2020第37届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
全国第37届中学生物理竞赛预赛试题与解答参考
全国第37届中学生物理竞赛预赛试题与解答参考一、选择题1. 答案：B解析：根据题干中的描述，物体从高处自由落下，意味着只有重力作用在物体上，没有其他力的干扰。
根据牛顿第二定律可以得到$F = ma$。
由于物体自由下落，加速度$a$等于重力加速度$g$，所以$F = mg$。
根据题干中的描述，物体的质量$m$为50kg，重力加速度$g$为10m/s^2，代入公式可以计算出$F = 50 \times 10 = 500$N，即物体所受的力为500N。
2. 答案：C解析：根据题干中的描述，物体从高处自由落下，意味着只有重力作用在物体上，没有其他力的干扰。
根据牛顿第二定律可以得到$F = ma$。
由于物体自由下落，加速度$a$等于重力加速度$g$，所以$F = mg$。
根据题干中的描述，物体的质量$m$为10kg，重力加速度$g$为10m/s^2，代入公式可以计算出$F = 10 \times 10 =100$N，即物体所受的力为100N。
3. 答案：A解析：根据题干中的描述，物体从高处自由落下，意味着只有重力作用在物体上，没有其他力的干扰。
根据牛顿第二定律可以得到$F = ma$。
由于物体自由下落，加速度$a$等于重力加速度$g$，所以$F = mg$。
根据题干中的描述，物体的质量$m$为20kg，重力加速度$g$为10m/s^2，代入公式可以计算出$F = 20 \times 10 =200$N，即物体所受的力为200N。
二、填空题1. 答案：0.2s解析：根据题干中的描述，物体从高处自由落下，意味着只有重力作用在物体上，没有其他力的干扰。
根据自由落体运动的公式$h = \frac{1}{2}gt^2$，其中$h$为下落的高度，$g$为重力加速度，$t$为下落的时间。
根据题干中的描述，物体下落的高度$h$为2m，重力加速度$g$为10m/s^2，代入公式可以解得$t =\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2}{10}} = 0.2s$。
全国第37届中学生物理竞赛预赛试题与解答参考
全国第37届中学生物理竞赛预赛试题与解答参考一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个物理量是标量？A. 速度B. 力C. 加速度D. 位移解答答案：A解析：速度是一个有大小和方向的物理量，但通常我们只关注其大小，因此速度是标量。
2. 在自由落体运动中，物体的速度与时间之间的关系是？A. 成正比B. 成平方关系C. 成反比D. 无关解答答案：B解析：在自由落体运动中，物体的速度v与时间t之间的关系是v ∝ t^2，即成平方关系。
3. 一个物体做直线运动，当速度与加速度的方向相同时，物体的速度？A. 减小B. 增大C. 保持不变D. 无法确定解答答案：B解析：当速度与加速度的方向相同时，物体做加速运动，速度会增大。
4. 一个物体做匀速圆周运动，下列哪个物理量是不变的？A. 速度大小B. 速度方向C. 加速度大小D. 加速度方向解答答案：A解析：在匀速圆周运动中，速度大小保持不变，但速度方向时刻在变化。
5. 下列哪个现象可以用光的折射定律解释？A. 平面镜成像B. 水中物体看起来变浅C. 光在真空中的传播D. 影子的形成解答答案：B解析：光的折射定律可以解释光线从一种介质进入另一种介质时，光线方向发生改变的现象，如水中物体看起来变浅。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 在物理学中，将单位时间内物体通过的距离称为__________。
解答答案：速度7. 牛顿第二定律的表达式为__________。
解答答案：F = ma8. 真空中光速的大小约为__________。
解答答案：3 × 10^8 m/s9. 在平面镜成像实验中，像与物到镜面的距离__________。
解答答案：相等10. 一个物体做直线运动，当速度与加速度的方向相反时，物体的速度__________。
解答答案：减小三、计算题（每题10分，共30分）11. 一个物体从静止开始做直线运动，已知其加速度a = 2m/s^2，求物体在时间t = 5s内的速度和位移。
2020年第37届全国中学生物理竞赛预赛及复赛试题真题
第37届全国中学生物理竞赛预赛试题一、选择题1. 有两个同样的梯子，其顶部用活页连在一起，在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住，便形成了人字梯。
如图所示，将两个同样的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的绳更长一些。
当某人先、后站在甲、乙两梯顶端时，下述说法正确的是（）A. 甲梯所受地面的支持力一定较大B. 甲、乙两梯所受地面的支持力一定相等C. 绳子被张紧时，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D. 绳子被张紧时，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小2. 某飞机（见图a）起落架结构如简图b所示。
当驱动杆甲转动时，通过杆上螺纹带动连杆乙，实现轮子的收放。
忽略空气对轮子的阻力。
不考虑地球自转。
下述说法正确的是（）A. 飞机在着陆瞬间，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向下B. 飞机在着陆瞬间，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向上C. 飞机沿直线匀速飞行时，连杆乙、丙对轮轴的合力竖直向上D. 轮子受到的重力与连杆乙、丙对轮轴的合力是一对作用力与反作用力3. 某电动汽车自重2.0 t，其电池额定容量为50kWh。
