2011年全国高中数学联赛试题参考答案

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2011年全国高中数学联赛试题及详细解析

2011年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、填空题(每小题8分,共64分)1.设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ,则集合=A .2.函数11)(2-+=x x x f 的值域为.3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log . 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是.二、解答题(本大题共3小题,共56分)9.(16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ,2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10.(20分)已知数列}{n a 满足:∈-=t t a (321R 且)1±≠t ,121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11.(本小题满分20分)作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点(如图所示),且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积.加 试1. (40分)如图,Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点.若DPA BPA ∠=∠,证明:CQB AQB ∠=∠.2. (40分)证明:对任意整数4≥n ,存在一个n 次多项式 具有如下性质:4.(50分)设A 是一个93⨯的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准

2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准
(t 2 − x1 )(t 2 − x 2 ) + ( 2t − y 1 )( 2t − y 2 ) = 0 ,
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 , 即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 , 即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 . 从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 , 否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 , 则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上, 或点 B 重合. 所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ,解得 t 1 = −1, t 2 = −3 . 故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) .
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1 .设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ,则集合 A = . 解 显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 , 故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5 =0,5-8=-3,因此,集合 A = {−3, 0, 2, 6} .
2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷解答(word版)

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷解答(word版)

2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷2011.9.101.本试卷共12小题,满分150分;2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;3.书写不要超过装订线;4.不能使用计算器.一、填空题(每题8分,共64分)1.以|X|表示集合X 的元素个数.若有限集合A, B,C 满足|A ∪B|=20,|B ∪C|=30,|C ∪A|=40,则A ∩B ∩C 的最大可能值为 .2.设a是正数.若()f x =,x R ∈的最小值为10, 则a = . 3.己知实系数多项式32()f x ax bx cx d =+++满足(1)2,(2)4,(3)6f f f ===,则(0)f +(4)f 的所有可能值集合为 .4.设展开式01(51),2011n n n x a a x a x n +=+++≥ .若201101max{,,,}n a a a a = ,则 n = .5.在如图所示的长方体ABCD-EFGH 中,设P 是矩形EFGH 的中心,线段AP 交平面BDE 于点Q, AB = 3,AD =2, AE=1,则PQ= .6.平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动,动圆扫过区域的面积为 .7.设直角坐标平面上的点(x ,y )与复数x+yi 一一对应.若点A,B 分别对应复数1,()z z z R -∉,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为 (用z 表示).8.设n 是大于4的偶数.随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形,得到矩形的概率为 .二、解答题(第9一10题每题22 分,第11一12题每题21分,共86 分)9.已知数列{n a }满足12121,14n n a a a a a -++===- .求n a 的通项公式. 10.己知正整数12,,,n a a a 都不是素数,并且两两互素.求证:1211112n a a a +++< . 11.设32()(,,f x ax bx cx d a b c =+++是实数),当01x ≤≤时,0()1f x ≤≤.求b 的最大可能值.12.设点A(-1,0), B(1,0),C(2,0),D 在在双曲线221x y -=的左上,D ≠A,直线CD 交双曲线221x y -=的右支于点E .求证:直线AD 与BE 的交点P 在直线12x =上.第5题图 第6题图参考答案1.10.2.2. 12.{32} 4. 2413 5.4.6.264ar r π+.7.1z zzz ++.8.3(1)(3)n n --.9.1221144n n n n a a a a a ---++=-=-121111()2222n n n n n a a a a ----⇒-=-==121221n n n n a a n ---⇒=+==12n n na -⇒=.10.设k a 的最小素因子k p ,因为k a 不是素数,所以2k k a p ≥.于是 22211111111111114(21)4(21)1242n n n nk k k k k k a p k k n ====≤≤+≤+=-<---∑∑∑∑. 11.由(0),(1),f c f a b c f c⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤2())f x x x =-满足题设,b12.设1122(,),(,),(,)D x y E x y P x y ,直线CD 的方程为(2)y k x =-,则 222(2)1x k x --=,① 所以,212241k x x k -+=-,2121221451()14k x x x x k +=-=-++-, 1212(1)(1)11y y x y x x x +==-+-, 所以,21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x xx x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+. 把①代入上式,得12x =.。

《全国高中数学联赛真题暨答案(2011-2021)

