巧解质数与合数问题

(完整版)小学奥数-质数与合数

质数与合数例1 :判断269 , 437两个数是合数还是质数。

分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。

如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。

因为269 V 172=289。

17 以内质数有2 , 3, 5, 7, 11 , 13。

根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2, 5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。

经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。

因为437 V 212=441。

21 以内的质数有2, 3 , 5, 7, 11 , 13 ,17 , 19。

容易判断437不能被2 , 3 , 5, 7, 11整除，用13 , 17 , 19试除437 ,得到437 -19=23，所以437是合数。

对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。

判别269 ,用2〜268中所有的数试除，要除267个数；用2〜268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

527 275 373 393 573 537例2判断数1111112111111是质数还是合数?分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。

根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X（1000000+1）=1111111X 1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111 是合数。

这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。

例3判定298+1和298+3是质数还是合数？分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。

求解质数与合数的方法

求解质数与合数的方法质数和合数是数学中的两个重要概念，对于数论和其他数学领域的研究起着重要的作用。

在解决实际问题和进行数学研究时，我们经常需要找到质数和合数。

本文将介绍一些求解质数和合数的方法。

一、试除法试除法是判断一个数是否为质数的常用方法。

该方法通过逐一试除一个数的所有可能除数，如果存在能整除该数的除数，则该数为合数；若一个数没有能整除它的除数，则该数为质数。

以求解一个数n是否为质数为例，我们可以从2开始逐一试除，直到n的平方根。

如果在试除的过程中找到一个能整除n的数，则n为合数；否则，n为质数。

试除法的时间复杂度为O(√n)，在大多数情况下是有效的求解质数和合数的方法。

二、埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种较高效的求解质数的方法。

该方法通过逐渐筛去不是质数的数，最终得到一系列质数。

具体步骤如下：1. 创建一个长度为n+1的布尔数组prime[]，全部初始化为true。

2. 从2开始遍历到√n，若prime[i]为true，则将i的倍数（除i本身）标记为false。

3. 遍历结束后，未被标记为false的数即为质数。

埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度为O(nlog(logn))，在求解范围较大的质数时，效率较高。

三、费马小定理费马小定理是判断一个数是否为质数的概率性方法。

该定理提供了一种将费马定理应用于素数检验的方法。

费马小定理描述如下：如果p是一个质数，a是不被p整除的整数，则a^(p-1)模p的值恒为1。

利用费马小定理可以进行费马检验：1. 随机选择一个整数a（2 ≤ a < n）。

2. 计算a^(n-1)模n的值。

3. 如果该值不等于1，则n为合数；如果等于1，则n很可能为质数。

费马小定理的时间复杂度较低，但不保证对所有数都能正确判断。

结语本文介绍了三种常用的求解质数和合数的方法：试除法、埃拉托斯特尼筛法和费马小定理。

试除法是最基本的方法，但效率较低；埃拉托斯特尼筛法在求解大范围的质数时效率高；费马小定理则提供了一种概率性的判断方法。

轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法

轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法轻松学习质数与合数小学数学质数与合数计算方法质数和合数是小学数学中的基本概念，理解它们的特点和计算方法对于学习数学至关重要。

本文将为大家介绍质数和合数的定义，并详细解释如何计算质数和合数。

一、质数的定义和计算方法质数是指只能被1和自身整除的自然数。

换句话说，质数就是除了1和它本身之外没有其他因数的数。

根据定义，我们可以列举出一些常见的质数：2、3、5、7、11、13、17、19等等。

小于20的质数还有很多，我们可以通过逐一验证的方法得到它们。

例如，我们要判断一个数是否为质数，可以试着用2、3、4、5...依次去除它，如果除不尽，那么这个数就是质数。

这个方法虽然比较耗时，但对于小的数还是比较有效的。

除此之外，利用质因数分解也是判断质数的一个有效方法。

如果一个数可以被分解成多个质数相乘，那么它一定不是质数。

例如，24可以分解成2×2×2×3，因此24不是质数。

二、合数的定义和计算方法合数是指除了1和自身之外还有其他因数的自然数。

简单来说，合数就是不是质数的数。

根据定义，我们可以列举一些常见的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16等等。

同样地，我们可以用试除法来判断一个数是否为合数。

当一个数不能被任何小于它的数整除时，我们就可以确定它是合数了。

利用质因数分解也是判断合数的一种方法。

如果一个数不能被分解成多个质数相乘，那么它就是合数。

三、质数与合数的应用质数和合数在数学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.加密算法：质数的选择在密码学中起着重要作用。

