2018年中考数学选择填空压轴题专题(初中数学全套通用)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：选择、填空(浙江专版)(原卷)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（浙江专版）选择、填空一．选择题（共18小题）1．（2018•杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°2．（2018•宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π3．（2018•嘉兴）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2 5．（2018•宁波）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 6．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．D．8．（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b9．（2018•温州）如图，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C，D 在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）A．4 B．3 C．2 D．10．（2018•嘉兴）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（）A．甲B．甲与丁C．丙D．丙与丁11．（2018•湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F 处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．AB=2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△ADE和△FDE的面积相等12．（2018•绍兴）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（）A．B．C．D．13．（2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r 14．（2018•绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）A．16张B．18张C．20张D．21张15．（2018•金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°16．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a 的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥17．（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱18．（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O 作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm二．填空题（共12小题）19．（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD 的边相切时，BP的长为．20．（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G 在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=．21．（2018•温州）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C 是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．22．（2018•嘉兴）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．23．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．24．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．25．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．26．（2018•绍兴）过双曲线y=（k＞0）上的动点A作AB⊥x轴于点B，P是直线AB上的点，且满足AP=2AB，过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C．如果△APC的面积为8，则k的值是．27．（2018•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．28．（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是．29．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．30．（2018•衢州）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x 轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△A nB n﹣1C n﹣1经γ（n，180°）变换后得△A n B n C n，则点A1的坐标是，﹣1点A2018的坐标是．。
江苏省无锡地区2018年中考数学选择填空压轴题专题2方程不等式中的含参问题20180723164
专题02 方程、不等式中的含参问题例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．x＋y＋z同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则＝________．x－y＋z4x＋3m＝2同类题型1.2 方程组{8x－3y＝m)的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）9 10 19 A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞10 9 10 10 19例2．关于x的方程x＋mx－9＝0和x－3x＋m＋6m＝0有公共根，则m的值为________．2018同类题型2.1 已知a是一元二次方程x－2018x＋1＝0的一个根，则代数式a－2017a＋的a＋1值是___．同类题型2.2 已知关于x的方程（k－1）x＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．同类题型2.3 已知α、β是方程x－2x－4＝0的两个实数根，则α＋8β＋6的值为（）A．－1 B．2 C．22 D．301 1 1 1 1例3．已知方程x＋＝a＋的两根分别为a，，则方程x＋＝a＋的根是x a a x－1 a－1 （）1 1 1 aA．a，B．，a－1 C．，a－1 D．a，a－1 a－1 a a－12x－b同类题型3.1 若关于x的方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．x－12 6 12同类题型3.2 观察分析下列方程：①x＋＝3；②x＋＝5；③x＋＝7．请利用它们所蕴x x x1n＋n含的规律，求关于x的方程x＋＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是x－4_________________．2 a＋1 3a同类题型3.3 已知关于x的方程－＝只有整数解，则整数a的值为x－1 x＋2 (x－1)(x＋2)_____________．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．同类题型4.1设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．5同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等2式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是____________．x＋4 x＞＋1同类题型4.4 若关于x的不等式组{x－a＜0)解集为x＜2，则a的取值范围是___________．3 2同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．参考答案例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．3a＋2b＋c＝5解：由题意可得{2m a＝＋3b a－＋3b c－＝71c)，7﹒(m＋2) 11﹒(m＋2) m＋2解得a＝－3，b＝7－，c＝，3 3 3由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，1 5∴－≥m≥－．11 75所以m_(最小值)＝－．75故本题答案为：－．7x＋y＋z同类题型1.1 已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则＝________．x－y＋zx＋2y－3z＝0①解：由题意得：{2x＋3y＋5z＝0②)，①×2－②得y＝11z，代入①得x＝－19z，x＋y＋z－19z＋11z＋z7原式＝＝＝．x－y＋z－19z－11z＋z294x＋3m＝2同类题型1.2 方程组{8x－3y＝m)的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）9 10 19 A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞10 9 10 10 194x＋3m＝2①解：{8x－3y＝m②)2－3m2－3m4－7m由①得x＝，代入②得，8 ×－3y＝m，y＝．4 4 32－3m4－7m10∵x＞y，即＞，解得m＞．4 3 19选D．例2．关于x的方程x＋mx－9＝0和x－3x＋m＋6m＝0有公共根，则m的值为________．解：设这个公共根为α．则方程x＋mx－9＝0的两根为α、－m－α；方程x－3x＋m＋6m＝0的两根为α、3－α，由根与系数的关系有：α（－m－α）＝－9，α（3－α）＝m＋6m，整理得，α＋mα＝9①，α－3α＋m＋6m＝0②，②－①得，m＋6m－3α－mα＝－9，即（m＋3）－α（m＋3）＝0，（m＋3）（m＋3－α）＝0，所以m＋3＝0或m＋3－α＝0，解得m＝－3或α＝m＋3，把α＝m＋3代入①得，（m＋3）＋m（m＋3）＝9，m＋6m＋9＋m＋3m＝9，m（2m＋9）＝0，所以m＝0或2m＋9＝0，解得m＝0或m＝－4.5，综上所述，m的值为－3，0，－4.5．2018同类题型2.1 已知a是一元二次方程x－2018x＋1＝0的一个根，则代数式a－2017a＋的a＋1值是___．解：由题意，把根a代入x－2018x＋1＝0，可得：a－2018a＋1＝0，∴a－2017a－a＋1＝0，a＋1＝2018a；∴a－2017a＝a－1，2018 2018 1∴a－2017a＋＝a－1＋＝a＋－1a＋1 2018a aa＋1 2018a＝－1＝－1a a＝2018－1，＝2017．同类题型2.2 已知关于x的方程（k－1）x＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．解：由题意知，k≠±1，△＝（2k－1）－4（k－1）＝5－4k＞05∴k＜且k≠±1．4同类题型2.3 已知α、β是方程x－2x－4＝0的两个实数根，则α＋8β＋6的值为（）4A．－1 B．2 C．22 D．30解：∵α、β是方程x－2x－4＝0的两个实数根，∴α＋β＝2，α－2α－4＝0，∴α＝2α＋4∴α＋8β＋6＝α﹒α＋8β＋6＝α﹒（2α＋4）＋8β＋6＝2α＋4α＋8β＋6＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6＝8α＋8β＋14＝8（α＋β）＋14＝30，故选D．1 1 1 1 1例3．已知方程x＋＝a＋的两根分别为a，，则方程x＋＝a＋的根是（）x a a x－1 a－11 1 1 aA．a，B．，a－1 C．，a－1 D．a，a－1 a－1 a a－11 1 1 1解：方程x＋＝a＋可以写成x－1＋＝a－1＋的形式，x－1 a－1 x－1 a－11 1 1∵方程x＋＝a＋的两根分别为a，，x a a1 1 1∴方程x－1＋＝a－1＋的两根的关系式为x－1＝a－1，x－1＝，即方程的根为x x－1 a－1 a－1a＝a或，a－11 1 a∴方程x＋＝a＋的根是a，．x－1 a－1 a－1选D．2x－b同类题型3.1 若关于x的方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．x－1解：去分母得，2x－b＝3x－3∴x＝3－b∵x≥0∴3－b≥0解得，b≤3又∵x－1≠0∴x≠1即3－b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．2 6 12同类题型3.2 观察分析下列方程：①x＋＝3；②x＋＝5；③x＋＝7．请利用它们所蕴x x xn＋n含的规律，求关于x的方程x＋＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是x－4_________________．1 × 2解：x＋＝3，解得：x＝2或x＝1；x2 × 3x＋＝5，解得：x＝2或x＝3；x53 × 4x＋＝7，解得：x＝3或x＝4，xmn得到规律x＋＝m＋n的解为：x＝m或x＝n，xn(n＋1)所求方程整理得：x－4＋＝2n＋1，x－4根据规律得：x－4＝n或x－4＝n＋1，解得：x＝n＋4或x＝n＋5．2 a＋1 3a同类题型3.3 已知关于x的方程－＝只有整数解，则整数a的值为x－1 x＋2 (x－1)(x＋2)_____________．解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得：2（x＋2）－（a＋1）（x－1）＝3a，2a－5 3解得：x＝＝－2－，1－a1－a∵方程只有整数解，∴1－a＝3或1或－3或－1，当1－a＝3，即a＝－2时，x＝－2－1＝－3，检验，将x＝－3代入（x－1）（x＋2）＝4≠0，故x＝－3是原分式方程的解；当1－a＝1，即a＝0时，x＝－2－3＝－5，检验，将x＝－5代入（x－1）（x＋2）＝18≠0，故x＝－7是原分式方程的解；当1－a＝－3，即a＝4时，x＝－2＋1＝－1，检验，将x＝－1代入（x－1）（x＋2）＝－2≠0，故x＝－1是原分式方程的解；当1－a＝－1，即a＝2时，x＝1，检验，将x＝1代入（x－1）（x＋2）＝0，故x＝1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：－2，0或4．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．解：①当x＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x]＝－3，不相等，故原来的说法错误；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1是正确的；③当－1＜x＜0时，[1＋x]＋[1－x]＝0＋1＝1；当x＝0时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋1＝2；当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋0＝1；故当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2是正确的；④x－[x]的范围为0～1，4x－2[x]＋5＝0，－5≤2x＜－7，即－2.5≤x＜－3.5，x＝－2.75或x＝－3.25都是方程4x－2[x]＋5＝0，故原来的说法错误．故答案为：②③．6同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2解：根据题意得：x＞0，若x≥2，则2x≥4，[x]≥2，3{x}≥6，4（x）≥8，不等式不成立．故只需分析0＜x＜2时的情形即可，①0＜x≤0.5时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x≤5.5，不符合不等式；②当0.5＜x≤1时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x≤3，因此0.5＜x≤1，符合不等式；③当1＜x＜1.5时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x≤1.5，因此1＜x＜1.5，符合不等式；④当1.5＜x＜2时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x≤－0.5，不符合不等式．故原不等式的解集为：0.5＜x＜1.5．故选C．同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．解：①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7）＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确；③4[x]＋3（x）＋[x）＝11，7[x]＋3＋[x）＝11，7[x]＋[x）＝8，1＜x＜1.5，故③正确；④∵－1＜x＜1时，∴当－1＜x＜－0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1，当－0.5＜x＜0时，y＝[x]＋（x）＋x＝－1＋0＋x＝x－1，当x＝0时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋0＋0＝0，当0＜x＜0.5时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，当0.5＜x＜1时，y＝[x]＋（x）＋x＝0＋1＋x＝x＋1，1 1∵y＝4x，则x－1＝4x时，得x＝－；x＋1＝4x时，得x＝；当x＝0时，y＝4x＝0，3 37∴当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．5同类题型4.3 如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等2式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是____________．5解：∵关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜，2b－2a∴x＜，a＋bb－2a5∴＝，且a＋b＜0，a＋b2即b＝－3a，a＋b＜0，∴a－3a＜0，即a＞0，∴b－a＝－4a＜0，－a－2b∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥，b－a－a－2b－a＋6a 5∵＝＝－，b－a－3a－a45 ∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥－．4x＋4 x＞＋1同类题型4.4 若关于x的不等式组{x－a＜0)解集为x＜2，则a的取值范围是___________．3 2x＋4 x解：由＞＋1，得3 22x＋8＞3x＋6，解得x＜2，由x－a＜0，得x＜a，x＋4 x＞＋1又因关于x的不等式组{x－a＜0)解集为x＜2，3 2所以a≥2．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．解：∵最后输出的数为656，∴5x＋1＝656，得：x＝131＞0，∴5x＋1＝26，得：x＝5＞0，8∴5x＋1＝5，得：x＝0.8＞0；∴5x＋1＝0.8，得：x＝－0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．9。
(完整word版)2018年全国各地中考数学选择、填空压轴题汇编(一),推荐文档
2018年全国各地中考数学选择、填空压轴题汇编（一）参考答案与试题解析一•选择题（共13小题）1. （2018?长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A. 7.5平方千米B. 15平方千米 C. 75平方千米D. 750平方千米解：••• 52+122=132，•••三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，•••这块沙田面积为：寺X 5X 500X 12X 500=7500000 （平方米）=7.5 （平方千米）.Z故选：A.2. （2018?株洲）已知一系列直线y=a k x+b （a k均不相等且不为零，a k同号，k为大于或等于2的整数，b>0）分别与直线y=0相交于一系列点A k，设A k的横坐标为x k，则对于式子——-（K i< k，Kj < k, E j）,下列一定正确的是（）Z i-K jA. 大于1B.大于0C.小于-1D.小于0| b b解：由题意X i=—云，X j二—石，亠a i_a3屯•巧•式子= -> 0，圧厂幻b故选：B.3. （2018?衡阳）对于反比例函数y=-〒，下列说法不正确的是（）A. 图象分布在第二、四象限B. 当x>0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点（1，- 2）D. 若点A （X1，y1），B （X2，y2）都在图象上，且X1V X2，则y1V y2解：A、k=-2v0,二它的图象在第二、四象限，故本选项正确;B、k=- 2v0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；2|C、：-「=- 2,二点(1，- 2)在它的图象上，故本选项正确；D、点A (x i，y i)、B (X2、y2)都在反比例函数y=-吕的图象上，若x i<X2<0，贝U y i v y2,故本选项错误.故选：D.4. (2018?长沙)若对于任意非零实数a,抛物线y=a^+ax- 2a总不经过点P (x°-3, X。
无锡地区2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题
专题03 函数的几何综合问题例1．如图,在平面直角坐标系中,直线l：错误!与x轴交于点错误!，以错误!为边长作等边三角形A1OB1，过点错误!作错误!平行于x轴,交直线l于点错误!，以错误!为边长作等边三角形错误!，过点错误!作错误!平行于x轴,交直线l于点B3，以错误!为边长作等边三角形错误!,…，则点错误!的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点错误!，在x轴正方向上取点错误!，使错误!；过点错误!作错误!⊥x轴，交l于点错误!，在x轴正方向上取点错误!，使错误!；过点错误!作错误!⊥x轴，交l于点错误!,在x轴正方向上取点错误!，使错误!；…记错误!面积为错误!,错误!面积为错误!，错误!面积为错误!,…则错误!等于（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!同类题型1.2 如图,已知直线l：错误!x，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点错误!;过点错误!作y轴的垂线交直线l于点错误!，过点错误!作直线l的垂线交y轴于点错误!；…；按此作法继续下去,则点错误!的坐标为（）A．(0,128) B．（0,256) C．（0，512) D．(0，1024）同类题型1。