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2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题一、选择题(每小题6分,共60分)1.已知集合{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈. R RM N = ( ) .(A) (2,3)(B) (3,4)(C) (4,5) (D) (5,6)2.已知3)n z i =, 若z 为实数,则最小的正整数n 的值为( ) . (A) 3(B) 4(C) 5(D) 63.已知p :,,,a b c d 成等比数列,q:ad bc =, 则p 是q 的( ) . (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件(D) 既不充分也不必要条件4.函数20.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是( ) . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1)(D) (1,) +∞5.已知,x y 均为正实数,则22x yx y x y+++的最大值为( ) . (A) 2 (B)23 (C) 4(D)436.直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零,则下列描述正确的是( ) .(A )35,n=22m ≤(B )3,2m n ≤=(C )35,n=22m >(D )3,2m n >=7.有6名同学咨询成绩.老师说:甲不是6人中成绩最好的,乙不是6人中成绩最差的,而且6人的成绩各不相同.那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 ( ) .(A) 120种(B) 216 种(C) 384 种 (D) 504种8.若点P 在曲线21y x =--上,点Q 在曲线21x y =+上,则PQ 的最小值是( ) .(A)(B)2(C) 4(D) 8 9.已知函数211()()612xf x x bx a =+++- (,a b 为常数,1a >),且8(lglog 1000)8f =,则(lglg 2)f 的值是( ) .(A) 8 (B) 4 (C) 4- (D) 8-10.在等差数列{}n a 中,若11101a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取最小正值时,n = ( ).(A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20二、填空题(每小题6分,共24分)11.已知()cos 2|cos |f x x p x p =++,x ∈R .记()f x 的最大值为()h p ,则()h p 的表达式为 .12.已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-,[]0,,x π∈ 则=x .13.设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点,则22OA OB AB +- 的最小值为___________________.14.已知ABC ∆中,G 是重心,三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且564035a G A b G B c G C ++=0 ,则B ∠=__________.三、解答题(本大题共5题,共66分) 15.(12分)不等式sin 2)sin()324cos()4a πθθπθ-+->---对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ恒成立.求实数a 的取值范围.16. (12分)已知在正方体1111ABCD A B C D -中,,,,O E F G 分别为11111,,,BD BB A D D C 的中点,且1AB =. 求四面体OEFG 的体积.17. (12分) 在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ,Q , 点P 的坐标A1为()3,2, 两圆半径的乘积为132.若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切,求直线l 的方程.18. (15分)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得1分,负者得0分;当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过20次,即经20次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为p (01p <<),乙获胜的概率为1q p =-.假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经ξ次结束,求ξ的期望E ξ的变化范围.19. (15分) 集合{1,2,,2011},M ⊆ 若M 满足:其任意三个元素,,a b c ,均满足ab c ≠,则称M 具有性质P ,为方便起见,简记M ∈P .具有性质P 的所含元素最多的集合称为最大集.试问具有性质P 的最大集共有多少个?并给出证明.解 答1.B. 提示:(,1)(3,5)M =-∞ ,(2,4)(6,)N =+∞ .所以(3,4)M N = .2.A. 提示:13)(()2n nnz i ==--,3n =是使z 为实数的最小的正整数.3.A. 提示:充分性显然成立,必要性不成立.例:1,2,5,10a b c d = = = =. 4.A. 提示:由对数函数的性质知,220x x +->,则1x >或2x <-.当2x <-时,()f x 为增函数;当1x >时,()f x 为减函数.5.B. 解法一 令2,2s x y t x y =+=+,则11(2),(2)33x s t y t s =-=-.所以412()22333x y t s x y x y s t +=-+≤++.解法二 令yt x=, 则(0,)t ∈+∞, 此时1()22221x y tf t x y x y t t +=+=++++,即有2223(1)'()(2)(21)t f t t t -=-++. 显然当1t <时,'()0f t >;当1t >时,'()0f t <,所以函数()f t 在1t =, 即x y =时取得最大值2(1)3f =. 6.D. 提示:函数1sin2xy m ω=,40,x πω⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣的图象只有被y a =及,0y a a m =- ≤<这样的两直线所截,截得的弦长才能相等,且不为零.