简单数学之与圆有关的角的复习(含答案)

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2023年九年级数学中考复习圆综合压轴题解答题专题训练(含解析)

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点M，N．过点N作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：∠BEN＝90°．（2）若AB＝10，请填空：①迮接OE，ON，当NE＝时，四边形OEBN是平行四边形；②连接DM，DN，当AC＝时，四边形CMDN为正方形．2．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD ＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线．（2）求的值．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠P AC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）求证：△FBD∽△FDA．（3）若DF＝4，BF＝2，求⊙O的半径长．6．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．7．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点M是AB上的动点，以M为圆心，MB为半径作圆交BC于点D，（1）若圆M与AC相切，如图1，求圆的半径；（2）若AM＝2MB，连接AD，如图2．①求证：AD与圆M相切；②求阴影部分的面积．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求证：△OAC∽△ECF；（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．10．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）求证：BC2＝2ED•FC；（3）若tan∠ABC＝2，AD＝，求BC的长．11．已知△ABC内接于⊙O，D是弧AC上一点，连接BD、AD，BD交AC于点M，∠BMC ＝∠BAD．（1）如图1，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点F，求证：DF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，BC是⊙O的直径，连接DC，AM＝1，DC＝，求四边形BFDC的面积．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点．（1）如图1，连接AC、PC、P A，求证：∠APC＝∠ACD；（2）如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点F，求证：FE＝PF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，且∠P AE＝∠F，过点A作AG⊥PF，垂足为G，若PG＝6，，求BH的长．13．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．14．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠F AB．（2）求证：BC2＝CE•CP．（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．（1）求证：∠D＝∠AEC；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值．（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．（1）求证：△DEF∽GDF；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若cos∠CAE＝，DF＝10，求线段GF的长．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）求证：AC2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，，求AC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形CEPF是正方形；（2）当sin A＝时，求CP的长；（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y 的最大值．20．问题提出（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB＝2，则△ABC的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，求图中阴影部分的面积．问题解决（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC 区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB＝∠BDC ＝60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．①求y与x之间的函数关系式；②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．参考答案1．（1）证明：如图，连接ON，DN，∵CD是⊙O的直径，∴∠CND＝∠DNB＝90°，∵NE是⊙O的切线，∴∠ONE＝90°，∴∠BNE＝∠OND，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠ODN＝∠BNE，∵D是斜边AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠BCD+∠ODN＝90°，∴∠B+∠BNE＝90°，∴∠NEB＝90°；（2）解：①∵四边形OEBN是平行四边形，∴BE＝ON＝，∵E为BD的中点，∴N为BC的中点，∴NE为△BCD的中位线，∴NE∥CD，且NE＝CD＝．故答案为：；②∵四边形CMDN为正方形，∴∠MCD＝∠MDC＝45°，∠CMD＝90°，∴MC＝MD＝CD，∵AD＝DC，∴M是AC的中点，AC＝2MC＝CD，∴CD＝AB＝5，∴AC＝5．故答案为：5．2．（1）证明：①∵CD∥AB，∴∠F AB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圆的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切线，∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．3．（1）证明：连接OC，∵PF＝FC，OC＝OB，∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，∴∠CPF+∠OBC＝90°，∴∠PCF+∠OCB＝90°，∴∠FCO＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）证明：连接BG，∵，∴∠P AC＝∠PBG，∵∠PBA＝2∠P AC，∴∠PBA＝2∠PBG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠PGB＝90°，∴∠APB＝∠P AB，∴AB＝BP；（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝BP＝5，∴PC＝2，∵∠PDA＝∠PCA＝90°，P A＝P A，∠APB＝∠P AB，∴△APC≌△APD（AAS），∴AD＝PC＝2，PD＝AC＝4，∠P AC＝∠APD，∴AE＝PE，设DE＝x，AE＝PE＝4﹣x，在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴EP＝4﹣x＝，∵∠PEC＝90°﹣∠EPC，∠FCE＝90°﹣∠PCF，即∠PEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝PF，∴CF＝．4．解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．5．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∵OD是半径，∴EF与⊙O相切．（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵OD⊥DE，∴∠FDB+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA；（3）解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r，∵△FBD∽△FDA，∴，∵DF＝4，BF＝2，∴，∴r＝3．6．解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∵OC是圆的半径，∴CG与⊙O相切；（2）证明：∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DCE＝∠AOD＝45°，∴∠EGC＝45°，又∵∠OCG＝90°，∴△OCG为等腰直角三角形，∴GC＝OC，OG＝OC，∴OD+DG＝OC，即OC+2.5＝OC，解得OC＝，∵GF＝GE＝GC＝OC，∴DE＝GE﹣DG＝OC﹣DG＝．7．（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）证明：连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠ABE＝∠ACE＝α，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；（3）解：过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，∴EH＝AE＝5，∴∠AHE＝∠EAH＝2α，∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，∴CH＝EH＝5，∵AC＝AB＝13，∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，∴AG＝GH＝4，∴CG＝4+5＝9，在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，∵，∴，∴．8．解：（1）过点M作MN⊥AC于点N，∵圆M与AC相切，∴MN＝MB，∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，设MN＝MB＝R．∴AM＝12﹣R，∵∠ACB＝90°，MN⊥AC，∴MN∥BC，∴∠B＝∠AMB＝30°，∴，∴，解得R＝24﹣36．（2）①连接DM，由题意可知MB＝MD，∴∠B＝∠MDB＝30°，∴∠AMD＝60°，∵AM＝2MB，∴AM＝2MD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠BAC＝60°，∴△AMD∽△ABC，∴∠ADM＝∠ACB＝90°，∴AD与圆M相切；②∵AB＝12，AM＝2MB，∴BM＝4，AM＝8，∵∠ADM＝90°，∴AD＝＝4，∴S阴影部分＝4．9．（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝．10．（1）证明：如图1，连接OD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∵AD平分∠BAC，∴．∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥ED，又∵OD为半径，∴ED为⊙O的切线；（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC＝∠ADC，∠BDE＝∠DBC＝∠DCB＝45°．∴△BED∽△FDC，∴，即BD2＝DE•FC，又，∴BC2＝2ED•FC；（3）解：如图2，过点D作DG⊥AD，交AC的延长线于点G．∴∠CDG+∠ADC＝90°，∠DGC＝∠DAG＝45°．又∵∠ADB+∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠GDC，∵DB＝DC，∠BAD＝∠DGC＝45°，∴△ABD≌△GCD（AAS），∴AB＝CG．∵∠DAG＝45°，∠ADG＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴AB+AC＝AG＝AD＝＝3，∵tan∠ABC＝2，∴设AB＝x，则AC＝2x．∴3x＝3，∴x＝1．即AB＝1，AC＝2．∴BC＝＝＝．11．（1）证明：∵∠BMC＝∠BAD，又∵∠BMC＝∠BAC+∠ABD，∠BAD＝∠BAC+∠DAM，∴∠ABD＝∠DAC，又∵弧DC＝弧DC，∴∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：连接OA、OB、OD，OD交AC于点N，∵FD是⊙O的切线，D为切点，OD是⊙O的半径，∴OD⊥FD，∴∠FDO＝90°，又∵∠AOD＝2∠ABD，∠DOC＝2∠DBC，∠ABD＝∠CBD，∴∠AOD＝∠COD，又∵AO＝CO，∴ON⊥AC，∴∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠FDO，∴AC∥FD；（3）解：连接OD，交AC于N，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠F AC＝180°﹣∠BAC＝90°，又∵∠ANO＝∠FDN＝90°，∴四边形ANDF是矩形，∴AF＝DN，∠F＝90°，又∵ON⊥AC，∴AN＝CN，∴设MN＝a，则AN＝CN＝MN+AM＝a+1，∴CM＝MN+CN＝2a+1，在Rt△MDC中，cos∠ACD＝，在Rt△NDC中，cos∠ACD＝，∴，解得a1＝﹣（舍去），a2＝1，∴MN＝1，CN＝a+1＝2，∴DN＝AF＝＝，又∵MN＝AM＝1，∠AMB＝∠NMD，∠BAM＝∠MND＝90°，∴△BAM≌△DNM（AAS），∴BA＝ND＝，∴BF＝AB+AF＝2，∴AN＝FD＝a+1＝2，∴BD＝＝2，∴S△BFD＝，S△DBC＝BD•CD＝＝3，∴S四边形BFDC＝S△BFD+S△BDC＝2．12．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴∠ACD＝∠DC，∵，∴∠APC＝∠ADC，∴∠APC＝∠ACD；（2）证明：连接OP，∵PF是⊙O的切线，∴OP⊥PF，即∠EPF+∠OPE＝90°，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠HEB+∠HBE＝90°，∵∠PEF＝∠HEB，∴∠PEF＝∠FPE，∴FE＝PF；（3）解：过E作EM⊥PF，垂足为M，∵AG⊥PF，∴∠GAP+∠GP A＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠GP A+∠EPM＝90°，∵∠AGP＝∠EMP＝90°，∴△GP A∽△MEP，∴，∵∠P AE＝∠F，∴tan∠P AE＝tan∠F，则，∵，∴，∴MF＝PG＝6，设PM＝x，∵PE2﹣PM2＝EF2﹣FM2，∴，解得：x1＝﹣10，x2＝4，即PM＝4，∴EM＝＝8，∵，即，∴P A＝3，∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BHE＝∠APB＝90°，∴∠HEB＝∠BAP，∵∠MPE＝∠HEB，∴tan∠P AB＝，即，∴PB＝6，∴BE＝PB﹣PE＝2，∵sin∠HEB＝，即，∴BH＝4．13．（1）证明：连接OC，如图1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，∵BD为⊙O的直径，CK＝，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴当CE最大时，CF取得最大值，∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．14．（1）证明：连接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠F AC＝∠OCA，∴∠F AC＝∠OAC，∴CA平分∠F AB．（2）证明：∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）解：，设CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的长＝＝π．15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，∵BC⊥OD，∴∠D+∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵∠AEC＝∠ABC，∴∠D＝∠AEC；（2）证明：连接AC，如图所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵cos∠BCE＝，∴cos∠BAE＝＝，∴AE＝8，∴BE＝＝＝6，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，在Rt△BEH中，BH＝．∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BG＝3，∴OG＝＝＝4，∴BF•OE，∴BF＝，∴HF＝BH﹣BF＝．16．解：（1）∵点A（0，8），∴AO＝8，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS），∴AE＝AO＝8；（2）∵∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴△CAB∽△CDF，∴，又∵∠ABE＝∠FDE，∠AEB＝∠FED∴△DEF∽△BEA，∴，∴EF＝2AE＝16；（3）设BO＝x，则AB＝x+4，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：82+x2＝（x+4）2，解得：x＝6，∴OB＝BE＝6，AB＝10，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC，∴；设EF＝m，则AF＝8+m，BF＝（8+m），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴62+m2＝[（8+m）]2，解得：m＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝．17．（1）证明：如图1，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（2）证明：如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；（3）解：如图3，连接OF、AF，∵AD为直径，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD为等腰直角三角形，∵DF＝10，OA＝OD∴AD＝DF＝×10＝20，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝10，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD•cos∠CAE＝20×＝10，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝10+OG，∴10+OG＝GF，∴OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝102+（GF﹣10）2，解得：GF＝或（不符合题意，舍去），∴线段GF的长为．18．（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△P AO≌△PBO（SAS），∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵OA为圆的半径，∴直线P A为⊙O的切线；（2）证明：∵∠P AO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OP A+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OP A，∴△OAD∽△OP A，∴，∴OA2＝OD•OP，又∵AC＝2OA，∴AC2＝4OD•OP；（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3，设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O的直径，∴AC＝2OA＝10．∴AC的长为10．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形PECF是矩形，∵CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形；（2）解：∵sin A＝，AB＝10，∴，∴BC＝8，∴AC＝＝＝6，∴tan A＝，设PE＝CE＝m，则AE＝6﹣m，∴tan A＝，∴m＝，∴PC＝PE＝；（3）解：∵四边形CEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P顺时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，如图所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（10﹣x），∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣+5x，∵y＝﹣+5x＝﹣，∴x＝5时，y有最大值为．20．解：（1）如图①，AD⊥BC，∵△ABC为等边三角形，AB＝2，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，＝sin B＝sin60°，∴＝，∴AD＝，∴△ABC的面积＝AB•AD＝×2×＝，故答案为：；（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB+∠DBE＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝ED，∵DH⊥BC，∴BH＝EH，∴DH＝BE＝BH＝EH，设DH＝BH＝EH＝a，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DH⊥BC，∴AB∥DH，∴△CDH∽△CAB，∴＝＝，∵AD＝1，AC＝3，∴CD＝3﹣1＝2，∴＝＝，∴AB＝a，CE＝a，∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，∵AB2+BC2＝AC2，∴a2+9a2＝9，∴a2＝1，∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDE＝AB•BC﹣BE•DH＝×a•3a﹣×2a•a＝a2﹣a2＝a2＝1；（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠ADB＝∠BDC＝60°，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），同理△ABO≌△CBO（SSS），∴S△ABO＝S△ACO＝S△CBO，∴S△ABC＝3S△ABO，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠AOB＝120°，在Rt△OAH和Rt△OBH中，，∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝∠AOB＝60°，∴cos∠AOH＝cos60°＝＝，sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OH＝OA＝2，AH＝OA＝2，∴AB＝2AH＝4，∴S△ABC＝3S△ABO＝3××4×2＝12，∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，∴△ABE∽△DBA，∴＝＝＝，即S△DBA＝S△ABE，∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，∴△CBE∽△DBC，∴＝＝＝，即S△DBC＝S△CBE，∴S四边形ABCD＝S△DBA+S△DBC＝S△ABE+S△CBE，＝（S△ABE+S△CBE）＝S△ABC＝×12＝x2，∴S△ADC＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝x2﹣12，即y＝x2﹣12；∵BD的长度大于AB，小于等于直径，∴4＜x≤8，∴y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12（4＜x≤8）；②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12，则对称轴为y轴，∵＞0，∴x＞0时，y随x的增大而增大，∵4＜x＜8，∴当x＝8时，y有最大值，即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，即y＝×82﹣12＝4，∴花卉区域△ADC面积的最大值是4．。

