原子物理学第一章习题参考答案

第一章习题参考答案速度为v 的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变，并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动)，注意这里电子要动.证明：设α粒子的质量为M α，碰撞前速度为V ，沿X 方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射.电子质量用m e 表示，碰撞前静止在坐标原点O 处，碰撞后以速度v 沿φ方向反冲.α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：222212121v m V M V M e +'=αα（1） ϕθααcos cos v m V M V M e +'=（2） ϕθαsin sin 0v m V M e -'=（3）作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得)sin(sin ϕθθα+=VM v m e （4）)sin(sin ϕθϕαα+='VM V M（5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与V ，)(sin sin )(sin sin 22222222ϕθθϕθϕααα+++=V m M V M V M e化简上式，得θϕϕθα222sin sin )(sin em M +=+（６）若记αμM m e=，可将（６）式改写为θϕμϕθμ222sin sin )(sin +=+ （７）视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有)](2sin 2sin [)]sin(2[sin ϕθϕμϕθμθϕθ++-=+-d d令0=ϕθd d ，则sin2(θ+φ)-sin2φ=0即2cos(θ+2φ)sinθ=0（1）若sinθ=0则θ=0（极小）（8） （2）若cos(θ+2φ)=0则θ=90º-2φ（9） 将（9）式代入（7）式，有θϕμϕμ2202)(90si n si n si n +=-由此可得183641⨯===αμθM m e sinθ≈10-4弧度（极大）此题得证.（1）动能为的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大（2）如果金箔厚μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几解：（1）依2cot2θa b =和E e Z Z a 02214πε≡金的原子序数Z 2=79 )(10752.2245cot 00.544.1792cot 42211502m E e Z b o -⨯=⨯=⋅=θπε答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为.(2) 要点分析：第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.90°～180°范围的积分，关键要知道n ，问题不知道nA ，但可从密度与原子量关系找出注意推导出n 值.AN A N A V V V N V N n ρρ==⋅==)(1mol A A 总分子数，其他值从书中参考列表中找.从书后物质密度表和原子量表中查出Z Au =79，A Au =197，ρAu =×104kg/m 3依：θθπθd a ntNN d si n 22si n16='2162422θθθπππsi n si n d a nt N N d ⎰=')2(sin 22sin 2)2(22cos 2sin 2sin θθθθθθθd d d == θθθθππεππd E Z nt ⎰⨯=242222sin 162cos 2sin 2)2(2)4e (θθθππεππd E Z nt ⎰⨯=232222sin 162cos2)2(2)4e (⎰⨯⨯=ππθθθπε242222sin 16)2sin (2sin4)(2π)4e (d E2Z nt注意到：AN A N A V V V N VN n ρρ==⋅==)(1mol A A 总分子数即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数.222)2(4 )4e nt(E Z ⨯ππε是常数其值为5-2215-2376-10486.9)5.00792(4π)10(1.44197106.22101.88101.0⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎰⎰===ππππθθθθθ232312sin )2sin (22sin 2cosd d I最后结果为：dN’/N=×10-5说明大角度散射几率十分小.1-3试问的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少若把金核改为7Li 核，则结果如何 要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素.解：对心碰撞时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2csc 12θa r m ，︒=180θ时，()a ar m =︒+=90csc 12离金核最小距离fm56.505.444.179240221=⨯⨯===E e Z Z a r m πε若金核改为7Li 核，m<<M 则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子E e Z Z a 02214πε=中，应把E 理解为质心系能E CLC E M m MV M m mM E +=+=221离7Li 核最小距离。

