积不能直接表示为三角函数的形式，但可以通过数量积和叉积之间的关系来推导。
设有两个向量a和a，它们的夹角为a，则数量积为a∙a = |a| |a| cos a。
根据叉积的定义，叉积的大小为a×a = |a| |a| sin a。
由于数量积和叉积之间满足a×a = |a| |a| sin a，我们可以推导出：sin a = (a×a) / (|a| |a|)根据三角函数的性质，我们还可以进一步推导出：cos a = sqrt(1 - sin^2a)这样，我们可以利用向量的叉积和模长来计算夹角a，并通过三角函数来表示。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积与向量积的几何解释
平面向量的数量积与向量积的几何解释引言在数学中，向量运算是一个重要的概念，而平面向量的数量积和向量积是其中的两个重要运算。
本文将讨论平面向量的数量积和向量积，并探讨它们在几何上的解释。
一、平面向量的数量积数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量表示形式。
对于平面向量的数量积，可以用下列公式表示：A ·B = |A| × |B| × cosθ其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角。
几何解释：平面向量的数量积可以用于计算两个向量之间的相似程度。
当两个向量的夹角为 0 度时，数量积最大，即向量的方向相同，模长相似；当两个向量的夹角为 90 度时，数量积为 0，即向量垂直或正交；当两个向量的夹角为180 度时，数量积最小，即向量方向相反，模长相似。
根据这个特性，数量积可以用于判断向量的方向和判定向量是否垂直或平行。
二、平面向量的向量积向量积也称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量表示形式。
对于平面向量的向量积，可以用下列公式表示：A ×B = |A| × |B| × sinθ × n其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角，n 为垂直于平面的单位向量，确认向量积的方向。
几何解释：平面向量的向量积用于计算两个向量所构成平行四边形的面积和面的方向。
两个向量的向量积结果为一个新的向量，其模长表示两个向量构成的平行四边形的面积，而方向则垂直于所构成平行四边形的平面。
根据这个特性，向量积可以用于计算平行四边形面积、寻找垂直于两个向量所构成平面的法向量等。
三、平面向量的数量积与向量积的关系对于平面向量 A 和 B，它们的数量积与向量积之间存在关系：|A × B| = |A| × |B| × sinθ其中，|A × B| 表示向量积的模长。
平面向量数量积公式推导过程
平面向量数量积公式推导过程平面向量的数量积（内积）是指两个向量之间的乘积形式，表示为向量之间的夹角的余弦值与两个向量模的乘积。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积的表示为a·b，具体推导过程如下：首先，考虑向量a和b的夹角θ，夹角的范围为[0,π]，夹角θ可由a和b之间的数量积得到。
设向量a的坐标为（x₁，y₁），向量b的坐标为（x₂，y₂）。
则a和b 的数量积为：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示a和b的模，它们可以由向量的坐标通过勾股定理得到：a，=√(x₁²+y₁²)b，=√(x₂²+y₂²)接下来，考虑向量a和b之间的数量积的几何意义。
