最小生成树模型与实验

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最小生成树实验报告

最小生成树实验报告最小生成树实验报告一、引言最小生成树是图论中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

本次实验旨在通过编程实现最小生成树算法，并通过实验数据对算法进行分析和评估。

二、算法介绍最小生成树算法的目标是在给定的带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权重之和最小。

本次实验我们选择了两种经典的最小生成树算法：Prim 算法和Kruskal算法。

1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步扩展生成树的规模，直到包含所有顶点为止。

算法的具体步骤如下：（1）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。

（2）从与生成树相邻的顶点中选择一个权重最小的边，将其加入生成树中。

（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。

2. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法，它首先将图中的边按权重从小到大进行排序，然后逐个加入生成树中，直到生成树包含所有顶点为止。

算法的具体步骤如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。

（2）逐个加入边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将其加入生成树中。

（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。

三、实验过程本次实验我们使用C++语言实现了Prim算法和Kruskal算法，并通过随机生成的图数据进行了测试。

1. Prim算法的实现我们首先使用邻接矩阵表示图的结构，然后利用优先队列来选择权重最小的边。

具体实现过程如下：（1）创建一个优先队列，用于存储生成树的候选边。

（2）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。

（3）将与生成树相邻的顶点及其边加入优先队列。

（4）从优先队列中选择权重最小的边，将其加入生成树中，并更新优先队列。

（5）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。

2. Kruskal算法的实现我们使用并查集来维护顶点之间的连通关系，通过排序后的边序列来逐个加入生成树中。

具体实现过程如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。

徐州工程学院数据结构最小生成树实验文档

for(j=0;j<G->vexnum-1;++j){ seat = minimize( G,A ); printf("select min: %d\n", seat); A[seat].know = 1; p=G->LH[seat].firstarc; for (p; p != NULL; p=p->nextarc){ i=p->adjvex; if(A[i].know == 0 && p->weight < A[i].lowcost){ A[i].nextvex = G->LH[seat].data; A[i].lowcost = p->weight; } }
}
location = search(G ,u);// 确定 u 元素在头结点数组中的位置 for (p=G->LH[location].firstarc ; p != NULL; p=p->nextarc ){
i = p->adjvex; A[i].nextvex = G->LH[location].data; A[i].lowcost = p->weight; A[i].know = 0; } A[location].know = 1; A[location].lowcost = 0; A[location].nextvex = '0';
// 建图
int search(Graph *G,char a);
int i,n1,n2,w; char a,b; ArcNode *p, *q;
printf(" 请输入顶点个数和边的条数： \n"); scanf("%d %d",&G->vexnum,&G->arcnum); printf(" 请输入顶点信息 \n"); for (i = 0; i < G->vexnum; ++i){

最小生成树实验报告

最小生成树（Minimum Spanning Tree）实验报告1. 实验目的本实验旨在通过实践掌握最小生成树算法的基本原理和实现方法。

最小生成树是图论中的一个重要概念，用于解决具有权重的连通图的最优路径问题。

通过本实验，我们将学习如何使用最小生成树算法找到一棵连接图的所有节点且总权重最小的树。

2. 实验原理最小生成树是一个连通图的一种生成树，它的所有边的权重之和最小。

最小生成树的求解算法有多种，其中两种常用的算法是 Prim 算法和 Kruskal 算法。

2.1 Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边。

具体步骤如下： 1. 选择一个起始节点作为最小生成树的根节点。

2. 在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。

3. 将该节点标记为已访问。

4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到所有节点都被访问。

2.2 Kruskal 算法Kruskal 算法也是一种贪心算法，通过不断选择权重最小的边来构建最小生成树。

具体步骤如下： 1. 对所有边按照权重进行排序。

2. 依次选择权重最小的边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，则将该边加入最小生成树，并将这两个端点合并到同一个连通分量中。

3. 重复步骤 2，直到所有节点都在同一个连通分量中，即最小生成树构建完成。

3. 实验步骤本实验将使用 Prim 算法和 Kruskal 算法分别求解给定图的最小生成树。

3.1 数据准备首先，我们需要准备一个具有权重的连通图作为实验数据。

假设该图有 n 个节点和 m 条边，我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示这个图。

3.2 Prim 算法求解最小生成树1.首先，选择一个起始节点作为最小生成树的根节点，并将该节点标记为已访问。

2.初始化一个空的最小生成树，用于存储最终的结果。

3.重复以下步骤，直到所有节点都被访问：1.在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。

最小生成树算法实验报告

最小生成树算法实验报告【实验报告】最小生成树算法实验一、实验目的本次实验旨在研究最小生成树算法，通过对比不同的算法，并对实验结果进行分析，探索最小生成树算法的优劣势和适应场景。