现代加密算法如RSA就依赖于大质数的分解难题，使得破解者无法轻易获取加密信息。

2.质数检测：计算机科学中经常需要判断某个数是否为质数，这对于网络安全和算法设计至关重要。

3.因数分解：质因数分解是数学中的基础问题，它在代数学和数论中有着广泛的应用。

4.数学推理：质数与合数的概念对于学习数学推理和证明具有重要意义。

质数与合数重点复习与解题思路

一，认识质数与合数质数：有且只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身，还有别的因数。

特点：0和1既不是质数，也不是合数2是最小的质数，也是唯一的偶数4是最小的合数除了2和5，其余质数的个位数都是1,3,7,9二、判断质数1、尾巴判断法，排除末尾是0,2,4,6,8,52、和判断法，排除数位上的数字和是3的倍数3、试除判断法，试除质数，被除数逐个从小到大除以质数，直到到商＜除数为止。

实例：判断148，143、179，135,243是不是质数。

解题思路：1）尾巴判断法，看尾数首先排除148和135；2）和判断法，排除243；3）试除判断法，开始判断143合179可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11……等质数去试除。

一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。

143：不是质数。

判断思路：从小到大试除，1）个位是3，排除了被2、5整除的可能性； 2）它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除；3）通过口算也证明不能被7整除；4）当试除到11时,商正好是13,到此就可以断定143不是质数。

179：是质数。

步骤同143判断。

179÷2=59 (2)179÷3=66 (1)179÷5=35 (4)179÷7=25 (4)179÷11=16 (3)179÷13=13 (10)179÷17=10……9----结束当179÷17所得到的不完全商10比除数17小，就不需要继续再试除,而断定179是质数。

三、质合数与奇偶性结合考虑：2是唯一的偶质数奇+奇=偶奇+偶=奇偶+偶=偶奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数四、100以内的质数----要熟记，44 223 223 21 个数规律牢记2 3 5 7 ---四个11 13 17 19----四个====================之后都小于4个23 2931 3741 43 4753 5961 6771 73 7983 8997=====================100以内共25个质数100以内质数表课本练习题详解：1） 7,9,8可以拼成多少个不同的质数。