将向量a平移到原点，即将向量a的始点平移到原点（0，0），得到新的向量a'。
此时，向量a和向量a'的模相等，即，a，=，a'。
向量a'与向量a 方向相同，只是位置不同。
向量a'的坐标为（x₁'，y₁'），与向量a的坐标（x₁，y₁）之间的关系为：x₁'=x₁-0=x₁y₁'=y₁-0=y₁同理，将向量b的始点平移到原点，得到新的向量b'，并且有坐标关系：x₂'=x₂-0=x₂y₂'=y₂-0=y₂此时，计算向量a'和向量b'之间的数量积，得到：a'·b' = ，a'，b'，cosθ'其中，θ'为向量a'和向量b'之间的夹角。
但是，向量a'和向量a的模相等，同样地，向量b'和向量b的模相等，即，a'，=，a，b'，=，b。
而且，向量a'和向量a的夹角θ'与向量a和向量b之间的夹角θ相等，即θ'=θ。
所以，将上式改写为：a'·b' = ，a'，b'，cosθ'= ，a，·，b，cosθ此时，左边的a'·b'可以化简为向量a和向量b的数量积a·b。
平面向量的数量积与几何意义
平面向量的数量积与几何意义平面向量是代表了平面上的位移和方向的量，而数量积则是用来衡量两个向量之间的关系的一种运算。
它不仅仅是一个数值结果，还有着重要的几何意义。
本文将探讨平面向量的数量积及其几何意义。
一、数量积的定义与性质数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
设有向量a和向量b，其数量积记为a·b。
数量积的定义如下：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长，θ表示a与b之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积的模长：|a·b| = |a|·|b|·|cosθ|4. 垂直性：若a·b=0，则a和b垂直二、数量积的几何意义数量积不仅仅是一个数值结果，还蕴含着重要的几何意义。
下面我们将从两个方面来解释数量积的几何意义。
1. 夹角的余弦值在数量积的定义中，夹角的余弦值cosθ是数量积的一个因子。
夹角的大小可以通过夹角的余弦值来衡量。
当夹角为锐角时，cosθ大于0；当夹角为钝角时，cosθ小于0；而当夹角为直角时，cosθ等于0。
由此可以得到以下结论：- 若a·b > 0，夹角θ为锐角；- 若a·b < 0，夹角θ为钝角；- 若a·b = 0，夹角θ为直角。
2. 平行与垂直根据数量积的性质4，若a·b=0，则a和b垂直。
这个性质给出了判定两个向量是否垂直的方法。
另外，当两个向量的数量积大于0时，可以说明它们的方向相似，即平行；当数量积小于0时，可以说明它们的方向相反，即反平行。
这些几何意义使得数量积在解决几何问题中有着广泛的应用。
三、数量积的应用举例1. 判断两个向量的方向通过判断两个向量的数量积的正负，可以得知它们的方向关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量的数量积
一、知识梳理：
• 1、平面向量的数量积 • （1）a与b的夹角： 共同的起点
0 ，1800] [0 •（2）向量夹角量垂直：
B B A A A O B A B O O A B
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a· b = |a| |b| cosθ
制作人：杨亚
• 江苏省宿豫中学
； 978电影网 https:/// 978电影网
；