所以截取函数4sin,0,2xy m n x ωπω⎡⎤=+∈⎢⎥⎦⎣ 的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为,,y n a y n a =+ =- 0a m ≤<,即有5,1n a n a += -=- .解得2n =,3a =.进而3m >.7.D. 解法一 以A 记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集, 以B 记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集,则5!A B ==,4!A B = .甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为216A B A B A B =+-= .按照老师所述,这6位同学成绩可能的排序数为6!216504-=.解法二 以乙的成绩不在最后为前提,考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序.(1)甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为55120A =;(2)甲的成绩不在最后,又不在第一的所有可能排序数为114444384C C A ⋅⋅=. 所以甲不在首,乙不在尾的所有可能排序数为120384504+=.8.C. 提示: 两抛物线21y x =--,21x y =+关于直线y x =-对称.所求PQ 的最小值为抛物线21y x =--上的点到直线y x =-距离的最小值的两倍.设2(,1)P x x --为21y x =--上任意点, 则212|1|22+-=--=x x x x d ,823min =d,min 4PQ =. 9.B. 提示:由已知可得83(lg log 1000)(lg)(lg lg 2)83lg 2f f f ==-=.又1111111112121212x x x x xa a a a a -+=+=-++=------. 令()()6F x f x =-,则有()()F x F x -=-. 从而有(lglg 2)(lglg 2)6(lglg 2)6f F F -=+=+--=8.即知(lglg 2)2,(lglg 2)(lglg 2)64F f F =-=+=.10.C. 提示:设该等差数列的公差为d .显然 0d <.由11101a a <-,知1010,0,a a >< 且11100a a +<. 因此12020101111919102010()02191902a a S a a a aS a +=⨯=+<+=⨯=>,.由11100,a a +< 知12190a d +<.从而有19111111918192189199(219)0S S a d a a d a d ⨯-=+-=+⨯=+<.所以19n =.11.1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩.提示:2cos 22cos 1x x =-, 令cos x u =,则01u ≤≤ 且2()21()f x u pu p F u =++-=.抛物线()y F u =顶点的横坐标为4p-,所以 1(1),,42()1(0),42p F h p p F ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.即1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩.12.4π.提示:原方程等价于: cos(sin )cos(cos )2x x x x π--=-..所以cos 2sin (1)2x x k x x k z ππ-=+--∈ ,,或cos 2(sin )(2)2x x k x x k z ππ-=---∈ ,,由(1)得:2sin cos 22x x x k ππ+-=+,且函数()2sin cos f x x x x =+-在[]π,0上为增函数.所以1(0)2()212f k f ππππ-=<+<=+.由此得0k =.所以 2sin cos 2x x x π+-=.令()2sin cos 2g x x x x π=+--,易知()g x 在[]π,0上单调递增,且当4x π>时,()0g x >;当4x π<时,()0g x <,因此当且仅当4x π=时,()0g x =.由(2)得:ππk x x 22cos sin -=+.因为122k ππ<-<k 无整数解,即此方程无解.综上所述, 原方程的解为4x π=.13.24p -. 解法一 设(,),(,)A A B B A x y B x y ,则22222222()()()()4()A B A B A B A B A B A B OA OB x x y y AB x x y y OA OB AB x x y y +=+++=-+-+-=⋅+⋅ ,,.设直线AB 和x 轴交于点(,0)P a .若直线AB 的斜率存在,设为m ,则直线AB 的方程为()y m x a =-,将其代入抛物线方程得()2222220m x am p x m a -++=.由二元一次方程根与系数的关系得2A B x x a =, 由此得2()()2A B A B y y m x a x a ap =--=-.所以222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=-->- .当直线AB的斜率不存在时,有,A B A B x x a y y ===-=222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=--≥- .显然,当且仅当a p =时,即直线AB 的斜率不存在时等号成立, 22OA OB AB+- 有最小值24p -.解法二 设22(,),(,)22A BA B y y A y B y p p,则2222222222()(),2()()2A BA B A B A B y y OA OB y y py y AB y y p++=++-=+- .所以222222224()44[()]24A BA B A B OA OB ABy y y y p y yp p pp +-⋅=+⋅⋅=+-≥- .当22A B y y p =-时, 22OA OB AB +- 取最小值24p -.14.60. 提示:因为GA GB GC ++=0,所以404040bGA bGB bGC ++=0.所以(5640)(3540)aGA b GA c b GC - +- =0.因为,GA GC不共线,所以有750,780a b c b -= -=.设5,a k = 则7,8b k c k = =,由余弦定理可得2222564491cos 2582k k k B k k +-==⨯⨯.所以60B ∠=.15.设sin cos x θθ=+,则有2sin 21x θ=-,sin()cos()44ππθθ+=-=,x ⎡∈⎣. 