3 如图，在平面直角坐标系中,直线l:错误!x＋1交x轴于点B,交y轴于点A，过点A作错误!⊥AB交x轴于点错误!，过点错误!作错误!⊥x轴交直线l于点错误!…依次作下去，则点错误!的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C,甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A,甲、乙两车离B的距离错误!、错误!(千米）与行驶时间x(小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为(7，180）,其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上)．同类题型2。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：选择、填空(湖北专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版）选择、填空参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2018•天门）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5解：如图，连接AE，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6﹣x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2，解得x=2．则DE=2．故选：C．2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故选：B．3．（2018•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A．B．C．2πD．解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．4．（2018•天门）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选：A．5．（2018•黄石）已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D．x＜﹣1或0＜x＜4解：解方程组得：，，即A（4，1），B（﹣1，﹣4），所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，故选：B．6．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．7．（2018•黄石）如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A．B．C．D．解：∵∠P=90°，PM=PN，∴∠PMN=∠PNM=45°，由题意得：CM=x，分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，∵∠PMN=45°，∴△MEC是等腰直角三角形，此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，=CM•CE=；∴y=S△EMC故选项B和D不正确；②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，∵∠N=45°，CD=2，∴CN=CD=2，∴CM=6﹣2=4，即此时x=4，当2＜x ≤4时，如图3，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分是四边形EMCD ，过E 作EF ⊥MN 于F ，∴EF=MF=2，∴ED=CF=x ﹣2，∴y=S 梯形EMCD =CD•（DE +CM ）==2x ﹣2；③当4＜x ≤6时，如图4，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分是五边形EMCGF ，过E 作EH ⊥MN 于H ，∴EH=MH=2，DE=CH=x ﹣2，∵MN=6，CM=x ，∴CG=CN=6﹣x ，∴DF=DG=2﹣（6﹣x ）=x ﹣4，∴y=S 梯形EMCD ﹣S △FDG =﹣=×2×（x ﹣2+x ）﹣=﹣+10x ﹣18，故选项A 正确；故选：A ．8．（2018•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D 的坐标为（ ）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（﹣2，5）解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），∴点O是AC的中点，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD经过点O，∵B的坐标为（﹣2，﹣2），∴D的坐标为（2，2），故选：A．9．（2018•襄阳）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得：m≤5，故选：A．10．（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故选：D．11．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．2解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．12．（2018•宜昌）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C 面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（）A．p1＞p2＞p3B．p1＞p3＞p2C．p2＞p1＞p3D．p3＞p2＞p1解：∵p=，F＞0，∴p随S的增大而减小，∵A，B，C三个面的面积比是4：2：1，∴p1，p2，p3的大小关系是：p3＞p2＞p1．故选：D．13．（2018•荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3﹣1=2，OE=4﹣1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．故选：A．14．（2018•孝感）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．解：由题意可得：PB=3﹣t，BQ=2t，则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3﹣t）×2t=﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选：C．15．（2018•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2a，﹣9a），∴﹣=﹣2a，=﹣9a，∴b=4a，c=5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．16．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D．17．（2018•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．5解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB===8，故选：B．18．（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（）A．B．C．D．解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；故选：B．19．（2018•咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选：A．20．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．21．（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．22．（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），∴﹣=﹣1，a+b+c=0，∴b=2a，c=﹣3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，故③正确，∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，﹣1.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，故选：B．二．填空题（共14小题）23．（2018•天门）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=．解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，∴OC=CA1=P1C=3，设A1D=a，则P2D=a，∴OD=6+a，∴点P2坐标为（6+a，a），将点P2坐标代入y=﹣x+4，得：﹣（6+a）+4=a，解得：a=，∴A1A2=2a=3，P2D=，同理求得P3E=、A2A3=，∵S1=×6×3=9、S2=×3×=、S3=××=、……∴S2018=，故答案为：．24．（2018•襄阳）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为．解：设AB=a，AD=b，则ab=32，由△ABE∽△DAB可得：=，∴b=a2，∴a3=64，∴a=4，b=8，设PA交BD于O．在Rt△ABD中，BD==12，∴OP=OA==，∴AP=．故答案为．25．（2018•武汉）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．26．（2018•孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1．解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1故答案为x1=﹣2，x2=1．27．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=2．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．28．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．29．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为20．30．（2018•孝感）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣l，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为7．解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，设D（x，），∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，易得△AGD≌△DHC≌△CMB，∴AG=DH=﹣x﹣1，∴DG=BM，∴1﹣=﹣1﹣x﹣，x=﹣2，∴D（﹣2，﹣3），CH=DG=BM=1﹣=4，∵AG=DH=﹣1﹣x=1，∴点E的纵坐标为﹣4，当y=﹣4时，x=﹣，∴E（﹣，﹣4），∴EH=2﹣=，∴CE=CH﹣HE=4﹣=，∴S=CE•BM=××4=7；△CEB故答案为：7．31．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．32．（2018•随州）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为3．解：设点A的坐标为（3a，a），∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，∴a=3a﹣2，得a=1，∴1=，得k=3，故答案为：3．33．（2018•咸宁）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A 关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是①③④．（把你认为正确结论的序号都填上）．解：①∵A、C关于直线OM'对称，∴OM'是AC的垂直平分线，∴CD=AD，故①正确；②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，∴OA=OB=OC，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O 上，∵∠MON=120°，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠E=60°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，由①得：CD=AD，∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD=CD，④∵CD=AD，∠ACD=60°，∴△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，∴△ACD面积的最大值是：AC2==，故④正确，所以本题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．34．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为（，﹣）．解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴OH=B′H=OB′=，∴点B′的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．35．（2018•恩施州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC 沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为π+．（结果不取近似值）解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，∴∠ACB=30°，BC=，将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积；∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=++•1•=+．故答案为π+．36．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD 时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是①③④．（写出所有正确判断的序号）解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；四边形ABCD的面积S=，故②错误；当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，∴AD⊥CD，EF==，∵S=S梯形ABFD﹣S△ADF，△ABF∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，解得h=，故⑤错误；故答案为：①③④．。
2018中考数学压轴题专题10选择填空方法综述(解析版)(PDF版)
规律 . 解决规律探究性问题常常利用特殊值 ( 特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等
) 进行归纳、概括 ,
从特殊到一般 , 从而得出规律 ( 符合一定的经验与事实的数学结论 ), 然后验证或应用这一规律解题即可 . 解
答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求
.
3. 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关 于线对称”， “线段的平移” . 原型 ---- “饮马问题”， “造桥选址问题”， 考的较多的还是“饮马问题”，
. 大量积累基本图形，并在此基础上“截长补短” ，
“能割善补 ”，是学习几何图形的一个诀窍，每一个重要概念，重要定理都有一个基本图形，三线八角可以
算做一个基本图形 .
2. 以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题：掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊 到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的
出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 4. 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的选择填空题：在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折
叠出等长， 折叠出等腰三角形， 折叠出全等与相似等 . 图形的旋转是中考题的新题型， 热点题型， 解题方法 :
结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律；注重对网格内和坐标内的图形 的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法；关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方
& 变式训练 &
变式 2.1（ 2017 四川省巴中市） 如图，A、B、C、D 为圆 O 的四等分点， 动点 P 从圆心 O 出发，沿 CO→ CD →DO
2018年中考数学选择填空压轴题专题成套汇总(精品)
目录四边形的综合问题 ............................................................................. - 1 - 方程、不等式中的含参问题............................................................ - 21 - 函数的几何综合问题........................................................................ - 30 - 函数的动点问题 ............................................................................... - 54 - 三角形综合问题 ............................................................................... - 76 - 四边形的综合问题 ......................................................................... - 100 - 圆的综合问题 ................................................................................. - 121 - 几何变换问题 ................................................................................. - 143 - 阅读理解问题 ................................................................................. - 161 - 选择填空方法综述 ......................................................................... - 171 -四边形的综合问题例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 _____________．参考答案例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF ＝12CP ＝12b ，a 2＋b 2 ＝8， ∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP ＝AP ＝CD ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b ＝12ab ， 又∵（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 ≥0，∴2ab ≤a 2＋b 2 ＝8，∴12ab ≤2， 即四边形PCDE 面积的最大值为2．同类题型1.1 如图，△APB 中，AP ＝4，BP ＝3，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和正△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是___________．解：∵△APE 和△ABD 是等边三角形，∴AE ＝AP ＝4，AB ＝AD ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ＝60°－∠DAP ，在△EAD 和△PAB 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAD ＝∠PAB AD ＝AB∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴DE ＝BP ，同理△DBC ≌△ABP ，∴DC＝AP，∵△APE和△BPC是等边三角形，∴EP＝AP，BP＝CP，∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4，∴四边形PCDE是平行四边形，当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG ⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AH ∥BG ，AD ＝BC ，∴∠H ＝∠HBG ，∵∠HBG ＝∠HBA ，∴∠H ＝∠HBA ，∴AH ＝AB ，同理可证BG ＝AB ，∴AH ＝BG ，∵AD ＝BC ，∴DH ＝CG ，故C 正确，∵AH ＝AB ，∠OAH ＝∠OAB ，∴OH ＝OB ，故A 正确，∵DF ∥AB ，∴∠DFH ＝∠ABH ，∵∠H ＝∠ABH ，∴∠H ＝∠DFH ，∴DF ＝DH ，同理可证EC ＝CG ，∵DH ＝CG ，∴DF ＝CE ，故B 正确，无法证明AE ＝AB ，选D ．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H 是CF 与DN 的交点，取CD 的中点G ，连接HG ，，设AB ＝6a cm ，则BC ＝7a cm ，中间菱形的对角线HI 的长度为x cm ，∵BC ＝7a cm ，MN ＝EF ＝4cm ，∴CN ＝7a ＋42，∵GH ∥BC ，∴GH CN ＝DG DC ，∴7a －x 27a ＋42＝12， ∴x ＝3.5a －2…（1）； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，∴6a ﹒（7a －x ）÷2＝54，∴a （7a －x ）＝18…（2）；由（1）（2），可得a ＝2，x ＝5，∴CD ＝6×2＝12（cm ），CN ＝7a ＋42＝7×2＋42＝9(cm) ， ∴DN ＝122＋92 ＝15（cm ）， 又∵DH ＝DG 2＋GH 2＝62＋(7×2－52)2 ＝7.5（cm ）， ∴HN ＝15－7.5＝7.5（cm ），∵AM ∥FC ，∴KN HK ＝MN CM ＝49－4＝45， ∴HK ＝54＋5×7.5＝256(cm) ， ∴该菱形的周长为：256×4＝503（cm ）．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．解：延长AB 至M ，使BM ＝AE ，连接FM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°∴AB ＝AD ，∠A ＝60°，∵BM ＝AE ，∴AD ＝ME ，∵△DEF 为等边三角形，∴∠DAE ＝∠DFE ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，∴∠MEF ＋∠DEA ═120°，∠ADE ＋∠DEA ＝180°－∠A ＝120°，∴∠MEF ＝∠ADE ，∴在△DAE 和△EMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ME∠MEF ＝∠ADE DE ＝EF ∴△DAE ≌EMF （SAS ），∴AE ＝MF ，∠M ＝∠A ＝60°，又∵BM ＝AE ，∴△BMF 是等边三角形，∴BF ＝AE ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BC ＝CF ＋BF ＝2t ＋t ＝3t ，∵BC ＝4，∴3t ＝4，∴t ＝43． 同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 为AD 中点，∴2MD ＝AD ＝CD ＝2，∠FDM ＝60°，∴∠FMD ＝30°，∴FD ＝12MD ＝12， ∴FM ＝DM ×cos30°＝32， ∴MC ＝FM 2＋CF 2＝7 ，∴A ′C ＝MC －MA ′＝7 －1．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．解：∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点，∴△AA 1D 1 是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形，∴A 1D 1 ＝5，C 1D 1＝12AC ＝5 3 ，A 2B 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝A 2D 2 ＝5， 同理可得出：A 3D 3＝5×12 ，C 3D 3＝12C 1D 1＝12×5 3 ， A 5D 5＝5×（12）2 ，C 5D 5＝12C 3D 3＝（12）2×5 3 ， …∴四边形A 2015B 2015C 2015D 2015 的周长是：5＋5321007 ．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB ，FE 交于点G ，∵∠AEF ＋∠BEC ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴∠AEF ＝∠BCE ，①正确；在△AEF 和△BEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠GBE ＝90°AE ＝BE∠AEF ＝∠BEG， ∴△AEF ≌△BEG （ASA ），∴AF ＝BG ，EF ＝EG ，∵CE ⊥EG ，∴S △CEG ＝S △CEF ，CG ＝CF ，∴S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ，②正确；∴AF ＋BC ＝BG ＋BC ＝CG ＝CF ，③错误；∵BC CD ＝32， ∴∠BCE ＝30°，∴∠FCE ＝∠FCD ＝30°，在△CEF 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠FEC ＝90°∠DCF ＝∠ECFCF ＝CF ， ∴△CEF ≌△CDF （AAS ），④正确．