人教版九年级上册数学《与圆有关的弧长、面积计算》练习题(含答案)

与圆有关的弧长、面积计算一、填空题（本大题共9小题）1.，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．2.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积于。

3.正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________．4.如图，在等腰直角三角形中，，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．5.如图，点在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于．（结果中保留π）．545︒AOB CDEF C OA D E 、OB F AB FCA ABC 90C ∠=︒D AB EADFBD A B 2AC =FEBAC A B C 、、23O 45BAC ∠=︒6.如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．(结果保留)7.若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）．8.将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为 cm 2．9.如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积= ．OAπABC △B A BC ''△A B C '、、90BCA ∠=°4cm 30AB BAC ︒=∠=，A'C'ARt ABC △A AB BC AC 1C 11C B AB ⊥1B 1BC 11C B 1B B 1S A 1AB 22B C AC 2C 22C B AB ⊥2B 122221B C C B B B ，，2S 3S与圆有关的弧长、面积计算答案解析一、填空题 1. 【解析】连结，由勾股定理可计算得正方形的边长为，则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为，扇形的面积为，所以阴影部分的面积为． 2.π【解析】根据反比例函数图像双曲线具有的性质，关于原点对称，从而可知把图中两块阴影归结在一个圆中，所以图中阴影部分的面积即为⊙A 或⊙B的面积．同时点A 、B 均在双曲线上1y x=，根据xy=1，且圆均与左边轴相切，可知圆的半径=1，所以阴影部分面积=π． 3.12 4.．【解析】用三角形ABC 的面积减去扇形EAD 和扇形FBD 的面积，即可得出阴影部分的面积．∵， ∴， ∵点为的中点， ∴321A5382π-OF CDEF 1CDEF 1COD 12AOB 21588π⋅=π5382π-22π-902BC AC C AC =∠=︒=，，AB =D AB AD BD ==∴【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：．5.3342-π 【解析】首先连接，，即可求得，然后求得扇形的面积与的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．连接， ∵， ∴， ∵的直径为，∴， ∴∴ 【点评】此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 6.542π-【解析】观察图形可知：图中阴影部分面积可分隔成两部分求解．设C 点到AB 的距离为CD ，第一部分：半圆AC 的面积-ACD S ∆，第二部分：半圆BC 的面积-BCD S ∆，最后两部分求和即可．7.3π;解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，根据扇形面积公式得；＝，解得：R ＝1， ∵扇形的面积＝lR ＝，解得：l ＝π．=ABC FBD S S S -阴影扇形△24512222360π=⨯⨯-⨯22π=-2360n r s π=OB OC 90BOC ∠=︒OBC OBC △OB OC ，45BAC ∠=︒90BOC ∠=︒OBO CO =290313360422OBC OBCSS ππ⨯===扇形，△33=42OBC OBC S S S π-=-阴影扇形△8.3;【解析】此题需要把所在的圆补充完整，设它与线段的交点为，与的交点为．从而看出整个阴影部分可以割补成扇形的面积-扇形的面积．即．9.12-π; 【解析】每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．此题的关键是求得的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．根据题意，得． ∴． ∴． ∴． ∴阴影部分的面积．【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．πBC AB D 'A B E 'ABA BDE 221(42)34ππ-=23AB AB 、14AC AB ==21AC AB ==322AC AB ==3AB =345412136022S ππ⨯-⨯=-。

浙江中考数学考点专题复习--专题七《圆》

浙江中考数学考点专题复习----专题七《圆》●中考点击考点分析：内容要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系Ⅱ 3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算Ⅱ 4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ 5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用Ⅱ命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．●难题透视例1如图7-1，在中，弦平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则DAB ∠=____度．【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠= ∴∠B=40° ∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（）A ．1000B ．1100C ．1200D ．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径ADC B O图7-1图7-2∴ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA ∵∠BCD=001(18060)2=1200 【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是．【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答．（2）过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ．由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ．在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．图7-5B A (A)(B)CD E F 图7-3图7-6∴x ＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm ．【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT ，所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D 就是HT 的中点．方法三：如图③，（原理同方法二）图7-7 图7-8 ③②①D L H TO 反面D L H T O 反面反面O T H L C EF GD【答案】见图．【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法：充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类，请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD 是△ABC的中位线，∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC ，OB=OD=21AB ，∴AB=AC （2）连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ．（1）求证：AH ·AB =AC 2；（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．【思路点拔】（1）连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC ． ∴ACAH AB AC ，即AH ·AB =AC 2 ．（2）连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ∴ AE ·AF =AH ·AB ，图7-9OFD C B A 图7-13∴ AE ·AF =AC 2 ．(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF ) （3）结论AP ·AQ =AC 2成立．【答案】（3）结论AP ·AQ =AC 2成立．【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB =AC 2时，可将其先转化为ACAHAB AC，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH ∽△BAC ，从而使得解题变得有的放矢．解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计． ●拓展演练一、选择题 1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm ，点A 与⊙O 的位置关系时（） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距=10cm ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 3．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆的半径为6．5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相离 5．如图，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC ．BC ．OC ，那么下列结论中：①PC 2=PA ·PB ；②PC ·OC =OP ·CD ；③OA 2=OD ·OP ．正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A ．43π－3B ．23π C ．π－D ．π二、填空题7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD 的值是9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b a-= m（不取近似值）．11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．三、解答题13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．ODECBA16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：．●专题七《圆》习题答案1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA ∽△PBC ．△OCD ∽△OPC ，所以PC PB PA PC =，PC CD OP OC =，OC OPOD OC=，又由于OA=OC ，从而可推得三个结论全部正确] 6.【答案】A [点拨：∵AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43π－3]7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半] 8.【答案】45[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD 为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC ，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45AC AB =]9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大] 10.【答案】0.5(1cos10)-︒ [点拨：根据垂径定理计算]11.【答案】216o [226810l =+=（cm ），C=2πr=12π，∴n=00180216CLπ=] 12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦AB ，所以152AE AB ==，设⊙O 的半径为R ，连结OA ，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，所以2225(1)R R =+-，解之，得R=13，所以CD=2R=26] 13.【答案】解：由题意，BC=22AB AC -=6，过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥OE ，则D ．E分别是AB ．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE ，OD=OE ，，,OE CP BC CP ⊥⊥又，∴BCP △∽△OEP ，∴EP=OE ，设OE=x ，则BD =AB -AD =AB -AE =10-(2+x )=8-x ，OB =BP-OP =2，∴(8-x )2+x 2=2(6-x )2 ，∴x =1，∴⊙O 的半径为1 14.【答案】解：（1）连结OD ．∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD ， ∴∠ODE =900 ，又∵AD =DC ， AO =OB ，∴OD //BC ，∴∠DEC =∠ODE =900，∴DE ⊥BC（2）连结BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =900 ，∴BD ⊥AC ， ∴∠BDC =900 ，又∵DE ⊥BC ， △Rt CDB ∽△Rt CED ，∴CE DC DC BC =， ∴BC=3163422==CE DC 又∵OD=21BC ，∴OD =3831621=⨯，即⊙O 的半径为38． 15.【答案】解：设PC =x cm ，BC =y cm ，连结BC ，则∠BCP =90o ，AC 2=AP ·AB ， ∴AC =62，又∠ACP =∠CBP ，∴△ACP ∽△ABC ，2PC BC x AC AB∴=，即y=①2AB PB +=2又PC ，即236x y +=2②，由①、②得，x=23，y=26( x=-23，y=-26（舍去），∴PC =23cm16.【答案】解：（1）∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD （2）方法一：连接CB ．OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵F 是BD 中点，∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA =∠CAB =∠ACO ，∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线方法二：可证明△OCF ≌△OBF（3）解：由FC =FB =FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG ，由切割线定理得：[2＋FG ]2＝BG ×AG =2BG 2 ①在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ②由①、②得：FG 2－4FG －12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为22。

