2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上
．
1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合
=A
{-3,0,2,6} ．
2．函数1
1)(2-+=
x x x f 的值域为 ．
3．设b a ,为正实数，2211≤+b
a
，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．
4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．
7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．
1
2
1
)1
(2
)3
2(1
1-
+
-
-
+
-
=
+
+n
n
n
n
n
n t
a
t
t
a
t
a
∈
n(N)*．
（1）求数列}
{
n
a的通项公式；（2）若0
>
t，试比较1+n a与n a的大小．
11．（本小题满分20分）作斜率为
3
1的直线
l与椭圆C：1
4
36
2
2
=
+
y
x交于
B
A,两点（如图所示），且)2
,2
3(P在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒
=
∠60
APB，求△PAB的面积．
y
x
O
P
A
B
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10
二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
011
1)(a x a x
a x x f n n n ++++=--
具有如下性质：
（1）110,,,-n a a a 均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k
r r r ,,,21
，均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j
k i
j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．
证明：
4
)(2
n r f n <
．
四、（本题满分50分）设A是一个9
3⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9
1⨯的小方m
⨯n
n
m方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1≤
1
,3
1(≤
≤
≤
格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。