车行驶时受到的阻力约为车重的十分之一。
电池瞬时功率最高可达90kW，理论续航里程为400km。
国家电网的充电桩可在电池额定容量的30%~80%范围内应用快充技术（500V，50A）充电，而便携充电器(220V，16A)可将电池容量从零充至100%；不计充电电源的内阻。
当汽车电池剩余电量为其额定值的30%时，下列说法正确的是A. 汽车至少还能行驶130kmB. 用国家电网充电桩将电池容量充至其额定值的80%，理论上需要40minC. 用便携充电器将电池电量充至其额定值的80%，理论上需要7h以上D. 此电动汽车的最高行驶速度可超过130 km/ht 4. 甲、乙两车在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行驶，甲车在前，乙车在后，两车距离100m。
从0时起，甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示。
取运动方向为正方向，下面说法正确的是（）A. t = 3s时刻两车距离最近B. t = 9s时刻两车距离为100mC. 3~9s内乙车做匀减速运动D. t = 9s时刻乙车速度为零5. 在生产纺织品、纸张等绝缘材料过程中，为了实时监控材料的厚度，生产流水线上设置如图所示的传感器，其中甲、乙为平行板电容器的上、下两个固定极板，分别接在恒压直流电源的两极上。
第37届全国中学生物理竞赛复赛试题解答
第37届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答（2020年9月19日9:00-12:00）一、（1）依题意，空气弹簧主气室对簧上负载竖直向上的作用力为10e ()F p p A =- ① 式中，1p 是主气室内空气的压强。
当空气弹簧承受的负载发生变化时，主气室内气体的压强1p 和体积1V 均会发生变化。
为了统一处理题给的两种情形，考虑气体压强和体积变化的过程方程为11np V =常量 ②式中，n 是常数。
①式左右两边对空气弹簧承载面的竖直位移y 微商，可知空气弹簧的劲度系数K 满足e 110e ()dA dF dpK p p A dy dy dy≡=-+ ③ ②式左右两边对y 微商得1111110n n dp dVkp V dy dy -+= ④ 由题意知，空气弹簧主气室内体积1V 和有效承载面积e A 相对于平衡位置的竖直位移的变化率为e 1, dAdV dy dyαβ=-= ⑤ 联立①③④⑤式得，空气弹簧的劲度系数K 与其有效承载面积e A 之间的关系为101010100111n n e k kp V V K A p p V V αβ+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⑥在高铁上下乘客的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足等温过程1n = ⑦ 由⑥⑦式得101010100211e p V V K A p p V V αβ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⑧ 在列车运行中遇到强烈颠簸的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程n γ= ⑨ 式中，γ是空气的定压摩尔热容p C 与定容摩尔热容V C 之比772552p V V VR C C R C C R γ+==== ⑩由⑥⑨式得7/57/510101010012/51175e p V V K A p p V V αβ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⑪（2）主气室连通附加气室后，如果车辆振动频率较低，例如情形i ），空气弹簧变形较慢，可认为在任意瞬间，空气弹簧主气室的压强与附加气室的压强相同，两气室间的压强差可视为零。
第37届全国中学生物理竞赛复赛试题解析,附试卷及答案
总评这套题作为复赛题的难度还是比较大的。
从这套题我们大概可以看出来，计算量增大、基础知识向大学普通物理靠拢（甚至直接用普通物理作为最底层的基础）、微积分作为最基本的数学工具、题目模型直接采用现实科研前沿模型已经成为物理竞赛的趋势。
这一套题从题型、模型新颖程度、计算量和阅读分析能力上来看逐渐向国际比赛的风格靠拢，是一套非常优秀的考题（虽然对于基础不扎实的考生来说并不友好）。
第一题热学题，采用了现实生活中的装置作为模型，比较考验抽象出模型的能力。
该题计算量较大，加上需要自己理解模型，对于未经过此类建模计算题目训练的同学难度较大。
较有区分度。
第二题这套卷子为数不多的较为常规的题目。
第一问考察刚体的动力学，第二题运动学分析。
考查基础知识，对刚体力学基础扎实的同学来说应该不难。
但要注意计算的仔细程度，第二问的运动学量矢量运算稍显复杂。
第三题考察交流电路系统。
需要对交流电路的微分方程有一个扎实的基础知识。
虽然这道题给出了解的形式降低了一部分难度，但是具体的计算量还是较大的。
对于理解谐振系统的解的物理意义的要求也很高。
同时交流电也是一个冷门考点，如果考生在备赛的时候忽略了这一部分知识的复习，那么这道题拿到高分的希望渺茫。
第四题基础的高能粒子物理题目。
回旋加速器应该是很常见的模型，具体原理应该要求考生掌握。
这套卷子中的常规送分题目，要把握好。
第五题相对论题目，内容比较基础，但涉及到繁杂的参照系变换。
对于在平时学习中弄不清参照系变换的考生有极大的考验。
并且由于过程繁杂，这道题对考生的细心程度和阅读理解能力造成了了不小的考验。
第六题光学题，并且和相对论结合。
这道题的模型和科研前沿结合较为紧密，并考察了光在介质中的传播的相对论变换。