初中数学圆的易错题汇编含答案解析

初中数学圆的易错题汇编含答案解析一、选择题1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π．故选D．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A．3B．23C．32D．23【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°3故选A4．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC2，BD=1，则sin∠ABD的值是()A ．22B ．13C ．223D ．3【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理，可得BC 的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求得AB 的长，得到sin ∠ABC 的大小，最终得到sin ∠ABD【详解】解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ，∴AB 平分CD ，∴BC =BD ，∴∠ABC =∠ABD ，∵BD =1，∴BC =1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由勾股定理得：AB =()22222213AC BC +=+=， ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =223AC AB = 故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解5．如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（）A ．4.5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．6．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是（）A ．224π--B ．224π-+ C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 2OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 12﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， 2245(2)11(21)22224ππ⨯⨯--=-+ 故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．532π-B．532π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=3323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=32，AH=AO•cos∠A=33322⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()26031132323222360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求，观察图象可知，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C ．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（）A ．33°B ．56°C ．57°D ．66°【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理可得»»ACAB =，根据圆周角定理即可得答案．【详解】∵OA ⊥BC ，∴»»ACAB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12∠AOB=33°，故选：A ．【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ∆，则图中阴影部分的面积是（）A ．24π-B ．242π-C ．243π-D ．244π-【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，∵6AB =，10AC =，∴BC=8，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ，∵O e 内切于ABC ∆，∴OH=OE=OF=r ， ∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =⋅=++⋅V ， ∴1168(6108)22r ⨯⨯=++⋅，解得r=2，∴O e 的半径为2，∴2168-2224-4ABC O S S S ππ=-=⨯⨯⨯=V e 阴影，故选：D ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键．13．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则FE EC＝（）A ．12B ．13C ．14D ．38【答案】C【解析】【分析】连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE 、OF 、OC ．∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．∵AF ∥BC ，∴∠AFC+∠BCF ＝180°，∴∠OFC+∠OCF ＝90°，∵∠OFC+∠FOE ＝90°，∴∠OCF ＝∠FOE ， ∴△EOF ∽△ECO ，∴=OE EF EC OE，即OE 2＝EF•EC ．设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14．故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.14．下列命题中哪一个是假命题（）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．15．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A ．π33B ．π33C 33π+ D 33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH=2211()2-=3， ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×32）×6=π-332，故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．16．如图，已知圆O 的半径为10，AB ⊥CD ，垂足为P ，且AB ＝CD ＝16，则OP 的长为( )A ．6B ．6C ．8D ．8【答案】B【解析】【分析】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，连接OP ，OB ，OD ，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON==6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）A．86°B．94°C．107°D．137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶=，连接CF并延长交DF BCAD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵»»=，∠BAC=25°，DF BC∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.19．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A ．53π﹣3 B ．533C ．3π D 353π 【答案】A【解析】【分析】连接OE.可得S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE.根据已知条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o ,CE=23所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解：连接OE ，可得S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE ，由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，∴∠BOE=o 60，可得CE=23S 扇形BOE=2604360π⋅⋅8=3π， S 扇形BCD 2902==360ππ⋅⋅， S △OCE=1=223=232⨯⨯ ∴S 阴影=S 扇形BOE-S 扇形BCD-S △OCE=8--233ππ=533π 故选A.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．302，B．602，C．3602，D．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠33AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=12AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=1233∴S阴影=12DF×CF=1233故选C．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．。

[圆周角定理]圆周角

[圆周角定理]圆周角篇一:[圆周角]圆周角教案设计及反思教材依据圆周角是新课标人教版九年级数学上册第二十四章第一节圆的有关性质的重要内容，本节内容依据新人教版九年级《课程标准》和《教师教学用书》及《初中数学新教材详解》。

设计思想本节课是在学习了圆心角的定义、性质定理和推论的基础上，由生活实例引出圆周角，类比圆心角认识圆周角，类比圆心角的性质探究圆周角定理，精选例题及习题对本节内容进行迁移应用。

在教学过程中本着“以人为本，让课堂变为学堂，把时间和空间更多地留给学生”为原则，注重学生的实践活动，通过让学生作图、度量、分析、猜想、验证得出结论，教学过程中充分利用学生已有的认知水平，由浅入深、逐层递进，并能适时地应用直观教具引导学生运用分类讨论及转化的数学思想对圆周角定理进行证明，化解本节课的难点。

这样学生易于接受新知识，也能很快地理解并掌握圆周角定理的内容，同时给学生自主探索留有很大空间，让学生在实践探究、合作交流活动中，亲身体验应用数学的乐趣和成功的喜悦，发展学生的思维，培养学生的多种学习能力。

教学目标1.知识与技能(1)理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并运用它进行简单的论证和计算。

(2)经历圆周角定理的证明，使学生初步学会运用分类讨论的数学思想和转化的数学思想解决问题。

2.过程与方法采用“活动与探究”的学习方法，由感性到理性、由简单到复杂、由特殊到一般的思维过程研究新知识，引导学生理解知识的发生发展过程，并使学生能应用所学知识解决简单的实际问题。

3.情感、态度与价值观通过学生探索圆周角定理，自主学习、合作交流的学习过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习数学的自信心。

教学重点圆周角的概念、圆周角定理及应用。

教学难点圆周角定理的探究过程及定理的应用。

教学准备学生：圆规、量角器、尺子教师：多媒体课件、活动教具教学过程一、创设情景，引入新课大屏幕显示学生熟悉的画面（足球射门游戏）足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好。

高考数学复习考点题型归类解析39圆与方程(解析版)

高考数学复习考点题型归类解析专题39圆与方程一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议1．处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质．要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想．2．帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法．三、自主梳理1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．2．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 （1）圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.（2）有关弦长问题的2种求法3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)|r－r|＜d(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．四、高频考点+重点题型考点一、圆的方程、轨迹方程例1-1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．例1-2．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A 的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；例1-3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|PM||PN|=12，又M（1，0），N（4，0），∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，化简得：x 2+y 2＝4，则动点P 轨迹W 方程为x 2+y 2＝4；例1-4.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．例1-5.设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．解如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.例1-6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.例1-7．若AB =2，AC =√2BC ，则S △ABC 的最大值．【解答】解：设BC ＝x ，则AC =√2x ，根据面积公式得S △ABC =12AB •BC sin B =12×2x ×√1−cos 2B ，又根据余弦定理得cos B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =4+x 2−(√2x)24x=4−x 24x，代入上式得： S △ABC ＝x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216，由三角形三边关系有：{√2x +x ＞2x +2＞√2x，解得：2√2−2＜x ＜2√2+2．所以当x ＝2√3时，x 2﹣12＝0，此时S △ABC 取得最大值√12816=√8=2√2．故答案为：2√2例1-8.(多选)设有一组圆C ：(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *)，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点答案 ABD解析对于A，存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝1，故A正确；对于B，因为圆心(1，k)恒在直线x＝1上，故B正确；对于C，当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D，将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．考点二. 直线与圆的位置关系例2-1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b21＝r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．例2-2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k−4k|√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33∴直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]故答案为[−√33，√33]例2-3．若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )A．(－∞，2)B.(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)解析：选C ∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.例2-4．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1B.2C．3D．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．题型三切线问题例3-1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，=√2，则有√1+k2解可得k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1)2+(2+1)2=√10，则切线长为√(√10)2−(√2)2=√8=2√2，（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．例3-2．直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【解答】解：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA =√10，圆的半径为r =√2， ∴sin θ=√2√10， ∴cos θ=√2√10，tan θ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．例3-3．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22] 【解答】解：由题意画出图形如图：点M （x 0，1），要使圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45°，而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，此时MN ＝1，图中只有M ′到M ″之间的区域满足MN ＝1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A ．例3-4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是（） A ．[2√73，2√2）B ．[2√143，2√2）C ．[2√53，2√3）D ．[2√33，2√5）【解答】解：设AC ＝x ，则x ≥3，由PC ⊥AP 可知AP =√AC 2−PC 2=√x 2−2， ∵AC 垂直平分PQ ， ∴PQ ＝2PC⋅AP AC=2•√2⋅√x 2−2x=2√2•√1−2x 2．∴当x ＝3时，PQ 取得最小值2√2•√1−29=2√143．又√1−2x 2＜1， ∴PQ ＜2√2． ∴2√143≤PQ ＜2√2．故选：B ．例3-5．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d＝3∴|PA|＝|PB|=√d2−r2=2√2|PA|r=2√2∴s PACB=2×12故答案为：2√2考点四直线与圆相交的弦长问题例4-1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√2B．√2C．√6D．2√62【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2，表示以C （﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．由题意可得，直线l ：kx +y +4＝0经过圆C 的圆心（﹣2，2），故有﹣2k +2+4＝0，∴k ＝3，点A （0，3）．直线m ：y ＝x +3，圆心到直线的距离d =√2=√2，∴直线m 被圆C 所截得的弦长为2√2−12=√6．故选：C ．例4-2．直线y ＝kx +3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4相交于M ，N 两点，若MN ＜2√3，则k 的取值范围是．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y ＝kx +3的距离为d ，则d =√k 2+12，由于(MN 2)2=4﹣d 2，且MN ＜2√3，求得 d ≥1，∴1≤d ＜2，即√k 2+1∈[1，2），由d ≥1求得k ≤−34，k ≥0，由d ＜2 求得 −3−2√65＜d ＜−3+2√65，即k 的取值范围是{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}，故答案为：{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}．例4-3．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（） A ．2√5B ．4√5C ．6√3D ．8√3【解答】解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25的圆心坐标为C （1，2），半径为5．由直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，得m （2x +y ﹣7）+x +y ﹣4＝0，联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1．∴直线l 过定点P （3，1），点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时|PC|=√(1−3)2+(2−1)2=√5．∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√52−(√5)2=4√5．故选：B．例4-4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为5．【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2 OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．•|AC|（|BM|+|MD|），四边形ABCD的面积为：s=12从而：s=1|AC|⋅|BD|=2√(4−d12)(4−d22)≤8−(d12+d22)=5，2当且仅当d12＝d22时取等号，故答案为：5．考点五、直线与圆的交点问题例5-1.在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为。

鲁教版中考数学一轮复习圆专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。

九年级数学圆知识点及习题(含答案)

九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

“中考数学专题复习圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五．“隐圆”题型知识储备3六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB =2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB =∠ACP ，则线段 P B 长度的最小值为_ 。

简答：因为∠PAB =∠PCA ，∠PAB +∠PAC =60°，所以∠PAC +∠PCA =60°，即∠APC =120°。

因为 A C 定长、∠APC =120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC =120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC =60°，故以 AC 为边向下作等边△AOC ，以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，P 在⊙O 上。

当 B 、P 、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），此时 B P =2 -22. 如图 1 所示，边长为 2 的等边△ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，∠BOD =30°，顶点 A在射线 O D 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为。

2023-2024年小学数学六年级上册期末考点复习第五单元《圆》(人教版含详解)