同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE= 2 AB ，∵AD= 2 AB ，∴AE ＝AD ，在△ABE 和△AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DAE∠ABE ＝∠AHD ＝90°AE ＝AD， ∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12 （180°－45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵∠AHB=12 （180°－45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE ＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DOH ＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DOH ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故⑤正确；∵∠EBH ＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，又∵BE ＝DH ，∠AEB ＝∠HDF ＝45°在△BEH 和△HDF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EBH ＝∠OHDBE ＝DH ∠AEB ＝∠HDF∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD ＝BE 、DF ＝EH ＝CE ，CF ＝CD －DF ，∴BC －CF ＝（CD ＋HE ）－（CD －HE ）＝2HE ，所以④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥D E 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝2AB ＝ 2 CD ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ＝45°，∵AD ⊥DE ，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD ＝ 2 AB ，∴AH ＝AB ＝CD ，∵△DEC 是等腰直角三角形，∴DE ＝ 2 CD ，∴AD ＝DE ，∴∠AED ＝67.5°，∴∠AEB ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠AEB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ，故①正确；设DH ＝1，则AH ＝DH ＝1，AD ＝DE ＝ 2 ，∴HE ＝ 2 ， ∴22HE ＝22≠1，故②错误；∵∠AEH ＝67.5°，∴∠EAH ＝22.5°，∵DH ＝CD ，∠EDC ＝45°，∴∠DHC ＝67.5°，∴∠OHA ＝22.5°，∴∠OAH ＝∠OHA ，∴OA ＝OH ，∴∠AEH ＝∠OHE ＝67.5°，∴OH ＝OE ，∴OH ＝12AE ， 故④正确；∵AH ＝DH ，CD ＝CE ，在△AFH 与△CHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AHF ＝∠HCE ＝22.5°∠FAH ＝∠HEC ＝45°AH ＝CE ， ∴△AFH ≌△CHE ，∴∠AHF ＝∠HCE ，∵AO ＝OH ，∴∠HAO ＝∠AHO ，∴∠HAO ＝∠BCF ，∵∠B ＝∠AHE ＝90°，∴△AEH ∽△CFB ，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴EF AF ＝BE AD ＝12， ∴EF ＝12AF ， ∴EF ＝13AE ， ∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE ＝DE ，∴EF ＝13DE ，设EF ＝x ，则DE ＝3x ， ∴DF ＝DE 2－EF 2＝2 2 x ，∴tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24；选A ．例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB ＋∠BAP ＝90°，∠PAD ＋∠BAP ＝90°，∴∠EAB ＝∠PAD ，又∵AE ＝AP ，AB ＝AD ，∵在△APD 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAB ＝∠PAD AB ＝AD， ∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立；③∵△APD ≌△AEB ，∴∠APD ＝∠AEB ，∵∠AEB ＝∠AEP ＋∠BEP ，∠APD ＝∠AEP ＋∠PAE ，∴∠BEP ＝∠PAE ＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝BP 2－PE 2 ＝2，∴BF ＝EF ＝ 2 ，故此选项正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1，∴EP ＝ 2 ，又∵PB ＝ 6 ，∴BE ＝2，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝2，∴S △ABP ＋S △ADP ＝S △ABD －S △BDP ＝12 S 正方形ABCD －12×DP ×BE ＝12×（4＋6）－12×2×2＝62． 故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝ 2 ，AE ＝1，∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE ＋EF ）2＋BF 2＝5＋2 2 ，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5＋22，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360＝π， ∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4． 选：A ．同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：①②如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝90°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠FAD ＝∠CAF ＝22.5°，∵BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠FAD ＝22.5°，∴∠HAC ＝∠FAC ，∴HM ＝FM ，AC ⊥FH ，∵AE 平分∠DAC ，∴DF ＝FM ，∴FH ＝2DF ＝2BH ，故选项①②正确；③在Rt △FMC 中，∠FCM ＝45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC ＝2 2 ，MC ＝DF ＝2 2 －2，∴FC ＝2－DF ＝2－（22－2）＝4－2 2 ， S △AFC ＝12CF ﹒AD ≠1， 所以选项③不正确；④AF ＝AD 2＋DF 2＝22＋(22－2)2＝24－2 2 ，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD CE ＝AF FC，∴2CE ＝24－224－22， ∴CE ＝4－2 2 ，∴CE ＝12AF ， 故选项④正确；⑤延长CE 和AD 交于N ，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE＝EN，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG 2＝FG﹒CG，∴EG 2＝FG﹒DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF＝ 2 O E；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠COE＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ， 在△BOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE ＝∠COFOB ＝OC∠OBE ＝∠OCF， ∴△BOE ≌△COF （ASA ）， ∴OE ＝OF ，BE ＝CF ， ∴EF ＝ 2 OE ；故正确；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE ＋S △BOE ＝S △BOE ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故正确；（3）∴BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝ 2 OA ；故正确； （4）过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ， ∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ﹒BF ＋12CF ﹒OH ＝12x （1－x ）＋12（1－x ）×12＝－12（x －14）2＋932，∵a ＝－12 ＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14；故错误；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°， ∴△OEG ∽△OBE ， ∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG ﹒OB ＝OE 2，∵OB ＝12 BD ，OE ＝22EF ，∴OG ﹒BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2 ，∴OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2．故正确． 故答案为：（1），（2），（3），（5）．同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ， E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 _____________．解：如图，设KH 的中点为S ，连接PE ，PF ，SE ，SF ，PS ， ∵E 为MN 的中点，S 为KH 的中点， ∴A ，E ，S 共线，F 为QR 的中点，S 为KH 的中点， ∴B 、F 、S 共线，由△AME ∽△PQF ，得∠SAP ＝∠FPB ， ∴ES ∥PF ，△PNE ∽△BRF ，得∠EPA ＝∠FBP ， ∴PE ∥FS ，则四边形PESF 为平行四边形，则G 为PS 的中点， ∴G 的轨迹为△CSD 的中位线， ∵CD ＝AB －AC －BD ＝6－1－1＝4，∴点G 移动的路径长12×4＝2．方程、不等式中的含参问题例1．已知三个非负实数a ，b ，c 满足：3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为__________．同类题型1.1 已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋zx －y ＋z＝________．同类题型1.2 方程组⎩⎨⎧4x ＋3m ＝28x －3y ＝m的解x ，y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞ 910B ．m ＞ 109C ．m ＞ 1910D ．m ＞ 1019例2．关于x 的方程x 2 ＋mx －9＝0和x 2－3x ＋m 2＋6m ＝0有公共根，则m 的值为________．同类题型 2.1 已知a 是一元二次方程x 2－2018x ＋1＝0的一个根，则代数式a 2－2017a ＋ 2018a 2＋1的值是___．同类题型2.2 已知关于x 的方程（k 2－1）x 2＋（2k －1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围为_____________．同类题型2.3 已知α、β是方程x 2 －2x －4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为 （ ）A ．－1B ．2C ．22D ．30例3．已知方程x ＋ 1x ＝a ＋ 1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋ 1x －1＝a ＋ 1a －1 的根是（ ） A ．a ，1a －1B ．1a －1 ，a －1 C ．1a，a －1 D ．a ，aa －1同类题型3.1 若关于x 的方程2x －bx －1 ＝3的解是非负数，则b 的取值范围是________．同类题型3.2 观察分析下列方程：①x ＋ 2x ＝3；②x ＋ 6x ＝5；③x ＋ 12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋ n 2＋nx －4＝2n ＋5（n 为正整数）的根，你的答案是_________________．同类题型3.3 已知关于x 的方程2x －1－ a ＋1x ＋2＝ 3a (x －1)(x ＋2)只有整数解，则整数a 的值为_____________．例4．[x ]表示不超过x 的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论： ①[－x ]＝－[x ]；②若[x ]＝n ，则x 的取值范围是n ≤x ＜n ＋1；③当－1＜x ＜1时，[1＋x ]＋[1－x ]的值为1或2； ④x ＝－2.75是方程4x －2[x ]＋5＝0的唯一一个解． 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．同类题型4.1 设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，（x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x ＋[x ]＋3{x }＋4（x ）≤14的解为 （ ）A ．0.5≤x ≤2B ．0.5＜x ＜1.5或1.5＜x ＜2C ．0.5＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2同类题型4.2规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号） ①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6； ②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．同类题型4.3 如果关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜ 52 ，那么关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是____________．同类题型 4.4 若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＞ x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有___________．参考答案例1．已知三个非负实数a ，b ，c 满足：3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为__________．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝52a ＋b －3c ＝1m ＝3a ＋b －7c ，解得a ＝7﹒(m ＋2)3 －3，b ＝7－11﹒(m ＋2)3 ，c ＝m ＋23 ，由于a ，b ，c 是三个非负实数，∴a ≥0，b ≥0，c ≥0， ∴－111≥m ≥－57 ．所以m _(最小值)＝－57 ．故本题答案为：－57．同类题型1.1 已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋zx －y ＋z＝________．解：由题意得：⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0①2x ＋3y ＋5z ＝0②，①×2－②得y ＝11z ， 代入①得x ＝－19z ， 原式＝x ＋y ＋z x －y ＋z ＝－19z ＋11z ＋z －19z －11z ＋z ＝729．同类题型1.2 方程组⎩⎨⎧4x ＋3m ＝28x －3y ＝m的解x ，y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞ 910B ．m ＞ 109C ．m ＞ 1910D ．m ＞ 1019解：⎩⎨⎧4x ＋3m ＝2①8x －3y ＝m ②由①得x ＝2－3m 4 ，代入②得，8×2－3m 4 －3y ＝m ，y ＝4－7m3 ．∵x ＞y ，即2－3m 4＞4－7m 3 ，解得m ＞1019 ．选D ．例2．关于x 的方程x 2 ＋mx －9＝0和x 2－3x ＋m 2＋6m ＝0有公共根，则m 的值为________． 解：设这个公共根为α．则方程x 2 ＋mx －9＝0的两根为α、－m －α；方程x 2－3x ＋m 2＋6m ＝0的两根为α、3－α，由根与系数的关系有：α（－m －α）＝－9，α（3－α）＝m 2＋6m ， 整理得，α2 ＋m α＝9①，α2－3α＋m 2＋6m ＝0②， ②－①得，m 2＋6m －3α－m α＝－9， 即（m ＋3）2－α（m ＋3）＝0， （m ＋3）（m ＋3－α）＝0， 所以m ＋3＝0或m ＋3－α＝0， 解得m ＝－3或α＝m ＋3， 把α＝m ＋3代入①得， （m ＋3）2＋m （m ＋3）＝9，m 2＋6m ＋9＋m 2＋3m ＝9，m （2m ＋9）＝0，所以m ＝0或2m ＋9＝0， 解得m ＝0或m ＝－4.5，综上所述，m 的值为－3，0，－4.5．同类题型 2.1 已知a 是一元二次方程x 2－2018x ＋1＝0的一个根，则代数式a 2－2017a ＋ 2018a 2＋1的值是___．解：由题意，把根a 代入x 2 －2018x ＋1＝0，可得：a 2－2018a ＋1＝0， ∴a 2 －2017a －a ＋1＝0，a 2＋1＝2018a ； ∴a 2－2017a ＝a －1，∴a 2－2017a ＋2018a 2＋1＝a －1＋20182018a ＝a ＋1a －1＝a 2＋1a －1＝2018a a－1＝2018－1， ＝2017．同类题型2.2 已知关于x 的方程（k 2－1）x 2＋（2k －1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围为_____________．解：由题意知，k ≠±1，△＝（2k －1）2－4（k 2－1）＝5－4k ＞0 ∴k ＜54 且k ≠±1．同类题型2.3 已知α、β是方程x 2 －2x －4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为（ ） A ．－1B ．2C ．22D ．30解：∵α、β是方程x 2－2x －4＝0的两个实数根， ∴α＋β＝2，α2－2α－4＝0， ∴α2＝2α＋4∴α3＋8β＋6＝α﹒α2＋8β＋6 ＝α﹒（2α＋4）＋8β＋6 ＝2α2＋4α＋8β＋6 ＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6 ＝8α＋8β＋14＝8（α＋β）＋14＝30， 故选D ．例3．已知方程x ＋ 1x ＝a ＋ 1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋ 1x －1＝a ＋ 1a －1 的根是（ ） A ．a ，1a －1B ．1a －1，a －1 C ．1a，a －1D ．a ，aa －1解：方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1 可以写成x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1的形式， ∵方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a，∴方程x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1 的两根的关系式为x －1＝a －1，x －1＝1a －1，即方程的根为x ＝a 或aa －1，∴方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1 的根是a ，a a －1． 选D ．同类题型3.1 若关于x 的方程2x －bx －1 ＝3的解是非负数，则b 的取值范围是________．解：去分母得，2x －b ＝3x －3∴x ＝3－b∵x ≥0 ∴3－b ≥0 解得，b ≤3 又∵x －1≠0 ∴x ≠1即3－b ≠1，b ≠2则b 的取值范围是b ≤3且b ≠2．同类题型3.2 观察分析下列方程：①x ＋ 2x ＝3；②x ＋ 6x ＝5；③x ＋ 12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋ n 2＋nx －4＝2n ＋5（n 为正整数）的根，你的答案是_________________．解：x ＋1×2x＝3，解得：x ＝2或x ＝1；x ＋2×3x ＝5，解得：x ＝2或x ＝3；x ＋3×4x＝7，解得：x ＝3或x ＝4，得到规律x ＋mn x＝m ＋n 的解为：x ＝m 或x ＝n ， 所求方程整理得：x －4＋n (n ＋1)x －4＝2n ＋1， 根据规律得：x －4＝n 或x －4＝n ＋1， 解得：x ＝n ＋4或x ＝n ＋5． 同类题型3.3 已知关于x 的方程2x －1－ a ＋1x ＋2＝ 3a (x －1)(x ＋2)只有整数解，则整数a 的值为_____________．解：方程两边同乘以（x －1）（x ＋2）， 得：2（x ＋2）－（a ＋1）（x －1）＝3a ， 解得：x ＝2a －51－a ＝－2－31－a，∵方程只有整数解，∴1－a ＝3或1或－3或－1，当1－a ＝3，即a ＝－2时，x ＝－2－1＝－3， 检验，将x ＝－3代入（x －1）（x ＋2）＝4≠0，故x ＝－3是原分式方程的解； 当1－a ＝1，即a ＝0时，x ＝－2－3＝－5， 检验，将x ＝－5代入（x －1）（x ＋2）＝18≠0，故x ＝－7是原分式方程的解； 当1－a ＝－3，即a ＝4时，x ＝－2＋1＝－1， 检验，将x ＝－1代入（x －1）（x ＋2）＝－2≠0，故x ＝－1是原分式方程的解； 当1－a ＝－1，即a ＝2时，x ＝1， 检验，将x ＝1代入（x －1）（x ＋2）＝0，故x ＝1不是原分式方程的解； ∴整数a 的值为：－2，0或4．例4．[x ]表示不超过x 的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．解：①当x＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x]＝－3，不相等，故原来的说法错误；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1是正确的；③当－1＜x＜0时，[1＋x]＋[1－x]＝0＋1＝1；当x＝0时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋1＝2；当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋0＝1；故当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2是正确的；④x－[x]的范围为0～1，4x－2[x]＋5＝0，－5≤2x＜－7，即－2.5≤x＜－3.5，x＝－2.75或x＝－3.25都是方程4x－2[x]＋5＝0，故原来的说法错误．故答案为：②③．同类题型4.1设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2 B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2解：根据题意得：x＞0，若x≥2，则2x≥4，[x]≥2，3{x}≥6，4（x）≥8，不等式不成立．故只需分析0＜x＜2时的情形即可，①0＜x≤0.5时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x≤5.5，不符合不等式；②当0.5＜x≤1时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x≤3，因此0.5＜x ≤1，符合不等式；③当1＜x＜1.5时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x≤1.5，因此1＜x＜1.5，符合不等式；④当1.5＜x＜2时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x≤－0.5，不符合不等式．故原不等式的解集为：0.5＜x＜1.5．故选C．同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．解：①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2＝5，故①错误； ②当x ＝－2.1时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11， 7[x ]＋3＋[x ）＝11， 7[x ]＋[x ）＝8，1＜x ＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当x ＝0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1， 当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13 ；x ＋1＝4x 时，得x ＝13 ；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．同类题型4.3 如果关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜ 52 ，那么关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是____________． 解：∵关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜52 ，∴x ＜b －2aa ＋b， ∴b －2a a ＋b ＝52，且a ＋b ＜0， 即b ＝－3a ，a ＋b ＜0， ∴a －3a ＜0，即a ＞0， ∴b －a ＝－4a ＜0，∴关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是x ≥－a －2bb －a ，∵－a －2b b －a ＝－a ＋6a －3a －a ＝－54，∴关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是x ≥－54．同类题型 4.4 若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＞ x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．