实数——算术平方根
实数-平方根、算术平方根、立方根
培根教育学科教师辅导教案学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：张金刚教学目的实数---平方根立方根授课日期及时段教学内容这次课我们来学习一下，形如当x2=a （a≥0）时，x是什么数的问题。
当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4，所以x=±2；当x2=9时，因为32=9，（-3）2=9，所以x=±3；当x2=100时，因为102=100，（-10）2=100，所以x=±10；当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13；可以看出，使x2=a（a>0）成立的两个数，它们互为相反数。
数学上规定：如果x2=a （a≥0），那么x叫做a的平方根，也称作二次方根，记作“a”。
结论：一个正数有2个平方根，它们互为相反数。
0的平方根是0负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
例一求下列各数的平方根。
（1） 25 （2）1681（3）15 （4）0.09平方根在做开平方的运算时，我们时常会碰到一些带有实际意义的量。
在这些计算时，是不是2个平方根都是可行的呢？比如正方形的面积为100平方米，那么它的边长为几？ 比如勾股定理中，一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边为几？我们发现，得出的这些量都是只取了正数，而把和实际意义不符合的负数舍掉了。
规定：一个数的正平方根叫做这个数的算术平方根，记作“a ”（a 0≥）。
0的算术平方根是0.求下列各数的算术平方根（1）361 （2）12164 （3）2.25 （4）17 （6）410-三、能力检测题1、49的平方根是＿＿＿＿；算术平方根是_____________。
2、36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ；3、0.04的算术平方根是_________,开平方等于±5的数是_______.4、23-的算术平方根是_______, 算术平方根是5、81的平方根是 ；2(5)-的平方根是6、算术平方根等于它本身的数是＿＿＿＿；平方根等于它本身的数是＿＿＿＿7、下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③ a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
6.1.1 实数之算术平方根
解：（1） 1 1 （2）
9 3 25 5
（3）
4 4
2
（4） 0 0
第二课时
（1）9的算术平方根是
3
。 。
（2）0.01的算术平方根是 0.1
（3）10的算术平方根是 （4）256的算术平方根是
（5）72的算术平方根是
10 。
16 7
。
。
（6）（-6）2的算术平方根是
2 2 （7） （ ） 的算术平方根是 5
第六章 实数
§6.1.1 算术平方根
①什么叫乘方？什么叫幂？
答：求相同因数的积的运算叫做乘方； 乘方的运算结果叫做幂。
底数
n a
指数 幂
乘方是已知底数和指数，求幂。
把乘方反过来：
已知一个正数的平方等于16，
问：这个正数是谁？ 解：设这个正数为x
由题意得： x 2 = 16
x 2 = 16
即已知：指数2及幂16，求底数。
6
2 5
。
。
（8） 25 的算术平方根是
5
。
4或-2 1. （m 1） 3，则m 。
2
解：由题意得：
( m 1) 3
2
m 1 3
m 1 3 m 3 1 m4
m 1 3 m 3 1 m 2
拓展延伸 已知：2a-1的算术平方根是3，
3a+b-1的算术平方根是4， 求：a+2b的算术平方根.
小 结
求一个数的算术平方根与求一个非负
数的平方正好是互逆的过程。 因此,求一个非负数的算术平方根实 际上可以转化为求一个数的开平方运算。 只不过,负数是没有算术平方根的.