数的运算学习使用质数和合数进行运算

数的运算学习使用质数和合数进行运算在数学中，数的运算是非常基础，也是非常重要的一部分。

通过数的运算，我们可以解决实际问题，深入理解数的性质和规律。

其中，质数和合数是数的一个重要分类，它们在数的运算中起到了关键作用。

本文将探讨数的运算中如何使用质数和合数进行计算。

一、质数的运算质数是指只能被1和自身整除的正整数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

质数具有以下特性：1. 质数与自然数相乘的结果仍然是质数。

例如，质数2乘以3等于6，6是合数；质数3乘以5等于15，15也是合数。

通过数的运算，我们可以发现，质数与质数相乘的结果仍然是质数。

这种特性在数的运算中非常有用。

2. 质数与合数相乘的结果是合数。

合数是指除了1和本身还可以被其他数整除的正整数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

当质数与合数相乘时，结果必定是合数。

这一特性在数的乘法运算中起到了重要作用。

二、合数的运算合数的运算可以包括加法、减法、乘法和除法等。

在数的运算中，我们可以通过合数的特性进行计算。

1. 合数相加、相减的结果还是合数。

例如，合数4加上合数6，结果为10，10也是合数；合数8减去合数6，结果为2，2是质数。

通过数的运算，我们可以发现，合数相加、相减的结果仍然是合数。

2. 合数与质数相乘、相除的结果是合数或质数。

当合数与质数相乘时，结果可以是合数或质数。

例如，合数4乘以质数3，结果为12，12是合数；合数8乘以质数3，结果为24，24也是合数。

当合数与质数相除时，结果可以是合数或质数。

例如，合数12除以质数3，结果为4，4是合数；合数24除以质数3，结果为8，8也是合数。

通过数的运算，我们可以发现，合数与质数相乘、相除的结果是合数或质数。

三、使用质数和合数进行数的运算在实际的数的运算中，我们可以通过使用质数和合数进行计算，从而更好地理解数的性质和规律。

例如，在判断一个数的因数时，我们可以通过找到其最大的质数因子，从而更快速地进行计算。

五年级数学技巧轻松掌握质数和合数的计算方法

五年级数学技巧轻松掌握质数和合数的计算方法数学是一门需要掌握技巧的学科，而对于五年级学生来说，理解和掌握质数和合数的计算方法是至关重要的。

在本文中，我们将介绍一些简单易懂的技巧，帮助五年级学生轻松掌握质数和合数的计算方法。

1. 质数的概念和判断方法首先，我们来了解什么是质数。

质数指的是只能被1和自身整除的自然数，如2、3、5、7等。

那么如何判断一个数是不是质数呢？判断一个数是否为质数的方法有很多，其中一种简单有效的方法是试除法。

我们可以用小于这个数的所有质数去试除它，如果都不能整除，那么就可以确定这个数是质数。

例如，我们要判断数字13是否为质数。

我们可以用小于13的质数2、3、5、7去试除，结果发现13不能被任何一个质数整除，所以13是一个质数。

2. 合数的概念和判断方法合数与质数相反，指的是除了1和自身外还能被其他数整除的自然数。

例如4、6、8、9等都是合数。

那么如何判断一个数是合数呢？判断一个数是否为合数的方法也可以使用试除法。

我们可以用小于这个数的所有自然数去试除它，如果能够整除，那么这个数就是合数。

例如，我们要判断数字20是否为合数。

我们可以用小于20的数去试除，发现20可以被2、4、5等数整除，所以20是一个合数。

3. 使用分解因数的方法掌握质数和合数的计算方法，还可以借助分解因数的方法。

分解因数是将一个数表示成两个或多个因数相乘的形式。

例如，我们要将数字24分解因数，首先我们可以找到一个因数，比如2，那么24除以2等于12，此时我们可以再次分解12，得到2和6，再次分解6，得到2和3。

因此，24可以分解为2 * 2 * 2 * 3。

利用分解因数的方法，我们可以快速判断一个数是质数还是合数。

如果一个数可以分解为两个或多个不同的质数相乘，那么这个数就是合数；如果一个数只能被1和自身相乘，那么这个数就是质数。

4. 练习和巩固为了更好地掌握质数和合数的计算方法，我们可以进行一些练习和巩固。

首先，我们可以选择一些数字，判断它们是质数还是合数。

5年级奥数质数与合数问题例题解析

【内容概述】涉及质数与合数等概念，以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题．【例题】1．试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：□□□(这是一个三位数)．□□□(这是一个三位数)，□(这是一个一位数)，使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求其他两个数．[分析与解]714＝2×3×17．由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2，3，5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5．现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6这3个数字．因为任意两个偶数都有公约数2，而714是偶数，所以第二个的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3．这样一来，第二个三位数只能是263或623．但是623能被7整除，所以623与714不互质．最后来看263这个数．通过检验可知：714的质因数2，3，7和17都不是263的因数，所以714与263这两个数互质．显然，263与5也互质．因此，其他两个数为263和5．2．如图19-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等．问这6个质数的积是多少?[分析与解]设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S．4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以4S＝2S+20，即S＝10．这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：2×2×3×3×5×5＝900．3．在图19-2．所示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立．[分析与解]记两个乘数为和cd，其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．由已知条件，b与c相乘的个位数字仍质数，这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7，如果b不是5，那么c必然是5，但73×5＝365、77×5＝385的十位数字都不是质数．因此b是5，c是3、5、7中的一个，同样道理，d也是3、5、7中的一个．再由已知条件，与c的乘积的各位数字全是质数，所以乘积肯定大于2000，满足积大于2000且a、c取质数，只有以下六种情况：775×3＝2325，575×5＝2875，775×5＝3875，375×7＝2625，575×7＝4025，775×7＝5425．其中只有第一组的结果各位数字是质数，因此a＝7，c＝3同理，d也是3．最终算式即为775×33＝25575．4．把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方．