(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版).docx

2002-2003 第一学期

一．计算及推导（ 5*8）

1．已知 x* 3.141, x

，试确定

x *

近似 x

的有效数字位数。

*

*

*

0.100

* * * 2．有效数 x 1

3.105, x 2 0.001, x 3

1 x 2

3

，试确定

x

x

的相对误差限。

3．已知

f ( x)

0.5 x 3 0.1x

2

，试计算差商

f

0,1,2,3

4．给出拟合三点

A

(0,1), B

(1,0) 和 C

(1,1)

的直线方程。

5．推导中矩形求积公式

b

(b a) f ( a b ) 1 f ''

( )(b a)3

f (x)dx

a

2 24

b n

f (x)dx

A i f ( x i )

a

6．试证明插值型求积公式

i 0

的代数精确度至少是 n 次。

7．已知非线性方程 x f (x)

在区间

a, b

内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代

公式。 8．用三角分解法求解线性方程组

1 2 1 x 1 0 2

2

3

x 2 3 1 3 0

x 3

2

二．给出下列函数值表

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x i

0.38942

0.47943

0.56464

0.64422

0.71736

f ( x i )

要用二次插值多项式计算

f (0.63891)

的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程

x ln x

0 在

(0,1)

内有一实根

（ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似

x 0

(0,1)

迭代法都收

敛，并证明其收敛性。

（ 2） x 0 0.5

试用构造的迭代公式计算 的近似值 x

n ，要求 x n x

n 1

10

3

。

四． 设有方程组

a 1 3 x 1

b 1 1

a

2

x 2 b 2 3 2 a

x 3

b 3

当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。 （ 12 分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题

y '

y 2x (0 x 0.2)

y

y(0) 1 取 h=0.1 ，小数点后保留 5 位。（8 分）

y '

f ( x, y) 六．证明求解初值问题

y(x 0 ) y 0

的如下单步法

y

n 1

y n K 2 K 1

hf ( x n , y n )

K 2 hf ( x n

1

h, y n

1

K 1 )

2 2

是二阶方法。（10 分）

七．试证明复化梯形求积公式

f (x)dx

h

( f ( x 0 ) 2

n 1 h

b a

b

a

2

i 1

n

对任意多的积分节点数 n+1, 该公式都是数值稳定的。 （6 分）

2003-2004 第一学期

一．填空（ 3*5 ）

1．近似数 x *

0.231 关于真值 x

0.229

有 _____- 位有效数字。

2． n x *

的相对误差为 x *

的相对误差的 _______倍。

3．设

f (x)

可微，求

x

f (x)

根的牛顿迭代公式 ______。

b

n

A i f (x i )

f (x)dx

a

的代数精确度至少是 ______次。

4．插值型求积公式

i

5．拟合三点 A

(1,0), B (1,3) 和 C (2,2) 的常函数是 ________ 。

二．已知

f (x)

有如下的数据

x i

123 f ( x i )

2412 f ' ( x i )3

试写出满足插值条件 P( x i ) f (x i ) 以及 P '(2)f '(2)

的插值多项式

P(x)

，并写出

误差的表达形式。

1三．（1）用复化辛浦森公式计算e x dx

6 位有效数字，问

0为了使所得的近似值有

需要被积函数在多少个点上的函数值？

7

2 lg xdx

（2）取 7 个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算x

1，小数点后至少保留 4 位。

四．曲线y

x3与

y 1 x

在点（ 0.7 ，0.3 ）附近有一个交点

(x , y )

，试用牛顿迭

代公式计算 x 的近似值x

n，要求

x

n

x n 1 10 3

五．用雅可比方法解方程组

122x15

111x21

221x33

是否对任意的初始向量 x(0)都收敛，为什么？取 x(0)(0,0,0) T，求出解向量的近max x i( k1)x i(k )10 6

似向量，要求满足 1 i 3。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

y'y2 +1

y(0)0

的解函数在x 0.6

处的近似值，要求写出计算格式。（步长

h0.3

, 小数点后保留

5位有效数字）

y' f (x, y)

七．设有求解初值问题y(x

) y

0的如下格式

y n 1ay

n 1by n chf ( x n , y n )

如假设y

n 1

y( x

n 1

), y

n

y( x

n

)

问常数a, b, c为多少时使得该格式为二阶格式？