原不等式化为:21)322x x a -->--. 即241(2)320x a x a x--+-++>,整理得2422(2)2(2)2x xx a x x x x x x --->-+=-+⨯.因为x ⎡∈⎣,20x ->,即得2a x x>+. 令2()f x x x=+, 则函数()f x在x ⎡∈⎣上单调递减,所以()f x在x ⎡∈⎣上的最大值为(1)3f =.即知a 的取值范围为3a >.16. 连结11B D 交FG 于H ,连结11C A ,则1111B D AC ⊥.因为,F G分别为1111,A D D C 的中点,所以11FG A C //,因此11FG B D ⊥.又因为1BB ⊥面1111A B C D ,FG 在平面1111A B C D 内,所以1BB FG ⊥.由此得 FG ⊥面11BB D D .因为 FH GH =,所以223O EFG F OEH G OEH F OEH OEH V V V V S FH ----=+==⋅. 在梯形1OBB H 中11881616OEH EB H OBE OBB H S S S S ∆∆∆=--=--=梯形. 因此四面体OEFG 的体积为152316448O EFG V -=⨯⨯=.17. 由题意知,12,,O C C 共线. 设圆1C 与圆2C 的半径分别为12,r r ,直线12C C 的斜率为tan 0α≠.令cot m α=,则圆1C 与圆2C 的圆心分别为111(,)C mr r ,222(,)C mr r , 两圆的方程分别为222111222222()(),()()x mr y r r x mr y r r -+-=-+-=.1A点(3,2)P 是两圆的公共点,所以222111222222(3)(2)(3)(2)mr r r mr r r -+-=-+-=,.由此可知12,r r 是方程22(64)130m r m r -++=的两个根,即有12213,r r m=m =.从而知直线l 的方程为22tan tan 21tan y x x ααα=⋅==-.18. 以()p k ξ=记比赛经k 次结束的概率.若k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数, 因而有()0p k ξ==.考虑头两次比赛的结果:(1)甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为22p q +; (2)甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为2pq . 比赛经k 次结束,k 必为偶数,则1,2两次,3,4两次,……,3,2k k - -两次均未分胜负.若20k ≠,则第1,k k - 两为有胜负的两次,从而有1222()(2)()kp k pq p q ξ-==+.若20k =,比赛必须结束, 所以 9(20)(2)p pq ξ==.综上所述922191()2(2)20(2)i i E p q i pq pq ξ-==++∑.由1p q +=,知2212p q pq +=-.令2u pq =,则221p q u +=-,所以9191(1)220i i E u iu u ξ-==-+∑.令9112,i i s iu-==∑ 则910101112199199199991022(1)2(1),2(1)(1)21818,1(1)202[19(1)10(1)]12(1)1ii i i i i i i us iu i u i u u u s uu u u E u s u u u u u u uu uξ--===-===-=---=-=--=-+=---+---=-∑∑∑∑. 因 102u <≤,所以有 8124()2E ξ<≤-.19. 令{2,3,,44}A = ,{45,46,,2011}{1}B = . 对任一M ∈P ,令,M M A M M B A B = = .显然,集合B ∈P .设最大集元素的个数为0n ,则0||1968n B ≥=. 若M ∈P ,设B M 中除1之外的最小元为45p +,042p ≤≤. 集合A 中与45+p 的乘积大于2011的元素个数记为q ,则2011201144454545q p p =-<-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 结论1 当4p ≥时,有q p <. 事实上,若有20114545p q p≤<-+,即 24545(45)2011p p p +≤+-,则可解得3p ≤.不难验证,当03p ≤≤时,均有p q =.令12A A A M M M = ,且12A A M M φ= ,这里{}144,A A M k k q k M =≤-∈,{}244,A A M k k q k M =>-∈.设{}112,,,A t M a a a = ,且12t a a a <<< . 结论2 若M ∈P 是最大集,则3p ≤.事实上,否则的话,4p ≥,由结论1,知q p <,因为(45)2011i a p +<,所以 (45)i B a p M +∉ (1,2,,)i t = .因此()()(){}1245,45,45t p B p a p a a M φ+ + ,+= . 容易求得:1A t M =, 2A q M ≤,(1968)B M p t ≤--. 所以 120(1968)1968A A B M M M M t q p t n =++≤++--<≤,这与M 为最大集矛盾.结论3 若M ∈P 是最大集,则11A M t =≤.假定2t ≥.(1) 当0p q ==时, 由结论2的证明可知 {}1245,45,,45t B a a a M φ = .因为1111454645()450t t t t t t a a a a a a -----=--≥->,则114546452011t t t a a a --<<<.由此知46和146t a -中至少有一个不属于B M ,所以01968(1)1967M t t n ≤--+=<;(2)当13p q ≤=≤时, 若2A M φ=,同理可得 0(1968)1967M t p t n ≤---≤<;若有 2A b M ∈,则4444q b -<≤, 则必有 145a b p >+,所以 1B a b M ∉,同理可得 0(1968)(1)1967M t q p t n ≤++--+≤<.综合(1),(2),以及结论2知, 1t ≤.结论4 若M ∈P 是最大集,则1A M ≤. 事实上, 若1A M >,任取其中两个数,a b ,由结论3知, 其中必有一数, 设为2A b M ∈,从而B ab M ∉,(45)B M a p +∉,则 01(1968)21967M q p n ≤++--≤<. 所以1A M ≤.由此可知,若M ∈P 是最大集,只有下述三种可能:(1) ,A B M M B φ= =(2) {}{}44,\45A B M M B = =(3) {}{}44,\4445A B M M B = =⨯ 注:1.;A cardA = 2.{}\.A B x x A x B =∈∉且。