解：由x ＋43＞x2＋1，得 2x ＋8＞3x ＋6， 解得x ＜2， 由x －a ＜0， 得x ＜a ，又因关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＞x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，所以a ≥2．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有___________．解：∵最后输出的数为656， ∴5x ＋1＝656，得：x ＝131＞0， ∴5x ＋1＝131，得：x ＝26＞0， ∴5x ＋1＝26，得：x ＝5＞0， ∴5x ＋1＝5，得：x ＝0.8＞0；∴5x ＋1＝0.8，得：x ＝－0.04＜0，不符合题意， 故x 的值可取131，26，5，0.8共4个．函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x － 33与x 轴交于点B 1 ，以OB 1 为边长作等边三角形A 1OB 1 ，过点A 1 作A 1B 2 平行于x 轴，交直线l 于点B 2 ，以A 1B 2 为边长作等边三角形A 2A 1B 2 ，过点A 2 作A 2B 3 平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ，以A 2B 3 为边长作等边三角形A 3A 2B 3 ，…，则点A 2017 的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l ：y ＝x ＋1交y 轴于点A 1 ，在x 轴正方向上取点B 1 ，使OB 1＝OA 1 ；过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴，交l 于点A 2 ，在x 轴正方向上取点B 2 ，使B 1B 2＝B 1A 2 ；过点B 2 作A 3B 2 ⊥x 轴，交l 于点A 3 ，在x 轴正方向上取点B 3 ，使B 2B 3＝B 2A 3 ；…记△OA 1B 1 面积为S 1 ，△B 1A 2B 2 面积为S 2 ，△B 2A 3B 3 面积为S 3 ，…则S 2017 等于（）A．24030B．24031C．24032D．24033同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1⊥AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点B n的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达．到达B 地后，乙车按原速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地．设甲、乙两车与A 地相距s （千米），甲车离开A 地的时间为t （小时），s 与t 之间的函数图象如图所示．下列说法：①a ＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25；④当t ＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0.5h ，如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则下列结论：（1）a ＝40，m ＝1；（2）乙的速度是80km/h ；（3）甲比乙迟74h 到达B 地；（4）乙车行驶94 小时或194小时，两车恰好相距50km ．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y （米）与甲出发的时间x （秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a ＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3．如图，已知动点P 在函数y ＝ 12x（x ＞0）的图象上运动，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：y ＝－x ＋1交于点E ，F ，则AF ﹒BE 的值为 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．12同类题型3.1 如图，在反比例函数y ＝ 32x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝ k x的图象上运动，若tan ∠CAB ＝2，则k 的值为（ ）A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12同类题型3.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB ＝∠BCD ＝90°，若函数y ＝ 6x（x ＞0）的图象经过点D ，则△OAB 与△BCD 的面积之差为（ ）A ．12B ．6C ．3D ．2同类题型3.3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x 和y ＝ 9x在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结A C ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是___________．例4．如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k x的图象交于点A （3，6）与点B ，且与y 轴交于点C ，若点P 是反比例函数y ＝ k x图象上的一个动点，作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，连结BN 、CM ．若S △ACM ＝S △ABN ，则AP AN的值为__________．同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时，函数y ＝－2x ＋b 的图象上至少有一点在函数y ＝ 1x的图象下方，则b 的取值范围为 （ ）A ．b ＞2 2B ．b ＜ 92C ．b ＜3D ．2 2＜b ＜ 92同类题型4.2 方程x 2＋3x －1＝0的根可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝ 1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x 2＋2x －1＝0的实数根x 0 所在的范围是 （ ）A ．－1＜x 0 ＜0B ．0＜x 0 ＜1C ．1＜x 0 ＜2D ．2＜x 0 ＜3。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：选择、填空(湖北专版)(原卷)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版）选择、填空一．选择题（共22小题）1．（2018•天门）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．3．（2018•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A．B．C．2πD．4．（2018•天门）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．（2018•黄石）已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D．x＜﹣1或0＜x＜4 6．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．7．（2018•黄石）如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A．B．C．D．8．（2018•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（﹣2，5）9．（2018•襄阳）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2 10．（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°11．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．212．（2018•宜昌）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1．如果A，B，C 面分别向下放在地上，地面所受压强为p1，p2，p3，压强的计算公式为p=，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则p1，p2，p3，的大小关系正确的是（）A．p1＞p2＞p3B．p1＞p3＞p2C．p2＞p1＞p3D．p3＞p2＞p1 13．（2018•荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）14．（2018•孝感）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．15．（2018•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2 17．（2018•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．5 18．（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（）A．B．C．D．19．（2018•咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12 21．（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个22．（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共14小题）23．（2018•天门）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=．24．（2018•襄阳）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为．25．（2018•武汉）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC 上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．26．（2018•孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．27．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=．28．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．29．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．30．（2018•孝感）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣l，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为．31．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F的坐标为．32．（2018•随州）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为．33．（2018•咸宁）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A 关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．34．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．35．（2018•恩施州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC 沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）36．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD 时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）。
中考十年江苏省无锡市2018年中考数学试题分类解析汇编专题2018选择填空解答的押轴题专辑精品
∴ F (n) a =1。选项正确。故选 B。 a
6. （江苏省无锡市 2018 年 3 分） 如图， E，F， G，H 分别为正方形 ABCD的边 AB，BC，CD，DA上的点，且
1
AE=BF=CG=DH=
AB，则图中阴影部分的面积与正方形
ABCD的面积之比为【
】4
Ｂ．
9
【答案】 A。
且 s ≤ t ），如果 p q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称
p q 是 n 的最佳分解，
并规定： F (n)
p ．例如 18 可以分解成 1 18 ， 2 9 ， 3 6 这三种，这时就有 F (18)
3
1
．给出下
q
62
列关于 F ( n) 的说法：（ 1） F (2)
2 n n 1 n1 n
1 > 0，
2n n 1
nn 1
C．第 12 个数
D．第 13 个数
【答案】 A。
【考点】 分类归纳（数字的变化类） 。
【分析】 根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：
第 1 个数： 1 1 1 0 ；
2
2
1
1
( 1)2
( 1)3 1 1 1
第 2 个数：
1
1
1
；
3
2
3
4
32 6
2
3
4
5
第 3 个数： 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
11
1；
4
2
3
4
5
6
42 4
按此规律，
第 n 1个数： 1 n
1
2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题
专题03函数的几何综合问题例1.如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y= W3x — #与x 轴交于点B i ,以OB 为边长作等边三角 形A l OB |，过点A i 作A i B 2平行于x 轴，交直线l 于点B2 ,以A i B 2为边长作等边三角形 A 2A 1B 2，过点A 2 作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ,以A 2B 3为边长作等边三角形 A3A2B3 ,…，则点A 2017的横坐标同类题型1.1如图，直线l ： y= x+1交y 轴-于点A i ,在x 轴正方向上取点B i ,使OB = OA ；过点B i 作A 2B i ，x 轴，交l 于点A 2 ,在x 轴正方向上取点B 2 ,使B i B 2=B 1A 2 ;过点 也彳^。
改，x 轴，交l 于点A 3 ,在 x 轴正方向上取点B 3 ,使B 2B3=E 2A 3 ；…记△ 0AB i 面积为S 1, △ B]A 2B 2面积为S 2 ,△ B 2A 3B 3面积为S3 ,…则S 2017等于 ( )同类题型1.2如图，已知直线| ： y= W3 x,过点A (0, 1)作y 轴的垂线交直线l 于点B,过点B 作直 3 线l 的垂线交y 轴于点A 1 ;过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点 A2 ;…；按此作法继续下去，则点 A 4的坐标为( )A. (0, 128)B. (0, 256)C. (0, 512)D. (0, 1024)八 c4030 A. 24031B. 2C. 240324033D. 2同类题型1.3如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y= g 3 x+1交x 轴于点B,交y 轴于点A,过点A 作AB1 LAB 交x 轴于点M ,过点'彳^B1A 1，x 轴交直线l 于点A 2…依次作下去，则点 牛 的横坐标为例2.高速公路上依次有 3个标志点A 、R C,甲、乙两车分别从 A C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从-B-C,乙车从 OB-A,甲、乙两车离 B 的距离y 1、V2 (千米)与行驶时间 x (小时)之间的函数关 系图象如图所示.观察图象，给出下列结论：① A C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点 E 的坐标为(7, 180),「其中正确的有 号都填在横线上).2「千羽450同类题型2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从 A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现 故障后停车维修，修好后以 2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发 2小时后匀速前往 B 地，比甲车 早30分钟到达.到达 B 地后，乙车按原速度返回 A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回 A 地.设甲、乙两 车与A 地相距s (千米)，甲车离开 A 地的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数图象如图所示.下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为 1小时；③两车在途中第二次相遇时 相距40千米，其中不正确的个数为一…一、- 7 . 一、，(1) a=40, n^ 1； (2)乙的速度是 80km/h ； (3)甲比乙迟-h 到达B 地;240t 的值为5.25 ;④当t = 3时，两车 ( ) C. 2个D. 3个甲车比乙车早行驶 2h,并且甲车的函数图象.则下列结论：(把所有正确结论的序并以各自的速度匀速行驶, y (km)与时间x (h)50km.正确的个数是C. 3D. 4同类题型2.3甲、乙两人从科技馆出发， 沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆, 程后，乙开始出发，当乙超出甲 150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极1例3.如图，已知动点P 在函数y= — (x>0)的图象上运动，PML x 轴于点 MPN! y 轴于点N,线段2xPM PN 分别与直线 AB ： y=—x+ 1交于点E, F,则AF. BE 的值为6,,点D 在AB 的右侧，△ OA 丽△BCDTB 是等腰直角三角形，/ OAB= / BCD= 90 ,若函数y= - (x>0)的 x甲先跑一段路 地馆.如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程下列四种说法：①甲的速度为 1.5米/秒；②a=750； 相遇时乙跑了 375米.其中正确的个数是 y (米)与甲出发的时间 x (秒)的函数图象.则 ③乙在途中等候甲 100秒；④乙出发后第一次与甲 疝眯900C.D.「4 个A. 4B. 2C. 1同类题型3.1如图,，一 一 一一 3 ,,一 ,，，， ，」在反比例函数y=法的图象上有一动点A,连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B,在第二象限内有一点 C,满足AC= BC 当点A 运动时，点C 始终在函数 k ....... ................... y=x 的图象上运动,若tan/CABC. — 9D. — 12A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上,A. 1个B. 2个150A=2,则k 的值为同类题型3.2如图，在平面直角坐标系中，点一 6图象经过点 D,则^ OABW △ BCD 勺面积之差为( A. 12 B . 6 C. 3 D . 2一 .一 ................. .. ................ ......................... . . 1 一 9同类题型3.3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线y = kx (k>0)分别交反比例函数y= -和丫= - x x在第一象限的图象于点 A, B,过点B 作BDLx 轴于点D,交y=1的图象于点C,连结AC.若△ABB 等x例4.如图，一次函,数y = x+b 的图象与反比例函数y= k 的图象交于点 A (3, 6)与点B,且与 x.... ___ k ............. ................................... ...............................................点C,右点P 是反比例函数y= -图象上的一个动点，作直线 AP 与x 轴、y 轴分别交于点 M N,x2同类题型4.2方程x 2 +3x —1 = 0的根可视为函数y=x+3的图象与函数....... 一 .、一一 2 .......... ............ ........ ....那么用此方法可推断出方程 x 2 +2x- 1=0的实数根x o 所在的范围是( )2 2例5.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y= —x +2mx- m - 1父y 轴于点为A,顶点为D,对称轴与 x 轴交于点H.当抛物线顶点 D 在第二象限时，如果/ ADH / AHO 则m=.y 轴交于连结BNA. b> 2 2 , 9B. bv 2C. b<3D. 2 V2<b<1 . ................... ...... y=;的图象交点的横坐标,A. - 1<x 0 <0B. 0<xo <1C. 1<xo <2D. 2<xo <3A取值范围为AP1 ,点在函数y= x 的图象下万,同类题型5.1已知抛物线y= 4x 2 +1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F (0, 2)的距离与到12x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(木，3), P 是抛物线丫= 4x 2 +1上一个动点，则4 PMF周长的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 6同类题型5.2抛物线y=ax2+bx+3 (aw0)经过点A(—1, 0), B( 2 , 0),且与y 轴相交于点C.设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点AOCf 似时，求点 D 的坐标.同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 1),完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A,出水口 B 和落水点C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管BD 的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相 关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E, 则点E 到洗手盆内侧的距离 EH 为 cm.E 在线段 AC 上，且 DEL AG 当△ DCE^A图1图2参考答案例1 .如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= W3x—率与x轴交于点B i ,以OB为边长作等边三角形々0耳，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2 ,以A1B2为边长作等边三角形A2A l B2，过点为作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3 ,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3 ,…，则点A2017的横坐标是.Bi ,可得Bi (1, 0), D (0,—・•.OB =1, / OB D= 30 ,1一1如图所不，过A1作A1Al OB于A,则OA= 2。
2018各省中考数学选择填空压轴题
