数字信号处理作业-答案

7.若 为一个 点序列，而 为其 点离散傅里叶变换，证明：
，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）
8.长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换 ，如图所示。长度为16的一个新的序列 定义为：
，试画出相当于 的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）
9.令 表示z变换为 的无限时宽序列，而 表示长度为N的有限时宽序列，其N点离散傅立叶变换用 表示。如果 和 有如下关系：
数字信号处理
DFT
1.如果 是一个周期为 的周期序列，那么它也是周期为 的周期序列。把 看作周期为 的周期序列，令 表示 的离散傅里叶级数之系数，再把 看作周期为 的周期序列，再令 表示 的离散傅里叶级数之系数。当然， 是周期性的，周期为 ，而 也是周期性的，周期为 。试利用 确定 。（76-4）
2.研究两个周期序列 和 。 具有周期 ,而 具有周期 。序列 定义为 。
（a） 的离散傅立叶变换是否等于Re[ ]？
（b）试求出以 表示的Re[ ]的离散傅立叶反变换。（228-15）
3． 研究一个长度N的有限时宽实序列（即n<0,n N时， =0），此处N为奇数。用 表示 的M点的离散傅立叶变换，因此
令 表示 的实部。
（a）试利用N来求能使 唯一确定 的最小M值（M=1,2除外）。
，
试利用 和 求 。（198-10）
3.研究一个有限长度序列 ，并且 和 时， 。假设我们想要计算在 平面内下列各点上 的 变换之取样：
， ，式中 。试详细说出一种计算这些点上的 的有效方法。（199页-11）
4.研究一个长度为 的有限时宽序列 ，并且 和 时， 。我们希望计算 变换 在单位圆上 个等间隔点上的取样，即在 ， 上的取样，试找出对下列情况只用一个 点离散傅里叶变换就能计算 的 个取样的方法，并证明之。
4.欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
5.令 表示 点序列 的 点离散傅里叶变换
(a）证明如果 满足关系式： ，则 。
(b）证明当 为偶数时，如果 ，则 。（80-14）
6.令 表示 点序列 的 点离散傅里叶变换， 本身也是一个 点序列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。（82-15）
xr(n)=
试求X(ejω)的实部和虚部。
5．令H[]表示理想希尔伯特变换运算，即
a.证明 是周期性的，周期为 。
b.由于 的周期为 ，其离散傅里叶级数之系数 的周期也是 。类似地，由于 的周期为 ，其离散傅里叶级数之系数 的周期也是 。 的离散傅里叶级数之系数 的周期为 。试利用 和 求 。（76-5）
3.计算下列各有限长度序列DFT（假设长度为N）:
a.
b．
c． （78-7）
a) ;
b)
c) a)和b)两者都行；
d) a)和b)都不行，即线性调频z变换不能计算 在z为实数时的取样。（203-15）
Hi
1．令 为 的一个实因果序列，已知 的 变换为
上式为变量 的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。[收敛区域包括点z= ，事实上， ]。我们说 是解析（在其收敛区域内）的，表示对X加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据 的实部确定 ，条件是 为有限值的实因果序列。
（a）
（b） （200-12）
5. 表示长度为10的有限时宽序列 的傅里叶变换，我们希望计算 在频率 时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性：
(a)直接利用10点快速傅里叶变换算法。
(b)利用线性调频 变换算法。（201-13）
6.在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z变换可以用来计算一个有限时宽序列 在z平面实z轴上诸点 的z变换 ，使
12.研究两个 时等于零的有限时宽序列 和 ，且
，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变换，令 表示它的离散傅里叶反变换，指出 的哪些点相当于 与 线性卷积中的点。（96-26）
FFT
1.假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：
，试指出如何用此程序来计算如下反变换：
（193-8）
2.在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本题中讨论了两种减少计算量的途径：
令 为实（有限值的）因果序列，其z变换为：
式中： 和 是z的实函数。
假设 时， 给定为
（ 为实数）
假设除了z=0外， 处处解析，试求 并表示成z的显函数。
（建议用时域法解此题）（214-4）
2．序列 的偶部定义为： ，假设 是一个有限时宽实序列，定义为 和 时， 。令 表示为 的 点的离散傅立叶变换。
（b）如果M满足（a）中所确定的条件，则 可以表示为 和序列 的循环卷积。请确定 。（228-16）
4．研究一个复序列x（n），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z变换X(z)在单位圆的下半部分为零。即，π≤ω≤2π时，X(ejω)=0. x(n)的实部为
式中 。试求 和 之间的关系。（93-22）
10.令 表示序列 的傅里叶变换，并令 表示长度为10的一个有限时宽序列，即 时， ， 时， ， 的10点离散傅里叶变换用 表示，它相当于 的10个等间隔取样，即 ，试求 （94-23）
11.讨论一个长度为 的有限时宽序列 ， 和 时， ，我们要求计算其 变换 在单位圆的 个等间隔点上的取样。取样数 小于序列的时宽 ；即 ，试求一种得到 的 个取样的方法，它只要计算一次 点序列（这个序列是由 得来的）的 点离散傅里叶变换。（96-25）
a.研究两个分别具有离散傅里叶变换 和 的实序列 和 ，令 为一个复序列， ， 为其离散傅里叶变换。令 、 、 、 分别表示 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用 、 、 和 表示 和 。
b.假设 是一个 点的实序列，且Байду номын сангаас可以被2整除，令 和 为两个 点序列，其定义为：