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9.(本小题满分 16 分)已知实数 x, y, z 满足:x ≥ y ≥ z ,x + y + z = 1,x 2 + y 2 + z 2 = 3 .求
实数 x 的取值范围. 解 令 x = 1+ t .由 x + y + z = 1得 z = −t − y ,代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ,得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案(B 卷)第 4 页(共 5 页)
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 .

y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切,所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1,
于是 a1006
=
1 2009
,所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09

2.已知复数 z 的模为 1, 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值,则
z1 − z2 =

解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|,即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 .
2
2
又 x ≥ y ,所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ,即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ,解得 t ≥ 0 . 2

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)考试时间:2011年10月16日 8:00—9:20一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.1.设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ,则集合=A.2.函数11)(2-+=x x x f 的值域为 .3.设b a ,为正实数,2211≤+ba,32)(4)(ab b a =-,则=b a log .4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是 .5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)6.在四面体ABCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 .7.直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点,C 为抛物线上的一点,︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8.已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ,则数列}{n a 中整数项的个数为 .二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ,2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10.(本小题满分20分)已知数列}{n a 满足:∈-=t t a (321R 且)1±≠t ,121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*.(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11.(本小题满分20分)作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点(如图所示),且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积.2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)考试时间:2011年10月16日 9:40—12:10二、(本题满分40分)证明:对任意整数4≥n ,存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质:(1)110,,,-n a a a 均为正整数;(2)对任意正整数m ,及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ,均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠.三、(本题满分50分)设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数,n a a a <<< 21.对任意正实数r ,满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n .证明:4)(2n r f n <.四、(本题满分50分)设A是一个93⨯的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.出师表两汉:诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
5 5 3 3
◆答案:
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析: 不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数,所以 sin cos , 7 5 (k Z). 故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ,故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ,
于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3, 因此,集合 A {3, 0, 2, 6} .
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析: 设四面体 ABCD 的外接球球心为 O , 则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线 上.由题设知, ABD 是正三角形,则点 N 为 ABD 的中心.设 P, M 分别为 AB, CD 的中点,则
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 (A 卷) 第 2 页 共 11 页
2
ACB 90 0 ,则点 C 的坐标为
◆答案: (1,2) 或 (9,6) . ★解析: 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) , 由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 , 则 y1 y 2 8 , 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 (A 卷) 第 4 页 共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 .
10 1. b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]. 从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 , 又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ,所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 .解得 b 或 b 1 (舍去) 故 6(b 2) . 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a . 3 5 2 1 所以 a , b . 5 3

2011年全国高中数学联赛试题及标准答案

2011年全国高中数学联赛试题及标准答案

2011年全国高中数学联赛一 试一、填空题(每小题8分,共64分)1.设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ,则集合=A .2.函数11)(2-+=x x x f 的值域为 . 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log . 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)6.在四面体A BCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 .7.直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,B两点,C 为抛物线上的一点,︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8.已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ,则数列}{n a 中整数项的个数为 .二、解答题(本大题共3小题,共56分)9.(16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ,2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10.(20分)已知数列}{n a 满足:∈-=t t a (321R 且)1±≠t ,121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11.(本小题满分20分)作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点(如图所示),且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积.解 答1.{3,0,2,6}-. 提示:显然,在A 的所有三元子集中,每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ,故54321=+++a a a a ,于是集合A 的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f .3.-1. 提示:由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+,即ab b a 22≥+. ①于是ab b a 22=+. ②再由不等式①中等号成立的条件,得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4.⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数,所以θθcos sin >,故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ). 因为)2,0[πθ∈,所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1)有一个项目有3人参加,共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案;。

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案
(2)对任意正整数 ,及任意 个互不相同的正整数 ,均有

3.(50分)设 是给定的正实数, .对任意正实数 ,满足 的三元数组 的个数记为 .
证明: .
4.(50分)设A是一个 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个 的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.

故 ,于是集合 的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合 .
2. .提示:设 ,且 ,则

设 ,则 ,且 ,所以 .
3.-1.提示:由 ,得 .又



于是

再由不等式 中等号成立的条件,得 .与 联立解得 或
故 .
4. .提示:不等式
等价于
.
又 是 上的增函数,所以 ,故
当 时, C ,在C 中,同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ,故 不是整数.
因此,整数项的个数为 .
9.因为 ,所以

所以 或 ,又因为 ,所以 ,所以 .
又由 有意义知 ,从而

于是

所以

从而



所以

故 .解得 或 (舍去).
把 代入 解得 .
8.15.提示: C .
要使 为整数,必有 均为整数,从而 .
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时, 和 均为非负整数,所以 为整数,共有14个.
当 时, C ,在C 中, 中因数2的个数为

2011年全国高中数学联赛一试试题及参考答案

2011年全国高中数学联赛一试试题及参考答案
9 2 3 6 -1 0 9 2 , 当 n =9 在C 2 时, a 9 2 =C 2 0 0 ·3 ·2 2 0 0 =