计算量相对不大，但对于平时只练习常规题目的考生来说是个很大的挑战。
第七题引力波。
这直接用了近年来的科研最前沿的模型。
但冷静分析后在这道题里面引力波只是一个“能量损失的原因”，并不需要分析引力波的具体物理机制。
2020年第37届全国中学生物理竞赛决赛实验试题 含评分标准
实验数据记录 6 分
螺旋测微器零点误差： d0 = 0.002mm
次数
30T 时间（ s ）
1
2
3
4
5
6
2．带摆线的铝球一个（质量 m =11.346g 、电导率 = 3.767107S / m ）；带摆线的待测金属球一个 （质量 m = 35.112g ）。
3．螺旋测微器一把、卷尺一个，多通道计时秒表一个（使用方法详见“秒表使用说明书”）。 4．钕铁硼永磁铁一块。注意：磁铁为易碎物品，使用中请勿掉落地面。 5．秒表盒一个、泡沫板几块和扑克一副（可用于垫高磁铁）。 6．一次性口罩一个。 【实验注意事项】 1．摆球的悬线较细，测量过程中不能用力拉扯摆线。 2．摆球与悬线使用胶粘合，使用过程中不能人为拉扯，轻拿轻放，人为情况导致的球线分离不能更换 摆球。 3．不得在摆线等仪器上做任何标记。 4．使用钕铁硼永磁铁时，请小心轻放，以免损坏，影响后续实验测量。 5．实验结束，必须将仪器设备整理为初始状态。 6．实验过程中全程高清视频监控，任何恶意损坏实验伩器等不当行为将每次扣 15 分。 7．测量过程中请佩戴口罩，空气的流动对测量结果有影响。 【基础知识】 1．线性阻尼振动
实验数据处理 1 分
( ) 根据算术平均值的不确定度公式N =
n i =1
Ni − N
2
求解各测量物理量的不确定度得：
n(n −1)
= 0.014s ； 30T
= 0.1mm ； l1
d
= 0.001mm ；
全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案
全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g .参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量ϕv 及经线切向分量θv . 设滑块质量为m ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O 的连线与水平方向的夹角为θ. 由机械能守恒得2220111sin 222m mgR m m ϕθθ=-++v v v (1) 这里已取球心O 处为重力势能零点. 以过O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cos m R m R ϕθ=v v . (2)由 (1) 式，最大速率应与θ的最大值相对应max max ()θ=v v . (3)而由 (2) 式，q 不可能达到π2. 由(1)和(2)式，q 的最大值应与0θ=v 相对应，即max ()0θθ=v . (4)[(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得22202sin tan 0gR θθθ-=≥v v .若sin 0θ≠，由上式得220sin 2cos gRθθ≤v .实际上，sin =0θ也满足上式。
由上式可知max 22max 0sin 2cos gRθθ=v .由(3)式有222max max 0max ()2sin tan 0gR θθθθ=-=v v . (4’)将max ()0θθ=v 代入式(1)，并与式(2)联立，得()2220max max max sin 2sin 1sin 0gR θθθ--=v . (5)以max sin θ为未知量，方程(5)的一个根是sin q =0，即q =0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解. 于是max sin 0θ≠. 约去max sin θ，方程(5)变为22max 0max 2sin sin 20gR gR θθ+-=v . (6)其解为20maxsin 14gR θ⎫=-⎪⎪⎭v . (7)注意到本题中sin 0θ≥，方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1)式得，当max θθ=时，(22012ϕ=v v ,(8) 考虑到(4)式有max ==v评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式1分，(4) 式3分， (5) 式1分，(6) 式1分，(7) 式1分， (9) 式2分.二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处.1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.参考解答：1. 由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A 、C 、D 的速度分别为A v 、C v 、D v ，显然有D C2l r =v v . (1)以A 、B 、C 、D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒D C A 0222m l m r m l m l ++=v v v v . (2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间t ∆很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故2222D C A 011112222m m m m ++=v v v v . (3) 由 (1)、(2)、(3) 式解得2200022222248,,888C D A lr l r l r l r l r===-+++v v v v v v (4)[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点0D A =-v v v . (3’) 同样可解出(4). ]设碰撞过程中D 对A 的作用力为1F '，对A 用动量定理有221A 0022428l r F t m m m l r+'∆=-=-+v v v ,(5)方向与0v 方向相反. 