人教版初一数学下册实数——算术平方根
蔡甸区常福中学七年级下册教学案课题： 6.1.1算术平方根第_4_周主备人向俊伟教研组长向俊伟审核人_____ 授课人______ 授课时间____________ 编号学案教案一、学习目标1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
二、课堂前置（一）自学思考问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少？答：1.画布的边长= ，理由是：2.填表：正方形的面积1 9 16 36254 2边长？3.上面的问题实际上是已知一个，求这个的问题。
4.方法归纳：已知一个正数的平方，是怎样求这个正数的？. （二）展示交流1.什么叫算术平方根？如何表示？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作，a叫做。
在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为非负数。
2.为什么规定：0的算术平方根是0？.3.为什么负数没有算术平方根？.4.式子a中，a的取值范围是，a的取值范围是教学重点：教学难点：一、课堂导入二、揭示目标三、合作探究自学课本P40---44，完成学案自主学习部分的问题。
5. 625表示的意义是 ，它的值为49的算术平方根是 ，用符号表示为三、合作探究1.求下列各数的算术平方根：(1) 100；（2）4964；（3）0.0001；（4）164；（5）1.21；（6）4-2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值吗?（1）1； （2）925； （3）23； （4）24-）（思考：81的算术平方根是9；那么81的算术平方根是多少了？你是怎样理解的？四、检测练习1、下列命题中,正确的个数有( )①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )A.x +1B.1x +C. 21x +D.x+1 3、x 是16的算术平方根,那么x 的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4 4、36的算术平方根是__,8的算术平方根是__. 25的算术平方根是________5、算术平方根等于它本身的数是_______.四、归纳小结五、检测练习·参见学案。
初中数学平方根、算术平方根、实数(含解析)
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【巩固】求下列各式中x的值．
（1） ；（2）
（3） （4）
【难度】1星
【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．
（1） ；（2） ；
（3） ；或 ，解得 或 ．
（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1， ；
联系：
（5）平方根与立方根相等的数是0．
（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．
模块三实数
1无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．
（1）小于 的所有正整数；（2）绝对值小于 的所有整数．
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）1，2，3，4；（2） ， ， ， ， ．
【例24】一个底为正方形的水池的容积是3150m3，池深14m，求这个水底的底边长．
读作“三次根号 ”， 读作“二次根号 ”， 读作“根号 ”．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
能运用圆的性质解决有关问题
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算
重难点：
1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；
2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件
第三章 实数 考点2 算术平方根(解析版)
第三章实数（解析板）2、算术平方根知识点梳理算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．同步练习一．选择题（共14小题）1．4的算术平方根是（）A．B．±2C．2D．±【考点】算术平方根．【分析】依据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根．2．的算术平方根是（）A．B．C．±2D．2【考点】算术平方根．【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．【解答】解：＝2，2的算术平方根是．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．3．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【考点】算术平方根．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．4．下列等式正确的是（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据负数没有平方根即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据算术平方根的定义算术平方根为非负数，负数没有平方根．【解答】解：A、，故选项A错误；B、由于负数没有平方根，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项正确．故选：D．【点评】本题所考查的是对算术平方根的正确理解和运用，要求学生对于这些基本知识比较熟练．5．的算术平方根为（）A．9B．±9C．3D．±3【考点】算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵＝9，32＝9∴的算术平方根为3．故选：C．【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．6．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm【考点】算术平方根．【分析】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，解答即可．【解答】解：因为正方体的表面积公式：s＝6a2，可得：6a2＝12，解得：a＝．故选：B．【点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．7．的算术平方根是（）A．±B．C．±D．5【考点】平方根；算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：因为＝5，所以的算术平方根是，故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．8．下列计算正确的是（）A．＝2B．＝±2C．＝2D．＝±2【考点】算术平方根．【分析】根据＝|a|进行计算即可．【解答】解：A、＝2，故原题计算正确；B、＝2，故原题计算错误；C、＝4，故原题计算错误；D、＝4，故原题计算错误；故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．9．已知a＝，b＝，则＝（）A．2a B．ab C．a2b D．ab2【考点】算术平方根．【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：＝＝××＝a•b•b＝ab2．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解因数．