结果说明：靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反.1-4 ⑴ 假定金核半径为，试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少设铝核的半径为.要点分析：注意对头碰撞时，应考虑靶核质量大小，靶核很重时，m<<M 可直接用公式计算；靶核较轻时，m<<M 不满足，应考虑靶核的反冲，用相对运动的质心系来解.79A Au =196；13A Al =27解：⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m<<M ，则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2csc 12θa r m ，︒=180θ时，()a ar m =︒+=90csc 12即m m r Z Z e E r e Z Z 2102022144πεπε=∴= 即：1791.44fmMeV 16.25MeV 7.0fm E ⨯=⨯=⑵若金核改为铝核，m<<M 则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子E e Z Z a 02214πε=中，应把E 理解为质心系能E CL C E Mm M V M m mM E +=+=221M M m e Z Z E e Z Z a C c+•==∴0221022144πεπε mc r a ≈E=说明靶核越轻、Z 越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小.1-5动能为的窄质子束垂直地射在质量厚度为cm 2的金箔上，记数器的记录以60°角散射的质子.计数器圆形输入孔的面积为1.5cm 2，离金箔散射区的距离为10cm ，输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少（质量厚度ρm 定义为单位面积的质量ρm=ρt，则ρ=ρm/t 其中ρ为质量密度，t 为靶厚）.要点分析：没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n 和厚度t.需推导其关系.解：输入圆孔相对于金箔的立体角为222105.1105.1-⨯===Ωr s dA Au =197 θ=60º注意密度为单位体积的质量mV ρ=，单位体积内的粒子数为1A Am n N N V A A ρ== A N A n ρ=A mN tAn ρ=AmN Ant ρ=依公式2sin 16'42θαΩ=d ntNdN6422152342109.8)21(105.116)1044.179(10022.61975.12sin 16'---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=Ω=θαd nt N dN1-6一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比. 要点分析：此题无难点，只是简单积分运算. 解：依据散射公式2216216'4242θθθπαθαsi nsi n si nd ntNd ntN dN =Ω=⎰=⎰=⎰2121212)2(41622216'3242θθθθθθθθπαθθθπαsin sinsin sin d ntN d tN n dN因为232sin 1212sin )2sin (180602180603=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎰θθθd同理算出212sin 1212sin )2sin (180902180903=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎰θθθd 可知31/23/2''9060==>>dN dN补：求积分式⎰21224θθθθθπsin sin d 的积分结果解：积分式的积分结果⎰⎰⎰==2121212sin 2cos 2sin222sin sin 22sin sin 2444θθθθθθθθθθπθθθπθθθπd d d=212121212sin 142sin 12182sin )2(sin 242sin 2cos 42233θθθθθθθθθπθπθθπθθθπ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎰⎰d d结果：21212sin 142sin sin 224θθθθθπθθθπ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎰d还有另外一种求解方法.1-7单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为cm 2的钽箔上，这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为×10-3.试计算：散射角θ=60°角相对应的微分散射截面Ωd d σ.要点分析：重点考虑质量厚度与nt 关系.解：ρm =cm22102.0->⨯='︒NN d θA Ta =181；Z Ta =73；θ=60ºAN A n ρ=AmN tA n ρ=AmN Ant ρ=依微分截面公式21642θασsin 1=Ωd d知该题重点要求出a 2/16。

由公式34180202234180202104.32sin sin 216106.0221812.02sin 16'-⨯=⨯⨯⨯⨯=Ω=⎰⎰θθθπθαd a d nt N dN 3180202221418020223104.32sin 1)4(161065.62sin sin 216106.0221812.0-⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⎰θπθθθπad a3221104.3(-22.13))4(16106.65-⨯=⨯-⨯⨯⨯πa 所以262102.3316-⨯=a274264210456.1260sin 11033.22sin 116--⨯=⨯⨯==Ωθασd d1-8(1)质量为m1的入射粒子被质量为m2（m2<<m1）的静止靶核弹性散射，试证明：入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定.12sin m m =θ（2）假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大要点分析：同第一题结果类似. 证明：222121212121v m V m V m +'=（1）ϕθcos cos 211v m V m V m +'=（2） ϕθsin sin 021v m V m -'=（3）作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得)sin(sin 12ϕθθ+=Vm v m （4） )sin(sin 11ϕθϕ+='Vm V m （5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v ，得)(sin sin )(sin sin 222221222121ϕθθϕθϕ+++=Vm m V m V m化简上式，得θϕϕθ21222sin sin )(sin m m +=+ （６）若记12m m =μ，可将（６）式改写为θϕμϕθμ222sin sin )(sin +=+ （７） 视θ为φ的函数θ(φ)，对(7)式求θ的极值，有)](2sin 2sin [)]sin(2[sin ϕθϕμϕθμθϕθ++-=+-d d令0=ϕθd d ，则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0，即2cos(θ+2φ)sinθ=0(1)若sinθ=0，则θ=0（极小）（8） (2)若cos(θ+2φ)=0则θ=90º-2φ（9）将(9)式代入(7)式，有)(sin sin )(90sin 222θϕμϕμ+=-︒由此可得12sin m m==μθ 若m 2=m 1则有︒====90,1sin 12θμθm m此题得证.1-9动能为的窄质子束垂直地射到质量厚度（ρt）为cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少要点分析：此题靶为一个复合材料靶，比例按照质量比计算.