于是，A 对D 的作用力为1F 的冲量为221022428l r F t m l r+∆=+v (6)方向与0v 方向相同.以B 、C 、D 为系统，设其质心离转轴的距离为x ，则22(2)2mr m l l r x m αα++==++. (7)质心在碰后瞬间的速度为C 0224(2)(2)(8)l l r x r l r α+==++v v v . (8) 轴与杆的作用时间也为t ∆，设轴对杆的作用力为2F ，由质心运动定理有()210224(2)28l l r F t F t m m l rα+∆+∆=+=+v v . (9) 由此得2022(2)28r l r F t m l r-∆=+v . (10) 方向与0v 方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为2022(2)28r l r F t m l r -'∆=-+v ,(11) 方向与0v 方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理21C D F t F t m m ∆+∆=+v v . ][也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C 以速度02248C lrl r =+v v 绕过B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即()222C 022216(8)l r k r m m r l r -==+v v(12) 则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件0=v (13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A 的速度大小0v 应满足(13)式.评分标准：本题20分.第1问16分，(1)式1分， (2) 式2分，(3) 式2分，(4) 式2分， (5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分，(9) 式2分，(10) 式1分，(11) 式1分； 第2问4分，(12) 式2分，(13) 式2分.三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令mLλ=表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω=式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值.2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值.3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g .提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为d (())d d d d d Y X t Y Xt X t=例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为dcos ()dcos d d d d t t tθθθθ=参考解答：1. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其动能是独立变量λ、ω和L 的函数，按题意 可表示为k E k L αβγλω= (1)式中，k 为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[]L 、[]M 和[]T （它们可视为相互独立的基本单位），则λ、ω、L 和k E 的单位分别为 1122[][][],[][],[][],[][][][]k M L T L L E M L T λω---==== (2)在一般情形下，若[]q 表示物理量q 的单位，则物理量q 可写为 ()[]q q q = (3)式中，()q 表示物理量q 在取单位[]q 时的数值. 这样，(1) 式可写为 ()[]()()()[][][]k k E E k L L αβγαβγλωλω= (4)在由(2)表示的同一单位制下，上式即()()()()k E k L αβγλω= (5) [][][][]k E L αβγλω= (6)将 (2)中第四 式代入 (6) 式得22[][][][][][]M L T M L T αγαβ---= (7)(2)式并未规定基本单位[]L 、[]M 和[]T 的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[]L 、[]M 和[]T 均成立，于是1,2,3αβγ=== (8)所以23k E k L λω= (9)2. 由题意，杆的动能为,c ,r k k k E E E =+ (10)其中， 22,cc 11()222k L E m L λω⎛⎫== ⎪⎝⎭v (11) 注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为2L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能,r k E 为 32,r2(,,)222k k L L E E k λωλω⎛⎫== ⎪⎝⎭(12)将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得2323212222L L k L L k λωλωλω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(13)由此解得16k = (14)于是E k =16lw 2L 3. (15)3. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒sin 2k L E mg θ⎛⎫= ⎪⎝⎭(16) 由(15)、(16)式得w =以在杆上距O 点为r 处的横截面外侧长为()L r -的那一段为研究对象，该段质量为()L r λ-，其质心速度为22c L r L rr ωω-+⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭v . (18) 设另一段对该段的切向力为T (以θ增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为N (以指向O 点方向为正向)，由质心运动定理得()()cos t T L r g L r a λθλ+-=- (19) ()()sin n N L r g L r a λθλ--=- (20)式中，t a 为质心的切向加速度的大小()3cos d d d d d 2d 2d dt 4ct L r g L r L r a t t Lθωωθθ+'++====v (21) 而n a 为质心的法向加速度的大小()23sin 22n L r g L r a Lθω++==. (22) 由(19)、(20)、(21)、(22)式解得 ()()23cos 4L r r L T mg L θ--= (23)()()253sin 2L r L r N mg L θ-+=(24)评分标准：本题25分.第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .参考解答：设在某一时刻球壳形容器的电量为Q . 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G 出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有2122Qq Qqmgh km mgR kh R R+=++-v . (1) 式中，v 为液滴在容器口的速率，k 是静电力常量. 由此得液滴的动能为 21(2)(2)2()Qq h R m mg h R kh R R-=---v . (2) 从上式可以看出，随着容器电量Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率v 不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为max Q ，则有 max (2)(2)0()Q q h R mg h R kh R R---=-. (3)由此得 max ()mg h R RQ kq-=. (4)容器的最高电势为maxmax Q V kR= (5) 由(4) 和 (5)式得 max ()mg h R V q-=(6) 评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz =±的平面内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B ，方向沿x 轴负方向，如图所示.1. 在电容器参考系S 中只存在磁场；而在以沿y 轴正方向的恒定速度(0,,0)v （这里(0,,0)v 表示为沿x 、y 、z 轴正方向的速度分量分别为0、v 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S '中，可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''. 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S '中电场(,,)xy z E E E '''和磁场(,,)x y z B B B '''的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2. 现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v ，方向沿y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S '中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xy z E E E '''中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xy z E E E '''，而是0(,,)xy z E E E εε'''，这里0ε是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S 中电场不再为零. 试求电容器参考系S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用0ε、ε、v 、B 或（和）d 表出. ）参考解答：1. 一个带电量为q 的点电荷在电容器参考系S 中的速度为(,,)x y z u u u ，在运动的参考系S '中的速度为(,,)x y z u u u '''. 