（2018•安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，∴函数图象是A，故选：A．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为或3．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．2【解答】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c=0△=（﹣2）2﹣4（2﹣c）=0解得c=1②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c min=2，但取不到，c max=5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c=3，4，5综上，c=1，3，4，5故选：D．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；设∠BPC=2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：=，以∠APB为内角的正多边形的边数为：，∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是=+﹣6=21，故答案为：14，21．（2018•大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选：B．（2018•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵y=a（x﹣1）2﹣4a，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；当x=4时，y=a•5•1=5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a，c=﹣3a，∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．故选：B．（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为0＜m＜．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•m=×m×m，∵m＞0，解得OD=m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．（2018•哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为4．【解答】解：设EF=x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，连接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴，x=2或﹣2（舍），∴BC=2x=4．故答案为：4．（2018•黑龙江）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为2．【解答】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2∴PD+PG的最小值为2故答案为：2（2018•黑龙江）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，S△ABC=AB•BC=6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD===2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6，∴S等腰△ABP=S△ABC=×6=4.32；④当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n= •（）n﹣1．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=B1C=1，∠ACB=60°，∴B1B2=B1C=，B2C=，∴S1=××=依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为，故S n=•（）n﹣1．故答案为：•（）n﹣1．（2018•黑龙江）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x＞0）、y=（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=•|3|+•|k|，∴•|3|+•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1．故选：A．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15B．12.5C．14.5D．17【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．（2018•黑龙江）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=1，∵BC=2，∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正确；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD==，∴BD=2OD=，故②正确；③由②知：∠BAC=90°，∴S▱ABCD=AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=AB，∵AB=BC，∴OE=BC=AD，故④正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=，∴S△AOE=S△EOC=OE•OC==，∵OE∥AB，∴，∴=，∴S△AOP===；故⑤正确；本题正确的有：①②③④⑤，5个，故选：D．26．（8分）（2018•黑龙江）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴HE=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．∴BC﹣DE=DF．（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．（2018•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．2【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D∵OB=OC，OD⊥BC∴CD=BC，∠COD=∠BOC又∵∠BOC=2∠A，BC=2∴∠COD=∠A，CD=∵sin∠BAC=∴sin∠COD=∴OC=3故选：A．（2018•牡丹江）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，∴∠GKF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，∴∠ADE=∠GKF，∵AE⊥FH，∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，∵∠OAF+∠AED=90°，∴∠AFO=∠AED，∴△ADE≌△GKF，∴FG=AE，∵FH是AE的中垂线，∴AE=2AO，∴FG=2AO，故①正确；②∵FH是AE的中垂线，∴AH=EH，∴∠HAE=∠HEA，∵AB∥CD，∴∠HAE=∠AED，Rt△ADE中，∵O是AE的中点，∴OD=AE=OE，∴∠ODE=∠AED，∴∠HEA=∠AED=∠ODE，当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，但AE＞AD，即AE＞CD，∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，∴OD与HE不平行，故②不正确；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴AE=x，AO=，易得△ADE∽△HOA，∴，∴，∴HO=x，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==，∴BH=AH﹣AB=﹣2x=，∴=，延长CM、BA交于R，∵RA∥CE，∴∠ARO=∠ECO，∵AO=EO，∠ROA=∠COE，∴△ARO≌△ECO，∴AR=CE，∵AR∥CD，∴，∴，∴，故③正确；④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，∴△HAE∽△ODE，∴，∵AE=2OE，OD=OE，∴OE•2OE=AH•DE，∴2OE2=AH•DE，故④正确；⑤由③知：HC==x，∵AE=2AO=OH=x，tan∠EAD=，∵AO=，∴OF=x，∵FG=AE=x，∴OG=x﹣=x，∴OG+BH=x+x，∴OG+BH≠HC，故⑤不正确；本题正确的有；①③④，3个，故选：B．（2018•牡丹江）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为或．【解答】解：如图：∵矩形ABCD∴AB=CD=6，AD=BC=8∴AC=10∵AM：MC=2：3∴AM=4，MC=6∵tan∠DAC==∴∴EM=3若P在线段AM上，∵∠EAC=∠PEM∴tan∠PEM=tan∠DAC=∴∴PM=∴AP=AM﹣PM=若P在线段MC上，∵∠EAC=∠PEM∴tan∠PEM=tan∠DAC=∴∴PM=∴AP=AM+PM=∴AP的长为（2018•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是②③④（只填序号）【解答】解：∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴为x=﹣1∴=﹣1∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴∴c＞0∴abc＞0故①错误∵由图象得x=﹣3时y＜0∴9a﹣3b+c＜0故②正确，∵图象与x轴有两个交点∴△=b2﹣4ac＞0故③正确∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0∴a＞b故④正确故答案为②③④（2018•齐齐哈尔）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2﹣5m＜0即m＞故③正确；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值范围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，由图象可知，其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17或．【解答】解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCG+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠BCG，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，当∠ADB为钝角时，CD′==，故答案为：17或．（2018•齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为32019．【解答】解：由已知可知点A、A1、A2、A3……A2018各点在正比例函数y=的图象上点B、B1、B2、B3……B2018各点在正比例函数y=的图象上两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为：①由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018都有一个锐角为30°∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1点纵坐标为9=32当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34依稀类推点B2018的纵坐标为32019故答案为：32019（2018•绥化）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：①∵对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵﹣=1，∴b=﹣2a，2a+b=0，故②正确；③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；故④正确；⑤∵抛物线的对称轴是x=1，∴y有最大值是a+b+c，∵点A（m，n）在该抛物线上，∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤，4个，故选：B．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4B．2C．2D．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4．故选：A．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选：D．（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3≤AP＜4．【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP＜4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．故答案为：3≤AP＜4．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（）n﹣1．【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D1OA1=45°，∴D1A1=OA1=1，∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，由勾股定理得，OD1=，D1A2=，∴A2B2=A2O=，∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，同理，A3D3=OA3=，∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n的面积=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC的解析式为y=x，∴直线BD的解析式为y=﹣x，∵OB=，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数y=的图象上，∴，解得，k=﹣3，故选：C．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为2．【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=，∵CG=DG，CF=FB，∴GF=BD=，∵AG⊥FG，∴∠AGF=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DAG=∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，∴=，∴=，∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴b=a，在Rt△GCF中，3a2=，∴a=，∴AB=2b=2．故答案为2．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD 绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为4．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′=∠OHB′=90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，∴B′H=OE=2.5，∴CH=B′C﹣B′H=1.5，∴CG=B′E=OH===2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，∴CF=2CG=4，故答案为：4．（2018•南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=x，则AE=EB=由折叠，FE=EB=则∠AFB=90°由tan∠DCE=∴BC=，EC=∵F、B关于EC对称∴∠FBA=∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y=故选：D．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y=的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB﹣S△PQB=t，则t的值为4．【解答】解：如图所示，∵A（2t，0），C（2t，4t），∴AC⊥x轴，当x=2t时，y==，∴Q（2t，），∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），易得直线BC的解析式为：y=3x﹣2t，则3x﹣2t=，解得：x1=t，x2=﹣t（舍），∴P（t，t），∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，∵S△PAB﹣S△PQB=t，∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t，S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=+﹣=t，t=4，故答案为：4．（2018•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′= ．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==5，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，∵根据旋转得出AB′=AB=2，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，∴CM=AB=2，AM=BC=，∴B′M=2﹣=，在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C===5，∴S△AB′C==，∴5×AN=2×2，解得：AN=4，∴sin∠ACB′==，故答案为：．（2018•苏州）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为2（结果留根号）．【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a），∴MN===，∴a=3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b 的取值范围是2≤a+2b≤5．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与正比例函数y=kx、y=x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB=45°，则△AOB的面积是2．【解答】解：如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C设点A横坐标为a，则A（a，）∵A在正比例函数y=kx图象上∴=ka∴k=同理，设点B横坐标为b，则B（b，）∴=∴∴∴ab=2当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（，a）∴OC=OD将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′∵BD⊥x轴∴B、D、A′共线∵∠AOB=45°，∠AOA′=90°∴∠BOA′=45°∵OA=OA′，OB=OB∴△AOB≌△A′OB∵S△BOD=S△AOC=2×=1∴S△AOB=2故答案为：2（2018•徐州）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ=AB2．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为4．【解答】解：如图所示：连接AQ．∵BP•BQ=AB2，∴=．又∵∠ABP=∠QBA，∴△ABP∽△QBA，∴∠APB=∠QAB=90°，∴QA始终与AB垂直．当点P在A点时，Q与A重合，当点P在C点时，AQ=2OC=4，此时，Q运动到最远处，∴点Q运动路径长为4．故答案为：4．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= 或．【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．（2018•扬州）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为（，﹣）．【解答】解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，设DE=AE=x，则有OE=BE=8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，解得：x=3，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA，∵S△OED=OD•DE=OE•DF，∴DF=，OF==，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为．【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1），∴函数y=mx+m一定过点（﹣1，0），当x=0时，y=m，∴点C的坐标为（0，m），由题意可得，直线AB的解析式为y=﹣x+2，，得，∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，∴，解得，m=或m=（舍去），故答案为：．（2018•镇江）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=，则AC= ．【解答】解：作CD⊥BB′于D，如图，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，∴CB=CB′=5，∠BCB′=90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，∴BB′=BC=5，∴CD=BB′=，在Rt△ACD中，∵sin∠DAC==，∴AC=×=．故答案为．（2018•镇江）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于27．【解答】解：在CD上截取一点H，使得CH=CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG 交AC于P．∵=，∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EG，∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，∵S△EFG=6，∴S矩形EQOP=3，即OP•OQ=3，∵OP：OA=BE：AB=2：3，∴OA=OP，同法可证OB=3OQ，∴S菱形ABCD=•AC•BD=×3OP×6OQ=9OP×OQ=27．故答案为27．（2018•镇江）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=﹣=；故选：C．（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为6﹣2．【解答】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6﹣2，故答案为6﹣2．（2018•抚顺）如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（）A．4B．4C．2D．2【解答】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，由勾股定理得，AB==2，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=2，∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，故选：A．（2018•抚顺）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．【解答】解：由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009）．故答案为（21010﹣2，21009）．（2018•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）A．（1，1）B．（0，）C．（）D．（﹣1，1）【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8=252 (2)∴点B2018的坐标为（﹣1，1）故选：D．（2018•葫芦岛）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B →A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8．当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260．故选：B．（2018•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．【解答】解：连接GE，∵点E是CD的中点，∴EC=DE，∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF=DE，∠BFE=90°，在Rt△EDG和Rt△EFG中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG=DG，∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．（2018•葫芦岛）如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM 交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n+1C n的面积为（）2n﹣2×．（用含正整数n的代数式表示）【解答】解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，…，△A n A n+1C n的边长为（）n﹣1×，∴△A n A n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×．（2018•锦州）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△AOB的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（）2016•（1+）2017．【解答】解：由题意：正方形ABCA1的边长为，正方形A1B1C1A2的边长为+1，正方形A2B2C2A3…的边长为（+1）（1+），正方形A3B3C3A4的边长为（+1）（1+）2，由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（+1）（1+）2016．∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（+1）（1+）2016=4•（）2016•（1+）2017．故答案为4•（）2016•（1+）2017．（2018•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（）A．△ONC≌△OAMB．四边形DAMN与△OMN面积相等C．ON=MND．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）【解答】解：∵点M、N都在y=的图象上，∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，∵四边形ABCO为正方形，∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，∴NC=AM，∴△OCN≌△OAM，∴A正确；∵S△OND=S△OAM=k，而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，∴四边形DAMN与△MON面积相等，∴B正确；∵△OCN≌△OAM，∴ON=OM，∵k的值不能确定，∴∠MON的值不能确定，∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，∴ON≠MN，∴C错误；作NE⊥OM于E点，如图所示：∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，∴NE=OE，设NE=x，则ON=x，∴OM=x，∴EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，MN=2，∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，∴x2=2+，∴ON2=（x）2=4+2，∵CN=AM，CB=AB，∴BN=BM，∴△BMN为等腰直角三角形，∴BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），∴OC=+1，∴C点坐标为（0，+1），∴D正确．故选：C．（2018•盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为或．。