那么这个和数是多少?[分析与解]设原来的两位数为，则交换十位数字与个位数字后的两位数为，两个数的和为+＝10x+y+x+10y＝11(x+y)是11的倍数，因为它是完全平方数，所以也是11×11＝121的倍数．但是这个和小于100+100＝200＜121×2，所以这个和数只能是121．5．迎杯×春杯＝好好好在上面的乘法算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?[分析与解]好好好＝好×111＝好×3×37，有“杯”×“杯”的个位为“好”，所以“好”只能为1，4，9，6或5．当“好”为1时，迎杯×春杯＝111＝3×37，不可能；当“好”为4时，迎杯×春杯＝444＝2×2×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是12×37，不满足；当“好”为9时，迎杯×春杯＝999＝3×3×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，可以为27×37，满足；当“好”为6时，迎杯×春杯＝666＝2×3×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是18×37，不满足；当“好”为5时，迎杯×春杯＝555＝5×3×37，表达为两个两位数的乘积形式，只能是15×37，不满足．所以，“好”只能是9，对应迎杯×春杯＝27×37＝999＝好好好．所以“迎+春+杯+好”之和为2+3+7+9＝21．6．数数×科学＝学数学在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“数学”所代表的两位数是多少?[分析与解]“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与11的倍数．学数学＝学×101+数×10 是“数”的倍数，而101是质数，所以“学”一定是“数”的倍数．又“学数学”是11的倍数，因而：学+学－数＝11．因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数”是11的约数，所以“数”＝1，“学”＝(11+1)÷2＝6．7“数学”所代表的两位数是16．7．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填入下式的各个方框中，可使此等式成立：□□×□□＝□□×□□□＝3634．填好后得到三个两位数和一个三位数，这三个两位数中最大的一个是多少?[分析与解]3624＝2×23×79，表达为两个两位数的乘积只能是(2×23)×79，即46×79，而另外的表达为一个两位数与一个三位数的乘积，只能是23×(2×79)＝23×158，满足题意，所以这三个两位数中最大的一个是79．8．六年级的学生总人数是三位数，其中男生占，男生人数也是三位数，而组成以上两个三位数的6个数字，恰好是l，2，3，4，5，6．那么六年级共有学生多少人?[分析与解]设六年级总人数为，其中男生有人．有×＝，即5＝3，其中为5的倍数，所以z为5．而为3的倍数，所以其数字和a+b+c应为3的倍数，则在剩下的5个数中，a、b、c(不计顺序)只能为1，2，6或1，2，3或4，2，6或4，2，3．而c不能是偶数(不然z应为0)，所以只能是1，2，6或1，2，3或4，2，3可能满足；又因为最大为645，对应为387，即c不超过3．于是有可能为261，123，321，213，231，243这6种可能，验证只有当＝261是，对应为261÷3×5＝435．所以六年级共有学生435人．9．图19-3是三位数与一位数相乘的算式，在每个方格填入一个数字，使算式成立．那么共有多少种不同的填法?[分析与解]设1992＝×d(a，b，c，d可以相同)，有1992＝2×2×2×3×83，其中d 可以取2，3，4，6，8这5种，对应的算式填法有5种．10．在图19-4残缺的算式中，只写出3个数字l，其余的数字都不是1．那么这个算式的乘积是多少?[分析与解]被乘数的个位数字只可能是1、3、7、9(因为与乘数的十位数字相乘，积的个位数字为1)，被乘数与乘数的个位数字相乘，积的前两位为1、0．因此这积可能是100、101、102、103、104、105、106、107、108、109．其中101、103、107、109是质数，没有两位数的因数；100没有个位数字为1、3、7、9的因数，均不合要求．102＝17×6，104＝13×8，105＝21×5，106＝53×2，108＝27×4，但被乘数为17、27时，乘数的十位数字必须为3(才能使它与被乘数相乘的积个位数字为1)；被乘数为21时，乘数的十位数字必须为1；被乘数为13时，乘数的十位数字必须为7；均不能使相乘的积为三位数，因此被乘数必须为53，乘数为72，积为3816．11．图19-5是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式．那么所得的乘积是多少?[分析与解]由已知条件，最后结果的首位数字不能是2，因此中能是3．这说明4位上作加法时有进位．百位数上相加时最多向千位进2，所以要使千位数有进位，其中的未知数字至少是10－2－2＝6，即三个三位数加数中的第二个至少是600．因为它是第一个乘数与一个一位数字的乘积，因此该乘数肯定大于60．第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229之间，所以它只能是3(否则4×60＞229)．而220~229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有25＝3×75和228＝3×76．如果第一乘数是75，又第二个乘数的百位数字是3，那么它们的乘积小于75×400＝30000，它的首位数字也就不可能是3，不满足．乘数是76，另一个乘数就要大于30000÷76＞394，那么只有395、396、397、398、399这五种可能，它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324．由于各个数字都不一能是2，所以只有76×396＝30096满足题目的要求．算式中所得的乘积为30096．12．请补全图19-6这个残缺的除法竖式．问这个除法算式的商数是多少?[分析与解]易知除号下第二行的首位为9．第二行的个位与第三行首位数字之和不小于10．如果商的首位数字大于1，那么除数必须小于50，所以第三行首位数字小于5，而第二的个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，均不满足．如果商的首位数字为1，验证第二行个位数字各种情况，只有2满足条件，此时除数为92，商为109．10028÷92＝109为题中算式．即这个除法算式的商数为109．13．若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是多少?[分析与解]14．互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数．(例如102和20l，35和53，11和l1，…，称为互为反序的数，但120和2l 不是互为反序的数．)[分析与解]简单使用位值原理不易解决，可以试试分解质因数．92565＝3×3×5×11×11×17．注意到3×3×5×11×11×17＝165×561．所以这个自然数为165或561．15．开放的中国盼奥运×□=盼盼盼盼盼盼盼盼盼上面的横式中不同的汉字代表不同的数字，□代表某个一位数．那么，“盼”字所代表的数字是多少?[分析与解]。