在参考系S 中只存在磁场(,,)(,0,0)x y z B B B B =-，因此这个点电荷在参考系S 中所受磁场的作用力为0,,x y z z y F F qu B F qu B==-= (1) 在参考系S '中可能既有电场(,,)xy z E E E '''又有磁场(,,)x y z B B B '''，因此点电荷q 在S '参考系中所受电场和磁场的作用力的合力为(),(),()x x y z z y y yx z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B '''''''=+-'''''''=-+'''''''=+-(2) 两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为 ,(,,)(,,),(,,)(,,)(0,,0)x y z x y z x y z x y z q q F F F F F F u u u u u u '='''='''=-v (3)由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足 ()0,,()xy z z y yx z z x z z x yy x y E u B u B E u B u B u B E u B u B u B '''+--='''-+=-'''+--=v v (4)它们对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故(,,)(0,0,),(,,)(,0,0)xy z xy z E E E B B B B B '''='''=-v (5)可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S '中却出现了沿z 方向的匀强电场.2. 现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,,0)v 匀速运动. 电容器参考系S 中的磁场会在液体参考系S '中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为(,,)(0,0,)xy z E E E B εε'''=v . (6) 为了求出电容器参考系S 中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S '中的电场和磁场来确定电容器参考系S 中的电场和磁场. 考虑一带电量为q 的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系S '中，这力(,,)x y z F F F '''如(2)式所示. 它在电容器参考系S 中的形式为(),(),()x x y z z y y y x z z x z z x y y x F q E u B u B F q E u B u B F q E u B u B =+-=-+=+-(7) 利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式，可得 00,,()x y z z y y x z z x z z x y y x y E u B u B E u B u B u B BE u B u B u B εε+-=-+=-+-=+-v v (8)对于任意的(,,)x y z u u u 都成立，故 0(,,)(0,0,(1)),(,,)(,0,0)x y z x y z E E E B B B B B εε=-=-v (9) 可见，在电容器参考系S 中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为z V E d =-. (10)由(9)式中第一式和(10)式得01V Bd εε⎛⎫=- ⎪⎝⎭v . (11)评分标准：本题25分.第1问12分， (1) 式1分， (2) 式3分， (3) 式3分，(4) 式3分，(5) 式2分；第2问13分， (6) 式1分，(7) 式3分，(8) 式3分， (9) 式2分， (10) 式2分，(11) 式2分.六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm 的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C ︒时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010-⨯/度和52.010-⨯/度. 当温度升高到120C ︒时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化. )参考解答：设弯成的圆弧半径为r ，金属片原长为l ，圆弧所对的圆心角为φ，钢和青铜的线膨胀系数分别为1α和2α，钢片和青铜片温度由120C T =︒升高到2120C T =︒时的伸长量分别为1l ∆和2l ∆. 对于钢片1()2dr l l φ-=+∆ (1)1121()l l T T α∆=- (2) 式中，0.20 mm d =. 对于青铜片2()2dr l l φ+=+∆ (3)2221()l l T T α∆=- (4) 联立以上各式得2122121212()()2.010 mm 2()()T T r d T T αααα++-==⨯-- (5)评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分.七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz 平面平行，上表面与yz 平面平行. 劈尖介质的折射率n 随x 而变化，()1n x bx =+，其中常数0b >. 一束波长为λ的单色平行光沿x 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z 方向平行、沿y 方向排列的透光狭缝，如图(b)所示. 