三角函数知识点总结及同步练习

必修四第一章三角函数

1.1任意角与弧度制

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α

∠可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”

（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴

（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的围大扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

4、常用的角的集合表示方法

<1>、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)

k∈个周角的和。

(Z

k

（2）所有与α终边相同的角连同α在可以构成一个集合

{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 <2>、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ <3>、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ <4>、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度与弧度制 <1>、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad 注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角α的弧度数的绝对值 r

l

=

α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。 <2>、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad

∴ 1︒=

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 三、弧长公式和扇形面积公式

r l α= ； 22

1

21r lR S α==

1.2 任意角的三角函数

o

r

C 2rad

1rad r l=2r o

B

一、三角函数定义

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点),(b a P ,它与原点的距离222

2

(y x y

x r r +=+=

)。

（1）比值r y 叫做α的正弦，记作αsin ，即r y =αsin ； （2）比值r x 叫做α的余弦，记作αcos ，即r

x

=αcos ；

（3）比值y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y

=αtan ；

（4）比值

y x 叫做α的余切，记作αcot ，即y

x =αcot ； （5）比值x r 叫做α的正割，记作αsec ，即x

r

=αsec ；

（6）比值

y r 叫做α的余割，记作αcsc ，即y

r =αcsc ． 二、三角函数的定义域、值域

①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当

()

2

k k Z π

απ=

+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以

tan y x α=与sec r x α=

无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r y α=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r

x 、r y 分别是一个确定的

实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。