五年级奥数解析5.质数和合数

小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析与解】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数或与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．即23有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析与解】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少?【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．【分析与解】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解】有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【分析与解】这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析与解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有34×34×34即333×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(3927033+3927034+3927035)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。

小学奥数解题方法质数合数质因数

小学奥数解题方法质数合数分解质因数1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”，请你举一个例子说明这句话是错误的。

分析题目要求我们具体找出7个连续的合数。

中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于7，所以只要找到差大于7的两个相邻质数即可。

解题质数89与97相邻，它们的差97-89=8>7，特别说明所以89与97之间的7个连续自然数90、91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。

可见“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。

特别说明本例还可以这样解，任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。

2、找出1992所有的不同质因数，并求出她们的和。

分析先把1992分解质因数，然后把不同质数相加，求出它们的和。

解1992=2×2×2×3×83，所以1992所有不同的质因数有2、3、83.它们的和是：2+3+83=88.特别说明解题之道贵在简捷，本咧通过分解，使该题解得干净利索。

3、有3张卡片，它们上面各写一个数字1、2、3，从中抽出1张、2张、3张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。

分析此题可以用分类法求解。

解因为1、2、3三个数字之和是6，可知抽3张卡片时，无论按什么顺序排列后所得的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数；从中任取2张卡片，按不同的顺序排列的两位数有：12、21、13、31、23、32，其中13、31和23是质数；从中任取1张卡片得到的一位数中2和3是质数。

这样，所得到的质数有2、3、13、23和31共5个。

特别说明1不是质数，偶数除2以外都不是质数，各位数字和是3的倍数时，除3以外都不是质数，这样很容易找到。

4、将50这个数拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是几？分析本例若用“调频思维”找出最大的质数比较困难，但采用列举思维却非常简捷。