二、实验过程1.算法介绍本次实验中我们将使用两种最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

- 普里姆算法（Prim算法）：从一个顶点开始，不断在剩下的顶点中选择到当前已有的最小生成树的距离最小的边，将该边的另一个顶点加入树中，直到所有的顶点都加入树中。

- 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）：首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后以最小权值的边开始，依次选择权值最小且不会形成环路的边，直到找到n-1条边为止，其中n为顶点数。

2.实验步骤首先，我们使用Python语言实现了普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

然后，我们构造了一些测试用例，包括不同规模的图和不同权值分布的图。

最后，我们对实验结果进行对比分析。

三、实验结果1.测试用例设计我们设计了三个测试用例，分别为小规模图、中规模图和大规模图，具体如下：-小规模图：顶点数为5的图，权值随机分布。

-中规模图：顶点数为50的图，权值随机分布。

-大规模图：顶点数为100的图，权值随机分布。

2.实验结果分析我们的实验结果如下表所示：算法，小规模图，中规模图，大规模图:-------:，:------:，:------:，:------:普里姆算法，13，455，703从实验结果可以看出，对于小规模图和中规模图，普里姆算法的运行时间明显低于克鲁斯卡尔算法。

但是对于大规模图，克鲁斯卡尔算法的运行时间与普里姆算法的运行时间差距不大，甚至略小于普里姆算法。

这是因为克鲁斯卡尔算法中排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而普里姆算法中筛选最小距离的边的时间复杂度为O(V^2)。

综上所述，普里姆算法适用于较小规模的图，而克鲁斯卡尔算法适用于较大规模的图。

四、实验总结本次实验研究了最小生成树算法，通过对比实验结果，我们发现不同算法在不同规模的图上的表现有所差异。

基于高维空间最小生成树自适应覆盖模型的可拒绝分类算法

第３第ｌ２卷２期
２１００年１２月
电
子
与ห้องสมุดไป่ตู้
信
息
学
报
Ｖｏ１３．２ＮＯ．２１
Ｊｕｎｌｆｅｔｏｉｓ＆ＩｆｒｔｏｅｈｏｏｙｏｒａｃｒｎｃｏＥｌｎｏｍａｉｎＴｃｎｌｇ
Ｄｅ．００ｃ２１
ｔｉｐｒａｃｒｉｇｔｈａａｄｓｒｂｔｏｎｈｇ — ｍｅｓｏａｐｃ．ｅａｇｒｔｍｅｃｉｅｈａｇｔｃａｓｈｓｐａｅｃｏｄｎｏｔｅｄｔｉｔｉｕｉｎｉｉｈｄｉｎｉｎｌａｅＴｈｌｏｉｈｄｓｒｂｓｔｅｔｒｅｌｓｓ
ＡＣａｓｃｔｎＡｌｏｉｍｔｊｃｐｉｎＢｓｄｏａｔｅｌｓｉａｉｇｒｈｗｉＲｅｅｔＯｔａｅｎＡｄｐｉｉｆｏｔｈｏｖ
ＭｉｍｕｐａｎｎｒｅＣｏｅｉｇＭｏｅｎＨｉｈｄｍｅｓｏａｐａｅｎｉｍＳｎｉｇＴｅｖｒｎｄｌｉｇ－ｉｎｉｎｌＳｃ
ｕｉｇＭＳｗｉｈｔｅａｓｍｐｉｎｔａｈｄｅｆｔｅｇａｈａｅａｓａｉｌｍｅｔｆｔｅｃａｓｆｒｗｈｃｆｅｓｓｎＴｔｈｓｕｔｏｈｔｔｅｅｇｓｏｈｒｐｒｌｏｂｓｃｅｅｎｓｏｈｌｓｉｅｉｈｏｆｒｉ
关键词：信号处理；可拒绝分类模型；高维问；最小生成树；自适应覆盖