期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。

圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。

知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。

我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。

知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。

12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。

故选：D。

2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。

中考数学复习专题34 与圆的有关计算试题(A卷,含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

与圆的有关计算一、选择题1. （某某东营，7，3分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（） A ．40cm B ．50cm C ．60cm D ．80cm【答案】A【逐步提示】本题考查弧长公式与圆锥侧面展开图，先计算圆锥的底面周长，再根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出方程求解．【详细解答】解：圆锥的底面周长为：π×60=60πcm，所以扇形的弧长为60πcm．根据扇形的弧长公式可得27060180rππ=，解得r=40cm ．故选A ．【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是公式错误，如把弧长公式与扇形面积公式搞错搞混；二是把直径误以为半径．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的面积等于圆锥的侧面积．【关键词】弧长公式；圆锥的侧面展开图2. （某某东营，17，4分）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__________．【答案】25【逐步提示】本题考查弧长公式及扇形面积公式，【详细解答】解：∵正方形的边长为5，∴弧BD 的弧长=10，∴S 扇形ABD =111052522lr =⨯⨯=．故答案为25.【解后反思】解答本题需掌握：(1)弧长公式：l=180n r π；扇形面积公式：S 扇形=2360n r π=12lr ．【关键词】弧长公式；扇形面积公式 3.4. ．(某某某某，10，3分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙∠ACB=30°，AB=3，则阴影部分的面积是（）（A ）32 （B ）6π（C ）32－6π （D ）33－6π 【答案】C【逐步提示】本题考查切线的性质及扇形面积公式的应用，连接OB ，先由切线的性质求出圆心角∠AOB 的度数，再分别计算△AOB 和扇形BOD 的面积，相减可得阴影部分面积．【详细解答】解：连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴∠ABO=90°.∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°.在Rt△AOB 中，OB=tan AB AOB ∠=1.∴S 阴影=S △AOB －S 扇形BOD =12·AB ·OB －2601360π⨯⨯=32－6π．故选择C ．【解后反思】计算阴影部分的面积，通常情况下运用转化的思想，将不规则的图形、零散的几个图形面积转化为规则图形之间的和差关系和相对集中形成的规则图形面积．【关键词】切线的性质；扇形面积公式5. （某某某某，7，3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）.A . 175πcm 2B . 350πcm 2C .πcm 2D ． 150πcm 2【答案】B【逐步提示】先由AB 和BD 的长求出AD 的长，再分别求出扇形BAC 和扇形DAE 的面积，然后根据“贴纸部分的面积等于扇形BAC 的面积减去扇形DAE 的面积”求解.【详细解答】解：∵AB =25cm ，BD =15cm ，∴AD =25-15=10cm ，∴S扇形BAC =2120251250=1803ππ⨯（cm 2），S 扇形DAE =212010200=1803ππ⨯（cm 2），∴贴纸部分的面积＝125020035033πππ-=（cm 2），故选择B .【解后反思】1.弧长公式：l ＝nπr 180 ，扇形面积公式：S =360n 2r π＝12lr ，其中n 为扇形圆心角的度数，r 为扇形半径．2.扇环的面积等于两个扇形面积之差. 【关键词】扇形的面积计算6.（某某某某，5，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B【逐步提示】本题考查了三视图及圆锥侧面展开图的圆心角的计算，解决问题的关键是把图中的数据与圆锥结合起来．圆锥的主视图和左视图是一样的，数字“6”是底面直径，数字“2出圆锥的母线．然后利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长即2180n Rl r ππ＝＝，可以求得圆心角的度数． 626 第5题图【详细解答】解：圆锥的母线长＝()226239＋＝，∵2180nR l r ππ＝＝∴×923180n ππ⨯＝，解得n ＝120°，故选择B . 【解后反思】了解圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线.弄清楚这些关系才能正确解决问题.另外，左视图看到的两个量要清楚分别代表什么，不要把底面直径和周长混淆，导致解题错误.另外，对于涉及到圆锥的底面圆半径r 、母线长l 与圆锥侧面展开图的圆心角n 三个量之间的关系时，公式360r nl =的合理应用来得快捷得很，其推导过程如下：如图，由扇形ABC 的面积的两种表达形式可知，2123602n l l r ππ=⋅⋅，整理后即得360r nl =．【关键词】左视图；圆锥的侧面展开图．7. (某某威海，16，3)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为____________.O GFED C B A 第16题图【答案】6【逐步提示】先求得⊙O 的半径，再求得内接正三角形EFG 的边长。

2021年九年级中考数学复习专题汇编：与圆有关的位置关系(含答案)

2021中考数学专题汇编：与圆有关的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°5. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤298. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A. 12B.22C.32D.339. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm10. (2019•仙桃)如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD∥OC，直线⊥；CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是O的切线；②CO DB⋅=⋅．其中正确结论的个数有③EDA EBD△∽△；④ED BC BO BEA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.12. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．13. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A 外．14. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE 是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．18. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题） 19. 2018·邵阳如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线．20. 2019·天津如图，已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C为⊙O 上一点．(1)如图①，求∠ACB 的大小；(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D.若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．21. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).22. 2018·北京对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d (M ，N )．已知点A (－2，6)，B (－2，－2)，C (6，－2)． (1)求d (点O ，△ABC )；(2)记函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象为图形G .若d (G ，△ABC )＝1，直接写出k 的取值范围；(3)⊙T 的圆心为T (t ，0)，半径为1.若d (⊙T ，△ABC )＝1，直接写出t 的取值范围．2021中考数学专题汇编：与圆有关的位置关系-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】A[解析]连接DO ，∵AD ∥OC ，∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC ，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°2＝65°.解图5. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA ＝12＋22＝ 5.因为OE ＝2＜OA ，所以点E 在⊙O 内； OF ＝2＜OA ，所以点F 在⊙O 内； OG ＝1＜OA ，所以点G 在⊙O 内； OH ＝22＋22＝2 2＞OA ，所以点H 在⊙O 外．故选A.6. 【答案】C [解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】B[解析] 如图，∵AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ，∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．8. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.9. 【答案】B [解析] 如图，连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于点F . ∵△ABC 为等边三角形，边长为4 cm ， ∴△ABC 的高为2 3 cm ，∴OC ＝ 3 cm. 又∵⊙O 与BC 相切于点C ，∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.在Rt △OFC 中，可得FC＝32 cm ， ∴CE ＝2FC ＝3 cm.10. 【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒， ∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确， ∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒， ∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△，∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】1613. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO ＝DO.设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO＝22＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙A外．14. 【答案】BD＝CD或AB＝AC(答案不唯一)[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．15. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.17. 【答案】0<DO<33或2 33<DO<3[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.18. 【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：连接OC.∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．20. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB ＝12∠AOB ＝50°.(2)如图②，连接CE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE ＝90°.∵∠ACB ＝50°，∴∠BCE ＝90°－50°＝40°，∴∠BAE ＝∠BCE ＝40°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝70°，∴∠EAC ＝∠ADB －∠ACB ＝20°.21. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.22. 【答案】解：(1)如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，∴d (点O ，△ABC )＝2.(2)如图，函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段．当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(1，－1)时，k ＝－1，此时d (G ，△ABC )＝1；当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k ＝1，此时d (G ，△ABC )＝1.∴－1≤k≤1.又∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如图，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4.②当⊙T在△ABC的内部时，当点T与原点重合时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T3M＝2.∵AB＝BC＝8，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D＝2 2，∴t＝4－2 2.故此时0≤t≤4－2 2.③当⊙T在△ABC的右侧时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T4N＝2.∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D＝2 2，∴t＝4＋2 2.综上，t＝－4或0≤t≤4－2 2或t＝4＋2 2.。

2022年中考数学三轮复习：圆(附答案解析)