2 0 0! 中, 同样可求得9 2! 中 因 数 2 的 个 数 为 9 2! ·1 0 8!
8 6 故C 8 8, 1 0 8! 中因数 2 的个数为 1 0 5, 2 0 0中 因 数 2的 个
2 2 3 ) ) ( ) 又( a+ b =4 a b+ ( a- b =4 a b+4 a b 2 3 ( ) , ) =8 a b a b·( a b ≥4·2 槡
b+1) ( , 实数 a, 满 足 f( b a< b) a) =f( - 1 0 a+6 b+ f( b+2 ) 求 a, 2 1 =4 l 2, b 的值 . g
中学生数学 ·2 高中 ) 0 1 2 年 1 月上 · 第 4 3 3期(
2 0 1 1 年全国高中数学联赛一试 试题及参考答案
试 题
一、 填空题 ( 每小题 8 分 , 共6 4分) , 设集合 A= { 若 A 中所有三元子 1. a a a a 1, 2, 3, 4} , 则 集的三个元素之和组成的 集 合 为 B = { -1, 3, 5, 8} 集合 A= .
8 6 3 8 -5 8 6 , 当 n =8 在C 6 时, a 2 0 0 ·3 ·2 2 0 0 = 8 6 =C
ON ⊥D P, OM ⊥C D.
因为 ∠C DA = ∠C D B= , 设C B=6 0 ° D 与平面 ∠AD , A B D 所成角为θ 可求得 c o s = θ 3 槡 1, 2 槡 s i n = . θ 3 槡
8 6 所以 C 故 9 7-8 2-1 1 0=5, 2 0 0 中因数 2 的个数为 1

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及答案

2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷2011.5.22第一试一﹑填空题(每小题8分,共80分)1.已知集合M={2,0,11},若A M ≠⊂,且A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合A 的个数为 5 .2.设a 、b 都是正实数, 2,112a b A B a b+==+.若A+B=a-b,则a/b 的值是 3+3.满足1sin cos 1sin cos 21sin cos 1sin cos θθθθθθθθ-+--+=---+的最大负角θ的弧度数为 - 2π. 4.l 与椭圆22221(0)x ya b a b+=>>交于不同的两点P 、Q,若点P 、Q在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,5.如图所示的数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭若222a =,则所有这9个数的和等于 18 .6.如图,矩形OABC 的四个顶点的坐标依次为(0,0)、(2π,0)(2π,2)、(0,2),记BC 边与函数1cos (02)y x x π=+≤≤的图像 围成的区域(图中阴影部分)为Ω.若向矩形OABC 点M,则点M 落在区域内Ω的概率是 1/2 .7.设函数1(),()0(),q x p p f x q x p ⎧=⎪⎪=⎨⎪≠⎪⎩其中p 、q 互质(素),且2p ≥.则满足[0,1]x ∈,且1()5f x >的x 值的个数是 5 .8.已知p 、q 都是质数,且7p+q 和2q+11也都是质数.则q p p q +的值是 17 .9.在侧棱长和底面边长都为4的正四棱锥P-ABCD的表面上与顶点P的距离为3的动点所形.10.现代社会对破译密码的要求越来越高.在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的26个字母a,b,c, …,z(不论大小写)依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见下表:给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式:1,26213,26 2xx xyxx x+⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩为奇数,且1为偶数,且1.利用它可将明码转换成密码,如51532+→=,即e变成了c,8813172→+=,即h变成了q.按上述公式,若将某明码译成的密码是shxc,那么,原来的明码是love .第二试二﹑解答题:1.(本题满分20分)设函数1()cos cos()cos,,02f x x x x Rθθθπ=--∈<<.已知当3xπ=时, ()f x取得的最大值.1)求θ的值;( 23π)2)设3()()2g x f x=,求函数()g x在[0,]3π上的最小值.(11[,]42-)2.设P 为直线2y x =-上的动点,过点P 作抛物线212y x =的切线,切点分别为A,B. 1)求证:直线AB 过定点;(1,2)2)求PAB ∆面积S 的最小值,以及取得最小值时P 点的坐标.3.如图,在圆内接四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点E,且60ABD ∠= ,AE=AD.延长AB ﹑DC 交于点F,求证:点B 为CEF ∆的外心.4.如图4,M 为ABC ∆的中线AD 的中点,过点M 的直线分别交两边AB ﹑AC 于点P ﹑Q,设,AP xAB AQ yAC ==,记()y f x =.1)求函数()y f x =的表达式;( (01)41xy x x =<<-) 2)设32()32,[0,1]g x x a x a x =++∈.若对任意11[,1]3x ∈,总存在2[0,1]x ∈,使得12()()f x g x =成立,求实数a 的取值范围.ABCP QM5.设正整数4n ≥,求证: (1)(1)(1)0145n---<++⋅⋅⋅+<其中,[ x ]表示不超过实数x 的最大整数.。