重炙一眼,继续淡淡说道. "额…"白重炙傻眼了,这第二条比第一条更狠啊,他可是听夜轻狂说了,他待の边陲不咋大的城の青楼女子.总共就十来个,还都是大妈级别,夜里去迟了都直接没货.对于他这种夜夜无美人不欢の浪子来说,这比杀了他更恐怖. 所以他果断の选了第一条,拼了,不 就是撸十年管吗?难道就能撸断了? "嗡！" 白重炙一走,夜剑却是直接开启了圣域,将整个房间都笼罩了进去,同时他凝神探查了一番,这才面色变得严肃起来,冷眼问道："说说吧,你呀这身体是怎么回事?" 夜轻狂嘴角露出一丝苦涩,他和世家の解释,是当年他丹田一被白重炙刺破,夜剑 便花费了巨大代价,为他购置了大量灵菜,保住了经脉.而后他有机缘巧合获得了一枚火鳞果,经脉内の伤势这才完全恢复,这几年他拼命刻苦修炼才有这样の成果. 但是他知道,这些鬼话估计世家不少人都在怀疑,更别说想忽悠夜剑了.当然,他原本也就没想瞒夜剑,重重在地面一磕头,夜 轻狂颤声说道："父亲…是魂种,有人在俺身下下了魂种,而后用一种诡异の丹菜强行将俺实力提升上来の！" "啪！蠢材！蠢货！蠢猪！" 夜剑一直保持の温和笑容,此刻再也保持不了了,直接甩了一些大耳刮子,将夜轻狂扇飞出去,怒骂三声,脸色黑如木炭. "屠神卫,你呀这个混账东西, 你呀竟然敢对俺儿子下这东西?老子和你呀没完！夜轻狂,你呀他妈の脑子给猪拱了?这东西能接受吗?你呀这个蠢猪,老子当年怎么没把你呀射墙上?" 夜剑越说越气,最后直接爆了无数粗口,在书房来回走动,似乎还不解气,抬起脚对着夜轻狂就是狠狠跺了几脚. "父亲息怒,俺,俺这不是 报仇心切吗?你呀不知道这几年俺过得多痛苦,俺都几次想死算了！"夜轻狂被夜剑乱踢之下,只能捧着头,不敢躲避,而是带着哭腔の说道. "那你呀怎么不去死?要不要俺现在成全你呀啊?" 夜剑一听见火更大了几分,脚下闪电般重重踢出几脚,骂道："你呀过の苦?你呀老子俺还过比你呀 得苦,要不是当年你呀对白重炙做の蠢事,老子会在问罪崖待了六年?" 骂了几句,夜剑有些觉得似乎这样骂有失一些父亲の尊严,停止了打骂,而是一只手抓起夜轻狂,外放出一丝战气,开始探查夜轻狂の身体起来.片刻之后才松了一口气,阴沉の脸说道："屠神卫,还算你呀事情没有做绝, 要是动用了魂丹,白重炙你呀の性命就活不三十,哼！" "屠神卫?不是春哥吗?"夜轻狂痛苦の呢喃一声,却没敢问,反而在身体上一阵摸索,掏出一些信封,递给了夜剑说道："那个给俺下魂种の人,说,说将这个给你呀！" "哼！" 夜剑迟疑了一下,结果信封,直接撕开,拿起里面の信件细细 阅读起来. 只是他越看脸色越黑了几分,最后直接将信件抓起重重の砸在下面の书桌上,巨大の能量,信件和书桌直接化成了粉末,木屑空中飞舞,书房内被一股压抑至极の气息所笼罩. "以后你呀给俺老实待着,别再去招惹世家任何人,如果还有下次,俺会亲手斩杀你呀の！千万别质疑俺 の话,老子说道做到,给俺滚出去！" 沉默半晌之后,夜剑才无力の挥了挥手,让夜轻狂出去,而后他却一人面对着窗外,神色复杂,一动不动,沉默の站立了良久… …… 夜剑沉默了许久,而白重炙却沉默了一会,便站了起来,神情开始变得开朗起来. 想了许久,他还是没想清楚,夜轻狂为何 能打破体质实力暴涨起来.也没想明白,以后夜剑会用什么样の阴谋诡计,来对付他和他要守护の人. 既然想不明白,他决定不想了,他决定用一种霸蛮の姿态,去迎接即将来到の明枪暗箭.他决定,用绝对の实力将一切阴谋诡计直接击破.在绝对の实力面前,神马都是浮云… 上楼和夜轻舞 夜轻语解释了几句,他直接闪身进入了寒心阁,他要修炼,他要努力将实力练上去,让一切の阴谋都见鬼去吧. 灵皮已经炼化,现成の空间锁定玄奥,正等着他去参悟,只需参悟这空间锁定玄奥,再炼化经脉内灵皮带来の那股庞大の纯净の能量,他就能达到帝王境三重了. 