2022年中考数学三轮复习：圆一．选择题（共10小题）1．（2021•鹿城区校级三模）如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A 是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB ＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（）A．B．C．D．2．（2021•安徽模拟）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）A．2+B．1+C．2+D．2﹣2 3．（2021•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点且sin∠CAB＝，点E、F分别为、的中点，弦EF分别交AC，CB于点M、N．若MN＝，则AB＝（）A．10B．10C．18D．6 4．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A．πB．πC．πD．π5．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（）A．B．C．D．6．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O 的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6 7．（2021•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（）A．+1B．C．+1D．8．（2021•盐田区模拟）如图，已知M（0，2），A（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC 的中点，连接OD．给出4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（1，1+）；④当点C在上运动时，点D的运动路径为π．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．（2021•湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④10．（2021•香洲区二模）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（共5小题）11．（2021•牧野区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点O为AC 上一点，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为．12．（2021•缙云县一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP＝2，则的长为．13．（2021•方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为．14．（2021•武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF 是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是．15．（2021•岳阳模拟）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，点D 是上一动点（不与E，A重合），连接AE并延长至点C，ED，BA的延长线相交于M，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：（1）若∠CBE＝∠BDE，则BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，则AD2＝DF•DB；（3）在（2）的条件下，则AD的长为2π；（4）无论D怎样移动，ED•EM为定值．正确的是．（填序号）三．解答题（共5小题）16．（2021•西湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且＝，AB＝8cm，P是AB上一动点，连结CP并延长交⊙于点D．（1）若∠APC＝60°，求OP的长；（2）若点P与O重合，点E在CO上，F在OA上，CE＝1cm．根据题意画图，并完成以下问题：①当OE＝OF时，判断BE和CF的位置关系和数量关系，并说明理由；②连结BE并延长交⊙O于M，连结DM交AB于点F，求的值．17．（2021•广东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB 于E，交⊙O于F，点P在BA的延长线上，且PC＝PE，连接OF、AF、AI，（1）证明：△AFI是等腰三角形；（2）证明：PC是⊙O的切线；（3）若AO＝3，，求EF的长．18．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．19．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设△P AO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）作△P AO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C 的半径．20．（2021•陕西模拟）问题提出（1）如图①在⊙O中，半径为5，弦AB＝8，请在⊙O上画出一点Q，使△QAB面积最大，则点Q到弦AB的距离为；问题探究（2）如图②，∠AOB＝90°，点M，N分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON 的面积的最大值；问题解决如图③，公园有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为r，园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA、OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．2022年中考数学三轮复习：圆参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•鹿城区校级三模）如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A 是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB ＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（）A．B．C．D．【考点】垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，根据轴对称的性质可得的度数为120°，则有∠BFC ＝∠BAC＝120°，进而可得△ABE和△ADC都为等边三角形，然后根据三角函数可得，最后根据相似三角形的性质可求解．【解答】解：分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，如图所示：劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，由折叠的性质可得OM＝MH＝OH，OH⊥BC，∠BAC＝∠BFC，∴OM＝OB，，∴∠OBC＝30°∴∠BOH＝60°，∴的度数为120°，∴的度数为240°，∠D＝∠E＝60°，∴∠BFC＝∠BAC＝120°，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且△ABE∽△ACD，∵BG⊥CE，∴EG＝AG，∠EBG＝∠ABG＝30°，∴BG＝，∵tan∠ECB＝，设BG＝x，CG＝6x，则EG＝AG＝x，∴AE＝2x，AC＝5x，∴，∵∠EAB＝∠DAC，∠E＝∠D，∴△EAB∽△DAC，∴，故选：B．【点评】本题主要考查折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．2．（2021•安徽模拟）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（）A．2+B．1+C．2+D．2﹣2【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理；圆周角定理．【专题】动点型；三角形；与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC ＝PH，求出PH的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC＝PH，∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH＝OB＝2，∵PH≤OH+OP，∴PH≤2+2，∴PH的最大值为2+2，∴AC的最大值为+1．故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．3．（2021•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点且sin∠CAB＝，点E、F分别为、的中点，弦EF分别交AC，CB于点M、N．若MN＝，则AB＝（）A．10B．10C．18D．6【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．【分析】由于点E、F分别为、的中点，根据垂径定理可得OP垂直平分AC，OQ 垂直平分BC，再由直径所对的圆周角是直角得出△PEM、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形，根据sin∠BAC＝，设未知数，表示ME，NF，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OE、OF交AC、BC于点P、Q，∵点E、F分别为、的中点，∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC，又∵AB为⊙O的直径，OE＝OF，∴∠EOF＝∠AOB＝×180°＝90°，∴∠E＝∠F＝45°，∴∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°，∴△PEM、△QFN、△OEF、△CMN都是等腰直角三角形，在Rt△ABC中，由sin∠BAC＝＝，在Rt△OEF中，MN＝2，∴CM＝CN＝MN＝×2＝2，设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得AC＝＝4x，又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA＝OB，∴AP＝PC＝OQ＝AC＝2x，OP＝QC＝QB＝BC＝x，∴PE＝PM＝PC﹣CM＝2x﹣2，OP＝OE﹣PE＝x﹣2x+2，又∵OP＝CQ，∴x﹣2x+2＝x，解得x＝2，∴AB＝5x＝10，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．4．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【分析】设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3），根据图形可表示出PQ扫过区域（阴影部分）面积是两个扇形面积之差，将面积表示出来，利用二次函数性质即可求最大值．【解答】解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPD＝＝＝．当m＝时，S的最大值为：．故选：A．【点评】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，扇形面积等知识，关键在于理解旋转前后的两个图形全等，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积之差．5．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．想办法求出C，D 两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．∵AB是直径，AB＝8，∴OA＝OB＝4，∵AD，BC，CD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH，AB＝DH＝8，∴CH＝＝＝6，设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，∴x+x+6＝10，∴x＝2，∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，由，解得，∴F（，﹣），∴BF＝＝，解法二：设DH交OC于G，利用△OBF∽△GDF求解即可．故选：A．【点评】本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考选择题中的压轴题．6．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O 的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【考点】正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．【专题】几何综合题；动点型；创新意识．【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A＝＝3，则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，故选：B．【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．7．（2021•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（）A．+1B．C．+1D．【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】连接OF，过点O作OH⊥DF于H．设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，利用平行线分线段成比例定理求出m，OH，DH，再利用勾股定理求出FH，可得结论．【解答】解：连接OF，过点O作OH⊥DF于H．设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，∵AB是直径，DE⊥AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴＝，∴＝，∴m＝1，∴AD＝3，DE＝1，∴AE＝＝2，∵OH⊥DE，AE⊥DE，∴OH∥AE，∴＝＝，∴＝＝，∴DH＝，OH＝，在Rt△OEH中，FH＝＝＝，∴DF＝DH+FH＝，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．（2021•盐田区模拟）如图，已知M（0，2），A（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC 的中点，连接OD．给出4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（1，1+）；④当点C在上运动时，点D的运动路径为π．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】由三角形中位线定理可得OD∥BC，BC＝2OD，故①正确；由圆周角定理可得∠BCA＝45°，由平行线性质可得∠C＝∠ODA＝45°，故②正确；由BC＝2OD，可得当BC为直径时，OD有最大值，由等腰直角三角形的性质可求D的坐标为（2，2），故③错误；先确定点D的运动轨迹，可求点D的运动路径为π，故④正确，即可求解．【解答】解：∵点D是AC的中点，点O在AB的中点，∴OD∥BC，BC＝2OD，故①正确；如图，连接MB，MA，∵M（0，2），A（2，0），∴MO＝OA＝2，∴∠AMO＝∠MAO＝45°，∵MB＝MA，∴∠MBA＝∠MAB＝45°，∴∠BMA＝90°，∴∠BCA＝45°，∵OD∥BC，∴∠C＝∠ODA＝45°，故②正确；∵BC＝2OD，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图2，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故③错误；如图3，作△ODA的外接圆⊙E，连接OE，OA，∵∠AEO＝2∠ODA＝90°，OA＝2，OE＝EA，∴OE＝，∵当点C在上运动时，∴点D在上运动，∴点D的运动路径长＝＝π，故④正确；故选：B．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．9．（2021•湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【考点】圆的综合题．【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：＝，DG＝CG，继而证得△ADF∽△AED；②由＝，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E＝；④根据三角形面积公式求得△ADF的面积，通过证得△ADF∽△AED，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADE的面积，进而求得S△DEF＝4．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，DG＝CG，∴∠ADF＝∠AED，∵∠F AD＝∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF+CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG﹣CF＝2；故②正确；③∵AF＝3，FG＝2，∴AG＝＝，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝，∵∠ADG＝∠E，∴tan∠E＝；故③错误；④∵DF＝DG+FG＝6，AD＝＝，∴S△ADF＝DF•AG＝×6×＝3 ，∵△ADF∽△AED，∴＝（）2，∴＝，∴S△AED＝7 ，∴S△DEF＝S△AED﹣S△ADF＝4 ；故④正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2021•香洲区二模）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【分析】延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，根据直径所对圆周角是直角可以判断①；根据角平分线定义和圆周角定理可以判断②；由△ADC∽△EDA，可得＝，可以判断③；利用SAS证明△F AD≌△DBC，可得FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，证明△CDF是等腰直角三角形，所以CF＝CD，进而可以判断④．【解答】解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∵＝，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD和△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝CD，∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2021•牧野区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点O为AC 上一点，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为+2．【考点】含30度角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算．【专题】推理填空题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】根据阴影部分面积等于弓形和三角形的面积和，可得当OF⊥DE时，阴影部分面积最大，再利用割补法即可求出阴影部分面积的最大值．【解答】解：如图，连接OD，DE，∵AB切圆于点D，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，∴AC＝AO+OC＝2OD+OD＝3OD，∵BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝6，∴3OD＝6，∴OD＝2，因为弓形DE的面积是定值，所以当△DEF的面积最大时，阴影部分的面积最大，过点O作OG⊥DE，垂足为点G，交圆O于点H，连接DH，EH，当点F和点H重合时，△DEF的面积最大，最大值为，△DEH的面积．∵∠DOE＝90°﹣∠A＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∴OD＝OE＝DE＝2，∠OEG＝60°，∴GE＝OE＝1，∴OG＝，∴GH＝OG+OH＝+2，∴S△DEH＝DE•GH＝2×（+2）＝+2，∵S弓形DE＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣2×＝﹣，∴图中阴影部分面积的最大值为S弓形DE+S△DEH＝﹣++2＝+2．故答案为：+2．【点评】本题考查切线的性质，扇形面积公式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合程度较高．解决本题的关键是割补法将阴影部分正确分割，并能理解当底相同时高越大三角形面积越大．12．（2021•缙云县一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP＝2，则的长为．【考点】数学常识；正多边形和圆；弧长的计算．【专题】正多边形与圆；推理能力．【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接OG，于是得到∠COG＝＝30°，由题意得，∠F AG＝75°，∠CF A＝60°，过A作AH⊥CF于H，推出△AHP是等腰直角三角形，得到AH＝AP＝2，求得AF＝＝4，根据弧长的计算公公式即可得到结论．【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为O，连接OG，则∠COG＝＝30°，由题意得，∠F AG＝75°，∠CF A＝60°，过A作AH⊥CF于H，∴∠AHF＝90°，∴∠F AH＝30°，∴∠HAP＝45°，∴△AHP是等腰直角三角形，∴AH＝AP＝2，∴AF＝＝＝4，∴OC＝AF＝4，∴的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．13．（2021•方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为．【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可．【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵∠AOB＝90°，＝，∴∠BOF＝60°，∴的长＝＝π，∵CE＝DE，∴OE＝CD＝2，∵OF＝4，∴EF≥OF﹣OE＝2，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝2，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT＝＝＝2，∴此时阴影部分的周长为2+2+π．故答案为：2+2+π．【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n'°的圆心角所对的弧的长度为．14．（2021•武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF 是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】设正方形的边长为2a，则AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG ＝y，则DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，利用勾股定理得出ax+ay+xy＝a2，再由S△BEF ＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，得出a2＝，从而求出a，得到r．【解答】解：设⊙O与AD相切于M，与EF相切于N，与CF相切于G，设正方形的边长为2a，∴AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，在Rt△DEF中，∵DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，∴（x+y）2＝（a﹣x）2+（a﹣y）2，∴ax+ay+xy＝a2，∵S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，∴4a2﹣＝，∴，∴，∵a＞0，∴a＝，∴AB＝2a＝3，∴⊙O的半径为，故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线的性质，以及勾股定理等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．15．（2021•岳阳模拟）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，点D 是上一动点（不与E，A重合），连接AE并延长至点C，ED，BA的延长线相交于M，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：（1）若∠CBE＝∠BDE，则BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，则AD2＝DF•DB；（3）在（2）的条件下，则AD的长为2π；（4）无论D怎样移动，ED•EM为定值．正确的是（1）（2）（4）．（填序号）【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】根据各项的已知，逐项判断即可：（1）证明∠CBO＝90°，OB⊥BC即可；（2）证明△FDA∽△ADB，对应边成比例即可判断；（3）求出长度即可判断；（4）证明△DEA∽△AEM，得DE•EM＝AE2，再求出AE即可判断．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，∴∠AEB＝90°，∠EBA＝∠EAB＝45°，∵＝，∴∠BDE＝∠EAB＝45°，∵∠CBE＝∠BDE，∴∠CBE＝45°，∴∠CBO＝∠EBA+∠CBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，故（1）正确；（2）∵BD平分∠ABE，∴∠EBD＝∠DBA，又∠EBD＝∠EAD，∴∠DBA＝∠EAD，而∠FDA＝∠ADB，∴△FDA∽△ADB，∴＝，∴AD2＝DF•BD，故（2）正确；（3）连接OD，如图：∵∠DOA＝2∠DBA＝∠EBA＝45°，OA＝AB＝6，∴＝＝π，而AD＜，∴AD＜π，故（3）不正确；（4）∵∠M+∠DBM＝∠EDB＝∠EAB＝45°，∠EBD+∠DBM＝∠EBA＝45°，∴∠EBD＝∠M，∵∠EBD＝∠EAD，∴∠M＝∠EAD，∵∠DEA＝∠AEM，∴△DEA∽△AEM，∴＝，∴DE•EM＝AE2，在Rt△ABE中，AE＝AB•sin∠EBA＝12×sin45°＝6，∴DE•EM＝72，故（4）正确，故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、相似三角形的判定及性质、弧长计算、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，会观察、证明圆中的相似三角形．三．解答题（共5小题）16．（2021•西湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且＝，AB＝8cm，P是AB上一动点，连结CP并延长交⊙于点D．（1）若∠APC＝60°，求OP的长；（2）若点P与O重合，点E在CO上，F在OA上，CE＝1cm．根据题意画图，并完成以下问题：①当OE＝OF时，判断BE和CF的位置关系和数量关系，并说明理由；②连结BE并延长交⊙O于M，连结DM交AB于点F，求的值．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系解答即可；（2）①依题意画出图形，延长BE交FC于点H，通过证明△OFC≌△OEB，即可得出CF＝BE，利用三角形的内角和定理即可得出∠BHF＝90°，结论可得；②依题意画出图形，连接MC，利用角平分线的性质可得，利用相似三角形的性质可得；利用已知条件分别求得线段OE，OF，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，且＝，∴OC⊥AB．∵AB＝8cm，∴OC＝OA＝OB＝4cm，在Rt△POC中，∵tan∠APC＝，∴OP＝＝（厘米）；（2）①BE和CF的位置关系为：BE⊥CF，数量关系为：BE＝CF．理由：依题意画出图形如下：延长BE交FC于点H，∵AB是⊙O的直径，且＝，∴OC⊥AB．在△OFC和△OEB中，，∴△OFC≌△OEB（SAS）．∴CF＝BE，∠C＝∠B．∵∠AOC＝90°，∴∠C+∠COF＝90°．∴∠COF+∠B＝90°．∴∠BHF＝90°．∴BE⊥CF．②依题意画出图形如下：连接MC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DMC＝90°．∵CD⊥AB，∴．∴∠DMB＝∠CMB．即MB平分∠DMC．∴．∵CE＝1cm，OC＝OD＝4cm，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣1＝7cm．∴．∵∠FOD＝∠CMD＝90°，∠D＝∠D，∴△DOF∽△DMC．∴．∴OF＝．∵OE＝OC﹣CE＝3cm，∴．【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆心角定理，圆周角定理，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，依据题意画出正确的图形是解题的关键．17．（2021•广东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB 于E，交⊙O于F，点P在BA的延长线上，且PC＝PE，连接OF、AF、AI，（1）证明：△AFI是等腰三角形；（2）证明：PC是⊙O的切线；（3）若AO＝3，，求EF的长．【考点】圆的综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）由内心的性质可得∠ACI＝∠BCI，∠CAI＝∠BAI，由外角的性质和圆周角定理可证∠AIF＝∠IAF，可得结论；（2）通过证明∠PCO＝90°，可得结论；（3）由等腰直角三角形的性质可求AF＝AO＝，由锐角三角函数可求EH，HF 的长，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴∠ACI＝∠BCI，∠CAI＝∠BAI，∵∠BCI＝∠BAF，∴∠AIF＝∠ACI+∠CAI＝∠BCI+∠BAI＝∠BAF+∠BAI＝∠IAF，∴AF＝IF，∴△AFI是等腰三角形；（2）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACI＝∠BCI＝45°，∴∠AOF＝90°，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∴∠PCO＝∠PCE+∠OCE＝∠PEC+∠OFE＝∠OEF+∠OFE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（3）如图，过点E作EH⊥AF于H，∵∠BAF＝∠BCF＝45°，∴HE＝HA；在Rt△AOF中，AO＝3，∴AF＝AO＝，∵，∴，∴HF＝2HE＝，AH＝HE＝，在Rt△EHF中，EF＝＝．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．18．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．【考点】圆的综合题．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．【分析】（1）当点H，O重合时，由AC＝CD知，OC是直角三角形斜边上的中线，即OC＝AD，又OC＝OA，即OA＝AD，得∠ABC＝30°，即可得sinθ的值；（2）证△BHF∽△DCF∽△DHA，根据线段比例关系即可证；（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，根据弧长公式求出弧AC的长度，即可确定圆锥的底面半径，根据母线和底面半径利用勾股定理即可求高．【解答】解：（1）当点H，O重合时，如图，连接OC，。