10．9的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．11．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【考点】算术平方根．【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．12．289的平方根是±17的数学表达式是（）A．＝17B．＝±17C．±＝±17D．±＝17【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义求解可得．【解答】解：289的平方根是±17的数学表达式是±＝±17，故选：C．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．13．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．8【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．【解答】解：∵4的平方是16，∴16的算术平方根是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．14．的值等于（）A．B．﹣C．±D．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：，故选：A．【点评】此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．二．填空题（共5小题）15．4是16的算术平方根．【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．16．的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．【解答】解：∵＝9，又∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3，∴9的算术平方根是3．即的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．17．9的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．18．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可求解．【解答】解：∵＝3，∴的算术平方根是：．故答案是：．【点评】本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．19．的算术平方根是．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵52＝25，∴＝5，∴的算术平方根是．故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．三．解答题（共8小题）20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1＝16，∴3×5+b﹣1＝16，∴b＝2，∴a+2b＝5+2×2＝9．【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，∴2a+1＝9，解得a＝4，∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，∴5a+2b﹣2＝16，解得b＝﹣1，∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，∴3a﹣4b的平方根是±4．【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．22．已知＝x，＝2，z是9的算术平方根，求：2x+y﹣z的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据＝x，＝2，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵＝x，＝2，z是9的算术平方根，∴x＝5，y＝4，z＝3，∴＝，即2x+y﹣z的平方根是．【点评】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．23．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．【考点】平方根；算术平方根．【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．24．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．（1）求正方形工料的边长；（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4：3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】算术平方根．【分析】（1）求出的值即可；（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，得出方程4a•3a＝24，求出a＝，求出长方形的长和宽和6比较即可．【解答】解：（1）正方形工料的边长为＝6分米；（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．则4a•3a＝24，解得：a＝，∴长为4a≈5.656＜6，宽为3a≈4.242＜6．满足要求．【点评】本题考查了算术平方根，长方形，正方形的性质的应用，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．25．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【考点】算术平方根．【分析】（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵＝6，＝4，＝12，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，＝3，解得a＝0（不合题意）；②当a≤9＜25时，＝3，解得a＝（不合题意）；③当9＜25≤a时，＝3，解得a＝81，综上所述，a的值为81．【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．26．某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：，其中d（km）是雷雨区域的直径．（1）雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（2）如果一场雷雨持续了2h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？【考点】算术平方根．【分析】（1）根据，其中d＝8（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据，其中t＝2h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．【解答】解：（1）根据，其中d＝8（km），∴t2＝，∵t＞0，∴t＝（h），答：这场雷雨大约能持续h；（2）根据，其中t＝2h，∴d2＝3600，∵d＞0，∴d＝60（km），答：这场雷雨区域的直径大约是60km．【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．27．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；（2）若使长方形的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．【考点】算术平方根．【分析】（1）直接利用算术平方根的定义正方形纸片的边长，进而得出答案；（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．【解答】解：（1）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm，∴a2＝400，又∵a＞0，∴a＝20，又∵要裁出的长方形面积为300cm2∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，则长方形的宽为：300÷20＝15（cm）∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2，∴设长方形纸片的长为3xcm，则宽为2xcm，∴6x2＝300，∴x2＝50，又∵x＞0，∴x＝，∴长方形纸片的长为，又∵＞202即：＞20∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键。