最小生成树问题的ampl实际案例

最小生成树问题的AMPL实际案例导言在图论中，最小生成树指的是在一个连接了所有节点的图中，找到一棵权重之和最小的树。

最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、城市规划等领域。

AMPL（A Mathematical Programming Language）是一种用于数值分析和优化的高级建模语言。

本文将通过一个具体的案例，探讨如何使用AMPL解决最小生成树问题。

案例背景假设我们有一个城市网络，城市之间通过道路连接。

我们希望使用最小的成本来连接所有城市，以便人们可以在城市之间通行。

问题分析我们可以将城市网络表示为一个带权重的图，其中城市是节点，道路是边，道路的权重表示建造和维护道路的成本。

我们的目标是找到一个最小生成树，即在图中选择一些边，使得所有的城市都能够通过这些边连通，并且这些边的权重之和最小。

数学建模为了使用AMPL解决最小生成树问题，我们需要将问题建模成一个线性规划模型。

首先，我们定义一些变量： - x ij表示边(i,j)是否被选择，如果被选择则取值为1，否则取值为0。

- c ij表示边(i,j)的权重。

然后，我们需要定义一些约束条件： - 每个城市必须通过某条边连接到最小生成=1，其中j表示与城市i相连的边树中的其他城市。

对于每个城市i，我们有∑x ijj(i,j)。

- 最小生成树中不能形成环。

对于每个子集S，使得S中的城市通过(i,j)连≤|S|−1。

接到最小生成树中的其他城市，我们有∑x ij(i,j)⊆S最后，我们需要定义目标函数： - 目标函数是最小化边的权重之和。

我们有min∑c ijx ij。

i,jAMPL代码下面是用AMPL建模的代码：set Cities; # 定义城市集合param c{Cities, Cities} >= 0; # 定义边的权重矩阵var x{Cities, Cities} binary; # 是否选择边minimize Total_Cost: sum{i in Cities, j in Cities} c[i,j] * x[i,j];subject to Connectedness{i in Cities}:sum{j in Cities} x[i,j] = 1;subject to No_Cycles{S in subset(Cities)}:sum{(i,j) in (S cross S)} x[i,j] <= card(S) - 1;结果分析通过运行AMPL代码，我们可以得到最小生成树的解。

环游与欧拉环游

4
（一）图的概念
几个基本概念：
图：由若干个不同的点与连接其中某些顶点的边所组成的图形，称为图图有二要素：“点”和“边”： “点”表示对象，“边”反映对象之间的关 G(V , E ) 系。
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（一）图的概念
进一步的概念：
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（一）图的概念
环游与欧拉环游：
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（二）欧拉环游及弗莱里算法
七桥问题：
流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾有两个小岛，七座桥连接了两岸和小岛（如图1），当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。
但是要注意，一个图存在欧拉环游，如果方法不对，仍然可能找不到具体的欧拉环游。
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（二）欧拉环游及弗莱里算法
弗莱里算法：
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（二）欧拉环游及弗莱里算法
弗莱里算法求欧拉环游的实例：
以A为起点
A(~)B
A(~)BA
A(~)BAC
… A(~)BACD A(~)BACDE A(~)BACDEC A(~)BACDECBE(~)DA
数学建模理论与实践
—— 基于图论的数学建模
1
基于图论的数学建模
一、欧拉环游问题与中国邮递员问题二、最小生成树模型
三、最短路模型
2
一、欧拉环游问题与中国邮递员问题
（一）图的概念（二）欧拉环游及弗莱里算法
（三）中国邮递员问题
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（一）图的概念
问题的提出：现实生活中，我们经常碰到一些现象，如：在一群人中有些人互相认识，有些人互相不认识。又如：某航空公司在100个城市之间建立若干航线，某些城市间有直达航班，而另一些城市间没有直达航班等等。以上现象都有共同内容：一是有研究的“对象”，如人，城市等；二是这些对象之间存在着某种关系：如互相认识，有直达航班等。为了表示这些对象以及对象之间的关系，我们将“点”代表 “对象”，“边”表示“对象之间的关系”，引出了“图”这个概念。

图论课件第二章_树

例如确定社区医院的修建位置就可以建模成求图的中心问题2树的形心概念与性质设u是树t的任意一个顶点树t在顶点u的分支是指包含u作为一个叶点的极大子树其分支数为顶点u的度数
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或称为赋权图中的最小连接问题。例4 化学中的分子结构与树例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就可以得到一独立回路。例6 通信网络中的组播树在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树和Steiner树。

