电磁场与电磁波总结---期末复习用

电磁场与电磁波总结

第一章

一、矢量代数 A ∙B =AB cos θ

A B

⨯=

AB

e AB sin θ A ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )

()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯

二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l

e e e d x y z

矢量面元=++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y

2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ

体积元dz d d dV

ϕρρ=

单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z

z z ρϕϕρ

ρϕ

3. 球坐标系

矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元ϕθθd drd r dV

sin 2=

单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r

r θϕ

θϕϕθ

三、矢量场的散度和旋度

1. 通量与散度

=⋅⎰

A S S

d Φ 0

lim

∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S

v d div v

2. 环流量与旋度

=⋅⎰A l l d Γ max

n

rot =lim

∆→⋅∆⎰A l A e l

S d S

3. 计算公式

∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A y x z

A A A x y z

11()z

A A A z

ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A 22111()(s i n )s i n s i n ∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ

θ

θθθθϕ

x

y z ∂

∂∂∇⨯=

∂∂∂e e e A x y z

x y z A A A

1z z

z A A A ρϕρϕρρϕρ∂

∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A

2

1sin sin r

r z

r r

A r A r A ρϕθθθϕθ∂

∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A

4. 矢量场的高斯定理（散度定理）与斯托克斯定理

⋅=∇⋅⎰⎰

A S A S

V

d dV

⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S l

S

d d

四、标量场的梯度

1. 方向导数与梯度 标量函数u 的梯度是矢量，其方向为u 变化率最大的方向

00()()lim

∆→-∂=∂∆l P u M u M u

l

l

cos cos cos ∂∂∂∂=

++∂∂∂∂P u

u u u

l

x y z

αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂=

=+∂∂∂∂e e e +e n x y z

u u u u

u n x y z

2. 计算公式

∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x

y z u u u

u x y z

1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u

u z

ρ

ϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r

u u u

u r r r z

θϕ

θθ 五、无散场与无旋场

1. 无散场

()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A A 为无散场F 的矢量位 2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u -u =∇F u 为无旋场F 的标量位

六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系

2222

2222222

2222222222

22

222222222

∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z

y y y x x x z z z x y z u u u u A A A x y z

A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z

，，

2. 圆柱坐标系

222

222

2222

2222

111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝

⎭A e e e z z u u u

u z A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕ

ρρϕρρϕ

3. 球坐标系

22

222222

111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u

u r r r r r r θθθϕθϕ