2011年高中数学联赛试题一二试

2011年高中数学联赛试题一二试

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分。

把答案填在横线上.1.设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ,则集合=A .2.函数11)(2-+=x x x f 的值域为 . 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log . 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是 .5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)6.在四面体ABCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 .7.直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点,C 为抛物线上的一点,︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8.已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-n nn n ,则数列}{n a 中整数项的个数为 . 二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ,2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值. 10.(本小题满分20分)已知数列}{n a 满足:∈-=t t a (321R 且)1±≠t ,121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11.(本小题满分20分)作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点(如图所示),且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积.2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)一、(本题满分40分)如图,Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点.若DPA BPA ∠=∠,证明:CQB AQB ∠=∠.二、(本题满分40分)证明:对任意整数4≥n ,存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质:(1)110,,,-n a a a 均为正整数;(2)对任意正整数m ,及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ,均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠.三、(本题满分50分)设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数,n a a a <<< 21.对任意正实数r ,满足)1(n k j i r a a a a j k ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n . 证明:4)(2n r f n <.四、(本题满分50分)设A 是一个93⨯的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A 中“坏格”个数的最大值.A BCDQP。

2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.1.设集合{}1234,,,A a a a a =,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-,则集合 .2.函数()f x =的值域为 .3.设为正实数,11a b+≤()()234a b ab -=,则 .4.如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-,[)0,2θπ∈,那么的取值范围是 .5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)6.在四面体中,已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒,3AD BD ==,2CD =,则四面体的外接球的半径为 .7.直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点,C 为抛物线上的一点,90ACB ∠=︒,则点C 的坐标为 .8.已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=,则数列{}n a 中整数项的个数为 .二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.设函数()()lg 1f x x =+,实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,()106214lg 2f a b ++=,求,a b 的值.10.已知数列满足:()1231a t t t =-∈≠±R 且,()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N .(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若0t >,试比较与的大小.11.作斜率为13的直线l 与椭圆C :221364x y +=交于A 、B 两点(如图所示),且(P 在直线l 的左上方.(1)证明:△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若60APB ∠=︒,求△P AB 的面积.加试一、(本题满分40分)如图,P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点.若∠=∠.∠=∠,证明:AQB CQBBPA DPA二、(本题满分40分)证明:对任意整数,存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质:(1)011,,,n a a a -均为正整数;(2)对任意正整数,及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ,均有()()()()21k f m f r f r f r ≠.三、(本题满分50分)设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数,12n a a a <<<.对任意正实数,满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r .证明:()24n n f r <.四、(本题满分50分)设A是一个39⨯的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.。