最小生成树模型与实验

第六章最小生成树模型与实验树是图论中的一个重要概念，由于树的模型简单而实用，它在企业管理、线路设计等方面都有很重要的应用。

§6.1树与树的性质上章已讨论了图和树的简单基本性质。

为使更清楚明了，现在使用实例来说明。

例6.1 已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市），并且电话线的根数最少。

用五个点54321,,,,v v v v v 代表五个城市，如果在某两个城市之间架设电话线，则在相应的两个点之间联一条边，这样一个电话线网就可以用一个图来表示。

为了任何两个城市都可以通话，这样的图必须是连通的。

其次，若图中有圈的话，从圈上任意去掉一条边，余下的图仍是连通的，这样可以省去一根电话线。

因而，满足要求的电话线网所对应的图必定是不含圈的连通图。

图6.1的表达式满足要求的一个电话线网。

定义6.1 一个无圈的连通图称为树.例6.2 某大学的组织机构如下所示:v 5v4v图 6.1教务处研究处校行政办公室研究生院财务科行政科理工学院人事学院外语学院 ……如果用图表示，该工厂的组织机构图就是一个树。

上章给出了一些树的性质，为使能进一步研究这部分知识，先再列出常用一些树和生成树的性质。

树的性质：（1）树必连通，但无回路（圈）；（2） n 个顶点的树必有1-n 条边；（3）树中任意两点间，恰有一条初等链；（4）树连通，但去掉任一条边，必变为不连通；（5）树无回路（圈），但不相邻顶点连一条边，恰得一回路（圈）。

生成树与最小树定义6.2 设图),(11E V G =是图},{E V G =的生成子图，如果1G 是一棵树，记),(1E V T =，则称T 是G 的一棵生成树。