第六章实数,算术平方根
第六章 实数 6．1 平方根第1课时 算术平方根01 教学目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根． 02 预习反馈阅读教材第40页，完成下列各题． 情景导入 问题：学校要举行美术作品比赛，同学们准备了一些正方形的画布，你能计算出它们的面积吗？如果知道一些正方形画布的面积，你能算出它们的边长吗？总结：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0． 03 名校讲坛例 (教材P40例1)求下列各数的算术平方根： (1)100； (2)4964； (3)0.000 1.【解答】 (1)因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即100＝10.(2)因为(78)2＝4964，所以4964的算术平方根是78，即4964＝78. (3)因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即0.000 1＝0.01.思考：从上面的例题中，你能发现被开方数与算术平方根之间的规律吗？ 被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 这个结论对所有正数都成立．【跟踪训练1】 9的算术平方根是(C)A ．－3B ．±3C ．3D ．±3【跟踪训练2】 3是9的算术平方根，16的算术平方根是2．【跟踪训练3】 有一块面积为16 cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？ 解：钢板的边长是4 cm. 04 巩固训练1.4的算术平方根是(C)A ．2B ．±2 C. 2D ．±22．下列说法正确的是(D)A.（－3）2＝－3B.－9＝－3C ．因为（－4）2＝16，所以16＝－4D ．1的算术平方根是它本身3．已知一个正方体的表面积为24 dm 2，则这个正方体的棱长为2dm. 4．求下列各数的算术平方根： (1)121； (2)0； (3)964； (4)0.01.解：(1)11.(2)0.(3)38. (4)0.1.05 课堂小结1．一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数． 2．0的算术平方根是0. 3．负数没有算术平方根．。
实数,平方根等知识
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
算术平方根第一课时
谢谢指导！
收获与体会
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算术平方根是Βιβλιοθήκη 负数.0的算术平方根是0a ≥0
被开方数是非负数. a≥0
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负数没有算术平方根。
被开方数越大，对应的算
术平方根也越大
思考:
面积是2的正方形的边长是几呢？ 是不是求2的算术平方根呢？
课后作业： (1)课本p47习题6.1第1，2题 (2) 基础训练：35页第一课时
答：有意义的是
3 ;
2
5
无意义的是
3 3
3
2
争先恐后：
（1）121的算术平方根是 11
1 256 的算术平方根是
1 16
；
0.25的算术平方根是 0.5 ；
；
；
是
49 （2）100的算术平方根是 10 ；64 的算术平方根 7 0.81的算术平方根是 0.9 ；
8
0 的算术平方根是
2
2
7 ，即 9
49 7 81= 9
③∵0.6 2=0.36，∴0.36的算术平方根是0.6，即 0.36=0.6 2 ④∵0 =0，∴0的算术平方根是0，即 0=0
⑤∵ 16 =4，2 =4 ∴ 16的算术平方根是2，即 16 4 2
2
例、下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为
什么？
5 ; 3 ; 3 ;
0
说下列各式所表示的意义。
100
5
已知 x 2 y 3 z 4 0
2
求 2 x 3 y z的值
2 ( x 2) 0 y 3 0
z4 0
2 ( x 2) 0 y 3 0 x 2
第1单元 实数
中考基本考点分析——实数一、算术平方根例1：写出下列各数的算术平方根。
（1）0.0009； （2）4981； （3）()25-。
二、平方根1.定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或 方根）。
即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
如：()422=±，所以4的平方根是2±；259532=⎪⎭⎫⎝⎛±，所以259的平方根是 ；002=，所以0的平方根是 。
2.表示方法一个数a 的正的平方根，用符号“2a ”表示，a 叫做 数，2叫做 数，a 的负平方根用“2a -”表示，根指数 时，通常省略不写。
如2a 记作a ，读作“根号a ”，2a ±记作a ±，读作“正、负根号a ”。
3．平方根的性质（1）一个正数a 有 个平方根，它们互为 数，记作 。
（2） 的平方根是零。
（3） 数没有平方根。
，例2：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）6±的平方根是36； （2）（2）1的平方根是1； （3）（3）-9的平方根是3±； （4）（4）19361±=； （5）9是()29-的算术平方根。
三、平方根与算术平方根的区别与联系四、开平方的方法求一个数a 的 根的运算，叫做开平方。
开平方运算与 运算互为逆运算。
a ±表示非负数a 的 ，a 表示非负数a 的 根，a -表示非负数a 的负的平方根。
例3：下列各式中正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=五、平方根的性质的应用方法要判断一个数有无平方根或平方根有几个，关键是确定这个数是正数、负数还是0。
如果n m ,是正数a 的平方根，那么有 或 ；但如果正数a 平方根是n m ,，那么只能有0=+n m 。
例4：如果一个数的平方根是3+x 与152-x ，那么这个数是多少？六、利用平方根的概念解方程的方法一个正数有 个平方根，它们互为 数，0只有一个平方根，负数没有平方根。
实数—专题一、平方根、算数平方根
平方根、算数平方根一、引入:1.有人证明“任何两数都相等”证法如下。
你们看看问题出在哪里:ba b a a b b a a b b a a ab b b ab a =∴=∴-=-∴-=-∴+-=+-22)()(222222222.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,425,1144,-14,1.69二、平方根定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
