湖南数学学考真题(2009-2017)

2017年湖南省普通高中学业水平考试数学（真题）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（ ） A 、正方体 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、球2.已知集合A={}1,0,B={}2,1,则B A ⋃中元素的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43.已知向量a =(x,1),b =(4，2)，c =(6,3).若c=a+b ,则x=( ) A 、-10 B 、10 C 、-2 D 、24.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输出的y=（ ） A 、-2 B 、0 C 、2 D 、45.在等差数列{}n a 中，已知1121=+a a ，163=a ，则公差d=（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、76.既在函数21)(x x f =的图像上，又在函数1)(-=x x g 的图像上的点是（ ）A 、（0，0）B 、（1，1）C 、（2，21） D 、（21，2） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则直线CD 跟平面BEF 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、在平面内 C 、相交但不垂直 D 、相交且垂直8.已知),0(,sin 2sin π∈∂∂=∂，则∂cos =（ ） A 、23- B 、21- C 、21D 、23 9.已知4log ,1,21log 22===c b a ，则（ ）A 、c b a <<B 、c a b <<C 、b a c <<D 、a b c <<（图1）俯视图侧视图正视图图3BD图2结束输出yy=2+xy=2-x x ≥0?输入x开始10、如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）A 、54B 、53C 、21D 、52二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. 已知函数R x x x f ∈=,cos )(ω（其中0>ω）的最小正周期为π，则=ω12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13. 在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,1sin =C ,则AB C ∆的面积为 。

14. 已知点A （1，m ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围为 。

15. 已知圆柱1OO 及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共有5小题，共40分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分6分）已知定义在区间[]ππ，-上的函数x x f sin )(=的部分函数图象如图所示。