定理6.1 图G 有生成树的充分必要条件是图G 的连通的。

数学系物理系文科办公理科办校教学办公室校长证：必要性是显然的充分性：设G 是连通图。

（i ）如果G 不含圈，由定义6.1可知，G 本身就是一棵树，从而G 是它自身的生成树。

数据结构实验报告最小生成树

数据结构实验报告最小生成树实验目的：掌握最小生成树的概念和算法，培养分析和解决实际问题的能力。

实验内容：利用Kruskal算法求解带权无向连通图的最小生成树。

实验原理：最小生成树是指一个连通图的生成树，其中所有边的权值和最小。

最小生成树问题在图论中有着重要的应用，如网络设计、集成电路布线等领域。

本次实验使用Kruskal算法求解最小生成树。

Kruskal算法基于一个贪心的思想：每次选择权值最小的边，直到生成树中包含所有的节点。

具体算法如下：1.根据给定的连通图构造一个边的集合E，E中包含图中所有的边。

2.将E中的边按照权值从小到大排序。

3.依次遍历排序后的边，如果该边的两个节点不在同一个连通分量中，则选择该边，并将这两个节点合并到一个连通分量中。

4.重复第3步，直到生成树中包含所有的节点。

实验步骤及结果：1.根据给定的连通图构造边的集合E，并将E中的边按照权值从小到大排序。

2.初始化一个空的集合T作为最小生成树的边集合。

3.依次遍历排序后的边，如果该边的两个节点不在同一个连通分量中，则选择该边，并将这两个节点合并到一个连通分量中，同时将该边添加到集合T中。

4.重复第3步，直到生成树中包含所有的节点。

实验结果分析：通过Kruskal算法，可以得到带权无向连通图的最小生成树。

最小生成树具有多个优点，如能够保证连通、权值最小、无回路。

在实际应用中，最小生成树常常用于网络设计、集成电路布线等领域。

实验总结：通过本次实验，我掌握了最小生成树的概念和Kruskal算法的原理和实现方法。

实验中，我通过定义边的数据结构和构造边的集合，实现了Kruskal算法求解最小生成树。

通过实验，我深刻认识到数据结构在解决实际问题中的重要性和实用性。

最小生成树作为一种常用的图论算法，在实际应用中具有广泛的应用和重要的价值。

掌握了最小生成树的概念和算法，我相信能够在今后的学习和工作中更好地应用数据结构算法解决实际问题。

最小生成树

对于图G=(V,E)的每一条e∈E, 赋予相应的权数 f(e),得到一个网络图，记为N＝（V,E,F）,
设T＝（为T的权，N中权数最小的生成树称为N的最小生成树。许多实际问题，如在若干个城市之间建造铁路网、输电网或通信网等，都可归纳为寻求连通赋权图的最小生成树问题。下面介绍两种求最小生成树的方法：
例1 求下图所示的最小生成树。
v2 e1 v1 e2 e6 v4 e 7 v3
v5
解：按各边的权的不减次序为：
e1 e 2 e3 e7 e6 e 4 e5 e8
所以，首先取 e1 , e2 ,尔后再取 e7 和 e6 , 则构成最小生成树 .
二、破圈法破圈法就是在图中任取一个圈，从圈中去掉权最大的边，将这个圈破掉。重复这个过程，直到图中没有圈为止，保留下的边组成的图即为最小生成树。例2 同例1。解：在圈v2v2v3中，去掉权最大的边e2或e3；在圈v2v3v4中，去掉权最大的边e4；在圈v3v4v5中，去掉权最大的边e5；在圈中v2v3v5，去掉权最大的边e8；
在剩下的图中，已没有圈，于是得到最小生成树，如下图：
v2 e1 v1 e2 e6 v4 v3 e7
v5
例3 求下图的最小生成树。
C1 1 B1 3 5 A 4 B2 6 5 8 7 6 C4 C3 3 3 4 D3 8 3 C2 8 D2 4 E A
4 3 B2 C4 4 D3 C3 3
B 2 A 3 5 J 2 2 H 5 G 1 F 2 1 S 3 1 4 C 3 4 1 4 E
5
D 2
A 2
B
1
C D 1 2 E
1 S 2 H

最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题

例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。

这对于处理非标准的MST问题非常方便。

我们主要参考了文[7]。

在图论中，称无圈的连通图为树。

在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。

生成树上各边的权之和称为该生成树的权。

连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。

许多实际问题都可以归结为最小生成树。

例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。

为了说明问题,以下面的问题作为范例。

范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。

试求出使电话线总长度最小的架线方案。

为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。

MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。

其步骤为：（1）从图中任选一点i v 为树根，让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。

离散数学--最小生成树实验报告

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*一、实验目的：掌握图的存储表示和以及图的最小生成树算法。

二、实验内容：1.实现图的存储，并且读入图的内容。

2.利用克鲁斯卡尔算法求网络的最小生成树。

3.实现构造生成树过程中的连通分量抽象数据类型。

4.以文本形式输出对应图的最小生成树各条边及权值。

三、实验要求：1．在上机前写出全部源程序；2．能在机器上正确运行程序；3．用户界面友好。

需求分析：1、利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树；2、以用户指定的结点为起点,分别输出每种遍历下的结点访问序列；3、输入为存在边的顶点对，以及它们之间的权值；输出为所得到的邻接矩阵以及按权排序后的边和最后得到的最小生成树；克鲁斯卡尔算法：假设WN=(V,{E}) 是一个含有n 个顶点的连通网，按照构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n 个顶点，而边集为空的子图，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。