2018年中考数学选择填空压轴题专题9阅读理解问题
专题09 阅读理解问题例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧⌒P 1P 2 ，⌒P 2P 3 ，⌒P 3P 4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2 ，P 2P 3 ，P 3P 4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1 （0，1），P 2 （－1，0），P 3 （0，－1），则该折线上的点P 9 的坐标为（ ） A ．（－6，24） B ．（－6，25） C ．（－5，24） D ．（－5，25）同类题型1.1 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝ 12x 2的解为（ ）A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ． 2 或－ 2同类题型1.2 对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y '＝nx n ﹣1＋mx m ﹣1（m 、n 为常数）．例如y ＝x 4＋x 2，则y '＝4x 3＋2x ．已知：y ＝13x 3＋（m ﹣1）x 2＋m 2x ．（1）若方程y ′＝0有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程y ′＝m ﹣14有两个正数根，则m 的取值范围为 ．例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有正数解的概率为___．同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y ＝2x 2－x 上的概率是（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．19同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m 、n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率是________．同类题型2.3 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14 ，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为_________．例3．若f （n ）为n 2＋1（n 是任意正整数）的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f （14）＝17，记f 1 （n ）＝f （n ），f 2＝f （f 1（n ））…f k ＋1＝f k （f （n ）），k 是任意正整数则f 2016 （8）＝（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式12(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________． 同类题型3.2 规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．同类题型3.3 设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，＜x ＞表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x ]＋2{x }＋＜x ≥22（ ） A ．没有解 B ．恰好有1个解 C ．有2个或3个解 D ．有无数个解同类题型3.4对于实数p ，q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}＝1，因此，min {－2，－3}＝______；若min {（x －1）2，x 2}＝1，则x ＝____________．例4．已知点A 在函数y 1＝－1x（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2 ＝kx ＋1＋k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1 ，y 2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A ．有1对或2对 B ．只有1对 C ．只有2对 D ．有2对或3对 同类题型4.1 在平面直角坐标内A ，B 两点满足： ①点A ，B 都在函数y ＝f （x ）的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 为函数y ＝f （x ）的一个“黄金点对”．则函数f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋4|，x ≤0－ 1x，x ＞0的“黄金点对”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （－1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，－3），C （－1，－5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为____________．同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为__________．专题09 阅读理解问题例1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧⌒P 1P 2 ，⌒P 2P 3 ，⌒P 3P 4 ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2 ，P 2P 3 ，P 3P 4 ，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1 （0，1），P 2 （－1，0），P 3 （0，－1），则该折线上的点P 9 的坐标为（ ） A ．（－6，24） B ．（－6，25） C ．（－5，24） D ．（－5，25）解：由题意，P 5 在P 2 的正上方，推出P 9 在P 6 的正上方，且到P 6 的距离＝21＋5＝26， 所以P 9 的坐标为（－6，25）， 选B ．同类题型1.1 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3．函数y＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝ 12x 2的解为（ ）A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ． 2 或－ 2解：当1≤x ＜2时，12x 2＝1，解得x 1＝ 2 ，x 2＝－ 2 ；当x ＝0，12x 2＝0，x ＝0；当－1≤x ＜0时，12x 2＝－1，方程没有实数解；当－2≤x ＜－1时，12x 2＝－2，方程没有实数解；所以方程[x ]＝12x 2的解为0或 2 ．选A ．同类题型1.2 对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y '＝nx n ﹣1＋mxm ﹣1（m 、n 为常数）．例如y ＝x 4＋x 2，则y '＝4x 3＋2x ． 已知：y ＝13x 3＋（m ﹣1）x 2＋m 2x ．（1）若方程y ′＝0有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程y ′＝m ﹣14有两个正数根，则m 的取值范围为 ．解：根据题意得y ′＝x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2，（1）∵方程x 2﹣2（m ﹣1）x ＋m 2＝0有两个相等实数根， ∴△＝[﹣2（m ﹣1）]2﹣4m 2＝0， 解得：m ＝12；（2）y ′＝m ﹣14，即x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2＝m ﹣14，化简得：x 2＋2（m ﹣1）x ＋m 2﹣m ＋14＝0，∵方程有两个正数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(m －1)＜0m 2－m ＋14＞0[－2(m －1)]2－4(m 2－m ＋14)≥0，解得：m ≤34且m ≠12．例2．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3x ＋2y ＝2有正数解的概率为___．解：①当2a －b ＝0时，方程组无解；②当2a －b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b，∵使x 、y 都大于0则有x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b＞0，∴解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3， ∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3＋10＝13种； （1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为＝1336．同类题型2.1 六个面上分别标有1，1，2，3，4，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．则得到的坐标落在抛物线y ＝2x 2－x 上的概率是（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．19解：掷一次共出现6种情况，根据图形可知1，2，3所对应的数分别是1，5，4，在抛物线上的点为：（1，1），只有两种情况，因此概率为：26＝13．选C ．同类题型2.2 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m 、n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率是________．解：∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点，∴△＜0，即m 2－4n ＜0，∴m 2＜4n ， m 、 n 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6共有36种等可能的结果，其中满足m ＜4n 占17种，所以二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴没有公共点的概率＝1736．同类题型2.3 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ） A ．4－π4 B ．π4 C ．14 D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360＝π，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4．选A ．同类题型2.4 从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14 ，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为_________．解：当a ＝－1时，y ＝2x ＋a 可化为y ＝2x －1，与x 轴交点为（12，0），与y 轴交点为（0，－1），三角形面积为12×12×1＝14；当a ＝1时，y ＝2x ＋a 可化为y ＝2x ＋1，与x 轴交点为（－12，0），与y 轴交点为（0，1），三角形的面积为12×12×1＝14；当a ＝2时，y ＝2x ＋2可化为y ＝2x ＋2，与x 轴交点为（－1，0），与y 轴交点为（0，2），三角形的面积为12×2×1＝1（舍去）；当a ＝－1时，不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a 可化为⎩⎨⎧x ＋2≤－11－x ≤－2 ，不等式组的解集为⎩⎨⎧x ≤－3x ≥3 ，无解；当a ＝1时，不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a 可化为⎩⎨⎧x ＋2≤11－x ≤2 ，解得⎩⎨⎧x ≤－1－x ≤1 ，解集为⎩⎨⎧x ≤－1x ≥－1，解得x ＝－1．使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a 1－x ≤2a有解的概率为P ＝13 ．例3．若f （n ）为n 2＋1（n 是任意正整数）的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f （14）＝17，记f 1 （n ）＝f （n ），f 2＝f （f 1（n ））…f k ＋1＝f k （f （n ）），k 是任意正整数则f 2016 （8）＝（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11解：∵82＋1＝65，∴f 1 （8）＝f （8）＝6＋5＝11，同理，由112 ＋1＝122得f 2 （8）＝1＋2＋2＝5；由52＋1＝26，得f 3 （8）＝2＋6＝8， 可得f 4（8）＝6＋5＝11＝f 1 （8），f 5（8）＝f 2 （8），…，∴f k ＋3（8）＝f k （8）对任意k ∈N *成立 又∵2016＝3×672，∴f 2016（8）＝f 2013（8）＝f 2000（8）＝…＝f 3 （8）＝8． 选C ．同类题型3.1 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式12(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是____________．解：①若a ≥b ，则代数式中绝对值符号可直接去掉， ∴代数式等于a ，②若b ＞a 则绝对值内符号相反， ∴代数式等于b由此可见输入一对数字，可以得到这对数字中大的那个数（这跟谁是a 谁是b 无关） 既然是求和，那就要把这五十个数加起来还要最大， 我们可以枚举几组数，找找规律，如果100和99一组，那么99就被浪费了，因为输入100和99这组数字，得到的只是100， 如果我们取两组数字100和1一组，99和2一组， 则这两组数字代入再求和是199， 如果我们这样取100和99 2和1， 则这两组数字代入再求和是102，这样，可以很明显的看出，应避免大的数字和大的数字相遇这样就可以使最后的和最大， 由此一来，只要100个自然数里面最大的五十个数字从51到100任意俩个数字不同组， 这样最终求得五十个数之和最大值就是五十个数字从51到100的和， 51＋52＋53＋…＋100＝3775．同类题型3.2 规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．解：①当x ＝1.7时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2＝5，故①错误； ②当x ＝－2.1时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11， 7[x ]＋3＋[x ）＝11， 7[x ]＋[x ）＝8，1＜x ＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当x ＝0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1， 当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13 ；x ＋1＝4x 时，得x ＝13；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误， 答案为②③．同类题型3.3 设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，＜x ＞表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4≥3．则方程3[x ]＋2{x }＋＜x ≥22（ ） A ．没有解 B ．恰好有1个解C ．有2个或3个解D ．有无数个解】解：当x ＝3时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×3＋3＝18，当x ＝4时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×4＋2×4＋4＝24，∴可得x 的大致范围为3＜x ＜4，①3＜x ＜3.5时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×4＋3＝20，不符合方程； ②当3.5＜x ＜4时，3[x ]＋2{x }＋＜x ≥3×3＋2×4＋4＝21，不符合方程． 选A ．同类题型3.4对于实数p ，q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}＝1，因此，min {－2，－3}＝______；若min {（x －1）2，x 2}＝1，则x ＝____________． 解：min {－2，－3}＝－3，∵min {（x －1）2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝（x －1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x ＞0.5时，（x －1）2＜x 2，则（x －1）2＝1， x －1＝±1，x －1＝1，x －1＝－1，解得：x 1 ＝2，x 2 ＝0（不合题意，舍去），当x ＜0.5时，（x －1）2＞x 2，则x 2＝1，解得：x 1 ＝1（不合题意，舍去），x 2 ＝－1， 综上所述：x 的值为：2或－1．例4．已知点A 在函数y 1＝－1x（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2 ＝kx ＋1＋k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1 ，y 2 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A ．有1对或2对 B ．只有1对 C ．只有2对D ．有2对或3对解：设A （a ，－1a），由题意知，点A 关于原点的对称点B （－a ，1a）在直线y 2 ＝kx ＋1＋k 上，则1a＝－ak ＋1＋k ，整理，得：ka 2－（k ＋1）a ＋1＝0 ①， 即（a －1）（ka －1）＝0， ∴a －1＝0或ka －1＝0， 则a ＝1或ka －1＝0，若k ＝0，则a ＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k ≠0，则a ＝1或a ＝1k，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 选A ．同类题型4.1 在平面直角坐标内A ，B 两点满足： ①点A ，B 都在函数y ＝f （x ）的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 为函数y ＝f （x ）的一个“黄金点对”．则函数f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋4|，x ≤0－ 1x，x ＞0的“黄金点对”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：根据题意：“黄金点对”，可知，作出函数y ＝－1x（x ＞0）的图象关于原点对称的图象，同一坐标系里作出函数y ＝|x ＋4|，x ≤0的图象如右图： 观察图象可得，它们在x ≤0时的交点个数是3． 即f （x ）的“黄金点对”有：3个． 选D ．同类题型4.2 定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q （至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P （－1，1），Q （2，3），则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS ＋SQ ＝5或PT ＋TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A （3，1），B （5，－3），C （－1，－5），若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为____________．解：若设M （x ，y ），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：3－x ＋1－y ＝y ＋5＋x ＋1＝5－x ＋3＋y ，解得，x ＝1，y ＝－2，则M （1，－2）．同类题型4.3 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为__________．解：∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∵∠ADC ＞∠BCD ， ∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12（180°－46°）＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°， ∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°， 故答案为113°或92°．。
2018年全国中考数学填空题压轴题(5)
2018年全国中考数学填空题压轴题（5）14.如图,矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行,顶点A 的坐标为(2,1),点B 与点D 都在反比例函数xy 6= )0(>x 的图象上,则矩形ABCD 的周长为________.18、如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN＝DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝ 。
13．（3.00分）如图，在▱ABCD 中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E 是边BC 上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形AEFD ，则四边形AEFD 周长的最小值为．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx 交x 轴的负半轴于点A ．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为 ．18．（2.00分）如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是 ．16．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、N MAB PHE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝6，则AB的长为．16.如图，在矩形ABCD中，5BC=，以CD为直径作O.将矩形AB=，4'''的边A B''与O相切，切点为E，边CD' ABCD绕点C旋转，使所得矩形A B CD与O相交于点F，则CF的长为．17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′= ．18．（3.00分）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．18.如图，在等腰Rt ABO ∆中，90A ∠=，点B 的坐标为(0,2)，若直线l ：(0)y mx m m =+≠把ABO ∆分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．17．（3分）如图，一次函数y=2x 与反比例函数y=（k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点P 在以C （﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最大值为，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，点E 为AD 上一点，且∠ABE=30°，将△ABE 沿BE 翻折，得到△A ′BE ，连接CA ′并延长，与AD 相交于点F ，则DF 的长为 ．16．（3.00分）如图，▱ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是 ．17．（3.00分）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （8，0），O （0，0），B （8，﹣6），点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为．19．（3.00分）如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O 2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为．17．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．。