入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x 轴垂直，透镜主光轴为x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于y =0处；物和像之间各光线的光程相等.1. 求其余各狭缝的y 坐标；2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a) 图(b) 参考解答：1. 考虑射到劈尖上某y 值处的光线，计算该光线由0x =到x h =之间的光程()y δ. 将该光线在介质中的光程记为1δ，在空气中的光程记为2δ. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在0x = 处，该处介质的折射率()01n =；射到x 处时，该处介质的折射率()1n x bx =+. 因折射率随x线性增加，光线从0x =处射到1x h =（1h 是劈尖上y 值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程1δ与光通过折射率等于平均折射率()()()1111110111222n n n h bh bh =+=++=+⎡⎤⎣⎦ (1) 的均匀介质的光程相同，即2111112nh h bh δ==+ (2)x忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有21h h δ=- (3)于是()212112y h bh δδδ=+=+. (4)由几何关系有1tan h y θ=. (5)故()22tan 2b y h y δθ=+. (6)从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x 轴，狭缝的y 值应与对应介质的y 值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处. 对于0y =处，由上式得d 0()=h . (7)y 处与0y =处的光线的光程差为()()220tan 2b y y δδθ-=. (8)由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即22tan ,1,2,3,2b y k k θλ==. (9)由此得y A θθ===. (10) 除了位于y =0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y 坐标依次为,,,,A . (11)2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取,4,9,k m m m =，其中m 为任意正整数，则49,,,m m m y y y ===. (12)，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为e m ，真空中的光速为 c . 若能量为e E 的电子与能量为E γ的光子相向对碰，1. 求散射后光子的能量；2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为2.00 eV ，电子能量为 1.00´109 eV ，求散射后光子的能量. 已知 m e =0.511´106 eV /c 2. 计算中有必要时可利用近似：如果1x <<»1-12x .参考解答：1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为e p （0e p >）、p γ（0p γ<），碰撞后电子、光子的能量、动量分别为,,,ee E p E p γγ''''. 由能量守恒有 E e +E g =¢E e +¢E g . (1)由动量守恒有cos cos ,sin sin .e eep p p p p p γγγαθαθ''+=+''=. (2)式中，α和θ分别是散射后的电子和光子相对于碰撞前电子的夹角. 光子的能量和动量满足E g =p g c ,¢E g =¢p g c . (3)电子的能量和动量满足22224e e e E p c m c -=，22224e e e E p c m c ''-= (4)由(1)、(2)、(3)、(4)式解得e E E E γγ'=[由(2)式得22222()2()cos ee e p c p c p c p c p c p c p c γγγγθ'''=++-+此即动量p '、ep '和e p p γ+满足三角形法则. 将(3)、(4)式代入上式，并利用(1)式，得 22(2)()22cos 2e e e E E E E E E E E E E E γγγγγγγγθθ''+-+=+--此即(5)式. ]当0θ→时有e E E E γγ'=(6)2. 为使能量从电子转移到光子，要求¢E g >E g . 由(5)式可见，需有E E γγ'-=>此即E γ 或 e p p γ>(7)注意已设p e >0、p g <0.3. 由于2e e E m c >>和e E E γ>>，因而e p p p γγ+>>，由(5)式可知p p γγ'>>，因此有0θ≈. 又242e e em cE E -. (8)将(8)式代入(6)式得¢E g »2E e E g2E g +m e 2c 42E e. (9) 代入数据，得¢E g »29.7´106eV . (10)评分标准：本题20分.第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 或(6)式2分； 第2问5分，(7) 式5分；第3问5分，(8) 式2分， (9) 式1分， (10) 式2分.。
2020年第37届全国中学生物理竞赛决赛理论试题答案详解
第37届全国中学生物理竞赛决赛理论试题1. 我国大科学装置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它在诸多领域有广泛的应用。