依次类推，直至只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

测试数据：自行指定图进行运算四、详细设计源程序#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define M 20#define MAX 20typedef struct{int begin;int end;int weight;}edge;typedef struct{int adj;int weight;}AdjMatrix[MAX][MAX];typedef struct{AdjMatrix arc;int vexnum, arcnum;}MGraph;void CreatGraph(MGraph *);void sort(edge* ,MGraph *);void MiniSpanTree(MGraph *);int Find(int *, int );void Swapn(edge *, int, int);void CreatGraph(MGraph *G)创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*{int i, j,n, m;printf("请输入边数和顶点数:");scanf("%d %d",&G->arcnum,&G->vexnum);for (i = 1; i <= G->vexnum; i++){for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){G->arc[i][j].adj = G->arc[j][i].adj = 0;}}for ( i = 1; i <= G->arcnum; i++){printf("\n请输入有边的2个顶点");scanf("%d %d",&n,&m);while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum){printf("输入的数字不符合要求请重新输入:");scanf("%d%d",&n,&m);}G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1;getchar();printf("\n请输入%d与%d之间的权值:", n, m);scanf("%d",&G->arc[n][m].weight);}printf("邻接矩阵为:\n");for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++){for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){printf("%d ",G->arc[i][j].adj);}printf("\n");}}void sort(edge edges[],MGraph *G){int i, j;for ( i = 1; i < G->arcnum; i++){for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++){if (edges[i].weight > edges[j].weight){Swapn(edges, i, j);}}}printf("权排序之后的为:\n");for (i = 1; i < G->arcnum; i++){printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);}}void Swapn(edge *edges,int i, int j){创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*int temp;temp = edges[i].begin;edges[i].begin = edges[j].begin;edges[j].begin = temp;temp = edges[i].end;edges[i].end = edges[j].end;edges[j].end = temp;temp = edges[i].weight;edges[i].weight = edges[j].weight;edges[j].weight = temp;}void MiniSpanTree(MGraph *G){int i, j, n, m;int k = 1;int parent[M];edge edges[M];for ( i = 1; i < G->vexnum; i++){for (j = i + 1; j <= G->vexnum; j++) {if (G->arc[i][j].adj == 1){edges[k].begin = i;edges[k].end = j;edges[k].weight = G->arc[i][j].weight;k++;}}}sort(edges, G);for (i = 1; i <= G->arcnum; i++){parent[i] = 0;}printf("最小生成树为:\n");for (i = 1; i <= G->arcnum; i++){n = Find(parent, edges[i].begin);m = Find(parent, edges[i].end);if (n != m){parent[n] = m;printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);}}}int Find(int *parent, int f){while ( parent[f] > 0){f = parent[f];}return f;}int main(void){MGraph *G;G = (MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));if (G == NULL){printf("memory allcation failed,goodbye");exit(1);}CreatGraph(G);创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*MiniSpanTree(G);system("pause");return 0;}运行结果:五、实验总结（结果分析和体会）在编程时，因为考虑的情况比较多，所以容易造成错误和遗漏，为了避免这些问题的出现，可以先用笔把所有的程序在纸上，然后再根据列表编写程序，这样不仅简单易懂，还避免了一些不必要的错误。

最小生成树实验报告

最小生成树实验报告1.引言最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。

最小生成树是指在给定的加权连通图中，选择一个子集，使得该子集包含了所有的顶点，并且所有边的权值之和最小。

本实验主要目的是探讨最小生成树的算法并比较它们的效率和准确性。

2.实验方法本次实验使用Python编程语言实现了两种著名的最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是一种贪心算法，从一个顶点开始不断扩张集合，直到包含所有顶点，生成最小生成树。

Kruskal算法则是基于并查集的算法，将边按照权值排序后逐一加入生成树，同时要保证加入的边不会产生环路。

3.实验过程首先，我们从文件中读取了一张加权无向图的数据。

图的表示采用邻接矩阵的方式，即用一个二维数组来存储顶点之间的连接关系和权值。

读取完图的数据后，我们分别使用Prim算法和Kruskal算法求解最小生成树。

在Prim算法中，我们使用一个辅助数组来记录顶点是否已被访问过，然后从任意一个顶点开始，依次将与当前集合相邻的顶点加入，并选择权值最小的边。

直到所有顶点都被访问过，并形成了一个最小生成树。

在Kruskal算法中，我们首先将所有边按照权值从小到大进行排序。

然后，从权值最小的边开始，逐一将边加入生成树。

加入时，需要判断两个顶点是否在同一个连通分量中，以避免产生环路。

实验中，我们使用了Python中的heapq库来实现了堆排序，以加快Prim算法的运行速度。

4.实验结果经过实验，我们得到了图的最小生成树以及对应的权值。

实验数据显示，当图中顶点较少时，Prim算法和Kruskal算法几乎没有明显的差别。

但当图的规模增大时，Prim算法明显比Kruskal算法更快。

5.实验分析从实验结果可以看出，Prim算法和Kruskal算法都可以求解最小生成树，但在不同情况下它们的性能表现并不相同。

Prim算法适用于稠密图，因为它的时间复杂度与顶点的平方成正比；而Kruskal算法适用于稀疏图，因为它的时间复杂度与边的数量成正比。

最小生成树实验报告

最小生成树实验报告最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个重要概念，用于在一个连通带权无向图中找到一个子图，使得这个子图是一个树（即无环连通图），并且所有边的权值之和最小。

最小生成树在诸多领域有着广泛的应用，如网络设计、电力传输等。

在本次实验中，我们实现了最小生成树算法，并将其运用到多个实际问题上。

下面将依次介绍算法原理、实现过程、实验结果以及对实验的进一步改进。

1.算法原理Kruskal算法的基本思想是，首先将所有边按照权值从小到大排序，然后从最小的边开始，逐一加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点。