关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分计算. 从书后表可知：Z Au =79，A Au =197，ρAu =×104kg/m 3；Z Ag =47，A Ag =108，ρAg =×104kg/m 3. 解：先求金箔的厚度tρt=ρAu +ρAg )t=cm 2（此种处理科学否）是原子数之比，还是质量之比还是μm 0.916101.050.3101.8880.7101.50.30.7101.54422=⨯⨯+⨯⨯⨯=+⨯=--m t Ag Au ρρ这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为AAuAu N A tρ和AAgAg N A tρ再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目.被金原子散射的相对数目为：︒︒︒︒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=='=⎰⎰18030222221u u 4218030Au Au2sin 121244.1Z Z 2sin d sin 216d θπρθθθπαηA A A N A t nt N N 式中，N 为入射质子总数，dN Au ’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数.同理可得质子被银原子散射的相对数目为：︒︒︒︒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=='=⎰⎰180302223214218030Ag Ag 2sin 121244.1Z Z 2sin d sin 216d θπρθθθπαηA Ag Ag N A t nt N N 被散射的相对质子总数为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯+⨯=+=--2180sin1230sin 14)1044.1(4)1044.1(2222523212252221E Z Z N A t E Z Z N A t AAg Ag A Au Au AgAu πρπρηηη 将已知数据代入：N A =×1023，E=，t=μm，Z Au =79，A Au =197，ρAu =×103kg/m 3，Z Ag =47，A Ag =108，ρAg =×103kg/m 3η≈×10-5 结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换，很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.1-10由加速器产生的能量为、束流为的质子束，垂直地射到厚为μm 的金箔上，试求5min 内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度（ρ=×104kg/m3）[1]59°～61°；[2]θ>θ0=60°[3]θ<θ0=10°要点分析：解决粒子流强度和入射粒子数的关系.注意：第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得.解：设j 为单位时间内入射的粒子数，I 为粒子流强度，因I=je ，j=I/e ，时间T=5min 内单位面积上入射的质子的总数为N 个：912195.0105609.36101.60217710IT N jT e --⨯⨯⨯====⨯⨯再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为：21642θαsi n A d NN d Ω='单位时间内，被所有靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为2sin162sin164242θαθαΩ=Ω='d ntNnAt A d NN d2224442sin 16sin16sin16sin 222a d a d a d dn NnAt jTnt jTntA πθθθθθΩΩ===式中，n 为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：AN An ρ=所以，上式可写为2224442sin 16sin16sin16sin 222A a d a d a d dn NnAt jTnt jTN tAA ρπθθθθθΩΩ===[1]()2221112122442224236123032sin 2sin 1616sin sin 221416sin 2791.441.8810 6.021011.21.5109.361010196104sin A A A a d a d dn jTN tjT N t AA a N Ttj A θθθθθθθθρπθθρπθθθθρπθ--==⎡⎤⎢⎥⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎢⎥=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰612599925.71910(0.228) 1.310θ︒︒⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-⨯⨯-=⨯[2]仍然像上式一样积分，积分区间为60°-180°，然后用总数减去所积值.即θ>θ0=60°的值.21180999102260115.71910 5.71910 5.719103 1.715110sin sin 22θθθθ︒︒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[3]由于0°的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°，然后用总数减去所积值，即θ<θ0=10°的值.21180999112210115.71910 5.71910 5.7191032.16 1.8410sin sin 22θθθθ︒︒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦总数为××1011=×1012(个)。