小学数学理解数字的质数与合数概念

小学数学理解数字的质数与合数概念在小学数学中，我们常常会遇到数字的质数与合数概念。

了解数字的质数与合数对我们理解数学的基本概念以及解题有着重要的意义。

本文将详细介绍质数与合数的概念、特点及其在数学中的应用。

一、质数的概念质数是指大于1的自然数，除了1和自身外，没有其他因数的数。

简单来说，一个大于1的数，如果只能被1和自己整除，那么这个数就是质数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

二、合数的概念合数是指除了能被1和自身整除外，还有其他因数的数。

也就是说，一个大于1的数，能够被除了1和自身以外的数整除，那么这个数就是合数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

三、质数与合数的特点1. 质数只有两个因数，即1和自身，而合数除了1和自身，还有其他因数。

2. 任何一个大于1的数，都必然是质数或合数。

这意味着所有的自然数，都可以归类为质数和合数两种。

四、质数与合数在数学中的应用1. 分解质因数：将一个合数分解为质因数的乘积，是数学中常见的问题。

通过分解质因数，可以简化计算、求解最大公因数、最小公倍数等问题。

2. 判断数字的性质：在数学中，我们常常需要判断一个数字的性质，即质数还是合数。

这个判断对于解题特别重要，能够帮助我们更好地理解问题，并找到解题的思路和方法。

3. 探究数的规律：通过观察质数与合数的规律，可以深入研究数学的基本原理和问题。

例如，质数分布的规律、合数的特性等等。

五、质数与合数的例题解析1. 例题一：判断数字是否是质数还是合数。

解析：如判断数字13是质数还是合数，只需找出比13小且能整除13的数，发现只有1和13本身，没有其他数可以整除13，因此13是质数。

2. 例题二：分解合数为质因数的乘积。

解析：如将24分解为质因数的乘积，可以先找出24的一个质数因子，如2，然后继续分解2的倍数，即12，6，3。

最终得到24=2×2×2×3。

六、总结质数与合数是我们在小学数学中常常接触到的概念。

五年级数学质数合数、分解质因数专项题拓展难题

例1：在三张卡片上分别写上1、3、5,如果随意从其中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？将它们写出来。

3, 5, 13, 31, 53
练习
1.从1、4、7这3个数字中选出1个、2个、3个，按任意次序排列，可得到不同的一位数、两位数、三位数，将其中的质数都写出来。

2.三张卡片上分别写上1、2、3,从中任意抽出一张、两张或三张，分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？哪些是合数？例2：分别把100和119分解质因数。

练习
1.把60分解质因数。

2.把221分解质因数。

例3：如果两个质数的和是26,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

练习
1.如果两个质数的和是36,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

2.两个质数的和是25,这两个质数的乘积是多少？请全部写出来。

例4：三个不同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

练习
1.三个不同的质数相加和为28,这三个质数可能是多少？请全部写出
来。

2.三个不同质数相加和为52,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

例5：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2007,那么B×10001的积是多少？
练习：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2009,则A+B=？。

质数合数、平方数、位值、进制等常见数论问题的解题技巧

质数合数、平方数、位值、进制等常见数论问题的解题技巧教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=⨯，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=⨯、222376743=⨯=⨯、333379=⨯、4443712746=⨯=⨯、5553715=⨯、6663718749=⨯=⨯、7773721=⨯、88837247412=⨯=⨯、9993727=⨯．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二余数问题【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 7】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例 9】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ⨯÷= ()33393424A K r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)，100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)36--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 14】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 15】设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．板块三完全平方数【例 16】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【例 17】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x ，则它们的和为5x ，中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯，则25x a =，2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个，即2a 至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，因为10010a b c a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但208101++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21】在几进制中有413100⨯=？【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．【巩固】算式153********⨯=是几进制数的乘法？【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【例 22】在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 (abc )6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba )9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0．所以c=2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc )6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7练习 2．有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．练习 3．将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．练习 4．在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【解析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+⨯．【备选3】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【备选4】在几进制中有12512516324⨯=？【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．。