历史上，查德威克在1932年首次确认了中子的存在并测出了它的质量；哈恩等人在1939年发现用中子轰击铀原子核可使其分裂，同时放出中子，引发链式反应。
为了使链式反应能够持续可控地进行，可通过弹性碰撞使铀核放出的中子慢化。
不考虑相对论效应。
(1)查德威克用中子（质量为m ）轰击质量为1m 的静止靶核（氢核H 或氮核14N ，质量为H m 或H 14m ）。
观察它们的运动。
设靶核的出射动量与入射中子的初动量之间的夹角为α，试导出此时靶核的出射速率1v 和中子的末速率v 分别与中子初速率0v 之间的关系。
该实验测得氢核的最大出射速率为73.3010m/s ⨯，氮核的最大出射速率为64.7010m/s ⨯，求m 和0v 的值。
(2)在上述实验中一个氮核也可能受到一束中子的连续撞击。
假设氮核开始时是静止的，每次与之相碰的中子的速率都是0v ，碰撞都使得氮核速率的增量最大。
试计算经过多少次碰撞后氮核的动能与中子的初动能近似相等？(3)设经过多次碰撞被减速的中子处于热平衡状态，其速率满足麦克斯韦分布223/22B ()4()2B Bmv k T m f v v e Tk ππ-=这里B k 为玻尔兹曼常量，T 为系统的绝对温度。
试计算在热平衡时，中子的最概然速率所对应的动能和最概然动能。
【答案】(1)2222220111012cos m v m v mm v v m v α+-=，H 1.1m ，73.0710m/s ⨯；(2)2；(3)B k T ，B 12k T 2. 当电场中两个导体球靠近时，导体球之间电场将明显增强。
本题试探讨这一现象。
已知真空介电常量为0ε。
(1)设一个半径为0R 的孤立导体球的球心与一个静止点电荷Q 相距为()0a a R >，求镜像电荷的电量及其位置。
(2)设导体球置于大小为0E 的匀强外电场中，该外加电场可看作是由两个相距很远的等量异号点电荷Q ±在其连线中点处产生的。
37届物理竞赛决赛试题
37届物理竞赛决赛试题题目一题目描述：一物理竞赛参赛队员做实验测量得到原子质量 m 和电子质量 e 的数值，但不知道究竟是测量的原子质量还是电子质量。
现在他用测得的数值计算氢原子中电子的平均速率，结构式为 Mhz+，其中 M 为原子符号，z 为电荷数。
结果为 v。
证明得到的结果只能是 Mz+，也就是只能确定电子质量 e，不能确定原子质量 m。
解答：首先，根据经典电磁学理论，原子质量和电子质量之间的比值可以用电离加速能够测量。
假设原子质量为 m，电子质量为 e，则电离能为 E = z2e2/[(4πε0)a]，其中 z 为电荷数，a 为原子半径。
根据电离能和原子半径的关系，可以得到原子质量与电子质量的比值为：m/e = [(4πε0)aE]/(z2e2)然而，在实验中，我们只是测得了实验值 v，我们需要证明 v 只能确定电子质量 e，不能确定原子质量 m。
接下来，我们分两种情况讨论：情况一：假设我们实验测量的是电子质量 e，那么通过计算我们可以得到氢原子中电子的平均速率为v = e2/(4πε0a)。
由此可得：e = √[(4πε0)a*v]这样，我们可以通过实验测量值 v 来确定电子质量 e。
情况二：假设我们实验测量的是原子质量 m，那么通过计算我们可以得到氢原子中电子的平均速率为v = (m/z)e2/(4πε0)a。
由此可得：m = v/[(e2/(4πε0)a)]*z这样，当我们实验测量值 v 和电荷数 z 都确定时，就能通过实验测量值 v 来确定原子质量 m。
由上述分析可得，由于我们在实验中只测量到了实验值v，无法确定电荷数z，因此我们无法确定是测量的原子质量 m 还是电子质量 e。
因此，根据题目描述，可以证明得到的结果只能是 Mz+，也就是只能确定电子质量 e，不能确定原子质量 m。
题目二题目描述：将一个半径为 R 的均质园盘铣成一个半径为 R/2 的均质圆盘。
已知铣削时的摩擦系数为μ，求摩擦力在铣削过程中的总功。
2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题答案详解
B点在时刻t′的位置为
⒃
⒄
这里，以B点在t'=0的位置为坐标原点，x轴与P同向，y轴正向竖直向上。⒃⒄式两边对时间求导得，B点速度分量为
B点速度的大小为
⒅
设B点速度的方向与水平方向的夹角为 ，则
故
⒆
将B点速度分量对时间求导得，B点的加速度分量为
加速度大小为
⒇
方向指向母球球心C。
3.负微分电阻效应是指某些电路或电子元件（如隧道二极管）在特定的电压范围内其电流随端电压增加而减少的特性，该效应可在电路中维持高频振荡并输出放大的交流信号。在图所示的简化电路中，D为一隧道二极管，其左侧由一定值电阻R、一电感L和一电容C串联组成，回路交流电流记为i（t）；其右侧由一理想的高频扼流圈RFC（直流电阻为零，完全阻断交流信号）和一理想恒压直流电源V0组成，回路直流电流记为I（1>>|（t）|），已标示电流正方向。D始终处在特定电压范围内，这时其电阻值为-R0（R|>0，且为一定值）。
(1)某时刻，飞行器甲向乙发射一个光信号，乙收到该信号后立即将其反射回甲。据甲上的原子钟读数，该光信号从发出到返回共经历了时间（Δt光信号）甲=T。试求分别从惯性系 和乙上的观测者来看，光信号从甲发出到返回甲，所经历的时间各是多少？从甲上的观测者来看，从甲收到返回的光信号到甲追上乙需要多少时间？
(2)当飞行器甲和丙在惯性系S中相距最近时，从甲发射一个小货物（质量远小于飞行器的质量，尺寸可忽略），小货物在惯性系 中的速度大小为 。为了让丙能接收到该货物，从甲上的观测者来看，该货物发射速度的大小和方向是多少？从乙上的观测者来看，货物从甲发射到被丙接收所需时间（Δt货）乙是多少？
振荡频率
(4)若要使得隧道二极管上交流部分的平均最大，同时以要确保隧道二极管始终工作在负电阻区域，则须使隧道二极道上的直流偏置电压处在工作电压范围的中间位置