2022年春人教版九年级数学中考复习《与圆有关的最值问题》专题突破训练(附答案)

2022年春人教版九年级数学中考复习《与圆有关的最值问题》专题突破训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．202．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．83．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（）A．1.4B．C．D．2.64．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．B．2﹣2C．2﹣2D．45．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1B．C．2D．6．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．87．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是；②四边形APBC的最大面积为．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为．9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．10．如图，已知△ABC，外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是．11．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．12．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形OAB的上有一动点P，过P作PH⊥OA于H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是．14．如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，BP最大值为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．19．如图，扇形AOB，且OB＝4，∠AOB＝90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE．当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG的最小值为．参考答案1．解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．2．解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．3．解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，由勾股定理得：OP＝＝5，∵OA＝AB，CM＝CB，∴AC＝OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值＝OM′＝（OP﹣PM′）＝＝，故选：B．4．解：如图∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故选：B．5．解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH＝P A＝1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，故选：B．6．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．7．（1）在⊙O中，∠BAC与∠CPB是所对圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①如图1，在PC上截取PD＝AP，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP，故答案为：CP＝BP+AP；②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．，故答案为：．8．解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠P AB＝∠ACP，∴∠P AC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时P A＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．10．解：如图，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC＝∠ABE，∴∠PDB+∠PBD＝90°，∴∠DPB＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上，∵外心为O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又BC＝10，∴OH＝，所以OP的最小值是5﹣．11．解：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝3．∵OA＝＝＝3，当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝3﹣3．故答案为3﹣3．12．解：如图，连接IP、IO、IA，∵I是△OPH的内心，∴∠IOP＝∠IOA，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP，∵PH⊥OA，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵在△POI和△AOI中，，∴△POI≌△AOI（SAS），∴∠AIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OA为弦，且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过点A、I、O三点作圆O′，如上图，连接O′O，O′A，在优弧OA取点P'，连接P'A、P'O，∵∠AIO＝135°，∴∠AP'O＝180°﹣135°＝45°，∵OA＝4，∴O′O＝OA＝2，∴的长为：＝π．，所以内心I所经过的路径长为π．故答案为π．13．解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1，AH＝3，由勾股定理可得MA＝，MG＝OB＝，∵AG≥AM﹣MG＝﹣，当A，M，G三点共线时，AG最小＝﹣，故答案为：﹣．14．解：∵∠ACB＝120°，∠APB＝60°，∴A、P、B、C四点共圆，∴当PB是圆的直径时最长，∴∠ABP＝30°．过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心，∵∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，∴∠BCO＝60°，∠ACB＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∴PB＝2OC＝8．故答案为：8．15．解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．16．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．17．解：∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC＝OE＝6，BC＝5，∴OB＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．18．解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．故答案为：2﹣2．19．解：如图，连接BE，∵点E是△ODC的内心，∴∠EOC＝∠COD，∠ECO＝∠OCD，∴∠EOC+∠ECO＝（∠COD+∠DCO），∵DC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠COD+∠DCO＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝（∠COD+∠DCO）＝45°，∴∠OEC＝180°﹣45°＝135°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠BOE，∵OB＝OC，OE＝OE，∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠CEO＝∠OEB＝135°，∴当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为图中的长度，设△BOE的外接圆为⊙M，在优弧BNO上任取一点N，连接BN，ON，则∠N＝45°，∴∠M＝90°，∴BM＝OM＝OB＝2∴的长＝＝π，故答案为：π．20．解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2．故答案为：2﹣2．。

(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典

∴ PA2 PC PB
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
（ 4 ）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图）。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆于 E，求 DE： AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
C
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
C
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
B
A
推论 1：（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结

六年级数学秋季班-第18讲：圆和扇形章节复习

圆和扇形是初中数学六年级第四章的内容，同学们需要学会用圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式进行简单的计算，并体会近似与精确的数学思想．难点是圆的组合图形的面积计算，同学们需要灵活运用各个基本图形面积的计算方法，并能看出组合图形是由哪些基本图形组成，从而进行相关的计算．基本内容注意点4.1 圆的周长 1、圆的周长公式及应用． 4.2 弧长 1、弧长公式及应用． 4.3 圆的面积 1、圆的面积公式及应用． 4.4 扇形的面积1、扇形的面积公式及应用；2、*圆的组合图形的面积计算．【例1】圆的周长是这个圆半径的（）倍A ．6B ．2C ．3.14D ．6.28【难度】★ 【答案】【解析】【例2】同一个圆里，直径与半径的比是______．【难度】★ 【答案】【解析】例题解析圆和扇形章节复习内容分析知识精讲【例3】要画一个周长为18.84厘米的圆，它的半径应取______厘米．【难度】★【答案】【解析】【例4】如果圆的半径缩小到它的13，那么圆的周长缩小到原来的______．【难度】★【答案】【解析】【例5】如果圆上一条弧长占圆周长的15，那么这条弧所对的圆心角占圆的周角的______．【难度】★【答案】【解析】【例6】圆心角为45°的扇形，如果拼成一个圆，需要这样的扇形至少____个．【难度】★【答案】【解析】【例7】下列叙述中正确的个数是（）（1）弧的长度只取决于弧所在圆的半径大小；（2）两条弧的长度相等，则它们所对的圆心角相等；（3）圆心角扩大3倍，而圆的半径缩小13，那么原来的弧长不变．A．0B．1C．2D．3【难度】★【答案】【解析】【例8】一个扇形的面积是它所在圆面积的79，这个扇形的圆心角是______度．【难度】★【答案】【解析】【例9】一个圆的周长为9.42厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例10】把一根长314厘米的细钢丝绕在一个圆筒上，正好绕10周，这个圆筒的半径是（）A．5B．10C．20D．3.14【难度】★★【答案】【解析】【例11】在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例12】有一个直径是8厘米的半圆形铁片，这个铁片的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个环形纸板，内圆半径是3厘米，外圆直径是10厘米，这个环形纸板的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例14】下列说法正确的是（）A．扇形是圆的一部分，圆的一部分是扇形B．圆中任意画两条半径，一定能构成两个扇形C．如果圆的面积扩大9倍，那么圆的直径扩大9倍D．在所有扇形中，圆半径大的面积大【难度】★★【答案】【解析】【例15】已知大扇形的面积是小扇形面积的94倍，如果它们的圆心角相等，那么小扇形的半径是大扇形半径的______．【难度】★★【答案】【解析】【例16】已知扇形的弧长是9.42厘米，圆心角是270°，那么这个扇形的面积是______平方厘米【难度】★★【答案】【解析】【例17】图中的三角形是等边三角形，阴影部分是一个扇形，那么阴影部分的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】3厘米【例18】下面两个图形中，其中正方形的面积相等，那么阴影部分面积大小关系是（）A．甲> 乙B．甲< 乙C．甲= 乙D．无法比较【难度】★★【答案】【解析】【例19】要画一个面积是3.14平方厘米的圆，圆规两脚之间的距离要取______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例20】在周长为24厘米的正方形纸片上剪去一个最大的圆，则剩余部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（结果保留）．【难度】★★【答案】【解析】【例21】如图，阴影部分周长相同的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】ABCDABCD【例22】如图，正方形中，分别以两个对角顶点为圆心，以正方形的边长6为半径画弧，形成树叶形的图案（阴影部分），求树叶形图案的周长．【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】扇形的面积是314平方厘米，扇形所在的圆的面积是1256平方厘米，这个扇形的圆心角是多少度？【难度】★★ 【答案】【解析】【例24】如图，AB = BC = CD = 2厘米，分别求出大、中、小圆的周长和面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 12 cm ，求图中阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，如果车轮每分钟转90周，40分钟能行多远？通过一座567米的大桥需要多少分钟？（取3）【难度】★★【答案】【解析】【例27】在长19厘米，宽9厘米的长方形纸片中，剪半径都是1.5厘米的小圆，共可剪出小圆多少个？剪去这些小圆后，剩下的边角料的总面积是多少？．【难度】★★【答案】【解析】【例28】四个半径为2厘米的圆围成的图形中，求阴影部分的面积和周长．【难度】★★【答案】【解析】【例29】如图，圆的周长为6.28厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是______厘米．【难度】★★★【答案】【解析】拥有2台拥有1台其他【例30】两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子直径是3 dm ，当它旋转7周时，另一个轮子转了5周，则另一个轮子的半径是______dm ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例31】将一个圆沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，已知这个长方形的周长是41.4厘米，那么，这个圆的周长和面积各是多少？【难度】★★★ 【答案】【解析】【例32】在一次对某小区500户家庭拥有电视机的数量的调查中，调查结果如图所示，根据图中所给的信息回答问题：（1）家中拥有一台电视机的家庭有几户？（2）如果拥有一台电视机的家庭数正好是拥有2台电视机的家庭数的27，那么拥有2 台电视机的家庭有几户？（3）图中的“其他”的扇形的圆心角是几度？【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】若一弧的长是它所在圆的周长的15，则此弧所对的圆心角是______度．【难度】★【答案】【解析】【作业2】如果一条弧所对的圆心角缩小为原来的14，所在圆的半径扩大为原来的3倍，那么所得的新弧长与原来的弧长之比是______．【难度】★【答案】【解析】【作业3】甲圆与乙圆的半径之比是 2 : 3，则甲与乙的直径之比是______，周长之比是______，面积之比是______．【难度】★【答案】【解析】【作业4】下列说法正确的个数是（）（1）半径越大，圆的面积越大；（2）半径越大，所对的弧越长；（3）弧是圆上两点间的一条线段；（4）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】课后作业【作业5】求下列各圆的周长和面积：（1）r = 3，C =______，S =______；（2）d = 8，C =______，S =______；（3）l = 5，n = 72°，S =______．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】求下列弧的弧长：（1）r = 4，n = 90°，l =______；（2）d = 9，n = 120°l =______；（3）C = 20，n = 175°l =______．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】在长是6厘米，宽是4厘米的长方形内剪一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米【难度】★★【答案】【解析】【作业8】用一根长为37.68厘米的铅丝围成一个圆，圆的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】一个圆环形纸片，外环半径6厘米，内环半径5厘米，这个圆环的面积是______平方厘米，周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知一个扇形的半径是6厘米，圆心角是120°，则此扇形的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【作业11】扇形的半径是6分米，扇形的弧长是4π分米，这段弧所对的圆心角是______度，这个扇形的面积是______平方分米．（结果保留π）【难度】★★【答案】【解析】【作业12】一个时钟的时针长5厘米，它从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是（）A．203πB．103πC．60πD．30π【难度】★★【答案】【解析】12 / 13 A B O A B C D A BC D 【作业13】已知一条弧长等于1，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）A ．1nB ．180Rπ C ．180R π D ．1360【难度】★★【答案】【解析】【作业14】如图，半径r = 12，60AOB ∠=︒，求这个图形的周长．【难度】★★【答案】【解析】【作业15】如图，正方形ABCD 的边长为4，求阴影部分的面积和周长．【难度】★★【答案】【解析】【作业16】如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 10 cm ，BC = 6 cm ，求阴影部分的周长．【难度】★★【答案】【解析】A BCAB CD【作业17】如图，一个边长是1厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向翻动，到达图示中最右边三角形的位置，点B所经过的路程是______厘米．（结果保留π）【难度】★★★【答案】【解析】【作业18】如图所示，已知正方形ABCD的边长为3.2厘米，在这个正方形中有个半径为0.4厘米的圆沿着它的四条边滚动一周，求圆滚动时扫过的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】【解析】13/ 13。