【例1】（1）因为（ ）2＝144， 所以144的平方根是 ；（2）因为（ ）2＝0.81，所以0.81的平方根是 ；（3）（-2．345）2的平方根是 ，（4）平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； （5）若x 的平方根是±2，则x= ； （6）在下列各数中0，254， 2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -个数是 个．（7）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（10）若a≥0，则24a 的算术平方根是（ ）A 、2aB 、±2a C、a 2 D 、| 2a | 【例2】（1）122++x x 的平方根为（ ）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（ ） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0（3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）A ．1+mB ．12+mC ．1+±m D ．12+±m三、 算术平方根：我们规定若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
第三章 实数 考点1 平方根(解析版)
第三章实数（解析板）1、平方根知识点梳理平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根的性质平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．同步练习一．选择题（共12小题）1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或1【考点】平方根．【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【考点】平方根．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．3．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．【解答】解：＝4，±＝±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．4．的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【考点】平方根；算术平方根．【分析】先化简＝4，然后求4的平方根．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．5．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【考点】平方根．【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．6．4的平方根是（）A．16B．2C．±2D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，则这个正数为（）A．5B．10C．25D．±25【考点】平方根．【分析】根据正数平方根互为相反数，可得一个平方根的和为0，根据解方程，可得x 的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解；一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，∴2x+1+x﹣7＝0x＝2，2x+1＝5（2x+1）2＝52＝25，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求出平方根，再求出被开方数．8．a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是（）A．4B．C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】先利用一个数两个平方根的和为0求解．【解答】解：∵a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，∴a﹣1+3﹣2a＝0，解得a＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的关系．9．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．16【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．11．（﹣0.7）2的平方根是（）A．﹣0.7B．±0.7C．0.7D．0.49【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．【解答】解：∵（﹣0.7）2＝0.49，又∵（±0.7）2＝0.49，∴0.49的平方根是±0.7．故选：B．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．9的平方根为（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：＝±3．故选：C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．二．填空题（共5小题）13．的平方根是±2．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵＝4∴的平方根是±2．故答案为：±2【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝2．【考点】平方根．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．15．的平方根是±3．【考点】平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．16．如果的平方根等于±2，那么a＝16．【考点】平方根．【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴＝4，∴a＝（）2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．17．4的平方根是±2．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．三．解答题（共10小题）18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【考点】平方根；立方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．∴±＝＝±3．故a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根．19．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．【考点】平方根．【分析】利用正数的两平方根和为0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，∴2m﹣3+5﹣m＝0，解得：m＝﹣2，则2m﹣3＝﹣7，解得a＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，得出m的值是解题关键．20．一个正数x的两个不同的平方根是3a﹣4和1﹣6a，求a及x的值．【考点】平方根．【分析】由于应该正数的两个平方根互为相反数，据此可列出关于a的方程，求出a的值，进而可求出x的值．【解答】解：由题意，得：3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1；所以正数x的平方根是：7和﹣7，故正数x的值是49．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．