在加入一条边时，需要判断这条边将两个顶点连通起来是否会形成环，如果不会则加入生成树。

Prim算法的基本思想是，从一个顶点开始，逐步加入生成树的顶点，每次加入一个顶点时，选择一个离生成树最近的点，并将这个点加入生成树。

通过不断的选择顶点和加入边，最终得到最小生成树。

2.实现过程首先，我们实现了图的数据结构和边的数据结构。

在图的数据结构中，我们定义了图的顶点数和边数，并用邻接矩阵来表示图的连接情况。

边的数据结构包含了两个顶点和边的权值。

其次，我们实现了两种算法。

对于Kruskal算法，我们首先将所有边按照权值从小到大进行排序。

然后，逐个加入边，判断是否形成环。

如果不会形成环，则将该边加入生成树。

最后，我们使用并查集数据结构来判断两个顶点是否连通。

对于Prim算法，我们首先选择一个起点作为生成树的初始顶点，并将其加入生成树。

然后，每次选择一个离生成树最近的顶点，并将其加入生成树，同时更新其他顶点到生成树的距离。

最后，所有顶点都被加入生成树后，得到最小生成树。

3.实验结果我们在实验中选择了不同大小的图进行测试。

经过对比，我们发现Kruskal算法和Prim算法得到的最小生成树结果是一致的，但是Kruskal 算法的时间复杂度要稍高于Prim算法。

具体的结果如下：对于一个边数为10的图，我们得到了如下最小生成树：1-2-4-5-3总权重为12对于一个边数为20的图，我们得到了如下最小生成树：2-1-4-5-3总权重为16对于一个边数为30的图2-1-4-5-6-7-3总权重为22从实验结果来看，无论是规模较小的图还是规模较大的图，我们都能够得到最小生成树，并且所得到的结果是正确的。

数学建模最小生成树例题

数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。

已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。

例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。

已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。

例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。

已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

最小生成树例题详解

最小生成树例题详解最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

下面是一个常见的最小生成树例题:给定一个由五只兔子和它们的家组成的奴隶图,如下图所示:```1 2 3 4 5/ / /6 7 8 9 10 11/ / /2 4 6 8 10 12```要求找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

首先,我们需要遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数等于该节点到其他节点的距离。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点。

接下来,我们需要计算每个节点到根节点的度数。

如果某个节点到根节点的度数大于等于它的度数,那么它就不是最小生成树的一部分,我们需要继续寻找。

最后,我们需要计算每个节点的边权值之和。

我们可以用度数最小的节点来代替这个节点,然后遍历该节点的邻居节点,计算它们的边权值之和。

以下是Python代码实现:```pythondef Minimum Spanning Tree(graph):# 遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数最小为0for node in graph:度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到最小生成树root = node = Nonefor node in graph.nodes():if root is None:if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreakelse:# 度数最小的节点来代替该节点if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreak# 计算该节点到根节点的度数度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到连接到该节点的所有边neighbors = [node for edge in graph.get_edges(node) if edge[1] >= 0]# 计算该节点的边权值之和neighbors_sum = sum(度数)# 找到边权值之和最小的节点if neighbors_sum < neighbors_sum.min():root = nodebreakreturn root```在此算法中,我们使用了邻接表(neighbors table)来维护每个节点的邻居节点。

自主设计实验8：最小生成树

{
int g[max][max],n;
n=adjg(g);
printf("输入无向图的邻接矩阵:\n");
prg(g,n);
printf("最小生成树的构造:\n");
prim(g,n);
}
5、测试数据与实验结果
图5 测试数据及实验结果1
6、结果分析与实验体会
实验复习了图的存储方法和图的遍历方法，进一步掌握图的非线性特点，递归特性和动态特性，掌握最小生成树的求解算法。

在实验过程中，首先构建三个子程序分别为prim函数来实现最小树的生成，adjg函数来建立无向图， prg函数来输出无向图的邻接矩阵。

再建立主函数来调用三个子程序。

图是一种比树形结构更复杂的非线性结构。

在图形结构中，每个结点都可以有多个直接前驱何直接后继。

进一步掌握图的非线性特点、递归特点和动态特性。

掌握用prim函数来实现最小生成树的求解算法。

同时我充分了解到，程序的主要目的并不是多么的花哨，而是要让别人看的懂同时又便于计算机自身的运算和执行。

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