2020届中考数学总复习(22)圆-精练精析(2)及答案解析

图形的性质——圆2一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A．3 B．4 C． D．52．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26° B．116°C．128°D．154°6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°8．如图，⊙O是△AB C的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为_________ ．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_________ ．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于_________ ．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=_________ 度．14如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_________ ．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=_________ 度．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=_________ ．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=_________ 度．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=_________ °，理由是_________ ；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．图形的性质——圆2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A． 3 B．4 C．D． 5考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：几何图形问题．分析：首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．解答：解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选：A．点评：此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B 的度数即可．解答：解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=O C，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．故选：D．点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．解答：解：∵直径所对的圆周角等于直角，∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选：B．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：计算题．分析：由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．解答：解：∵在⊙O中，OD⊥BC，∴=，∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．故选：D．点评：此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．解答：解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故选：B．点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．解答：解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；故选：A．点评：本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为70°．考点：圆周角定理．分析：由△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠OBA 的度数，∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠OAB=20°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案为70°．点评：本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=30°．考点：圆周角定理．分析：由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．解答：解：如图，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°．故答案是：30°．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于36°．考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．解答：解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=50 度．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∠B=∠AOC=×100°=50°．故答案为：50．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠B=25°∴∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=40 度．考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．解答：解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°﹣50°=40°．故答案为：40．点评：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40 度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD 度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案．解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DEA=∠DFC=90°，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴B C=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．解答：（1）证明：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD+∠OCB=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠BCD=∠ACO，又∵∠BAC=∠ACO，∴∠BCD=∠BAC，又∵BD⊥CP∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB∽△CDB；（2）解：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB是正三角形，∵⊙O的半径为1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．点评：本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．∴AE=AC﹣CE=2﹣=．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠P BC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD和Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．解答：解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF，∴△PCF是等腰三角形．（3）连接AE．∵CE平分∠ACB，∴=，∴．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，．∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴．设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=90 °，理由是圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质定理，即可解答；（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BC．∵BD∥AC，∴∠CBD=∠OCD=90°，∴在直角△ABC中，BC===2，∠A+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC，∴∠A+∠BCO=90°，又∵∠OCD=90°，即∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ACB，∴△ABC∽△CDB，∴=，∴=，解得：CD=3．点评：本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：先求出∠COD，根据切线的性质知∠OCD=90°，从而求出∠D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案．解答：解：∵∠A=30°，OC=OA，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°，∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，∵OD=30cm，∴OC=OD=15cm，∴AB=2OC=30cm．点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．。

中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)

２0１４年中考数学专题复习:与圆有关的动点问题1、如图,⊙Ｏ的直径AB=4，C为圆周上一点，AＣ=2，过点C作⊙O的切线DC,Ｐ点为优弧CBA上一动点(不与A.C重合).（1）求∠APC与∠ACＤ的度数；(2)当点P移动到CＢ弧的中点时，求证:四边形OＢPC是菱形.（３）P点移动到什么位置时，△AＰC与△ABＣ全等,请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径ＡB的异侧有定点Ｃ和动点P,AＣ=12AB，点Ｐ在半圆弧ＡB上运动（不与A、B两点重合),过点C作直线PB的垂线ＣD交ＰＢ于Ｄ点.(１）如图1，求证:△PCD∽△ABC；（２）当点P运动到什么位置时,△ＰCD≌△ABC?请在图2中画出△PCＤ并说明理由; （３)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠ＢCD的度数．３、如图，在半径为2的扇形ＡOB中,∠AOB=９0°，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合）OD⊥BC,ＯE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=1时,求线段OD的长;（2)在△DOＥ中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.４、如图，菱形ＡBCD的边长为２cm，∠DＡＢ=60°．点Ｐ从Ａ点出发，以ｃm／s的速度，沿ＡC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发,以1cm/ｓ的速度，沿射线ＡB 作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts．(1)当P异于A．C时,请说明PＱ∥ＢＣ；(２)以Ｐ为圆心、ＰQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时，⊙P与边ＢC分别有1个公共点和２个公共点？5、如图,在菱形ABCD中，AB＝2错误!,∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.(1)求证：⊙Ｄ与边ＢＣ也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点Ｆ，连接ＨF,求图中阴影部分的面积(结果保留π);(３)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周,当S△ＨDＦ＝错误!S△MＤF时,求动点Ｍ经过的弧长(结果保留π)．６、半径为2cｍ的与⊙O边长为２ｃｍ的正方形AＢＣD在水平直线l的同侧,⊙Ｏ与l相切于点F，DC在ｌ上.（1)过点B作的一条切线BE,E为切点.①填空:如图1,当点A在⊙O上时,∠ＥBＡ的度数是；②如图2,当E,Ａ，D三点在同一直线上时,求线段OA的长；ﻫ(2）以正方形ABＣＤ的边AD 与ＯF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图3)，至边BC与OＦ重合时结束移动,M,N 分别是边BＣ,AD与⊙Ｏ的公共点,求扇形MON的面积的范围．ﻫ7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACＢ=90°，AB=5，ＢC=３，点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB，垂足为H．（１）直接写出线段AＣ、AD及⊙Ｏ半径的长;（2）设PH=x,PC=y，求y关于x的函数关系式;(３）当ＰＨ与⊙O相切时,求相应的y值．8、如图1，正方形ＡBCＤ的边长为２,点M是BC的中点,P是线段ＭC上的一个动点（不与M、C重合),以ＡＢ为直径作⊙O，过点P作⊙Ｏ的切线，交AD于点F,切点为Ｅ.（1）求证：ＯF∥BE；(２)设BＰ＝x,ＡF＝y，求ｙ关于ｘ的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；(3)延长DC、FP交于点G，连接ＯE并延长交直线DC与H（图2）,问是否存在点P，使△E ＦO∽△EHG(E、F、Ｏ与E、H、G为对应点)?如果存在,试求（2）中x和y的值；如果不存在,请说明理由.9、如图，⊙O的半径为１，直线CD经过圆心O,交⊙Ｏ于C、D两点，直径AB⊥ＣD,点Ｍ是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，ＡM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且ＰM=PN.(1）当点M 在⊙O 内部,如图一,试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； (2)当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； (3）当点M 在⊙O 外部,如图三，∠AMO=1５°,求图中阴影部分的面积.10、如图,在⊙Ｏ中，直径AB ⊥ＣD,垂足为E ，点M 为OC 上动点,ＡM 的延长线交⊙O 于点Ｇ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2,连结ＣB 与ＤＧ交于点Ｎ. (1）求证：ＣF 是⊙O 的切线;(2)点Ｍ在ＯC 上移动时(点M 不与Ｏ、Ｃ点重合），探究△ACM 与△ＤＣＮ之间关系，并证明 (3）若点M 移动到CO 的中点时,⊙O 的半径为４，ｃos ∠B ＯC=41,求B Ｎ的长.11、如图，已知A Ｂ是圆Ｏ的直径,BC 是圆O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F,交B Ｃ于点G ,过点C 作圆O 的切线与ＥＤ的延长线交于点P. (１）求证:PC ＝PG;（2)点Ｃ在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若点G 是ＢＣ的中点，试探究C Ｇ、BF 、BＯ三者之间的数量关系,并写出证明过程；（3）在满足（2)的条件下，已知圆为O的半径为5,若点Ｏ到BC的距离为5时，求弦ED 的长.12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点Ａ是⊙O上一定点，点Ｐ为⊙Ｏ上不同于点A的动点.(1）当1A=时,求AP的长;tan2(２)如果⊙Q过点P、O,且点Ｑ在直线AＰ上（如图2）,设ＡＰ＝x，ＱＰ＝y,求y关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙Ｍ与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切,且ＯM⊥OQ，试求⊙M的半径的长.图1 图2图３答案:1、解：（１)连接AC，如图所示：∵AＢ=4,∴OA=OB=ＯC＝12ＡＢ=2。

高三数学圆周角定理与弦切角的性质

图2 19
直线CE和圆O切于点 C, 所以ACD B.
因此, DAC CAB, 即AC平分BAD.
练习:课本P26习题1、2、3
• 练习 4 ： PQ 是 ⊙ O 的切线，切点为 A ， PBC 是 ⊙ O 的割线，则与 ∠ C 相等的角是（） • A、∠P； B、∠CAQ； • C、∠PAB； D、以上都不对
C
E
思考:弦切角的大小与它所对的弧有什么关系呢？
O
A B
猜想 ABC 是圆O的内接三角形 , CE 是圆O的切线, 则BCE A .
证明猜想:
P
C
O
A Q C C Q
B
2
P
2 O
1 A B
P
O 1 A B
弦切角定理
• 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对
的圆周角。
D P B
A
B
Q A
B
P O
O
B
E
A
C
图 11
C
D
图 12
• 练习 5 ：如图 12 ， AB 是 ⊙ O 的直径， DE 切 ⊙ O 于点 C 。若 ∠ AC、40°；C、50°；D、 60°。
B O A E
图 12
C
D
小结：
一、圆周角定理及证明二、圆心角定理及证明三、弦切角定理及证明四、其它与圆有关的角的性质
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颜，问表的安。”乐韵似嗅着猫的老鼠，一声都不敢发，至宝音足边跪下，攥着宝音裙角，不断叩头，是真心急了。宝音就着邱妈妈手里的帕子印了印眼睛，抬起头来，对乐韵极低道：“去。”乐韵退开一点点。满地都是瓷碴，再退就要跪到瓷碴上了，她只好站起来。宝音方对洛月轻声道：“请进来罢。”嘉颜迈进屋内，但觉表这儿一屋子药味、一屋子萧然，举目，见地上滚着铜镜、碎着瓷碴、还湿了一大滩水，表头发蓬乱，满面泪痕，不由得大大生出“太过分了”的心情，口中问洛月：“姑娘这儿是怎么了？”眼睛已经剜到乐韵身上。乐韵只觉一股冷气从脊骨往头盖骨上冒。宝音却赶在洛月开口前，小声道：“我碰掉了杯子。”乐韵低着头，还不敢抬起来，眼睛却瞪大了：碰掉？才不是！明明摔掉！由摔到碰，一言超生，分明在维护她了。为什么忽的勃然大怒、推她到悬崖边上，为什么忽而又轻言温语，维护于她？乐韵心里乱如一团麻，分毫也看不清路数。她只知道一件事：识相的，她还是老实闭嘴别说话罢，否则，恐怕真有法子叫她死无全尸。今日，已绝非从前的。嘉颜仍盯着乐韵，看出乐韵藏着忐忑，知道今日之事，怎会是“失手摔了杯子”这么简单。看表有意息事宁人，她也乐得大事化小，小事化了，冲乐韵冷冷道：“还不替姑娘扫地？这般躲懒，且扣去半月的月银。”宝音目光微妙的顿了一顿。乐韵连忙行动。这辈子她拿笤帚都没这么快过。宝音亲手开了妆盒，替表理妆，看着韩玉笙消瘦的脸、湿漉漉低垂的长睫毛，还有虽然苍白干裂了、但弧度仍然可爱的唇线。这两片嘴唇里喘气低微、似乎无意的逸出一句问候：“宝音姐姐侍候老太太登高去了么？”嘉颜唇边那训练有素的笑意顿时一僵，几乎碎得比地上的瓷碴儿还要碎。宝音在镜子里看她，只看了一眼。一眼之后，嘉颜重新微笑，宝音也错开眼睛。这一眼，宝音读出来的信息已经太多。而嘉颜甚至没有发现宝音曾经抬起眼睛。妆盒中拿起一把掠子，嘉颜替宝音整理发鬓，口中夸道：“表发质真好，又柔又润。”真的，大病经年，未损青丝，也算得上天垂怜。嘉颜手不停，道：“表，这些婢子不懂事，您尽快同我讲，切莫宠惯她们，损了您的千金体。”乐韵扫着地，大气都不敢出。韩玉笙原梳的是垂挂髻，未嫁女孩儿的双分辫儿，折上去成两鬟，鬟底留出盘平的、小小的髻，似花萼，不失少女的俏皮，而下头温婉的双鬟，又显得宁静大方，嘉颜拆下照原样重盘，插上玳瑁如意錾花短簪，退后一步看看，不错了，转头对乐韵道：“呆站着做什么？没看见你姑娘裙脚都打湿了？”乐韵连忙上来，蹲下去替擦抹。嘉颜又斥道：“湿成这样，怎么擦？你还不给你姑娘拿裙子来换？”第十四章