（1）将函数)(x f 的图像补充完整； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间.图417. （本小题满分8分）已知数列{}n a 满足)(3*1N n a a n n ∈=+，且62=a . （1）求1a 及n a ；（2）设2-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分8分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的两人来自同一组的概率.、19. （本小题满分8分）已知函数⎩⎨⎧≥+-<=.0,)1(2,0,2)(2x m x x x f x （1）若m= -1,求)0(f 和)1(f 的值，并判断函数)(x f 在区间（0，1）内是否有零点； （2）若函数)(x f 的值域为[-2,∞+),求实数m 的值.20. （本小题满分10分）已知O 为坐标原点，点P （1，2）在圆M ：014-22=+++ay x y x 上， （1）求实数a 的值；（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；（3）过点O 作互相垂直的直线21,l l ，1l 与圆M 交于A,B 两点，2l 与圆M 交于C,D 两点，求CD AB •的最大值.2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 图1是某圆柱的直观图，则其正视图是A ．三角形B ．梯形C ．矩形D ．圆 2. 函数cos ,y x x R =∈ 的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 3. 函数()21f x x =- 的零点为A ．2B ．12 C ．12- D ．2- 4. 执行如图2所示的程序框图，若输入a, b 分别为4, 3， 则输出的S =A ．7B ．8C ．10D ．12 5. 已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<< ， 则MN =A ．{|12}x x <<B ．{|35}x x <<C ．{|23}x x <<D ．φ6. 已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω ，则下列坐标对应的点落在区域Ω内 的是A ．(1,1)B ．(3,1)--C ．(0,5)D ．(5,1) 7. 已知向量(1,)a m =，(3,1)b =， 若a b ⊥，则m =A ．3-B ．1-C ．1D ．38. 已知函数()y x x a =- 的图象如图3所示，则不等式()0x x a -<的解集为A ．{|02}x x ≤≤B ．{|02}x x <<C ．{|0x x ≤或2}x ≥D ．{|0x x <或2}x >9. 已知两直线20x y -=和30x y +-= 的交点为M ， 则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是A ．22(1)(2)1x y +++= B ．22(1)(2)1x y -+-= C ．22(2)(1)1x y +++= D ．22(2)(1)1x y -+-=10. 某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t)进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图4），由此可以估计该社区居民月均用水量在[4,6) 的住户数为A ．50B ．80C ．120D ．150二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分. 11. 若sin 5cos αα=，则tan α=____________.12. 已知直线1:320l x y -+= ，2:10l mx y -+=. 若12//l l ，则m =________.13. 已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α= ________.14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若2a =，3b =，1cos 4C =-，则c =_______. 15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为0.6751y x =+ . 由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分)从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球. （1）用球的标号列出所有可能的取出结果； （2）求取出的2个球都是红球的概率.17. (本小题满分8分)已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈ . （1）求()4f π的值；（2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合.18. (本小题满分8分)已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += . （1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 求数列{}n n a b +的前n 项的和n S .19. (本小题满分8分)如图5，四棱锥P ABCD - 的底面是边长为2的菱形，PD ⊥ 底面ABCD . （1）求证：AC ⊥ 平面PBD ；（2）若2PD = ，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45 ，求四棱锥P ABCD -的体积.20. (本小题满分10分)已知函数()log a f x x = (0a >，且1a ≠ )，且(3)1f = . (1) 求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；(2) 设()(1)(1)g x f x f x =+-- ，判断()g x 的奇偶性，并说明理由； (3) 若不等式(4)(2)xxf t f t ⋅≥- 对任意[1,2]x ∈ 恒成立，求实数的取值范围.2015年湖南普通高中学业水平考试试卷数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{1，2}，集合N ＝{0，1，3}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．化简(1－cos 30°)(1＋cos 30°)得到的结果是( )A.34B.14 C ．0 D ．13．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则该几何体的表面积等于( )A ．πB ．2πC ．4π D.43π4．直线x －y ＋3＝0与直线x ＋y －4＝0的位置关系为 ( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直5．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )A.14B.13C.12D.346．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，－6)，若b ＝λa ，则实数λ的值为( )A.13 B ．3C ．－13 D ．－37．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第1组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )A ．5，15，25，35，45B ．5，10，20，30，40C ．5，8，13，23，43D ．5，15，26，36，468．已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )一定存在零点的区间是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9．如图点(x ，y )在阴影部分所表示的平面区域上，则z ＝y －x 的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( )A ．2n －1 B ．2n C ．3n D ．4n 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．函数f (x )＝lg(x －3)的定义域为________．12．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为______13．某程序框图如图所示，若输入x 的值为－4，则输出的结果为________．14、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2a ，sin A ＝12，则sin C ＝15．已知直线l ：x －y ＋2＝0，圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，若直线l 与圆C 相切，则圆C 的半径r ＝____________．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的茎叶图如下：(1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率．17．（本小题满分8分）已知函数f (x )＝(x －m )2＋2.(1)若函数f (x )的图像过点(2，2)，求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )是偶函数，求m 的值．18．（本小题满分8分）已知正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1.(1)证明：D 1A ∥平面C 1BD ； (2)求异面直线D 1A 与BD 所成的角．19．（本小题满分8分）已知向量a ＝(2sin x ，1)，b ＝(2cos x ，1)，x ∈R .(1)当x ＝π4时，求向量a ＋b 的坐标；(2)设函数f (x )＝a·b ，将函数f (x )图像上的所有点向左平移π4个单位长度得到g (x )的图像，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数g (x )的最小值．20．（本小题满分10分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n＋2，其中n∈N*.(1)写出a2，a3及a n.(2)记数列{a n}的前n项和为S n，设T n＝1S1＋1S2＋……＋1S n，试判断T n与1的大小关系；(3)对于(2)中的S n，不等式S n·S n－1＋4S n－λ(n＋1)S n－1≥0对任意大于1的整数n恒成立，求实数λ的取值范围．2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ∉，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15 B. 25 C.35 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0AB AC ⋅=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1-C. 32D. 22-7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD与11A C 的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A.{|12}x x -≤≤B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x ≤-≥或D. {|12}x x x <->或9.点(,1)P m 不在不等式0x y +-<表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是A.1m <B. 1m ≤C.1m ≥D.1m >10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .12. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,sin 3a b A ===，则sin B ＝ .13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 .15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩（1）画出函数()f x 的大致图像；（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动. （1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18. （本小题满分8分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6πθ=时，求向量2a b +的坐标；（2）若a ∥b ，且(0,)2πθ∈，求sin()4πθ+的值.已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：1211x x +为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15B ．14C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++=B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A kmB kmC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分） 已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷15．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知等差数列{}n a 的前3项分别为2，4，6，则数列{}n a 的第4项为（ ）A 、7B 、8C 、10D 、122、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A 、球B 、圆柱C 、圆台D 、圆锥3、函数()()()21+-=x x x f 的零点个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、34、已知集合{}{}3,,2,0,1x B A =-=，若{}2=⋂B A ，则x 的值为（ ）A 、3B 、2C 、0D 、-15、已知直线12:1+=x y l ，52:2+=x y l ，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A 、重合B 、垂直C 、相交但不垂直D 、平行6、下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是（ ）A 、()0,0B 、()4,2C 、()4,1-D 、()8,17、某班有50名同学，将其编为1、2、3、、、50号，并按编号从小到大平均分成5组，现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第二组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为（ ）A 、14B 、23C 、33D 、438、如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是（ ）A 、0=⋅CB CA B 、0=⋅AB CDC 、0=⋅CD CA D 、0=⋅CB CD9、将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 10、如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为（ ）A 、32 B 、54 C 、56 D 、34二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11、比较大小：5log 2 3log 2（填“>”或“<”）12、已知圆()422=+-y a x 的圆心坐标为()0,3，则实数=a 13、某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为14、已知角α的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321，，则=αcos15、如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、 C 之间的距离是100米，︒=∠105BAC ，︒=∠45ACB ，则A 、B 两点之间的距离为 米。