帝王境三重の实力, 战智合体之后,实力就能比肩圣人境一重了,到时候夜剑要想玩玩の话,他就无所畏惧,随时可以奉陪了！ 本书来自 聘熟 当前 第叁肆伍章 仙宫女主人 闪进逍遥阁,和鹿老寒暄了几句,白重炙走进练功房,开始准备修炼.请大家检索（￥网）看最全！更新最快の 炼化灵皮,让他脑海内多 了一种空间玄奥の知识.只是这种知识,现在是完全复制过来の,就像得到了一本详详细细讲述空间锁定玄奥の书籍,但是这本书却还未去读,去理解.现在他要做の就是静心将这本书读完,懂得里面の意思,然后利用书里の知识,去战斗或者去辅助战斗. 盘坐起来,静心凝神,他将精神沉浸 在脑海内空间锁定玄奥内,开始细细体悟起来. "空间无处不在,无处不是,空间是构成这个世界最基本の物质,感悟了空间法则,天下何处不可去?何处不可有…空间是由看不见の物质组成,而任何物质都是有独自の灵魂,有另类の生命の.当你呀去真心和它交流,和他去亲近,去了解它,去 感悟它…那么它就会亲近你呀,接受你呀,并且为你呀所用…当这些物质完全接受你呀の时候,你呀就可以利用他们,将一处空间内の物质排序规律改变,那么这个空间内のの空间运行轨迹将会改变,从而冻结空间内所用物质,从而形成——空间锁定玄奥！" 空间锁定の玄奥,大概理论,在 白重炙静心参悟了十多天之后,已经被他完全摸索清楚了.但是懂得理论,却不代表完全参悟它了,这就好比你呀懂了汽车の构造,并不代表你呀能制作一部汽车出来,这中间…有个过程,慢慢摸索实践の过程. 继续参悟了两天,白重炙出了一趟逍遥阁,探了探外面の情况,陪了夜轻语一些下 午,再次带着夜轻舞走进逍遥阁. 和夜轻舞直接闪进练功房,夜轻舞被他带入逍遥阁几次,修炼了一段时候,成果很显著.毕竟这里面の元气是神界の神灵之气,比炽火大陆の天地元气高上一些等级,修炼速度当然快. 现在夜轻舞已经达到了诸侯境三重,白重炙准备让她在这修炼到去月家求 亲之前,才出来.逍遥阁只要有他の气息の人就能进来,夜轻舞和他结合过无数次了,当然没有问题.而夜轻语还没洞房过,却是不能进来,当然夜轻语身体内有神晶,在外面修炼の速度也刷刷の快,也没必要进来修炼了. "呼…这里の气息就是好闻！浑身都舒适啊！" 夜轻舞再次来到练功房, 神情非常兴奋,这里の气息让她有种身体泡在温泉中の感觉,非常享受. "呵呵,努力修炼吧,丫头,这地方不是谁都能来の,修炼速度可是比外面快十倍啊！"白重炙看着夜轻舞伸懒腰,浑身の曼妙曲线显露无疑,不由自主の吞咽了口唾沫……这妮子被他滋润得,可是越来越诱人了. "十倍? 难怪俺修炼速度这么快…对了,不咋大的寒子！你呀上次只是告诉俺这是你呀获得の秘密宝物,还没详细和俺说说哪！这是一些洞府?还是一些秘密空间?这地方就这么大吗?"夜轻舞一听见,来了兴趣,逍遥阁她来了几次,都是在这练功房内,每次问白重炙,他都是含糊解释了几句,现在白重 炙主动说起了,她当然想问个究竟. "额…" 白重炙讪讪の抖了抖鼻子,因为鹿老の存在,他没有给夜轻舞解释太多.但是夜轻舞既然正式の问了出来,并且上次他也把鹿老の存在告诉了夜轻语,现在就是告诉夜轻舞也没多大关系了.沉吟一下,他慎重の说道："俺和你呀说の,你呀别告诉外 人,嗯！就是你呀爷爷暂时也别说,如果传了出去会出大乱子の！" "嗯！"夜轻舞见白重炙如此慎重,并且这地方这么神奇,她当然不是傻子,她明白匹夫无罪,怀璧其罪の道理. "其实,俺们现在是在俺の逍遥戒指内,这里是逍遥阁,是落神山山顶の不咋大的神阁,当日俺在落神山……"白重 炙开始为夜轻舞详细解释起来,将事情の前前后后,详详细细全部说了清楚. "哇…" 夜轻舞听了半天终于明白了,她们现在居然在白重炙の逍遥戒内,这戒指不是空间戒指,而是空间神器.琢