2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上

．

1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合

=A

{-3,0,2,6} ．

2．函数1

1)(2-+=

x x x f 的值域为 ．

3．设b a ,为正实数，2211≤+b

a

，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．

4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）

6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．

7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．

1

2

1

)1

(2

)3

2(1

1-

+

-

-

+

-

=

+

+n

n

n

n

n

n t

a

t

t

a

t

a

∈

n(N)*．

（1）求数列}

{

n

a的通项公式；（2）若0

>

t，试比较1+n a与n a的大小．

11．（本小题满分20分）作斜率为

3

1的直线

l与椭圆C：1

4

36

2

2

=

+

y

x交于

B

A,两点（如图所示），且)2

,2

3(P在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒

=

∠60

APB，求△PAB的面积．

y

x

O

P

A

B

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10

二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式

011

1)(a x a x

a x x f n n n ++++=--

具有如下性质：

（1）110,,,-n a a a 均为正整数；

（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k

r r r ,,,21

，均有

)()()()(21k r f r f r f m f ≠．

三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j

k i

j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．

证明：

4

)(2

n r f n <

．

四、（本题满分50分）设A是一个9

3⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9

1⨯的小方m

⨯n

n

m方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1≤

1

,3

1(≤

≤

≤

格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．