数字的质数与合数应用题

数字的质数与合数应用题质数和合数是数学中的基本概念，对于理解数字的性质以及在实际生活中的应用具有重要意义。

本文将围绕数字的质数与合数展开，探讨其应用题，并以此来加深对这些数学概念的理解。

一、质数与合数的概念回顾在介绍质数与合数的应用题之前，让我们先回顾一下它们的概念。

1. 质数：质数是大于1并且只能被1和自身整除的正整数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

2. 合数：合数是大于1并且至少有一个除了1和它本身的因数的正整数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

二、质数与合数的应用题1. 金字塔层数问题假设我们有一个倒置的金字塔结构，每层由质数或合数构成，每一层的数字个数是前一层数字个数的2倍，我们可以提出如下问题：如果金字塔的顶层是一个质数2，求第n层中质数和合数的个数分别是多少？解答：根据题目设定，我们可以发现每一层的数字个数是一个等比数列，公比为2。

由于顶层是一个质数，所以第n层的总数字个数为2^n。

而从第1层到第n层的质数个数为2^(n-1)，合数个数为2^(n-1)-1。

2. 整除问题假设一个数可以被2、3和5整除，求满足该条件的前n个数中，最大的质数是多少？解答：根据题目条件，可以得出这个数必然是2、3和5的倍数。

我们不妨从最大开始递减，寻找是否存在质数。

当n=1时，最大的数是30，但30不是质数。

继续递减，当n=2时，最大的数是25，25也不是质数。

继续递减，当n=3时，最大的数是20，20同样不是质数。

以此类推，直到n=7时，最大的数是10，10是一个合数。

所以，满足条件的前n个数中，最大的质数为7。

3. 质因数分解将一个合数进行质因数分解的应用题也是常见的。

例如，将360进行质因数分解。

解答：首先，我们可以用试除法找到360的最小质因数，这里是2。

360 ÷ 2 = 180。

继续用2试除得到180 ÷ 2 = 90，继续用2试除得到90÷ 2 = 45。

此时无法继续用2试除了，我们再试试下一个质数3。

五年级奥数解析5.质数和合数

小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析与解】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数或与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．即23有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析与解】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少?【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．【分析与解】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解】有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【分析与解】这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析与解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有34×34×34即333×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(3927033+3927034+3927035)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。

公务员考试行测数量关系中质合数的巧用

东莞中公教育
公务员考试行测数量关系中质合数的巧用质数、合数是一个很简单的知识点，但在公务员考试和事业单位的考试中，经常能遇到这样的题目，通常情况下对于质数的考查很有规律。