初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)

第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。

2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。

3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。

4、垂径定理的条件是，结论是。

5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。

重、难点：圆的基本性质，垂径定理。

基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。

2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。

3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。

二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。

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各部分设计意图说明一、入门：力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础知识应用能力。

二、提高：总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。

三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。

题目中将加入部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。

简单数学之与圆有关的角复习一、入门（一）、定义：圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。

如图1，∠AOB是圆心角，它所对的弧是劣弧⌒AB，其实，这个图里还有一个圆心角，就是∠AOB优弧⌒AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。

圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。

换个角度看，圆周角就是两条有公共端点的弦所夹成的角。

如图1，∠AOB是圆周角，它是由弦AC、弦BC所夹成的，点C是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧⌒AB。

由此，可知，圆周角和圆心角同根同源，圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础（二）、定理与性质：1、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一下可以得到五量关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量相等，其余各组量分别对应相等。

应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。

例题1：如图2，⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD，求证：AC=BD解析：因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出弦所对的圆周角相等.方法一：证明：如图2，∵AB=CD∴⌒AB =⌒CD∴⌒AC =⌒BD∴AC=BD方法二：证明：如图3，连OA，OB，OC，OD∵AB=CD∴∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠BOD图1B 图2B∴AC =BD 2、由圆周角定理还可以得到半圆或（直径）所对的圆周角是90º；90º的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形对角互补。

这是圆中经常用到的推论，除了用于证明，遇直径经常连接直径所对的圆周角。

例2：如图4，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC =AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？解析：AB 是⊙O 的直径，则连AD 后，∠BDA =90°，即AD ⊥BC ，因AC =AB ，由等腰三角形三线合一，BD =DC （证略） 3、练习1.如图5，已知点E 是⊙O 上的点， B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点, 46BOC ∠=，则AED ∠的度数为．2.如图6，⊙O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为．3.如图7，点C D 、在以AB 为直径的⊙O 上，若28BDC ∠=，则ABC ∠= 度．4.如图8，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=，25BDC ∠=，那么A ．40°B ．30°C ．20°D ．35°二、提高（一）、典型结论：1、将圆周角、圆心角与圆内其它知识整合在一起，可以得到许多结论：如图10，⊙O 内切于△ABC ，D 、E 、F 分别为切点，为⌒DF上任意一点。

将相应各点连接在一起可以得到如下结论：（1）∠BOC =（2）∠DEF =事实上，当点E 在优弧⌒DF上（与D 、F 不重合）运动时，总有该结论成立（3）∠D F =2、实际计算中，我们还可以发现弦长、半径与弦所对圆心角之间的关系：已知，⊙O 半径为R ，当弦AB =R时，圆心角∠AOB =60；当弦AB =R 时，圆心角∠AOB =90；图5 图6 图7 图8 图9图4BC图10ABE当弦AB =R时，圆心角∠AOB =120（本条结论应用程度相当高一定要熟记）；3、圆内接四边形外角等于内对角（二）、例题例3：如图11，A、B、C、D四点均在一圆弧上，弦BC // AD，且直线AB与直线CD相交于E点。

若∠BCA=10︒，∠BAC=60︒，则∠BEC=（）A、35︒B、40︒C、60︒D、70︒。

分析：由三角形外角知识可知∠EBC=∠BCA+∠BAC=70︒，由BC// AD，可得∠EAD= ∠EBC=70︒，由A、B、C、D四点共圆，∠EAD+∠BCD=180︒，又因∠BCE+∠BCD=180︒可得∠BCE=70︒，则∠BEC=40︒例4：如图12，⊙O为△ABC的外接圆，其中D点在⌒AC上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（）A、132︒B、144︒C、156︒D、168︒分析：本题一种解法是连接CO，由圆周角定理可得∠BOC=72︒，由等腰三角形内角和求∠BCO=54︒，则∠OCA=6︒，由OD⊥AC 可得∠COD=84︒，则∠BOD=∠BOC+∠COD=156︒本题另一种解法，连接CO，由圆周角定理可得∠BOC=72︒，因为OD⊥AC，由垂径定理，⌒DC=⌒AC,则有∠COD=∠AOC=∠ABC=180︒-36°-60°=84°，∠BOD=∠BOC+∠COD=156︒例5：如图13，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P 是⌒AC上一动点，连接PB分别交AD、AC于点E，F．（1）当⌒PA=⌒AB时，求证：AE=BE；（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论．分析：(1) 可连AB，由BC是直径，AD⊥BC，由同角的余角相等可知∠BAD=∠C，由⌒PA=⌒AB可得∠ABE=∠BAD。

(2)我们可以通过倒推的方法解决这类问题。

当AE=BE时，可得∠AEF=∠AFE，由（1）可知，∠ABP+∠AFB=90°，∠PBD+∠BED=90°，由此可知，∠ABP=∠PBD，所以⌒PA=⌒PC。

按此思路，正推回去即可。

（1）证明：连接AB，∵BC为⊙O的直径，∴AB⊥AC．又∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠DAC=∠C+∠DAC=90°∴∠BAD=∠C．∵⌒PA=⌒AB∴∠ABE=∠C．∴∠ABE=∠BAD．∴AE=BE．（2）当⌒PA=⌒PC时，AF=EF．证明：∵⌒PA=⌒PC∴∠PBC=∠C．∴90°-∠PBC=90°-∠C．图12图13即∠BED =∠DAC ∵∠BED =∠AEF ∴∠DAC =∠AEF ∴AF =EF（三）、学段练习1.如图15，在⊙O 中，圆心角60BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠等于（） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒2.如图16，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（）A ．10 B ．20 C ．30 D ．403.如图17，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则BEC ∠等于（）Ａ．45 Ｂ．60 Ｃ．30 Ｄ．554.如图18, 已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ,若∠D 的度数是50o ,则∠C 的度数是（）A .50oB . 40oC . 30oD .25o5．如图19所示，小华从一个圆形场地A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时56AOE∠=，则α的度数是（） A ．52 B．60 C．72 D．766．如图20，已知在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C 是OB 延长线上一点，AC 交⊙O 于D ，求证：弧AD 的度数是∠C 的2倍．三、中考视角1．如图21，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAB =130°，连接OC ，点P 是半径OC 上任意一点，连接DP ，BP ，则∠BPD 可能为度（写出一个即可）． 2．如图22，MN 是⊙O 的直径，MN =4，∠AMN =40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则P A +PB 的最小值为．3．如图23，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是⌒AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ．（1）填空：∠APC = ，∠BPC = ；O C BA 图15 E 图17 图18 图16图19图20图21图22（2）求证：△ACM ≌△BCP ；（3）若PA =1，PB =2，求梯形PBCM 的面积．4．如图，AD 是⊙O 的直径．(1)如图24-1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是，∠B 2的度数是；(2)如图24-2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；(3)如图24-3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．5．如图25，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 .6．（原创）已知，⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD,1cm ，则直线AC 、BD 所夹的锐角＝．（本题如果仔细分析情况较多需要仔细思考具体分析请看答案）图24-1B C 2图24-2n B 3 -2 n图24-3答案与解析一、入门3、练习1.69°2.50°3.55度．4.35°．5.B二、提高（三）、学段练习1.D2.B3.A4.D5.A6．连接OD，在直角△AOC中，∠C=90°-∠A在△OAD中，∵OA=OD∴∠A=∠ADO∴∠AOD=180-2∠A∴∠AOD=2∠C∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数∴弧AD的度数是∠C的2倍三、中考视角1． 802．2．解析：解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为P A+PB 的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即P A+PB的最小值2．故答案为：2．3．（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC =∠BAC =60°， ∴∠PCM =∠BPC =60°，∴∠M =180°-∠BPM =180°-（∠APC +∠BPC ）=180°-120°=60°， ∴∠M =∠BPC =60°，又∵A 、P 、B 、C 四点共圆， ∴∠PAC +∠PBC =180°， ∵∠MAC +∠PAC =180° ∴∠MAC =∠PBC ∵AC =BC ，∴△ACM ≌△BCP ；（3）解：作PH ⊥CM 于H ，∵△ACM ≌△BCP ，∴CM =CP AM =BP ，又∠M =60°，∴△PCM 为等边三角形，∴CM =CP =PM =PA +AM =PA +PB =1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH =30°， ∴PH =∴S 梯形PBCM =（PB +CM ）×PH =(2+3)×=4．解：（1）垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则⌒AC 1是圆的，因而度数是45°，因而∠B 1的度数是22.5°，同理⌒AC 2的度数是135度，因而，∠B 2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴⌒B 1C 1=⌒C 1C 2=⌒C 2C 3=360°÷6=60°∵直径AD ⊥B 1C 1 ∴⌒AC 1=⌒B 1C 1==30°，∴∠=⌒AC 1=15°，∠B 2=⌒AC 2=(30°+60°)=45°，同理∠B 3=75° （3）B n C n 把圆周2n 等分，则⌒B n D 的度数是：，则∠B n AD =，在直角△AB n D 中，∠B n ＝90°−=90°−．5．证明：（1）∵PG 平分∠EPF ， ∴∠DPO =∠BPO ， ∵OA //PE ，∴∠DPO =∠POA ， ∴∠BPO =∠POA ， ∴PA =OA ；解：（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =12AB ∵ tan ∠OPB =12OH PH ，∴PH =2OH设OH =x ，则PH =2xP由（1）可知PA =OA = 10 ，∴AH =PH －PA =2x －10 ∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+= 解得10x =（不合题意，舍去），28x =∴AH =6， ∴AB =2AH =12 （3）P 、A 、O 、C ； 6．本题答案为15°或75°。