2018年全国各地中考数学选择、填空压轴题汇编(二)
2018年全国各地中考数学选择、填空压轴题汇编（二）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2018•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（）A．线段PQ始终经过点（2，3）B．线段PQ始终经过点（3，2）C．线段PQ始终经过点（2，2）D．线段PQ不可能始终经过某一定点解：当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入y=kx+b，，解得：，∴直线PQ的解析式为y=x+．∵x=3时，y=2，∴直线PQ始终经过（3，2），故选：B．2．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE 的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．3．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3D．﹣2解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC的解析式为y=x，∴直线BD的解析式为y=﹣x，∵OB=，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数y=的图象上，∴，解得，k=﹣3，故选：C．4．（2018•宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的面积是（）A．B．2 C．2D．4解：过点D作DH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，AO=CO，∴AB=BC=CD=AD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=AD=4，∵∠BAD=60°，∴DH=4×=2，=4×2=8，∴S=×8=4，∴S∵点E为边CD的中点，∴OE为△ADC的中位线，∴OE∥AD，∴△CEO∽△CDA，∴△OCE的面积=×4=，故选：A．5．（2018•南京）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形．故选：B．6．（2018•无锡）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7，画树状图如下：由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种，故选：B．7．（2018•宿迁）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）A．5 B．4 C．3D．2解：设过点（1，2）的直线l的函数解析式为y=kx+b，2=k+b，得b=2﹣k，∴y=kx+2﹣k，当x=0时，y=2﹣k，当y=0时，x=，令=4，=﹣2，k2=6﹣4，k3=6+4，解得，k故满足条件的直线l的条数是3条，故选：C．8．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD 的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．二．填空题（共16小题）9．（2018•连云港）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为﹣．解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB∵AB=2，OA2+OB2=AB2∴OA=OB=∴A点坐标是（，0），B点坐标是（0，）∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点∴将A，B两点坐标代入y=kx+b，得k=﹣1，b=∴=﹣故答案为：﹣10．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A 在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P 是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是2≤a+2b≤5 ．解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．11．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为 4 ．解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C 于点H，则∠OEB′=∠OHB′=90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，∴B′H=OE=2.5，∴CH=B′C﹣B′H=1.5，∴CG=B′E=OH===2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，∴CF=2CG=4，故答案为：4．12．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，=•BC•AD=×4×5=10．∴S综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．13．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 2 ．解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=，∵CG=DG，CF=FB，∴GF=BD=，∵AG⊥FG，∴∠AGF=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DAG=∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，∴=，∴=，∴b2=2a2，∵a＞0．b＞0，∴b=a，在Rt△GCF中，3a2=，∴a=，∴AB=2b=2．故答案为2．14．（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k= 4 ．解：设D（a，），∵点D为矩形OABC的AB边的中点，∴B（2a，），∴C（2a，），∵△BDE的面积为1，∴•a•（﹣）=1，解得k=4．故答案为4．15．（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=，∴CD=BC﹣DB=5﹣=，故答案为．16．（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．解：由图1得：的长+的长=的长∵半径OA=2cm，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．17．（2018•扬州）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为（，﹣）．解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，设DE=AE=x，则有OE=BE=8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA，=OD•DE=OE•DF，∵S∴DF=，OF==，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）18．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= 或．解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．19．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为．解：∵y=mx+m=m（x+1），∴函数y=mx+m一定过点（﹣1，0），当x=0时，y=m，∴点C的坐标为（0，m），由题意可得，直线AB的解析式为y=﹣x+2，，得，∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，∴，解得，m=或m=（舍去），故答案为：．20．（2018•泰州）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为270°﹣3α（用含α的式子表示）．解：∵∠ACD=90°，∠D=α，∴∠DAC=90°﹣α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，∵∠ABC=90°，EAC的中点，∴BE=AE=EC，∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，∴∠CEB=180°﹣2α，∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠D=α，∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，故答案为：270°﹣3α．．（2018•宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB=60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…），当点B第一次落在x 轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是．解：由点A的坐标为（1，0）．得OA=1，又∵∠OAB=60°，∴AB=2，∵∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，BC=，在旋转过程中，三角板的长度和角度不变，∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积=．故答案：22．（2018•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为或．解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．设PQ=PA′=r，∵PQ∥CA′，∴=，∴=，∴r=．如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，∵△A′BT∽△ABC，∴=，∴=，∴A′T=，∴r=A′T=．综上所述，⊙P的半径为或．23．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与正比例函数y=kx、y=x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB=45°，则△AOB的面积是 2 ．解：如图，过B作BC⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C设点A横坐标为a，则A（a，）∵A在正比例函数y=kx图象上∴=ka∴k=同理，设点B横坐标为b，则B（b，）∴=∴∴∴ab=2当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（，a）∴OC=OD将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′∵BD⊥x轴∴B、D、A′共线∵∠AOB=45°，∠AOA′=90°∴∠BOA′=45°∵OA=OA′，OD=OD∴△AOB≌△A′OB=S△AOC=2×=1∵S∴S△AOB=2故答案为：224．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（）n﹣1．解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D1OA1=45°，∴D1A1=OA1=1，∴正方形AB1C1D1的面积=1=（）1﹣1，=，D1A2=，由勾股定理得，OD∴AB2=A2O=，B2C2D2的面积==（）2﹣1，∴正方形AD3=OA3=，同理，AB3C3D3的面积==（）3﹣1，∴正方形A…B nC nD n的面积=（）n﹣1，由规律可知，正方形A故答案为：（）n﹣1．。
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专题1 四边形的综合问题例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 _____________．参考答案例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF ＝12CP ＝12b ，a 2＋b 2 ＝8， ∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP ＝AP ＝CD ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b ＝12ab ， 又∵（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 ≥0，∴2ab ≤a 2＋b 2 ＝8，∴12ab ≤2， 即四边形PCDE 面积的最大值为2．同类题型1.1 如图，△APB 中，AP ＝4，BP ＝3，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和正△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是___________．解：∵△APE 和△ABD 是等边三角形，∴AE ＝AP ＝4，AB ＝AD ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ＝60°－∠DAP ，在△EAD 和△PAB 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAD ＝∠PAB AD ＝AB∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴DE ＝BP ，同理△DBC ≌△ABP ，∴DC＝AP，∵△APE和△BPC是等边三角形，∴EP＝AP，BP＝CP，∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4，∴四边形PCDE是平行四边形，当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG ⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AH ∥BG ，AD ＝BC ，∴∠H ＝∠HBG ，∵∠HBG ＝∠HBA ，∴∠H ＝∠HBA ，∴AH ＝AB ，同理可证BG ＝AB ，∴AH ＝BG ，∵AD ＝BC ，∴DH ＝CG ，故C 正确，∵AH ＝AB ，∠OAH ＝∠OAB ，∴OH ＝OB ，故A 正确，∵DF ∥AB ，∴∠DFH ＝∠ABH ，∵∠H ＝∠ABH ，∴∠H ＝∠DFH ，∴DF ＝DH ，同理可证EC ＝CG ，∵DH ＝CG ，∴DF ＝CE ，故B 正确，无法证明AE ＝AB ，选D ．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC ＝ 67，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H 是CF 与DN 的交点，取CD 的中点G ，连接HG ，，设AB ＝6a cm ，则BC ＝7a cm ，中间菱形的对角线HI 的长度为x cm ，∵BC ＝7a cm ，MN ＝EF ＝4cm ，∴CN ＝7a ＋42，∵GH ∥BC ， ∴GH CN ＝DG DC ， ∴7a －x 27a ＋42＝12， ∴x ＝3.5a －2…（1）； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，∴6a ﹒（7a －x ）÷2＝54，∴a （7a －x ）＝18…（2）；由（1）（2），可得a ＝2，x ＝5，∴CD ＝6×2＝12（cm ），CN ＝7a ＋42＝7×2＋42＝9(cm) ， ∴DN ＝122＋92 ＝15（cm ）， 又∵DH ＝DG 2＋GH 2＝62＋(7×2－52)2 ＝7.5（cm ）， ∴HN ＝15－7.5＝7.5（cm ），∵AM ∥FC ，∴KN HK ＝MN CM ＝49－4＝45， ∴HK ＝54＋5×7.5＝256(cm) ， ∴该菱形的周长为：256×4＝503（cm ）．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．解：延长AB 至M ，使BM ＝AE ，连接FM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°∴AB ＝AD ，∠A ＝60°，∵BM ＝AE ，∴AD ＝ME ，∵△DEF 为等边三角形，∴∠DAE ＝∠DFE ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，∴∠MEF ＋∠DEA ═120°，∠ADE ＋∠DEA ＝180°－∠A ＝120°，∴∠MEF ＝∠ADE ，∴在△DAE 和△EMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ME∠MEF ＝∠ADE DE ＝EF ∴△DAE ≌EMF （SAS ），∴AE ＝MF ，∠M ＝∠A ＝60°，又∵BM ＝AE ，∴△BMF 是等边三角形，∴BF ＝AE ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BC ＝CF ＋BF ＝2t ＋t ＝3t ，∵BC ＝4，∴3t ＝4，∴t ＝43． 同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 为AD 中点，∴2MD ＝AD ＝CD ＝2，∠FDM ＝60°，∴∠FMD ＝30°，∴FD ＝12MD ＝12， ∴FM ＝DM ×cos30°＝32， ∴MC ＝FM 2＋CF 2＝7 ，∴A ′C ＝MC －MA ′＝7 －1．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．解：∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点，∴△AA 1D 1 是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形，∴A 1D 1 ＝5，C 1D 1＝12AC ＝5 3 ，A 2B 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝A 2D 2 ＝5， 同理可得出：A 3D 3＝5×12 ，C 3D 3＝12C 1D 1＝12×5 3 ， A 5D 5＝5×（12）2 ，C 5D 5＝12C 3D 3＝（12）2×5 3 ， …∴四边形A 2015B 2015C 2015D 2015 的周长是：5＋5321007 ．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB ，FE 交于点G ，∵∠AEF ＋∠BEC ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴∠AEF ＝∠BCE ，①正确；在△AEF 和△BEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠GBE ＝90°AE ＝BE∠AEF ＝∠BEG， ∴△AEF ≌△BEG （ASA ），∴AF ＝BG ，EF ＝EG ，∵CE ⊥EG ，∴S △CEG ＝S △CEF ，CG ＝CF ，∴S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ，②正确；∴AF ＋BC ＝BG ＋BC ＝CG ＝CF ，③错误；∵BC CD ＝32， ∴∠BCE ＝30°，∴∠FCE ＝∠FCD ＝30°，在△CEF 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠FEC ＝90°∠DCF ＝∠ECFCF ＝CF ， ∴△CEF ≌△CDF （AAS ），④正确．同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE= 2 AB ，∵AD= 2 AB ，∴AE ＝AD ，在△ABE 和△AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DAE∠ABE ＝∠AHD ＝90°AE ＝AD， ∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12 （180°－45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵∠AHB=12 （180°－45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE ＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DOH ＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DOH ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故⑤正确；∵∠EBH ＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，又∵BE ＝DH ，∠AEB ＝∠HDF ＝45°在△BEH 和△HDF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EBH ＝∠OHDBE ＝DH ∠AEB ＝∠HDF∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD ＝BE 、DF ＝EH ＝CE ，CF ＝CD －DF ，∴BC －CF ＝（CD ＋HE ）－（CD －HE ）＝2HE ，所以④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥D E 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝2AB ＝ 2 CD ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ＝45°，∵AD ⊥DE ，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD ＝ 2 AB ，∴AH ＝AB ＝CD ，∵△DEC 是等腰直角三角形，∴DE ＝ 2 CD ，∴AD ＝DE ，∴∠AED ＝67.5°，∴∠AEB ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠AEB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ，故①正确；设DH ＝1，则AH ＝DH ＝1，AD ＝DE ＝ 2 ，∴HE ＝ 2 ，∴22HE ＝22≠1，故②错误；∵∠AEH ＝67.5°，∴∠EAH ＝22.5°，∵DH ＝CD ，∠EDC ＝45°，∴∠DHC ＝67.5°，∴∠OHA ＝22.5°，∴∠OAH ＝∠OHA ，∴OA ＝OH ，∴∠AEH ＝∠OHE ＝67.5°，∴OH ＝OE ，∴OH ＝12 AE ， 故④正确；∵AH ＝DH ，CD ＝CE ，在△AFH 与△CHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AHF ＝∠HCE ＝22.5°∠FAH ＝∠HEC ＝45°AH ＝CE ， ∴△AFH ≌△CHE ，∴∠AHF ＝∠HCE ，∵AO ＝OH ，∴∠HAO ＝∠AHO ，∴∠HAO ＝∠BCF ，∵∠B ＝∠AHE ＝90°，∴△AEH ∽△CFB ，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12AD ， ∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF ＝BE AD ＝12， ∴EF ＝12AF ， ∴EF ＝13AE ， ∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE ＝DE ，∴EF ＝13DE ，设EF ＝x ，则DE ＝3x ， ∴DF ＝DE 2－EF 2＝2 2 x ，∴tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24；选A ．例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB ＋∠BAP ＝90°，∠PAD ＋∠BAP ＝90°，∴∠EAB ＝∠PAD ，又∵AE ＝AP ，AB ＝AD ，∵在△APD 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AP∠EAB ＝∠PAD AB ＝AD， ∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立；③∵△APD ≌△AEB ，∴∠APD ＝∠AEB ，∵∠AEB ＝∠AEP ＋∠BEP ，∠APD ＝∠AEP ＋∠PAE ，∴∠BEP ＝∠PAE ＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝BP 2－PE 2 ＝2，∴BF ＝EF ＝ 2 ，故此选项正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1，∴EP ＝ 2 ，又∵PB ＝ 6 ，∴BE ＝2，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝2，∴S △ABP ＋S △ADP ＝S △ABD －S △BDP ＝12 S 正方形ABCD －12×DP ×BE ＝12×（4＋6）－12×2×2＝62． 