首先中公教育专家先来带大家了解一下什么是合数，什么是质数。

质数：大于1的自然数，若除了1和它本身外，没有其它的因数，则这个数被称为质数。

合数：大于1的自然数，若除了1和它本身外，还有其它的因数，则这个数被称为合数。

节选以前各个省份的公务员考试真题汇总发现对于质数2的考查，热度不减。

1.有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，求这两个质数的乘积是( )。

A.55
B.98
C.166
D.427
【答案】C。

中公解析：根据数的奇偶性可知，两个数的和是奇数，说明这两个数一个是奇数，一个数是偶数。

又知这两个数都是质数，是偶数且是质数的数只有2，由此判断两个质数的乘积应该为偶数，结合选项，可排除A和D。

代入B，因为已经知道一个数是2，所以98÷2=49，另一个数是49，但49不是质数，排除B。

答案为C。

验证C项，166÷2=83，83是质数，且83+2=85是17的倍数，满足题意。

2.四个相邻的质数之积是17017，它们的和是( )。

A.48
B.53
C.61
D.73
【答案】A。

中公解析：质数中只有二是偶数，其他的都是奇数，现在四个字数和为奇数，表明四个数都为奇数，四个奇数的和为偶数选A。

关于质数、合数的相关的内容，学会后还需要在做题中能够想到且用到，才能有效提升做题速度和正确率。

1。

质数和合数的应用题

质数和合数的应用题质数和合数是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

本文将结合实际问题，探讨质数和合数的应用，并通过具体案例加深理解。

一、质数的应用质数指大于1且除了1和自身没有其他因数的自然数。

在密码学领域中，质数应用广泛，主要是基于质因数分解的难解性。

质因数分解是指将一个合数拆分为多个质数的乘积。

例如，RSA算法中就用到了质数的特性。

RSA算法是一种常用的非对称加密算法，它基于两个大质数的乘积作为公钥，私钥由这两个质数的乘积的质因数组成。

由于质因数分解的困难性，破解RSA算法变得极为困难。

这表明质数在信息安全领域起到了重要的作用。

二、合数的应用合数是指至少有一个大于1的因数的自然数。

在实际生活中，合数也有着广泛的应用。

1. 质因数分解法质因数分解法是求解合数的质因数的常用方法。

它可以将合数表示为若干个质数的乘积。

这种分解方法在化学领域中常用于化学方程式的平衡。

例如，对于化学方程式H2 + O2 → H2O，我们可以通过质因数分解法来平衡方程式。

首先，将H2O分解为H和O的质因数，即2和1；而H2和O2分解后的质因数分别为2和2。

根据平衡定律，两边质因数的乘积应相等，因此，我们可以将H2 + O2 → H2O调整为2H2 + O2 → 2H2O，使质因数相等，方程式平衡。

2. 组合数学组合数学是数学中研究离散结构的一门学科，而其中的“组合”正是建立在合数的基础上。

在概率论和统计学中，组合数学的概念被广泛应用于解决问题。

例如，在抽样问题中，我们需要计算从n个元素中选择r个元素的组合数。

这个计算就依赖于合数的概念。

三、案例分析为了更好地理解质数和合数的应用，我们将通过一个案例进行分析。

问题：某市的一家工厂共有100名员工，其中有70%的员工参加了素质培训课程，其他员工没有参加。

而已知参加课程的员工比没有参加课程的员工多30人。

请问该市的员工总数是多少？解决方案：假设没有参加课程的员工数量为x，根据题目信息，参加课程的员工数量为70% * 100 = 70人，而且这个数量比没有参加课程的员工多30人。

小学数学质数、合数和分解质因数，10道例题，给你最全面的分析！

小学数学质数、合数和分解质因数，10道例题，给你最全面的分析！基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

例题分析例题1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：210=2×3×5×7可知这三个数是5、6和7。

例题2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17 23=11＋29=3 37。

17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例题3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例题4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，最多其中4个奇数都是质数。

综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例题5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

质数与合数重点复习与解题思路

质数与合数复习资料一，认识质数与合数质数：有且只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身，还有别的因数。

特点：⏹0和1既不是质数，也不是合数⏹2是最小的质数，也是唯一的偶数⏹4是最小的合数⏹除了2和5，其余质数的个位数都是1,3,7,9二、判断质数1、尾巴判断法，排除末尾是0,2,4,6,8,52、和判断法，排除数位上的数字和是3的倍数3、试除判断法，试除质数，被除数逐个从小到大除以质数，直到到商＜除数为止。

实例：判断148，143、179，135,243是不是质数。

解题思路：1）尾巴判断法，看尾数首先排除148和135；2）和判断法，排除243；3）试除判断法，开始判断143合179可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11……等质数去试除。

一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。

143：不是质数。

判断思路：从小到大试除，1）个位是3，排除了被2、5整除的可能性；2）它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除；3）通过口算也证明不能被7整除；4）当试除到11时,商正好是13,到此就可以断定143不是质数。

179：是质数。

步骤同143判断。

179÷2=59 (2)179÷3=66 (1)179÷5=35 (4)179÷7=25 (4)179÷11=16 (3)179÷13=13 (10)179÷17=10……9----结束当179÷17所得到的不完全商10比除数17小，就不需要继续再试除,而断定179是质数。

三、质合数与奇偶性结合考虑：2是唯一的偶质数奇+奇=偶奇+偶=奇偶+偶=偶奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数四、100以内的质数----要熟记，44 223 223 21 个数规律牢记2 3 5 7 ---四个11 13 17 19----四个====================之后都小于4个23 2931 3741 43 4753 5961 6771 73 7983 8997=====================100以内共25个质数100以内质数表课本练习题详解：1）7,9,8可以拼成多少个不同的质数。