21．求x的值（1）16x2﹣49＝0（2）24（x﹣1）2﹣6＝0【考点】平方根．【分析】（1）先移项，再两边都除以16，继而两边开平方即可得；（2）先移项，再两边都除以24，继而两边开平方，最后解方程即可得．【解答】解：（1）∵16x2﹣49＝0，∴16x2＝49，∴x2＝，则x＝±；（2）∵24（x﹣1）2﹣6＝0，∴24（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，解得：x＝或x＝．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．22．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b﹣5立方根﹣3，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得a、b的值；接着估出的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，2a﹣b﹣5＝﹣27；故a＝16，b＝54；又有10＜＜11，可得c＝10；则a+b+c＝16+54+10＝80．则80的平方根为±4．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；故a＝5，b＝2；又∵2＜＜3，∴c＝2，∴a+b+c＝5+2+2＝9，∴9的平方根为±3．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．24．求下列各式中x的值．（1）（x+1）2﹣4＝0．（2）3x2+4＝﹣20．【考点】平方根．【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x＝1或x＝﹣3．（2）3x2+4＝﹣20，3x2＝﹣24，x2＝﹣8，原方程无解．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．25．已知x＝1﹣a，y＝2a﹣5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．【考点】平方根；整式的加减．【分析】（1）先列式1﹣a＝4，可得a的值，根据y＝2a﹣5可得y的值，从而进行计算可得答案；（2）根据一个数的平方根互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：（1）∵x的值4，∴1﹣a＝4，a＝﹣3，∴y＝2a﹣5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣11，∴x+y+16＝4﹣11+16＝9，即x+y+16的平方根是±3；（2）∵一个数的平方根是x和y，∴1﹣a+（2a﹣5）＝0，解得a＝4，当a＝4时，（1﹣a）2＝（1﹣4）2＝9，答：这个数是9．【点评】本题考查了平方根和整式的加减，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，以防漏掉．26．已知2m+3和4m+9是x的平方根，求x的值．【考点】平方根．【分析】①正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m 的值；②2m+3＝4m+9，可求得m的值．然后利用平方根的定义即可求得x的值．【解答】解：∵2m+3和4m+9是x的平方根，∴2m+3+4m+9＝0或2m+3＝4m+9，解得：m＝﹣2或﹣3，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1；当m＝﹣3时，2m+3＝﹣3．∴x＝（±1）2＝1或x＝（﹣3）2＝9．故x的值为1或9．【点评】本题考查了对平方根的定义和性质，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．27．已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根．【考点】平方根．【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根．【解答】解：∵2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，∴2m+3+4m+9＝0，解得：m＝﹣2，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1．故m的值为﹣2，这个正数的平方根是±1．【点评】本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键11。
【人教版】七年级下第六章 实数 — 算术平方根 教学设计(无答案)
算术平方根教学设计一、内容和内容解析1、内容算术平方根的概念，算术平方很的性质。
2、内容解析初一上学期已经学过乘方以及有理数的相关概念，学生知道10以内自然数的平方，有一定的加减、乘除逆算能力。
这节课主要是研究正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，表示任何一个非负数的算术平方根。
算术平方根的学习为后面学习平方根和立方根的概念和求法提供了思路和研究方法，同时又是后面学习勾股定理、二次根式以及解一元二次方程的基础。
而课本之所以把算术平方根放在平方根的前面是因为算术平方根更具有实际意义。
基于以上的分析，本节课的教学重点：算术平方根概念的生成。
二、目标与目标解析1、目标（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
（2）了解平方与开平方是互为逆运算，会用开平方运算求非负数的算术平方根。
目标解析达成目标（1）的标志：学生了解如果一个正数x的算术平方根等于a，即x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a。
正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
并且会用表示任何一个非负数的算术平方根。
达成目标（2）的标志：学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给出一个非负数a，能找到满足x2=a的正数x。
三、教学问题诊断分析学生对正数和分数的乘方运算非常熟悉，学生也了解有理数的相关知识，但是学生对无理数除了π，没有太多的认识。
而这节课引出无理数的另外一种常见形式（开方开不尽的形式），对于有些学生一时间还是不太习惯。
基于以上的分析，本节课的教学难点：用二次根号表示非负数的算术平方根。
四、教学过程设计问题：在刚刚的折纸鹤视频中，同学使用的纸张是什么形状的？师生活动：正方形情境导入马上元旦了，小明很高兴，他想裁出一张面积为25dm2的正方形纸，写上自己的祝福折成千纸鹤送给自己的同学，这块正方形纸的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？问题1：正方形的边长是多少？你是怎么想到的？师生活动：学生很快能回答出边长的是5，因为52=25。
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
0.13
3 0. 6 4
实数1-算术平方根1
12
作业
(1)P75. 1. 11. (2)熟记1~19各数的平方
13
8
3、你能快速说出下列各式的值吗？
1 1
9 3
121 11
36
6
49 7
72 7
2 7 25 5 9 93
(6)2 6
当a>0时， a 2 a 9
探究 怎样用两个面积为1的小正方形适当剪开，
拼成一个大正方形？再求大正方形的边长。
x 解：设大正方形 x 的边长为 ，
则 x2 2
∵正数 x是2的算术平方根
∴
x 2
补充题：求下列各式中的正数x (1) x2 81 (2) 3x2 48 (3) 4x290
10
小结
1.算术平方根可以解决已知一个正数的平方 求这个正数的问题,求得的结果可能是一个 有理数,也可能是个用根号表示的数.