故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝ 2 ，AE ＝1，∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE ＋EF ）2＋BF 2＝5＋2 2 ，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5＋22，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360＝π， ∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4． 选：A ．同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：①②如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝90°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠FAD ＝∠CAF ＝22.5°，∵BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠FAD ＝22.5°，∴∠HAC ＝∠FAC ，∴HM ＝FM ，AC ⊥FH ，∵AE 平分∠DAC ，∴DF ＝FM ，∴FH ＝2DF ＝2BH ，故选项①②正确；③在Rt △FMC 中，∠FCM ＝45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC ＝2 2 ，MC ＝DF ＝2 2 －2，∴FC ＝2－DF ＝2－（22－2）＝4－2 2 ， S △AFC ＝12CF ﹒AD ≠1， 所以选项③不正确；④AF ＝AD 2＋DF 2＝22＋(22－2)2＝24－2 2 ，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD CE ＝AF FC，∴2CE ＝24－224－22， ∴CE ＝4－2 2 ，∴CE ＝12AF ， 故选项④正确；⑤延长CE 和AD 交于N ，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE＝EN，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG 2＝FG﹒CG，∴EG 2＝FG﹒DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________．（1）EF＝ 2 O E；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠COE＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE ＝∠COFOB ＝OC∠OBE ＝∠OCF， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝ 2 OE ；故正确；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE ＋S △BOE ＝S △BOE ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故正确；（3）∴BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝ 2 OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12， 设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ﹒BF ＋12CF ﹒OH ＝12x （1－x ）＋12（1－x ）×12＝－12（x －14）2＋932， ∵a ＝－12＜0， ∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14；故错误；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG ﹒OB ＝OE 2 ，∵OB ＝12 BD ，OE ＝22EF ， ∴OG ﹒BD ＝EF 2 ，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2 ，∴EF 2＝AE 2＋CF 2 ，∴OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2 ．故正确．故答案为：（1），（2），（3），（5）．同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ， E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 _____________．解：如图，设KH 的中点为S ，连接PE ，PF ，SE ，SF ，PS ， ∵E 为MN 的中点，S 为KH 的中点， ∴A ，E ，S 共线，F 为QR 的中点，S 为KH 的中点， ∴B 、F 、S 共线，由△AME ∽△PQF ，得∠SAP ＝∠FPB ， ∴ES ∥PF ，△PNE ∽△BRF ，得∠EPA ＝∠FBP ， ∴PE ∥FS ，则四边形PESF 为平行四边形，则G 为PS 的中点， ∴G 的轨迹为△CSD 的中位线， ∵CD ＝AB －AC －BD ＝6－1－1＝4，∴点G 移动的路径长12×4＝2．专题07 圆的综合问题例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（）A．2 B． 5 C． 3 ＋1 D．2 2同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD＝5，BD＝2，则DE＝25；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝4148；则正确的结论是（）A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．（4）连结AE、AF，如图（5）所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝3 3：4π，以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以4 2 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM＝13，则sin∠CBD的值等于（）A．32B．13C．2 23D．12同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC ＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP ＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD 为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8例3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）A．MN＝4 3 3B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2同类题型3.1 如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是__________．同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12同类题型3.3 已知AC ⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列图形中⊙O 与△ABC 的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O 的半径为aba ＋b的是（ ） A ． B ． C ． D ． 例4．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH的值为______________．同类题型4.1如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作⊙M 的切线，切点为N ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则DF 的长是_______________．同类题型4.2 如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．DE 的长B ．BC 的长 C ．23 DE 的长D ．32DE 的长例5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连结BE ，BE ＝7 2 ．下列四个结论：①AC 平分∠DAB ；②PF 2＝PB ﹒PA ；③若BC ＝ 12OP ，则阴影部分的面积为74π－ 494 3 ；④若PC ＝24，则tan ∠PCB ＝ 34 ．其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．①②③同类题型5.1 如图，在半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．同类题型5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若∠EOF ＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2π3 B ．2 3－ π3 C ．2 3－ 2π3 D ．4 3－ 2π3同类题型5.4 如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1 和半圆O 2 ，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF ＝2（EF 与AB 在圆心O 1 和O 2 的同侧），则由⌒AE ，EF ，⌒FB ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．参考答案例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（）A．2 B． 5 C． 3 ＋1 D．2 2解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB，根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点A是半圆上的一个三等分点，∴∠ACD＝30°．∵B弧AD中点，∴∠BOD＝∠ACD＝30°，∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°．∵⊙O的半径是2，∴OB＝OQ＝2，∴BQ＝OB 2＋OQ2＝2 2 ，即PA＋PB的最小值为22．选D．同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD ＝5，BD ＝2，则DE ＝ 25；②∠ACB ＝∠DCF ； ③△FDA ∽△FCB ；④若直径AG ⊥BD 交BD 于点H ，AC ＝FC ＝4，DF ＝3，则cos F ＝ 4148；则正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．①②④解：①如图1，∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵∠CAD ＝∠CBD ， ∴∠BAD ＝∠CBD ， ∵∠BDE ＝∠BDE ， ∴△BDE ∽△ADB ， ∴BD AD ＝DE BD，由AD ＝5，BD ＝2，可求DE=45，①不正确； ②如图2，连接CD ，∠FCD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠ABD ＝180°， ∴∠FCD ＝∠ABD ，若∠ACB ＝∠DCF ，因为∠ACB ＝∠ADB ， 则有：∠ABD ＝∠ADB ，与已知不符， 故②不正确； ③如图3，∵∠F ＝∠F ，∠FAD ＝∠FBC ， ∴△FDA ∽△FCB ； 故③正确； ④如图4，连接CD ，由②知：∠FCD ＝∠ABD ， 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FCD ∽△FBA ， ∴FC FB ＝FD FA，由AC ＝FC ＝4，DF ＝3，可求：AF ＝8，FB ＝323，∴BD ＝BF －DF ＝233，∵直径AG ⊥BD ，∴DH ＝236 ，∴FH ＝416，∴cos F ＝FH AF ＝4148，故④正确； 故选：C ．同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB ，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF 折叠，使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N ，如图（4）所示． （4）连结AE 、AF ，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD ∥EF ；②四边形MEBF 是菱形；③△AEF 为等边三角形；④S △AEF ：S 圆＝3 3：4π， 以上结论正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解：∵纸片上下折叠A 、B 两点重合， ∴∠BMD ＝90°，∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合， ∴∠BNF ＝90°，∴∠BMD ＝∠BNF ＝90°， ∴CD ∥EF ，故①正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ，又∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合， ∴BN ＝MN ，∴BM 、EF 互相垂直平分，∴四边形MEBF 是菱形，故②正确；如图，连接ME ，则ME ＝MB ＝2MN ，∴∠MEN ＝30°，∴∠EMN ＝90°－30°＝60°， 又∵AM ＝ME （都是半径）， ∴∠AEM ＝∠EAM ，∴∠AEM ＝12∠EMN ＝12 ×60°＝30°， ∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠MEN ＝30°＋30°＝60°，同理可求∠AFE ＝60°，∴∠EAF ＝60°， ∴△AEF 是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r ，则MN ＝12 r ，EN ＝32r ， ∴EF ＝2EN ＝ 3 r ，AN ＝r ＋12r ＝32r ， ∴S △AEF ：S 圆＝（12×3r ×32r ）：πr 2＝3 3 ：4π，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个．选D ．同类题型1.3同类题型1.4例2．如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以4 2 为半径，过B 、C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值为______________．解：作OF ⊥BC 于F ，则BF ＝CF ＝12BC ＝2，如图，连结OB ，在Rt △OBF 中，OF ＝OB 2－BF 2＝(42)2－22＝27 ，∵∠BAC ＝45°，BC ＝4，∴点A 在BC 所对应的一段弧上一点，∴当点A 在BC 的垂直平分线上时OA 最大，此时AF ⊥BC ，AB ＝AC ，作BD ⊥AC 于D ，如图，设BD ＝x ，∵△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2BD ＝ 2 x ，∴AC ＝ 2 x ，在Rt △BDC 中，∵BC 2＝CD 2＋BD 2 ，∴42＝（2x －x ）2＋x 2 ，即x 2＝4（2＋ 2 ），∵12AF ﹒BC ＝12BD ﹒AC ，∴AF ＝x ﹒2x 4＝2 2 ＋2，∴AO ＝AF ＋OF ＝22＋2＋27 ，即线段OA 的最大值为22＋2＋27．同类题型2.1 如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB于点M ，OM ＝ 13，则sin ∠CBD 的值等于（ ） A ．32 B ．13 C ．2 23 D ．12解：连接AO ，∵OM ⊥AB 于点M ，AO ＝BO ，∴∠AOM ＝∠BOM ，∵∠AOB ＝2∠C∴∠MOB ＝∠C ，∵⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ＝13， ∴sin ∠CBD ＝sin ∠OBM ＝MO OB ＝131＝13则sin ∠CBD 的值等于13． 选B ．同类题型2.2 如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点M ，且MP ＝OM ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______________．解：①根据题意，画出图（1），在△QOC 中，OC ＝OM ，∴∠OMC ＝∠OCP ，在△OPM 中，MP ＝MO ，∴∠MOP ＝∠MPO ，又∵∠AOC ＝30°，∴∠MPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°，在△OPM 中，∠MOP ＋∠MPO ＋∠OMC ＝180°，即（∠OCP ＋30°）＋（∠OCP ＋30°）＋∠OCP ＝180°，整理得，3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°．②当P 在线段OA 的延长线上（如图2）∵OC ＝OM ，∴∠OMP=（180°-∠MOC ）×12①， ∵OM ＝PM ，∴∠OPM=（180°-∠OMP ）×12②， 在△OMP 中，30°＋∠MOC ＋∠OMP ＋∠OPM ＝180°③，把①②代入③得∠MOC ＝20°，则∠OMP ＝80°∴∠OCP ＝100°；③当P 在线段OA 的反向延长线上（如图3），∵OC ＝OM ，∴∠OCP=∠OMC=（180°-∠COM ）×12①， ∵OM ＝PM ，∴∠P ＝（180°－∠OMP ）×12②， ∵∠AOC ＝30°，∴∠COM ＋∠POM ＝150°③，∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°－150°－10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD 为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），而QE长度不变，故此时CE最小，∵AC＝12，∴QC＝AQ 2＋AC2＝13，∴CE＝QC－QE＝13－5＝8，选D．例3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）A．MN＝4 3 3B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2解：A 、平移MN 使点B 与N 重合，∠1＝60°，AB ＝2，解直角三角形得MN ＝433 ，正确； B 、当MN 与圆相切时，M ，N 在AB 左侧以及M ，N 在A ，B 右侧时，AM ＝ 3 或33，错误； C 、若∠MON ＝90°，连接NO 并延长交MA 于点C ，则△AOC ≌△BON ，故CO ＝NO ，△MON ≌△MOC ，故MN 上的高为1，即O 到MN 的距离等于半径．正确； D 、l 1∥l 2 ，两平行线之间的距离为线段AB 的长，即直径AB ＝2，正确．选B ．同类题型3.1 如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是__________．解：当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．连接AC ，∵∠AOC ＝∠ADC ＝90°，AC ＝AC ，OC ＝CD ，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC （HL ），∴AD ＝AO ＝2，连接CD ，设EF ＝x ，∴DE 2 ＝EF ﹒OE ，∵CF ＝1，∴DE ＝x (x ＋2) ，∵△CDE ∽△AOE ，∴CD AO ＝CE AE，即12＝x ＋12＋x (x ＋2) ，解得x ＝23 ， S △ABE ＝BE ×AO 2＝2×(23＋1＋2)2＝113．同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12解：∵直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4gh (3) ），∴OB ＝4 3 ，在RT △AOB 中，∠OAB ＝30°，∴OA ＝3OB ＝3×4 3 ＝12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM ＝12PA ， 设P （x ，0），∴PA ＝12－x ，∴⊙P 的半径PM ＝12PA ＝6－12x ， ∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．故选：A ．同类题型3.3 已知AC ⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列图形中⊙O 与△ABC 的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O 的半径为ab a ＋b的是（ ） A ． B ．C ．D ．解：设⊙O 的半径为r ，A 、∵⊙O 是△ABC 内切圆，∴S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）﹒r ＝12ab ， ∴r ＝ab a ＋b ＋c； B 、如图，连接OD ，则OD ＝OC ＝r ，OA ＝b －r ，∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ，即∠AOD ＝∠C ＝90°，∴△ADO ∽△ACB ， ∴OA ：AB ＝OD ：BC ，即（b －r ）：c ＝r ：a ， 解得：r ＝ab a ＋c； C 、连接OE ，OD ，∵AC 与BC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴∠OEB ＝∠ODC ＝∠C ＝90°，∴四边形ODCE 是矩形，∵OD ＝OE ，∴矩形ODCE 是正方形，∴EC ＝OD ＝r ，OE ∥AC ，∴OE ：AC ＝BE ：BC ，∴r ：b ＝（a －r ）：a ，∴r ＝ab a ＋b； D 、解：设AC 、BA 、BC 与⊙O 的切点分别为D 、F 、E ；连接OD 、OE ；∵AC 、BE 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠DCE ＝90°；∴四边形ODCE 是矩形；∵OD ＝OE ，∴矩形ODCE 是正方形；即OE ＝OD ＝CD ＝r ，则AD ＝AF ＝b －r ；连接OB ，OF ， 由勾股定理得：BF 2＝OB 2－OF 2 ，BE 2＝OB 2－OE 2 ，∵OB ＝OB ，OF ＝OE ，∴BF ＝BE ，则BA ＋AF ＝BC ＋CE ，c ＋b －r ＝a ＋r ，即r ＝c ＋b －a 2． 故选C ．例4．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EFGH的值为______________．解：如图，连接AC 、BD 、OF ，设⊙O 的半径是r ，则OF ＝r ，∵AO 是∠EAF 的平分线，∴∠OAF ＝60°÷2＝30°，∵OA ＝OF ，∴∠OFA ＝∠OAF ＝30°，∴∠COF ＝30°＋30°＝60°， ∴FI=r ﹒sin60°=32r ， ∴EF=32r ×2= 3 r ， ∵AO ＝2OI ，∴OI ＝12 r ，CI ＝r －12r ＝12r ， ∴GH BD ＝CI CO ＝12， ∴GH ＝12 BD ＝r ， ∴EFGH ＝3r r ＝ 3 ．同类题型4.1如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作⊙M 的切线，切点为N ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则DF 的长是_______________．解：延长EF ，过B 作直线平行AC 和EF 相交于P ，∵AE ＝5，EC ＝3，∴AO ＝CE ＋OE ，即有，OE ＝EN ＝1，又∵△DMN ∽△DEO ，且MN=13 DM ， ∴DE ＝3OE ＝3，又∵OE ∥BP ，O 是DB 中点，所以E 也是中点， ∴EP ＝DE ＝3，∴BP ＝2，又∵△EFC ∽△PFB ，相似比是3：2，∴EF=EP ×35＝1.8， 故可得DF ＝DE ＋EF ＝3＋1.8＝4.8．同类题型4.2 如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．DE 的长B ．BC 的长 C ．23 DE 的长D ．32 DE 的长解：如图，作直径CF ，连接BF ，在Rt △CBF 中，sin ∠F ＝BC CF ＝BC 2； ∵BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ＝1：3，又∵∠EAD ＝∠CAB ，∴△EAD ∽△CAB ，∴BC ＝3DE ，∴sin ∠A ＝sin ∠F ＝BC 2＝3DE 2＝32DE ． 选D ．例5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直。