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题满分70分,每小题7分) 1.复数 (1+i)4+(1-i)4= . 答案:-82.已知直线l :x -my +1=0是圆C :x 2+y 2-4x +4y -5=0的一条对称轴,则实数 m = . 答案:-323.某班共有30名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 答案:191454.已知cos4θ=15,则sin 4θ+cos 4θ= .答案:455.已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,<a ,b >=π3,则以向量2a +b 与3a -b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 . 答案:10 36.设数列{a n }的前n 项和为S n .若{S n }是首项及公比都为2的等比数列,则数列{a n 3}的前n 项和等于 . 答案:17(8n +48)7.设函数f (x )=|x 2-2|.若f (a )= f (b ),且0<a <b ,则ab 的取值范围是 . 答案:(0,2)8.设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数,其中a n =n 2,n ∈N *, 则f [ f (2011)]= . 答案:69.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形的斜边长是 . 答案:4 310.已知m 是正整数,且方程2x -m 10-x -m +10=0有整数解,则m 所有可能的值是 . 答案:3,14,30二、解答题(本题满分80分,每小题20分)11.已知圆x 2+y 2=1与抛物线y =x 2+h 有公共点,求实数h 的取值范围. 解:因为圆x 2+y 2=1与抛物线y =x 2+h 有公共点,所以方程组⎩⎨⎧x 2+y 2=1,y =x 2+h有解. ………………………………4分 所以方程x 4+(2h +1)x 2+h 2-1=0有解.即关于t 的方程t 2+(2h +1)t +h 2-1=0有非负根. ……………………………8分 当方程的两根异号或有零根时,h 2-1≤0,解得-1≤h ≤1; ……………………………12分 当方程的两根同正时,⎩⎨⎧h 2-1>0,-2h +12>0,△=(2h +1)2-4(h 2-1)≥0.解得-54≤h <-1. ………………………………16分综上,-54≤h ≤1,即实数h 的取值范围为[-54,1]. …………………………20分12.设f (x )=x 2+bx +c (b 、c ∈R ).若|x |≥2时,f (x )≥0,且f (x )在区间(2,3]上的最大值为1,求b 2+c 2的最大值和最小值. 解:由题,函数图象为开口向上的抛物线,则x ∈(2,3]时,f (x )的最大值只能在区间的端点处取得,所以 f (2)≤f (3)=1,即b ≥-5, ………………………………4分 且9+3b +c =1,所以c =-3b -8. ………………………………8分 由题设,当|x |≥2时,f (x )≥0.① 当f (x )=0有实根时,△=b 2-4c ≥0,实根在区间[-2,2]中, 则⎩⎨⎧f (-2)≥0,f (2)≥0,-2≤b 2≤2, 即⎩⎪⎨⎪⎧4-2b +c ≥0,4+2b +c ≥0,-4≤b ≤4,用c =-3b -8代入得⎩⎪⎨⎪⎧4-2b -3b -8≥0,4+2b -3b -8≥0,-4≤b ≤4, 即⎩⎨⎧b ≤-45,b ≤-4,-4≤b ≤4,即b =-4,此时c =4,且△=b 2-4c =0. ………………………………12分 ② 当f (x )=0无实根时,△=b 2-4c <0.因为c =-3b -8,所以 b 2+12b +32<0,即-8<b <-4.综上,-5≤b ≤-4. ………………………………16分 又b 2+c 2= b 2+(-3b -8)2=10b 2+48b +64.当54b -≤≤-时, 2104864b b ++随b 的增加而减少.故[b 2+c 2]min =32, [b 2+c 2]max =74. ………………………………20分 13.如图,P 是△ABC 内一点.(1)若P 是△ABC 的内心,证明:∠BPC =90°+12∠BAC ;(2)若∠BPC =90°+12∠BAC ,∠APC =90°+12∠ABC ,证明:P 是△ABC 的内心.证明:(1)延长AP ,交BC 于D .因为P 是△ABC 的内心,所以AP 平分∠A ,BP 平分∠B ,CP 平分∠C . 由三角形外角性质,得∠BPC =∠BPD +∠DPC=∠P AB +∠PBA +∠P AC +∠PCA =∠PBA +∠PCA +∠BAC1122ABC ACB BAC =∠+∠+∠ =90°+12∠BAC . ………………………………8分或1118022BPC ABC ACB ∠=︒-∠-∠ =90°+12∠BAC . ………………………………8分(2)因为∠BPC =90°+12∠BAC 是大于90︒的定角,BC 是定线段,ABCPABC PD所以点P 在以BC 为弦的圆上,其中∠BPC =90°+12∠BAC ,且劣弧BPC 与A 在BC 的同侧. …………12分同理,点P 在以AC 为弦的圆上,其中∠APC =90°+12∠ABC, 且劣弧APC 与B 在AC 的同侧.所以P 是这两个圆的公共点. ………………………………16分 由(1)可推知,△ABC 的内心也是这两个圆的公共点. 又C 是此两圆的另一个公共点,但不在△ABC 内,所以P 是内心. ………………………………20分 14.已知α为实数,且存在正整数n 0,使得n 0+α为正有理数,证明:存在无穷多个正整数n ,使得n +α为有理数.证明:设n 0+α=b a ,其中a ,b 为互素的正整数,则n 0+α=b 2a 2.………………5分对任意正整数m ,令n =a 2m 2+2bm +n 0, 则n +α=a 2m 2+2bm +n 0+α =a 2m 2+2bm +b 2a2=am +ba ,所以n +α为有理数.由于m 可取无穷多个正整数值,故n 可取无穷多个正整数值,使n +α为有理数. ………………………………20分。

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2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上

1.设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ,则集合
=A
{-3,0,2,6} .
2.函数1
1)(2-+=
x x x f 的值域为 .
3.设b a ,为正实数,2211≤+b
a
,32)(4)(ab b a =-,则=b a log .
4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈,那么θ的取值范围是 .
5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)
6.在四面体ABCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 .
7.直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点,C 为抛物线上的一点,︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .
1
2
1
)1
(2
)3
2(1
1-
+
-
-
+
-
=
+
+n
n
n
n
n
n t
a
t
t
a
t
a

n(N)*.
(1)求数列}
{
n
a的通项公式;(2)若0
>
t,试比较1+n a与n a的大小.
11.(本小题满分20分)作斜率为
3
1的直线
l与椭圆C:1
4
36
2
2
=
+
y
x交于
B
A,两点(如图所示),且)2
,2
3(P在直线l的左上方.
(1)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若︒
=
∠60
APB,求△PAB的面积.
y
x
O
P
A
B
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)考试时间:2011年10月16日 9:40—12:10
二、(本题满分40分)证明:对任意整数4≥n ,存在一个n 次多项式
011
1)(a x a x
a x x f n n n ++++=--
具有如下性质:
(1)110,,,-n a a a 均为正整数;
(2)对任意正整数m ,及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k
r r r ,,,21
,均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠.
三、(本题满分50分)设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数,n a a a <<< 21.对任意正实数r ,满足)1(n k j i r a a a a j
k i
j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n .
证明:
4
)(2
n r f n <

四、(本题满分50分)设A是一个9
3⨯的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个)9
1⨯的小方m
⨯n
n
m方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个1≤
1
,3
1(≤


格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.。

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