2.一个正数的平方等于a，这个正数就叫做a 的算术平方根.通过平方来求算术平方根.
解：设正方形的边长为x cm, 得
x2 25
因为 x 是正数，所以 x = 5
这是已知一个正数的平方,求这个正数 ( ？运算)
4
25
？ 2
1 3 4 55
3
定义
算术平方根
如果一个正数 x 的平方等于 a ，即：
x2 a
那么正数 x 叫做 a 的算术平方根。
a的算术平方根记为： a 读作“：根号a
1
问题1：要做一张边长是3分米的小方桌面，它的 面积是多少？
?
答：9平方分米
9平方分米
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算 （乘方运算）
2
问题2 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。 她想裁出一块面积为 25 cm 的正方形画布，画 上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的 边长应取多少？
6.4《实数》总复习
3 3 4.已 知 32.8 3.201 ， 3.28 1.486 ， 3 3
3 y 68.96 0.328 0.6896 ， x 14.86， ，
3280 则x ； ｙ 328000 。
五、比较大小的方法 有理化法 估算法
1、有理化法比较大小
0.3737737773…… 0.3 21;
2.把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2,
,
0,
4 , 9
5 , 2
2,
1 , 4
20 , 3
5, 3 8 ,
7,
0.3737737773
5 1 , , 4 2
4 , 9
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
3 8,
3
2,
7,
,
2,
20 , 3
0,
5,
0.3737737773
有理数集合
无理数集合
3.判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数；
（5）无理数都是实数;
（6）没有根号的数都是有理数.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为
十、强化运用
1、下列说法正确的是( B) 的平方根是 4 A、 16 B
6 表示6的算术平方根的相反数
3 3
C、 任何数都有平方根
2 a D、 一定没有平方根
-5 2.若 m 5，则m ____ x≤ 0 3.若x x 0，则x的取值范围是____
3
4 x
人教版七年级下册数学第6章 实数 【说课稿】 算术平方根
算术平方根教材分析:《算术平方根》是人教版初中数学七年级下第六章第一节第一课时。
在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。
本节主要学习算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。
因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
学生分析：八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析算术平方根性质的基础。
教学目标：1. 知识与技能掌握算术平方根的概念，能通过开方运算求一个非负数算术平方根。
2. 过程与方法从现实生活中提出数学问题，在学生已有的基础上建立新旧知识的联系，让学生用自己的语言有条理地、清晰的阐述算术平方根的概念、意义及求法，提高理解能力和语言表达能力。
3 情感、态度与价值观准确理解把握概念，将对知识的理解转化为数学技能，鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
教学重、难点:本节课的重点是算术平方根的概念和性质。
正确理解这个概念是学好本章的关键之一。
本节课的难点是根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
说教法与学法:1 教法学生在七年级学过乘方运算，但由于间隔时间长，他们会有不同程度的遗忘，为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，我利用情景与问题教学激发学生的兴趣，利用对比教学让学生掌握概念的本质，完善学生的知识结构。
2 学法学生才是学习的主人，教师应该把过程还给学生，让过程与结果并重。
新课程也强调学生的学习应在教师的指导下，主动地、富有个性地学习.据此本节的学法我定为小组交流合作法和自主学习法。
(八年级数学)第十三章 实数(一)——平方根
（八上数学）第十三章 实数（一）——平方根班别 姓名 学号一、学习目标：明确什么是平方根，什么是算术平方根，能正确地求出一个数的平方根。
二、新课学习（一）什么叫做平方根？探索一什么数的平方等于9？2() =9，2() =9什么数的平方等于16？2() =16，2() =16，什么数的平方等于49？2() =49，2() =49什么数的平方等于121？ 2() =121，2() =121总结：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做ａ的 或 ． 用数学式子表述为：若2x =a ，则x 是a 的平方根。
在以上式子中，∵ 2() =9，∴9的平方根是 和 ，∵ 2() =16，∴16的平方根是 和 ，∵ 2() =7，∴7的平方根是 和 ，∵ 2() =3，∴3的平方根是 和 。
平方根的特点结论一：一个正数的平方根有 个，它们互为 数。
探索二2() =0结论二：0的平方根有 个，是 ；探索三2() =－4，2() =－9，2() =－16，结论三：负数 平方根（填“有”或“没有” ）诵读一次：一个正数的平方根有 个，它们互为 数； 0的平方根有 个，是 ；负数 平方根（二）算术平方根：一个正数有两个平方根，一正一负，其中 叫做算术平方根。
如：81的算术平方根是 ，规定：0的算术平方根是0思考：算术平方根可能为负吗？一个数的算术平方根一定是正数，对吗？（三）如何表示一个数的平方根，算数平方根，负的平方根（1） “25的平方根”可以表示为± ，“25的算数平方根”可以表示为， ，“25的负的平方根”可以表示为－。
（2）小结：正数a 的平方根可以用 表示；正数a 的算术平方根可以用 表示；正数a 的负的平方根可以用 表示。
（3a 可以是什么数？如：9的平方根可以表示为 2的算术平方根可以表示为：16的负的平方根可以表示为：（四）如何求一个数的平方根，算数平方根，负的平方根例：求下列各数的平方根，算数平方根，负的平方根254, 0，８ 解：1）∵ 2() =4，2() =4∴±4=± ， +4= ， －4= （4的平方根） （4的算数平方根） （4的负的平方根）（2）∵ 2() 2()∴±0.09=± ， +0.09= ， －0.09=（3）∵ 2() =254，2() =254 ∴ ，（4）∵ 2() =0，∴ 。
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蔡甸区常福中学七年级下册教学案
课题： 6.1.1算术平方根
第_4_周主备人向俊伟教研组长向俊伟审核人_____ 授课人______ 授课时间____________ 编号
学案教案
一、学习目标
1、了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，
并了解算术平方根的非负性。
2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的
算术平方根。
二、课堂前置
（一）自学思考
问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出
一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参
比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
答：
1.画布的边长= ，理由是：
2.填表：
正方形的面
积1 9 16 36
25
4 2
边长？
3.上面的问题实际上是已知一个，求这个
的问题。
4.方法归纳：已知一个正数的平方，是怎样求这个正数的？
. （二）展示交流
1.什么叫算术平方根？如何表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的，记为，读作，a叫做。
在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为
非负数。
2.为什么规定：0的算术平方根是0？
.
3.为什么负数没有算术平方根？
.
4.式子a中，a的取值范围是，a的取值
范围是教学重点：
教学难点：
一、课堂导入
二、揭示目标
三、合作探究
自学课本P40---44，完成学案自主学习部分的问题。
5. 625表示的意义是 ，它的值为
49的算术平方根是 ，用符号表示为
三、合作探究
1.求下列各数的算术平方根：
(1) 100；（2）4964；（3）0.0001；（4）164
；（5）1.21；（6）4-
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值
吗?
（1）1； （2）925； （3）23； （4）24-）（
思考：81的算术平方根是9；那么81的算术平方根是多少了？你是怎样理解的？
四、检测练习
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.x +1
B.1x +
C. 21x +
D.x+1 3、x 是16的算术平方根,那么x 的算术平方根是( ) A.4 B.2 C.2 D.±4 4、36的算术平方根是__,8的算术平方根是__. 25的算术平方根是________
5、算术平方根等于它本身的数是_______.
四、归纳小结
五、检测练习
·参见学案。
·检测练习的结果由小组进行评价，教师及时
点拨。
六、课堂评价（学后反思）。